Образовательные :рассмотрение всех возможных комбинаций углов в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями), решение геометрических задач классическим и координатно-векторным методами; формирование навыков чтения чертежей, умений проводить дополнительные построения и вычисления;

Развивающие:

формирование умения выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей;

Воспитательные:

Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

1. Угол между скрещивающимися прямыми.

2. Угол между прямой и плоскостью.

3. Угол между двумя плоскостями.

5. Теорема косинусов

4. Теорема о трех перпендикулярах

классический координатно-векторный

классический координатно-векторный

классический координатно-векторный

Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра.

Сенека

6. Нормаль к плоскости

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися.

Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

aa bb

aa

bb

MM

m m

0 00 90

Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

пер

пен

ди

кул

яр

накл

онна

я

проекция НМ

А

0 00 90

Величина двугранного угла

измеряется величиной соответствующего

линейного угла.

ОО

Величиной угла между плоскостями

называется величина меньшего двугранного

угла.

0 00 90

АА

ВВ

пер

пен

ди

кул

яр

нак

лон

ная

проекция

TTП

ССаа

a AC

a AB

a AB

a ACTTП

а - ?в

с

2 2 2 2 cosa b c bc 2 2 2

cos2

b c a

bc

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Уравнение плоскости в пространстве:

0A B Cx y z D ; ;n A B C

Нормаль к плоскости

1 1 1; ;a x y z

2 2 2; ;b x y z

n a

n b

1 1 1

2 2 2

0,0,

0.0;

Ax By Czn a

Ax By Czn b

Для нахождения координат нормали:

Направляющие векторы плоскости

х

z

yAD

C

B

2 2 2; ;CD x y z��������������

1 1 1; ;AB x y z��������������

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

cos .AB CD x x y y z z

mAB CD x y z x y z

����������������������������

����������������������������

arccosm

; ;n A B C

l

; ;a x y z

; ;a x y z

- направляющий вектор прямой l ; ;n A B C

- нормаль к плоскости

2 2 2 2 2 2sin .

n a Ax By Czm

n a A B C x y z

arcsinm

ОО

2 2 2 2; ;n A B C

1 1 1 1; ;n A B C

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cos .n n A A B B C C

mn n A B C A B C

����������������������������

����������������������������

arccosm

- нормаль к плоскости 1n��������������

2n��������������

- нормаль к плоскости

1

A

B1

N

88

N1

B

A1

C

C1

2288

88

454500

88

2288

2288

2288 Дано:

Найти:

ABCA1B1C1 – прямая призма

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник

AB = 8 2 СС1 = 8

1 1,AC CB

Ответ: 600

2

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

2222

О

накл

он

на

ян

акло

нн

ая

1111

11K

прое

кция

прое

кция

Дано:

Найти:

Ответ:

ABCDA1B1C1D1 - куб

1 1,AA BC D

2

2arctg

3

DD

AA

BB

AA11

DD11

CC

CC11

33

н-я

н-я

п-рп-р

BB11

22

MM

FF

LL

KK п-яп-я

Дано:

Найти:

ABCDA1B1C1D1 – прямоуг. парал-дМ – середина B1C1

АВ = 3, ВС = 4, СС1 = 2

,BMD ABC

44

BBCC

AADD

33

44

DD

AA

BB

AA11

DD11

33

BB11

44

22

MM

FF

LL

KK

LL

22KK

55

Из Δ MKL:6 5

2 : .5 3

MKtg

KL

5

3arctg

Ответ:5

3arctg

∆BDC ~ ∆BKL ( по двум углам)

;DC BD

KL BK

3 5;2KL

6.5

KL

1 Точка Е – середина ребра ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1. Найти угол между прямыми АЕ и СА1.

2

3

Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5, ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол между прямой А1В и плоскостью ВСС1.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

BB

AADD

CC

CC11

AA11

DD11

BB11

ЕЕ

FF1 Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.

Найти: 1,AE CA

Решение:

11

2

Из ∆ ACA1 найдем СА1: 1 3.CA

Проведем через А1 прямую А1F ll AE.

