απαντήσεις βιβλίου μαθηματικών κατεύθυνσης σίσκας χρήστος - φακόπουλος επαμεινώνδας

Απαντήσεις

Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 457

1) α) Δείξτε ότι ΑΒΓΔ και ΑΓΕΒ είναι παραλ-

ληλόγραμμο.

3) Δείξτε ότι ΔΕ ΕΑ

4) α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος

5) α) 60οβ) 120

ογ) 90

οδ) 150

ο

1) x α β

x β α δ γ

x β δ γ α ε

2) α) ΑΓ

β) ΔΒ

γ) 0

δ) 0ε) ΔΓ

στ) ΔΒ

3) Θεωρείστε σημείο αναφοράς ένα από

τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε.

4) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και δείξ-

τε ότι ΑΒ 0

.

5) Θεωρείστε Ο σημείο αναφοράς και δείξ-

τε ότι ΟΑ 0

.

6) Αφού Μ μέσο του ΑΒ έχουμε ότι

ΜΑ ΒΜ

. Θεωρείστε Α σημείο αναφο-

ράς.

7) Δείξτε ότι ΑΒ ΜΓ

.

8) Θεωρείστε σημείο αναφοράς ένα από τα

Α, Β, Γ και κάνοντας πράξεις απαλλαγείτε

από το σημείο Ρ στο f(Ρ).

1) α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς.

β) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς.

γ) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς.

δ) Θεωρείστε Δ σημείο αναφοράς.

2) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς.

3) Ξεκινήστε από το 3ΑΓ 2ΒΓ

και θεωρεί-

στε Α σημείο αναφοράς.

4) Ξεκινήστε από το 3ΑΓ 2ΒΔ

και θεω-

ρείστε Γ σημείο αναφοράς.

5) Ξεκινήστε από τη ΔΑ ΓΒ

και θεωρείστε Σ σημείο αναφοράς.

6) f(Β) f(Α) ΟΛ ΟΚ ...

8) Θεωρείστε Δ σημείο αναφοράς και δείξτε

ότι ΔΓ 0

.

9) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και δείξ-

τε ότι ΜΝ 0

.

10) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και

δείξτε ότι ΜΝ 0

.

11) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και κά-

νοντας πράξεις στο u

διώξτε το μετα-

βλητό σημείο Μ.

12) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και κά-

νοντας πράξεις στο u

διώξτε το μετα-

βλητό σημείο Μ.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.2 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ


448 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

13) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς.


τε ότι ΜΝ / /ΜΡ

.


τε ότι ΜΝ / /ΜΡ

.

16) α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και

δείξτε ότι ΑΟ / /ΑΚ

.

β) Κ μεταξύ των Α και Ο

17) α) 4ΑΒ 7ΑΓ

18)1

ΑΜ ΑΒ ΑΓ2

19)1 1 1

ΑΜ ΑΒ ΑΔ ΓΒ3 3 6

20) α) Στο ΑΒΔ

είναι Ν μέσο ΒΔ άρα

ΑΒ ΑΔΑΝ

2

(1)

Στο ΒΓΔ

είναι Ν μέσο ΒΔ άρα

ΓΒ ΓΔΓΝ

2

(2)

Προσθέστε κατά μέλη τις (1) και (2)

και κατόπιν στο ΓΝΑ

είναι Μ μέσο ΑΓ άρα:

ΝΑ ΝΓΝΜ

2

β) Όμοιο με α) ερώτημα

21) Παρατηρήστε ότι: ΑΔ ΑΒ 2ΑΚ ...

22) Είναι: ΜΑ ΜΒ

ΜΜ2

23) Ξεκινήστε από το 1ο

μέλος και παρατη-

ρήστε ότι λόγω των αρχικών ισοτήτων

η πλευρά ΒΓ τετραχοτομείται από τα

σημεία Κ, Μ, Λ και το Μ αποτελεί μέ-

σο των ΚΛ και ΒΓ.

24) α) Είναι ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ

ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ

2ΟΜ 2ΟΝ

(1)

Όπου Μ και Ν τα μέσα των χορδών ΑΒ

και ΓΔ αντίστοιχα. Οπότε τα τμήματα

ΟΜ και ΟΝ είναι αποστήματα των

χορδών και το τετράπλευρο ΟΜΣΝ εί-

ναι ορθογώνιο και με τη βοήθεια της

σχέσης (1) αποδεικνύεται το ζητούμε-

νο.

β) Ξεκινήστε από το 1ο

μέλος και θεω-

ρείστε σημείο αναφοράς το Ο.

25) α) Θεωρείστε Ο σημείο αναφοράς και

χρησιμοποιήστε ότι ΟΝ, ΟΜ

διανυ-

σματικές ακτίνες μέσων.

β) Θεωρείστε Κ μέσο του ΑΣ και δείξτε ότι το ΑΜΝΚ είναι παραλληλόγραμ-μο.

26) ΑΒ β α,

ΒΓ α β,

ΓΔ α 3β,

ΑΓ 2β,

ΒΔ 2α 2β.

27)4

v u3

28) ΑΓ 4ΑΒ

29) α) ΑΒ β α,

ΑΓ 2 β α

30) Παρατηρήστε ότι 2

ΑΔ ΔΒ5

31) ΓΒ α,

ΒΓ α, 1

ΑΔ γ,3



1ΟΔ α γ,

3

ΑΓ γ α

32) α) ΓΑ α γ,

ΑΒ α γ,

1ΕΔ α γ .

2

33) α) 1ΔΕ α 3β ,

4

1

ΕΖ α β ,2

β) Εκφράστε το ΖΒ

ως γραμμικό συν-

δυασμό των α,

β

34) Δείξτε ότι ΔΖ / /

ΔΕ

35) α) ΑΒ 6β 6α

, ΟΔ 4β 3α

,

ΜΕ 2β 2α

β) Δείξτε ότι ΜΕ / /ΑΔ

36) α)1

ΑΕ α,2

1ΒΖ β α ,

2

1ΓΔ α β

2

β) Δείξτε ότι ΑΕ ΒΖ ΓΔ 0.

37) α) ΑΓ α β,

1ΑΕ α β ,

4

1ΒΕ β 3α ,

4

ΒΔ β 3α,

β) ΒΔ 4ΒΕ

38) ΔΕ (κ λ)ΒΓ.

39)4κ

ΒΓ ΒΑ3

40) ΓΔ κΓΒ.

41) λ 2.

42) x 4 ή x 1

43)

κ 2 κ 3

και ή και

λ 5 λ 6

44) ΜΝ λΜΓ

45) λ = 2 ή λ = 3.

46) Δείτε το παράδειγμα 14 σελ. 37

47) Δείξτε ότι α 6 2γ β



50)3 4

u α β25 25

4 3

v α β25 25

51)1 2

u α β,3 3

1 1

v α β3 3

1) α) λ 3 ή λ 2 β) λ 1 ή λ 3

γ) λℝ 2,1,3 δ) λ 3

2) α) λ 2, β) λ 1,2

γ) λ 2,1 δ) λ ,2

3)

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

α) β)

γ) δ)

3

4

-4

3-3 1

-1

1

ε)

-1 1

4



4) α) α 7, 6

β) β 4,5

γ) γ 3,0

δ) δ 0, 4

ε) u 22, 2

5) α) λ 2 , κ 5 β) λ 2 , κ 3

γ) λ 0 , κ 1

6) λ 2

7) α) λ 2 , κ 1 β) λ 3 , κ 2

γ) λ 1 , κ 2

8)2

λ5

,3

κ5

9) Δεν υπάρχει καμία τιμή του λ

10) κ 1 , μ 2 , ρ 1

11) α) λ 3 β) λ 3 γ) λ 2

12) α) ΑΒ 1, 1

β) Γ(0,7) γ)19 18

Δ ,5 5

13) x 1 , y 2

14) α) Α΄(10,1) β) Γ΄(-4,-2)

15) α) Β(2,-1) β) Γ΄(0,-3)

16) α) Παρατηρήστε ότι ΑΒ ΔΓ 5,7

β)1 1

Κ ,2 2

17) Γ(5,-3) και Δ(1,-5)

18) α) u 13,7

β) v 17,19

19) α) u 5,6

β) u 1, 2

γ) u 2κ,4κ

δ) u 2κ 3λ,4κ 2λ

20)57 56

u α β17 17

21)11 2

u α β5 5

22) α) ΑΒ 7, 3

, ΑΓ 2, 12

,

ΒΓ 5, 9

β) u 29,21

γ) u 2κ,4κ

23) x 1 , y 2

24) Α)1

ΑΓ ΑΒ ΑΔ2

Β) α) ΑΔ 2ΑΒ ΓΔ

β)4 2

ΚΔ ΑΒ ΓΔ3 3

22) α) Ν 7,0 β)11

Λ ,04

γ)11

Ρ ,03

26) Α(-1,3), Β(5,-3), Γ(7,7)

27) α 1,2

, β 0, 3

28) λ 5 ή λ 2



29)6 59

λ2

30) x 0 , y 3

31) x 1 , y 1

32) α) λ 3 ή λ 2 β) λ 1 ή λ 1

33) λ 6

34) α 3 , β 2

35) Δείξτε ότι det AB,AΓ 0

36) μ 1 ή 2

μ3

37) Δείξτε ότι det AB,AΓ 0

38) μ 1 και μ 4

39) α) Δείξτε ότι det α,β 0

β) 1 2γ γ γ

με 1γ 2,4

και 2γ 2, 5

40) x 3

41) α) u 5,22

, v 9,1

β) α 29

, β 5

, γ 5

u 509

, v 82

42) α) α β γ 50

β) α β β γ α γ 11 17

43) λ 4 ή λ 3

44) α 6,8

45)5

α2

46) α) ΑΒ 1, 5

ΑΓ 3, 2

ΒΓ 2,3

β) κ 2 , λ 18

γ) x 13

δ)65

ΑΜ2

ε) Δείξτε ότι ισχύει το Πυθαγόρειο

Θεώρημα δηλ. 2 2 2

ΑΒ ΒΓ ΑΓ

47) α) ΒΓ 9i j

,

ΑΓ 13 , ΑΒ 5 , ΒΓ 82

β)15 9

ΑΜ i j2 2

, 306

ΑΜ4

48) β 18, 24

49) u 2,4

50)2 5 5

u ,5 5

51) Γ(-4,0) ή Γ (-3,0)

52)2

Γ ,05

53) α)α

λ 1 ,β

λ δεν ορίζεται ,

γλ 0 ,

δλ 3



β) Το α

σχηματίζει γωνία 7π

4

Το β


2

Το γ

σχηματίζει γωνία π

Το δ


3

54)7π

4

55) Παρατηρήστε ότι 1

εφφ2

και 1

εφω3

Κατόπιν χρησιμοποιήστε τον τύπο:

εφφ εφω

εφ φ ω1 εφφ εφω

56) α) Παρατηρήστε ότι:

2det α,β 2x x 1 0

για κάθε xℝ

β)5π

4γ)

3γ α

2

δ) v 2, 2 2

57)2 10

x5

,10

y5

58) v 6, 8

59) Θεωρείστε καρτεσιανό σύστημα συντε-

ταγμένων με αρχή μια από τις κορυφές

του τετραπλεύρου.


