“ ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ ПРОСТ БРОЈ ”

ВАЉЕВО, 26. 2. 2013.

ВЕЉКО ЋИРОВИЋ

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

“ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ ПРОСТ БРОЈ”


Теорема (Еуклид). Постоји бесконачно много простих бројева.

Доказ. Претпоставимо супротно, тј. да постоји коначно много простих бројева:

а да су сви остали природни бројеви сложени.

nppp ,,, 21


Тако би и број

по претпоставци био сложен.

Па би био дељив са неким од простих бројева који су побројани. Међутим, он при дељењу са сваким од ових бројева даје остатак 1. Контрадикција.

121 npppm


Основни став аритметике

Теорема. Сваки природан број n, већи од 1, може се на јединствен начин представити у облику производа простих чинилаца.


ЈЕДОСТАВНИ ПРИМЕРИ:

2 x 3 x 3 = 18 2x 3 = 18

42=2 x 3 x 748=2 x 3

2

4


Канонска факторизација броја Nn

kkpppn 21

21


Теорема. Нека је канонска факторизација природног броја а, тада су сви његови делиоци облика:

nnpppa 21

21

nnpppd 21

21

niii ,1,0 где су,

Па, је укупан број позитивних делилаца броја а једнак:

)1()1)(1( 21 n


Теорема. Ако је p прост број и важи p|ab, тада је p|a или p|b.


Теорема. За произвољан број постоји k узастопних сложених природних бројева.

Nk


Један такав низ узастопних сложених бројева је:

1)!1(1123)1()1(

3)!1(3123)1()1(

2)!1(2123)1()1(

2

1

kkkkkka

kkkka

kkkka

k


Две важне теореме у вези са простим

бројевима из модуларне аритметике


Теорема (Мала Фермаова) Ако је p прост број и p не дели цео број a, тада је

Теорема (Вилсон) Ако је p прост број, тада је

)(mod11 pa p

)(mod1)!1( pp


РАСПОДЕЛА ПРОСТИХ

БРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ

- скуп свих простих бројева

Функција која броји све просте бројеве мање од броја х.

P|},:{|)( Ppxppx



Последица Теореме (Еуклид)

- Постављано је питање да ли се, и поред оваквог понашања, ова функција може асимптотски проценити неком другом функцијом која би пружила више информација о њој.

)(lim xx


Главни резултати:(Чебишев) Постоје позитивни бројеви А и В, тако

да је за све x>2:

(Адамар, Вале-Пусен) (У литератури на енглеском Prime Number Theorem - PNT)

1ln

)(lim x

xx

x

x

Bxx

x

Ax

ln)(

ln


Уламова спирала

Stanislaw Ulam, 1963.



Прости бројеви у аритметичким низовима

(Дирихлеова теорема)

Постоје узајамно-прости природни бројеви d и a, такви да постоји бесконачно много простих бpојева облика dn + a


ПРИМЕРИ АРИТМЕТИЧКИХ НИЗОВА СА ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА


Хвала на пажњи!

Documents

“ ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ ПРОСТ БРОЈ ”