ασκήσεις στην τετραγωνική ρίζα

ΜΕΡΟΣ Α ΄ 2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 57

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α τον θετικό αριθμό x (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α ) που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Άρα:

Αν είναι 0≥α, α=x , τότε ή 0≥ και xα=x 2

αν ( ) α=α τότε0≥α 2

ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

• Όταν ο αριθμός α είναι θετικός μπορούμε να γράψουμε α=α2 .

• Επειδή είναι 02=0 ,ορίζουμε ότι 0=0 . ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Για τους x, y ισχύει: x=y .Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Α Β Γ

α) Ο x είναι: Θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν Οποιοσδήποτε αριθμός

β) Ο y είναι: Θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν Οποιοσδήποτε αριθμός

γ) Ισχύει η σχέση: x2=y y2=x x2=y2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι το Α λόγω του ορισμού της τετραγωνικής ρίζας. β) Είναι το Α λόγω του ορισμού της τετραγωνικής ρίζας. γ) Είναι το Β λόγω του ορισμού της τετραγωνικής ρίζας.

ΜΕΡΟΣ Α΄-2.1- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 58

2. Η εξίσωση x2= 16 έχει ρίζες: Α: μόνο το 4 Β: μόνο το -4 Γ: το 4 και το -4.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έχει το 4 και το -4 γιατί 42=16 και (-4)2=16. Οπότε σωστό είναι το Γ.

3. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμό της στήλης Α την τετραγωνική του ρίζα που βρίσκεται στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

ί) 16 α) 9 ii) 3 iii) 2 β) 16 iv) 8

v) 5 γ) 4 vi) 18 vii) 6 δ) 25 viii) 4

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι: α→ii γιατί 32=9, β→viii γιατί 42=16, γ→iii γιατί 22=4 , δ→v γιατί 52=25

4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). α) 8=16 β) 16=4 γ) 3=9 δ) 0,2=0,4 ε) 3=9 στ) η 0 δεν υπάρχει ζ) 2=4 η) 5=9+16 θ) 2=3-5=9-25 ι) 50=100

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) 8=16 είναι λάθος γιατί 4=16 (Λ)

16=4 2=4β) είναι λάθος γιατί (Λ)


γ) 3=9 είναι σωστό γιατί (Σ) 9=32

είναι λάθος γιατί (Λ) 0,04=0,220,2=0,4δ) ε) 3=9 είναι λάθος γιατί έχουμε ρίζα αρνητικού αριθμού που δεν έχει νόημα (Λ) στ) “η 0 δεν υπάρχει” είναι λάθος γιατί υπάρχει και είναι 0=0 ζ) 2=4 2=4 είναι λάθος γιατί (Λ)

είναι σωστό γιατί 5=25=9+16 (Σ) η) 5=9+16θ) 2=35=925 είναι λάθος γιατί 416925 ==− (Λ)

100=10 γιατί 10=100 2ι) 50=100 είναι λάθος γιατί (Λ)

5. Αν x είναι ένας θετικός αριθμός, στις παρακάτω προτάσεις να επιλέ-ξετε τη σωστή απάντηση.

Α Β Γ Δ Ε

1 Αν 5=x ,τότε 10=x

25=x 22=x 2,5=x Η σχέση είναι αδύνατη

2 Αν 9=x ,τότε 3=x 81=x 5,4=x ±81=x

Η σχέση είναι αδύνατη

3 Αν 11=x ,τότε 4=x 4=x 256=x 8=x Η σχέση είναι αδύνατη

4 Αν x=100 10=x

50=x 100=x =x ±10 Η σχέση είναι αδύνατη

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. είναι το Β γιατί =x→ 5=x 25=52 2. είναι το Β γιατί 81=92 =x→ 9=x3. είναι το Ε γιατί η ρίζα είναι πάντα θετικός αριθμός και εδώ -16<0 4. είναι το Α γιατί 100=2 .Είναι και 10 και 100=x→x=100 2

( )10 100=2 αλλά δεν μπορεί να είναι -10=100


Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Να υπολογίσετε τις επόμενες τετραγωνικές ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 1

12136

, 49

400 ,

25144

, 49

δ)

0,0121 , 12100 , 1,21 , 121 γ)

40000 , 400 , 0,04 , 4 β)

8100 , 0,81 , 81 α)

90=8100

0,9= 0,81

9= 81 α)

200=40000

20= 400

0,2= 0,04

2= 4 β)

