姓名：范金泉

单位：宿迁市马陵中学

高中数学 必修高中数学 必修１１高中数学 必修高中数学 必修１１

情境问题：

在第 3.2.1 节中，我们利用对数求出了方程 0.84x ＝ 0.5 的近似解；

利用函数的图象能求出方程 0.84x ＝ 0.5 的近似解吗？

情境问题：　　如图 1 ，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交于( － 2 ， 0) 点，试根据图象填空 ：　　 (1)k 　 0 ， b 　 0 ；　　 (2) 方程 kx ＋ b ＝ 0 的解是　；　　 (3) 不等式 kx ＋ b ＜ 0 的解集　　　 　．

x

y

O－ 2

　　方程 f (x) ＝ 0 的解、不等式 f (x) ＜ 0 、 f (x) ＞ 0 的解集与函数 y ＝ f (x) 的图象密切相关：　　方程 f (x) ＝ 0 的解是函数 y ＝ f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标，如何定义这一数值呢？

　　已知二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图象 x 轴交于点 ( － 3 ， 0)和 (1 ， 0) ，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空：(1) 方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的解是　　；(2) 不等式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为　 　 　　； 不等式 ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为　 　 　　．

图 1

－ 2x

y

O－ 4 2

3

1

数学建构：

函数零点的定义：

一元一次方程 kx ＋ b ＝ 0(k≠0) 的根称为一次函数 y ＝ kx ＋ b 的零点．

一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的根称为二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx＋ c(a≠0)

的零点．

　　一般地，对于函数 y ＝ f (x)(xD) ，我们把使 f (x) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y ＝ f (x)(xD) 的零点．

数学应用：

例 1 　函数 y ＝ f (x)(x[ － 5 ， 3]) 的图象如图所示 ，根据图象，写出函数 f (x) 的零点及不等式 f (x) ＞ 0 与 f (x) ＜ 0 的解集．

y

xO

－ 5 － 3

－ 1

1

3

函数 f (x) 的零点x1＝－ 2

x2 ＝ 0

x3 ＝ 2

不等式 f (x) ＞ 0 的解集为

{x| － 2 ＜ x ＜ 0 或 2 ＜ x≤3}

不等式 f (x) ＜ 0 的解集为

{x| － 5≤x ＜－ 2 或 0 ＜ x ＜ 2}

数学探究：

　　二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ＞ 0) 的零点、图象与一元二次方程 ax2

＋ bx ＋ c ＝ 0 的实数根的关系．

△ ＝ b2 － 4ac △＞ 0 △ ＝ 0 △ ＜ 0

ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根

y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图象

y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的零点

见课本 92 页表 3-4-1

数学应用：

例 2 　求证：二次函数 y ＝ 2x2 ＋ 3x － 7 有两个不同的零点．

变式练习 1 ．下列区域： (1)( － 3 ，－ 2) ， (2)( － 2 ，－ 1) ， (3)( －1 ， 0) ，

(4)(0 ， 1) ， (5)(1 ， 2) ， (6)(2 ， 3) ，函数 y ＝ 2x2 ＋ 3x － 7 的两个零点分别

在其中的区间　　 　　上．

(1) (5)

数学建构：

函数零点存在条件 ：

　　若函数 y ＝ f (x) 在区间 [a ， b] 上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b) ＜ 0 ，则函数 y ＝ f (x) 在区间 (a ， b) 上有零点．

　　思考：若 x0 是二次函数 y ＝ f (x) 的零点，且 a ＜ x0 ＜ b ，那么 f (a)·f (b) ＜ 0一定成立吗？

数学应用：

例 3 ．判断函数 f(x) ＝ x2 － 2x － 1 在区间 (2 ， 3) 上是否存在零点？

变式练习 2 ．(1) 函数 f(x) ＝ 2x2 － 5x ＋ 2 的零点是 _______ ．(2) 若函数 f(x) ＝ x2 － 2ax ＋ a 没有零点，则实数 a 的取值范围是_________ ；(3) 二次函数 y ＝ 2x2 ＋ px ＋ 15 的一个零点是－ 3 ，则另一个零点是 ；

数学应用：

例 4 ．求证：函数 f(x) ＝ x3 ＋ x2 ＋ 1 在区间 ( － 2 ，－ 1) 上存在零点．

变式练习 3 ．　　已知函数 f(x) ＝ x3 － 3x ＋ 3 在 R 上有且只有一个零点，且该零点在区间 [t ， t ＋ 1] 上，则实数 t ＝ ．

数学应用：

补充例题．若关于 x 的方程 x2 ＋ (m － 2)x ＋ 2m － 1 ＝ 0 有一根在 (0 ， 1)内，试确定实数 m 的范围．

变式 1 ．已知方程 2ax2 － x － 1 ＝ 0 在 (0 ， 1) 内恰有一解，求实数 a 的取值范围．

变式 2 ．已知方程 ax2 ＋ 2x － 1 ＝ 0 在 (0 ， 1) 内恰有一解，求实数 a 的取值范围．

数学应用：

补充练习 1 ．已知函数 f (x) ＝ (x － a)(x － b) － 2(a ＜ b) 的两个零点分别是， ( ＜ ) ，则实数 a 、 b 、、的大小关系用“＜”按从小到大的顺序排列是　 　　　　．

2 ．若函数 f (x) ＝ x2 － ax ＋ a2 － 7 的零点一个大于 2 ，一个小于 2 ，则实数a 的取值范围是　　　　　． 3 ．若函数 f (x) ＝ x2 － ax ＋ a2 － 7 的零点都大于 2 ，则实数 a 的取值范围是　　　　　． 4 ．若函数 f (x) ＝ x2 － ax ＋ a2 － 7 的零点都小于 2 ，则实数 a 的取值范围是　　　　　．

小结：

二次函数与一元二次方程

函数的零点

　　二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系

函数零点存在的条件

二次函数的零点

作业：

课本 P97 －习题 2 ， 5 ．