Представил:Яна Найденова Ангелова

Vа клас

Как възникват броенетои числовите обозначения?

Понятието число и най-простите геометрични фигури са възникнали не само преди първите писмени източници, но и много преди обособяването на математиката като наука.

Те са възникнали от практическите нужди на хората да броят нещата от различно естество.

Първобитните хора са броели само до 2, а когато е имало повече от 2 неща – просто са казвали „много“. С течение на времето човекът се научава да брои до 3, 4, 5, 6, ..., 10 и т.н.

Постепенно се появява и необходимостта пред хората да обозначават по някакъв начин резултатите от своето броене.

Първите такива числови обозначения са резките на дърво, или пък възли на въже, които осигуряват доста разбираемо съответствие между множеството на резките и множеството на броените предмети.

Най-старото известно подобно записване на число е върху кост на вълк, където древния преброител е поставил петдесет и пет резки, по пет в група и на всеки двадесет и пет по една дълга черта. Тридесет века преди новата ера, така е хрумнало на ловеца, обитавал земите на днешна Моравия, да запише неизвестно какво, най-вероятно броя на своите трофеи.

В Западна Европа дори в по-модерни времена се използва подобна система. С резки върху дъсчици се обозначава колко дължи един човек на друг, като едната половинка се пази от длъжника, а другата – от кредитора.Небезизвестният пожар в Английския парламент от 1834 г. между другото е причинен именно от изгарянето на такива дъсчици в пещите на сградата.

Инките пък са използвали възлите върху въже, известните шарени връвчици, които наричаме „кипу“.

Подобен начин на записване можем да намерим на територията на Китай и на Япония дори през миналия век, а на отделни места – и в нашия.

Тази рисунка от XVI в. изобразява счетоводител-ковчежник от племето инки.

Той държи прибор с въженца за смятане с възли.В долния ляв ъгъл е показана сметачна дъска.

Сматане с въженца и възли.

Числатав Древен Египет

Информация за математиката в Древен Египет получаваме основно от 2 папируса, датиращи от 1850 и 1650 г. преди новата ера и съдържащи съответно 25 и 85 задачи. Математиката, която е изложена в тях, се основава на десетичната бройна система.

Тъй като първоначалната писменост на египтяните имала йероглифен характер, то и записът на числата бил йероглифен. Същесвували различни знаци за записване на числата от вида на n=0, 1, 2, 3 ....

В продължение на много години египетският народ създал определени похвати за извършване на математическите операции, както с цели, така и с дробни числа.

Египтяните са записали в папирусите и много задачи с геометричен характер, които се отнасят предимно до измерване на площи, намиране обем на селскостопански постройки и др. Лицето на триъгълник например намирали като половина от произведението на основата и височина.

Египетската йероглифна бройна система е съставена от 7 йероглифа за цифри.

.

С появата на папирусайероглифната писменост била изместена от йератическата.Йероглифите били замененис йератически символи .

Египтяните са използвали и дробите. Всички са имали числител единица (с изключение на 2/3), а останалите не са можели да се изговарят.

Числатав Древен Вавилон Шумерите са записвали информацията

върху изпечени глинени плочки с правоъгълна форма, като са нанасяли определени знаци, а самия вид на писането се нарича клинопис. По-късно и други народи като вавилонци, асирийци, хети, перси и други са приспособили и използвали клинописа на своите езици.

При записването на числата вавилонците използвали шестдесетична позиционна бройна система, за която се счита, че са заимствали от шумерите. Използвали са така наречените клинообразни числови знаци, а именно един клин означавал „единица“, а с два клина, сключващи някакъв ъгъл, означавали 10.

Наличието на шестдесетичната бройна система, макар и със своите недостатъци, предопределя по-нататъшното развитие на техниката на пресмятане.

Предполага се, че разделянето на една година на 360 дни е довело вавилонците до делението на окръжността на 360 части (стъпки). Затова и днес се е запазило това деление на окръжността на 360 части и всяка част се нарича „градус“ и означава на латински „стъпка“.

Това познание на вавилонците и умението им да разделят окръжността на 6 равни части (например при изработка на колелата на колесниците са използвали 6 спици) създава предпоставки за поява на една от хипотезите за възникване на шестдесетична бройна система.

Съдържанието на изследваните глинени плочки показва, че на базата на тази система са създадени много еднообразни правила за аритметични действия, както с цели, така и с дробни числа.

Освен това вавилонците са използвали таблици с квадрати и кубове на цели числа, корени от трета степен, таблици с числа, таблици с изчисления в проценти на дългове, пропорционално деление и т.н.

Вавилонците са използвали позиционна бройна система с основа 60. Въпреки че тя е по-различна от нашата, се е съхранила и до днес за измерване на времето в часове, минути и секунди.

