第四章 静力学应用问题第四章 静力学应用问题

第一节 平面静定桁架

第二节 摩 擦

第三节 考虑滑动摩擦的平衡问题

第一节 平面静定桁架

平面静定桁架的构成

桁架杆件内力计算的常用方法

平面静定桁架的构成 桁架：由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构 。节点 ：桁架中杆件与杆件相连接的铰链

节点构造有

榫接，如图 (a) 所示焊接，如图 (b)所示铆接 , 如图(c) 所示整浇 , 如图 (d) 所示但均可抽象简化为光

滑铰链

平面桁架：所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架；空间桁架：杆件轴线不在同一平面内的桁架。

1. 各直杆两端均以光滑铰链连接；2. 所有载荷在桁架平面内，作用于节点上；3. 杆自重不计。如果杆自重需考虑时，也将

其等效加于两端节点上。

计算桁架各杆受力时的几点假设

满足以上假设条件的桁架称为理想桁架。理想桁架中的各杆件都是二力杆

简单桁架：桁架由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点，依次类推而构成。组合桁架：由几个简单桁架，按照几何形状不变的条件组成的桁架

简单桁架 组合桁架

简单桁架与组合桁架都是静定桁架

其杆件数 m 及节点数 n 满足： 2n ＝m+3

桁架杆件内力计算的常用方法

节点法

截面法

节点法

节点法适用于求解全部杆件内力的情况

以各个节点为研究对象的求解方法 以各个节点为研究对象的求解方法

求解要点

求解要点

1. 逐个考虑各节点的平衡、画出它们的受力图

2. 应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。

3. 在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压

截面法 假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象 假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象

求解要点

求解要点

适用于求桁架中某些指定杆件的内力，也可用于校核。

1. 被截开杆件的内力成为该研究对象外力，可应用平面一般力系的平衡条件求出这些被截开杆件的内力。

2. 由于平面一般力系只有 3 个独立平衡方程，所以一般说来，被截杆件应不超出 3 个。

零杆：桁架某些不受力的杆件

零杆对保证桁架几何形状是不可缺的。在计算中，先判断零杆 。

最常见的零杆发生在图示的节点处

例 4-1 一屋架的尺寸及载荷如图所示，求每根杆件的内力。

解：首先求支座 A 、 H 的反力，由整体受力图 (a)

040,0

,0)(

0,0

HA

HAE

A

NYY

NYm

XX

F YA ＝ NH ＝ 20

(kN)

选取 A 节点

0520sin,0

0cos,0

1

21

SY

SSX

S1= –33.5

kN( 压 ) ， S2=30

kN( 拉 )选取 B 节点

0,0

0,0

3

26

SY

SSX

S6= 30 kN ( 拉 ) ， S3= 0 ( 零杆 )

选取 C 节点

010sinsinsin

,0

0coscoscos

,0

451

541

SSS

Y

SSS

X

S4= –22.4 kN( 拉 ) ， S5= –11.2 kN

( 压 )选取 D 节点

010sinsin,0

0coscos,0

487

48

SSSY

SSX

S8= –22.4 kN( 压 ) ，S7= 10 kN( 拉 )

由于结构和载荷都对称，所以左右两边对称位置的杆件内力相同，故计算半个屋架即可。现将各杆的内力标在各杆的旁边，如图 (f) 所示。图中正号表示拉力，负号表示压力，力的单位为 kN 。

读者可取 H节点进行校核。

例 4-2 求图所示桁架中 CD 杆的内力。

解：按常规解法的思路是先求出支座 B 的反力，然后以节点法由节点 B 、 F 、 C 依次列方程解出 SCD 。

如果用截面法求解，初看是解不出来，因为被截杆数超过 3 。

用节点法配合一下，分析节点 E 的受力情况，可以由 X ＝ 0 算出 SED ＝ 0 ，即为“零杆”，将“零杆”去掉，桁架受力情况与图 (c) 中的桁架等效，再用截面 n–n 截出右半部桁架，画受力图 (d) ，列方程：

060sin

0

EBPDBS

m

DC

B F

)(866.060sin 压PPS DC

通过以上分析可知，如果能判断出哪一根是“零杆”，解题就比较方便。本题可不用求反力，仅用一个方程即可解决，解题速度便大大提高。

例 4-3 已知如图所示桁架中∠ CAB ∠＝ DBA ＝∠ CBA ∠＝ DAB ＝DA 、 DE 、 CB 、 CF均各为一杆，中间无节点，求桁架中 1 、 2 两杆的内力