0,11=0,0121

110= 12100

1,1= 1,21

11= 121 γ)

116

=12136

720

=49400

512

=25

144

23

= 49

δ)

8100=90 γιατί 90=8100

0,81=0,9 γιατί 0,9= 0,81

81=9 γιατί 9= 81 α)

2

2

2

40000=200 γιατί 200=40000

400=20 γιατί 20= 400

0,04=0,2 γιατί 0,2= 0,04

4=2 γιατί 2= 4 β)

2

2

2

2

0,0121=0,11 γιατί 0,11=0,0121

12100=110 γιατί 110= 12100

1,21=1,1 γιατί 1,1= 1,21

121=11 γιατί 11= 121 γ)

2

2

2

2

12136

=116

γιατί 116

=12136

49400

=720

γιατί 720

=49

400

25144

=5

12 γιατί

512

=25

144

49

=23

γιατί 23

= 49

δ)

2

2

2

2

ΛΥΣΗ


Να υπολογίσετε τους αριθμούς: ΑΣΚΗΣΗ 2

( ) =18 δ) , =18.18 γ), =18+18 β) , =36 α)2

ΛΥΣΗ

( ) 18=18 δ)

18= 18=18.18 γ)

6= 36 =18+18 β)

6=36 α)

2

2

( ) ( ) α=α τότε0≥α αν γιατί 18=18 δ)

α=α τότε0≥α αν γιατί 18=18=18.18 γ)

6=36=18+18 β)

36=6 γιατί 6=36 α)

22

22

2

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να τοποθετήσετε σε κάθε τετράγωνο(παύλα) έναν κατάλληλο αριθμό, ώστε να ισχύει η αντίστοιχη ισότητα.

( )( ) 6=+ στ), 0=-2 ε) , 11=2+ δ)

6=3+ γ)5,= β) , 32

=4

α)

2

2

ΛΥΣΗ

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) 6,=0+6=0+6

είναι και τέλος6=1+5=1+5είναι ακόμα

6,=5+1=25+1 επίσης 6,=4+2=16+2

είναι επίσης6,=3+3=9+3Είναι και

α=α τότε0>α α γιατί γι6=4+4 στ)

4=2 και 2=πει γιατί πρέ0=4-2 ε)

81=9 και 9=2-11= γιατί 11=2+81 δ)

36=6 και 36=3+33 γιατί 6=3+33 γ)

α=α τότε0>α α γιατί γι5=5 β)

94

=32

γιατί 32

=94

α)

2

2

22

2

22

2

2

22

2

( )

( ) 6=4+4 στ)

0=4-2 ε)

11=2+81 δ)

6=3+33 γ)

5=5 β)

32

=94

α)

2

2


Να αποδείξετε ότι: ΑΣΚΗΣΗ 4

3=9+1+2+7 γ)

2=4+2+2 β)

2=9+24

α)

3=9=2+7=4+7=

=2+2+7=4+2+7=

=3+1+2+7=9+1+2+7 γ)

2=4=2+2=

=4+2=2+2+2=4+2+2 β)

2=4=3+1=3+22

=9+24

α)α) αντικαθιστούμε τις ρίζες

ΛΥΣΗ

3=9 και 2=4 μέσα στην υ-πόρριζη ποσότητα και κάνουμε τις πράξεις οπότε προκύπτει το ζητούμε-νο αποτέλεσμα. β) Εδώ ξεκινάμε να κάνουμε τις α-ντικαταστάσεις από τα μέσα προς τα έξω στις υπόρριζες ποσότητες. Όλες οι προκύπτουσες ρίζες είναι γνωστές και μετά από πράξεις προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα. γ) Ακολουθούμε την ίδια πορεία όπως και στο προηγούμενο ερώτημα.

ΑΣΚΗΣΗ 5 Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των παρακάτω ορθογωνίων τριγώ-νων.

