ТЕОРИЯ РЯДОВ

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) фр. математик и физик

(Jean Baptiste Joseph Fourier)

Свои методы (ряды и интегралы Фурье) он использовал в теории распространения тепла. Но вскоре они стали исключительно мощным инструментом математического исследования самых разных задач — особенно там, где есть волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк — астрономия, акустика, теория приливов, радиотехника, электротехника и др.

4.1. Гармонические колебания.

1. Простые гармонические колебания

В естествознании и технике часто наблюдаются периодические процессы, т.е. такие явления, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

Простейшее периодическое явление- гармоническое колебание, совершаемое по закону

А- амплитуда колебания

0siny A t

- фаза колебания

- частота колебания

- начальная фаза

0t

0

2T

- период колебания (время, в течение которого происходит одно колебательное движение)

2

T

- число колебаний за время 2π

Преобразуем равенство: 0siny A t

0 0 0

0 0

sin sin cos cos sin

cos sin sin cos sin cosa b

y A t A t t

A t A t a t b t

Т.е. sin cosy a t b t

• Колебательное движение, происходящее по закону

или, что то же, по закону

называется простым гармоническим колебанием, а график его- простой гармоникой.

0siny A t sin cosy a t b t

2. Сложные гармонические колебания

Не всякий периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Очень часты случаи, когда периодическое явление есть результат сложения нескольких простых гармонических колебаний. Полученное результирующее движение называется сложным гармоническим колебанием, а график его- сложной гармоникой.

• Сложная гармоника есть результат сложения нескольких простых гармоник или иначе- результат наложения простых гармоник друг на друга.

Пример 1

Даны две простые гармоники: sin sin 3y t u y t

Сложная гармоника: sin sin 3y t t

Любая точка сложной гармоники имеет ординату, равную сумме ординат точек, лежащих на простых гармониках и имеющих одну и ту же абсциссу.

0 t

y

siny t

sin sin 3y t t

sin 3y t

22

2 3

2

3 2

3 4

3 5

3

При сложении простых гармоник с разными частотами получается сложная гармоника не синусоидального вида;

при сложении гармоник с одинаковыми частотами- гармоника того же вида, что и простая.

4.2. Тригонометрические ряды.

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

2

01 1 2cos sin cos sin ...

2... cos sin ...n n

aa t b t a t b t

a n t b n t

Положим для простоты x t

• Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

2

01 1 2

0

1

0

cos sin cos sin ...2

cos sin2

, , ( 1, 2,...)

n nn

n n

aa x b x a x b x

aa nx b nx

a a b const n

- коэффициенты ряда

Пусть f(x)- произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд, т.е. f(x) является суммой ряда:

0

1

( ) cos sin2 n n

n

af x a nx b nx

Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 2π, то её можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок [-π;π]. (также удобно взять отрезок [0;2π]). Предположим, что этот ряд абсолютно сходится, то его можно почленно интегрировать.

Найдем коэффициенты тригонометрического ряда:

4.3. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье.

0

1

0

1 1

( ) cos sin2

cos sin2

n nn

n nn n

af x a nx b nx

aa nx b nx

0

1 1

cos sin2 n n

n n

af x dx dx a nx dx b nx dx

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части.

0 0 002 2 2

a a adx x a

0 0

cos sin sin sin 0n nn

a aa nx dx nx n n

n n

sin cos cos cos 0n nn

b bb nx dx nx n n

n n

0 0

1f x dx a a f x dx

Следовательно:

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам понадобятся некоторые определенные интегралы:

Если n и k – целые числа, то имеют место следующие равенства:

если n≠k, то если n=k, то

cos cos 0

cos sin 0

sin sin 0

nx kx dx

nx kx dx

nx kx dx

2

2

cos

cos sin 0

sin

kx dx

kx kx dx

kx dx

Найдем an.

Умножим обе части тригонометрического ряда на cosnx:

0

1

( ) cos sin2 n n

n

af x a nx b nx

Проинтегрируем в пределах от –π до π:

0

0

2

1 1

0

cos cos2

cos sin cosn nn n

af x nx dx nx dx

a nx dx b nx nx dx

0

1 1

( ) cos cos cos cos sin cos2 n n

n n

af x nx nx a nx nx b nx nx

Тогда получаем:

Откуда

2cos cosn nf x nx dx a nx dx a

1cosna f x nx dx

Найдем bn.