12

1 1, .AE CA CAF Из ∆ A1B1F (∟B1 = 900) найдем А1F:

2 21 1 1 1

5

2AF AB B F

Из ∆ CBF (∟B = 900) найдем CF: 2 2 13

2CF CB BF

Из ∆ CA1F найдем cos :2 2 21 1

1 1

15cos .

2 15

CA AF CF

CA AF

15arccos .

15 Ответ:

15arccos .

15

BB

AADD

CC

CC11

AA11

DD11

BB11

ЕЕ

11

xx

zz

yy

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.

Найти: 1,AE CA

Решение:Введем систему координат.

Определим координаты точек А, Е, С, А1

(0;0;0)

(1;1;0)

(1;0;1/2)(1;1;1)

Направляющие векторы прямых:

1

11;1;1 , 0; 1;

2CA AE

����������������������������

1 1, ;AE CA AE CA ����������������������������

1

221 2 2 2 2

1 10 1 1 1 1152 2cos .1551 30 1 1 1 1 22

AE CA

AE CA

����������������������������

����������������������������

15arccos .

15 Ответ:

15arccos .

15

1

2

МС1

А

ВС

А1

В1

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма, ∆АВС – равнобедренный АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.

Найти: 1 1,A B BCC

Решение:

Из ∆A1В1С1 :

ВМ – проекция А1В на ( ВСС1 )

А1М ┴ ( ВСС1 )

1 1 1, .A B BCC ABM

Т.к. В1М = 4, ВВ1 = 3, то ВМ = 5

5

2 21 1 1 1 3.AM AB BM

3

Из ∆А1ВМ: 1 30,6.

5

AMtg

MB

0,6.arctg

Ответ: 0,6.arctg

2

С1

А

ВС

А1

В1

z

у

х

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма, ∆АВС – равнобедренный, АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.

Найти: 1 1,A B BCC

Решение:Введем систему координат.

Определим координаты точек А1 , B, С, C1

3

(0;3;3)

(4;0;0)(- 4;0;0)

(- 4;0;3)

Направляющий вектор А1В: 1 4; 3; 3 .A B ��������������

Направляющие векторы (ВСС1):

8;0;0 ,BC ��������������

1 8;0;3 .BC ��������������

Найдем координаты нормали

1

0,

0;

n BC

n BC

������������� �

������������� � 8 0,

8 3 0;

A

A C

0,

1,

0.

A

B

C

0;1;0n

2 2 2 2 2 2

0 4 1 ( 3) 0 ( 3) 3sin .

340 1 0 4 ( 3) ( 3)

n a

n a

3arcsin .

34 Ответ:

3arcsin .

34

3

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

Е

F

KH

1

5

Дано: ABCDA1B1C1D1 – призма, BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3

Найти: 1,ABC BED

Решение:

1 .D E AD K 1( ) ( ) .ABC BED KBПроведем ЕН ┴ КВ, тогда АН ┴ КВ (АН – проекция ЕН) 1, .ABC BED AHE

11

22; 3.

5

AAAE EA AA AE

1 1 .AD E AKE Найдем АК: 1 11

2.3

AEAK AD

EA

Из ∆ АКВ (∟А=900) найдем ВК: 2 2 13.

3BK AB AK

Найдем высоту АН:

21 3 23 .13 13

AK ABAH

BK

Из ∆ АНЕ : 13;AE

tgAH

13.arctg

Ответ: 13.arctg

3

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

Е

F

1

5

z

x

y

Дано: ABCDA1B1C1D1 – призма, BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3

Найти: 1,ABC BED

Решение:Введем систему координат.Определим координаты точек

A, B, С, E, D1

(0;0;0)

(0;1;2)

(1;1;5)

(1;0;0)

(0;1;0)

Направляющие векторы плоскостей:

0;1;0 , 1;0;0 .BA BC����������������������������

10;1;2 , 1;1;5 .BE BD����������������������������

Найдем координаты нормалей:

1

1

0,

0;

n BA

n BC

����������������������������

����������������������������1

1

1

0,

0,

1.

