第六章 一阶电路

2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；

重点

4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。

3. 稳态分量、暂态分量求解；

1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；

含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。

特点：

1. 动态电路

6.1 动态电路的方程及其初始条件 6.1 动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。

例

+

-us

R1

R2

（ t=0 ）i

0t

i2/ RUi S

)( 21 RRUi S

过渡期为零

电阻电路

K 未动作前，电路处于稳定状态

i = 0 , uC = 0

i = 0 , uC= Us

K+

–

uCUs

R

C

i (t = 0)

K 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态

+

–

uCUs

R

C

i (t →)

初始状态过渡状态

新稳态t1

USuc

t0

? iR

U S

有一过渡期

电容电路

K 未动作前，电路处于稳定状态

i = 0 , uL = 0

uL= 0, i=Us /R

K 接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路

初始状态过渡状态

新稳态t1

US/Ri

t0

? UL

SU

有一过渡期

K+

–

uLUs

R

L

i (t = 0)

+

–

uLUs

RL

i (t →)

电感电路

过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件 L 、 C ，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。

t

wp

电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开电路参数变化

2. 动态电路的方程

Scc Uutd

duRC

+

–

uCUs

R

C

i (t >0)

Sc UuRi

应用 KVL 和元件的 VCA 得：

+

–

uLUs

RL

i (t >0)SL UuRi

SUtd

diLRi

有源电阻电路

一个动态元件

一阶电路

+

–

uLUS

RL

i (t >0)

C

uC＋－

＋

－ Sccc Uutd

duRC

dt

udLC 2

2

ScL UuuRi

二阶电路

一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。

稳态分析和动态分析的区别

稳态 动态

换路发生很长时间后状态

微分方程的特解

恒定或周期性激励

换路发生后的整个过程

微分方程的一般解

任意激励

（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：

（ 2 ）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；

复频域分析法时域分析法

动态电路的分析方法

0)(011

1

1

ttexadt

dxa

dt

xda

dt

xda n

n

nn

n

n

建立微分方程：

经典法状态变量法

数值法

卷积积分

拉普拉斯变换法

状态变量法付氏变换

本章采用

(1) t = 0 ＋与 t = 0 －的概念

认为换路在 t=0 时刻进行

0 － 换路前一瞬间

0 ＋ 换路后一瞬间

3. 电路的初始条件

)(lim)0(00

tfftt

)(lim)0(00

tfftt

初始条件为 t = 0 ＋时 u ， i 及其各阶导数的值

0 － 0 ＋0

t

f(t)

)0()0( ff

)0()0( ff

图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。

例

R－

+C

i

uC

(t=0)

解

0 cc utd

duRC

)0( 0 tuRi c

特征根方程： 01 RCp RCp 1

得通解：

oUk

RC

tpt

c keketu

)(

代入初始条件得：RC

t

oc eUtu

)(

说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。

d)(1

)(

t

C iC

tu

d)(1

d)(1

0

0

ti

Ci

C

d)(1

)0(0

t

C iC

u

t = 0+ 时刻 d)(1

)0()0(0

0

i

Cuu CC

当 i() 为有限值时

iuc

C

+

-

q (0+) = q (0 － )

uC (0+) = uC (0 － )

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，

则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

(2) 电容的初始条件

0

q =C uC

电荷守恒

结论

d)(

1)(

t

L uL

ti

d))(1

d)(1

0

0

tu

Lu

L

duL

ii LL )(1

)0()0(0

0

当 u 为有限值时

L (0 ＋ )= L (0 － )

iL(0 ＋ )= iL(0－ )

iu L+

-L

(3) 电感的初始条件

t = 0+ 时刻0

duL

it

L )(1

)0(0

LLi磁链守恒

换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

结论

L (0+)= L (0 － )

iL(0+)= iL(0 － )

qc (0+) = qc (0 － )

uC (0+) = uC (0 － )

（ 4）换路定律

（ 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件

注意 :

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，

则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，

则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

（ 2）换路定律反映了能量不能跃变。

5. 电路初始值的确定

(2) 由换路定律 uC (0+) = uC (0 － )=8V

+

- 10V

i

iC

+8V

-

10k

0+ 等效电路mA2.0

10

810)0(

Ci

(1) 由 0 －电路求 uC(0 － ) 或 iL(0 － )

