Αριθμητικά συστήματα. Σύμφωνα με πολλούς ιστορικούς η βάση δέκα επινοήθηκε από τους Ινδούς περίπου το 500 μΧ (Α.ΜΠΟΥΦΗ).

Οι λαοί της αρχαιότητας μέχρι και οι σημερινοί λαοί ,έδειξαν μια προτίμηση στη χρήση της βάσης δέκα. Αυτό

οφείλεται στο ότι τα ονόματα-σύμβολα των αριθμών συνδέθηκαν με το ανθρώπινο χέρι (= 5 δάχτυλα),το οποίο

χρησιμοποιήθηκε για μέτρηση. Αν το ανθρώπινο χέρι είχε έξι δάχτυλα, τότε πιθανότατα θα είχε χρησιμοποιηθεί μια

αρίθμηση θεμελιωμένη πάνω στη βάση δώδεκα.

Ο τρόπος θεμελίωσης της βάσης δέκα, έγινε από αρχαίο άνθρωπο μετρώντας τα δάχτυλα των δυο χεριών και

αντιστοιχίζοντας 1-1 με τα προς μέτρηση αντικείμενα ,μέχρι να φτάσει στο δέκατο δάχτυλο προσεγγίζοντας έτσι

διαισθητικά και τη σειρά των πραγμάτων και τη θέση τάξης αυτών.

Η δεκαδική βάση παρουσιάζει έναντι των άλλων βάσεων ένα καθαρό και ίσως και το βασικότερο πλεονέκτημα

επικράτησής της ανά τους αιώνες . Αυτό είναι : το ότι αντιστοιχεί σε ένα μέγεθος ικανοποιητικό για την ανθρώπινη

φύση, δηλαδή, τα βασικά ονόματα-σύμβολα ,που απαιτεί είναι λίγα και ο πίνακας της πρόσθεσης ή του

πολλαπλασιασμού μαθαίνεται εύκολα με αποστήθιση. Επίσης είναι ανώτερη από άλλες βάσεις μικρότερες ,όπως πχ το

δυο ή το τρία, αφού μας επιτρέπει να γράφουμε μεγάλους αριθμούς με λίγα ψηφία.

Πχ στη βάση δέκα ο αριθμός 2452 γράφεται με τέσσερα ψηφία ,ενώ στη βάση δυο ο αριθμός γράφεται με δώδεκα

ψηφία (100110010000)(IFRAH).

Η καταγωγή της βάσης πέντε είναι ανθρωπόμορφη. Η βάση πέντε χρησιμοποιήθηκε από λαούς που έμαθαν να

αριθμούν με το ένα χέρι, χρησιμοποιώντας το άλλο χέρι για να επεκτείνουν τη σειρά των αριθμών. Χρησιμοποιείται

ακόμα και σήμερα από πολλούς Ινδούς της Βομβάης.

Η βάση είκοσι. Η καταγωγή της βάσης είκοσι είναι ανθρωπόμορφη

και υιοθετήθηκε από λαούς της Σενεγάλης, τους Μάγια, τους Ατζέκους , λαούς της Ανατολικής Ασίας, της Κεντρικής

Αφρικής.

Οι λαοί αυτοί συγκροτούσαν εικοσάδες για να απαριθμήσουν όντα και αντικείμενα. Ο λόγος που υιοθετήθηκε αυτή

η βάση είναι ,ότι τα ονόματα των αριθμών συνδέθηκαν με τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Από το ένα έως το

δέκα χρησιμοποιούσαν τα δάχτυλα των χεριών και συνέχιζαν για τους αριθμούς έντεκα έως και το είκοσι με τα

δάχτυλα των ποδιών

Η βάση δώδεκα.

Η βάση δώδεκα θα μπορούσε να επιλεγεί περισσότερο και από τη βάση δέκα, μια και η πρώτη διαιρείται με περισσότερους

αριθμούς(2,3,4,6) ,ενώ η δεύτερη από δύο μόνο αριθμούς (2,5).Η καταγωγή της βάσης δώδεκα πιθανότατα προέρχεται

από το χέρι (μετρώντας τα τέσσερα δάχτυλα του χεριού, συν τις τρείς φάλαγγες του κάθε δαχτύλου, εξαιρουμένου του

αντίχειρα διότι ήταν το δάχτυλο που ενεργούσε στην πράξη).

Με αυτή τη βάση μέτρησης μετρήθηκαν από τους Σουμέριους αποστάσεις, επιφάνειες, όγκοι, βάρη, και χωρητικότητα.

Με αυτή τη βάση ,επίσης, μετρήθηκε ο χρόνος, χωρίζοντας τη μέρα σε δώδεκα ίσα μέρη, τα οποία ονομάστηκαν

ντάννες (μια ορολογία που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα για την ονομασία της δωδεκάδας). Μία ντάννα

ισοδυναμούσε με δυο δικές μας ώρες.

Η βάση εξήντα. Είναι σχετικά δύσχρηστη βάση, γιατί απαιτεί ονόματα ή σύμβολα αριθμών πολλά και ένας πίνακας

πρόσθεσης ή πολλαπλασιασμού είναι πολύ δύσκολο να αποστηθιστεί.

Στην εξελικτική πορεία του αριθμού, βλέπουμε πως αυτή η βάση εξήντα, χρησιμοποιήθηκε και χρησιμοποιείται

ακόμη και σήμερα, για τη μέτρηση του χρόνου (60h,60m,60s) ή τη μέτρηση των γωνιών σε μοίρες.

Χρησιμοποιήθηκε αρχικά από τους Σουμέριους κατόπιν από τους Βαβυλώνιους και από τους Έλληνες και τους

Άραβες αστρονόμους και στη συνέχεια διαδόθηκε και σε άλλους λαούς.

Υπάρχουν πολλές υποθέσεις για την επιλογή χρήσης αυτής της βάσης. Σύμφωνα με ορισμένους μελετητές, προέρχεται

από τον αριθμό των ημερών του έτους (360), που προκάλεσε τη διαίρεση του κύκλου σε 360 μοίρες. Ο κύκλος

διαιρέθηκε σε έξι ίσα μέρη των 60 μοιρών. Αυτό ευνοούσε την εξηντάδα.

Άλλοι μελετητές πιστεύουν πως προήλθε από τη συνένωση δύο συστημάτων αρίθμησης, όπου το ένα είχε βάση το

δέκα και το άλλο το έξι. Σύμφωνα με τον IFRAH : « η πιο πιθανή προέλευση της βάσης εξήντα προέκυψε από τον

«φυσικό» συνδυασμό της βάσης δώδεκα και της βάσης πέντε.

Συμβολισμός των αρχαίων Αιγυπτίων.

Θεωρείται ένα από τα αρχαιότερα συστήματα αρίθμησης που εμφανίσθηκε περίπου το 3000-2500 πΧ. Είναι δεκαδικό

σύστημα και όχι σύστημα θέσης(δέκα μονάδες μιας τάξης δίνουν μια μονάδα της αμέσως ανώτερης τάξης).

Η Αιγυπτιακή ιερογλυφική αρίθμηση είχε ειδικά σύμβολα για τις μονάδες κάθε δεκαδικής τάξης από το 1 έως το 1.000.000.

Η γραφή των αριθμών γινόταν από τα δεξιά προς τα αριστερά και για να παραστήσουν κάποιο αριθμό επαναλάμβαναν το

ψηφίο κάθε τάξης όσες φορές χρειαζόταν εφαρμόζοντας την αρχή της πρόσθεσης(Εξαρχάκος,1988).

Για το μηδέν δεν υπήρχε ειδικό σύμβολο.

Τα σύμβολα τους ήσαν:

Για τους: 1, 10, 100, 1000, 100000, 1000000

τα: Ι ν e eee ……. ……….,

Έτσι ο αριθμός πχ 612 γραφόταν: II ν eee

Αυτού του είδους ο συμβολισμός των αριθμών έδινε στους χρήστες του την δυνατότητα για αρίθμηση και μέτρηση, όμως ήταν

δύσχρηστος ως προς την εκτέλεση πράξεων με μεγάλους αριθμούς. Και αυτό βέβαια δεν θα παρουσίαζε τόση δυσκολία για

πράξεις της καθημερινότητάς τους, αλλά σίγουρα θα ήταν πραγματικός άθλος, όταν έπρεπε να γίνουν υπολογισμοί πχ στο

εμπόριο, ή στον υπολογισμό της στρατιωτικής τους δύναμης.

Έτσι παρατηρούμε πως, ως προς τη δυνατότητα του «αριθμείν» τα σύμβολα αυτά έχουν το μειονέκτημα πως, επειδή δεν

υπάρχει ξεχωριστό σύμβολο για τον κάθε αριθμό, ούτε υπάρχει το σύμβολο του «μηδέν», η αναγνώριση με μια ματιά αριθμών

μεγαλυτέρων του τέταρτου της κάθε τάξης, είναι αδύνατη, μια και ορίζονται από την επανάληψη τους μέχρι να φτάσουν σε

αριθμό της αμέσως επόμενης τάξης. Τα σύμβολα των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ δυο τάξεων δεν έχουν εμφανή

ακολουθία, αλλά δημιουργούνται βασιζόμενα στην προσθετική αρχή της μονάδας της τάξης που εκφράζουν.

Πχ για τους αριθμούς:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

έχουμε: I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII ν

Ως προς τη δυνατότητα για μέτρηση, παρατηρούμε πως ο αριθμός πλήθους μιας ποσότητας αναγνωρίζεται με σύμβολα που

προκύπτουν από την επανάληψη των μονάδων της τάξης που εκφράζει η ποσότητα αυτή.

Ως προς τους υπολογισμούς, ήταν δυνατή η πρόσθεση και η αφαίρεση μικρών αριθμών χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες. Οι

Αιγύπτιοι, παρά τη στοιχειώδη μορφή της γραπτής αρίθμησής τους, έκαναν αριθμητικές πράξεις.

O πολλαπλασιασμός στηριζόταν στην αρχή της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης δια του διπλασιασμού του αρχικού αριθμού.

(Εξαρχάκος,1988)

Για παράδειγμα ο πολλαπλασιασμός με το 10, γινόταν με την αντικατάσταση του συμβόλου του αριθμού με το δεκαπλάσιό

του . Με τους άλλους αριθμούς, μη ξέροντας να πολλαπλασιάζουν απ’ ευθείας έκαναν διπλασιασμούς διαδοχικά,

χρησιμοποιώντας τεχνάσματα (Ifrah).

Έκαναν δύο στήλες, εκ των οποίων η μία ξεκινούσε με τη μονάδα και η άλλη με τον πολλαπλασιαστή. Κατόπιν με συνεχείς

διπλασιασμούς προσπαθούσαν να φτάσουν στο ζητούμενο

Για παράδειγμα ο πολλαπλασιασμός του 128Χ12:

1 12

2 24

4 48

8 96

16 192

32 384

64 768

128 1536

Στην περίπτωση που διπλασιάζοντας τον αριθμό της αριστερής στήλης, έβρισκε ένα αριθμό μεγαλύτερο από τον ζητούμενο

πολλαπλασιαστέο, σταματούσε και με δοκιμές στην αριστερή στήλη ψάχνει να βρει ποιών αριθμών το άθροισμα, δίνει τον

πολλαπλασιαστέο. Αυτούς τους αριθμούς τους σημειώνει, καθώς και τους αντίστοιχους τους της δεξιάς στήλης. Το άθροισμα

των επιλεγμένων αριθμών της δεξιάς στήλης, δίνει το γινόμενο.

Η διαίρεση γινόταν με διαδοχικούς διπλασιασμούς, αλλά με ανάποδη διαδικασία (Ifrah,1981).Πχ παραθέτω το παράδειγμα

που αναφέρει ο Ifrah στο βιβλίο του «Παγκόσμια Ιστορία Των Αριθμών»:Για τη διαίρεση του αριθμού 1476:12 ενεργεί σαν

να επρόκειτο να κάνει ένα πολλαπλασιασμό με το 12,γράγοντας το 1σε μια αριστερή στήλη και το 12 σε μια δεξιά στήλη και

διπλασιάζει διαδοχικά τους αριθμούς της κάθε στήλης Για παράδειγμα

- 1 12-

- 2 24-

4 48

- 8 96-

-16 192-

- 32 384-

- 64 768-

Όταν φτάσει στο αριθμό 768,επειδή διπλασιαζόμενος δίνει μεγαλύτερο γινόμενο από το 1476, σταματάει και κάνοντας πολλές

δοκιμές στη δεξιά στήλη βρίσκει πως οι αριθμοί12+24+96+192+384+768 προστιθέμενοι δίνουν αποτέλεσμα 1476.

Προσθέτοντας τους αντίστοιχους αριθμούς της αριστερής στήλης βρίσκετε πηλίκο της διαίρεσης(1+2+8+16+32+64=123)

Σύμφωνα με τον πάπυρο του Ρίντ, ο οποίος ανακαλύφθηκε το 1858 στην Αίγυπτο και ο οποίος έχει γραφτεί το 1650

πΧ(Struik,1982) η πιο αξιοπρόσεκτη πλευρά της αιγυπτιακής αρίθμησης ήταν ο λογισμός με κλάσματα, τα οποία ανάγονταν

σε αθροίσματα εναδικών κλασμάτων. Εδώ κατέφευγαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, όταν ο διαιρετέος δεν ήταν ένας

πολλαπλασιαστής του διαιρέτη (όταν η διαίρεση δεν γινόταν ακριβώς και έμενε υπόλοιπο). Τα εναδικά κλάσματα ήσαν

κλάσματα, τα οποία είχαν αριθμητή το 1.Για να συμβολίσουν ένα εναδικό κλάσμα έγραφαν τον αριθμό που εξέφραζε τον

παρονομαστή και έθεταν πάνω από αυτόν ένα ειδικό σύμβολο. Εξαίρεση αποτελούσαν τα κλάσματα ½ και 2/3 που είχαν

ειδικά σύμβολα. Η αναγωγή ενός κλάσματος σε άθροισμα εναδικών κλασμάτων γινόταν με την βοήθεια πινάκων.

Παρατηρούμε, πως, οι Αιγύπτιοι ανέπτυξαν μια μέθοδο αριθμητικών υπολογισμών σημαντική για την εποχή τους, που

παρουσίαζε μειονεκτήματα εξαιτίας των αριθμητικών συμβόλων της. Και αυτό γιατί ήταν, και πολύπλοκος ο τρόπος σκέψης

τους και δύσχρηστα τα σύμβολα των αριθμών που είχαν επινοήσει. Μπορούμε να φαντασθούμε πόσο δύσκολοι ήταν οι

υπολογισμοί με πράξεις -ιδιαίτερα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης-με τον συμβολισμό αυτό, γιατί έδιναν αποτελέσματα που

απαιτούσαν μεγάλης έκτασης γραφική απεικόνιση. Αυτό ήταν αιτία να γίνονται λάθη στην αντιγραφή των υπολογισμών

(παραποίηση ενός συμβόλου ή και παράληψή του), με μεγάλες συνέπειες.

Συμβολισμός των Βαβυλωνίων

Είναι ένα από τα αρχαιότερα συστήματα αρίθμησης και εμφανίσθηκε περίπου το 2000 π.Χ. (Ifrah 1981-Loria 1971). Είναι

ελλιπές εξηκονταδικό σύστημα και αντίθετα με τα περισσότερα από τα συστήματα της εποχής η αξία των ψηφίων του

καθοριζόταν από τη θέση τους στη γραφή των αριθμών.

Η αρίθμηση αυτή χρησιμοποιούσε μόνο δύο ψηφία, τα:

για το 1 το ……….

Για το 10 το ……….

Λόγω της μορφής της γραφής των αριθμητικών συμβόλων (καρφί - σφήνα)

η γραφή αυτή ονομάσθηκε σφηνοειδής αριθμοί από το 1 έως το 59 απεικονίζονταν με ένα τρόπο προσθετικό, με την

επανάληψη των σχημάτων τους για όσες φορές ήταν απαραίτητο.

Οι αριθμοί: 1 2 3 4……..10 11…..20……59 60

γράφονταν: ………………………………………………………

Έτσι ο αριθμός … μπορούσε να παριστάνει το 3 ή το 62 ή το 60Χ60Χ60+1 ή και άλλους αριθμούς.

Οι αριθμοί γράφονταν από δεξιά προς τα αριστερά, ξεκινώντας από τις μονάδες προχωρώντας προς τις ανώτερες τάξεις

αριθμών. Πχ το 18 γραφόταν ………

και το 58 γραφόταν ……..

Μετά το 59 όμως η γραφή ήταν θεσιακή. Έτσι ο αριθμός 69 γραφόταν:

όχι ……… αλλά ……………..

Επίσης με το σύμβολο της σφήνας (..) συμβόλιζαν και τα κλάσματα 1/60, 1/60Χ60 κλπ και δεν είχαν ειδικό σύμβολο για τα

κλάσματα της μορφής 2/60, 3/60,5/60 κλπ. Αυτό ήταν ένα σοβαρό μειονέκτημα, γιατί ο αριθμός

πχ <…, μπορεί να παρίστανε το13 ή το 10,3 ή και άλλους αριθμούς.

Ένα άλλο σοβαρό μειονέκτημα του βαβυλωνιακού συστήματος είναι η απουσία του ειδικού συμβόλου του μηδέν (0),γιατί δεν

ήταν εφικτή η επισήμανση της απουσίας μονάδων κάποιας τάξης. Έτσι ο αριθμός .. μπορεί να παρίστανε τους αριθμούς :

2

ή 1.60+1=61

ή 1.(60.60)+0.60+1=3601 κοκ

Προς αντιμετώπιση αυτού του εμποδίου αρχικά άφηναν ένα κενό στη θέση που απουσίαζε κάποια μονάδα οποιασδήποτε

τάξης, αλλά αυτό δεν έλυνε το πρόβλημα γιατί οι γραφείς μπορεί να ξεχνούσαν να αφήσουν το κενό και από την άλλη ήταν

πολύ δύσκολο να συμβολίσουν έτσι την απουσία μονάδων δύο ή περισσοτέρων τάξεων. Έτσι περίπου τον 3ο πΧ

χρησιμοποίησαν το σύμβολο Σ (Bunt, Jones, Bedient ,«The historical roots of elementary Mathematics»), για να σημειώνουν

την απουσία μονάδας κάποιας τάξης στη γραφή των αριθμών. Παρόλο που, αυτό το σύμβολο δεν είχε επινοηθεί από τους

μαθηματικούς της αρχαίας Βαβυλώνας σαν ποσότητα, εξακολουθεί να θεωρείται ένα σημαντικό βήμα για την ανακάλυψη του

αρχαιότερου «μηδέν».

Ευνόητο είναι πως τα προβλήματα που προαναφέρθηκαν δημιουργούσαν δυσχέρειες και στους υπολογισμούς των αρχαίων

Βαβυλωνίων.

Ο συμβολισμός της Μινωικής εποχής.

Ο άγγλος αρχαιολόγος Evans στις ανασκαφές του στα ανάκτορα της Κνωσού, βρήκε πινακίδες με αριθμητικά σύμβολα υπό

μορφή καταλόγων. Από αυτές τις πινακίδες (Εξαρχάκος,1988,σελ.266) συμπεραίνεται, ότι εκείνη την εποχή οι Κρήτες

χρησιμοποιούσαν ένα δεκαδικό σύστημα θέσης, γράφοντας από αριστερά προς τα δεξιά. Αργότερα περίπου το 1600πΧ

καθιερώνεται η «Γραμμική Α΄», της οποίας το αριθμητικό σύστημα αποκρυπτογραφήθηκε και οι πληροφορίες που έδωσε

είναι, πως πρόκειται για δεκαδικό σύστημα θέσης και τα σύμβολα των αριθμών του είναι:

1 10 100 1000

I ή ? • \ ή / ?

Το 1300 πΧ καθιερώθηκε η «Γραμμική Β΄», η οποία αποκρυπτογραφήθηκε το 1952 από τους Βρετανούς Ventris και

Chadwick. Το σύστημα αρίθμησης εδώ είναι δεκαδικό σύστημα θέσης και οι αριθμοί από το1 έως το 10000 συμβολίζονται ως

εξής:

για τους 1 10 100 1000 10000

τα I - ° … ….. (Ifrah,σελ.162)

Για το μηδέν δεν υπήρχε ειδικό σύμβολο και ο συμβολισμός των άλλων αριθμών γινόταν με συνδυασμούς των παραπάνω

συμβόλων.

Πχ ο αριθμός 165= °….. IIIII

ή ο αριθμός 1988=………

ή ο αριθμός 41564=………. (Εξαρχάκος,1988 σελ 26)

Βλέπουμε πως στο σύστημα αυτό η απαρίθμηση γινόταν δια της επανάληψης του κάθε συμβόλου της κάθε τάξης, η αξία του

κάθε συμβόλου παίρνεται από τη θέση του στην γραφική απεικόνιση του αριθμού, οι πράξεις της πρόσθεσης και της

αφαίρεσης ήσαν δυνατές (με μια δύσχρηστη γραφική απεικόνιση του αποτελέσματος), οι πράξεις του πολλαπλασιασμού

εκφραζόταν με την επανάληψη του συμβόλου του αριθμού της κάθε τάξης. Ειδικό σύμβολο για το μηδέν δεν υπήρχε.

ΣΟΣ****

Ο συμβολισμός των αρχαίων Ελλήνων.

Τον 6ο πΧ αιώνα οι Έλληνες εγκατέλειψαν τις γραμμικές μορφές των ψηφίων και τα αντικατέστησαν- εφαρμόζοντας την

αρχή της ακροφωνίας- με τα αρχικά γράμματα των λέξεων που αντιστοιχούσαν στους αριθμούς.

Απεικόνιζαν, πλέον, ως εξής:

για τους αριθμούς: 1 5 10 100 1000 10000

έγραφαν: Γ Δ Η Χ Μ

(Γ από την αρχική μορφή του Π της λέξης ΠΕΝΤΕ)

(Δ από τη λέξη ΔΕΚΑ)

(Χ από τη λέξη ΧΙΛΙΟΙ)

(Μ από τη λέξη ΜΥΡΙΟΙ).

Τους υπόλοιπους αριθμούς τους συμβόλιζαν με συνδυασμούς των γραμμάτων αυτών:

Είτε προσθετικά με επανάληψη του ίδιου γράμματος (ΗΗ=200)

Είτε πολλαπλασιαστικά με διάφορα τεχνάσματα (πχ ΓΗ= 5Χ 100)

Με πολυσύνθετους συνδυασμούς (πχ ΓΜ ΓΗ ΗΗΗΗ ΓΔ III=50953)

Με αυτό το συμβολισμό είναι ολοφάνερο πως οι γραπτές πράξεις πραγματοποιούντο, ήσαν, όμως πρακτικά δύσκολες και

χρειαζόταν να καταφεύγουν οι χρήστες σε πίνακες μέτρησης, αφενός μεν γιατί ένας αριθμός γραφόταν με πολλά σύμβολα,

αφετέρου προέκυπταν λάθη αντιγραφής.

