, :

, , , .

:

, .

:

Z(X) = c1x1 + c2x2 + + cnxn (max) min

xj0, j = 1,2,,n

: , ; , . : Z(X) = c1x1 + c2x2 (min) max

X10, X20

, Z. . , . c1x1 + c2x2 = l, l const. . , . 1 2, , Z, Z.

. 3.1. Z

. 3.2. Z

. 3.3. Z

. 3.4.

: , . , . , . . . , .

: 6. , (), , .7. .

:

, .. ; ; () .

. , .

: ; , ; , .

= (10, 20, , m0, 0, ), ( ) 1, 2, , m, , . r ( ). , , .. r=m. m, , .

, , . . , ,

k Ak, ( ); l Al, ( , ).

- :

Zmin= co + c1x1 + c2x2 + + cnxn xj0, j = 1,2,,n , , . : x1, x2, xr ; xr+1, xr+2, xn .

- -. . 3.1

- xr+1xr+2 xnx111r+11r+21nx222r+12r+22nxrrrr+1rr+2rnZmin0r+1r+2n - - , . , , . (-). , . . -, . -.

- . , , . . - : 3.2

- xr+1x1 xnxr+21/ 1r+21r+1/ 1r+21/1r+21n/ 1r+2x2-(2r+2) /1r+2xr-(rr+2)/1r+2Zmin-(r+2) /1r+2 -

. 3.2, . 3.1, . . 3.2, . 3.1, . 3.1 . . 3.2, . 3.1, . 3.1 .

- . 3.2, . 3.1, . . 3.2, . 3.1, . 3.1 . . 3.2, . 3.1, . 3.1 . : . 3.1, , , ; .

- . 3.2 . 3.1 , , - . , , , . , . , . , ( ).

- - , , ..

, , ,

, . n r : (3.1) (3.1) . y1, y2,, yr , . :

(3.2)

, (3.1) (3.2) , yi, 0. , , (3.1) -1. yi 0, , yi . (3.2) (3.3)

(3.3)

, (3.2) (3.3) -. , . , yi . : , yi , . , yi , . -, (3.3), , , yi , yi .

m 1, 2 , , m. n b1, b2, , bn. ij (i = 1, 2,m; j = 1, 2, n) i- j- . , , . :

bjaib1b2bna1c11c12c1na2c21c22c2namcm1cm2cmn

() xij (i = 1,2, , m; j = 1,2,, n) i- j- . :

(3.4)

:

(3.5) (3.6)

(3.7)(3.8)

, : (3.5), (3.6), (3.7) (3.8). , , ..

, - . , , .

, , , .

N = m + n 1, , N.

, , , .

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), (ik, j1), , .

, . , , .

. , - , . , , , , , . , , , , , . , , , .

- . , , . . , , . , (i,j), , .. (0*), .

- . , m + n 1 , , . , - , , , .

, ,

, , , () (). , , , - . , . , . , . , , , , . .

, () ui, i = 1, 2, m vj, j = 1,2, , n, :(3.9) (3.10)

(3.9) . m + n ui, i = 1,2,,m vj, j = 1,2,n. , , m + n - 1. , , .

, () ui, i = 1, 2, m vj, j = 1,2, , n, :(3.9) (3.10)

(3.9) . m + n ui, i = 1,2,,m vj, j = 1,2,n. , , m + n - 1. , , .

(3.10) . : ( ) . , ( ) . . (l,k) , max{ } = . , . , (l,k) , = min{ij} .

{

: , ..

(n + 1)-

, i(n+1) = 0.

: , ..

(m + 1)-

, (m+1)j = 0. , , , .

: . , .

( - ), ( m+n -1) ( ).

: , .

. ( , ) ( ). , , .

: . , , . 0, , . , . .

: , . , , , . + - , + . ( ) = min{ij}. - , min{ij}, . , , , m+n -1. 3 .

.

, : 3.3

1. . : . , (. 3.4).

2. (. . 3.4). X1 . :

3.4

3. . . :

. . : . :

(. 3.5).

, . , , , . 3.5

4. . (

, . ,

. (2, 4) . +, , , (2, 4), (3, 4), (3, 2), (2, 2). . 3.5. + , + (2, 4). , +, , , , . , . , : . = 100. (. 3.6).

3.6

( . 3.6). :

. , . :

- , , , , . , (). , , . () , .

. : , , ; ; ; ; . - () () , . , , , , .

. (), . () . . , . Si , , n . , , , . , Rj m. Rj , Si , , , .

. , , , ( ) Rj, Si. , Rj- Si- (), (, ) j- i- , - Vij.

. S1S1SnR1V11V12V1nR1R1V21V22V21R1RmVm1V12VmnRmS1S1Sn ||rij||. . ||rij|| :

, , , , i- .

.

. , Sj . Sj qj, :

n Sj. Ri :

.

,

Mi (R) , Ri, ||Vij|| - .

||Vij|| () , Mi (R). ||rij||, :

. ,

Sj. Ri. Vij , . Ri max {Vij}, Ri ( i), , .. , ,

Vij , .

. ,

||rij||. , Vij , rij . Ri, (.. ).

. ,

, . : ; , ; . : n (), , , ; , ; (, , , ); ( ) , .

. , . ( ) ( ). ( ) , . . . , . . , , . , .

. ,

m , - n , , m x n. m x n. : {i}, {Bj}, , aij i Bj . I , .. . . , , , , . . .

. , --. i, , j , .

, :

. , , .

. ,

, :

. . . , , , .

. ,