Вавилонските числа съдържат три знака: единица,десетица и стотица.

Числата в Древен Китай Има сведения, че бройната система на

китайците е била десетична, а записът на числата се извършвал със специална йероглифна символика. Доказателство за това са записи на числа, датиращи от второто хилядолетие преди новата ера, които са в позиционна система и с помощта на 9 символа.

Предполага се, че китайцитие са изобразявали деветте знака с помощта на бамбукови пръчици, разположени по различен начин. В записа на числата са определяли класове и разряди и всеки клас е съдържал четири разряда.

Извъшвали са аритметични операции с големи числа, като са използвали спомагателни средства за пресмятане (възли, сметачни дъски).

Усъвършестваният прибор за пресмятане, наречен суан-пан, има на всеки ред по 7 топчета – 5 от едната страна и 2 от другата страна спрямо надлъжна преграда.

Символите за записване на числата и устройството на суан-пана дават основание да се предполага, че числото 5 е заемало особено място и вероятно най-напред е била използвана петичната система.

В древен Китай са били използвани различни системи за записване на числата: във формата на йероглифи или с помощта на пръчки, направени от бамбук, чугун или слонова кост.

Числата на Маите

Цифрите на маите или числата, които използват за броене, са на базата на двайсетична (с основа 20) бройна система. Предполага се, че числото 20 е избрано заради общия брой на пръстите на ръцете и краката. Числото 5 също играе важна роля, поради същата причина – броят на пръстите на едната ръка или единия крак. Тази бройна система използва само три символа - нула (наречена още „черупка“), едно (точка) и пет (хоризонтална черта).

Числото едно се представя с една точка, към всяко следващо число се прибавя хоризонтално друга точка, докато се стигне до 5, тогава петте точки се заменят с една хоризонтална черта.

Шест се представя с една хоризонтална черта и една точка над нея и така нататък.

Числото 19 се представя с три хоризонтални черти една над друга и четири точки над тях.

Числа по-големи от 19 се представят вертикално като степени на 20, за разлика от десетичната система, където са представени хоризонтално, като степени на 10.

Събиране и изваждане на числата на маите се извършва елементарно и лесно чрез комбиниране на различните символи във всеки порядък:

При събирането ако в резултат от комбинирането се получат 5 или повече точки, те се заменят с хоризонтална черта. Ако се получат четири или повече хоризонтални черти, четирите линии се изтриват и се добавя точка в следващия порядък.

При изваждането, ако няма достатъчно точки, хоризонтална черта се заменя с пет точки. Ако няма достатъчно хоризонтални черти, точка от горния порядък се заменя с четири черти в долния.

Както се вижда от горните примери, действията са подобни на тези в десетичната система.

Числатав Древна Гърция

Доказано е, че простите числа за пръв път са изучавани задълбочено от древните гърци (например Евклид).

Гъркът Ератостен е създал метод за намиране на всички прости числа, по-малки от дадено положително число.

Неговият изненадващо ефикасен метод е много добър старт за по-нататъшното развитие на теорията на числата.

При своя метод (Решето на Ератостен) той започва като написва всички числа от 2 до зададеното число. След това той зачерква всички числа, делящи се на 2, след това тези делящи се на 3 и т.н. докато зачеркне всички възможни числа. Няма да му отнеме време да зачерква числата, делящи се на 4, защото те се делят и на 2.

С други думи той зачерква само числата делящи се на тези прости числа, които не са по-големи от квадратен корен от числото, посочено като горна граница на търсенето.

Например, за да намери простите числа по-малки от 100, той би зачеркнал само тези, които се делят на прости числа по-малки от 10 (квадратен корен от 100). Тогава незачеркнатите числа са прости числа.

Гърците са използвали два начина за записване на числата: йонийски и атински.

При йонийския начин числата се изобразявали с букви от азбуката. По този начин са писали Талес, Евклид, Архимед и други учени.

Атиняните са използвали началните буквина числителните.

Π –πέντε - 5;∆ - δκέα - 10;

Η - έκατόν - 100;Χ – χιλιοι – 1 000;

Μ – μνριάζ - 10 000;

Повечето от числителнитезнаци са първите букви на

съответните гръцкиЧислителни. Тази система

се използувала вАтика до I век на новата ера.

Римските цифри Римските цифри са използвани от древните

римляни в тяхната непозиционна бройна система. Тя намира приложение и до днес в някои области.

Естествените числа се записват чрез повтаряне на римските цифри, които са се появили около 500 г. преди новата ера у етруските.