Τον 5o πΧ αιώνα οι Έλληνες της Ιωνίας χρησιμοποιούν τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου, χωρισμένα σε τάξεις:

Η πρώτη τάξη με γράμματα από το α έως το θ όριζε τις μονάδες

Η δεύτερη από το ι έως το π όριζε τις δεκάδες

Η τρίτη τάξη από το ρ έως το ω όριζε τις εκατοντάδες

Για να ξεχωρίζουν από τα γράμματα της αλφαβήτου, έβαζαν πάνω δεξιά κάθε γράμματος-αριθμού ένα τόνο πχ α΄, β΄

Επίσης για τον αριθμό 6 εισήγαγαν το σύμβολο «κόππα» S και για τον αριθμό 900 το σύμβολο «σαμπί» … Για το μηδέν δεν

υπήρχε σύμβολο.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Μονάδες πρώτης τάξης

α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ ς΄ ζ΄ η΄ θ

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Μονάδες

δεύτερης τάξης

ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ …

100 200 300 400 500 600 700 800 900 Μονάδες

ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ …. τρίτης τάξης

Οι συμβολισμοί των αριθμών με τα γράμματα της αλφαβήτου έδιναν τη δυνατότητα για αρίθμηση, αφενός μεν γιατί είχαν ήδη

μια σταθερή διάταξη, αφετέρου δε γιατί κάθε αριθμός είχε το δικό του σύμβολο, που έδινε τη θέση του (προηγείται από…-

έπεται του..)

Επίσης επίσης αυτής της μορφής ο συμβολισμός των αριθμών δήλωνε και τον πληθηκό τους αριθμό, ο οποίος ήταν αντιληπτός

με την πρώτη ματιά, αρκεί ο αναγνώστης του να ήξερε ποιά γράμματα περιείχε η κάθε τάξη αριθμών. Πχ ο αριθμός 112

γραφόταν ως ρί΄ β΄.

Με πολλαπλασιαστικά τεχνάσματα, έγραφαν μεγάλους αριθμούς. Πχ για να δηλωθεί ότι ένας αριθμός πολλαπλασιάζεται επί

1000 ,έβαζαν ένα τόνο κάτω αριστερά του γράμματος που συμβόλιζε τον συγκεκριμένο αριθμό .

Πχ το γράμμα δ= 4Χ1000

ή

ε Μ = 5Χ 10000.

Παρατηρούμε πως με αυτού του είδους το συμβολισμό (των Ελλήνων της Ιωνίας), ένας αριθμός μπορούσε να γραφτεί με

λιγότερα ψηφία από ότι γραφόταν με το συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε από τους αρχαίους Κρήτες. Αλλά προσθέτοντας

συμπληρωματικούς αριθμούς περιόρισαν τις λειτουργικές του δυνατότητες και ανάγκασε τους χρήστες να καταφεύγουν σε

πίνακες μέτρησης, μια και τα ψηφία αυτά ήσαν συντομογραφίες που σκοπό είχαν να δηλώσουν και να διατηρήσουν τους

αριθμούς.

Ο συμβολισμός από τους Ρωμαίους.

Τα σύμβολα που χρησιμοποίησαν οι Ρωμαίοι, αρχικά, ήσαν:

για τους αριθμούς 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

τα I II III IIII V VI VII VIII VIIII X

Για το μηδέν δεν είχε επινοηθεί κανένα σύμβολο.

Υπήρχαν διαφορετικά σύμβολα για τους αριθμούς 1(I), 5(V), 10(X).Για τους αριθμούς 2,3,4, τα σύμβολα προέκυπταν από

την επανάληψη της μονάδας, όσες φορές δήλωνε ο αριθμός. Για τους αριθμούς 6,7,8,9 τα σύμβολα προέκυπταν από

συνδυασμό του 5(V) και της μονάδας.

Για τους αριθμούς 50 100 500 1000

τα σύμβολα L C D M.

Αυτή η μορφή δεν ήταν η αρχική, αλλά προέκυψε από τροποποιήσεις. Για παράδειγμα το L (50) προέκυψε από το C(100),ως

μισό C, ενώ τοD(500) ως μισό του Φ που ήταν η αρχική μορφή του συμβόλου του 1000.

Το σύμβολο Μ(1000) προέκυψε από τη λατινική λέξη Mille.

Παράδειγμα πρόσθεσης:

26 ΧΧVI

(35) XXXV

(49) XXXXVIIII

44 XXXXIIII +

(154) CXXXXXIIII

Αργότερα αντικατέστησαν τα σύμβολα των αριθμών ΙΙΙΙ(4) και VΙΙΙΙ(9) με τα αντίστοιχα IV και IX ,δημιουργώντας έτσι την

ιδέα της αξίας του ψηφίου ανάλογα με τη θέση μέσα στον αριθμό.

Έτσι μέσα από ένα κανόνα που γενικεύτηκε και στα άλλα σύμβολα εκφράσθηκε η ιδέα απόδοσης ενός αριθμού που

παριστάνεται από δύο διαφορετικά σύμβολα.

Ο κανόνας, λέει:«Αν δύο διαφορετικά σύμβολα, παριστάνουν ένα αριθμό, τότε ο αριθμός αποδίδεται α) με τη διαφορά των

αριθμών που παριστάνουν τα σύμβολα, αν το μικρότερο έχει γραφεί στα αριστερά του μεγαλυτέρου (IV= 5-1) και β) με το

άθροισμα των αριθμών, αν το μικρότερο έχει γραφεί στα δεξιά του μεγαλυτέρου (VI=5+1).

