带电粒子在匀强磁场中作匀带电粒子在匀强磁场中作匀

速圆周运动的题型与解法专题速圆周运动的题型与解法专题B

石家庄市第十五中学 许贺平

带电粒子在磁场中作匀速圆周运动（ v B) 的题型可分为两大类 :

单纯用物理关系求单纯用物理关系求解，此类问题一般比较简单。解，此类问题一般比较简单。

用物理关系与几何 用物理关系与几何 关系联立求解，此类问题的难度极灵活性关系联立求解，此类问题的难度极灵活性往往与磁场结构的复杂程度密切相关。往往与磁场结构的复杂程度密切相关。

二类：需考虑边界。

一类：不考虑边界。

带电粒子在匀强磁场中的运动规律及解题基本方法

一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 :带电粒子在磁场中（ v B⊥ ）只受洛仑兹力， 粒子做匀速圆周 运动 。

vm T 2

Bqvrmv2 r

Bqmv

Bqp

Bq

mEk2

BqmUq2

)(22

q

m

BBq

mT

例题 1 、质子、氘核和 α 粒子，当其具有

（ 1 ）相同的动能，

（ 2 ）相同的动量，

（ 3 ）相同的速率，

（ 4 ）初速为零 , 经相同的加速电压

后，垂直进入相同的匀强磁场中，求这四种情况三种离子的轨道半径之比，及周期比。

解析：

Bq

mEr k2（１）　　相同：

kE

（２）　　相同：p

（３）　　相同：v

（４）　　相同：U

Bq

mvr

Bq

pr

Bq

mUqr

2

１：２：１

２：２：１

１：２：２

１：２：２

Bq

mT

2（５） １：２：２

能力训练 1:

正方形容器处在匀强磁场中 , 一束电子从 a孔垂直于磁场射入容器中 , 其中一部分从 c 孔射出 , 一部分从 d 孔射出 , 求

(1) 从两孔射出的电子在容器中

运动所用时间之比

(2) 从两孔射出的电子在容器中

运动时的加速度之比

(3) 从两孔射出的电子速率之比

a b

c d

二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

（ 1）已知入射、出射点及入射、出射方向时，可以通过入射、出射点分别作垂直于入射、出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。（ 2）作出带电粒子在磁场中某个位置受到的洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点即为圆心。

注意：①圆周上任意两点连线的中垂线过圆心 ② 圆周上两条切线夹角的平分线过圆心 ③ 过切点作切线的垂线过圆心

1、圆心的确定

2 、半径的确定：

圆心和轨迹确定后，利用几何知识，三角函数等可求得轨道半径

当 r >L 时，粒子通过磁区且从另一边界射出

当 r = L 时，粒子恰好通过磁区， θ=900

当 r < L 时，粒子从原边界通过磁区 , θ=1800

如：带电粒子垂直磁场边界进入如图所示磁场

v0

L

r

y

θ

osinrL

)cos1( ry222 )( Lyrr

几何关系有：

（ 1）通过求轨迹所对应的圆心角来计算。先求出轨道所对应的圆心角的大小，再由公式

，即可求出运动时间。Tt2

（ 2）求轨迹所对应的弧长，再由公式

，即可求出运动时间。Tr

st

2

3 、粒子在磁场中运动时间的确定：

（ 3）求轨迹所对应的弧长，再由公式

，即可求出运动时间。v

st

30 ０

解：作出电子运动轨迹如右图所示。

由几何知识电子的运动半径： r=d/sin30o=2d

由 Bev=mv2/ ｒ，得运动半径： r=mv/eB

由上两式可得电子质量 :m=2Bed/v

电子穿透磁场的时间为： t=T/12=2πm/12eB=πd/3v

例题 2：如图所示，一束电子（电量为 e）以速度 v垂直射入磁感应强度为 B、宽度为 d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30o ，则电子的质量是多少？穿透磁场的时间又是多少？

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×30o

F 洛F 洛

Ｏ

能力训练２：

　　长为 L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为 B ，今有质量为 m ，带电量为 q 的正离子在平行板间从左端中点以平行于金属板的方向射入磁场，欲使离子不打到极板上，入射离子的速度大小应满足什么条件？

＋

能力训练 3:

宽 d=8cm ，足够长的匀强磁场 aa’ 、 bb’ 中， B=0.332T ， S 处可发射沿纸面向各方向射出的初速度相同的粒子（ m=6.64×10-27kg 、 q=3.2×10-19C 、 v0=3.2 ×106m/s ）

试分析：

(1) 从 S 向各个方向射出的粒子通过磁场

空间做圆周运动时，其圆心的轨迹

(2) 粒子分别从 ob 、 ob’ 间射出时，

离 bb’ 中心 o 最远点 P 、 Q 的位置

(3)PQ 的长度

(4) 若 d 可变，求 PQ 的最大值

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×

× × ×

a’

a

b’

b

S o

能力训练 4 ：

　　在以 O 点为圆心、半径为 r 的圆形真空内，存在着垂直向里的匀强磁场，一 带电粒子从 A点以速度 v0 垂直于 B 方向正对 O 点射入磁场中，从 C 点射出，∠ AOC 为 1200 ，则该带电粒子在磁场中运动的时间为多少？

× × ×

×

××

× × ×A

O

C

例题 3：如图所示，在 y<0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xy平面并指向纸面外，磁感应强度为 B。一带正电的粒子以速度 v0 从O点射入磁场，入射方向在 xy平面内，与 x轴正向的夹角为 θ。若粒子射出磁场的位置与 O点的距离为 L，求该粒子的电量和质量之比 q/m 。

x

y

opθv

由几何知识知，粒子的运动半径： r=L/2sinθ

设 P 点为出射点。解：作出粒子运动轨迹如图。

θθ

由 Bqv=mv2/ ｒ，得电子的运动半径： r=mv/ ｑ B

由上两式可得粒子的荷质比：q/m=2mvsinθ/BL

x

y

opθv

Ｏ '

能力训练４：如图所示，虚线 MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。 O是 MN 上的一点，从 O点可以向磁场区域发射电荷量为 +q、质量为 m、速率为 v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的 P点相遇， P到 O的距离为 L，不计重力和粒子间的相互作用。（ 1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；

（ 2）求这两个粒子从 O点射入磁场的时间间隔。

Ｍ

Ｎ

Ｏ

Ｐ

粒子 1 运动时间：t1=T/2+T(2θ/2π)

粒子 2 运动时间：t2=T/2 － T(2θ/2π)

由几何知识：cosθ=L/2R

得： θ=arccos(L/2R)

故两粒子运动时间间隔：4m LBq

△t=t1 － t2=2Tθ/π= Bq.arccos( )2mv

从 O 点射入到相遇，粒子 1 、 2 的路径分别为：OMP、 ONP

由 Bqv=m·v·2π/T 周期为： T=2πm/qB

解：粒子在磁场中作匀速圆周运动，作出其运动轨迹如图。

Q1

Q2

M

N

M

N

M

N

θθ

θ

θ

2

2

O1O2

O

P

v1

v2

由 Bqv=mv2/ Ｒ，得粒子的运动半径：Ｒ =mv/ ｑB

（此课件为首届全国中小学教师技能大赛获奖课件）