+

-10V

+uC

-

10k40k

uC(0 － )=8V

(3) 由 0+ 等效电路求 iC(0+)

iC(0 －-)=0 iC(0+)

例1

求 iC(0+)

+

- 10V

i iC+uC

-k

10k40k

电容开路

电容用电压源替代

0)0( 0)0( LL uu

iL(0+)= iL(0 － ) =2A

VuL 842)0(

例 2 t = 0 时闭合开关 k , 求 uL(0+)

iL

+uL

-

L10V

K

1 4

+uL

-10V

1 40+ 电路

2A

先求

AiL 241

10)0(

由换路定律 :

电感用电流源替代

)0( Li

10V

1 4解

电感短路

求初始值的步骤 :

1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0 － ) 和 iL(0 － ) ；

2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+) 。

3. 画 0+ 等效电路。

4. 由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。

b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. 换路后的电路

（取 0+ 时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。

iL(0+) = iL(0 － ) = IS

uC(0+) = uC(0 － ) = RIS

uL(0+)= - RIS

求 iC(0+) , uL(0+)

0)0(

R

RIIi S

sC

例 3

K(t=0)

+ –uL

iL

C+

–uC

L

RIS

iC

解

0+ 电路

uL+ – iC

R

IS

R IS

+

–

0 －电路RIS

由 0 －电路得：

由 0 ＋电路得：

Vuu CC 24122)0()0(

Aii LL 124/48)0()0(

例 3

iL

+uL

-LK

2

+

-48V

3

2C

求 K 闭合瞬间各支路电流和电感电压

解 由 0 －电路得：

12A 24V

+

-48V

3

2

+

-

iiC

+

-uL

由 0+ 电路得：

AiC 83/)2448()0(

Ai 20812)0(

VuL 2412248)0(

iL

2+

-48V

3

2 +

－uC

例 4 求 K 闭合瞬间流过它的电流值。

iL

+200V

-

L

K

100

+ uC

100 100

C

－

解 （ 1 ）确定 0 －

值Aii LL 1

200

200)0()0(

Vuu CC 100)0()0(

（ 2 ）给出 0 ＋等效电路

Aik 21100

100

100

200)0(

1A

+200V

-

100

+100V

100 100

－

ki

+uL －

iC

Viu LL 100100)0()0(

Aui CC 1100/)0()0(

6.2 一阶电路的零输入响应

换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。

1. RC 电路的零输入响应 已知 uC (0 － )=U0

iK(t=0)

+

–

uRC

+

–uC R

0)0(

0d

d

Uu

ut

uRC

C

CC

RCp

1特征根特征方程 RCp+1=0

tRCe1

A

pt

C eu A则则

0 CR uu

t

uCi C

d

d

uR= Ri

零输入响应

代入初始值 uC (0+)=uC(0 － )=U0

A=U0

000

teIe

R

U

R

ui RC

t

RC

tC

0

0

teUu RC

t

c

tRC

c Aeu1

RC

t

RC

tC e

R

U

RCeCU

t

uCi

0

0 )1

(d

d 或

t

U0uC

0

I0

t

i

0

令 =RC , 称为一阶电路的时间常数

秒伏安秒

欧伏库

欧法欧

RC

（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；

从以上各式可以得出：

连续函数

跃变

（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关；

时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短

= R C

大 → 过渡过程时间长

小 → 过渡过程时间短

电压初值一定：

R 大（ C 一定） i=u/R 放电电流小放电时间长

U0

t

uc

0 小

大

C 大（ R 一定） W=Cu2/2 储能大

11

RC

p

物理含义

工程上认为 , 经过 3－ 5, 过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压 36.8% 所需的时间。

＝ t2 － t1

t1 时刻曲线的斜率等于

)(1

d

d1

0

11tue

U

t

uCt

t

tC

I0

t

uc

0

t1 t2

U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0

t 0 2 3 5

t

c eUu

0

U0 U0 e

-1 U0 e

-2 U0 e -3

U0 e -5

)(368.0)( 12 tutu CC

次切距的长度

（ 3）能量关系

RdtiWR

0

2

电容不断释放能量被电阻吸收 ,

直到全部消耗完毕 .设 uC(0+)=U0

电容放出能量：

202

1CU

电阻吸收（消耗）能量：

RdteR

URC

t2

0

0 )(

202

1CU

uC R+

－C

dteR

URC

t2

0

20

0

2 2

0 |)2

( RC

t

eRC

R

U

例 已知图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求K 闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。

