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第 9 章 控制系统的非线性问题. 导 读 为什么要介绍本章 ? 被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。例如控制系统中常出现稳定的自激振荡， 这是线性模型中不存在的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性系统理论不能分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的方法是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以修补使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。 本章主要讲什么内容 ? 首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法。. 第 9 章 控制系统的非线性问题. 9.1 典型非线性特性 9.2 描述函数法 9.3 典型非线性特性的描述函数 - PowerPoint PPT Presentation
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导 读为什么要介绍本章 ?
被控对象的种类越来越多，线性模型已不能满足要求。例如控制系统中常出现稳定的自激振荡， 这是线性模型中不存在的。又如控制系统中大量采用继电控制，但线性系统理论不能分析这类系统。要建立一个能解决非线性系统全部问题的方法是不可能的。目前许多方法是以线性化方法为基础，加以修补使之适应解决非线性问题的需要，例如描述函数法。
本章主要讲什么内容 ?
首先介绍非线性系统的特性，然后介绍描述函数法。
第 9章 控制系统的非线性问题
第 9章 控制系统的非线性问题9.1 典型非线性特性9.2 描述函数法 9.3 典型非线性特性的描述函数9.4 用描述函数法分析非线性系统稳定性
9.1 典型非线性特性
弱非线性系统（光滑、连续的非线性系统） （泰勒级数展开法，非线性系统的线性化）
强非线性系统 (本质非线性 ) （描述函数法，相平面法，计算机仿真）
非线性系统与线性系统的区别（ 1）
线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，或者只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。
对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
非线性系统与线性系统的区别（ 2）
线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动在物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。
非线性系统与线性系统的区别（ 3）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。
非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。
非线性系统与线性系统的区别（ 4）
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性等概念。
工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非线性不严重 ( 光滑、连续）的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。
对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的本质非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。
9.1.1 饱和特性
9.1.2 死区特性
9.1.3 间隙特性
9.1.4 继电器特性
理想继电器 有死区继电器
9.2 描述函数法 9.2.1 基本思想9.2.2 描述函数的定义
描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。所以这种方法又称为一次谐波法。
9.2.1 描述函数法的基本思想
（ a）输入信号
（ b）非线性环节 （ c）输出信号
可见，输出信号是周期函数，将其展开为傅里叶级数：
...7sin
7
15sin
5
13sin
3
1sin
4wtwtwtwt
My
1 ）一般来说，输出含有与输入相同频率的基波分量，高次谐波分量和直流分量。2 ）大多数控制系统有低通特性，因此对高次谐波起滤波作用。3 ）由于非线性静特性是对称的，因而不产生直流分量。
由此，在很多情况下，在非线性原件的输出中，仅考虑基波分量是有意义的。
...7sin
7
15sin
5
13sin
3
1sin
4wtwtwtwt
My
1
0 )ωsinωcos(2
)(i
ii tiBtiAA
tx
2
0
)ω(ωcos)(π
1ttditxAi
2
0
)ω(ωsin)(π
1ttditxBi
)sin(sincos)( 11111 tXtBtAtx
2
0
1 )ω(ωcos)(π
1ttdtxA
2
0
1 )ω(ωsin)(π
1ttdtxB
21
211 BAX
9.2.2 描述函数的定义
A
Aj
A
Be
A
X
Ae
eX
e
xjAN j
j
j111
011 1
1
),(
1 ）非线性环节的描述函数总是输入信号幅值 A 的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为 ),( jAN
