解等差数列问题解等差数列问题的思想与方法的思想与方法

忻州师院附中 梁培勤

一、知识要点一、知识要点1. 定义

如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与前一项的 ____ 等于______________ ，那么这个数列就叫做等差数列。

an-an-1=d （ d 为常数）（ n≥2）

2. 通项公式an=a1+(n-1)d

推广公式： an=am+ （ n-m ） ·d

[ 函数思想 ] 通项公式整理后是关于 n 的一次函数

如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a与 b 的等差中项。即： 或

2

baA

baA 2

3. 等差中项

同一个常数2 差

(d≠0)

变式d=

aman

n-m-

一、知识要点一、知识要点4.4. 性质性质

qpmn aaaa na qpmn ①对于等差数列 ，若 则：

8273 aaaa 比如：②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

成等差数列 . ③kkkkk SSSSS 232 ,,

5.5. 等差数列的前等差数列的前 nn 项和公式项和公式

2

)( 1 nn

aanS

d

nnnaSn 2

)1(1

1 、 2 、

1 4 7 10, , , ,a a a a （下标成等差数列）如：

[ 说明 ] 对于公式 2,若 d≠0 则整理后是关于 n 的没有常数项的 二次函数。

一、知识要点一、知识要点

6. a6. ann与与 SSnn 的关系的关系

)1(

)2(

n

n

1

1

S

SSa nn

n

例题 1 ：在三位正整数的集合中有多少个数是 5的倍数？并求它们的和。解：在三位正整数的集合里，为 5 倍数的依此是

100 995、 105 、110 、115 … …

即组成一个以 100 为首项， 5 为公差的等差数列

设共有 n 项，

a1 an

则 a1 =100 ， an =995 ， 又 d = 5

由 dnaan )1(1 可以解得 n=180

985502

)995100(180180

S由求和公式得(2)

“知三求一”

例 2.{an}是等差数列,且 a1-a4-a8-a12+a15=2, 求 a3+a13的值. 法一：用基本量 a1、d来分析 由已知得 a1-(a1+3d)-(a1+7d)-(a1+11d)+a1+14d=2 ∴ a1+7d=-2 ∴ a3+ a13= a1+2d + a1+12d= 2(a1+7d)=-4

法二：巧用性质∵ 151124 aaaa ∴ 28 a

∴ 488133 aaaa

“土办法”

“巧办法”

例 3.已知等差数列{an}满足 5a3=13a7,且 a1>0, Sn是{an}的前 n项和，Sn取得最大值，则 n=___. 9

分析: “5a3=13a7” 给你什么感觉!

没什么感觉 ,

那就要回到最基本的地方去 , 用首项和公差来分析

有用吗 ?

由 5a3=13a7得 5(a1+2d)=13(a1+6d)∴ 8 a1+68d=0 ∴ a1=－17/2 d

尝试 !

“函数思想”或 “单调性应用”

例 4.数列 na 的前 n项和为2 *1

2 ( )2nS n n n N ，

数列 nb 满足*1

( )nn

n

ab n N

a

。

Ⅰ（ ）判断数列 na 是否为等差数列，并证明你的结论。

Ⅱ（ ）求数列 nb 中值最大的项和值最小的项的值。

（Ⅰ） 解：

通性通法一通性通法一：：解数列问题的转化意识解数列问题的转化意识

思路： Sn → an → an-an-1= 常数 ?

)1(

)2(

n

n

1

1

S

SSa nn

n因为

*5( )

2na n n N 合并成

2

32

5n

an

)1( n

)2( n解得

例 4.数列 na 的前 n项和为2 *1

2 ( )2nS n n n N ，

数列 nb 满足*1

( )nn

n

ab n N

a

。

Ⅰ（ ）判断数列 na 是否为等差数列，并证明你的结论。

Ⅱ（ ）求数列 nb 中值最大的项和值最小的项的值。

（Ⅱ） ,2

5nan

.

2

51

11

1

na

bn

n 解：

函数25

11)(

xxf

，

通性通法二：通性通法二：解数列问题的函数解数列问题的函数意识意识

在区间（0， 2

5）及（ 2

5， ）上分别为减函数，

54321 bbbbb ； nb 中，值最大的项是 33 b ；值最小的项是 12 b 。

(1) B (2)A (3)B

速度训练: 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若a3+a17=10，则S19的值( ) (A)是 55 (B) 是 95 (C) 是 100 (D)不能确定

2.设 Sn 是等差数列na

的前 n 项和，若

59355,9aSaS则

（ ）

(A)1 (B)－1 (C)2 (D)

12

3. 已知数列na

的通项公式112,nan 12,nnSaaa

则10S

=（ ）

（A）100 （B）50 （C）25 D）12

}{ na9

5

3

5 a

a , 则 5

9

S

S

2

1

}{ na ,211 nan |||||| 21 nn aaaS

10S（D）125

练 1 ： 已知数列 {an} 的前 n 项和 求

an

32 ns n

练 2 ：已知数列 { an } 是等差数列 ,bn= 3an + 4 ，证明数列 { bn } 是等差数列。

练 1 ： 已知数列 {an} 的前 n 项和 求

an

32 ns n

解：当 时2n 123)1()3( 22

1 nnnssa nnn

当 时1n 而 41s11a

所以：

)2(12

)1(4

nn

na n

所以上面的通式不适合 时1n

练 2 ：已知数列 { an } 是等差数列 ,bn= 3an + 4 ，证明数列 { bn } 是等差数列。

又因为又因为 bbnn= 3= 3aann + + 4 , 4 , bbnn++11= 3= 3aann+1+1 + 4 + 4

证明： 因为数列 证明： 因为数列 {{aann} } 是等差数列数列 是等差数列数列

设数列设数列 {{aann} } 的公差为的公差为 dd（（ dd 为常数）即为常数）即 aann+1+1 - -

aann=d=d

所以所以 bbnn+1+1 – – bbnn = = （（ 33aann+1+1 + 4 + 4）） --（（ 33aann ++ 44 ）） = 3= 3（（ aann+1+1- - aann）） =3d=3d所以数列 所以数列 { { bbnn } } 是等差数列是等差数列