解 这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：

i3

K

3+

uC

2

65F

－

i2

i1

+uC 4

5F

－

i1

t >0等效电路

0

0

teUu RC

t

c

sRCVU 2045 24 0 代入

0 24 20

tVeut

c

分流得：

Aeuit

C20

1 64

Aeiit

20

12 43

2 Aeii

t

20

13 23

1

2. RL 电路的零输入响应

特征方程 Lp+R=0

L

Rp 特征根

代入初始值 i(0+)= I0A= i(0+)= I0

01

)0()0( IRR

Uii S

LL

00d

d tRi

t

iL

i

K(t=0)US L

+

–uL

RR1

ptAeti )(

0)( 00

teIeItit

L

Rpt得

t >0i

L+

–uL

R

RL

tL

L eRIdt

diLtu /

0)(

0)( /

0

teIti RL

t

L

-RI0

uL

t

t

I0iL

0

从以上式子可以得出：

连续函数

跃变

（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；

（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R 有关；

令 = L/R , 称为一阶 RL 电路时间常数

L 大 W=Li2/2 起始能量大R 小 P=Ri2 放电过程消耗能量小

放电慢 大

][][][][][] [ 秒欧安秒伏

欧安韦

欧亨

R

L

大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短

物理含义

时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短

= L/R1

/

1

RLp

电流初值 i(0) 一定：

（ 3）能量关系

RdtiWR

0

2

电感不断释放能量被电阻吸收 ,

直到全部消耗完毕 .设 iL(0+)=I0

电感放出能量：

202

1LI

电阻吸收（消耗）能量：

RdteI RL

t2/

0 0 )(

202

1LIdteRI RL

t

/

2

0

20

0

2

20 |)

2

/( RC

t

eRL

RI

i

L+

–uL

R

iL (0+) = iL(0 － ) = 1 A

uV (0+)= － 10000V 造成 V 损坏。

例 1 t=0 时 , 打开开关 K ，求 uv 。

现象 ：电压表坏了

0 / tei tL

电压表量程： 50V

sVRR

L 410410000

4

010000 2500 teiRu tLVV

解

iL

L

R

10V

iL

K(t=0)

+

–uV

L=4H

R=10V

RV

10k10V

kRV 10

例 2 t=0 时 , 开关 K 由 1→2 ，求电感电压和电流及开关两端电压 u12 。

0V 12 A2 tedt

diLuei tL

Lt

L

sR

L1

6

6

解

iL

K(t=0)

+

–24V

6H

3

44

6+

－uL

21 2

A

ii LL

263

6

6//324

24)0()0(

t >0

i

L+

–uL

R

66//)42(3R

Vei

u tL 4242

42412

小结小结

4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。

1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC 电路 = RC , RL 电路 = L/R R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。

3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。

t

eyty )0()( iL(0+)= iL(0 － )

uC (0+) = uC (0 － )RC 电路

RL 电路

动态元件初始能量为零，由 t >0 电路中外加输入激励作用所产生的响应。

SCC Uut

uRC

d

d列方程：

iK(t=0)

US

+ –uR

C

+

–uC

R

uC (0 － )=0

6.3 一阶电路的零状态响应

非齐次线性常微分方程

解答形式为： "'ccc uuu

1. RC 电路的零状态响应

零状态响应

齐次方程通解 非齐次方程特解

与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解

RC

t

C Aeu

变化规律由电路参数和结构决定

全解

uC (0+)=A+US= 0 A= － US

由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A

的通解0d

d C

C ut

uRC

SC Uu

RC

t

SCCC AeUuutu

)(

通解（自由分量，暂态分量）Cu

特解（强制分量，稳态分量）Cu

SCC Uut

uRC

d

d 的特解

)0( )1(

teUeUUu RC

t

SRC

t

SSc

RC

tS e

R

U

t

uCi

d

d C

-USuC

‘

uC“

US

t

iR

US

0

t

uc

0

（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：

从以上式子可以得出：

连续函数

跃变

稳态分量（强制分量） 暫态分量（自由分量）+

（ 2）响应变化的快慢，由时间常数＝ RC 决定；大，充电 慢，小充电就快。 （ 3）响应与外加激励成线性关系；

（ 4）能量关系

2

2

1SCU电容储存：

电源提供能量： 2

0d SSS CUqUtiU

2

2

1SCU电阻消耗 tR

R

UtRi RCS

t

e d)(d 200

2

R

C+

-US

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。

例t=0 时 , 开关 K闭合，已知 uC （ 0 －） =0 ，求（ 1）电容电压和电流，（ 2） uC ＝ 80V 时的充电时间 t 。

解

500

10F+

-100V

K

+

－uC

i(1) 这是一个 RC 电路零状态响应问题，有：

)0()V e-100(1 )1( 200t-

teUu RC

t

Sc

sRC 35 10510500

AeeR

U

t

uCi tRC

tS 200C 2.0

d

d

（ 2）设经过 t1秒， uC ＝ 80V

8.045mst)e-100(180 1-200t1

2. RL 电路的零状态响应

SLL UiRtd

idL

)1(t

L

RS

L eR

Ui

tL

R

SL

L eUt

iLu

d

d

iLK(t=0)

US

+ –uR

L

+

–uL

R

已知 iL(0 － )=0 ，电路方程为：

LLL iii

t

uL

US

t

iL

RUS

0

0R

Ui S

L A0)0(

tL

RS Ae

R

U

例1

t=0 时 ,开关 K打开，求 t>0后 iL 、 uL 的变化规律 。

解 这是一个 RL 电路零状态响应问题，先化简电路，有：

iLK

+

–uL2H

R 80

10A 200

300

iL

+

–uL2H

10AReq

200300//20080eqR

AiL 10)(

sRL eq 01.0200/2/

Aeti tL )1(10)( 100

VeeRtu tteqL

100100 200010)(

t>0

例2

t=0 时 ,开关 K打开，求 t>0后 iL 、 uL 的及电流源的端电压。

解 这是一个 RL 电路零状态响应问题，先化简电路，有：

iL

K

+

–

uL2H

10

2A 10

5

+

–u

t>0

iL

+

–uL2HUS

Req+

－

201010eqR

VU S 20102

sRL eq 1.020/2/

Aeti tL )1()( 10

VeeUtu ttSL

1010 20)(

ARUi eqSL 1/)(

VeuiIu tLLS

101020105

6.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。

iK(t=0)

US

+ –uRC

+

–uC

R

SCC Uut

uRC

d

d

解答为 uC(t) = uC' + uC

" uC (0 － )=U

0

以 RC 电路为例，非齐次方程

=RC

1. 全响应

全响应

稳态解 uC' = US

暂态解 t

C eu

A

uC (0+)=A+US=U0

A=U0 - US

由起始值定 A

2. 全响应的两种分解方式

0)( 0

teUUUAeUut

SS

t

SC

强制分量 ( 稳态解 )自由分量 ( 暂态解 )

uC"

-USU0 暂态解

uC'US

稳态解

U0uc 全解

t

uc

0

全响应 = 强制分量 ( 稳态解 )

+自由分量 ( 暂态解 )

（ 1 ） 着眼于电路的两种工作状态

物理概念清晰

iK(t=0)

US

+ –uR

C

+

–uC

R

uC (0 － )=U0

iK(t=0)

US

+ –uR

C

+

– uC

R

=

uC (0 － )=0

+

uC (0 － )=U0

C

+

– uC

iK(t=0)

