Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую.

a

Н

А

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

Повторение

Н

А

В

С

M

Из точки В к плоскости проведена наклонная, равная 12 см. Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость равен 300. Найти расстояние от точки В до плоскости.

12 см

300

?

6

В

С

MА

Из точки В к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 300. Угол между наклонными равен 600. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки В до плоскости равно .

300

300

6262

6

?

6

В

С

MА

Из точки В к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 300. Угол между наклонными равен 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки В до плоскости равно .

300300

6262

6

?

М

П-я

Через вершину А треугольника АВС проведена прямая АМ, перпендикулярная к его плоскости. Угол С равен 300.

Найдите расстояния: 1) от точки А до прямой ВС;2) от точки М до прямой ВС, если АС = 12 см, а АМ =

А

В

С

П-Р

Н-я

TTП СВ АF

П-я СВ MF

Н-я

АF и МF – искомые расстояния

.32 см

F 300

Планиметрия Стереометрия

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

Двугранный уголА

В

С

А

В

С

Двугранным углом называется фигура, образованная

прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей

a, не принадлежащими одной плоскости.

Две полуплоскости – грани двугранного угла

Прямая a – ребро двугранного угла

a

O

Угол РDEK

Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла

А

В

NР

M

К

D

E

Угол SFX – линейный угол двугранного угла

S

XF

Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.

D

E

Р К

O

DEРОКуглалинейногоПлоскость )(

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Алгоритм построения линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

А В

O

А1 В1

O1

Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены

Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены

Углы АОВ и А1О1В1 равны, как углы с сонаправленными сторонами

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – равнобедренный.

А

С

В

N

П-р Н-яП-я

TTП АС ВМ

H-я АС NМ

П-я

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К M

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – прямоугольный.

А

В

N

П-рН-я

П-я

TTП АС ВС

H-я АС NС

П-я

Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К

С

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – тупоугольный.

А

В

N

П-р

Н-яП-я

TTП АС ВS

H-я АС NS

П-я

Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К

СS

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – прямоугольник.

А

В

N

П-рН-я

П-я

TTП DС BС

H-я DС NС

П-я

Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

D

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – параллелограмм, угол С острый.

А

В

П-р

П-я

TTП DС ВM

H-я DС NM

П-я

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

D

N

Н-я

M

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – параллелограмм, угол С тупой.

А

В

П-р

П-я

TTП DС ВM

H-я DС NM

П-я

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

DН

-я

M

N

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – трапеция, угол С острый.

А

В

П-р

П-я

TTП DС ВM

H-я DС NM

П-я

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

К

С

DН

-я

M

N

Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.

№ 166.

M

N

А

СВ

П-рН-я

П-я

TTП МN АB

H-я MN ВС

П-я

Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

С

А В

D

M

В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD.

№ 167.

Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

№ 168.

В

d

NА

?

Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 1800.

№ 169.

FВ

А

О