ταγμένων με αρχή μια από τις κορυφές

του τετραπλεύρου και άξονα τετμημέ-

νων φορέα μιας εκ των πλευρών του πα-

ραλληλόγραμμου.


ταγμένων με αρχή την κορυφή Β και

δείξτε ότι det ΔΕ,ΔΖ 0

.


ταγμένων με αρχή την κορυφή Β.

1) α)3

2β) 3 γ) 6 2.

2)

3) α) -1 β) 12 γ) 43.

4) α) 0 β) 9 και 16 γ) -7

δ) 25 ε) -37 στ) 25 ζ) 5

5) α) 20 β) 31 γ) 5

δ) -5 ε) 56.

6) u 2 10.

7) α) 3 β)1

u α β3

8) α) v 2 5

β)π

α,v β,v3

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

α

β

συν ,βα

βα

2 3 1

3

2

5 84

7

1

7

12

3 7 11

21

-11



9) 52ο

10) 41ο

11) α) 19 β) 7 γ) 139.

12) v 1.

13)27

α ,5

7

β .5

14) α)5

6β) u v 51

γ) u 157

v 2 5

δ)51 785

1570

15) α) 3 β) 0 γ) Παρατηρήστε ότι α β

16) ΑΜ 19.

17)3

β α γ3

18) α) 11 β) -1 γ) 7 3

19) α) 5 β) -10 γ) 5 δ) -10

20) α) 0 β)π/3 γ)

π/4 δ)

2π/3.

21)3π

/4.

22) α)1

v ,13

,

1u , 1

3

β) 4

5

23) 1, 5

24)20 11

,13 13

25) α) 16 β) (2,34),

γ)1

(20 13 26 5 65 2,30 13 52 5 65 2).130

26) ΒΓ 10.

27) α) 14 β) 18 γ) (-24, 72).

28) α) λ = 1 ή λ = 2 β) 2λ=3

ή λ=0 ή λ=1

γ) λ = 12

29) λ = 3/2 ή λ = -

3/2.

30) 2

2α 3β γ α 3β γ ...

31) (2, -1) ή (-2, 1).

32) α) Δείξτε ότι α β 0

β)2 22

α β α β α β

33)

λ 3 λ 3

και ή

μ 1 μ 1

34) π

35) Α) α) 41 β) -332

Β) α)3/4 ή -

3/4 β) 3 ή 3

36) Δείξτε ότι u α 0 και

v α 0

37) α β 1 β α β ... συν α,β 1

38)α 3 ,

β 1

39) α) Δείξτε ότι α β 0 β)

πα,γ

4

41) β)2 8

,3 3

42)33 44

,25 25



43)α

προβ v α

44)4 8

,5 5

45)9

λ2

46)ΑΓ

προβ ΑΜ 5ΑΓ

47) 1

19 57u ,

10 10

2

39 13u ,

10 10

48) γ ( 7, 14)

δ (5,15)

49) 1u 3,4

2u 8,6

50) 1u 2, 3

2u 6,4

51) 1

2 3u ,

10 10

2

28 7u ,

10 10

52) 1u 1, 2

2u 4, 3

53) p α (1,2)

q (0,0)

54) α)33 44

, ,25 25

β) 1

33 44u ,

25 25

2

8 6u ,

25 25

55)5

.2

56) α)π

3ή

5π

3β) -107.

57) 3.

58) 3.

59) 1.

60) Πολλαπλασιάστε με -2 και προσθέστε

και στα δύο μέλη με 22α

και 22β

61) α) 7, β) 7.

62) α) α 2β γ 0 γ 2β α

22

γ 2β α ...

β) Χρησιμοποιήστε το προήγουμενο ε-

ρώτημα.

63) α) α β γ 0 α β γ

2 2

α β γ

β) α β γ 0 β γ α

2 2

β γ α

64) α 5β

65) α) Με απαγωγή σε άτοπο

β)5

x α 5β3

66)51 17

x ,26 13

και

4 6y , .

13 13

67) Ξεκινήστε από το 2ο

μέλος και χρησιμο-

ποιήστε τα δεδομένα.

68) α) Δείξτε ότι v υ 0

69) x 7, 3 .

70) Ξεκινήστε από τα σύνθετα μέλη.

71)2 7 2

, .10 10



72) Δείξτε ότι

συν α,x συν x,β

73) α) α β α β συν α,β α β

β) β γ α γ α β β γ α γ α β ...

74) α) Ξεκινήστε από το 1ο

μέλος.

75)

ΑΔ ΒΓ ΑΔ ΒΑ ΑΓ

ΑΔ ΒΑ ΑΔ ΑΓ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΑΓ

ΑΔ ΑΒ συνθ ΑΔ ΑΓ συνθ 0

76)

ΑΒ ΑΓΑΔ ΒΓ ΒΓ

2

1ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΒΓ

2

1ΑΒ ΒΓ συν(π-θ) ΑΓ ΒΓ συνθ 0

2

77)

ΑΓ ΒΔ ΑΒ ΒΓ ΒΓ ΓΔ

2 2

ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ

2 2

ΒΓ ΑΒ 0

78)

ΑΒ ΑΓ ΑΟ ΟΒ ΑΟ ΟΓ

2 2

ΑΟ ΟΒ ΑΟ ΟΒ ΑΟ ΟΒ

2 2

ΑΟ ΟΒ 0

79)

ΑΒ ΒΓ 0 ΑΜ ΜΒ ΒΜ ΜΓ 0

ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΜΓ ΒΜ ΜΒ ΜΒ ΜΓ 0

2

ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΑΜ ΒΜ ΜΒ ΑΜ 0

2 2 ΒΓΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ ΒΜ

2

80)

1ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΑΔ ΒΑ ΑΓ

2

1ΑΕ ΒΑ ΑΕ ΑΓ ΑΔ ΒΑ ΑΔ ΑΓ

2

Α

ΔΒ Γ

θ θ

Α

ΓΒΔ

θθθπ-θ

Α Γ

Β

Δ

Α

Β ΓΟ

Α

Β Γ

Μ

ΑΔ

ΜΕ

Β Γ

θ



1ΑΕ ΑΒ ΑΔ ΑΓ

2

1 π πΑΕ ΑΒ συν θ ΑΔ ΑΓ συν θ 0

2 2 2

81) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ.

82) Κύκλος με διάμετρο την πλευρά ΒΓ

83) Ευθεία κάθετη στο ΑΒ.

84) Κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο του

τριγώνου.

85) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

α) β) γ) δ) ε)

Λ Σ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Σ Λ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Λ Σ Λ Λ Σ

α) β) γ) δ)

Σ Σ Λ Λ

1) 2) 3) 4)

ε) β) στ) δ)

1) 2) 3) 4)

γ) δ) στ) δ)

α) β) γ) δ) ε) στ)

Λ Λ Σ Σ Σ Λ

1) 2) 3) 4)

στ) α) ε) γ)

1) 2) 3)

γ) α) δ)

Διανύσματα Γωνία

α

με

τον x’x

Γωνία

β

με

τον x’x

Γωνία

α

, β

α

β

(2,0) (0,-3) 0 π2

π2

(2,2) (-3,3) π4

3π4

π2

(2,2) (3,3) π4

π4

0

(0,2) (-2,0) π2

0 π2

Διανύσματα

,βα

α

β

α β

α

β

(-1,4) (2,-3) π3

17 13 112

(3,2) (-1, 2 ) π6

13 3 3 132

(1, 3 ) (1,1) π4

2 2 2

1 6,

22

3 1,

3 3

5π6

2 63

- 2



12)

ΘΕΜΑ Α

Α1) Θεωρία Α2) Θεωρία

Α3)

ΘΕΜΑ Β

Β1) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και δείξτε

ότι ΑΒ / /ΑΓ

Β2) α) Διαδοχικά δείξτε ότι

det κ,v 0

, det v,u 0

, det κ,u 0

β) u 2κ 3v

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) α β 6

Γ2) α 2β 7

Γ3) v u και v

u

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) 1 2

38 57 66 34v v v , ,

13 13 13 13

Δ2) α) x 3 β) π4

ΘΕΜΑ Α

Α1) α) Θεωρία β) Θεωρία

Α2)

ΘΕΜΑ Β

Β1) α) α β α β συν α,β ...

β) 22

α β α β α β α β ...

Β2) α) Δείξτε ότι: α β α β

β) Δείξτε ότι: β γ β γ

Β3) Δείξτε ότι: ΑΒ ΑΓ 0

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) α) Δείτε το παράδειγμα 17 σελ. 70

β) Δείτε το παράδειγμα 17 σελ. 70

Γ2) α) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε

ότι: ΑΒ ΑΓ

β) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε

ότι: ΑΒ ΑΓ

1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

i) ii) iii) iv) v) vi) vii)

Δ Ε Ε Α Γ Δ Δ

viii) ix)

Ε Β

1) 2) 3) 4) 5)

Λ Λ Λ Σ Λ

6) 7) 8) 9) 10)

Σ Λ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ)

v) iv) i) iv)



ΘΕΜΑ Δ

Δ1)7 5

Θ ,4 4

Δ2) α) Είναι ΓΑ 3,3

, ΓΒ 5,1

γ) Κύκλος με κέντρο το Θ

1) α) ναι β) ναι γ) όχι

2) α) Α → ναι, Β → όχι, Γ → όχι

β) Α → όχι, Β → όχι, Γ → ναι

γ) Α → όχι, Β → ναι, Γ → όχι

3) α) λ = 2 β) λ = 0 γ) λ ∈ℝ

δ) Για καμία τιμή του λ

4) α) έχει άξονα συμμετρίας τον ,x x

β) έχει άξονες συμμετρίας τους x x και

y y και κέντρο συμμετρίας την αρχή

των αξόνων.

5) α) 2 2 3 2 10 0,x y x y

β) 2 2 3 2 10 0,x y x y

γ) 2 2 3 2 10 0,x y x y

δ) 2 2 2 3 10 0.x y x y

6) α) 1,1 , β) 2,5 και 4, 1 ,

γ) 1,1 και 38 59

, .25 25

1) α) 1, β) δεν ορίζεται γ) 0.

2) α) 3, β) δεν ορίζεται γ) 0.

3) α) -2, β) 0, γ) δεν ορίζεται

4) α) 1 β) -1 γ) 0 δ) δεν ορίζεται

5) α) 8 β)1/8 γ) 0 δ) δεν ορίζεται ε) -

2/3

6) α) 5 β)1/2 γ)

1/2 δ) 0 ε) 0

7) α)π

,4

β)π

,3

γ)3π

,4

δ)5π

,6

ε) 0.

8) α)π

,4

β)π

,3

γ) 0, δ)π

2

9) α)π

4β)

2π

3γ)

3π

4

δ)π

4ε) 0 στ)

π

2

10) α) 1

πε , x x

3

και 2

πε , x x

4

γ)π

12

11) α) ΑΒλ 1, ΒΓλ 2, ΑΓ

3λ ,

2

β) ΑΔ

1λ ,

2 ΒΕ

2λ ,

3 ΓΖλ 1,

γ)114

,3

2

,3

1, δ)1

,2

2,

31.

12) ΑΒ ΔΓ

1λ λ ,

2 ΒΓ ΑΔλ λ 3,

ΑΓλ 1, ΒΔ

1λ .

3

13) α) λ 3 3 , β) μ 2 και λ 2,

γ) μ 2 και λ 2.

14) α) y 3x 9, β) y 5x 13,

γ) y x 5, δ) 3x 4y 18 0,

ε) 5x 4y 2 0, στ) y 3 ζ) y 3.

15) α) x 5y 17 0, β) x y 36 0,

2.0 ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ

2.1 – 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ



γ)163 19

, .4 4

16) α) y x 7, β) (7,0) και (0,7), γ)3

.4

17) α) (ΑΔ): x 3 β) (ΒΕ): x 3y 5 0

γ) : 2 4 5 0x y

18) α) 3x 7y 4 0, β) 9x 5y 6 0,

γ)11 9

, .39 13

19) x 2y 6 0.

20) y x.

21) α) y x 2, β) y x 8.

22)1

y x.4

23) y 7x 5.

24) 2x 3y 10 0 και 20 30

, .13 13

25) α 2, β 4, y x 6.

26) 6x 7y 27 0 και 162 189

, .85 85

27) 1 3

y x2 2

28) (ΑΒ): y 2x 3,

(ΑΓ): y 2x 5,

(ΒΓ): y 6x 21.

29) ΑΒ : y x 7, ΑΓ : x 5y 19 0,

ΒΓ : y 2x 16, Α( 9, 2), Β(3,10),

Γ(11, 6).

30) Β(4, 1), Γ( 4, 1), x 3y 1 0,

y x 3, y 1.

31) ( 3, 1), (5,1), 2,y x 2 7 0,x y

4 1 0.x y

32) (ΑΒ): y 4x 3

(ΑΓ): y 2x 1

4 5

(ΒΓ): y x3 3

33)

16 4Β ,

5 5,

2 13Γ ,

3 9

34) α)3 4

, ,5 5

β) y 7x 5

35) α) Γ(1,-2) β) 3 13

y x5 5

γ) y x+7

36) 8x 3y 13 0, y 2x 1, Α( 2,5),

Β(5, 9), Γ(8, 17), Δ(1, 3).

37) α) y 2x 5, x 2y 10 0,

β) Α(2,1),10 5

Β( , ),3 3

Γ(0,5),4 17

Δ( , ).3 3

38) 2x 3y 13 0, 3

y x2

39) γ) ΑΓ : y x, ΒΔ : y x 2,

δ) ( 1, 1).

40) y x 3, x 1.y

41) y x 3, y x 1.

42) y x 2, y 4x 4.

43) 1ε : x 2y 3 0 , 2ε : x 2y 8 0

ή

1ε : 3x y 4 0 , 2ε : 3x y 9 0

44) x = 2.

45) x 4y 4 0.



46) x 1 ή y 0.

47) 67x 57y 229 0.

48)2

y x 6.3

49) y 2x 6.

50) y 2x 2, y 2x 22.

51)3

y x 23

ή 3

y x 2.3

52)11 16

Γ , .13 13

53)5 3

Κ , ,2 2

Β(4,0).

54) x 2y 3 0.

55) α) 5 6 2 0,x y β) 5 6 2 0,x y

γ) 5 6 2 0,x y δ) 5 6 2 0.y x

56) α) Β 10, 1 β) 2x 5y 25 0

57)25 5

Μ , .13 13

58) 13x 7y 19 0.

59) 2x 6y 19 0.

60) y 2x 3.

61) α = 2/3.

62) d 3 2.

63) μ 1 και

λ 10

ή

λ 6

64) α) λ = 3 β) λ = 1 γ) λ = 0.

65) Για κάθε κ ℝ 2 η εξίσωση παριστά

ευθεία. Για να μην ανήκει κανένα σημείο της ευθείας στο 4

οτεταρτημόριο πρέπει:

κ 1,2 2,

66) κ = -1 ή κ =2/3.

67) α) κ ℝ 2 β) Το (1, 1) δεν διέρχεται

από την μονοπαραμετρική οικογένεια.

68) x y 5 4 9 0

69) β) κ=23

/10

70) β) Κ(1, 2) γ) μ = -1 ή μ = 3

71) β) Κ( 4,3).

72) α)13 18

Κ , ,7 7

Λ(0,1),

β) 11 13 13 0.x y

73) β) Κ(2, 1), γ) κ = -3/5.

74) 17

κ6

, 31

μ12

75) Θέστε δύο τυχαίες τιμές στο λ, βρείτεδύο ευθείες που ανήκουν στην οικογέ-νεια, βρείτε το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών και τέλος δείξτε ότι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών δεν επαληθεύει την εξίσω-ση της οικογένειας.

76) β) Όμοια με 75

77) α) λ 1, β) δεν υπάρχει λℝ

γ) λ = 1, δ) λ = -2/3.

78) α) κ 1, β) κ = 1, γ) Δεν υπάρχει κℝ

δ) Δεν υπάρχει κℝ

79) α) τέμνονται στο (1, -1),



β) κοινά σημεία ανά δύο Α(1,2), Β(-2,1),Γ(23,-9)

γ) 1 2ε //ε , κοινό σημείο των 1 3ε , ε το

(-1,2) και των 2 3ε ,ε το (1/2,

1/2)

δ) 2 3ε //ε κοινό σημείο των 1 3ε ,ε το

(-2/7,

13/14) και των 1 2ε ,ε το (

3/7,-

1/7).

80) κ 2.

81)π/4.

82) 45

84) y x 2 και x 2y 1 0.

85) x 2y 1 0 και 2 4 0.x y

86) x 3y 5 0, 3x y 6 0 και 1 2ε ε .

87) Ε = 4/3.

88) β)π/3 και

2π/3, γ)

5π/12 και

π/12.

89) α) y 2x 1, β) 2 3 5 0,x y γ) x = 3,

δ) x = 4, ε) y = 1, στ) y = 2,ζ) y = 2, η) y = 3, θ) 5,y x

ι) x 2y 5 0.

90) β) y 2x 4

91) 4x 6y 11 0.

92) y 2x 8.

93) 6x 12y 35 0.

1) α) 5, β) 2, γ) 3, δ) 4.

2) α) 2, β)2

,2

γ) 2012, δ) 2008.

3) α) 39/5, β) 12/5.

4) Α(-8,9), Β(12,-11).

5) 5x 12y 50 0 ή 15x 36y 10 0.

6) x 2y 13 0, x 2y 7 0.

7) 3x 4y 10 0, x 2.

8) y 2, 21x 20y 42 0.

9) y 2x, x 3y 0.

10) x 3y 18 0, 3x 2y 1 0.

11) 6x 8y 29 0, 6x 8y 11 0.

12)7

y 2x ,2

3

y 2x .2

13) y x 13, 2x 2y 3 0.

14) y x 2, y x 2.

15)

μ 1

και

λ 1

ή

μ 1

και

1λ

3

ή

μ 1

και

λ 1

ή

μ 1

και

1λ

3

16)5 17

d(Α,ΒΓ) .17

17) α) Γ(5,-6), Β(0,-2)

β) μήκος ύψους: 17 10

10

μήκος διαμέσου:73

2

18) Α(-1/2,-1/2) και 2

( , ) .2

d

2.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ



19) α)1 1

, ,2 2

β) 5λ 11 8 3

71 ή

5λ 11 8 3

71

γ) λ = -9/4 ή λ = -

3/4.

20) α) 15, β) 9.

21) y 2x 2 ή y 8x 4.

22) y 2x 4 ή y (6 4 2)x 4 4 2

ή y (6 4 2)x 4 4 2.

23) y x 1, y x 7.

24) (3,1) ή (-5,-3).

25) β) 2, γ) 4.

26) (0,5), (4,3).

27) α)1

,3

β) 0 ή 2

.3

28)( 7, 3)

( 6, 4)

ή (17, 3)

.(18, 4)

29) 4/3.

30) 3x 2y 5 0.

31) α) 2x 3y 11 0, β)15

/2.

32) β) y x 1, y x 5.

33) 3x 5y 23 0, 3x 5y 25 0.

34) 3x 2y 0, x 6y 0.

35) x 3y 5 0, y 3x 7.

36) 2 4 0,x y 2

.3

x

37) α) 5 8y x εκτός από το 0,8 ,

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

α) β) γ) δ) ε)

Σ Σ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Σ Σ Σ Σ Σ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Λ Σ Λ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Λ Λ Λ Σ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Σ Σ Σ Λ Σ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Σ Σ Λ Λ Σ Λ

α) β) γ) δ)

Λ Σ Σ Λ

1) 2) 3) 4) 5) 6)

β) δ) γ) γ) δ) α)




9)

10)

11)

12)

13)

ΘΕΜΑ Α

Α1) Θεωρία

Α2) Θεωρία

Α3)

ΘΕΜΑ Β

Β1) ΑΒ : y x 3 , 1 1

ΑΓ : y x3 3

Β2) Β(4,-1), Γ(-4,-1)

Β3) ΒΓ : y 1

Β4) ΑΒΓ 8 τ.μ.