Умножим обе части тригонометрического ряда на sinnx:

0

1

( ) cos sin2 n n

n

af x a nx b nx

Проинтегрируем в пределах от –π до π:

0

0

2

1 1

0

sin sin2

cos sin sinn nn n

af x nx dx nx dx

a nx nx dx b nx dx

0

1 1

( )sin sin cos sin sin sin2 n n

n n

af x nx nx a nx nx b nx nx

Тогда получаем:

Откуда

2sin sinn nf x nx dx b nx dx b

1sinnb f x nx dx

Ряд

где

1sinnb f x nx dx

0

1

cos sin2 n n

n

aa nx b nx

0

1a f x dx

1cosna f x nx dx

называется рядом Фурье функции f(x)

коэф

фиц

иент

ы

Фур

ье

Иногда более удобны интегралы с пределами интегрирования от 0 до 2π:

2

0

1sinnb f x nx dx

2

0

0

1a f x dx

2

0

1cosna f x nx dx

коэф

фиц

иент

ы

Фур

ье

4.4. Разложение в ряд Фурье 2π- периодических функций

Сформулируем теорему, которая дает достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье (чтобы ряд Фурье функции f(x) сходился и сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках)

Теорема Дирихле.

Пусть 2π- периодическая функция f(x) на отрезке [-π;π] удовлетворяет двум условиям:

1. f(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. f(x) кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

Теорема Дирихле (продолжение)

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x)=f(x);

2. В каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x)

справа и слева:0 0

0

( 0) ( 0)( )

2

f x f xS x

( 0) ( 0)( ) ( )

2

f fS S

3. На концах отрезка х=-π и х=π сумма ряда равна

Пример 1

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой

2 0( )

0

x npu xf x

x npu x

0 π-2π -π 3π2π

π

2π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

0

0

0

2 20 2 2

0

2 2

1 1 1( ) 2

1 10 0

2 2

3

2 2 2

a f x dx x dx x dx

x x

0

0

0

0

1cos

1 1cos 2 cos

1 2cos cos

cos

1sin

na f x nx dx

x nx dx x nx dx

x nx dx x nx dx

u x dv nx dx

du dx v nxn

00

00

0

2

2 0

1 1 1sin sin

2 1 1sin sin

1 1 10 sin cos

2 1 1sin 0 cos

x nx nx dxn n

x nx nx dxn n

n nxn n

n nxn n

0

0

2 21 1

2 2

1 2cos 0 cos cos cos 0

1 32cos 2 cos 1 cos 1

n nn n

n n nn n

2

3cos 1na n

n

11

2 21

3 2 21

3 6cos 1

3cos 2 1 0

2

3 6cos3 1

3 3

a

a

a

4 21

5 2 21

3cos 4 1 0

4

3 6cos5 1

5 5

a

a

Итак:

0

0

0

0

1sin

1 1sin 2 sin

1 2sin sin

sin

1cos

nb f x nx dx

x nx dx x nx dx

x nx dx x nx dx

u x dv nx dx

du dx v nxn

0

0

0

0

1cos

1 1cos 2 cos

1 2cos cos

cos

1sin

na f x nx dx

x nx dx x nx dx

x nx dx x nx dx

u x dv nx dx

du dx v nxn

00

00

0

2

2 0

1 1 1cos cos

2 1 1cos cos

1 1 10 cos sin

2 1 1cos 0 sin

x nx nx dxn n

x nx nx dxn n

n nxn n

n nxn n

0

0

1 2 coscos cos

nn n

n n n

Итак:cos

n

nb

n

1

2

3

cos1

1cos 2 1

2 2cos3 1

3 3

b

b

b

4

5

6

cos 4 1

4 4cos5 1

5 5cos 6 1

6 6

b

b

b

Тогда 0

1

cos sin2 n n

n

aa nx b nx

0

1 1

2 2

cos sin2

3 6 6 6cos cos3 cos5 ...

4 3 5

1 1sin sin 2 sin 3 ...