Παραδείγματα: IX=9 XL=40 XC=90

XI=11 LX=60 CX=110

Οι αριθμοί 10 20 30 40 50 60 70 80 90

γράφονταν X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC

και

100 200 300 400 500 600 700 800 900

C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM

Οι υπόλοιποι αριθμοί γράφονταν με συνδυασμό των παραπάνω συμβόλων, ενώ χρησιμοποιούσαν τεχνάσματα για τους πολύ

μεγάλους αριθμούς πχ +L, που σήμαινε πως πολλαπλασιάζεται επί χίλια ή αν ένας αριθμός περικλειόταν από το L , τότε

αποδιδόταν το εκατονταπλάσιο του αριθμού. Συνδυασμός των παραπάνω τεχνασμάτων δημιούργησε νέα σύμβολα όπως:

─

I X I= 10X100X1000=1000000

Αυτό το σύστημα γραφής των αριθμών ήταν πολύπλοκο με πολλά σύμβολα που φάνηκαν χρήσιμα στο επίπεδο συμβολισμού

των δεδομένων και των ζητουμένων .Με τη χρήση τόσων συμβόλων περιορίσθηκαν οι λειτουργικές του δυνατότητες και για

να γίνουν πράξεις και υπολογισμοί ήσαν απαραίτητοι οι «άβακες».

Το σύστημα αρίθμησης των Ρωμαίων είναι σύστημα θέσης με περιορισμένη έκταση, γιατί το κάθε ψηφίο έχει καθορισμένη

αξία ανεξάρτητα από τη θέση που έχει στον αριθμό, εξαιρέσει μερικών που η θέση τους καθορίζει την αξία όλου του αριθμού

(IV)

Συμβολισμός με το Ινδοαραβικό σύστημα

Οι Ινδοί επηρεασμένοι από τον πολιτισμό τους που συνήθιζε να εκφράζεται με ποίηση, χρησιμοποίησαν αυτή τη μορφή τέχνης

για να εκφράσουν αριθμούς και υπολογισμούς με αριθμούς. Ο έμμετρος λόγος της ποίησης επέτρεπε να χαραχθούν στη μνήμη

αριθμοί και εκτενείς αριθμητικοί πίνακες, αποφεύγοντας έτσι τα λάθη αντιγραφής.

Τα σύμβολα 1, 2, 3, 4…. 9 έφτασαν και μεταδόθηκαν στην Ευρώπη μέσω των Αράβων και εξαιτίας αυτού ονομάσθηκαν

«αραβικά ψηφία» ή «αραβικοί αριθμοί»,ενώ ο σωστός όρος είναι «ινδοαραβικά ψηφία» ή «ινδοαραβικοί αριθμοί».Αν και δεν

είναι με ακρίβεια γνωστό το που και πως χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά τα σύμβολα αυτά, υπάρχουν όμως διασωθείσες

πηγές (κείμενα, επιγραφές) που ανάγονται στον 3ο πΧ αιώνα και που καταμαρτυρούν την ύπαρξη αριθμητικών συμβόλων με

παρόμοια μορφή. Πχ οι πέτρινοι στύλοι του βασιλιά Ασόκα (Στρουικ, 1982), πάνω στους οποίους είχε χαράξει τις αρχές του

Βουδισμού. Από αυτούς έχουν διασωθεί 30 και στα κείμενα τους υπάρχουν και διακρίνονται σύμβολα αριθμών (Alfred

Hooper «Makers of Mathematics») με αυτή τη μορφή:

1 , 2 , 4 , 6

Ι , ΙΙ , +,

Επίσης βρέθηκαν περίπου το 200 μΧ, σε ένα σπήλαιο της Nasik στη Βομβάη (Εξαρχάκος,1988),επιγραφές οι οποίες περιέχουν

αριθμητικά σύμβολα σαν τα:

1 2 3 4 5 6 7 9

_ _ _

_ _ … … …. …. ….

_ Σύμφωνα με τον Ifrah (1981), σε επιγραφές που χρονολογούνται περίπου από τον 3ο με 7ο αιώνα μΧ υπάρχουν σύμβολα

αριθμών με την εξής μορφή:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

………………………………………………………

Τα σύμβολα αυτά αρχικά ήσαν σήματα απαλλαγμένα από κάθε οπτική αντίληψη (δεν μαρτυρούσαν πχ με γραμμές τη

ποσότητα, όπως το 2= ΙΙ) και αποτέλεσαν το ξεκίνημα για τη γραφή των αριθμητικών ψηφίων με τη σημερινή μορφή. Επειδή

δε οι αριθμοί υπάκουαν ακόμα, στον κανόνα θέσης δεν ήσαν λειτουργικοί. Αυτή η αρίθμηση, ήταν με δεκαδική βάση,

στηριζόταν στο αξίωμα της πρόσθεσης και απέδιδε σε κάθε αριθμό ένα ειδικό σύμβολο. Για παράδειγμα υπήρχαν σύμβολα για

τους αριθμούς:

1 2 3 ………………… 9

10 20 30 ………………… 90

100 200 300 …………………. 900

1000 2000 3000 ………………… 9000

10000 20000 30000 ………………… 90000

Σύμφωνα με τον Ifrah (Παγκόσμια ιστορία των αριθμών σελ.245) αυτή η αρίθμηση εμπεριείχε ξεχωριστά ψηφία, όχι μόνο για

κάθε μονάδα, αλλά για κάθε δεκάδα, εκατοντάδα, χιλιάδα και κάθε δεκάδα χιλιάδων. Έτσι ο αριθμός πχ 7629

γραφόταν:……………………..

Είναι φανερό πως ένας συμβολισμός αυτής της έκτασης, δυσχεραίνει τη λειτουργικότητα του αριθμητικού συστήματος και δεν

επιτρέπει ούτε μια απλή πρόσθεση. Επιπλέον, δεδομένου του ότι το μεγαλύτερο ψηφίο αντιστοιχούσε στον αριθμό 90000, δεν

υπήρχε περίπτωση να φτάσει κανείς σε αριθμό πέραν του 99999.

Ακολούθησε ένας συμβολισμός προφορικής ή γραπτής αρίθμησης χρησιμοποιώντας ονόματα-λέξεις για κάθε ένα από τους

εννέα αριθμούς και ιδιαίτερο όνομα στη δεκάδα και σε κάθε μια από τις δυνάμεις της και μετά σύνθετα ονόματα σ’ όλους

τους άλλους αριθμούς. Επίσης προχωρούσαν, αντίθετα από το σημερινό σύστημα αρίθμησης, εκφράζοντας τους αριθμούς με

τη σειρά των αυξουσών δυνάμεων της βάσης τους. Ξεκινούσαν από αριστερά προς τα δεξιά και από τις απλές μονάδες προς

τις μεγαλύτερες τάξεις.

Κατά τον 5ο μΧ αιώνα ,δημιουργείται η αξία θέσης του αριθμού και οι αριθμοί από το 1 έως το 9 απαλλάσσονται από κάθε

άμεση οπτική αντίληψη. Επίσης γίνονται τα πρώτα βήματα για την εφεύρεση του συμβόλου «μηδέν», χρησιμοποιώντας τη

λέξη «κενό» (σουνυά) για να επισημάνουν την ύπαρξη μονάδων άλλης τάξης και όχι την μηδενική ποσότητα.

Κατά τον ιστορικό των Μαθηματικών B.L. Van Der Waerden (1959),το ειδικό σύμβολο «0» οφείλεται στον Έλληνα

μαθηματικό και αστρονόμο Πτολεμαίο τον Κλαύδιο (100-178μΧ) και προκύπτει από το αρχικό γράμμα της λέξης «ουδέν».

Σύμφωνα με τον ίδιο ιστορικό οι Ινδοί είχαν μελετήσει το έργο του Πτολεμαίου (αυτό συμπεραίνεται από την ύπαρξη πολλών

ελληνικών λέξεων στο έργο αστρονομίας των Ινδών με τίτλο «Surya Siddhanta »)

Το σύμβολο «μηδέν» απέκτησε την σημασία της μηδενικής ποσότητας μετά τον 6ο μΧ αιώνα και γύρω στο 12ο μΧ αιώνα

απέκτησε την αφηρημένη σημασία που του αποδίδουμε σήμερα.

Με την ανακάλυψη του μηδενός και με απλοποιήσεις στους κανόνες του άβακα, μετά τον 6ο αιώνα κάνουν υπολογισμούς με

μεγαλύτερη άνεση και όσον αφορά τον πολλαπλασιασμό, εφαρμόζουν την τεχνική του

«διατετραγωνισμού» ή με«πίνακα»,η οποία μεταδόθηκε και στους Ευρωπαίους από τους Άραβες.

Παράδειγμα πολλαπλασιασμού των 6538Χ547 (Ifrah, σελ 263-265):

Σε ένα ορθογωνικό πίνακα με 4 κάθετες στήλες και 3 οριζόντιες γραμμές, γράφουμε τον μεν πολλαπλασιαστέο πάνω από τον

πίνακα, ξεκινώντας από αριστερά προς τα δεξιά, έτσι ώστε κάθε ψηφίο του να αντιστοιχεί σε μία στήλη. Κατόπιν γράφουμε

τον πολλαπλασιαστή, αριστερά του πίνακα από πάνω προς τα κάτω, έτσι ώστε κάθε ψηφίο του να αντιστοιχεί σε κάθε μια από

τις στήλες.

Στη συνέχεια διαιρούμε κάθε τετράγωνο του πίνακα με μια διαγώνιο που ενώνει την πάνω αριστερά κορφή του κάθε

τετραγώνου με την κάτω δεξιά. Μετά κάθε ένα ψηφίο του πολλαπλασιαστή με κάθε ένα ψηφίο του πολλαπλασιαστέου και

από το γινόμενο (αφορά γινόμενα μικρότερα του 100) βάζουμε τις δεκάδες στο κάτω αριστερά ημιτετράγωνο και τις μονάδες

πάνω δεξιά.

Δεξιά του πίνακα και εξωτερικά γραφούμε τον αριθμό που προκύπτει από την πρόσθεση των αριθμών που περιέχονται σε

κάθε διαγώνιο ξεκινώντας από την πάνω δεξιά. Διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά τον αριθμό που έχει καταγραφή στην

κάτω και δεξιά εξωτερική πλευρά του πίνακα έχουμε το γινόμενο του ζητουμένου πολλαπλασιασμού.

Αυτή η μέθοδος αν και εκτεταμένη έχει το πλεονέκτημα να ομαδοποιεί τη μεταφορά κρατουμένων στο τέλος της πράξης.

Στην Ευρώπη διαδόθηκαν τα σύμβολα και το αριθμητικό σύστημα των Ινδών, από τους Άραβες κατακτητές .Ο Άραβας

μαθηματικός Muhammed Ibn Musa ο επονομαζόμενος Al-Khwarismi (σύμφωνα με τον Ifrah από την παράφραση του

ονόματός του προέκυψε και ο όρος αλγόριθμος),το 820 μΧ έγραψε ένα βιβλίο για τις αριθμητικές πράξεις κατά τους Ινδούς,

γνωστό ως «Algoritmi de numero Indorum» και 5 χρόνια αργότερα το 825μΧ το έργο «Algebra», το οποίο μεταφράσθηκε στα

λατινικά από τον Άγγλο μαθηματικό και φιλόσοφο Adelard στις αρχές του 12ου αιώνα μ.Χ.

Οι κατακτήσεις των Αράβων καθώς και οι μεταφράσεις μαθηματικών έργων, διέδωσαν το σύστημα γραφής των αριθμών των

Ινδών, το οποίο υιοθετείται από τις άλλες χώρες της Ευρώπης. Σε αυτή την εξάπλωση επέδρασε και το βιβλίο «Liber Abaci»

του Λεονάρδου της Πίζας (Leon. Fibonacci) ,το οποίο γράφτηκε γύρω στο 1200μΧ.

Από τον 16ο αιώνα το νέο αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιείται συστηματικά.

Τα σύμβολα των αριθμών υπέστησαν διάφορες αλλαγές στη μορφή τους εξ αιτίας της γραφής με το χέρι. Η ανακάλυψη της

τυπογραφίας τους έδωσε την τελική τους μορφή.