13 5 x 3 y 6

β 12 8

85 α 37 γ 36 21

ω 20 12

ΛΥΣΗ


100=10 γιατί 10=100=x

Επομένως, 100=x64+36=x8+6=x

2

2

2

222

25=5 γιατί 5=25=y

Επομένως, 25=y144169=y1213=y

2

2

2

222

16=4 γιατί 4=16=β

Επομένως, 16=β925=β35=β

2

2

2

222

841=29 γιατί 29=841=α

Επομένως, 841=α400+441=α20+21=α

2

2

2

222

1225=35 γιατί 35=1225=γ

Επομένως, 1225=γ1441369=γ

1237=γ

2

2

2

222

5929=77 γιατί 77=5929=ω

Επομένως, 5929=ω12967225=ω

3685=ω

2

2

2

222

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο πρώτο τρίγωνο Αντικαθιστούμε τις δυνάμεις με το ίσο τους. Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Ομοίως στο δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο Εδώ θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι και y=-5

γιατί αλλά επειδή το y εκφρά-( ) 25=2

5=2yζει μήκος απορρίπτεται.. Ομοίως στο τρίτο ορθογώνιο τρίγωνο Και εδώ θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι και y=-4

γιατί αλλά επειδή το y εκφρά-( ) 16=2

4=2yζει μήκος απορρίπτεται.. Ομοίως στο τέταρτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως και εδώ απορρίπτεται η λύση y=-29. Ομοίως στο πέμπτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως και εδώ απορρίπτεται η λύση y=-35. Ομοίως στο έκτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως και εδώ απορρίπτεται η λύση y=-77.

ΑΣΚΗΣΗ 6


Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

81

100= xδ) , 64= x γ), 25= xβ) 9,= xα) 2222

( )( )( )

910

= xάρα 81

100=

910

και 81

100=

910

-Είναι ,81

100= xδ)

8= xάρα 64=8 και 64=8-Είναι 64,= xγ)

5= xάρα 25=5 και 25=5-Είναι 25,= xβ)

3= xάρα 9=3 και 9=3-Είναι 9,= xα)

222

222

222

222

Σε όλες τις περι-πτώσεις επειδή το x είναι θετι-κός αριθμός από τους δύο αριθ-μούς που δίνουν το ίδιο αποτέλε-σμα παίρνουμε τον θετικό αριθ-μό

ΛΥΣΗ

Α

Β Γ

3,7 3,7

2,4

Δ

65 m

72 m

δ

ΑΣΚΗΣΗ 7

Να υπολογίσετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος. ΛΥΣΗ

12,25=3,5γιατί

3,5=12,25=ΑΔ

12,25=ΑΔ1,4413,69=ΑΔ

1,23,7=ΑΔΒΔΑΒ=ΑΔ

2

2

2

222

222 Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ Αντικαθιστούμε τις τιμές των πλευρών που μας δώσανε (στην θέση της ΒΔ βάζουμε το μισό της πλευράς ΒΓ λόγω του ότι η ΑΔ είναι ύψος ισοσκελούς τριγώνου και τέμνει την βάση ΒΓ στο μέσο. Αντικαθιστούμε τις δυνάμεις με το ίσο τους Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας.

ΑΣΚΗΣΗ 8


Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις 65 m και 72 m.

97m=9409=δ

9409=δ4225+5184=δ

65+72=δ

2

2

222ΛΥΣΗ

Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζει η διαγώνιος δ το ορθογώνιο(είναι ίσα ).

Αντικαθιστούμε τις τιμές των διαστάσεων που μας δώσανε Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας.

Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αν αυξηθεί κατά 8, γίνεται ίσο με το τρι-πλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;

ΑΣΚΗΣΗ 9

ΛΥΣΗ

Έστω x ο ζητούμενος αριθμός τότε δημιουργούμε την εξίσωση (δευτέρου

βαθμού) ακολουθώντας την εκφώνηση του προβλήματος (προσοχή το πρό-

βλημα λέει το τριπλάσιο του τετραγώνου και όχι το τετράγωνο του τριπλα-

σίου) .Κατόπιν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Διαιρούμε με τον συ-

ντελεστή του αγνώστου. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας.

Εδώ θα μπορούσε να ήταν λύση του προβλήματος και ο αριθμός x=-2 αλλά το

πρόβλημα μιλά για θετικό αριθμό. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι το 2

Επαλήθευση: 2

2=4=x

4=28

=x

2x=8x3x=8

3x=8+x

2

2

22

22

2+8=4+8=12, 3.22=3.4=12

Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το μήκος x ΑΣΚΗΣΗ 10

ΛΥΣΗ


5=25=α

25=α9+16=α3+4=α

2

2

222

12=144=β

144=β25169=β513=β

2

2

222

15=225=γ

225=γ144+81=γ12+9=γ

2

2

222

8=64=x

64=x225289=x1517=x

2

2

222

Εφαρμόζουμε διαδοχικά το πυθαγόρειο θεώρημα αρχίζοντας από το ορθογώνιο τρίγωνο (με πλευρές 3,4,α) από το οποίο βρίσκουμε το α. Κατόπιν χρησιμοποιώντας την τιμή του α που υπολογίσαμε βρίσκουμε και την τιμή του β κατόπιν ομοίως του γ και τέλος την τιμή του ζητούμενου x. ΑΣΚΗΣΗ 11

Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2α , α , α στις παρακάτω δύο περιπτώσεις: α) Αν α>1 π.χ. α = 4, α = 9, α = 16...