+ –uR

R

全响应 = 零状态响应 + 零输入响应

零状态响应 零输入响应

)0()1( 0

teUeUutt

SC

(2). 着眼于因果关系 便于叠加计算

)0()1( 0

teUeUutt

SC

零状态响应 零输入响应

t

uc

0

US

零状态响应

全响应

零输入响应

U0

例1

t=0 时 ,开关 K打开，求 t>0后的 iL 、

uL

解 这是一个 RL 电路全响应问题，有： iL

K(t=0)+

–24V 0.6H

4

+

－uL

8

sRL 20/112/6.0/

ARUii SLL 6/)0()0( 1

Aeti tL

206)( 零输入响应：

Aeti tL )1(

12

24)( 20零状态响应：

Aeeeti tttL

202020 42)1(26)( 全响应：

或求出稳态分量： AiL 212/24)(

全响应： AAeti tL

202)(

代入初值有： 6 ＝ 2 ＋ A A=4

例2

t=0 时 ,开关 K 闭合，求 t>0后的 iC 、 uC 及电流源两端的电压。

解 这是一个 RC 电路全响应问题，有： +

–10V

1A

1

+

－uC

1

+

－u

1

稳态分量： VuC 11110)(

)1)0(( VuC

全响应： VAetu tC

5.011)(

sRC 21)11(

A= － 10

Vetu tC

5.01011)(

Aedt

duti tC

C5.05)(

+

–24V

1A

1

+

－uC

1

+

－u

1

Veuitu tCC

5.0512111)(

3. 三要素法分析一阶电路

t

effftf

])()0([)()(0

时间常数初始值稳态解

三要素

)0( )(

ff

一阶电路的数学模型是一阶微分方程：t

eftf

A)()(

令 t = 0+

A)()0(0

ff

0)()0( ffA

cbftd

fda

其解答一般形式为：

分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题

用 0+ 等效电路求解用 t→的稳态电路求解

V2)0()0( CC uu

V667.01)1//2()( Cu

s233

2 CR等

0 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 teeu ttC

1A

2

例 1

13F+

- uC

已知： t=0 时合开关，求换路后的 uC(t) 。

解t

uc

2

(V)

0.667

0

t

cccc euuutu )]()0([)()(

例2

t=0 时 ,开关闭合，求 t>0 后的 iL 、 i1 、

i2

解 三要素为：

sRL 5/1)5//5/(6.0/

Aii LL 25/10)0()0( iL+

–

20V0.5H

5 5

+

–10V

i2i1

AiL 65/205/10)(

t

LcLLL eiiiti )]()0([)()(应用三要素公式

0 46)62(6)( 55 teeti ttL

Veedt

diLtu ttL

L55 10)5()4(5.0)(

Aeuti tL

51 225/)10()(

Aeuti tL

52 245/)20()(

例 3 已知： t=0 时开关由 1→2 ，求换路后的 uC(t) 。

2A 4

1

0.1F+

uC

－

+

－4

i1

2i1 8V+

－

12解 三要素为：

10/10

1

1

iuRiu

eq

ViiiuC 12624)( 111 4

+ －

4

i1

2i1

u

+

－

Vuu CC 8)0()0(

sCReq 11.010

t

cccc euuutu )]()0([)()(

Veetu

t

tc

2012]128[12)(

例 4i

10V

1H

k1(t=0)

k2(t=0.2s)3

2

已知：电感无初始储能 t = 0 时合 k1 , t =0.2s 时合 k2

求两次换路后的电感电流 i(t) 。

0 < t < 0.2s

A22)( 5teti

t > 0.2s

A25/10)(

s2.05/1/

0)0()0(

1

i

RL

ii

Ai

RL

Ai

52/10)(

5.02/1/

26.1)2.0(

2

26.122)2.0( 2.05 ei

A74.35)( )2.0(2 teti

解

tei 522 (0 < t 0.2s)

)2.0(274.35 tei ( t 0.2s)

i

t(s)0.2

5

(A)

1.262

例 4. 脉冲序列分析1. RC 电路在单个脉冲作用的响应

R

Cus

uR

uc

i

1

0 Tt

us

)0(1 Ttus

0su0

t

Tt

(1) 0<t<T

RC

t

cccc euuutu )]()0([)()( 1111

Vuu cc 0)0()0( 11

Vuc 1)(1 RC

0,1)(1

tVetu RC

t

c

0,)(1

tVetu RC

t

R

0,1

)(1

tAeR

ti RC

t

(2) t >T

RC

Tt

cccc euuutu

)]()0([)()( 2222

VeTuu RC

T

cc

1)()0( 12

Vuc 0)(2 RC

TtVeetu RC

Tt

RC

T

c

,)1()(2

TtVtutu cR ,)()( 22

TtAeR

eti RC

TtRC

T

,1

)(2

uc(t )

uR(t )

t0

t0

(a) <<T, uR 为输出

uR

输出近似为输入的微分

(b) >>T, uc 为输出

t0输出近似为输入的积分

R

Cus

uR

uc

i

uC

T

T

2. 脉冲序列分析

t0

(a) <<T

uRuc

R

Cus

uR

uc

i

t0

(b) >T

U1

U2

uc

uR

R

Cus

uR

uc

i

6.5 一阶电路的阶跃响应1. 单位阶跃函数

定义

0)( 1

0)( 0)(

t

tt t

(t)

