Системы счисления

2

Позиционные системы

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Десятичная система: первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10

3 7 82 1 0 разряды

сотни десятки единицы

870300

= 3·102 + 7·101 + 8·100

Другие позиционные системы:• двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)• двадцатеричная (1 франк = 20 су)• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

3

Перевод целых чисел

Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2

10 210 2

2 102 10

19 2

918

112

4 8

112

2 4

002

1 2

00

19 = 100112

система счислениясистема

счисления

100112

4 3 2 1 0 разряды

= 1·24 + 0·23 + 0·22

+ 1·21 + 1·20

= 16 + 2 + 1 = 19

11

4

Примеры:

5

Метод подбора

10 210 2

77 = 64 +

77

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

7777

64

Разложение по степеням двойки:77 = 26 + 23 + 22 + 20

+ 8 + … + 4 + … + 1

77 = 10011012

6 5 4 3 2 1 0 разряды

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна

заданному числу

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна

заданному числу

77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 2077 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20

1313

1313

55 11

55 11

8 4 1

6

Примеры:

7

Примеры:

8

Арифметические операции

сложениесложение вычитаниевычитание

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=102

1 + 1 + 1 = 112

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=102

1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=0

1-0=1 102-1=1

0-0=0 1-1=0

1-0=1 102-1=1

переносперенос

заемзаем

1 0 1 1 02

+ 1 1 1 0 1 12

1

00

011 02

1 0 0 0 1 0 12

– 1 1 0 1 12

02

1

0 102

1 0

0 1 1 102

010

9

Примеры:

10

Примеры:

11

Примеры:

12

Примеры:

13

Перевод в двоичную систему

1616

1010

22

• трудоемко• 2 действия• трудоемко• 2 действия

16 = 2416 = 24

Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)!

!

7F1A16 =

7 F 1 A

0111{ { 1111 0001 10102{ {

14

Перевод из двоичной системы

10010111011112

Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:

0000001 1 00100010 1110 1110 1111111122

Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:

0000001 1 00100010 1110 1110 1111111122

11 22 EE FF

Ответ: 10010111011112 = 12EF16

15

Перевод в двоичную и обратно

88

1010

22

• трудоемко• 2 действия• трудоемко• 2 действия

8 = 238 = 23

Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)!

!

17258 =

1 7 2 5

001 111 010 1012{ { { {

16

Перевод из двоичной системы

10010111011112

Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:

000011 001 001 011011 101 101 11111122

Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:

11 33 55 77

Ответ: 10010111011112 = 113578

000011 001 001 011011 101 101 11111122

11

17

Перевод в восьмеричную и обратно

трудоемкотрудоемко

3DEA16 = 11 1101 1110 10102

16161010

88

22

Шаг 1. Перевести в двоичную систему:

Шаг 2. Разбить на триады:

Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:

001111 110110 111111 101101 01001022

3DEA16 = 367528

18

Примеры:

19

Примеры:

20

Примеры:

21

Примеры:

22

Примеры:

23

Примеры:

24

Примеры:

25

Примеры:

26

Примеры:

27

Примеры:

28

Примеры:

А5. Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 5. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам.

Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа.Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей).

Пример. Женино число: 5532. Поразрядные суммы: A, 5. Сашин результат: 5A.Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе.

1) 210 2) 59 3) 5B 4) A4

29

Примеры:

30

Примеры:

B4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:1. ААААА2. ААААО3. ААААУ4. АААОА……Укажите номер слова ОАОАО.

31

Примеры:

В4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:1. ААААА2. ААААК3. ААААР4. ААААУ5. АААКА……Укажите номер первого слова, которое начинается с

буквы У.

32

Позиционные системы

Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X.

• в записи есть цифра 6, поэтому x > 6• переводим правую часть в десятичную систему

• решаем уравнение

58 = 46x

1 0

58 = 46x = 4·x1 + 6·x0= 4·x + 6

58 = 4·x + 6 x = 13

33

Позиционные системы

Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство

• в записи есть цифра 5, поэтому x > 5• переводим в десятичную систему

• решаем уравнение

16x + 33x = 52x

1 0

16x = x + 6

x = 7

1 0

52x = 5·x + 2

4·x + 9 = 5·x + 2

33x = 3·x + 3

34

Позиционные системы

Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство

• в записи есть цифра 3, поэтому x > 3• переводим в десятичную систему

• решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)

21x + 32x > 102x

1 0

21x = 2·x + 1

x = 4, 5

2 1 0

102x = x2 + 2

5·x + 3 > x2 + 2

32x = 3·x + 2

35

Примеры:

Позиционные системы

37

Примеры:

38

Примеры:

39

Примеры:

40

Примеры:

41

Примеры:

42

Примеры:

43

IP-адреса

193.162.230.115

0..2550..255 0..2550..255 0..2550..255 0..2550..255

IP-адрес: w.x.y.z

номер сети + номер компьютера в сети

номер сети + номер компьютера в сети

44

IP-адреса

Маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, которое определяет, какая часть IP-адреса компьютера относится к адресу сети, а какая часть IP-адреса определяет адрес компьютера в подсети. В маске подсети старшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса сети, имеют значение 1;младшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса компьютера в подсети, имеют значение 0.Например,маска подсети может иметь вид:

11111111 11111111 11100000 00000000 (255.255.224.0) Это значит, что 19 старших бит в IP-адресе содержит адрес сети

13 младших бит содержат адрес компьютера в сети

45

Примеры:

11111111 11111111 11000000 00000000 (255.255.192.0)

11011001 00010011 10000000 10000011 (217.19.128.131)

46

Примеры:

47

IP-адреса

Количество различных адресов компьютеров допускаемых маской равно 2N, где N – количество нулевых бит в маске

Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны 1.

11111111 11111111 11100000 00000000 (255.255.224.0) 

213 -2=8192-2=8190

48

Примеры:

В11.В терминологии сетей TCP/IP маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, определяющее, какие именно разряды IP-адреса компьютера являются общими для всей подсети - в этих разрядах маски стоит 1. Обычно маски записываются в виде четверки десятичных чисел - по тем же правилам, что и IP-адреса.

Для некоторой подсети используется маска 255.255.252.0. Сколько различных адресов компьютеров допускает эта маска?

Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны 1.

общее число нулевых битов N = 10

поскольку из них 2 адреса не используются (адрес сети и широковещательный адрес) для узлов сети остается

1024 – 2 = 1022 адресаОтвет: 1022.

49

Примеры:

В11. Если маска подсети 255.255.255.240 и IP-адрес компьютера в сети 192.168.156.235, то номер компьютера в сети равен _____?

11111111 11111111 11111111 11110000

50

Троичная уравновешенная система

Задача Баше:Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

51

Троичная уравновешенная система

+ 1 гиря справа 0 гиря снята– 1 гиря слева

Веса гирь:1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг

Пример:27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

1 1 1 13ур =Реализация:

ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)50 промышленных образцов

40

Троичная система!!

52

Источники:

Сайт Константина Полякова, доктора технических наук, учителя информатики http://kpolyakov.narod.ru/school/ege/

Интерактивные тесты Яндекс http://ege.yandex.ru/informatics/

Открытый банк заданий ЕГЭ по информатике http://www.egeinf.ru

«Всем, кто учится» http://www.alleng.ru/