2 ）非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入的正弦振荡的振幅 A 有关，这是非线性特性本质的反映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
非线性元件的描述函数是非线性元件输出的基波分量与正弦输入信号的复数比
如果输出为奇函数，则 A1=0。如果输出为偶函数，则 B1=0。
tAte ωsin)(
1A 1B 1X 1
1111)( jeA
X
A
Aj
A
BAN
1 ）绘制输入—输出波形图，写出输入为 时非线性输出表达
式的对称性，并计算
描述函数的求取
2 ）由波形图分析
3）描述函数为
)(tx
a
])ω(ωsin)ω(ωsinsin[π
42
0
1
1
1
ttdkattdtkAB
2
0
2
1
1
sinπ
4sin
π
4
dka
dkA
111 cos
4)2sin
4
1
2(
4
kakA
])(1)[arcsin(2 2
A
a
A
a
A
aA
k
])(1)([sin2
)( 211
A
a
A
a
A
ak
A
BAN
9.3 典型非线性特性的描述函数1. 饱和特性的描述函数
2
0sin)(
1
1
wtKa
wtwtKAty
A
Aj
A
BN 11
])(1)([sin2
1
)(
1
21
A
a
A
a
A
akAN
])(1)([sin2
)( 211
A
a
A
a
A
ak
A
BAN
负倒特性
单值奇函数，具有半周期的对称性
2ωα),ωsin(
αω0,0)(
1
1
tatAk
ttx
2
0
1 )ω(ωsin)(π
4
ttdtxB
])(1)(sin2[
2)ω(ωsin)ωsin(
4 2121
1 A
a
A
a
A
akAttdatAkB
])(1)arcsin(2[
π
2)( 2
A
a
A
a
A
akAN
2. 死区特性的描述函数
tatAk
taAk
tatAk
tx
ω)ωsin(
ω2
)(
2ω0)ωsin(
)(
1
1
3. 间隙特性的描述函数
tatAk
taAk
tatAk
tx
ω)ωsin(
ω2
)(
2ω0)ωsin(
)(
1
1
)1(4
])ω(ωcos)ωsin(
)ω(ωcos)()ω(ωcos)ωsin([2
)ω(ωcos)(2
1
1
2
2
0
01
A
aka
ttdatAk
ttdaAkttdatAk
ttdtxA
01 )ω(ωsin)(
2ttdtxB
1
2
2
0)ω(ωsin)()ω(ωsin)ωsin([
2
ttdaAkttdatAk
])ω(ωsin)ωsin(1
ttdatAk ])
21(1)
21()
21(sin
2[ 21
A
a
A
a
A
akA
)1(4
])2
1(1)2
1()2
1(sin2[
)(
21
11
A
a
A
akj
A
a
A
a
A
ak
A
Aj
A
BAN
4. 继电器特性的描述函数
9.4 用描述函数法分析非线性系统稳定性
典型非线性系统结构图：
闭环传递函数频率特性为：)()(1
)()(
)(
)(
jwGAN
jwGAN
jwR
jwC
系统特征方程为：
)(
1)(
0)()(1
ANjwG
jwGAN
式中 -1/N(A），称为非线性特性的负倒描述函数。
线性系统特征方程 G(jω)=-1 。线性系统：（– 1 ， j0）点是判断稳定的关键点。非线性系统：判断稳定性不是点（– 1 ， j0） ,而是一条线 -1∕N(A ）。
由线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定性及自激振荡。
乃奎斯特稳定判据在线性系统中的应用
乃奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用
判据内容： 在开环幅相特性平面上，画出线性特性 G(jω)曲线 (最小相位 ) 。 1 ）若 G(jω)轨迹不包围– 1∕N（ A）曲线 , 则此非线性系统稳定 2）若 G(jω)轨迹包围– 1∕N(A ），则非线性系统不稳定。 3）若 G(jω) 与– 1∕N（ A）相交，系统输出存在极限环，即在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡。这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处– 1∕N（ A）轨迹上的 A 值， G(jω)曲线上对应的ω值来表征。
)12.0)(11.0(
15
sss-
例 分析非线性系统自激振荡的情况
极限环有稳定极限环和不稳定极限环之分：
稳定和不稳定极限环
无论稳定极限环，还是不稳定极限环，都是系统所不希望的。因此，用描述函数法设计非线性系统时，要避免线性部分的G(jw)轨迹与非线性部分 -1/N的轨迹相交，这可以通过加校正实现。
例： 如图所示非线性系统中， G(jw)轨迹与非线性部分 -1/N曲线有两个交点 A 和 B，形成两个极限环。
例：闭环的工作台位置随动系统通常存在齿轮间隙，直流伺服电机从输出电压到输出转速是二阶的，从转速到转角是纯积分环节，如果不加校正，其他部分可以认为是比例环节，系统结构图如图所示：
考虑齿轮间隙的位置随动系统结构图
非线性系统稳定性的改进
改善非线性系统性能的方法 :
本章小结• 1. 典型非线性特性• 控制系统中存在各种非线性特性，许多可以归结为饱和特性、死区特性、间隙特性、继电器特性等
典型非线性特性。• 2. 描述函数法• 描述函数法的基本思想。• 非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，称为为该非线性环节的描述函数。• 典型非线性特性的描述函数的求取以及负倒特性。• 用描述函数法分析自激振荡的稳定性。
