Συμπερασμα Κυρτο=>πολυγωνικα συνεκτικο=>κατα τοξα συνεκτικο < <≠ ≠ Πχ Αν παρω }{ 1:),( 22 ≤+= yxyxB :κυρτο Ενω αν παρω }{ 1:),( 22 >+= yxyxB :οχι κυρτο Θεωρημα ενδιαμεσης τιμης

RRKf →≤ 3:

Συνεχης Κατα τοξα συνεκτικο

Kba ∈∀⇒rr, Και lzfKzbflaf =∈∃<< )(:)()( rrrr

Ομοιομορφη συνεχεια-ορια Ορισμος

kn RRAF →<: Ομοιομορφα συνεχης στο 0)(0 >∃>∀⇒ εδεA εχχ <− ||)()(|| 21

rrrrFF Οταν δχχμε <−∈ ||||, 2121

rrAxx Εξηγηση

0)(0

0)(),(inf

),(

>∃>

>=

→

εδε

εδχεδ

βαφ R

1) Μια συναρτηση Φ ειναι ομοιομορφα συνεχης στο Α για καθε ακολουθια

∞→< vvvv yAyx rrrr ......,)(),( χμε

2) Εστω Φ(χ) , χ Φ⇒∈r

K ειναι ομοιομορφα συνεχης 3) ομοιομορφα συνεχης Α∈Φ χχ

rrr:)(

Και (χν)-βασικη { βασικηχν −Φ )( rr

4) Α∈Φ⇒Α∈ χχχχφrrrrrr

||)(||),( Ομ συν φραγμενο,φραγμενο 5) ),........,( 21 nfffF =

r ομοιομορφα συνεχης καθε Fi ομοιομορφα συνεχης

6)Α<Β

∈ συνεχησομοιομορφα,),( AxxF rrr

} BF /r

⇒ ομοιομορφα συνεχης

Παρατηρηση Στο (2) δεν ισχυει αν το Κ ειναι συμπαγες Π.χ.

)1,0(,/1)( ∈=Φ χχχ :συνεχης ,οχι ομοιομορφα συνεχης Π.χ.

||21||||

.0,)ln(

yxyx

yxyx

xxx

−≤+−

=−

→≥= συνεχηςομ

Π.χ. Φ(χ,y)=xy , (x,y) R∈

Rxxxy

∈==

,2φ οχι ομοιομορφα συνεχης

Π.χ.

3

0,,),(

xy

yxxyyxy

=

≥=

3xyy=

Rxxxxxx ∈== ,),( 233 αρα η υ δεν ειναι ομοιομορφα

συνεχης Π.χ. Φ(χ)=χ2 και το χ ανηκει στο R και ειναι συνεχης αλλα οχι ομοιομορφα Φ(χ)=χ2 RAx <∈ ↓ Φραγμενη

Π.χ. y(x) =cos x2 συνεχης οχι ομοιομορφα συνεχης ομως →∈Rx

Αν παρω τις 021,

22

1→

+κπχκπ

Π.χ.

⇒=Α

∉++

xxy

yxyx

2

22

lim,0,

lim

ν

αν υπαρχει το οριο θα ειναι μηδεν!!!

Αν

01lim,

21)

21()

21(

:

22

)0,0(),(

22

22

≠=++

=−+−

+=+

→ yxyx

yx

yxyxC

yxτοτε

Π.χ.

∉+

→ xyyx

yx)(lim

22

)0,0(),(ημ

xyyx

yxyx

xyyx 22

22

2222 )()( +•

++

=+ ημημ

Π.χ.

322

2

2

32

2

32

2

)0,0(),(

:,0

0,0

lim

yxyxCy

yx

yxyxyy

yxyx

yx

+=→

→=≤+

→

∉+

−

+

→

εστω

χεχω

Cyxyyy

yyx

yyx

y ∈≠=

→−

⇒→−

=

><−<

=

→ ,,01lim,

01

0,1

001

0

0

33

32

και

Ασκηση

∉+−

→ 222

225

)0,0(),( )(lim

yxyxx

yx

Αξονας y:χ=ο 00lim 40

=→= yy

ox

}∉ το οριο

Στην y=x: 41

)2(lim 22

45

00 =

−=→ x

xxyx

Ασκηση

∉−

→ 2

||

)0,0(),(

2||limxex x

y

yx

Στον χ : y=0 00lim 200

2

=−

=→ x

e xo

yx

} ριοo∉

Στην y=x2 12

2

0

2

2

lim −−

→= = ee

xx x

x

xyx

Ασκηση

∉+

→ ||lim

22

)0,0(),( xyyx

yx

Στην y=x 0||

2lim2

00 =

=→ x

xyx

} οριοαρα ∉

Στην y=x3 1lim4

62

00 =

+=→

xxx

yx

Ασκηση

0)(lim)(lim )0,0(),()0,0(),( =•= →→ xxy

xyxy

xxy

yxyxημημ

Ασκηση

∉+

=

∉+

=+

∉+

→→

→→

→

22)0,0(),(24

2

)0,0(),(

22)0,0(),(22

22

)0,0(),(

22)0,0(),(

limlim

limlim

lim

yuuy

yxyx

vuuv

yxyx

yxxy

yxyx

vuyx

yx

Ασκηση

f(x,y)= 222

22

)( yxyxyx−+

Υπαρχουν τα διαδοχικα ορια ενω παραλληλα υπαρχουν

και τα ορια του lim f(x,y) γιατι οταν χ=0 τοτε lim=0 ενω οταν το χ=y τοτε το lim=1. Αρα

ειναιοταν ,0...,0,0)(

lim 222

22

0 →≠=−+→ yy

yxyxyx

x 0)0(0

022

2

=−+ χχ

χ

0.........)(limlim,0.......)(limlim 0000 == →→→→ yxxy λογω συμμετριας Αρα υπαρχουν διαδοχικα ενω ),(lim )0,0(),( yxfyx →

Ασκηση

Βρειτε τα a, b, c ωστε 0)1()2(

lim22)1,2(),( =

−+−

−−−→

yxcybxax y

yx

Ασκηση f (x,y,z)= yeze yxyx ημσυνημ ++ Βρειτε τα Α,Β,C πραγματικοι αριθμοι τετοιοι ωστε

0),,(lim222)0,0,0(),,( =

++

−−−→

zyxCzByAxzyxF

zyx

Ασκηση Βρειτε τα a,b πραγματικοι αριθμοι τετοιοι ωστε να ισχυει

011

lim22

22

)0,0(),( =+

−−−++→

yx

byaxyxyx

Ασκηση Αν )(),(lim,,),(lim ),(),( yayxfRlyxf

ooo xxyxyx =∃∈=∃ →→ και τοτε να αποδειξετε οτι υπαρχει το παρακατω οριο lya

vyy =→ )(lim Διαφοριση

o

otto

o

xxo

o

tttFtF

tr

ItRIttr

RxF

IxRI

o

o

−−

=

∈⊂∈

∈−Φ−Φ

=

∈⊂∈Φ

→

→

)()(lim)('

,),(.2

)()(lim)('

,),(.1

r

r

ο

ο

χχχχ

χχ

Ειδικα αν 3RIr =r συνεχη τοτε το )(' otrr ειναι εφαπτομενο διανυσμα της καμπυλης

στη θεση to Προταση Αν ))()....(()( 1 trtrtr m=

r τοτε ∃ )(' otrr )(' otirr και ισχυει )(' otrr = ))()....(( 1 trtr m

Μερικη παραγωγιση

Φ(χ,y) ),(),( 0 oo ydxdyθφ y=yo (xo,yo)=>/R χφχ =

xθ Κανονες παραγωγισης

)(

)()()

0(

)()()(

)(,)1

2 xg

gxffxg

gf

gxffxgfg

gfgfgxf

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θχθ

θθν

+=

+=>

+=∃=>

+=+∃=>∃Α

Π.χ.

