《应用时间序列分析》何书元 编著

北京大学出版社

概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域：金融经济气象水文信号处理机械振动…………

Wolfer 记录的 300 年的太阳黑子数

太阳黑子对地球的影响 会出现磁暴现象 会引起地球上气候的变化 会影响地球上的地震 会影响树木生长 会影响到我们的身体 ………………………

杭州近三年房价走势

房地产业、房价 关乎国计民生的支柱产业 影响着城镇居民的住房消费 影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关

行业的发展 影响着地方政府财政收入 …………………………….

股市是经济的晴雨表 从股市本身看，我国股市的确有自己的

特点 股票是一种高风险的资本投资 ………………………………

1985 至 2000 年广州月平均气温

国际航空公司月旅客数

0 50 100 150100

200

300

400

500

600

700

化学反应过程中溶液浓度数据

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016

16.5

17

17.5

18

18.5

目的：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的

建模和预测方法

参考书：1. 时间序列的理论与方法 田铮 译 高等教育出版社2. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric

Methods Jianqing Fan Qiwei Yao3. 应用时间序列分析 王燕 中国人民大学出版社 4. 时间序列分析 易丹辉 中国人民大学出版社 5. 时间序列分析的小波方法 机械工业出版社

目 录

第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA 模型的参数估计

《应用时间序列分析》

第一章

时间序列

时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数

§ 1.1 时间序列的分解 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过

程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。

一、时间序列的定义 时间序列 : 按时间次序排列的随机变量序列

个观测样本 : 随机序列的 个有序观测值 称序列 是时间序列 (1.1) 的一次实现或一条轨道

)1.1(,, 21 XX

)2.1(,,, 21 nxxx n n

)3.1(,, 21 xx

二、时间序列的分解

趋势项 、季节项 、随机项

)4.1(,2,1, tRSTX tttt

}{ tT }{ tS }{ tR

模型的描述、解释 自然规律：一年四季变化 ( 降雨量、气温等等 ) 生活规律：周六、周日休息日 每天的上下班 ( 用水量、用电量 旅游人数、乘客人数 )

经济发展规律：螺旋型上升 ( 国民生产总值、股市价 格、外率等等 ) 社会的发展规律 : ( 道路是曲折的、前途是光明的 ) ………………………

注： 1. 单周期 s 季节项，则

此时在模型中可要求

.,2,1),()( ttSstS

s

j jt tS1

,2,1,0

2. 随机项，可设

3.

.,0E tRt

三、分解方法

例一 . 某城市居民季度用煤消耗量

例图

分解一般步骤1. 趋势项估计

分段趋势 ( 年平均 ) 线性回归拟合直线 二次曲线回归 滑动平均估计

}ˆ{ tT

2. 估计趋势项后 , 所得数据由季节项和随机项组成 , 季节项估计可由该数据的每个季节平均而得 .

3. 随机项估计即为

方法一：分段趋势法1 、趋势项 ( 年平均 )

减去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX

2 、季节项 }ˆ{ tS

3. 随机项的估计

.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt

方法二：回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型

最小二乘估计为

可得到

.24,,2,1,9.211.5780ˆ ttTt

2421

111,),,,(

.24,,2,1,

21

YxxxX

tbtax

T

tt

YXYYba TT 1)()ˆ,ˆ(

1. 直线趋势项

消去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX

2 、季节项估计 为}24,,2,1,ˆ{ tSt

3. 随机项估计为.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt

方法三： 二次曲线法

26.10.175.5948 ttxt

YXYYcba TT 1)(),,(

24,,2,1,2 tctbtax tt

1. 二次项估计（趋势项）数据和二次趋势项估计

2. 季节项、随机项

例二、美国罢工数（ 51-80 年） （滑动平均法）

0 5 10 15 20 25 303000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

1. 趋势项（ 5 项平均）

2. 季节项和随机项

0 5 10 15 20 25 30-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

例三、化学溶液浓度变化数据

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016

16.5

17

17.5

18

18.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

例四、 Canadian lynx data （猞猁）

例五、沪深 1209（股指期货）

0 20 40 60 80 100 120 140 1602200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0 50 100 150

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

)(log)1(log)( tXtXtY

例六、国际航空公司的月客数

0 50 100 150100

200

300

400

500

600

700

y2=log(y1); plot(y2);

0 50 100 1504.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

y3=diff(y2); y=y3(13:143)-y3(1:131);