A

B

C

2

2 1

0,

0;

n BE

n BD

����������������������������

���������������������������� 2 2

2 2 2

2 0,

5 0;

B C

A B C

2 2

2 2

2 ,

3 ;

B C

A C

2

2

2

3,

2,

1.

A

B

C

1) 2)

Таким образом 1 0;0;1 ,n��������������

2 3;2; 1 .n ��������������

1 2

2 2 2 2 2 21 2

0 3 0 2 1 ( 1) 1cos .

140 0 1 3 2 ( 1)

n n

n n

����������������������������

����������������������������

1arccos .

14 Ответ:

1arccos .

14

Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями.

А.Д. Александров

1111

11

А В

С

DЕ

F

А1 В1

С1

D1Е1

F1

О

О11 2

11

1111

11

С1

А В

С

А1 В1

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

44

66

66

3

кл к - в кл

кл

к - в

к - в

1

1111

11

11

А В

С

DЕ

F

А1В1

С1

D1Е1

F1

О

О1

2

2

Дано: ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Найти: 1 1,AB BC

Решение:

Построим ( AA1D ) || ( BB1C ), AO1 || BC1

1 1 1 1,AB BC B AO

Из ∆ АВВ1:2 2

1 1 2AB AB BB

Из ∆ АА1О1:2 2

1 1 1 1 2AO AA AO

Из ∆ АА1О1:

2 2 2 2 21 1 1 1

1 1

( 2) ( 2) 1 3cos 0,75.

2 42 2 2

AO AB O B

AO AB

arccos0,75. Ответ: arccos0,75.

1

1111

11

А В

С

DЕ

F

А1В1

С1

D1Е1

F1

О

О1

Дано: ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Найти: 1 1,AB BC

Решение:Введем систему координат.

z

x

y

Определим координаты точек А, B, B1 , C1

(0;0;0) (1;0;0)

(1;0;1)

3(1,5; ;1)

2

Направляющие векторы прямых:

1 1

1 31;0;1 , ; ;1

2 2AB BC

����������������������������

1 1 1 1, ;AB BC AB BC ����������������������������

1 1

221 1

2 2 2 2

1 3 31 0 1 12 2 32cos 0,75.

42 21 31 0 1 1

2 2

AB BC

AB BC

����������������������������

����������������������������

arccos0,75. Ответ: arccos0,75.

2

11

1111

11

М

С1

А В

С

А1В1

25

2

Дано: ABCA1B1C1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Найти: 1 1,AB AAC

Решение:

В ∆ А1В1С1 проведем В1М ┴ А1С1

АМ – проекция АВ1

1 1 1, .AB AAC MAB

Из ∆ АВВ1:2 2

1 1 2AB AB BB

Из ∆ АА1М:2 21 1

5

2AM AA AM

Из ∆ АМВ1 :

1

5 10cos : 2 .

2 4

AM

AB 10

arccos .4

Ответ:10

arccos .4

2

11

1111

11

С1

А

В

С

А1В1

Дано: ABCA1B1C1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Найти: 1 1,AB AAC

Решение:

z

x

y

Введем систему координат.Определим координаты точек

А, B1 , A1 , C

(0;1/2;0)

3;0;1

2

(0;1/2;1)

(0;-1/2;0)Направляющий вектор АВ1: 1

3 1; ;1

2 2AB

��������������

Направляющие векторы (AA1C):

10;1;0 , 0;1;1CA CA����������������������������

Найдем координаты нормали

1

0,

0;

n CA

n CA

������������� �

������������� �0,

0;

B

B C

1,

0,

0.

A

B

C

1;0;0n

2 22 2 2 2

3 11 0 0 12 2 3 6

sin : 2 .2 4

3 11 0 0 1

2 2

n a

n a

6

arcsin4

Ответ:6

arcsin4

3

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

4444

66

66

66

66

О23

Дано:

Найти: 1 1 1 1,ACD ABC

Решение:

ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА1 = 4.