zz

z

z

z

yeye

zyyexz

xyey

zyyexzy

2)2()(

sin

2

cos),,(

2

2

==

−=

=

+=

χθχθ

θχθφ

θχθθθφθθφχφ

zz

zz

zz

zexe

zexzeyy

xeyeyxy

==

=+=+==

==

2

)cos()cos(

2)2()(

222

2

2

2

2

3

θχθ

θχθ

θχθχ

θχθ

θθφ

θχθ

θθχφθ

χθθ

θθφ

θθ

χυουνΙσ

22)(

)()(

)(

φθχφθ

θχφφ

φφφφ

φφφφλλφφφ

y

yyy

yyy

yy

−∇

=∇−∇

=∇

∇+∇=∇∇=∇

∇+∇=+∇

ατευθυνομενη παραγωγος Κ

txat

xD

aa

txtex

yx

otoa

to

)()(lim)(

1||||,

)()(lim),(

00

000

φχφφ

δφθχθφ

−+=

=

−+=

→

→

r

rr

r

r

2121

21212

00

32

272........)3,1(),()3,1(lim

),)(23,2(),)(3,2(/()(

)3,1(

)3,1(,),()2

aat

faatf

aaaayxJxxfD

fD

yxyxf

a

a

+−==−−+−

−==∇=

−

−+=

r

r

Σε ποια κατευθυνση η f μεταβαλλται ταχυτερα?

),//()27,2(,

)),((cos||||.|||||

21

0

ααθελω

θ

−

∇⊄∇ axfxf orrr

Συνδιαζοντας τα παραπανω φτανουμε στο ζητουμενο...

),(),(),(,|),(|

),(),(:,

),(),(),(),,()3

δγχβαχχθχθφ

δγχβασυνεχηςφραγμενοθθφ

θχθφχ

δγβ

∈∀Μ≤

⇒+∃

∈

yy

fy

xayxyxf

Ασκηση F(χ) γραμμικη => f ικανοποιει Lips (αρα θα ειναι και ομοιομορφα συνεχης)

||ˆˆ|||)|.......|(||)ˆ()(......)ˆ()(|

)()()ˆ()ˆ(),........,(ˆ

ˆ.......ˆ........

))(.......)((

)(.........)()ˆ........ˆ()(,

,),()()(

11

111

1

111

1

11

yxMyxyxMefyxefyx

yefxefyfxfFFF

exex

x

x

efef

xxfxxfexexfxf

Ryfxfyf

nnn

nnn

n

nn

n

n

n

n

nn

−≤−++−≤−++−=

=−=−

=

++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=

=++==++=

∈∀+=+

∑∑

rr

rr

r

rrrr

οποτεμλμλμχλ

Υπολογισμος διαφορικου

AyxRAyxy oo ∈∈∈ ),(,),(),,( 2χφ ),(? oo yxdφ∃

Πρωτος τροπος υπολογιζουμε τις ∉⇒∉∀),,(),,( ooo yy χθχθφχ

θχθφ

ο διαφορικο και

ελενχουμε αν 2

02

0

000000),(),(

)()(

)()(),(),(lim

yyxx

yyxxyxyxyoxoyx

−+−

−−−−−→

βαφφ

Αν ΝΑΙ τοτε υπαρχει το dφ(χο,yo)=απ1+βπ2

Δευτερος τροπος υπολογιζουμε τις Ayxyxy

yx ∈∀ ),(),,(),,(θθφ

θχθφ

και ελενχω αν ),(),(lim ),(),( oyoxoyx yyx οχθχθφ

θχθφ

=→

Και αν ισχυει ),(),(lim ),(),( oyoxoyx yy

yxy οχθ

θφθθφ

=→

Αν ΝΑΙ τοτε υπαρχει το dφ(χο,yo)=απ1+βπ2

Θεωρημα

Αν υπαρχουν τα yθ

θφθχθφ ,∃ (φ:c’ ταξεων) και ειναι συνεχεις στο (χο,yo)=>η φ ειναι

διαφορισιμη (το c προερχεται απο το συνεχεις ). Παρατηρηση Οι συναρτησεις με φ(χ,y)=xy με χ>=0 και y πραγματικος αριθμος εχουν μερικες παραγωγους που ειναι :

Ryxyezezyxf yyx ∈++= ,,),,( ημχσυνημ

211

11 log),(),(),( πππθχθφπ

θχθφφ οοο

χοοοοοοοο xxxyyxyxyxd yo+=+= −

Υπενθυμησεις

yxyxyy xxxeex loglog)'()'( loglog ===

Ο τυπος του διαφορικου ειναι:

!!!!!!!!),(),(),( 21 πχθχθφπ

θχθφφ οοοοοο yyxyxd +=

Ασκηση

1)0,0,0(,1)0,0,0(,1)0,0,0(

0)0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0(),,(

lim)0,0,0(

),,(

222)0,0,0(),,(

===

=++

−−−−=>∃

++=

→

zf

yff

zyx

zzfyfx

xffzyxf

df

yezezyxf

zyx

yxyx

θθ

θθ

θχθ

θθ

θχθ

θθ

ημσυνημ

Απο την θεωρια ξερουμε οτι : 01),,(lim222)0,0,0(),,( =

++

−−−−→

zyx

zyxzyxfzyx

Ασκηση

Βρειτε τα Α,B,C ωστε 01),,(lim )0,0,0(),,( =−−−−

→CzByAxzyxf

zyx

Με βαση την προηγουμενη δοσμενη συναρτηση αρκει να βαλουμε Α=1 Β=1 και C=1. Ασκηση

Βρειτε τα Α,Β,C ωστε 0)1()2(

lim22)1,2(),( =

−+−

−−−→

yxcybxax y

yx

Θεωρω την συναρτηση ),(!,),( yxdcxy y φταξεωςχφ ∃=>−=

0)1()2(

)1)(1,2()2)(1,2()1,2(),(lim)1,2(

22=

−+−

−−−−−=>∃

yx

yy

yxd θ

θφχθχθφφφ

φ

2)1,2(,2log2|log

1|)1,2(

)1,0(

)1,2(1

===

== −

φθθφθθφ

xxy

yxy

y

y

Αρα ισχυει δηλαδη,0)1()2(

)1(2log2)2(2lim22)1,2(),( =

−+−

−−−−−→

yxyxx y

yx

0)1()2(

2log22log2lim22

=−+−

−−+

yxyxx y

Πινακας Jacobi

nn

oxd

RA

πχθχθφπχ

θχθφφ

ηδιαφορισιμχχφ

ο )(.....)()(

,),(

101

++=

⊂∈r

r

))(,.......,()))((),......,)((())((

)(...,),........(()(

,),......,(,

1||||

))(()(),........,)).((),......,((),......,(

)(.....)())((

1

11

1

101

hxFhFhxdFhxdFhxFd

RRxdFxdFxFd

RRFFFA

h

Dhhhhh

hhhxd

oooo

mnooo

mnn

honn

n

nn

o

rrrrrrrrrr

rrrr

r

r

rr

rr

r

∇∇=−

→=

→=

=

=∇==

++=

ηδιαφορισιμν

χφχφχθχθφχ

θχθφ

χθχθφχ

θχθφφ

οοο

ο

Αν εχω ),........,( 1 nFFF =

r

Πινακας jacobi

))(()(

...,,.........

...,,.........

...,,.........

)(

0

1

2

1

2

1

1

1

hxFdhxJ

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xJ

oF

n

mm

n

n

oF

rrrrr

r

r

r

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

Συμβολισμος

=),.....,(),.....,(

1

1

n

m

xxFF

θθ

)(

...,,.........

...,,.........

...,,.........

0),......,(

1

2

1

2

1

1

1

1xJ

xF

xF

xF

xF

xF

xF

mFF

n

mm

n

n

r=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

Πολικες συντεταγμενες

<=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

==

θθθθ

θθχθ

θθ

cos,sinsin,cos

),(),(

sincos

rr

ry

ryrx

<=πινακας Jacobi αυτου του μετασχηματισμου

Οριζουσα => rr

yx=

∂∂

),(),(det

θ

Στον R3

zzryrx

===

θθ

sincos

(x,y,z) Κυλινδρικες συντεταγμενες ή κυλινδρικος μετασχηματισμος

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−ΘΘΘΘΘ−Θ

=

=

=Θ=Θ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ΘΘΘ−Θ

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Θ

Θ

Θ

=Θ

φφφφφφφφ

φθ

φθ

φφφ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

sin,,coscossin,sincos,sinsin

coscos,sinsin,sincos

),,(),,(

),,(),,(

cossinsinsincos

1,0,00,cos,sin0,sin,cos

,,

,,

,,

),,(),,(

rorrrr

rdzyxd

rdzyxd

rzryrx

rr

zzz

rz

zyy

ry

zxx

rx

zrzyx

φφθ

sin),,(),,(det 2r

rzyx

−=∂∂

Ελλειπτικες

φφθ

φφφ

sin),,(),,(

cossinsinsincos

abcrr

zyx

crzbryarx

−=∂∂

=Θ=Θ=