Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах в

системах с быстрыми и медленными движениями

А.А.Васильев, А.П.Итин, А.И.Нейштадт

ИКИ РАН

Адиабатический инвариант - приближенный первый интеграл уравнений движения системы с быстрыми и медленными переменными.

e B

d v

A l 3 4/ const

l

v

B

2

const d sin const

Если система имеет достаточное количество адиабатических инвариантов, то движение на длительных временах близко к регулярному.

Разрушение адиабатических инвариантов - один измеханизмов возникновения динамического хаоса.

( , , ),

( ) ( , , )

x f x

x g x

Система с вращающимися фазами:

(медл.)

(быстр.)

0 1

усреднение

( ),x F x F f

0

I(x) - первый интеграл усредненной системы => адиабатический инвариант исходной системы

x

k x k xn n1 1 0 ( ) ... ( ) - резонансная поверхность

траектория усредненнойсистемы

( ) ( ( ),..., ( ))x x xn 1

ki - целые

Гамильтонова система с быстрыми и медленными переменными:

H H p q I H p q I

p q I m m

0 1

1 2

( , , ) ( , , , )

( , ) , ( , )

R R T

pH

q

H

q

qH

p

H

p

IH

H

I

H

I

0 2 1

0 2 1

1

0 1

медленныепеременные

быстрыефазы

усреднение(адиабатическое приближение)

,

pH

qq

H

p

I I

0 0

0 const

I

p

q

резонансная поверхность

I = const

адиабатическая траектория

захват

выброс рассеяние

Двухчастотные системы:

( , ), ( , ), ( , )1 2 1 2 1 2I I I

1

2 k k1 1 2 2 0

Влияние каждого резонанса можно рассматривать отдельно.

А. Частичное усреднение с учетом резонанса.

Каноническое преобразование: ( , , , ) ( , , , )I I R J1 2 1 2

k k

l l1 1 2 2

1 1 2 2

,

,

R l I l I

J k I k I

2 1 1 2

2 1 1 2

k l k l1 2 2 1 1

Усреднение по J const

Гамильтониан:

H H R J p q H 0 1( , , , )

- резонансная фаза

Б. Разложение гамильтониана вблизи резонансной поверхности.

PR R p q

O

p p O q q O

td

d

res

( , )( ),

( ), ( ),

, ( )

R

qp

R R p qres ( , )

pq

qp

Hres

,

0

- резонансный поток

Фазовые портреты системы маятникового типа

P P

S p q( , ) const

( , )p q const

Функция входа-выхода:

«внутренний адиабатическийинвариант» = const

Результаты последовательных прохождений черезрезонансы должны, по критерию растяжения фаз, рассматриваться как статистически независимые.

~ ~ ~

1 1

E E k k r t 0 sin( )

Резонанс:

k r 0

Серфотронное ускорение (T.Katsouleas, J.M.Dawson, 1985)

Лармор

волна

B

k

x1

x2

x3

B B e A B x e

k x k x t

0 3 0 1 2

0 1 1 3 3

, ,

cos( )

H m c c A ee

c 2 4 2 2| |P

m c c c B x e k x k x te

c2 4 2 2 2

0 12 2

0 1 1 3 3P P P1 2 3( ) cos( )

P P2 0, p Ae

c

Предположения:

| |~ , ~ , , ~

,

p

mc kc

e

mc

eB

mc

c

c

1 1 1

02

0

После нормировки:

~( ) cos( )H q k q k q tc 1 2 2 2

12

1 1 3 3P P1 3

e

mc

eB

mcc cc

02

0, ,

После преобразования:

H

1 2 2 2 2 2 2

12

32

3

k I p q I

k k k k k

p

k c( cos ) sin cos

, sin /

Сопряженные переменные:

( , ) ( , )p q I 1

I

q

p

Резонансная поверхность: Резонансный поток:

p

kk p qccos ( ( / ) ) sin/1 12 1 2 2 2 2 2

kc

sin kc

sin

Гамильтониан «маятника»:

F gP b

bk

q

p q

gk k

p q

c

c

c

02

2

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2

2 2 2 2

1

2

1

1

1

cos

cos

sin

( ( / ) )

sin

/

kc

sin Резонансная кривая - эллипс

Захват в резонанс и выброс из резонанса:

kc

sin Резонансная кривая - гипербола

Условие ускорения:E

B

kc

kc kc0

0

2 2

21

( / ) sin

( / ) ( / )

Захват в резонанс (режим неограниченного серфотронного ускорения):

Рассеяние на резонансе: