petrychenko.at.ua · УДК 514 ББК 22.151 Б12 БабенкоС.П. Усiурокигеометрії.10клас.Академічнийрiвень.—Х.: Вид.група

0 С. П. Бабенко

Харкiв

Видавнича група «Основа»

20101

УДК 514ББК 22.151

Б12

Бабенко С. П.Усi уроки геометрії. 10 клас. Академічний рiвень. — Х.:

Вид. група «Основа», 2010. — 318, [2] с.

ISBN 978�611�00�0626�4.

Докладнi розробки урокiв до вивчення геометрії в 10 класi(академічний рівень).

Цiкавi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми робо�ти iз завданнями, велика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiрформ перевiрки знань, використання iгрових моментiв на уроцi,грамотне урахування вiкових особливостей — усе це вигiдно вiд�рiзняє посiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв урокiв.

Посiбник для вчителя нового поколiння.УДК 514ББК 22.151

2

Б12

© Бабенко С. П., 2010

© ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2010ISBN 978�611�00�0626�4

ВСТУП

Матерiали посiбника призначенi для вчителiв загальноосвiтнiх на�вчальних закладiв, якi викладають геометрію у в 10 класi (ака�демічний рівень).

Посiбник мiстить детальнi розробки урокiв. У наведених кон�спектах подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис облад�нання, яке необхiдне для проведення уроку.

Розробляючи плани урокiв, автор дбав про те, щоб систематичнозакрiплювався матерiал, вивчений на попереднiх уроках. У розроб�ках передбачено рiзноматнiтнi форми органiзацiї роботи учнiв пiдчас уроку, зокрема самостiйнi роботи навчаючого i контролюючогохарактеру, математичнi диктанти, фронтальне опитування, розв’я�зання задач за готовими кресленнями.

Змiстова частина конспектiв урокiв має заголовок «Хiд уроку».Тут вiдображено: етапи уроку; змiст навчального матерiалу, що ви�носиться на урок; система завдань, необхiдна для досягнення дидак�тичної мети; методи, форми i засоби, якi доцiльно використати науроцi; домашнє завдання.

До окремих фрагментiв уроку подаються докладнi методичнi реко�мендацiї. Бiльша частина завдань також супроводжується методични�

ми коментарями (у текстi вони позначаються ), якi допоможуть учи�телю врахувати особливостi розв’язування цих вправ.

Детальнi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми роботи,велика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiр форм перевiрки знань,урахування вiкових особливостей учнiв — усе це вiдрiзняє пропоно�ваний посiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв та дає можли�вiсть його використання також учителями, якi працюють за рiзнимипiдручниками з геометрії для 10 класу.

Автор сподiвається, що вчителi не формально використовувати�муть рекомендацiї цього посiбника, а вiзьмуть їх за основу й склада�тимуть свої поурочнi плани, враховуючи особливостi кожного класу.

3

Геометрія. 10 клас. Академічний рівеньОрієнтовне календарне плануванняІ семестр — 32 год (2 год на тиждень),ІІ семестр — 38 год (2 год на тиждень), усього — 70 годин

№уроку

Зміст навчального матеріалу (тема уроку)Кількість

годин

Тема 1. Систематизація й узагальненняфактів і методів планіметрії

8

1 Вступний урок. Аксіоми планіметрії 1

2 Система опорних фактів курсу планіметрії 1



5 Геометричні та аналітичні методи розв’язуваннязадач

1

6 Приклади застосування координат і векторівдо розв’язування планіметричних задач

1

7 Складання рівнянь та систем рівнянь за умовоюгеометричної задачі

1

8 Тематична контрольна робота № 1 1

Тема 2. Вступ до стереометрії 6

9 Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії 1

10 Наслідки з аксіом стереометрії 1

11 Просторові геометричні фігури. Приклади неплоскихпросторових фігур

1

12 Найпростіші задачі на побудову перерізів куба, прямо�кутного паралелепіпеда, піраміди