Β5) Μ(2,5)

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) α) Παρατηρήστε ότι για καμία τιμή του α∈ℝ δεν μηδενίζουν ταυτόχρονα τα

2α 2α 3 και 2α 3α 2

β) Α(1,2)

γ)1

α5

Γ2) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε

ότι: π

θ6

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) 1ε : y x 4 , 2ε : y x 4

Δ2) Απλό

Δ3) Κ(4,4)

ΘΕΜΑ Α

Α1) Θεωρία

Α2) Θεωρία

Α3) Θεωρία

Α4)

1) 2) 3) 4) 5)

β) γ) δ) στ) α)

i) ii) iii) iv)

B) B) A) Δ)

v) vi) vii) viii)

B) Α) Γ) Γ)

1) 2) 3) 4) 5)

β) γ) ε) α) δ)

1) 2) 3) 4) 5)

δ) γ) α) ε) β)

i) ii) iii) iv) v)

A) A) Γ) Α) Β)

vi) vii) viii) ix)

Γ) Γ) Γ) Δ)

3ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΕΥΘΕΙΑ

4ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΕΥΘΕΙΑ

1) 2) 3) 4) 5)

Σ Λ Λ Σ Λ 1) 2) 3)

β) ε) δ)



ΘΕΜΑ Β

Β1) 3 4

ΑΔ : y x7 7

Β2) 9 6

ΒΜ : y x5 5

Β3)11 63

Ζ ,39 91

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) λ 3

Γ2) α) 1 2

3 34d(ε ,ε )=

34

β) Με : 10x 6y 13 0

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) d(Α,ΒΓ) 3

Δ2) (ΒΓ) 30

Δ3) Β(12,12), Γ(-6,-11)

ΘΕΜΑ Α

Α1) Θεωρία

Α2) Θεωρία

Α3) Θεωρία

Α4)

ΘΕΜΑ Β

Β1) 2 12

ΑΔ : y x5 5

Β2) ΒΕ : x 1

Β3) 1 23

ε : y x2 10

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) u 34 , v 5

Γ2) u v -11

Γ3)11

συν u,v 0170

Γ4) 1 2γ γ γ 1,1 2,2

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) α) Παρατηρήστε ότι για καμία τιμή του α∈ℝ δεν μηδενίζουν ταυτόχρονα τα

2α 2α και 2α α 1

β) Α(-1,-2)

Δ2) α) 1ε : y x 3λ , 2ε : y x λ ,

Κ(λ,-2λ)

β) 3ε : y 2x ,13 3

α2

1) α) 2 21c : x y 8

β) 2 2

2c : x 3 y 1 25

2) α) 2 21c : x y 1

β) 2 22c : x y 5

γ) 2 2

3c : x 1 y 3 25

δ) 2 2

4c : x 1 y 1 25

3) 2 2

c : x 8 y 6 100

4) 2 2

c : x 2 y 1 4

5ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΕΥΘΕΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1) 2) 3) 4) 5)

Σ Λ Λ Σ Λ

3.1 ΚΥΚΛΟΣ



5) α) Κ1(0,0), 1ρ 5

β) Κ2(0,0), 2ρ 5

γ) Κ3(1,2), 3ρ 3

δ) Κ4(-3,1), 4ρ 1

ε) Κ5(1,3), 5ρ 10

στ) Κ6(2,-1), 6ρ 6

6) 2 2c : x y 10

7) 2 2

c : x 3 y 2 9

8) 2 2

c : x 3 y 1 1

9) 2 2

c : x 3 y 3 9

10) 2 2 9

c : x 1 y 22

11) 2 2

c : x 3 y 1 4

12) α) 2 2

1

8 16 100c : x y

11 11 121

β) 2 2

2

17 7 169c : x y

2 2 2

13) 2 2

1c : x 1 y 4 16

2 2

2c : x 9 y 4 16

14) 2 2

1 1 1c : x y

2 2 2

15) 2 2

1c : x 1 y 4 4

2 2

2c : x 1 y 2 4

16) 2 2

c : x 4 y 3 10

17) 2 2

1

19 27 81c : x y

10 10 10

2 2

2

1 7 81c : x y

10 10 10

18) 2 2

c : x 2 y 1 20

19) 2 2

1c : x 5 y 25

2 2 2

2c : x 105 y 100 145

20) 2 2

1c : x 3 y 2 2

2 2

2

1c : x 1 y 1

2

21) 2 2

1c : x 3 y 1 5

2 2

2c : x 1 y 1 25

22) 2 2

1c : x 2 y 1 100

2 2

2c : x 16 y 15 100

23) 2 2

1c : x 1 y 10

2 2

2c : x 1 y 4 10

24) 2 2

c : x 1 y 2 100

25) 2 2c : x 1 y 1

26) 2 2

c : x 2 y 3 52

27) 2 2

c : x 2 y 4 10

28) 2 2

1 9 149c : x y

20 10 16

29) 2 2

c : x 1 y 1 13

30) 2 2

1c : x 5 y 3 25

2 2

2c : x 5 y 3 25

31) 2 2

c : x 5 y 1 25



32) 2 2

1c : x 9 y 7 25

2 2

2c : x 2 y 1 25

33) α) 2 2

1c : x 2 y 2 10

2 2

2c : x 1 y 4 25

β) Β(-3,1), Γ(1,-1)

γ) 2 2

3c : x 1 y 5

34) α) Αρχικά παρατηρούμε ότι καθένα από τα σημεία ανήκουν στη δοθείσα γραμμή. Κατόπιν δείχνουμε ότι η δο-θείσα γραμμή παριστάνει κύκλο.

β) Δείξτε ότι το κέντρο Κ(2,3) του κύ-κλου αποτελεί μέσο των ΑΓ και ΒΔ.

35) α) Α

3 25ε : y x

4 4

β) Βε : x 5

γ) Γε : y 5

36) α) Αε : y 3x 2

β) Βε : y 1

γ) Γε : x 1

δ) Δε :ημθ x συνθ y 1 0

37) Αε : y x 5 , Βε : y x 9

38) Με : y x 7

39) α) Α

1 10ε : y x

3 3

β) Βε : y 2x 16

γ) Γε : y 2x 3

δ) Δε : y 2x 2

40) α) Παρατηρήστε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 ,

Κ(3,4) και ρ 5

β) Α(0,0) και Β(0,8)

γ) Α

3ε : y x

4 , Β

3 32ε : y x

4 3

64 16Γ ,

9 3

41) α) 1ε : y x 2 2 , 2ε : y x 2 2

β) 1ε : y 3x 6 , 2ε : y 3x 6

42) α) 1ε : 6 6 x 4y 2 3 6 0

2ε : 6 6 x 4y 2 3 6 0

β) 1ε : y 2x 5 , 2ε : y 2x 5

43) 1ε : y x 7 , 2

1 25ε : y x

7 7

44) α) 1

1 3ε : y x

2 2 , 2

1 13ε : y x

2 2

β) 1ε : y 3x 6 5 2 ,

2ε : y 3x 9 5 2

45) 1ε : y 2x 10 , 2ε : y 2x 10

3ε : y 2x 10 , 4ε : y 2x 10

5

1ε : y x 5

2 , 6

1ε : y x 5

2

7

1ε : y x 5

2 , 6

1ε : y x 5

2

46) 1ε : y 3x 15 , 2

1ε : y x 5

3

ΑΒ 2 5

47) ΑΒ 9



48) Παρατηρήστε ότι:

1

3 25ε : y x

4 4 , 2

4 25ε : y x

3 4

49) α) 2 2

c : x 2 y 4 17

β) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση του κύ-

κλου. Αε : y 2x 13

γ) 1ε : y 2x 85 , 2ε : y 2x 85

50) α) Εξωτερικό σημείο του κύκλου

β) Ανήκει στον κύκλο

γ) Εσωτερικό σημείο του κύκλου

51) α) Εξωτερική ευθεία του κύκλου

β) Εφαπτόμενη του κύκλου

γ) Τέμνουσα του κύκλου

52) Παρατηρήστε ότι d Κ,ε ρ

Το σημείο επαφής είναι το Α(2,-1)

53) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων του κάθε κύκλου με την εξίσωση της ευθείας και δείξτε ότι το σημείο είναι το Α(1,1)

54) α)7 10

ρ10

β) ρ 2 10

55) Για καμία τιμή του λ

56) α) λ 2

β) 1ε : y 2 5x 5 ,

2ε : y 2 5x 5

57) λ,μ 2,9 ή

λ,μ 2, 1 ή

λ,μ 22,24 35 2 ή

λ,μ 22,24 35 2

58)2 2

2

2 2

α βρ

α β

59) 2 2 2 2 2ρ ασυν θ+βημ θ+ α +β ημ θ ή

2 2 2 2 2ρ ασυν θ+βημ θ - α +β ημ θ

60) α) εφάπτονται εξωτερικά

β) Τέμνονται

γ) Τέμνονται

δ) ο ένας εξωτερικός του άλλου

61) Δείξτε ότι 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ

62) Δείξτε ότι το σύστημα των εξισώσεων των δύο κύκλων έχει μοναδική λύση το

11 7Α ,

5 5

που είναι το σημείο επα-

φής.

63) α) Δείξτε ότι 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ

β)1 3

Α ,5 5

γ) 1

24ε : y x 7

7,

2ε : y 1

3

4 1ε : y x

3 3

64) α) Δείξτε ότι 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ

β) 1

3 5ε : y x

4 2, 2ε : y 4 ,

3

4ε : y x

3, 4ε : x 0

65) α) Δείξτε ότι 1 2 1 2 1 2ρ ρ Κ Κ ρ ρ

66)8 6

Μ ,5 5

67) mind 5 , max d 15

68) Α(7,2), Β(2,6)

69) Α) Κ(1,2), ρ 3 2



Β) maxd 6 2

Γ)5 3 10 10 6 10

Α ,5 5

5 3 10 10 6 10Β ,

5 5

Δ) α) ζ : y 2x 20

β)19 5 15 2

mind5

,

19 5 15 2maxd

5

γ) 1

1 5 3 10ε : y x

2 2

,

2

1 5 3 10ε : y x

2 2

70) Α) Δείξτε ότι 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ

Β) 1 2

2Κ Κ : y x

3

Γ)3 13 2 13

Α ,13 13

39 6 13 26 4 13Β ,

13 13

mind 13 3

Δ)3 13 2 13

Γ ,13 13

39 6 13 26 4 13Δ ,

13 13

maxd 13 3

71) Α) Παρατηρήστε ότι η εξίσωση 3x 4y c παριστάνει ευθεία, ο-

πότε για να έχει λύση το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας και του κύκλου πρέπει η ευθεία να έχει

τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Πρέπει δηλαδή:

max d Κ,ε ρ ...