0

1

单位阶跃函数的延迟

)( 1

)( 0)(

0

00 tt

tttt

t

(t-t0)

t00

1

t = 0 合闸 i(t) = Is )(t

Is

K

)(ti

u(t))(tI S

KE u(t) u(t))(tE

（ 1 ）在电路中模拟开关的动作 t = 0 合闸 u(t) = E )(t

单位阶跃函数的作用

（ 2 ）延迟一个函数

t

f(t)

0

)(sin tt

t

f(t)

0

)()sin( 00 tttt

t0

（ 3 ）起始一个函数

t

f(t)

0 t0

)()sin( tt )()sin( 0ttt

用单位阶跃函数表示复杂的信号

例 1

)()()( 0ttttf

(t)

t

f(t)

1

01

t0 t

f(t)

0

t0

- (t-t0)

)4()3()1(2)( ttttf

例 2

1 t

1

f(t)

0

2

43

)1()]1()([)( tttttf 例 4

1 t

1 f(t)

0

)1()1()( tttt

)1()1( tt

)(tt

)4()3(

)1()()(

tt

tttf

例 3

1 t

1

f(t)

0

2

43

)()( )1( ttu

例 5

t

1 u(t)

0 2

已知电压 u(t) 的波形如图，试画出下列电压的波形。

)1()2( )4( ttu

)1()1( )3( ttu

)()1( )2( ttu

t

1 u(t)

0－ 2 2

t

1 u(t)

0－ 1 1

t

1 u(t)

0 1

u(t)

t

1

0 21

i

C

+

–uC

R

uC (0 － )=0

)( t

)( )1()(

tetu RC

t

C

)( 1

)(

teR

ti RC

t

t

uc1

注意 )(

tei RC

t

和 0

tei RC

t

的区别

t0

1i

t0

R

1 i

2. 一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应

t

iC

0

激励在 t = t0 时加入，则响应从 t=t0 开始。

iC

(t -t0) C

+

–uC

R+

-

t- t0

RCC e

Ri

1( t - t0 )

R

1

t0

注意

RCeR

1－ t

( t - t0 )不要写为

)5.0(10)(10 ttuS

求图示电路中电流 iC(t ）。

10k

10kus

+

-

ic

100F

uC(0 － )=0

0.5

10

t(s)

us(V)

0

例 +

-

ic

100F

uC(0 － )=0

5k

SU5.0等效

)(5 t

5k+

-

ic

100F

叠加

)5.0(5 t

5k+

-

ic

100F

s5.010510100 36 RC

mA )( 5

1

d

d 2C tet

uCi t

C

SU5.0

5k+

-

ic

100F )( )1()( 2t tetuC 阶跃响应为：

由齐次性和叠加性得实际响应为：

)]5.0(5

1)(

5

1[5 )5.0(22 tetei tt

C

mA)5.0()( )5.0(22 tete tt

分段表示为

s)0.5( mA 0.632-

s)5.0(0 mA )(

5)0.-2(-

2

te

teti

t

t

t(s)

i(mA)

0

1

-0.632

0.5

波形

0.368

)5.0()5.0()5.0()( )5.0(2222 tetetetei ttttC

)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(222 tetette ttt

)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(2)5.0(212 teteette ttt

)5.0(632.0)]5.0()([ )5.0(22 tette tt

1 0

)()(lim0

ttp

/ 2

1/

t

p(t)

- / 2

)]2

()2

([1

)(

tttp t

(t)(1)

0

6.5 一阶电路的冲激响应1. 单位冲激函数

定义

)0( 0)( tt

1d)( tt

单位脉冲函数的极限

单位冲激函数的延迟

1d)(

)( 0)(

0

00

ttt

tttt

t

(t-t0)

t00

（ 1 ）

单位冲激函数的性质

（ 1 ）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。

)( 0 1

0 0d)( t

t

ttt

t

)()(

tdt

td

2. 冲激函数的筛分性

)0(d)( )0(d)()( fttftttf

)(d)()( 00 tfttttf

同理有：

d)6

()(sin tttt

02.162

1

66sin

例t

(t)(1)

0

f(t)

f(0)

* f(t) 在 t0 处连续

f(0)(t)

)0(1

)0( Cc uC

u

)(tRu

dtdu

C cc uc 不是冲激函数 , 否则 KCL 不成立

分二个时间段来考虑冲激响应。

电容充电，方程为：(1). t 在 0 － → 0+

间

电容中的冲激电流使电容电压发生跃变

例 1.