6030

解：研究整体

PN

aPaPaNm

B

BA

3

4

0223,0

F

PPPNP

S

aSaPaNm

B

BA

77.0866.03

42

60sin3

32

0360sin23,0

2

2

F

用截面法 , 截出基本三角形 CFB, 受力如图 (b) 示

PP

S

aSaPm

CA

CAB

385.0866.03

030cos3,0

F

060cos60cos

,0

21

SSS

X

CA

P

PP

SSS CA

578.0

60cos77.0385.0

60cos60cos 21

033

4

3

2

3

4

060sin30cos3

60sin60sin3

42

3

4

060sin60sin2

PPPPP

PPPPP

SSPN CAB

用 X ＝ 0 方程校对：

求桁架各杆内力，主要是在受力分析和选取平衡研究对象上要多加思考，然后是求解平面汇交力系与平面一般力系的问题。

一般先求出桁架的支座反力。

在节点法中逐个地取桁架的节点作为研究对象。须从两杆相交的节点开始（通常在支座上），求出两杆未知力的大小和方向。再取另一节点，该点的未知力不多于两个，求出这一节点上的未知力。如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核所得结果是否正确。

在截面法中，如只需求某杆的内力，可通过该杆作一截面，将桁架截为两部分（只截杆件，不要截在节点上），但被截的杆数一般不能多于三根。研究半边桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。

在计算中，内力都假定为拉力

解 题 思 路解 题 思 路

第二节 摩 擦摩擦现象

静滑动摩擦

摩擦角

自锁条件

摩擦角在工程中应用

动滑动摩擦

滚动摩擦

摩擦现象滑动摩擦：阻碍彼此间沿接触面公切线方向的滑动或滑动趋势的作用，这种摩擦现象称为滑动摩擦，相应的摩擦阻力称为滑动摩擦力。

滚动摩擦：两物体之间具有相对滚动或相对滚动趋势，彼此在接触部位将产生阻碍对方相对滚动的作用，这种摩擦称为滚动摩擦，相应的摩擦阻力实际上是一种力偶，称之为滚动摩擦阻力偶。

静滑动摩擦力 当物体在外力作用下有运动趋势时，物体之间的摩擦力

作用线沿接触面公切线 ，方向与滑动的趋势的方向相反。 F ＝

P F ＝P

最大静滑动摩擦力在临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值 Fmax

0≤F≤Fmax 0≤F≤Fmax Fmax ＝ f N

摩擦角全反力：法向反力N 与静摩擦力 F 合成为全约束力 R 。

Q ：主动力 P 与 W 的合力

显然： R= —Q

摩擦角 ：当达到最大静摩擦力时，全反力 R 与接触面法线的夹角达到最大值 m ，称之为两接触物体的摩擦角

fN

F max

mtan

自锁条件物体平衡时全反力的作用线一定在摩擦角内即：≤ m

摩擦锥 ：如过全反力作用点在不同的方向作出在极限摩擦情况下的全反力的作用线，则这些直线将形成一个顶角为 2m 的圆锥

当物体所受主动力的合力 Q 的作用线位于摩擦锥以内时即 0≤≤m ，无论主动力 Q 的值增至多大，总有相应大小的反力 R 与之平衡，使此物体恒处于平衡状态，这种现象称为自锁

摩擦角在工程中应用

静摩擦系数的测定

摩擦角在工程中应用静摩擦系数的测定

tantan m f

把要测定的两个物体的材料分别做成一可绕 O 轴转动的平板OA 和一物体 B ，如图所示，并使接触表面的情况符合预定的要求。当角较小时，由于存在摩擦，物体 B 在斜面上保持静止并逐渐增大斜的倾角，直到物块刚开始下滑时为止

螺旋千斤顶的自锁条件 螺纹的自锁条件是使螺纹的升角 m小于或等于摩擦角 m 。≤ m

动滑动摩擦动摩擦力 ：两接触物体之间存在相对滑动时，其接触面上产生阻碍对方滑动的阻力称为动滑动摩擦力动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正压力成正比

F ＝ f N f ：动滑动摩擦系数，它主要取决于物体

接触表面的材料性质与物理状态（光滑程度、温度、湿度等等），与接触面积的大小无关

滚动摩擦 半径为 r 、重为 W 的圆轮置于水平面上，处于平衡状态，如图 (a) 示。今在轮心O 施加一水平力 P ，设水平面能提供足够大的摩擦力 F ，保证圆轮不滑动。由 X=0 ，有 F ＝ P ，即 P 力与 F 力组成一力偶。此时，如果圆轮与水平面都是绝对刚性，在图 (b) 情形下，圆轮受力不满足力矩平衡条件，将向右滚动。然而，当力 P 不太大时，圆轮既无滑动，也不滚动。这是什么缘故呢？

