第三章平面向量

第三章第三章平面向量平面向量綜合練習

2第三章 / 綜合練習一﹑基礎題一﹑基礎題

解︰

的夾角分別為 0°, 72°, 144°, 144°, 108°,

故得大小關係為

1.設 ABCDE 為一正五邊形 , 試比較下列各組向量內積值的大小關係：

, , , , .AB AB AB BC AB CD AB DE AB AE uv uv uv uuv uv uuv uv uuv uv uv

, , , .AB AB AB AC AB AD AB AE uv uv uv uuv uv uuv uv uv

, , , ,AB AB BC CD DE AE與uv uv uuv uuv uuv uv

0

.

AB AB AB BC AB AE

AB CD AB DE

uv uv uv uuv uv uvuv uuv uv uuv

請看課本 p.215

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解︰

0, α, β, γ, 利用圖示法可知

1.設 ABCDE 為一正五邊形 , 試比較下列各組向量內積值的大小關係：

, , , .AB AB AB AC AB AD AB AE uv uv uv uuv uv uuv uv uv

, , ,AB AB AC AD AE與的夾角分別為uv uv uuv uuv uv

| | cos | | cos0 | | | | cosAC AB AB AD uuv uv uv uuv

1| | 0 | | cos ,

2AB AE uv uv

0 .

AB AC AB AB

AB AD AB AE

所以得uv uuv uv uv

uv uuv uv uv

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2. 如下圖所示 , 有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里的 A 處 , 直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里的 B 處航標駛去 , 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口 , 試問船在航標處的航向修正應該向左轉幾度？（整數以下四捨五入）

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解︰建立坐標系 , 令甲港口C(0, 0), A(27, 8), B(2, 3),

則　　 = ( － 25, － 5), 　　 = ( － 2, － 3),

設所求夾角為 θ, 則

故所求夾角為 45°.

ABuv

BCuuv

50 15 1cos ,

5 26 13 2| | | |

AB BC

AB BC

uv uuvuv uuv

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解︰

3.如圖 ABCD 為一平行四邊形 , E 為 BC 邊上的點 , F 為 CD 邊所在直線上一點 ,

試將的線性組合表示 .試將的線性組合表示 . 試證 A, E, F 三點共線 .

: 3 :1,BE EC 且

: 3 :1,DC CF 且 ,AE AB AD以

uv uvuuv ,AF AB AD以

uuv uvuuv

3 3.

4 4AE AB BE AB BC AB AD uv uv uv uv uuv uv uuv

4 4.

3 3AF AD DF AD DC AB AD uuv uuv uuv uuv uuv uv uuv

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解︰由知

由知

所以得故 A, E, F 三點共線 .

3.如圖 ABCD 為一平行四邊形 , E 為 BC 邊上的點 , F 為 CD 邊所在直線上一點 ,

試證 A, E, F 三點共線 .

: 3 :1,BE EC 且

: 3 :1,DC CF 且

3 1(4 3 ),

4 4AE AB AD AB AD uv uv uuv uv uuv

4 1(4 3 ),

3 3AF AB AD AB AD uuv uv uuv uv uuv

3,

4AE AFuv uuv

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解︰取 O 為直角坐標系原點 , 如右圖 ,

取　　 = (3, 0), 因為∠ AOB = 120°,

且　　 = 5, 故知 B 點的

4. 已知 ∠ AOB = 120°,

若 ∠ AOM = θ, 試求 tanθ 的

值 .

| | 3,| | 5,OA OB uv uv

1 1,

2 2OM OA OB uuv uv uv

OAuv

| |OBuv

1 55 cos120 5 ( ) ,

2 2x 坐標為

3 5 35 sin120 5 ( ) ,

2 2y 坐標為

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解︰

4. 已知 ∠ AOB = 120°,


值 .

| | 3,| | 5,OA OB uv uv

1 1,


5 5 3( , ),

2 2OB 即uv

1 1

2 2

1 1 5 5 3 1 5 3(3, 0) ( , ) ( , ),

2 2 2 2 4 4

OM OA OB

所以uuv uv uv

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解︰依廣義角的正切定義知

4. 已知 ∠ AOB = 120°,


值 .

| | 3,| | 5,OA OB uv uv

1 1,


5 34

tan 5 3.14

y

x

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解︰圖形坐標化（建立坐標系） , 如右圖：令∠ PAQ = θ,

5. 設△ ABC 為一等腰直角三角形 , ∠BAC = 90°, 若P, Q 為斜邊　　的三等分點 , 求 tan∠PAQ 的值 .（化成最簡分數）

BC

1 2 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3

AP AQ 則uv uuv


解︰

5. 設△ ABC 為一等腰直角三角形 , ∠BAC = 90°, 若P, Q 為斜邊　　的三等分點 , 求 tan∠PAQ 的值 .（化成最簡分數）

BC

2 249 9cos ,55 5| | | |

9 9

AP AQ

AP AQ

uv uuvuv uuv

3tan .