2. 一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应

uC(0 － )=0

iC

R

（ t ）

C

+

-uC

1d)(dd0

0

0

0

0

0

ttt

R

ut

dt

duC cc

0

1)]0()0([ cc uuC

(2).t > 0+ 为零输入响应（ RC 放电）

Cuc

1)0(

ic

R C

+uc

－

01

teC

u RC

t

c

0

1 te

RCR

ui RC

tc

cuC

t0

C

1

iC

t

(1)

RC

1

)(1

)(

)(1

teRC

ti

teC

u

RC

t

c

RC

t

c

)(tdt

diLRi L

L

iL 不可能是冲激函数

1)(0

0

0

0

0

0

dttdt

dt

diLdtRi L

L

1)0()0( LL iiL )0(

1)0( LL i

Li

(1). t 在 0 － 0+ 间方程为：

例 2

0)0( Li

L

+

-

iL

R

)(t+

-uL

分二个时间段来考虑冲激响应。

0

电感上的冲激电压使电感电流发生跃变

(2). t > 0+ RL 放电

RL

0

1 te

Li

t

L

0

te

L

RRiu

t

LL

)(1

teL

it

L

)()(

teLR

tut

L

LiL

1)0(

R

uL

iL+

－

t

iL

0

L1

t

uL

)(t

L

R

零状态R(t))(te

单位阶跃响应和单位冲激响应关系

单位阶跃响应

单位冲激响应

h(t)

s(t)

单位冲激

(t)

单位阶跃

(t) dttd

t)(

)(

)()( tsdtd

th

零状态h(t))(t

零状态s(t))(t

证明：

1

f(t)

t

)(1

)(1

)(

tttf

)(1

ts )(

1

ts

)]()([1

lim)(0

tststh )(tsdtd

1

s(t) 定义在（ - ，）整个时间轴注

)()( ttiS 先求单位阶跃响应 ,令：

)()1()( teRtu RC

t

C

iC

Ris

C

例 1

+

-uC

uC(0+)=0 uC()=R = RC

0)0( cu已知：

求： is (t) 为单位冲激时电路响应 uC(t) 和 iC (t)

iC(0+)=1 iC()=0

)(

tei RC

t

c

)()1(

teRdt

du RC

t

C

)()1( teR RC

t

)(1

teC

RC

t

)(1

teC

RC

t

)()0()()( tfttf 0

再求单位冲激响应 ,令： )()( ttiS

)]([d

d te

ti RC

t

c

)(1

)(

teRC

te RC

t

RC

t

)(1

)(

teRC

t RC

t

uC

R

t0

iC

1

t0

uC

t0

C

1iC

t

(1)

RC

1

冲激响应

阶跃响应

3. 电容电压或电感电流初值的跃变(1) 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变

tiC

uut

Ccc d1

)0()0(0

C

AuC )0(

iC

C)(tA

例 1

+-

uC

t

uc

C

A

uC(0-)

uC(0+)

0t

ic

)(tA

0

(2). 换路后电路有纯电容 (或纯电容和电压源）构成的回路。

tuL

iit

LLL d1

)0()0(0

L

AiL )0(

t

uL

)(tA

uL

+

-

iL

)(tA

例 2

+

-

t

iL

L

A

iL(0-)

iL(0+)

0

合闸后由 KVL uc(0+)=E

)(tEuc

)(tcEic

0)0( cu

ic 不是冲激函数 , uc 不会跳变

CEt eR

Edtiq RC

t

c

0

-

0d

)( 0 0 tCEiR c

EiC

C

k(t=0)

例 3

t

ic

0

uc

t

E

0ic

t(CE)