2 3

n nn n

aa nx b nx

x x x

x x x

2 2 2

3 6 cos cos3 cos5...

4 1 3 5

sin sin 2 sin 3...

1 2 3

x x x

x x x

Ответ.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В точках х=∓π

2 2 2

3 6 cos cos3 cos5( ) ( ) ...

4 1 3 5

sin sin 2 sin 3...

1 2 3

x x xf x S x

x x x

( 0) ( 0) 2 3( )

2 2 2

f fS x

0 π-2π -π 3π2π

π

2π

Сумма S(x) ряда на концах отрезка х=∓π

( 0) ( 0) 2 3( )

2 2 2

f fS x

Пример 2

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой

1 0( )

1 0

npu xf x

npu x

-1

1

0 π-2π -π 3π2π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

0

0

0

0

0

1 1 1( 1)

1 10 0 1 1 0

a f x dx dx dx

x x

0

0

0

0

0

0

0 0

1cos

1 11 cos cos

1 1cos cos

1 1sin sin 0

na f x nx dx

nx dx nx dx

nx dx nx dx

nx nxn n

0

0

0

0

0

0

1 1

1sin

1 11 sin sin

1 1sin sin

1 1cos cos

1 1cos 0 cos cos cos 0

nb f x nx dx

nx dx nx dx

nx dx nx dx

nx nxn n

n nn n

1 1

1 1cos 0 cos cos cos 0

1 21 cos cos 1 1 cos

n nn n

n n nn n

21 cosnb n

n

Итак:

11

21

3

2 41 cos

21 cos 2 0

2

2 41 cos3

3 3

b

b

b

41

51

6

21 cos 4 0

4

2 41 cos5

5 5

21 cos6 0

6

b

b

b

Тогда 0

1

cos sin2 n n

n

aa nx b nx

0

1 1

cos sin2

4 4 4sin sin 3 sin 5 ...

3 5

n nn n

aa nx b nx

x x x

4 sin sin 3 sin 5...

1 3 5

x x x

π-π

2π

-π

2ππ

Чем больше простых гармоник сложим, тем точнее результирующая гармоника будет представлять функцию f(x).

Ответ.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. нулю.

4 sin sin 3 sin 5( ) ...

1 3 5

x x xf x

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π, заданную на отрезке [-π;π] формулой

2( )f x x

0 2ππ-4π -3π -2π -π-5π 3π 4π 5π

Решение Найдем коэффициенты Фурье:

32

0

3 233

1 1

3

1 2 2

3 3 3

xa f x dx x dx

2

2

2

0

1 1cos cos

cos

12 sin

1 1 2sin sin

na f x nx dx x nx dx

u x dv nx dx

du x dx v nxn

x nx x nx dxn n

2 3

0

sin

1cos

2 1 1cos cos

2 2cos cos sin

u x dv nx dx

du dx v nxn

x nx nx dxn n n

n n nxn n

2 2

2 4cos2 cos

nn

n n

Итак:2

4cosn

na

n

1

2 2 2

3 2 2

4cos 4

4cos 2 4

2 24cos3 4

3 3

a

a

a

4 2 2

5 2 2

6 2 2

4cos 4 4

4 44cos5 4

5 54cos 6 4

6 6

a

a

a

2

2

2

1 1sin sin

sin

12 cos

1 1 2cos cos

nb f x nx dx x nx dx

u x dv nx dx

du x dx v nxn

x nx x nx dxn n

2

2

1 1 2cos cos

cos

1sin

1 1 2 1 1cos sin sin

x nx x nx dxn n

u x dv nx dx

du dx v nxn

x nx x nx nx dxn n n n

2

0

223

0

3

1 1 2 1 1cos sin sin

1 2cos cos cos

2cos cos 0

x nx x nx nx dxn n n n

n n nxn n

n nn

Тогда 0

1

cos sin2 n n

n

aa nx b nx

0

1 1

2

2 2

cos sin2

2 4 44cos cos 2 cos ...

3 2 2 3

n nn n

aa nx b nx

x x x

2

2 2

cos cos 2 cos34 ...

3 1 2 3

x x x

Ответ.

Так как функция кусочно -монотонна, непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.

22

2 2

cos cos 2 cos34 ...

3 1 2 3

x x xx