1

13 Підсумковий урок 1


4

№уроку


годин

Тема 3. Паралельність прямих і площину просторі

22

15 Паралельні й мимобіжні прямі 1

16 Ознаки паралельних і мимобіжних прямих 1

17 Розв’язування задач 1

18 Властивості паралельних прямих 1

19 Розв’язування задач

20 Розміщення прямої і площини у просторі. Ознака па�ралельності прямої і площини

1

21 Властивості прямої, паралельної площині 1




25 Розміщення двох площин у просторі: площини, що пе�ретинаються, паралельні площини. Ознака паралель�ності площин

1


27 Властивості паралельних площин 1

28 Властивості паралельних площин. (Існування площи�ни, паралельної до поданої площини)

1


30 Зображення просторових фігур на площині. Паралель�не проектування та його властивості

1


32 Паралельні проекції плоских фігур 1


34 Паралельне перенесення у просторі 1


Усі уроки геометрії. 10 клас 5

№уроку


годин


Тема 4. Перпендикулярність прямих і площин упро�сторі

27

37 Кути між прямими, що перетинаються 1

38 Кут між мимобіжними прямими 1


40 Ознака перпендикулярності прямої і площини 1

41 Побудова прямої, перпендикулярної до площини 1


43 Зв’язок між паралельністю та перпендикулярністюпрямих і площин

1


45 Перпендикуляр і похила 1


47 Відстані у просторі 1




51 Теорема про три перпендикуляри 1

52 Точка, рівновіддалена від сторін трикутника (много�кутника)

1


54 Кут між прямою і площиною 1

55 Двогранний кут. Кут між площинами 1


57 Ознака перпендикулярності площин 1

58 Властивості перпендикулярних площин 1


№уроку


годин


60 Ортогональна проекція многокутника 1

61 Відстань між мимобіжними прямими 1



Тема 5. Повторення й систематизація навчального ма�теріалу

7

64 Аксіоми стереометрії та наслідки з них. Паралельністьу просторі

1

65 Перпендикулярність у просторі 1

66 Відстані і кути у просторі 1


68–70 Розв’язування цікавих задач 3


ТЕМА 1. СИСТЕМАТИЗАЦIЯ ТА УЗАГАЛЬНЕННЯФАКТIВ I МЕТОДIВ ПЛАНIМЕТРIЇ

Урок № 1Аксiоми планiметрiї

Мета: провести органiзацiйну бесiду. Повторити змiст аксiомпланiметрiї, систематизувати знання й умiння учнiв щодо способiвзастосування змiсту цих аксiом до розв’язування базових задачпланiметрiї.

Тип уроку: повторення та систематизацiя знань i вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект 1, демонстрацiйнi таблицi

(див. перелiк лiтератури, п. 3).

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етап

Вступне слово вчителя про:особливостi вивчення геометрiї в 10 класi;органiзацiю навчального процесу в 10 класi;будову пiдручника.

ІІ. Перевiрка домашнього завдання

Учитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було за�дано).

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку

У вступному словi на попередньому етапi вчитель повiдомляєучням про те, що в 10 класi учнi починають вивчати iнший, нiж цебуло в попереднi роки, роздiл геометрiї. Проте, пригадавши, що одинз основних принципiв вивчення основ наук — це принцип послiдов�ностi, необхiдно акцентувати, що вивчення нового роздiлу неможли�ве без системного, свiдомого повторення основних понять, вивчениху попереднiх класах, а також без вiдтворення основних способiв дiй,якими учнi оволодiли, вивчивши основи планiметрiї у 7–9 класах.Тому першi уроки геометрiї у 10 класi буде присвячено саме система�тизацiї та повторенню основних понять планiметрiї та способiв роз�в’язання планiметричних задач.

