Upload
elenaelena
View
18
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Урок геометрии 11 класс
Citation preview
Объем конуса.
11 класс
Цели урока:
Рассмотреть теорему об объеме конуса; Выработать навыки решения типовых
задач на применение формул объемов конуса.
Рассмотреть решение задачи на повторение (из ЕГЭ-2007)
1. Постановка целей урока:
Конус в переводе с греческого означает «сосновая шишка».
С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 г. Была обнаружена книга Архимеда «о методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров.
С помощью этой задачи Демокрит (древнегреческий ученый 470-380 до н.э.) получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса. Сегодня мы докажем одну из них.
2. Актуализация опорных знаний:
Определение прямого кругового конуса. Сечение конуса. Площадь поверхности конуса.
3.Доказательство 1
О vкон =0 ∫h S(х)dх
S(х) / Sосн= k² = (х/h)²=х²/h²
S(х)=Sосн (х²/h²)
Vкон = 0∫h (Sосн (х²/h²))dх=
=(Sосн ( х²/h²)(х³/3)) |0h=
М1 R1 =1/3 Sосн h
Vкон = 1/3 πR²h R
Доказательство 2
За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.
Vкон = lim Vпир = lim (Sоснh)=1/3 h lim Sосн =
n→∞ n →∞ n→∞
=1/3 h Sосн= 1/3 π R² h
Доказательство 3.
.3
1)
3( 2
322222 hR
x
h
RdxxkdxkxdxxfвращтелаV
.3
1 2hRконусаVвращтелаV
Решение задач:
1). Авиационная бомба среднего калибра при взрыве образует воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба , если
1 м³ земли имеет массу 1650 кг?
2) Куча щебня по краям шоссейной дороги также представляет собой конус. Какой объем имеет куча щебня?
На практике можно найти длину окружности и длину образующей, поэтому решим следующую задачу:
Окружность основания кучи щебня 12,1 м. Длина двух образующих 4,6 м. Каков объем кучи?
3)В поэме Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана так же легенда восточных народов:
…Читал я где-то, Что царь однажды воинам
своим Велел снести земли по горсти в
кучу,- И гордым холм возвысился, И царь мог с высоты с весельем
озирать И дол, покрытый белыми
шатрами, И море, где бежали корабли.
Это одна из немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Рассмотрим это:
1 горсть ≈ 1/5 л = 0,2 дм³.Пусть войско из 100 000 человек.
Угол может быть только 45º(или меньше), иначе земля будет осыпаться.
V = 0,2 ∙ 100 000 = 20000 дм³ = 20 м³.
Итак:
Дано:
V = 20 м³.
α = 45º
Найти:
h = ?
Решение :
V = 1/3 R² h R = h V = 1/3 h³ h = ³√ (3 V / π) ≈ 2,7 м.
Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.
У Атиллы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир, около
700 000 человек. (Атилла – представитель гуннов, кочевого народа в Приуралье). Если бы все войны Атиллы участвовали в
насыпании холма, какой высоты был бы холм?
Вычислите дома!
Итог урока:
Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу Vкон .
Вопрос о конусе важен, т.к. конические детали имеются во многих машинах и механизмах.
Да и в жизни мы убедились, что знания о конусе отнюдь не лишние.
Домашнее задание:
П. 70, № 701, 704, 703, 705.
Использованная литература:
Учебник ГЕОМЕТРИЯ 7-9 Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. для общеобразовательных учреждений, Москва, «Просвещение», 2006 г.
Автор: Тарасова Е.Е., учитель математики МОУ СОШ №2 г.Питкяранта, 2007 г.