β) Αν 0<α<1 π.χ. ... ,161

=α, 91

=α , 41

=α

Τι παρατηρείτε; ΛΥΣΗ

Σε κάθε περίπτωση είτε α>1 είτε 0<α<1 χρησιμοποιώντας τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας και της δύναμης σε κάθε παράδειγμα υπολογί-ζουμε το αντίστοιχο αριθμη-τικό αποτέλεσμα και διατάσ-

σουμε τους αριθμούς α ,α και α2. Παρατηρούμε ότι εάν α>1 τότε

α<α<α οπότε 2561=α,

161=α ,

41=

161


91=α ,

31=

91


41=α ,

21=

41 β)

α>α>α οπότε 256=α16,=α 4,=16α

α>α>α οπότε 81=α9,=α 3,=9α

α>α>α οπότε 16=α4,=α 2,=4α α)

22

22

22

22

22

22

=

=

=

α\<α2α >> ενώ αν

0<α<1 τότε α<α<2α

ΑΣΚΗΣΗ 12 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

α β α β β.α αβ 9 4 36 49

Τι συμπεραίνετε; ΛΥΣΗ


α β α β β.α αβ 9 4 3=9 2=4 6=3.2=4.9 6=36=9.4 36 49 6=36

7=49 42=6.7=49.36 42=1764=36.49

= αβ Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλανή σχέση, δηλαδή ότι το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών δύο θετικών αριθμών είναι ίσο με τη τε-τραγωνική ρίζα του γινομένου τους

β.α

ΑΣΚΗΣΗ 13

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α β α β

βα

βα

4 16 25 36

Τι συμπεραίνετε; ΛΥΣΗ

α β

α ββα

βα

4 16 4=162=421

=42

=164

21

=42

=164

25 36 5=25 6=36 65

=3625

65

=3625

Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλανή σχέση, δηλαδή ότι το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών δύο θετικών αριθμών είναι ίσο με τη τετραγω-νική ρίζα του πηλίκου τους. β

αβα

=

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ΑΣΚΗΣΗ 14

α β α β β+α β+α

9 16 64 36

Τι συμπεραίνετε;


ΛΥΣΗ

α β α β β+α β+α

9 16 3=9 4=16 7=4+3=16+9 5=25=16+9 64 36 8=64 6=36 14=6+8=36+64 10=100=36+64

ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ

Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλανή σχέση, δηλαδή ότι το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών δύο θετικών αριθμών δεν είναι ίσο με τη τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος τους.

β+α≠β+α

1. Ρώτησαν ένα μαθηματικό του 20ου αιώνα, πόσων ετών είναι. Αυτός απάντησε ως εξής: Η τετραγωνική ρίζα του έτους που γεννήθηκα είναι ακριβώς ίση με τη σημερινή ηλικία. Πόσων ετών ήταν, πότε γεννήθηκε και ποια χρονολογία έγινε η ερώτηση;

Απάντηση Αναζητούμε τους αριθμούς οι οποίοι είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών και βρίσκονται μεταξύ του 1901 και του 2000, αφού αυτά είναι τα έτη του 20ου αιώ-να . Μετά από διαδοχικές δοκιμές παρατηρούμε ότι: 432=1849<1901 ,442=1936 για το οποίο είναι 1901<1936<2000, και 452=2025>2000. Άρα γεννήθηκε το 1936 διότι μόνο αυτός ο αριθμός είναι το τετράγωνο φυσικού αριθμού ,όταν του έγινε η ερώτηση, ήταν 44 ετών, διότι αυτός είναι ο φυσικός αριθμός που τετραγωνιζόμενος μας δίνει το έτος γέννησης. Η ερώτηση έγινε το έτος 1936+44=1980. 2. Μπορείτε να αλλάξετε την θέση ενός μόνο

σπίρτου, ώστε να προκύψει μια πλήρης ισότητα;

Απάντηση

Documents

ασκήσεις στην τετραγωνική ρίζα