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有効座席 ( 出席と認められる座席 ). 左 列. 中列. 右列. 第 2 章 空間運動 演習. 進むに は. 0. キー. Enter. 又は、マウス左クリック. 1. 戻るには. 又は. キー. 2. を押す. Back space. 3. ページに跳ぶには. をクリック. 4. 各ページからここに戻るには. 5. 各ページ右下 をクリック . 目. 終了には. キー. 各章のファイルは. 又は. スライド. Esc. マウス 右メニューで終了を選ぶ. フォルダから開いてください。. - PowerPoint PPT Presentation
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有効座席 ( 出席と認められる座席 )
左列
中列
右列
第 2 章 空間運動 演習
目 次 ページ「第 2 章 空間運動」要点
演習1 最高点、落下点
最高点
落下点
演習2 指定点落下
のための投射角
1
2
3
4
5
0
操 作 法
進むには又は、マウス左クリック
Enterキー
戻るにはBack space
又はキーを押す
ページに跳ぶには をクリック
各ページからここに戻るには
各ページ右下 をクリック
目
各章のファイルは
フォルダから開いてください。スライド
終了にはマウス右メニューで終了を選ぶ
又はキー Esc
a0t + v0y
- g
「第 2 章 空間運動」 要点
速度 vx = 座標 x =
002
02
1ytvta y
地表付近の放物運動では
加速度 ax=
初期座標 (x0, y0)
y最高点の条件
落下点の条件
a0ay=0
x0 x
y0
v0
v0x vy =
y =v0xt+x0
初速度(v0x , v0y)等加速度運動
a
(a0 は定数 )
dtdz
dtdvz
座標 r = (x, y, z)
v
dtdv
速度
加速度
dtdr
a
dtdxxv yv
dtdy
zv
xadt
dvx yadt
dvy za
vy =0
y =0
a0=
- g
- g
v0x
v0y
0目
初期座標 (x0, y0)=( , ) 、10m
加速度 (ax, ay)=( , ) の 運動。
地上 10 m の高さから砲丸を速さ 20m/s で仰角 30° の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。
y0
落下点
y解 投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。
–g
即ち、初速度 (v0x , v0y) =( , )v0 cosθ v0 sinθ
0
初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°
=( , )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )
x0
v0θ
v0 θ
v0x
v0y
最高点
0
鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2
等加速度
2章 演習1 最高点、落下点
1目
2章 演習1 最高点、落下点
加速度 (ax, ay)=( , ) の 運動。
地上 10 m の高さから砲丸を速さ 20m/s で仰角 30° の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。
y0
y解 投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。
–g
初期座標 (x0, y0)=( , ) 、
即ち、初速度 (v0x , v0y) =( , )v0 cosθ v0 sinθ
0 10m
初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°
=( , )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )
x0
v0θ
v0 θ
v0x
v0y
0
鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2
等加速度
落下点
最高点
最高点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x未知 未知
落下点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x 未知 未知 0
最高点時刻の記述なしvy = 0
y = 0
落下時の速度鉛直成分の記述なし
速度水平成分は不変vx は初速度と同じ
加速度は鉛直だから
0
1目
加速度 (ax, ay)=( , ) の 運動。
y0
解 投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。
–g
初期座標 (x0, y0)=( , ) 、
即ち、初速度 (v0x , v0y) =( , )v0 cosθ v0 sinθ
0 10m
初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=20m/s 30°
=( , )m/s310 10 (v0 ,θ で )( 数値 )
x0
v0θ
v0 θ
v0x
v0y
0
鉛直下方に重力加速度 g=9.8m/s2
等加速度
落下点
最高点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x 0 未知 未知落下点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x 未知 未知 0
y = 0
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0
、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 未知v0x 0