Римските цифри са следните:I = 1 (едно) V = 5 (пет)X = 10 (десет) L = 50 (петдесет) C = 100 (сто) на латински centum D = 500 (петстотин)M = 1000 (хиляда) на латински mille

Системата, използвана в античността, е претърпяла малки промени през Средновековието и се различава от тази, която се използва днес.

Изписването на римските цифри е било нормализирано и се базира на няколко основни принципа:– Всеки символ, намиращ се отдясно на друг

символ с по-голяма стойност, се прибавя към тази стойност.

– Всеки символ, намиращ се отляво на друг символ с по-голяма стойност, се изважда от тази стойност.

Символите са групирани в низходящ ред по стойност, освен тези за които се прилага предишното правило. На практика това правило гласи, че при римските цифри първо се изписват хилядните, после стотиците, след това десетиците и накрая единиците.

Въпреки че съществувало понятие близко до значението на 0, за числото 0 не съществува римска цифра. Липсата на тoва число не позволила развитието на позиционна числова система с римските цифри, което довело до постепенното им заместване с арабски цифри.

За да се определи стойността на едно число написано с римски цифри ,то трябва да се чете от ляво на дясно. Ако една цифра е по-голяма или равна на следващата, тя се прибавя към общата стойност. В обратния случай се изважда.

При използване на посочените по-горе символи и правила системата на римските цифри позволява да се изписват всички числа от 1 до 3999. При стойности, по-големи от тези, се използвали различни техники, като прибавяне на хоризонтални черти над буквите или комбинации от специални символи.

LX = 60 (50+10)

XL = 40 (50-10)

CM = 900 (1000-100)

MC = 1100 (1000+100)

С помощта на цифрите и правилата за събиране и умножение римляните са пишели числата така:

Арабските цифри Арабски цифри е традиционното название на

десетте знака – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, които се използват за записване на числа в позиционна десетична бройна система.

Те идват от хиндо-арабската бройна система, разработена от индийски математици, приложена от персийски математици и предадена по-нататък на арабите на Запад. Оттам е пренесена в Европа през Средновековието, около X век.

През 1202 г. италианският математик Леонардо Фибоначи написва книгата „Liber abaci“, в която описва позиционния принцип и използва цифрите от 0 до 9. Той изрично отбелязва, че тези цифри произхождат от Индия. Самите араби също твърдят, че произходът им е индийски. Въпреки това обаче европейците започват да ги наричат арабски, с което название са се наложили и утвърдили в Европа и Америка.

Цифрите претърпяват редица промени, докато добиват окончателния си вид през XV век. За това значително допринася въвеждането на печатните букви.

Еволюция на индийските цифри от XII в. до средата на XV в.

И още малко любопитни факти... Съвременните означения + и - не са били

известни, но положителните и отрицателните числа са били използвани за решаване на уравнения: положителните са били означавани като „имущество“, а отрицателните – като „дълг“.

Индийският математик Брахмагупта (VІІ в.) е описал следните правила:

– сумата на две имущества е имущество(днес това се описва с формулата: а + b = с);

– сумата на два дълга е дълг(днес това се описва с формулата: ( -а) + (- b) = (- с));

– сумата на имущество и дълг е равна на тяхната разлика(днес това се описва с формулата: а + (-b) = а - b );

– имущество, изваждано от нула, се превръща в дълг (днес това се описва с формулата: 0 - а = -а).

През ХІІ в. индийският математик Бхаскара дефинира умножението така:

– произведението на две имущества или два дълга е имущество(съвременната формула е: а.b = с или (-а).(-b) = с );

– произведението на имущество и дълг е пак дълг(съвременната формула е: а.(-b)= - с).

Съществувало е масово неодобрение на отрицателните числа и нищо чудно – нали са били схващани като дългове!

Затова се въвежда правилото „ал –джабр“, което на арабски означава „възстановяване“ и е действието, при което даден член на уравнението се прехвърля от другата страна на равенството с противоположен знак.

Следва и въвеждането на „алгебра“ като име на самостоятелен дял от математиката , независим от геометрията и аритметиката – дело на персийски математик Ал Хорезми.

От името на Ал Хорезми („ал-горизъм“) произлиза терминът „алгоритъм“. Европейските математици, след популяризирането на основните трудове на Ал Хорезми, започват в негова чест да наричат с този термин описаната от него позиционна десетична система за записване на числата.

Нулата е била въведена по-късно и първоначално е символизирала нищото – тя е разделяла положителните от отрицателните числа, които до преди няколко века са били наричани „абсурдни“ или „по-малки от нищото“.

Днешният символ 0 е заимстван от първата буква на гръцката дума за „нищо“ – „онден“.

Страница от труда на Ал Хорезми „Сбит трактат за пресмятаниятачрез възстановяване и сравняване“

(IX в.), в който се описва новата десетична позиционна система.