8

ІV. Повторення, систематизацiя опорних знань i вмiнь

Робота учнiв з опорним конспектом i таблицями

Рисунок Формулювання аксiоми

І. Якою б не була пряма, iснують точки, щоналежать цiй прямiй, i точки, що їй не нале�жать. Через будь�якi двi точки можна провес�ти пряму, i тiльки одну

ІІ. Із трьох точок на прямiй одна й тiлькиодна лежить мiж двома iншими

AC AB BC= +

ІІІ. Кожний вiдрiзок має певну довжину,бiльшу вiд нуля. Довжина вiдрiзка дорiвнюєсумi довжин частин, на якi цей вiдрiзокдiлиться будь�якою його точкою

ІV. На будь�якому променi вiд його початковоїточки можна вiдкласти вiдрiзок заданої дов�жини i тiльки один

V. Пряма розбиває площину на двi пiвплощи�ни. Якщо кiнцi вiдрiзка належать однiйпiвплощинi, то вiдрiзок не перетинає цю пря�мою. Якщо кiнцi вiдрiзка належать рiзнимпiвплощинам, то вiдрiзок перетинає пряму

VI. Кожний кут має певну градусну мiру,бiльшу вiд нуля. Розгорнутий кут дорiвнює180°. Якщо промiнь дiлить кут на два кути, тоградусна мiра заданого кута дорiвнює сумi мiрцих двох кутiв

VII. Вiд будь�якого променя заданої прямоїможна вiдкласти в задану пiвплощину кутiз градусною мiрою, меншою вiд 180°, i тiлькиодин

Δ ΔABC A B C= 1 1 1

VIII. Який би не був трикутник, iснує трикут�ник, що дорiвнює йому, в заданому розмi�щеннi вiдносно заданого променя

a b| | , A b∈

ІX (аксiома паралельних прямих або аксiомаЕвклiда). Через точку, що не лежить на за�данiй прямiй, можна провести на площинi небiльш нiж одну пряму, паралельну заданiй


A a∈ B a∉

aB A

AB a

C

A B C

BA

a

β

α

∠ = °AOB 180

O

A О B

CB

A

A

Bα

O

A

BC

A1

C1

B1

a

B

C DA

A

a

b

Конспект 1

Аксiоматична будова геометрiї

Вiдповiдно до програми з геометрiї 10 класу 12�рiчної школиакадемiчного рiвня, вивчення геометрiї у 10 класi розпочина�ється iз систематизацiї та повторення змiсту опорних фактiвпланiметрiї та узагальнення знань учнiв щодо способiв розв’я�зання планiметричних задач. Зрозумiло, що таке системнеповторення цiлком логiчно розпочати саме з повторення си�стеми аксiом планiметрiї, що зумовлено низкою причин:

по�перше, на початку вивчення курсу геометрiї у 7 класi великакiлькiсть учнiв (як свiдчить досвiд) вивчає аксiоми досить формаль�но i не усвiдомлює практичного значення цих тверджень; протепершi стереометричнi задачi будуть розв’язуватися саме iз викорис�танням аксiом — тому на прикладах найпростiших планiметричнихзадач на доведення слiд продемонструвати учням способи застосу�вання аксiом для розв’язування планiметричних задач;по�друге, на перших уроках стереометрiї розпочинається роботаз формування цiлiсного уявлення про систему фактiв геометрiїЕвклiда та, зокрема, аксiом евклiдової геометрiї (стереометрiї),в якiй аксiоми стереометрiї є логiчним продовженням перелiкуосновних властивостей найпростiших геометричних фiгур у про�сторi (на вiдмiну вiд аксiом планiметрiї, що виражають основнiвластивостi найпростiших фiгур на площинi).Органiзувати роботу учнiв iз повторення та систематизацiї знань

щодо змiсту аксiом планiметрiї можна як самостiйну роботу з опор�ним конспектом та довiдковими таблицями. Якiсть проведеної само�стiйної роботи можна перевiрити пiд час наступної бесiди.

Орiєнтовний перелiк питаньОзначення, ознаки та властивостi геометричних фiгур i вiдношень.Основнi фiгури планiметрiї.Аксiоми належностi.


Розв’язування задач

Властивостi й ознаки геометричних фiгур

Означення геометричних фiгур

Аксiоми планiметрiї(властивостi основних фiгур)

Аксiоми взаємного розмiщення точок на прямiй та площинi.Аксiоми вимiрювання.Аксiоми вiдкладання.Аксiома паралельних.Розмову слiд розпочати iз питання, що винесено на перше мiсце

в перелiку — це означення, ознаки та властивостi геометричнихфiгур i вiдношень. Ця частина бесiди допоможе учням нарештi усвi�домити iснування рiзних видiв математичних тверджень, що з рiз�них бокiв характеризують геометричнi фiгури та вiдношення мiжними. При цьому слiд звернути увагу на логiчний зв’язок мiж твер�дженнями, оскiльки саме ця логiка i використовується у виборi твер�джень, що застосовуються для розв’язування задач.