Β) 12 Α 12

72) ε : y x

73) 1 2Κ Κ 2 , 15

ΑΒ2

74) Δείξτε ότι ΑΒ : αx βy 0

75) Αποδεικτική

76) Είναι:

22 2

2

8t 4t 8Α Β 4Γ ... 0

1 t

για κάθε tℝ 1

77) Α) 2 2 2Α Β 4Γ ... 4α 8α 32 0 για

κάθε αℝ

Β) α) α 4 β)2

α3

,

78) 2 2 2Α Β 4Γ λ 4λ 12 0

για κάθε λℝ

λ 2Κ ,0

2

,2λ 4λ 12

ρ2

79) Για κάθε μℝ 1

80) Για κάθε λ ,5 1,

81) Για κάθε π

ω 0,4

82) Για λ 3 ,1

Κ ,22

,21

ρ2

Για λ 2 , Κ 1,4 , ρ 19

83) Α(-2,1)

84) Α) 2 2 2Α Β 4Γ 4λ 4 0




Β) Α(0,1), Β(0,-1)

Γ) (ΑΒ): x 0 , (ΑΒ) 2

85) Α) 2 2 2Α Β 4Γ 10λ 40λ 80 0


Β) Α(5,-5), Β(3,1)

Γ) α)7

λ6

β)95

(ΑΚΒ)6

τ.μ.

86)

22 2

2

64λ 64Α Β 4Γ 0

λ 1


Κατόπιν βρείτε τα σημεία τομής των (c1)και (c2) και δείξτε ότι οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωση της οι-κογένειας.

87) Α) 2 2 2Α Β 4Γ 5λ 40λ 100 0


Β)2 λ

Κ ,λ 22

, ε : y 2x 4

Γ) Α(1,7), Β(-3,5)

88) Α) 2 2Α Β 4Γ 5 0 ,

Κ(συνθ,ημθ), 5

ρ2

Β) ε : y x 3

Γ) Απλό

89) Α) 2 2 2Α Β 4Γ 2κ 6κ 17 0 ,

για κάθε κℝ

κ 2 3 κΚ ,

2 2

,22κ 6κ 17

ρ2

Β) 5

ε : y x2

Γ) Α 1,1 ,3 7

Β ,2 2

Δ) ΑΒ : y x 2

90) Α)21 39

κ , ,16 16

1 4κ+1Κ ,

2 2

,216κ 18κ 54

ρ2

Β) Δύο ημιευθείες:

1

Αx : x2

με17

y8

χωρίς το 1 17

Α ,2 8

1

Βx : x2

με43

y8

χωρίς το 1 43

Β ,2 8

91) Α) α) Α(-4,4) β) 1 8

ε : y x3 3

1 4κ+1Κ ,

2 2

,216κ 18κ 54

ρ2

Β) κ 15 ή κ 13

92) Ο κύκλος 2

25 25c : x y

2 4

χωρίς

το σημείο Θ(5,0)

93) Ο κύκλος 2 2

c : x 1 y 2 1

94) Η ευθεία ε : 3x 4y 6 0

95) Α) Παρατηρήστε ότι D 1 0

Β) Τα σημεία τομής των ευθειών είναι τα Μ(συνθ,-ημθ) που κινούνται στον

μοναδιαίο κύκλο 2 2c : x y 1 .

96) α) Κύκλος 2 2

1c : x 2 y 1 12

β) Κύκλος 2 2

2

11 2c : x y 2

5 5



97) α) 2 2

Α Β Α Β1

x x y yc : x y 100

2 2

β) 2 2

2 Β Βc : x x y y 400

γ) 2 2

3 Β Βc : x x y y 64

98) 2

231 2304c : x y 4

5 25

99) 1

ε : y 2x2

που είναι η μεσοκάθετος

του ΑΒ

100) 2 2

1 4 140c : x y

3 3 9

101) 2 2

2 11c : x y 4λ

25 25

όπου λ

το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του Μ από τις (ε1), (ε2).

102) Α) α 15 ,

Β) ε : y 3

Γ) Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από σταθερά σημεία με τετμημένη 2.

103) 2 2

c : x 3 y 7 2

104) 2

2c : x y 3 4

1) Α) α) 21c : y 2x β) 2

2c : y 2x

Β) α) 23c : y 4x β) 2

4c : y 4x

Γ) 25c : y 4x

2) α) 21c : y 10x β) 2

2c : y 16x

γ) 23c : x 2y δ) 2

4c : x 16y

ε) 25c : y 8x

3) α) 21c : x 4y β) 2

2

8c : x y

3

γ) 23

1c : x y

2

4) α) 21c : y 16x β) 2

2c : x 4 3y

γ) 23c : y 8x δ) 2

4c : x 2y

5) α) Ε(1,0), δ : x 1

β) Ε(-1,0), δ : x 1

γ) Ε(0,-2), δ : y 2

δ) Ε(0,2), δ : y 2

ε)3

E ,02

, 3

δ : x2

στ)5

E 0,4

, 5

δ : y4

6) α) Ε(1,0), δ : x 1

β) Α 3 2 2, 2 2 2 ,

Β 3 2 2, 2 2 2

7) α) Ε(0,1), δ : y 1 β) Α 1,2

8) 256 τ.μ.

9) α) Ε1(1,0), Ε2(0,-1) β) Α 4, 4 γ)7

2τ.μ.

10) α) Ο 0,0 , Α 2ρ,2ρ β) ρ 4

11) α)1

Ε 0,4

,

1δ : y

4

β) Α 6, 3 , Β 6, 3

12) α)1

Ε ,04

, 1

δ : x4

ΠΑΡΑΒΟΛΗ



β) 65

ΑΕ4

, Β 6, 3

13) α) Α 4,4 ,1

Β ,14

β) 1

1ε : y x 2

2 , 2

1ε : y 2x

2

14) Αε : y 2x 3 , Β

1ε : y x 12

2

15) Α

1ε : y x 2

2 , Β

1ε : y 2x

2

16) α) 1ε : y x 1 ,

β) 2

1ε : y x 2

2

γ) 3

1ε : y x 2

2 , 4ε : y x 1

17) 1

1ε : y x 4

2 2ε : y 2x 1

18) α) Ε(1,0) , δ : x 1

β) 1ε : y x 1 , 2ε : y x 1

γ) 3ε : y x 1

19) 1

3 3 2ε : y x

2 2 ,

2

2 3 2ε : y x

2 2

20) Δεν υπάρχει

21) 1ε : y x 2 , 2ε : y x 2

22) 1

2 2 10 8 8 10ε : y x

3 3

,

2

2 2 10 8 8 10ε : y x

3 3

23) α) λ 2 , ρ 1

β) Β 1, 2

γ) Βρείτε Α

2 2ε : y x

2 2 και δείξ-

τε ότι Αd Κ,ε ρ και Βd Κ,ε ρ

όπου Κ, ρ το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου (c1) αντίστοιχα.

Ακόμη , Β

2 2ε : y x

2 2 .

24) α) Α 1,2 , Β 1, 2

β) Αε : y x 1 , Βε : y x 1

γ) Δείξτε ότι Αd Κ,ε ρ και Βd Κ,ε ρ

δ) εφάπτονται.

25) Βρείτε τα κοινά τους σημεία και δείξτε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής (c1)εφάπτονται και του κύκλου (c2).

26) 2 2

1c : x 10 y 100 ,

2

22

41c : x y 100

4

27) α) Λύστε το σύστημα

β) Ομοίως γ) Ομοίως

28)16

λ7

29) 1

1ε : y x 2

4 , 2

1ε : y x 2

4

30) α) Ο(0,0), Α 2ρ,2ρ β) ρ 4

31) Δείξτε ότι ΟΑ ΟΒ 0

32) 1ε : y 4x 15

33) ε : y 5x 24

34) ε : y 2

35) 1ε : y 2x 12 , 2ε : y 2x 12



36) Α) β 1 Β) α)2 β

Μ ,22

β) β 6

37) Θεωρητική

38) α) 1 2 1 2y y y yΜ ,

2ρ 2



41) 2c : y 2αx

42) α) 2c : y 2px

43) 21c : y 16x , 2

2c : y 16x

44) α) 2 2c : y x

3

45)

1) α) 2 2

1

x yc : 1

25 16 β)

2 2

2

x yc : 1

9 4

γ) 2 2

3

x yc : 1

25 16 δ)

2 2

4

x yc : 1

45 20

2) α) 2 2

1

x yc : 1

25 21 β)

2 2

2

x yc : 1

100 64

γ) 2 2

3

x yc : 1

27 3 3

3 3

δ) 2 2

4

x yc : 1

4 3

3) 2 2x y

c : 125 9

4) 2 2

1

x yc : 1

25 16 ,

2 2

2

x yc : 1

13 9 ,

2 2

3

y xc : 1

16 9 ,

2 2

4

y xc : 1

100 64

5) α)3

ε2

, Ε 3,0 , Ε 3,0

β)2 2

ε3

, Ε 4 2,0 , Ε 4 2,0

γ)4

ε5

, Ε 4,0 , Ε 4,0

6) α)2 2

ε3

, Ε 2 2,0 , Ε 2 2,0

β)2 22

ε11

, Ε 0,4 , Ε 0, 4

γ)5

ε3

, Ε 2 5,0 , Ε 2 5,0

7)2

ε2

8)2

ε2

9) λ 2,5 5,8

10) α) εξωτερικό β) εσωτερικό γ) εξωτερικό

11) Μ 2,2 2 ή Μ 2, 2 2

12)

15 63Μ ,

4 4

13) 1Μ 2,3 , 2Μ 2, 3 ,

3Μ 2,3 , 3Μ 2, 3

14)1 1

Μ ,6 24

15) 1

ε : y x 22

16) α) Δείξτε ότι2 2

Μ Μ27x 36y1

972 972

ΕΛΛΕΙΨΗ



β)3

y x 82

17)5

y x2

18)6 3 6

y x12 4

19) 1

1ε : y x 2

2 , 2

7ε : y x 10

2

20) 1

2 34ε : y x

3 15 , 2

2 34ε : y x

3 15

21) 1ε : y x 5 , 2ε : y x 5

22) 1ε : y 2x 2 14 , 2ε : y 2x 2 14

23) α) y 3x 4

β) 1

3 210ε : y x

3 6

2

3 210ε : y x

3 6

24) 1

2 3ε : y x 4

3

2

2 3ε : y x 4

3

25) α) Β 1, 2 , Α 1, 2

β) 2 3 2

ε : y x2 2

26) 1

1 2ε : y x

9 3 , 2

1 2ε : y x

9 3

3

1 2ε : y x

9 3 , 4

1 2ε : y x

9 3

27) 2 2x y

c : 110 6

28) α) 2 2

c : x 2 y 2 3 β) όχι

29) α) 2α 12

β) 1

4ε : y x

3 , 2

4ε : y x

3

30) λ 2 6 ή λ 2 6

31)) 1

6 6 2 155 6 2 155ε : y x

26 2 155

2

6 6 2 155 6 2 155ε : y x

26 2 155

32) 1ε : y x 5 , 2ε : y x 5 ,

3ε : y x 5 , 4ε : y x 5

33) Α(4,2) Β(4,-2)