4 故

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解︰由　　 = (5, – 1), 得知參數式

取 P(6 + 5t, 2 – t), 代入直線 L,

得 2(6 + 5t) – 5(2 – t) = 7,

整理得 15t = 5, 所以

6. 過 A(6, 2), B(11, 1) 兩點的直線與直線L ： 2x － 5y = 7 交於一點 P, 試求及P 點坐標 .

:AP PB

ABuv

6 5, ,

2R

（依）

uuv uv uuvx tt OP OA t AB

y t

1,

3t

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解︰即 P 在由 A 點到 B 點的三分之一點上 ,

即得 23 5

: 1 2, ( , ).3 3

AP PB P ：

6. 過 A(6, 2), B(11, 1) 兩點的直線與直線L ： 2x － 5y = 7 交於一點 P, 試求及P 點坐標 .

:AP PB

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解︰

7.已知設 θ 為的夾角 , 試求：

cosθ. 由　　所張成的三角形面積 .

| | 1,| | 3,| 2 | 19,a b a b v v v v

a b與v v

.a bvv

a b與v v

2

2 2

| 2 | (2 ) (2 )

4 | | 4 | | ,

a b a b a b

a a b b

由v v v v v vv vv v

19 4 4 9,a b 所以vv

6 3.

4 2a b 即得vv

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解︰



| | 1| | 3,| 2 | 19,a b a b v v v v

a b與v v

.a bvv

a b與v v

312cos .

1 3 2| | | |

a b

a b

vvv v

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解︰所以故得三角形面積為



| | 1| | 3,| 2 | 19,a b a b v v v v

a b與v v

.a bvv

a b與v v

3sin ,

2

1 1 3 3 3| | | | sin 1 3 .

2 2 2 4a b v v

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解︰作圖參考 , 利用向量相等解之 , 令 A(x, y),

由 , 所以(x – 1, y – 1) = (5 – 3, 4 + 2) = (2, 6), 故得 A(3, 7), 同理由得 B(– 1, – 5), C(7, 1).

8.設△ ABC 三邊長的中點分別為 D(1, 1), E(3, 2), F(5, 4), 試求：

三頂點 A, B, C 的坐標 . △ABC 的面積 .

, , ,AB BC CA

DA EFuv uv

,DE FE EC DF 與uuv uv uuv uuv

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解︰所以　　 = (– 4, – 12), 　　 = (4, – 6),

得△ ABC 面積

8.設△ ABC 三邊長的中點分別為 D(1, 1), E(3, 2), F(5, 4), 試求：

三頂點 A, B, C 的坐標 . △ABC 的面積 .

, , ,AB BC CA

ABuv

ACuuv

1| ( 4)( 6) ( 12)(4) | 36.

2

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解︰

9. 已知　 = (6, – 2), 　 = (0, 2), 設當　　 = 10 時 , 參數 t 值為何？當　　為最小時 , 參數 t 值為何？又此最小值為何？

當　　　垂直時 , 參數 t 值為何？試說明當　　為最小時 , 恰為　　　垂直 .

av

bv

,p a tb 則v v v

| |pv

| |pv

p b與v v

| |pv

p b與v v

(6, 2 2 ),p a tb t v v v

2 2| | 6 ( 2 2 ) 10,p t 由v2 2 26 ( 2 2 ) 10 ,t 知

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解︰所以

得 2 + 2t = ±8, 即 2t = 10 或 2t = 6,

所以參數 t 值為 5 或 3.

2 2 2 2( 2 2 ) 10 6 8 ,t



av

bv

,p a tb 則v v v

| |pv

| |pv

p b與v v

| |pv

p b與v v

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解︰

故知當 t = 1 時 , 　　有最小值為 6.

2 2 2| | 6 (2 2) 6 6,p t v

| |pv



av

bv

,p a tb 則v v v

| |pv

| |pv

p b與v v

| |pv

p b與v v

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解︰當　　　垂直 , 即

所以 0 – 4 + 4t = 0, 即 t = 1.

p b與v v

(6, 2 2 ) (0, 2) 0,t



av

bv

,p a tb 則v v v

| |pv

| |pv

p b與v v

| |pv

p b與v v

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解︰如右圖 , 取 O(0, 0), A(6, – 2), B(0, 2),

則所以知　的終點 P 坐標均落在過 A 點 , 且與直線 OB （或　）平行的直線上 ,

由圖即可看出當垂直時 , 最小 .

或由的結果亦可佐證 .

9. 已知　 = (6, – 2), 　 = (0, 2), 設試說明當　　為最小時 , 恰為　　　垂直 .

av

bv

,p a tb 則v v v

| |pv

p b與v v

(6, 2) , 0, 2 ,a OA b OB v uvv uv

,p a tb OA tOB v v v uv uv

pv

bv

p b與v v

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| |pv


解︰由柯西不等式知

10. x, yR, 已知 2x + y = 5, 求 4x2 + 9y2 的最小值及有最小值時的 x, y 值 .