=( , )m/s310 10
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 未知v0x 0
=( , )m/s310 10
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 未知v0x 0
=( , )m/s310 10
・・・・・
= ・・・・・
= ・・・・
(c) 投射点から最高点までの水平距離は (a) の時刻の x の値。1未知数の式から解く
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
y0
x0
y
∴t = (b) 最高点の高さ
002
2
1ytvgt y
g
v y
2
20
x =
y= 15m答
m )10( 2
==
( 解く ) ( 数値代入 ) ( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )
公式 ( 数値代入 ) ( 計算 )
公式
( 式代入 )
1.0s答1.02s=( 10m/s)=
v0xt +x0
(a) 最高点の時刻
= - g t + v0y
公式より
(9.8m/s2)
)8.9(210
v0y2
―g 2
v0y―g
v0y―g
は (a) の時刻 t の y の値
方針最高点vy = 0
未知
0
108.9
/
v0y2
―g
v0y2
―g 0y
t
/v0ygg =
未知数 t は既知になった
g
2目
g
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 未知v0x 0
=( , )m/s310 10
y0
x0
y
(b) 最高点の高さ
002
2
1ytvgt y
(c) 投射点から最高点までの水平距離
x =
y=答
==
( 解く ) ( 数値代入 )
公式 ( 数値代入 )
公式
( 式代入 )
=
v0xt +x0
(a) 最高点の時刻
= - g t + v0y
公式より
は (a) の時刻 t の y の値
は (a) の時刻の x の値。
最高点vy = 0
0
15mm )10( 2
( 10m/s) (9.8m/s2)
)8.9(210
/( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )
1.0s答1.02s=
( 計算 )
g
v y
2
20
0y
t
/v0y=
v0y―g
yv0
gxv0
0x 18m答
= m
=
( 式代入 ) ( 数値代入 )( 計算 )17.7m=
(2 桁 )108.9
0310 2
目
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
g
(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、未知 ,最高点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 未知v0x 0
=( , )m/s310 10
y0
x0
y
(b) 最高点の高さ
002
2
1ytvgt y
(c) 投射点から最高点までの水平距離
x =
y=答
==
( 解く ) ( 数値代入 )
公式 ( 数値代入 )
公式
( 式代入 )
=
v0xt +x0
(a) 最高点の時刻
= - g t + v0y
公式より
は (a) の時刻 t の y の値
は (a) の時刻の x の値。
最高点vy = 0
0
15mm )10( 2
( 10m/s) (9.8m/s2)
)8.9(210
/( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )
1.0s答1.02s=
( 計算 )
g
v y
2
20
0y
t
/v0y=
18m答
m
=
( 式代入 ) ( 数値代入 )( 計算 )17.7m=
108.9
0310 yv0
gxv0
0x=
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
= ・・・
は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離1未知数の式から解く
x = v0xt + x0
公式
002
2
1ytvgt y
公式より(d) 落下点に達する時間
y0
x0
y 落下点y = 0方針
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
0
未知
∴t =
・・・・・
3目
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
= ・・・
は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離1未知数の式から解く
x = v0xt + x0
公式
002
2
1ytvgt y
公式より(d) 落下点に達する時間
y0
x0
y 落下点y = 0
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
0
未知
∴t =
(2 次方程式の解 )
02 cbtat2 次方程式の解
acabb
t 2
4 2
v0y + 2gy0(-g/2)
-g/2= v0y
= y0
=
v0y
∴t =
g
gyvv yy 02
00 2
3目
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
= ・・・
は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離
x = v0xt + x0
公式
002
2
1ytvgt y
公式より(d) 落下点に達する時間
y0
x0
y 落下点y = 0
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
0
未知
∴t =
(2 次方程式の解 )
g
gyvv yy 02
00 2∴t =
2.78s– 0.735s 2.8s 答,=