( АВС ) || ( А1В1С1 )

( АВС ) ∩ ( А1В1С1 ) = АС

D1O ┴ AC

DO ┴ AC

1 1 1 1 1,ACD ABC DOD

Из ∆ ABD : 2 2 2 36 6 2;BD AD AB 1

3 22

DO BD

Из ∆ DOD1 :1 4 2 2

.33 2

DDtg

DO

2 2.

3arctg

Ответ:2 2

.3

arctg

3

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

4444

66

66

О

Дано:

Найти: 1 1 1 1,ACD ABC

Решение:

ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА1 = 4.

Введем систему координат.

z

x

y

Определим координаты точек: А, D, C, D1

(0;0;0)(6;0;0)

(0;6;0)

(0;0;4)

Направляющие векторы (ADC)и (AD1 C):

0;6;0 , 6;0;0 .DA DC����������������������������

1 10;6; 4 , 6;0; 4 .D A DC ����������������������������

Найдем координаты нормалей :

1

1

0,

0;

n DA

n DC

����������������������������

����������������������������1) 1

1

6 0,

6 0;

B

A

1

1

1

0,

0,

1.

A

B

C

2)2 1

2 1

0,

0;

n D A

n DC

����������������������������

���������������������������� 2 2

2 2

6 4 0,

6 4 0;

B C

A C

2 2

2 2

2,

32

;3

A C

B C

2

2

2

2,

2,

3.

A

B

C

1 20;0;1 , 2;2;3 .n n����������������������������

Таким образом

1 2

2 2 2 2 2 21 2

0 2 0 2 1 3 3cos .

170 0 1 2 2 3

n n

n n

����������������������������

����������������������������3

arccos .17

Ответ:3

arccos .17

1. Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12 .Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани

1 1 1.ABCABC39,

1BM 1 1ABB A

В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани

SABC 8 3AB 17.SC

.SBC

2.

В

А

С

С1 В1

А1 39

12121212

М

α

К

Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12 .Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани

1 1 1.ABCABC39,

1BM 1 1ABB A

Наклонная

Проекция

1. Искомый угол найдем из 1MB K

1

sinMK

MB

2. МК найдем из MBK3

sin 6 sin 60 6 3 3.2

MK MB B

3. МВ1 найдем из 1MB B

КМ

В

6 600

?

ВМ

В1

? 600

6

39

2 2 2 21 1 6 ( 39) 75 5 3.MB MB BB

4. Таким образом:

1

3 3 3sin .

55 3

MK

MB 3

arcsin .5

Ответ:3

arcsin .5

В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани

SABC 8 3AB 17.SC

.SBC

А

С

В

S

N

М

H K

17

8 3

Пусть SN – медиана SBCH, K – проекции точек S и M на основание АBC

1. Искомый угол найдем из MAK

.MK

tgAK

2. Из

ABN3

sin 60 8 3 12.2

AN AB

28;

3AH AN 2 2 2 217 8 15.SH SA AH

3. По свойству медианы и из подобия NMK NSH

1 1 1 8 325; (1 ) 12 .

3 3 3 9 3MK SH AK AN KN AN

4. Таким образом:32 15

5 : .3 32

MKtg

AK

15.

32arctg

Ответ:15.

32arctg

найдем AN:

найдем МК, а затем АК:

затем высоту SH:

1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми классическим или координатно-векторным методом ?

Ответьте на вопросы

2) Как определить угол между прямой и плоскостью классическим или координатно-векторным методом ?

3) Как определить угол между двумя плоскостями классическим или координатно-векторным методом ?

Дополнительная задача:

На шаровой поверхности лежат все вершины треугольника АВС. Точка О – центр шара. Найти угол между прямой АО и плоскостью треугольника, если АВ = АС = 10, ВС = 12, АО = 12,5.

§ 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО)

№ 6, 7,11

Притча

Что ты делал целый день?

Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.

Второй ответил, что добросовестно выполнял свою работу.Третий ответил, что принимал участие в строительстве храма.