Η δεκαδική αρίθμηση θέσης είναι ένα τέλειο και ολοκληρωμένο σύστημα και αυτό οφείλεται στο συμβολισμό του, ο οποίος

επιτρέπει να σημειώνουμε με οικονομία χώρου, λογικά οποιονδήποτε αριθμό όσο μεγάλος και αν είναι. Επίσης επιτρέπει σε

όλους να μάθουν αριθμητική.

Πίνακας εξέλιξης των Ινδοαραβικών συμβόλων (Εξαρχάκος,σελ 275).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

200πΧ

100πΧ Ι ΙΙ + 6

200μΧ -

976μΧ

12ος αιώνας 0 8 9

1294μΧ 0

1360μΧ 0

1442μΧ 0 Ι 2 3 5 6 7 8 9

1480 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

-Συνοψίζοντας παρατηρούμε πως:

- Στο αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης (δεκαδικό μη θεσιακό), για το συμβολισμό των αριθμών εφαρμόζονται οι αρχές της

επανάληψης και της πρόσθεσης και έχει ειδικά σύμβολα για τις μονάδες κάθε δεκαδικής τάξης. Για τους άλλους αριθμούς της

κάθε τάξης επαναλαμβάνεται η μονάδα της τάξης μέχρι να δηλωθεί ο ζητούμενος αριθμός. Ήταν ένα αρκετά λειτουργικό

σύστημα αρίθμησης με μειονέκτημα το χρήση πολλών συμβόλων για τη γραφή ενός αριθμού

Στο Βαβυλωνιακό σύστημα (ατελές εξηκονταδικό), υπάρχουν μόνο δύο σύμβολα για τους αριθμούς 1 ( ) και 10 ( ), οι

υπόλοιποι αριθμοί μέχρι το 59 σχηματίζονται από τον συνδυασμό αυτών .Το 60 με μια σφήνα μεγαλύτερη σε μέγεθος από

αυτή της μονάδας. Δεν υπάρχει σύμβολο για το «μηδέν». Θεωρείται ότι είναι από τα πιο δυσλειτουργικά συστήματα, λόγω

του περιορισμένου συμβολισμού του, ο οποίος δημιουργούσε σύγχυση και λάθη.

Στη Μινωική εποχή το αριθμητικό σύστημα είναι ατελές δεκαδικό θεσιακό. Ατελές, γιατί δεν έχει ειδικά σύμβολα για κάθε

αριθμό από το 1 μέχρι το 9.Υπάρχουν όμως ειδικά σύμβολα για τις μονάδες κάθε δεκαδικής τάξης από το 10 μέχρι το

10000.Οι άλλοι αριθμοί προκύπτουν με τη χρήση των αρχών της επανάληψης, της πρόσθεσης και της θέσης των ψηφίων.

Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων, στην αρχική του μορφή ήταν το Ακροφωνικό μη θεσιακό δεκαδικό σύστημα

που παραχώρησε τη θέση του στο Αλφαβητικό σύστημα, το οποίο είναι δεκαδικό σύστημα, χωρίς ειδικό σύμβολο για το

μηδέν. Έχει ξεχωριστό σύμβολο για κάθε αριθμό της κάθε τάξης από το 1 μέχρι το 1000 και χρησιμοποιήθηκαν διάφορα

τεχνάσματα για την γραφή μεγαλυτέρων αριθμών. Θεωρείται το τελειότερο σύστημα μετά το Ινδοαραβικό.

Το Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης είναι δεκαδικό σύστημα θέσης με περιορισμένη έκταση, μια που υπάρχουν σύμβολα

αριθμητικών ψηφίων με την ίδια πάντοτε αξία ανεξάρτητα από τη θέση του μέσα στον αριθμό (πχ το V έχει την αξία 5

οπουδήποτε και αν βρίσκεται μέσα στον αριθμό) και σύμβολα ψηφίων που η θέση τους καθορίζει και την αξία του αριθμού

(πχ το Ι αν βρίσκεται πριν ή μετά το V ,δηλώνει άλλη αξία).Είναι εύκολη η αρίθμηση και η μέτρηση και εφικτές οι πράξεις

Το Ινδοαραβικό σύστημα είναι δεκαδικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν ειδικά σύμβολα από το 1 έως το 9 εύκολα,

απλά στη γραφή και μπορούν με συνδυασμούς να δώσουν άλλους αριθμούς οσοδήποτε μεγάλους.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

IFRAH G. Παγκόσμια ιστορία των αριθμών, εκδόσεις Σμυρνιωτάκη, Αθήνα

LORIA G. Ιστορία των μαθηματικών ,Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Αθήνα.

DAVIS P. S.- HERSH R. Η Μαθηματική Εμπειρία, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα.

Μπούφη Α. (1995) Σημειώσεις Διδακτικής Μαθηματικών ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών,

Παιδαγ. Τμήμα Δημοτικής Εκπ/σης, Αθήνα.

Εξαρχάκος (1988) Διδακτική των Μαθηματικών, εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα.

FREGE G. (1990) Τα Θεμέλια της Αριθμητικής (μεταφρ. Ρουσόπουλος), εκδόσεις Νεφέλη, Αθήνα.

Κουζέλης Γερ. (1993) Επιστημολογία (επιμέλεια-εισαγωγή), εκδόσεις νήσος, Αθήνα.

Ρουσόπουλος Γ. (1991) Επιστημολογία των Μαθηματικών, εκδόσεις GUTENBERG, Αθήνα.

STRUIK D. (1982) Συνοπτική ιστορία των Μαθηματικών, εκδόσεις Ζαχαρόπουλος, Αθήνα.

Περιοδικό (1995) Προεκτάσεις στην Εκπαίδευση

Αφιέρωμα:«Μαθηματικά»

Τεύχη 15 - 16

Μάρτιος- Αύγουστος

Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα.