Степенные ряды

Лекции12, 13, 14

Функциональные ряды

Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается

.

Если при ряд сходится, то

называется точкой сходимости функционального ряда.

Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

...)(...)()( 21 xuxuxu n

0xx 0x

Пример функционального ряда

Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х:

.

Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая

очевидно является функцией от х.

......1 32 nxxxx

1x

xS

1

1

Степенные ряды

Определение. Ряд

называется степенным по степеням х . Ряд

является степенным по степеням .

0

2210 ......

n

nn

nn xaxaxaaxa

00

2020100 ......

n

nn

nn xxaxxaxxaaxxa

0xx

Интервал сходимости степенного ряда

Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при

ряд сходится, а при расходится.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

0RRx Rx

RR,R

0R

Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если

,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

1limlim1

11

nn

n

n

nn

n

n xa

xa

u

u

Продолжение

В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда:

. За пределами этого интервала ряд будет

расходиться, а на концах интервала, где , требуется

дополнительное исследование.

1

lim

n

n

n a

aR

1lim

1

1

n

n

n

n

n xa

xa

Примеры

Найти интервал сходимости ряда .

Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

0 12n

n

n

x

32

12lim

32

12lim

1

n

nx

xn

nx

nn

n

n

12

2lim

x

n

nxn

Примеры

Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится

(сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся

ряд , который сходится условно в силу теоремы

Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в

промежутке [-1,1).

1x

0 12

1

n n

0 12

1

n

n

n

Примеры

Найти интервал сходимости степенного

ряда . Здесь ,

= .Тогда

= =

1 !n

n

n

xn

x

n

xu

nn

n

...321!

!1

1

1

n

xu

n

n 1...321

1

nn

xn=

n

n

n u

u 1lim

n

n

n xnn

nx

1...321

...321lim

1

1lim

n

x

n

Продолжение

= .

Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .

001

1lim

x

nxn

,

Пример

Найти интервал сходимости ряда .

= =

= = .

Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

1!

n

nxn

n

n

n xn

xn

!

!1lim

1

n

xnn

n

...321

1...321lim

xnn

1lim

1lim nx

n

Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного ряда

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда.

Например,

непрерывна , если .

......)( 2210 n

n xaxaxaaxS

......11

1)( 32

nxxxx

xxS

1x

Почленное дифференцирование

2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если

, то

......)( 2210 n

n xaxaxaaxS

......32)( 12321 n

n xnaxaxaaxS

Почленное интегрирование

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом

где .

......)( 10

dxxaxdxadxadxxS nn

),(),( RR

Разложение функций в степенные ряды

Определения

Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд .

Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются

по формулам , т.е. ряд

или .

af x

nn

n

( )( )

!0

f x

nx x

n

n

n( )( )

!( )0

00

f

nx

nn

n

( )( )

!

0

0

Степенной ряд как ряд Тейлора

Теорема. Если в некоторой окрестности точки

, то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в

виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора.

Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

x0

f x a a x x a x xnn( ) ( ) ... ( ) .. 0 1 0 0

Формула Тейлора

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора:

Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции .

Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

)(xf

)()()( xSxfxR nn

nn

n xxn

xfxx

xfxfxS )(

!

)(...)(

!1

)()()( 0

0)(

00

0

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:

Тогда

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

),( ,)()!1(

)()( 0

10

)1(

xxcгдеxxn

cfxR n

n

n

10

)1(

00

)(

00

0 )()!1(

)()(

!

)(...)(

!1

)()()(

nn

nn

xxn

cfxx

n

xfxx

xfxfxf

Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех n ),( приRRx

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех

выполняется условие при п=0,1,2,…, то

функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

),( RRx Mxf n )()(

Разложение

Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена:

Этот ряд, очевидно, сходится на всей

числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

xexf )(

...!

...!21

12

n

xxx n

Rcn eecf )()1(

.xe

Разложение в ряд синуса.

Вычислим производные синуса:

).2

sin()(

.......................................................

)2

3sin()2

2cos()(

)2

2sin()2

cos()(

)2

sin(cos)(

)(

nxxf

xxxf

xxxf

xxxf

n

........................

)1()0(

..................

0)0(

1)0(

0)0(

,1)0(

,0)0(

1)12(

)4(

nnf

f

f

f

f

f

Продолжение

Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса:

при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

sin! !

... ( )( )!

.. ( )( )!

,x xx x x

n

x

nn

nn

n

n

3 5 2 1 2 1

03 51

2 11

2 1

Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

При решении задач удобно пользоваться разложениями:

1.

2.

3.

e xx x

n

x

nxx

n n

n

12

2

0!...

!..

!, ( , )

sin! !

... ( )( )!

.. ( )( )!

,x xx x x

n

x

nn

nn

n

n

3 5 2 1 2 1

03 51

2 11

2 1

cos! !

... ( )( )!

.. ( )( )!

xx x x

n

x

nn

nn

n

n

12 4

12

12

2 4 2 2

0

Продолжение

Геометрическую прогрессию мы получили выше:

4.

Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд:

5.

1

11 1 1 12

0

xx x x x xn n n n

n

... ( ) .. ( ) ,/ /

ln( ) ... ( ) .. ( ) ,12 3

1 12 3

1 1

1

x xx x x

n

x

nn

nn

n

n

Биномиальный ряд

6.

7.

Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

0

121253

,12

)1(...12

)1(...53

n

nn

nn

n

x

n

xxxxarctgx

( )( )

!...

( )( )...( )

!...

( )...( )

!

1 11

21 2 1

11 1

2

1

x mxm m

x

m m m m n

nx

m m m n

nx

m

n

n

n

Пример

Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию

Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом.

, где

f x x( ) 273

27 27 127

3 127

3 127

3 3 3

1

3 xx x x

( ) ( )

3 127

3 11

3 27

1

3

1

31

2 27

1

3 2( ) ( )( )

!( ) ...

x x x

1

3

1

31

1

32

1

31

27

( )( )...( )

!( ) ...

n

n

x n1

27

x

Применение степенных рядов

Приближенное вычисление интегралов

Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения.

Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

e dxx2

0

1

Решение

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

e xx x xx

2

12 3 4

22 2 2 3 2 4( )

!

( )

!

( )

!...

e dx xx x x

dxx 2

0

12

4 6 8

0

1

12 3 4

(! ! !

... )

dx x dxxdx

xdx

xdx2

0

1 4 6

0

1 8

0

1

0

1

0

1

2 3 4! ! !...

xx x x x

01

3

01

5

01

7

01

9

01

3 2 5 6 7 24 9..

Продолжение

Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.

Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

xx x x x

01

3

01

5

01

7

01

9

01

3 2 5 6 7 24 9..

11

3

1

10

1

42

1

216..

Продолжение

Вычислив еще несколько членов ряда

видим, что

Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:

1

1320

1

9360

1

75600, ,

1

756000 0001 ,

e dxx 2

0

1

11

3

1

10

1

42

1

216

1

1320

1

93600 7468,

Приближенное вычисление значений функций

Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем

Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

3 10

3

1

3333 )25.01(225,0128

212

8

10810

.3

1m

Продолжение

Получим

.153,21528,2

)0069,00833,01(2)0009,00069,00833,01(2

)25,0!3

)23

1)(1

3

1(

3

1

25,0!2

)13

1(

3

1

25,03

11(210 323