0 20 40 60 80 100 120 140-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15数 据 处 理 后 的 图

§1.2 平稳序列1. 时间序列的分解中趋势项和季节项通

常可以用非随机函数来描述。2. 随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。

一、平稳序列

例 2.1 平稳序列的线性变换

baEYt

例 2.2 调和平稳序列

自协方差函数的性质

性质 (2) 的证明 证 任取一个 维实向量有

Tnaaa ),,,( 21 n

0])([

))((

2

1

1 1

1 1

n

i ii

n

i

n

j jiji

n

i

n

j jijinT

XaE

XXaaE

aa

性质 (3) 、 Schwarz 不等式

非负定性、随机变量的线性相关

自相关系数

白噪声、白噪声模拟

例 2.3 Poisson 过程

Poisson 白噪声

Poisson 白噪声的 60 样本的产生

1. 随机产生服从 (0,1) 上均匀的 200 个样本 :

2. 给出服从参数为 1 的指数分布的 200 个独立样本 ;

3. 给出参数为 1 的 Poisson 过程一条样本轨道在 i=1,…,61 上的取值；

参数为 1 的 Poisson白噪声的60 个样本 I

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

样本 II

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

例：布朗运动

标准正态白噪声的 60 个样本 : A=randn(1,60) ； plot(A)

随机相位

随机相位独立白噪声的 60 个样本

独立白噪声的 60 个样本，其中独立同分布且都在上服从 均匀分布

ZtUatbX tt ),cos(

)2,0( ,, 21 UU

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

二、正交和不相关性

定理 2.2

§1.3 线性平稳序列和线性滤波 有限运动平均 线性平稳序列 时间序列的线性滤波

有限运动平均

)2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

MA 的平稳性

概率极限定理

线性平稳序列

1. 线性序列的 a.s. 收敛性

2. 线性序列的平稳性

注 : 绝对可和下的线性序列

注 : 均方意义下的线性序列

Nj

jNj

jtj aaE||

222

||

0)(

证 当 时

.0][2

][

][

||||

||||

2/||

2/1222

2/||

2/1222

2/||

2/1222

2/|| 2/||

22

2

kj kjj j

kj jj j

kj kjj j

kj kj kjjkjj

j kjjk

aa

aa

aa

aaaa

aa

k

单边线性序列

线性滤波

矩形窗滤波器

例 3.1 余弦波信号的滤波

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

注 :

)2/sin(

)]2/sin()2/[sin(2

1

)2/sin()cos(

)cos()cos())(cos(

M

jj

j

UtjbUjtb

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

余弦波信号的滤波

§1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性 随机向量的数学期望和方差 正态平稳序列

随机向量的数学期望和方差

随机向量线性变换

多维正态分布

多维正态分布的充要条件

正态平稳序列

概率极限

正态序列收敛定理

正态线性序列

证明 平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何 ,有

其中 .

Nm

)9.4(),,0(~),,,( 21 m

Tm NXXXX

j ijjimmkjm

aa2,)(

对任何 , 定义

则有当 时 , 有

Tmbbbb ),,,( 21

n

0|)(| kk XnE

0|])([|||

|]))(([||)(|

1

1

m

k kkk

m

k kkkn

nXbE

nXbEYE

由定理 4.2, 得到 依分布收敛到 ， 且Yn

则 从而由 和定理 4.1得到 (4.9).

).,(~ VarYEYNY bbVarYEY mTΣ ,0

用同样方法可以证明 : 对任何 有

其中 .定理 4.4 成立 .

注 : 当 时结论仍成立 .

)10.4(),,0(~),,,( 21 m

Tlmll NXXXX

j ijjimmkjm

aa2,)(

Nl

2}{ la j

§1.5 严平稳序列及其遍历性

严平稳与宽平稳关系

遍历性

宽平稳遍历性例子

严平稳遍历定理

例 5.1

线性平稳列的遍历定理

（ 1 ）正态白噪声（ 2 ） Poisson白噪声（ 3 ）独立同分布的白噪声

Hilbert 空间中的平稳序列 Hilbert 空间 内积的连续性 复值随机变量

Hilbert 空间

内积的连续性

例、 n 维 Hilbert 空间

复值随机变量

复值时间序列

§1.7 平稳序列的谱函数 时域和频域

谱函数定义

谱函数存在唯一性定理

谱函数和谱密度的关系

线性平稳序列的谱密度

例 )2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

自相关函数图

谱密度图

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

两正交序列的谱

线性滤波与谱