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经全国中小学教材审定委员会 2002 年审查通过. 全日制普通高级中学教科书 ( 选修 ). 数 学. 第三册 ( 选修 II). 人民教育出版社中学数学室 编著. 良乡中学数 学组 任宝泉. 少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲. 成功 = 艰苦的劳动 + 正确的方法 + 少谈空话. 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！. 天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！. 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟. 高中数学选修第二章 极限. 2.2 数列的极限. - PowerPoint PPT Presentation
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良乡中学数学组 任宝泉
经全国中小学教材审定委员会 2002 年审查通过 全日制普通高级中学教科书 ( 选修 )
人民教育出版社中学数学室 编著第三册 ( 选修 II)
数 学
[email protected] 良乡中学数学组 制作：任宝泉
高中数学选修第二章 极限
2023年4月20日 星期四
书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功 = 艰苦的劳动 + 正确的方法 + 少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
战国时代哲学家庄周著
战国时代哲学家庄周著
的《庄子
的《庄子··天下篇》引用过一句
天下篇》引用过一句
话话::
一尺之棰 日取其半
万世不竭
一尺之棰 日取其半
万世不竭..
三国时的刘徽提出的 的方法 . 他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 ··· 这样继续分割下去 , 所得多边形的周长就无限接近于圆的周长 .
““ 割圆求周割圆求周””
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 .
如果变量 如果变量 XX 按照某按照某一规律无限地接近一个常一规律无限地接近一个常数数 C,C, 则称 则称 CC 为 为 XX 的极限 的极限 .. 记作 或 记作 或
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
定 性 描 述定 性 描 述
limX=C X→ClimX=C X→C
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
定 量 分 析 定 量 分 析 11
项号 项 这一项与 0 的差的绝对值1
2
3
4
5
6
7
8…
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
128
1
256
1
5.0|02
1|
25.0|04
1|
125.0|08
1|
0625.0|016
1|
03125.0|032
1|
015625.0|064
1|
0078125.0|0128
1|
00390625.0|0256
1|
… … … … … … …
定 量 分 析 定 量 分 析 22
1
2
3
4
5
6
7
8…
项号 边数 内接多边形周长
24
12
6
3
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
2.598076211353
3.000000000000
3.105828541230
3.132628613281
48 3.139350203047
96 3.141031950891
192 3.141452472285
384 3.141557607912
… … … … …
1x
21
2
4
3
3
4
6
5
数列极限的数列极限的 ε-Nε-N 定义定义
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限 一般地，对于数列 {an} ，如果存在一个常数 A ，无论预先指定多么小的正数 ε ，都能在数列中找到一项 a N ，使得这一项后面的所有项与 A 的差的绝对值都小于 ε （ 即当 n>N 时， |an-A|< ε 恒成立），就把常数 A 叫做数列 {an} 的极限，记作 an=A ．lim
n
考察数列的极限考察数列的极限：
23 6 51 4
2 3 4 5 6, , , , , , , 1 ,n 1+ （ -1)n+1
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
1x
21
2
4
3
3
4
6
5
已知数列已知数列2
3 6 51 42 3 4 5 6, , , , , , , 1 ,n 1+ （ -
1)n+1
(1)(1) 写出这个数列的各项与写出这个数列的各项与 11 的差的绝对值的差的绝对值 ; ; (2)(2) 第几项后面的所有项与第几项后面的所有项与 11 的差的绝对值都小于的差的绝对值都小于 0.1?0.1? 都小于都小于 0.001? 0.001? 都小于都小于 0.000.0003? (3)03? (3) 第几项后面的所有项与第几项后面的所有项与 11的差的绝对值都小于任何预先指定的正数的差的绝对值都小于任何预先指定的正数 ε? ε? (4)1 (4)1 是不是这个数列的极限是不是这个数列的极限 ??解：解：（（ 11 ））这个数列的各项与 1 的差的绝对值依次是 1 ， 1 1 1
, , , , . 2 3 n
10.1 10.n
n 令 解得1 1 1
1 ( 1) 1 n
n n （（ 22 ））
10.001 1000.n
n 令 解得 1 1
0.0003 3333 .3
nn
令 解得
（（ 44））
1 .所有项与 的差的绝对值都小于
1 1 n .
n
令 解得（（ 33 ）） 1
N
设 的整数部分是 ， N则第 项后面的
(3) , 从第 题可知
1是这个数列的极限.
例 1
极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限
98-12-22 10:28
1x
22
1
3
4
4
3
5
6
数列极限的数列极限的εε -N-N定义定义
极限概念极限概念与与数列的极限数列的极限
授课教师：授课教师：刘海滨刘海滨
一般地，对于数列 {an}，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε ，都能在数列中找到一项 a N ，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε （ 即当 n>N 时， |an-A|< ε恒成立），就把常数A叫做数列 {an}的极限，记作 an=A．
nlim
考察数列的极限考察数列的极限：
2 ,,,,,,, 65
56
43
34
21 ,n
11+（-1)n+1
98-12-22 10:29
如果变量如果变量 XX按照某一按照某一规律无限地接近一个常数规律无限地接近一个常数C,C,则称则称 CC为为 XX的极限的极限 . .记作记作 或或
极限概念极限概念与与数列的极限数列的极限
授课教师：授课教师：刘海滨刘海滨
定定 性性 描描 述述
limXlimX=C X=C X→→CClimXlimX=C X=C X→→CClimXlimX=C X=C X→→CC
本节课小结本节课小结