Пiд час обговорення змiсту аксiом слiд звернути бiльше уваги нааксiоми вимiрювання вiдрiзкiв i кутiв у такому сенсi: якщо точка на�лежить вiдрiзку, то вона дiлить його на частини, сума довжин якихдорiвнює довжинi заданого вiдрiзка (для кутiв вiдповiдна власти�вiсть); але можлива iнша редакцiя цiєї властивостi: якщо задано триточки площини, якi попарно сполученi вiдрiзками i сума довжиндвох вiдрiзкiв зi спiльним кiнцем дорiвнює довжинi вiдрiзка з кiнця�ми в двох iнших точках, то цi три точки належать однiй прямiй. Цяробота має на метi пiдготувати учнiв до вiдповiдної роботи з аксiома�ми стереометрiї (див. урок 10).

V. Повторення та систематизацiя вмiнь

Виконання усних вправ1. Чи правильне твердження: «Двi прямi завжди перетинаються не

менш нiж в однiй точцi»? Якщо нi, то сформулюйте правильнетвердження.

2. Чи правильнi наведенi твердження?1) Через точку площини можна провести не менше нiж 1000 прямих.2) Сполучивши попарно три заданi точки на площинi, завждидiстанемо три прямi.3) На кожнiй прямiй можна вибрати принаймнi 100 точок.

3. Яким є взаємне розмiщення двох рiзних прямих на площинi,якщо вiдомо, що вони мають:1) принаймнi одну спiльну точку;2) не бiльше нiж одну спiльну точку?

4. Точки A i B лежать у рiзних пiвплощинах вiдносно прямої a. Вiд�рiзок AC не перетинає пряму a. Не виконуючи рисунка, визначте,в однiй чи рiзних пiвплощинах вiдносно прямої a лежать точки B i C.


5. Користуючись рисунком, розв’яжiть задачi.

1) Дано: AB CD= . Доведiть, що AC BD= .2) Дано: AC BD= . Доведiть, що AB CD= .

6. На рисунку ∠ = ∠AOB DOC. Доведiть, що ∠ = ∠AOC BOD.

Виконання письмових вправ1. На прямiй позначенi точки A, B i C так, що AB = 17, AC = 11, BC = 6.

Яка з цих точок розташована мiж двома iншими? Чи змiнитьсявiдповiдь, якщо AB = 17, AC = 11, BC = 28?

2. Вiдомо, що AB = 7. Знайдiть на прямiй AB таку точку M, щоAM BM− = 1.

3. Розгорнутий кут роздiлений на чотири кути, один з яких меншийвiд iнших у 2, 3 i 4 рази вiдповiдно. Знайдiть величини цих кутiв.

Розв’язування задач пiдвищеної складностi (для учнiвiз високим та достатнiм рiвнями навчальних досягнень)

1. Прямий кут роздiлено на двi частини. Знайдiть кут мiж бiсек�трисами утворених кутiв.

2. Пряма AB дiлить площину на двi пiвплощини. В однiй iз цихпiвплощин побудовано кути ∠ = °BAC 58 , ∠ = °CAD 75 , ∠ = °DAK 81 .Визначте градусну мiру кута CAK.

VІ. Пiдсумки уроку

Тестове завдання1. Із вершини прямого кута AED, зо�

браженого на рисунку, проведено двапроменi EC i EF так, що ∠ = °AEF 58 ,∠ = °CED 49 . Обчислiть величинукута CEF.

А Б В Г

7° 17° 9° 12°


A B C D

A

B C

D O

E D

C

F

A

2. Яке з наведених тверджень є правильним?

А Б В Г

Якщо два вiдрiз�ки не маютьспiльних точок,то вони пара�лельнi

Якщо два проме�нi не маютьспiльних точок,то вони пара�лельнi

Якщо промiньi вiдрiзок не ма�ють спiльних то�чок, то вони па�ралельнi

Якщо двi прямiна площинi немають спiльнихточок, то вонипаралельнi

3. Із вершини розгорнутого кута, зоб�раженого на рисунку, проведено двапроменi BD i BK так, що ∠ =ABK= °128 , ∠ = °CBD 164 . Обчислiть ве�личину кута DBK.

А Б В Г

102° 146° 52° 112°

4. Трикутники ABC i A B C1 1 1 , щозображенi на рисунку, рiвнi, при�чому AB A B= 1 1 , BC B C= 1 1 . Знайдiтьвiдстань мiж точками A i C1 , якщоBB1 8= см, A C1 10= .

А Б В Г

16 см 18 см 26 см Не можна визначити

VІІ. Домашнє завдання

Повторити змiст основних понять уроку та способи дiй за їх викорис�тання пiд час розв’язування задач (див. конспект, довiдковi таблицi).

Розв’язати задачi.1. Вiдомо, що AB = 6. Знайдiть на прямiй AB усi точки, для яких

суми вiдстаней вiд кiнцiв вiдрiзка AB дорiвнюють:1) 6; 2) 5; 3) 9.

2. Площини роздiлена прямою AB на двi пiвплощини. В однiй iз цихпiвплощин побудованi кути:

∠ = °ABC 26 , ∠ = °CBD 35 , ∠ = °DBK 85 , ∠ = °KBT 105 .

Визначте величину кута TBD.3. Визначте, чи є наведенi твердження аксiомами або теоремами

планiметрiї:


B

D

C

K

A

B

A1 C

B1

A C1

1) через точку поза заданою прямою можна провести пряму, па�ралельну заданiй, i тiльки одну;2) через точку поза заданою прямою можна провести не бiльшенiж одну пряму, паралельну заданiй;3) площа квадрата зi стороною, що дорiвнює одиницi довжини,дорiвнює одиницi;4) площа квадрата зi стороною a дорiвнює a2 ?Скласти перелiк означень, ознак та властивостей трикутникiв та

вiдношень мiж ними (вивчених у 7–9 класах).

Урок № 2Система опорних фактiв курсу планiметрiї

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити вiдомостi шкiль�ного курсу планiметрiї щодо означення, класифiкацiї, властивостей таознак рiзного виду трикутникiв та вiдношень мiж ними.

Тип уроку: повторення, систематизацiя та узагальнення знаньi вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект 2, довiдковi таблицi (таблиця5–12, 15).

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.


Перевiрити засвоєння учнями теоретичної частини домашньогозавдання можна пiд час усного виконання вправ.

Виконання усних вправ1. Якi з наведених тверджень є аксiомами?

1) Через будь�якi двi рiзнi точки можна провести тiльки однупряму;2) розгорнутий кут у два рази бiльший вiд прямого кута;3) кожний кут має бiсектрису;4) через будь�яку точку, що не лежить на прямiй a, можна провес�ти тiльки одну пряму, паралельну прямiй a;5) через будь�яку точку, що не лежить на прямiй a, можна провес�ти не бiльше нiж одну пряму, паралельну прямiй a.

2. На прямiй позначенi точки A, B, C i D так, що AB CD= . Чимє твердження, що середини вiдрiзкiв AD i BC збiгаються, —аксiомою або теоремою? Чи правильне це твердження?


3. Кути AOB i COD мають спiльну бiсектрису. Чи можна стверджу�вати, що кути AOC i BOD рiвнi?

4. Бiсектриси кутiв AOC i COD є доповняльними пiвпрямими. Чиправильно, що ∠ = ∠AOD BOC?

5. Чи правильно твердження, що будь�який вiдрiзок має тiлькиодну середину? Як це встановити?Перевiрку якостi виконання письмових вправ можна провести,

зiбравши зошити учнiв на перевiрку або спонукавши їх до само� абовзаємоперевiрки своїх зошитiв за зразком.