2 2 2 2 21[1 ( ) ][(2 ) (3 ) ] (2 ) ,

3x y x y

2 2 210(4 9 ) 5 ,

9x y 故得 2 2 45

4 9 ,2

x y 約分得

2 2 45 2 34 9 , 2 9 ,

12 13

x yx y x y 且當時即

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解︰則得 2x + y = 10y = 5, 故

所以當時 ,

為最小 .

10. x, yR, 已知 2x + y = 5, 求 4x2 + 9y2 的最小值及有最小值時的 x, y 值 .

1,

2y

9 1,

4 2x y

2 2 454 9

2x y

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解︰

11.設直線 L1 ： 5x – 12y – 2 = 0, L2 ： 4x + 3y + 11 = 0, θ 為兩直線的夾角 , 試求：

cosθ 值 .L1 與 L2 的交角角平分線方程式 .

1 2 (5, 12), 4, 3 ,n n v uv

1 2

1 2

20 36cos

25 144 16 9

16 16.

13 5 65

n n

n n

v uvv uv

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解︰ L1與 L2交角平分線的方程式為

整理得 3x + 11y + 17 = 0 或 11x – 3y + 19 = 0.

11.設直線 L1 ： 5x – 12y – 2 = 0, L2 ： 4x + 3y + 11 = 0, θ 為兩直線的夾角 , 試求：

cosθ 值 .L1 與 L2 的交角角平分線方程式 .

5 12 2 4 3 11,

13 5

x y x y

5 12 2 4 3 11,

13 5

x y x y 即

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解︰令直線轉化成 3x – 4y + k = 0 的形式 , 因為與點 A(5, – 1) 的距離為 3, 故得

所以 19 + k = ±15, 解得 k 4 或 34, 即直線方程式為 3x – 4y – 4 = 0或 3x – 4y – 34 = 0.

12. 試求斜率為且與點 A(5, 1) 的距離為 3 的直線方程式 .

3,

4y x c

2 2

3 5 4 ( 1) 193 ,

53 ( 4)

k k

3

4

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30第三章 / 綜合練習二﹑進階題二﹑進階題

解︰如圖 , 設 A(x, 0), B(0, y),

則　　 = (x – 2, – 1), 　　 = (– 2, y – 1),

由 – 2(x – 2) –(y – 1) = 0

2x + y = 5, 又△ OAB =

1. 設 O 為坐標平面上的原點 , P 點坐標為 (2, 1) ；若 A, B 分別是 x 軸及 y 軸正向上的點 , 使得試求△ OAB 面積的最大值 . （化成最簡分數）

,PA PBuv uv

PAuv

PBuv

0PA PB PA PB uv uv uv uv

1,

2xy

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解︰利用算幾不等式

1. 設 O 為坐標平面上的原點 , P 點坐標為 (2, 1) ；若 A, B 分別是 x 軸及 y 軸正向上的點 , 使得試求△ OAB 面積的最大值 . （化成最簡分數）

,PA PBuv uv

2 52 2 ,

2 2

x yxy xy

25 252 ,

4 8xy xy 所以

1 25 25, .

2 16 16xy 即故最大面積為

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解︰

由向量　　　　在向量　　上的正射影相同 ,

可得

2. 設 A(a, 1), B(2, b), C(3, 4) 為坐標平面上的三點 , 而 O 為原點 , 若向量　　　　在向量　　上的正射影相同 , 試求 a 與 b 滿足的關係式 .

OA OB與uv uv

OCuuv

, 1 , 2, , 3, 4 ,OA a OB b OC uv uv uuv

2( ) ,| |

a ba b b

b

而在上的正射影為vvv v vv

OA OB與uv uv

OCuuv

3 4 6 4(3, 4) (3, 4),

25 25

a b

則 3a + 4 = 6 + 4b 3a – 4b – 2 = 0.

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解︰先作圖輔助研判 ,

L1, L2的交角角平分線為

3. 試求由直線 L1 ： y = 2, L2 ： 3x – 4y = 4, L3 ： 4x + 3y = 2 所圍出的三角形內心坐標 . （三角形三內角角平分線的交點為內切圓圓心 , 稱為內心） .

2 2 2 2

0 2 3 4 4

0 1 3 4

x y x y

3 4 4 5( 2),x y y

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解︰即 3x – 9y + 6 = 0 或 3x + y – 14 = 0.依圖取斜率為正者： x – 3y + 2 = 0.

L1, L3的交角角平分線為

4x + 3y – 2 = ±5(y – 2),

2 4 3 2

1 5

y x y


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解︰即 4x – 2y + 8 = 0 或 4x + 8y – 12 = 0.

依圖取斜率為負者： x + 2y – 3 = 0.

求 x – 3y + 2 = 0 與 x + 2y – 3 = 0 的交點 ,

得交點 (1, 1) 即為內心 .

EndEnd


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第三章 平面向量

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