0

R RC

t

c eRE

i -

已知 ： E=1V , R=1 , C1=0.25F , C2=0.5F , t = 0

时合 k 。求： uC1 ， uC2 。 解

V1)0(1 EuC

0)0(2 Cu

电容电压初值发生跃变。

)0()0()0( 21 CCC uuu

合 k 前

合 k 后

t

uC

t

uCi CC

d

d

d

d 22

11

tt

uC

t

uCti CC d)

d

d

d

d(d

0

0

22

11

0

0

)]0()0([)]0()0([0 222111 CCCC uuCuuC

例 4

E

R

C1C2

+

-uc1

+

-uc2

k

(t=0)i iC1iC2

i 为有限值

0

（ 1 ）确定初值

节点电荷守恒

V3

1

5.025.0

125.0)0(

21

1

CC

ECuC可解得

)0()0()0()0( 22112211 CCCC uCuCuCuC

)0()()0()0( 212211 CCC uCCuCuC

q(0+)= q(0 － )

uC() = 4V

0

3

21)1

3

1(1)( 3

4

3

4

teetutt

C

= R(C1+C2) s4

3

i iC1 iC2

（ 2 ）确定时间常数

u

t0

)(9

2)(

6

1

)](9

8)()

3

21()([

4

1

d

d

3

4

3

4

111

tet

tett

t

uCi

t

t

C

0

3

21)1

3

1(1)( 3

4

3

4

teetutt

C

0)0(1)0(0 21 CC uut

)()3

21()()( 3

4

1 tettut

C

)()3

21()( 3

4

2 tetut

C

1/3 uC2

1

uC1

t

uCiC d

d 222

)()3

21()( 3

4

2 tetut

C

i

t-1/6

2/9

iC1

4/9

1/6

iC2

i iC1 iC2

)(9

4)(

6

1 3

4

tett

)](9

8)()

3

21[(

2

1 3

4

tett

i 无冲激

冲激电流由 C1 流向 C

2

根据物理概念求电容电流 00

3

21

3

11 Cu

转移的电荷 q1 = 0.25 (-2/3) = - 1/6

3/103/12 Cu

转移的电荷 q2 = 0.5 1/3 = 1/6

t > 0 +t

t

C et

ei 3

43

4

1 9

2

d

)32

1(d

4

1

t

t

C et

ei 3

43

4

2 9

4

d

)32

1(d

2

1

)(

9

2)(

6

1 3

4

1 tetit

C

)(9

4)(

6

1 3

4

2 tetit

C

- 1/6 (t) 冲激电流

1/6 (t) 冲激电流

3. 换路后电路有纯电感 (或纯电感和电流源）构成的割集

k

例5

+

-10V

2 0.3H 0.1Hi1 i2

3

+ u1 - + u2 - A5)0(1 i

0)0(2 i

)0()0( 21 ii而 电感电流发生跃变

已知如图求： i1 ， i2 和 u1 , u2

。

解

)0( i

10d

d1.03

d

d3.02 2

21

1 t

ii

t

iit > 0 + 电流方程为

0)]0()0([1.0)]0()0([3.0 2211 iiii

)0(1.0)0(3.0)0(1.03.0 21 iii）（即：

(0+) = (0 － ) 回路磁链守恒

A75.31.03.0

53.0)0(

i i() = 2A

075.12)275.3(2)( 5.125.12 teeti tt

= (0.3+0.1)/(2+3) ＝ 0.08s

0)0(5)0(0 21 iit

)()75.12()(5)( 5.121 tetti t

)()75.12()( 5.122 teti t

i

t0

)(5625.6)(375.0 5.12 tet t

3.75)](875.21)(75.3)(5[3.0 5.12 tett t

t

iu

d

d3.0 1

1 5

i2 i1

2

)()75.12()( 5.122 teti t

t

iu

d

d1.0 2

2

)(1875.2)(375.0 5.12 tet t

)](875.21)(75.3[1.0 5.12 tet t

u

t

u1

0.375

-2.1875

-6.5625

u2

-0.375

根据物理概念求电压

00 25.1575.31 i

转移的磁链 1 = 0.3 (-1.25) = - 0.375

75.3075.32 i转移的磁链 2 = 0.1 3.75 = 0.375

t > 0 + tt

et

eu 5.12

5.12

1 d

)75.12(d3.0

tt

et

eu 5.12

5.12

2 1875.2d

)75.12(d1.0

)(5625.6)(375.0 5.121 tetu t

)(1875.2)(375.0 5.122 tetu t

－ 0.375 (t) 冲激电压

0.375 (t) 冲激电压