34) Είναι 2d Ε,ε d Ε ,ε β σταθερό


36) Δείξτε ότι ΟΓ ΑΜ

λ λ



39) α) 2 2

1

x yc : 1

4 9 β) 2 2

2c : x 4y 1

γ) 2 2

3

x yc : 1

4 9

40) α) Τέμνονται β) Έλλειψη με εστίες τα κέντρα των δύο κύκλων

41)9 2

y x4

42) 2 2x y

c : 1100 36

43) α) Κ 1, 3 , Λ 1, 3

Μ 1, 3 , Ν 1, 3

β) Δείξτε ότι ΚΛ ΜΝ

και ΚΛ ΚΜ



γ) Μ 1, 3 ή Μ 1, 3 ή

Μ 1, 3 ή Μ 1, 3

44) Έλλειψη με εστίες τα Α, Β και μήκος με-γάλου άξονα ίσο με 2

1) α) 2 2

1

x yc : 1

4 5 β)

2 2

2

x yc : 1

36 64

γ) 2 23c : x y 2

2) α) 2 2

1

x yc : 1

64 80 β)

2 2

2

x yc : 1

9 16

3) ε 3 , 1ε : y 2x , 2ε : y 2x

4) 2

2 xc : y 1

16

5) 2 25x 5y

c : 124 96

6) 2 2c : 2x 2y 3

7) 2 2

1

x yc : 1

9 16 ,

2 2

2

x yc : 1

6 12 ,

2 2

3

y xc : 1

6 3 ,

2 2

4

x yc : 1

12 8

8) 2 2c : 121y 11x 81

9) α) Ε(5,0), Ε΄(-5,0), Α(4,0), Α΄(-4,0), Β(0,3),

Β΄(0,-3), 1

3ε : y x

4 , 2

3ε : y x

4 ,

Κ(4,3), Λ(-4,3), Μ(-4,-3), Ν(4,-3),5

ε4

β) Ε 41,0 , Ε 41,0 , Α(4,0),

Α΄(-4,0), Β(0,5), Β΄(0,-5), 1

5ε : y x

4 ,

2

5ε : y x

4 , Κ(4,5), Λ(-4,5), Μ(-4,-5),

Ν(4,-5),41

ε4

.

γ) Ε 2 2,0 , Ε 2 2,0 , Α(2,0), Α΄(-2,0),

Β(0,2), Β΄(0,-2), 1ε : y x , 2ε : y x ,

Κ(2,2), Λ(-2,2), Μ(-2,-2), Ν(2,-2), ε 2 .

10)2 3

ε3

11)π

3

12)194

ε5

13) α) 2 2x y

c : 14 16

β) Α(2,0), Β΄(-2,0),

1ε : y 2x , 2ε : y 2x

γ) 32 τ.μ.

14) λ 7 , 4 3Ε λ 3λ 14λ 50,0

4 3Ε λ 3λ 14λ 50,0

15) ΚΛ 2 5

16) όχι

17) α) 1ε : y 2x 4

β) 2

3 2ε : y x 12

2

18) 9

ε : y x 3 102

19) 1ε : y 2x 4 , 2ε : y 2x 4

20) 1

2ε : y x 1

2 , 2

2ε : y x 1

2

21) 1ε : y x 2 2 , 2ε : y x 2 2

ΥΠΕΡΒΟΛΗ



22) 1

3 13ε : y 2x

13 , 2

3 13ε : y 2x

13

23) 1ε : x 2 , 2ε : y 2 3 x 4

24) 1

1 1ε : y x

2 2 , 2ε : y 2x 7

3

10ε : y x

2 , 4

10ε : y x

2

25) κ 6 , κ 3

26) λ 4 , λ 4

27) 2 2y x

c : 18 4

28) 2 2x y

c : 120 16

29) 2 2x y

c : 120 16

30) 1ε : y 2x 4 , 2ε : y 2x 4

3ε : y 2x 4 , 4ε : y 2x 4

31) 1

2 10 2 65ε : y x

5 5

2

2 10 2 65ε : y x

5 5

3

2 10 2 65ε : y x

5 5

4

2 10 2 65ε : y x

5 5

32) 1

64 247ε : y x

9 9

33) α) 2 2x y

c : 14 5 β) ε : y 2x 11

34) Θεωρείστε την ευθεία β

ε : y x κα

και παρατηρήστε ότι το σύστημα των εξισώσεων της (ε) με την υπερβολή (c)έχει μια μόνο λύση.

35) Θεωρείστε ότι Μ MΜ x ,y και παρατη-

ρήστε ότι ΜΑ 2x ,0 καθώς και

MΒ 0,2y .

36) Προβληματική Εκφώνηση



39) Η υπερβολή 2 2y x

c : 19 16

40) α) Η υπερβολή 2 2x y

c : 116 9

β) Απλό

41) α) 0 00 0

y λxΑ ,y λx

λ

,

0 00 0

λx yΒ ,y λx

λ

β) Ο δεξιός κλάδος της

2

2 00 2

yc : x 1

λ ,

42) α) 2 2 2

112 2

1

α y α βε : y x y

β x β

β)2 2

12

α βΓ x ,0

α

,2 2

12

α βΔ 0, y

α

γ)2 2 2 2

1 12 2

α β α βΝ x , y

2α 2β

,

δ) 2 2

2 22 2

x yc : 1

γ γ

2α 2β

,

ε) Απλό



1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)


α) β) γ) δ) ε) στ)

Λ Λ Σ Σ Σ Λ

α) β) γ) δ) ε)

Σ Λ Σ Σ Σ

α) β) γ) δ) ε)

Σ Λ Σ Σ Λ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Σ Σ Σ Σ Σ Σ

ζ) η) θ)

Σ Λ Λ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Σ Λ Λ Σ Λ Λ

ζ) η) θ)

Σ Σ Σ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Σ Σ Λ Λ Λ Σ

ζ) η) θ) ι)

Λ Σ Σ Λ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Λ Σ Σ Σ Σ Λ

ζ) η) θ) ι) ια)

Σ Λ Λ Λ Λ

α) β) γ) δ) ε) στ)

Σ Λ Λ Λ Λ Σ

ζ) η) θ)

Σ Λ Σ

1) 2) 3) 4)

α) ζ) στ) ε)

1) 2) 3) 4)

β),δ) γ) δ) α)

1) 2) 3)

β) γ) ε)

1) 2) 3) 4)

δ) α) γ) β)

1) 2) 3)

β) γ) ε)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

δ) α) ζ) στ) γ) β) ε)



ΘΕΜΑ Α


Α3) 1→β, 2→α, 3→δ, 4→γ

ΘΕΜΑ Β

Β1) 1ε : y 7x 25 2

2

1 25 2ε : y x

7 7

Β2) 2c : y 20x

Β3) 3

401 1 50 2ε : y x

2 401 1

4

401 1 50 2ε : y x

2 401 1

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) λ 2

Γ2) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 ,μ 1 μ

Κ ,2 2

22μ 2ρ

2

Γ3)1

Α 0,2

,1

Β 1,2

Γ4) 2 2y 4x

c : 14 15

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) Κ 3,0 , ρ 2 2

Δ2) Ε 1,0 , δ : x 1

Δ3) Α 1,2 , Β 1, 2

Δ4) 1ε : y x 1

2ε : y x 1

ΘΕΜΑ Α


Α3) 1→Λ, 2→Λ, 3→Λ, 4→Σ, 4→Λ

ΘΕΜΑ Β

Β1) Ε(2,0), δ : x 2

Β2) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες της Ε επαλη-θεύουν την εξίσωση της (ε).

Β3) A 3 2 2,2 2 2 , Β 3 2 2,2 2 2

Β3) Δείξτε ότι 1 2λ λ 1

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) 1Κ 1,2 , 1ρ 2 , 2Κ 2, 2 , 2ρ 3

Γ2) Δείξτε ότι 1 2 1 2Κ Κ ρ ρ

Γ3)1 2

Α ,5 5

Γ4) 3 1

c : y x+4 4

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 ,

λ 3λ 10Κ ,

2 2

Δ2) Ο 0,0 , Β 3,1

Δ3) ευθεία ε : y 3x 5

6ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

7ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΓΕΝΙΚΟ



Δ4)5τ.μ.

2

ΘΕΜΑ Α


Α3) 1→Σ, 2→Σ 3→Σ, 4→Σ, 4→Λ

ΘΕΜΑ Β

Β1) Ε(0,3), Ε΄(0,-3)

Β2) Το μήκος του μικρού άξονα είναι 8 μονά-δες και το μήκος του μεγάλου άξονα εί-ναι 10 μονάδες.

Β3) x 4

ΘΕΜΑ Γ

Γ1) Είναι u v α 2β α 3β ...

,

Γ2) Αφού u v u v 0

και χρησιμοποιή-

στε το Γ1) ερώτημα

Γ3) u 10

ΘΕΜΑ Δ

Δ1) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0

Δ2) Κ 2α,α και 2ρ α α 1

Δ3) ευθεία ε : y 2x

Δ4) Χρησιμοποιήστε το Δ2) ερώτημα

Δ5) ε : y 1

Ζήτημα 1ο

Α) ΑΓ α β

, ΓΕ 2α 2β

Β) β) Γ) Δείξτε ότι ΑΓ ΓΕ 0

Ζήτημα 2ο

Α) Λύστε το σύστημα Β)3

κ2

Γ) 1 2γ γ γ

με 1γ 1, 2

και 2γ 2,1

Ζήτημα 3ο

Α) α β 1

Β) u 2 13

, v 13

Γ) u v -23

Δ) 23συν u,v

26

Ζήτημα 4ο

Α) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε ότι

ΑΒ / /ΑΓ

Β) Χρησιμοποιήστε το Α) ερώτημα

Γ) Δείξτε ότι ΡΑ ΡΒ 0

Δ) Δείξτε ότι v ΑΓ 0

Ζήτημα 5ο

Α) γ 2

Β) 3π

4Γ) κ 0 ή κ 1

Ζήτημα 6ο

Α)1

α β2

, 2

4β 2α 12

, 2

α β 3

Β) ΑΜ α -β

, ΒΓ 2α 4β

Γ)π

3

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

8ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΓΕΝΙΚΟ



Ζήτημα 7ο

Α) α) Ισχύει ότι α

προβ β / /α

β) Από α) ερώτημα και χρησιμοποιώντας

ότι α

α β α προβ β

γ) 1 2v v v

με 1

3 4v ,

5 5

και

2

8 6v ,

5 5

Β) Αποδεικτική

Ζήτημα 8ο

Α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς

Β) Δείξτε ότι ΟΑ ΟΒ 0

Γ) Από το Α) ερώτημα έχουμε

3ΟΑ 4ΟΒ 5ΟΓ 4ΟΒ 5ΟΓ 3ΟΑ

άρα 2 2

4ΟΒ 5ΟΓ 3ΟΑ ...