s 1010 2
=
負の値は題意に適さないので
( 数値代入 )
( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )
)8.9(2
8.9
)10(
=
10 10 8.9 10
296 = 17.2√
3目
落下点 t = (vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 , v0x 未知 未知 0(v0x , v0y) (x0, y0)=(0, 10m) 、g= 9.8m/s2、=( , )m/s310 10
=
48m答
48.2m=(t 代入、数値代入 ) ( 計算 )
( 有効数字 2 桁 )
0= ・・・ m/s)3(10 ( ) +
は (d) の時刻の x の値。(e) 投射点から落下点までの水平距離
x = v0xt + x0
公式
∴t =
g
gyvv yy 02
00 2
答,=
=
負の値は題意に適さないので
(2 次方程式の解 ) ( 数値代入 )
( 計算 ) ( 有効数字 2 桁 )
002
2
1ytvgt y
公式より(d) 落下点に達する時間
y0
x0
y 落下点y = 0
0
2.78s– 0.735s
s 1010 2 )8.9(2
8.9
)10(
2.8s
=
296 = 17.2√
2.78s 3目
地上 0 m の高さから砲丸を速さ 14m/s で打ち出す。前方 10m の地点に落下させるにはいくらの仰角で打ち出したらよいか。発射何秒後に落下するか。空気抵抗は無視する。
2章 演習2 指定点落下のための投射角
落下点
y解 投射点直下の地上の点を原点、鉛直上方に y 軸、初速度の水平方向にx 軸をとり、時間 t 、速度 (vx , vy) とする。
加速度 (ax, ay)=( , ) の 運動。
初期座標 (x0, y0)=( , ) 、0m 0m
初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=14m/s 未知
x0
v0 θ
即ち、初速度 (v0x , v0y) =( , )v0 cosθ v0 sinθ(v0 ,θ で )
v0θ
v0x
v0y
–g0
鉛直下方に重力加速度g=
9.8m/s2
等加速度
落下点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x 未知 10m 0
y = 0
落下時の速度鉛直成分の記述なし
4目
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)
g= 9.8m/s2,
v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,
0 )
加速度 (ax, ay)=( , ) の 運動。
–g0 等加速度
落下点 t =(vx , vy)=( , ), (x , y )=( , )未知 v0x 未知 10m 0
4目
鉛直下方に重力加速度g=
9.8m/s2
v0 cosθ v0 sinθ
初速度の大きさ v0 = 仰角 θ=14m/s 未知初期座標 (x0, y0)=( , ) 、0m 0m
v0θ
v0x
v0y
即ち、初速度 (v0x , v0y) =( , )
y
x0
v0 θ
y
x0
v0 θ
落下点 y = 0
y = 0落下点
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)
g= 9.8m/s2,
v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,
0 ) y
x0
v0 θ y = 0
落下点
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
v0sinq
v0sinq
未知
v0cosq
00
5目
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)
g= 9.8m/s2,
v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,
0 ) y
x0
v0 θ y = 0
落下点
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
v0sinq
v0sinq
未知
v0cosq0
1 未知数の式 ない x,y の公式から t を消去
tvtg y02
2
10 =
t
( 解く ) yv02 / g=
x = =v0xt = この 2 式から t を消去 ( 下式に代入して t 消去 )
2 xv0 gv y /0 2 0v 0v sin cos g/2 20v 2sin g/
sin2q
移項
=
(2 倍角の公式 )
5目
( 下式に代入して t 消去 )
(v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq ), (x0, y0)=(0, 0)
g= 9.8m/s2,
v0=14m/s, q 未知 ,落下点 t = 未知 , (vx , vy)=(v0x, 未知 ), (x , y )=(10m,
0 ) y
x0
v0 θ y = 0
落下点
002
2
1ytvgty y
yy vgtv 0xx vv 0
00 xtvx x
v0sinq
v0sinq
未知
v0cosq0
1 未知数の式 ない x,y の公式から t を消去
tvtg y02
2
10
t
( 解く ) yv02 / g=
x = =v0xt = 2 xv0 gv y /0 2 0v sin cos g/2 20v 2sin g/
2sin
9.8m/s2
50.0( 解く ) x g
20v
10m2) ( m/s14
150,30 2 答 75 ,15
t =
t 2.8s s,74.0 答2 sin0v g/14m/s 9.8m/s2
5目
第 2 章 空間運動 演習 終り
前で 1 章演習レポートを提出し、 3 章講義課題 返却物 再チャレンジの説明を受け取ってください。