原来圆轮与水平面之间并非刚性接触，而是有变形存在。为简单计，假设圆轮不变形，地面有变形，如图示。地面的约束力是一分布力系，向 A 点简化，得法向反力 N ，摩擦力 F和阻力偶Mf ，如图示。接触面之间产生的这种阻碍滚动趋势的阻力偶称为静滚动摩擦阻力偶，简称静滚阻力偶。其大小Mf ＝ Pr ，与主动力有关，转向与圆轮相对滚动趋势相反，作用于圆轮接触部位。

当 P 力逐渐增大时，圆轮会达到一种欲滚而未滚动的临界平衡状态，此时， Mf 达到最大静滚阻力偶Mf max ，微小的扰动即使圆轮向右滚动

0≤Mf≤Mf max

静滚阻力偶Mf 应满足 :

Mf max ＝ N 滚动摩擦定律 :滚动摩阻系数，单位： cm 或 mm主要取决于物体接触面的变形程度，而与接触面的粗糙程度无关。

将 N 与 Mf max 合成为一个力 N ， N ＝ N ，作用线平移一段距离，如图示，这表明，滚动摩擦使正压力向滚动前进方向平移，平移的距离正好等于滚动摩阻系数。

滚动摩阻系数的几何意义 :

圆轮滚动的临界平衡条件 0,0 NrPmA F

Nr

P

＝滚

0,0 max FPX

NfFP max＝滑

圆轮滑动的临界平衡条件 :

滑滚故 PPfr

,一般情况下，

滚动临界平衡状态。这就是克服滚动摩擦比克服滑动摩擦要省力得多的原因。

即圆轮总是先到达

第三节 考虑滑动摩擦的平衡问题

例 4-4 图示颚式破碎机，已知颚板与被破碎石料的静摩擦系数 f＝ 0.3 ，试确定正常工作的箝制角 的大小。（不计滚动摩擦） 解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自重。根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚板的条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此两力使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与半径间的最大角度应为 m 。

22332

2416arctg

3.0

22

m

m

m

m

f

f知

例 4-5 图示一挡土墙，自重为 W ，并受一水平土压力 P 的作用，力 P 与地面的距离为d ，其它尺寸如图所示。设墙与地面间的摩擦系数为 f ；试求欲使墙既不滑动又不倾覆，力 P 的值所应满足的条件。

解：（ 1）先分析挡土墙不滑动的条件 取挡土墙为研究对象。在土压力 P 作用下墙体有向右滑动的趋势，地基对挡土墙的摩擦力 F向左。

0,0

0,0

WNY

FPX

WNP,F 根据静摩擦力的特点知

fNFF m

为了保证墙不滑动，力P 值所应满足的条件为

P fW

（ 2）再分析挡土墙不倾覆的条件

即： Wc≥Pd

故墙不倾覆的条件为

d

cWP

当墙即开始倾覆时，力 N 与 F 将作用在 B 点，如图示。力 P 使墙绕 B 点倾覆的力矩，称为倾覆力矩，其值为 Pd ；同时，重力 W 阻止墙绕 B 点倾覆，力 W 对 B 点的力矩，称为稳定力矩，其值为 Wc 。要使墙不倾覆，稳定力矩必须大于或等于倾覆力矩，

例 4-6 在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧的装置——楔联结。图示坑道支柱中的楔联结结构装置。它包括顶梁Ⅰ、楔块Ⅱ、用于调节高度的螺旋Ⅲ及底坐Ⅳ。螺旋杆给楔块向上的推力 P 。已知楔块与上下支柱间的静摩擦系数均为 f（或摩擦角 m ）。求楔块不致滑出所须顶角 的大小。

解：以楔块为研究对象，其受力图如图 (b)所示。楔块因有向左滑出的趋势，故除压力P 和法向约束反力 N 外，还有向右的摩擦力F1 及 F2 。当楔块处于临界平衡状态时，根据摩擦定律有

0sin)cos( NNPf

fPFF 1m1

fNFF 2m2

0sincos,0 21 NFFX

f

f

N

P cossin

cossin fN

P

cossin

cossin

f

f

f

将 f = tan m 代入上式，得

0cossin,0 2 NFPY

0cossin NfNP

f

f

N

P cossin

)(tan1tantan

tantan

cossintan

costansintan m

m

m

m

mm

即

mm m2

楔块不会滑出的条件为 : 2m 楔块不会滑出的条件为 : 2m

几何法求解 当楔块平衡时，力 P 与 F1 的合力 R1 ，力 N与 F2 的合力 R2 ，应等值、反向、共线。设R1 与 P 的夹角为 1 ， R2 与 N 的夹角为 2 则楔块不会滑出的条件 :

m2m1 及

根据图示的几何条件知：

21

m2

例 4-7 某变速机构中滑移齿轮如图 (a) 所示。已知齿轮孔与轴间的摩擦系数为 f ，齿轮与轴接触面的长度为 b 。问拨叉（图中未画出）作用在齿轮上的 P 力到轴线的距离 a 为多大，齿轮才不致于被卡住。设齿轮的重量忽略不计。 解：齿轮孔与轴间总有一定的间隙，齿轮在拨叉的推动下要发生侧倾，此时齿轮与轴就在 A 、 B 两点处接触。 取齿轮为研究对象

022

0)(

0,0

0,0

dF

dFbNPaM

NNY

PFFX

BABO

BA

BA

F

考虑平衡的临界情况（即齿轮将动而尚未动时）得：

BBAA fNFfNF ,联立以上五式可解得

f

ba

2

要保证齿轮不发生自锁现象（即不被卡住） fNNNfFFP BABA 2)( 则：

bNPa B BB fNNa

bP 2

这是临界情况所要求的条件

f

ba

2

例 4-8 质量 m ＝ 20 kg 的均质梁 AB ，受到力 Q ＝ 254 N 的作用。梁的 A 端为固定铰链，另一段搁置在质量 M ＝ 35 kg 的线圈架芯轴上。在线圈架的芯轴上绕一不计质量的软绳，如图示，如不计滚动摩擦，试求最少要在此绳上作用一多大的力 P ，才能使线圈架运动？线圈架与 AB梁和地面 E 的滑动摩擦系数分别为fD ＝ 0.4 ， fE ＝ 0.2 ， 图 中 R ＝ 0.3m ， r ＝0.1m 。

解：线圈架由静止状态开始运动，就其临界状态而言，运动形式有三种可能性：（ 1 ） D和 E 均发生滑动；（ 2）沿地面滚动而无滑动（ 3）沿 AB梁滚动而无滑动。 以 AB梁为研究对象

N3003

2

023

,0

mgQN

mgQN

m

D

D

A F

以线圈架为研究对象

N643

0,0

MgNN

MgNNY

DE

DE

讨论三种可能发生的运动情况 讨论三种可能发生的运动情况

线圈架的 D 、 E 两点都滑动

N6.1286432.0

,N1203004.0

EEE

DDD

NfF

NfF此时：

0,0 1 ED FFPX

N6.2481 ED FFP

线圈架沿 AB梁滚动而无滑动 NfFNfF EEDDD ,此时：

＝ 128.6 N

03.01.01.02,0 2 ED FPm F

N2.25722 EFP

线圈架沿地面滚动而无滑动

DDDEEE NffNfF ,此时： =120 N

01.03.03.01.0

,0

3

PF

m

D

E F

N24023 DFP

显然： P3<P1<P2

因此，当 P 力由零开始逐渐增大至 P3 ＝ 240 N 时，线圈架开始沿地面滚动

例 4-9 卷线轮重 W ，静止放在粗糙水平面上。绕在轮轴上的线的拉力 Q ，与水平成角，卷线轮尺寸如图所示。设卷线轮与水平面间的静滑动摩擦系数为 f ，滚动摩阻系数为。试求：（ 1）维持卷线轮静止时线的拉力 Q 的大小；（ 2）保持 Q 力大小不变，改变其方向角，使卷线轮只匀速滚动而不滑动的条件。

解：卷线轮失去静止平衡的情形有两种：开始滑动和开始滚动。考虑卷线轮为非临界平衡状态，

cos,0cos,0 QFFQX ∴

sin,0sin,0 QWNWNQY ∴

0cos

,0

rRQM

m

f

A

F

rRQM f cos

sinmax QWffNF

sinmax QWNM

保持轮静止的条件

F≤Fmax,

sincos QWfQ

sincos f

fWQ

•不滑动条件

sinmax QWffNF

cosQF

sincos QWrRQ

Mf≤Mmax

sincos

rR

WQ

•不滚动条件

sinmax QWNM

rRQM f cos

Q 同时满足上面二式，卷线轮将静止不动

卷线轮只匀速滚动而不滑动的条件 F<Fmax,

rRf

cos

cos

Mf ＝ Mmax

sincos f

fWQ

sincos

rR

WQ

sincossincos f

fW

rR

W

卷线轮只匀速滚动而不滑动的条件