Δ) Παρατηρήστε ότι 1

ΑΟΒ2

.

Ζήτημα 9ο

Α) Ισχύει ότι α


Β)π

3Γ) 9 Δ) κ 16

Ζήτημα 10ο

Α) α) Είναι

2

ββ 4

5

β) Είναι 1α β 2 8 α β β

5

Β)π

4

Γ) α) Είναι β

προβ α λ β

και δείξτε ότι λ 1

β) 1 2α α α

με 1α 12,1

και

2α 1,2

Ζήτημα 11ο

Α) α β 3

Β) ΑΓ 4α 3β

Γ) ΑΜ 3 3

Δ) Δείξτε ότι 3συν ΑΜ,α

2

Ζήτημα 12ο

α) Δείξτε ότι det α,β 0

και det β,γ 0

β) γ 41α 17β

γ) Δείξτε ότι α β γ 0

δ)

17 801κ

8

Ζήτημα 13ο

Α) α) υ v 8

β)13

β13

Β) α) ΑΜ 4

β) ΒΔ β α

Ζήτημα 14ο

Α) α) α β 1

β) α β 7

γ) α β 3



Β) 3 3

ΑΜ α β2 2

, ΒΓ α β

Γ)^ 3 21

συν ΑΜ,ΒΓ21

Δ) ΒΓ

3προβ ΑΜ

6

Ζήτημα 15ο

α)2 1

y x9 2

β)1

2γ)

33 13

13

Ζήτημα 16ο

α)1

λ3

β)λ 3

Ρ λ,2

γ)1 3

y x2 2

Ζήτημα 17ο

α)2 12

y x5 5

β) y x 1

γ)1 5

y x2 2

Ζήτημα 18ο

α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του α που να

μηδενίζει ταυτόχρονα το 2α 2α και το

2α α 1

β) Α(2,3) γ) α 1

δ) Θεωρείστε ότι ανήκει και καταλήξτε σε

άτοπο.

Ζήτημα 19ο

α) 1ε : y 2x , 2ε : y 3x

β)π

4γ)

1y x 1

2 , y 12x 1

Ζήτημα 20ο

α) Δείξτε ότι Δ 0 β) η : y x 1

γ) Β(-11,12) ή Β(9,-8)

δ) Ν(-1,2) ή 5 2

Ν ,3 3

Ζήτημα 21ο

α) Δείξτε ότι det ΑΒ,ΑΓ 0

β) 1ε : y 2x 1 , 2ε : y 2x 3

γ) 3ε : y x 5 , 4

1ε : x

2

Ζήτημα 22ο

Α) α 4 ή α 16

Β) α) 10 τ.μ. β)6 2

Ρ ,5 5

Ζήτημα 23ο

α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του α που να

μηδενίζει ταυτόχρονα το 2α 1 και το

α 1

β) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες του σημείου

επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας

των ευθειών (1) γ) Είναι

1ΑΜΒ det AM,AB

2

Ζήτημα 24ο

Α) α) Δείξτε ότι det ΑΒ,AΓ 0



β) Θεωρείστε Μ μέσο ΑΓ και παρατηρήστε

ότι Mx 4

Β) Γ(6,2) ή Γ(6,18)

Γ) 2 4

η : y x3 3

,4

Δ 4,3

.

Ζήτημα 25ο

Α) Απλό Β) Απλό

Ζήτημα 26ο

Β) Α(-1,1) Γ)1

Β 1,2

Δ)1

y x4

Ζήτημα 27ο

Α) 1ε : y 0 , 2ε : y x

Γ) 1δ : y 3 2 2 x ,

2δ : y 3 2 2 x

Ζήτημα 28ο

Α) 1ε : y x 5 , 2ε : y x 1

Β) 1 2d ε ,ε 3 2

Γ) ε : y x 2

Δ)3

ΡΕΜ2

τ.μ.

Ζήτημα 29ο

α) Κ(4,5)

β) Έστω Μ(x,y) τα σημεία του επιπέδου που

ανήκουν στις (ε1) και (ε2). Θα είναι

d Μ,ΒΔ 2 2 ...

γ) Α(7,8), Β(-3,-4), Γ(1,2), Δ(11,14)

δ) ΑΒΓΔ 12 τ.μ.

Ζήτημα 30ο

Α) Μ(1,2) Β) 1 5

ε : y x2 2

Γ)1

λ4

Ζήτημα 31ο

Α) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 με Α 4 ,

Β 2 , Γ 3

Β) 1ε : y x 1 , 2ε : y x 3

Γ) ΜΑΒ 1 τ.μ.

Ζήτημα 32ο

Α) Ε(1,0), δ : x 1

Β) Καμία

Γ) ε : y x 1

Ζήτημα 33ο

Α) Είναι 2 2Α Β 4Γ 8 0

Β) ε : y x 3

Γ) Παρατηρήστε ότι Κ(συνθ,ημθ)

Ζήτημα 34ο

Α) 1ε : y 3x 10 , 2ε : y 3x 10



Β)5 3 5

Α ,2 2

,

5 3 5Β ,

2 2

Γ) 2 15c : x y

2

Ζήτημα 35ο

Α) Παρατηρήστε ότι το σημείο Α ανήκει στην

παραβολή

Β) Δείξτε ότι 2 2x y 4

Γ) 1

3 5ε : y x

4 3 , 2ε : x 2

Ζήτημα 36ο

Α) Κ(2,4), ρ 2

Β) Παρατηρήστε ότι ΑΒΓΔ τετράγωνο

Γ) Παρατηρήστε ότι τα σημεία Κ κινούνται

στην ευθεία 1ε : y x 2 για την οποία

είναι x 0 . Το παραπάνω κομμάτι της ευ-

θείας συναντά τον περιφερειακό κυκλικό

δρόμο στα σημεία Α(1,3) και Γ(3,5).

Ζήτημα 37ο

Α) 4

2 23 2 2

4γc : y x

α β

Β) α) 1ε : y x γ , 2ε : y x γ , Α(γ,2γ),

Β(γ,-2γ)

β) Παρατηρήστε ότι 1 2ε ελ λ 1

γ) Αφού 2Α c προκύπτει ότι

2 4

2 2

γ 4γ1

α β και μετά κάντε πράξεις

και προσπαθήστε να εμφανίσετε το

λόγο γ

εα

Ζήτημα 38ο

Α)ημθ συνθ

Κ ,2 2

και 3

ρ2

Β) 2 21c : x y 4

Γ)π

θ4

Δ) ΟΑ 4 , ΟΒ 2

Ζήτημα 39ο

Α) 21c : y 6x με

3Ε ,0

2

και 3

δ : x2

Β) 2 22c : x y 16 , Κ(0,0), R 4

Γ) 2 2

3

x 4yc : 1

4 7 ,

3ε

4

Δ) 1Ρ 2,2 3 , 2Ρ 2, 2 3

Ζήτημα 40ο

Α)1

μ2

Β)1 1

μ 2, ,32 2

Γ) α) Παρατηρήστε ότι για 1

μ 2,2

είναι

μ 2 3 μ

β) Για καμία τιμή του μ.



Ζήτημα 41ο

Α) 2 2

1c : x 12 y 6 10 ,

2 2

2c : x 12 y 6 16

Β) Στο σημείο Α η λήψη είναι «πολύ καλή»

ενώ στο σημείο Β η λήψη είναι «καλή»

Γ) Στο κομμάτι της ευθείας που βρίσκεται

μεταξύ των σημείων

19 2 7 17 2 7Μ ,

2 2

ή

19 2 7 17 2 7Θ ,

2 2

Ζήτημα 42ο

Α) Δείξτε ότι d Κ,ε ρ

Β)11 41 4 41

Μ ,10 5

,

11 41 4 41Ν ,

10 5

Γ) 1 1

ε : y x2 4

Ζήτημα 43ο

Α)1 1

θ 0, ,e e

Β) Κ(lnθ,0) και lnθ 1

ρ2

Γ)2

2θ e ,3 2 8

2θ e

Ζήτημα 44ο

Α) Κ(0,2), ρ 1

Β) λ 3

Γ) α 1 , β 3

Ζήτημα 45ο

Α) 2 2x y αx 2011 α y 0

Β)2011

y x2

Γ) Γ(0,0),2011 2011

Δ ,2 2

Δ) y x

Ζήτημα 46ο

Α) Παρατηρήστε ότι 2 2 2Α Β 4Γ 4λ . Για

λ 0 η εξίσωση παριστάνει ένα σημείο

Κ(0,2)

Β) 1

ε : y x 22

Γ) 2 21c : x y 2 5+1 x 5 3 y 2 5 6 0

2 22c : x y 2 1 5 x 3 5 y 6 2 5 0

Δ) Δεν υπάρχει

Ε) ε : y 2x 2

Ζήτημα 47ο

Α) Κ(4,-3), ρ 5

Β) ε : 4x 3y 0

Γ) 100



Ζήτημα 48ο

Α)1

Μ ,14

Β) α) Δείξτε ότι το σύστημα εξισώσεων της

ευθείας (ε) και της παραβολής (c) είναι

αδύνατο,

2θ θ3y 12

d5

y όπου

Θ(xθ,yθ), τυχαίο σημείο της παραβολής

β) Παρατηρήστε ότι η d ελαχιστοποιείται

όταν το τριώνυμο 2y 3y 12 ελαχι-

στοποιείται. Το ζητούμενο σημείο εί-

ναι το 9 3

Ζ ,16 2

Ζήτημα 49ο

α) Κ(2,-λ), 2ρ λ 2λ 4

β) 2 1

ε : y x3 6

γ) Β 2 3, 1 , Γ 2 3, 1

δ) Η κατακόρυφη ευθεία x 2

Ζήτημα 50ο

Α) 1ε : y x 3 , 2ε : y x 3

Β) Δείξτε ότι 1 2ε ελ λ 1

Γ) Μ(3,4)

Δ) 2 16c : y x

3

Ζήτημα 51ο

Α) 3 7

ε : y x2 2

Β) α) 3

ΑΒΓ τ.μ.2

β) 2 2 9

x 1 y 52

Ζήτημα 52ο

Α) 1 2d ε ,ε 2

Β) ε : 3x 4y 11 0

Γ) 2 2c : x 2 y 63

Ζήτημα 53ο

Α) α) Θεωρήστε ότι β 2α

και καταλήξτε σε

άτοπο

β) Παρατηρήστε ότι

22

2 2Α Β 4Γ 3 α α β

Β) α) Είναι β

Κ α ,2

β) Δείξτε ότι d Κ,ε ρ

γ) Είναι α

προβ β λα

Ζήτημα 54ο

Α) Είναι ΟΑ ΟΒ 0 ...

,1

Κ ,02

,

1

δ : x2



Β)2 22 2

3ΟΑ ΟΒ 15 3 ΟΑ ΟΒ 15 ...

Γ) α) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων

των (c1) και (c2)

β) Δείξτε ότι 1 2ε ελ λ όπου ε1 η εφα-

πτομένη της (c1) στο Κ και ε2 η εφα-

πτομένη της (c2) στο Λ.

Ζήτημα 55ο

Α) ε : y λx β

Β) Το κέντρο του κύκλου θα είναι το Κ(0,β)

και ΜΡ

ρ2

Γ) λ 3

Ζήτημα 56ο

Α) Ε(4,0), Ε΄(-4,0), Ε΄΄(4,0) Β) α)

1ε : y x 4 , 2ε : y x 4

Ζήτημα 57ο

Α) Με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής

Β) α) Παρατηρήστε ότι

2 2 2 νΑ Β 4Γ ν 3 20

β) Κ(2συνφ,2ημφ) , 2 νρ ν 3 20

γ) Κύκλος 2 2 1c : x y

4

δ) δ1) Δείξτε ότι για καμία τιμή του φ δε μη-

δενίζονται ταυτόχρονα το ημφ και

συνφ

δ2) Ισχύει ότι d K,ε ρ ...

Ζήτημα 58ο

Α) Με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής

Β) α) 2 2c : x y 2 , ε 2 , 1ε : y x ,

2ε : y x

β) Δείξτε ότι 5 3ν 0 για κάθε ν 2 .

Ζήτημα 59ο

Α) α) Εκμεταλλευτείτε ότι το Μ είναι εσωτε-

ρικό σημείο του κύκλου

β) Δείξτε ότι η απόσταση του κέντρου του

κύκλου από την ευθεία x 2 ισούται

με την ακτίνα του κύκλου

Β) α) Φέρτε την εξίσωση στη μορφή

Αx By Γ=0 και δείξτε ότι για καμία

τιμή του λ δεν μηδενίζονται ταυτόχρο-

να τα Α και Β

β) Η κατακόρυφη ευθεία x 2

Ζήτημα 60ο

Α) Παρατηρήστε ότι

2 2 2 2Α Β 4Γ 36μ 36λ 0

Β) α) ε : y 2x

β) λ 1 ,2

μ3

γ) 2 10 τ.μ.

Ζήτημα 61ο

Α) 1ε : y 2x 4 , λ

1ε : y x λ

2 ,

5λ

2

Β) Απόρροια του Α) ερωτήματος

Γ) Η (ε1)



Δ) 2 2x y

c : 14 16 , E 0,2 3 , E 0, 2 3 ,

2α 8 , 2β 4 .

Ζήτημα 62ο

Α) α 3

, β 2

Β) π

θ3

Γ) Είναι α


Δ) 3

ΟΑΒ τ.μ.2

Ζήτημα 64ο

Α) α) Η(-1,0) β)1

G ,23

γ) Ο(0,3)

Β) 22c : x y 3 10

Ζήτημα 65ο

Α) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες των σημείων

επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας

Β) Γ(1,-2)

Γ) ε : 2x 3y 4 0

Δ) Δείξτε ότι η απόσταση του κέντρου του

κύκλου από την ευθεία ισούται με την α-

κτίνα Ε) Λ(4,0) ή 16

Λ ,05

Ζήτημα 66ο

Α) α) 2 2 2 2 2ΜΑ ΜΒ ΜΓ 3 x 1 y 70

β) Κ(1,0) και ρ 5

Β) Δείξτε ότι (ΚΡ) ρ Γ)π

2

Ζήτημα 67ο

Α) α) 2 28x 9y

c : 19 4

Β) 8 17

ε : y x9 9

Ζήτημα 68ο

α) ΑΓ : y 4x 2 ,1 18

Γ ,11 11

β)3 1

Μ ,7 7

,13 12

Β ,7 7

γ) 63

178τ.μ.

δ) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 για κάθε τιμή

του πραγματικού αριθμού λ.

Ζήτημα 69ο

Α) 1ε : x y 2 0 , 2ε : x y 6 0

Β) α) 2 2

c : x 1 y 3 2

β) min

10 2 2d

2

, max

10 2 2d

2

γ) 2 22x 2y

c : 125 225

Ζήτημα 70ο

Α) Δείξτε ότι δεν μηδενίζεται ταυτόχρονα ο

συντελεστής του x και του y

B) Παρατηρήστε ότι α β α β

λα β α β

και χρησιμοποιήστε τη σχέση

α β α β α β



Γ) Δείξτε ότι λ=0

Δ) Δείξτε ότι το λ δεν ορίζεται

Ε) Δείξτε ότι α β 0

Ζήτημα 71ο

Ζήτημα 72ο

Α) Κ 2λ 1,2λ 1 , ρ 1

Β) y x 2

Γ) Α 1, 1 , 2

Ζήτημα 73ο

Α) Κ 1,0 , ρ 1

Β) Δείξτε ότι d(K,ε) ρ

Γ) π

θ4

Δ) 2y 4x

Ζήτημα 74ο

Α) Ε 2 41,0 , Ε 2 41,0

1

4ε : y x

5, 2

4ε : y x

5,

41ε

5

Β) 320 τ.μ Γ) 8

Δ)1500

41

Ζήτημα 75ο

Β) Α(3,-1) Γ) 1 τ.μ

Ζήτημα 76ο

Α) 2

00

yx

2ρ

Β) α) 1(ε ): y x 2ρ , 2(ε ): y x 2ρ

β) Α(2ρ,0)

Ζήτημα 77ο

Α) ΑΓ α β

, 1

ΒΜ β α4

Β) Δείξτε ότι ΑΓ ΒΜ 0

Ζήτημα 78ο

Α) γ 1,1

Β) γ 2

Γ) κ -2

Δ) y 2x 3

Ζήτημα 79ο

Α) α) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 για κάθε τιμή

του πραγματικού αριθμού λ.

β) Κ(λ,-λ), 2ρ 2λ λ 1

γ) Διχοτόμος 1ης

– 3ης

γωνίας των αξόνων

Β) α) Ε(-2,0)

β)

1

x 2 3(ε ): y

1 3 1 3,

2

x 2 3(ε ): y

1 3 1 3

Ζήτημα 80ο

Α) y x 8

Β) Γ(8,0), Δ(0,8)



Δ) Ν(4,4)

Ε) Ευθείες y x 50 , y x 34

Ζήτημα 81ο

Α) Δ(2,1)

Β) ΑΓ 5,4

, ΒΔ 3,0

,

3ΔΜ ,0

2

Γ) Ε(-2,1)

Δ)

1ΟΝ , 1

2

Ε) ΑΒ ΒΓ 0

Ζήτημα 82ο

Α) Δείξτε ότι ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ

Β) ΟΑ ΟΓ 3

Γ) ΟΓ 7

Δ)

ΟΒ

3 3 3προβ ΟΑ ,

4 4

Ε) 3

κ2

Ζήτημα 83ο

Α) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 για λ ∈ ℝ - {0}.

Β) Κ λ, 2 λ ,

Γ) Η ευθεία y 2 x χωρίς το Α(0,-2)

Δ) 2 2x y

18 12

Ε) 2 25y 5x

112 48

Ζήτημα 84ο

Α) Η υπερβολή 2 2y x

118 18

Β) x 5

y2 2

Γ) 1

1 3 6ε : y x

2 2, 2

1 3 6ε : y x

2 2

Ζήτημα 85ο

Α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ που να

μηδενίζει ταυτόχρονα τα λ και λ 1

Β) Α(3,-2)

Γ) Οι ασύμπτωτες της υπερβολής διέρχονται

από την αρχή των αξόνων. Από την οικογέ-

νεια των ευθειών μόνο μια ευθεία διέρχε-

ται από την αρχή των αξόνων και δεν είναι

καμία από τις δύο ασύμπτωτες.

Δ) 2

2

2 2λ 2λ 1

Ε) 1ε : y 2 , 2ε : x 3

Ζήτημα 86ο

Α) x 2 , 7

x3

Β) ΟΑ ΟΓ 3

α)

2 21 1 1

(c): x y2 2 2

β) Γε : y x 1 , Δε : y x 1

γ) 2

2xy 1

4,

3ε

2

Ζήτημα 87ο

Α) Δείξτε ότι 2 2Α Β 4Γ 0 ,

1 1Κ ,

2 2



Β) α) ρ d(K,ε)

Ζήτημα 88ο

Α) Δείξτε ότι έχουν σταθερή ακτίνα

Β) y 2x

Γ) 1ε : y 2x 2 5 , 2ε : y 2x 2 5

Δ) Θεωρήστε ότι Α(α1,β1) και Β(α2,β2) σημεία

του κύκλου.

Ζήτημα 90ο

Β) α) Το σημείο επαφής είναι το Α(1,2)

β) Β(-1,0), Γ(0,1)

γ) 1 τετραγωνική μονάδα

Ζήτημα 90ο

Α)2

y x7

Β) 2 2(x 5) (y 3) 10

Γ)2 2x y

136 20

Δ) maxd 130 10

mind 130 10

Ε) 2 2(x 2) (y 4) 2012

Ζήτημα 91ο

Β) α) Δ(-4,0), Ε(0,-1)

β) δεν είναι συνευθειακά, 2,5 τ.μ.



Documents

απαντήσεις βιβλίου μαθηματικών κατεύθυνσης σίσκας χρήστος - φακόπουλος επαμεινώνδας