算法设计与分析

第六章 分枝限界法

杨圣洪13007432216(M) ， 346260267(Q)

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第六章 分支限界法 学习要点

理解分支限界法的剪枝搜索策略。 掌握分支限界法的算法框架

1.队列式 (FIFO) 分支限界法2.优先队列式分支限界法

通过应用范例学习分支限界法的设计策略。1.单源最短路径问题 ;2.装载问题；3.布线问题 ;4. 0-1 背包问题；5.最大团问题；6.旅行售货员问题 ;7.电路板排列问题 ;8.批处理作业调度问题

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引言分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题

的解空间树 T 中搜索问题解的算法。分支限界法与回溯法的求解目标不同：

回溯法是找出满足约束条件的所有解 分支限界法是找出满足条件的一个解， 或某种意义下的最优解

搜索方式不同 回溯法：深度优先 分支限界法：广度优先或最小耗费优先

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6.1 分支限界法的基本思想一、基本思想二、常见的两种分支限界法三、 0-1 背包问题四、旅行售货员问题

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一、基本思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最

大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机

会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。直到找到所需的解或活结点表为空时为止。先进先出

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二、常见的两种两种分支限界法从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式

导致不同的分支限界法： 队列式 (FIFO) 分支限界法：按照队列先进先出原

则选取下一个节点为扩展节点。 优先队列优先队列分支限界法：按照优先级选取优先级优先级最

高的节点节点成为当前扩展节点。• 最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先• 最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先

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三、 0-1 背包问题 考虑如下 0-1 背包问题的实例：

n=3, c=30, w=[16,15,15], p=[45,25,25] 队列式分支限界法：

[A] B, C => B, C[B, C] D, E => E[C, E] F, G => F, G[E, F, G] J, K => K(45) [1,0,0][F, G] L, M =>L(50) [0, 1, 1] M(25)[G] N, 0 =>N(25), O(0)不搜索一不可行结点为根的子树

优先队列式分支限界法：[A] B, C => B(45), C(0)[B, C] D, E => E(45)[E, C] J, K => K(45) [1, 0, 0][C] F, G => F(25), G(0)[F, G] L, M => L(50), [0, 1, 1] M(25)[G] N, O => N(25), O(0)

可用剪枝函数加速搜索

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

1 0

88

四、旅行售货员问题 队列式分支限界法：

[A] B, C, D[B, C, D] E, F[C, D, E, F] G, H[D, E, F, G, H] I, J[E, F, G, H, I, J] K(59) [1,2,3,4][F, G, H, I, J] L(66)[G, H, I, J] M(25) [1, 3, 2, 4][H, I, J] 1-3-4(26)[I, J] O(25)[J] P(59)

优先队列式分支限界法：[A] B, C, D => B(30), C(6), D(4)[D, C, B] I, J => I(14), J(24)[C, I, J, B] G, H => G(11), H(26)[G, I, J, B, H] M => M(25) [1, 3, 2, 4][I, J, B, H] O => O(25)[J, B, H] P => P(59)[B, H] B, H 限界掉

12

3 4

6430

20

5 10

A

B C D

E F G H I J

K L M N O P

99

复习 第一章：算法复杂性分析 第二章：递归、分治法的概念，不考最近点对与循

环赛日程表 第三章：动态规划的概念、与分治法异同、不考动

态规划加速原理、不考凸多边形三角剖分、不考图像压缩。

第四章：概念、不考贪心算法的理论基础、 Huffman 是杨老师讲的为准。

第五章：概念、二种模式、 01 背包、装载、皇后、TSP 问题

第六章：概念、二种模式、 01 背包、 TSP 问题、 8 个大题：问答、证明、计算 ( 按要求描述计算过

程 )

1010

平时成绩第一：作业分数第二：小班讨论分数 第三：上机实验分数 ( 杨老师届时公布在课程中心 )第四：考勤分数