Усвiдомлення учнями того факту, що не тiльки найпростiшi гео�метричнi фiгури є предметом вивчення геометрiї, створює моти�вацiю для роботи на уроцi. Учитель має лише спрямувати думкуучнiв на те, що трикутник (пiсля точки i прямої) є однiєю з основ�них фiгур планiметрiї, а тому на цьому уроцi слiд повторити, уза�гальнити та систематизувати основнi (опорнi) твердження, щовиражають означення, властивостi, критерiї класифiкацiї, озна�ки трикутникiв та вiдношень мiж ними.

ІV. Систематизацiя та узагальнення знань

Конспект 2


Трикутники (за сторонами)

рiвнобедренiрiзностороннi рiвностороннi

Трикутники (за кутами)

прямокутнiгострокутнi тупокутнi

Елементи трикутника

сторони

основнi додатковi

зовнiшнi кути

кути медiанивизначнi точки

середнi лiнiї бiсектриси

висоти

Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв проведення цього етапууроку вчитель може органiзувати рiзними способами: як сам�остiйну роботу з теоретичним матерiалом (довiдковий матер�iал роздається учням у виглядi таблиць та схем — див. на�очнiсть та обладнання), проведення опитування (у формiiнтерактивної вправи) за основними питаннями теми або за�пропонувати учням виконати тестову роботу. З метою органi�зацiї свiдомої самостiйної роботи учнiв можна запропонуватиїм орiєнтири у виглядi плану або схематичного перелiкуосновних понять, на яких слiд зосередити свою увагу. Оскiль�ки обсяг теоретичного матерiалу, що стосується поняття три�кутника, є досить великим, вiдбiр таких основних орiєнтирiвучитель здiйснює, виходячи з того, якi з опорних фактiв є най�бiльш уживаними пiд час розв’язування стереометричних за�дач. Це не означає, що iншi, не так часто вживанi факти, слiдзабути — навпаки, до системи вправ перiодично слiд включа�ти задачi, розв’язування яких передбачає застосування цихфактiв.На думку автора, до перелiку основних фактiв геометрiї три�кутника можна вiднести:

спiввiдношення мiж сторонами i кутами в прямокутному трикут�нику, а також метричнi спiввiдношення в прямокутному трикут�нику;означення та ознаки подiбностi (рiвностi) трикутникiв;спiввiдношення мiж сторонами i кутами в довiльному трикутнику(наслiдок iз теореми синусiв зокрема);властивостi медiан, бiсектрис та висот трикутника;властивостi центроїда та iнцентра трикутника;формули для обчислення площi трикутника.


Вiдношення мiж трикутниками

Рiвнiсть Подiбнiсть

іншеКоло, вписане в трикут�ник (трикутник, описа�

ний навколо кола)

Коло, описане навколотрикутника ( трикутник,

вписаний у коло)

Вiдношення мiж трикутником i колом

V. Систематизацiя вмiнь

Виконання усних вправ1. У рiвнобедреному трикутнику ABC (AB BC b= = ), BD — медiана,

∠ =ABC α. Знайдiть BD i AC.2. Висота CD рiвнобедреного трикутника ABC, що проведена до осно�

ви, дорiвнює h. Кут ABC при основi трикутника дорiвнює α.Знайдiть AB.

3. Сторона CD паралелограма ABCD дорiвнює a, ∠ =BCD α. Знайдiтьвисоту BK паралелограма.

4. За рисунком визначте, чи подiбнi трикутники. Якщо так, то на�звiть вiдповiднi сторони i кути.

5. Застосуйте теорему синусiв до трикутникiв на рисунку. Знайдiтьневiдомi елементи.

6. Чому дорiвнює радiус кола, описаного навколо трикутника ABC,якщо BC a= i ∠ = °CAB 30 ?

7. Знайдiть площу рiвнобедреного трикутника ABC з основою AC,якщо BC = 12 см, ∠ = °BAC 75 .


M

P

K

C

F

D

24

52°

A

B

63°

32° 32°85°

B

C

AAD

F

E

64°

1

A C

C

E D

B B

32

36

48

6040 12 18

27

2

3 4

15

x

105°α

9 x

71° β

10

70°

xy 60°

50°

α

12

37°y

M

K

H B

C

A

B

CA

8. Знайдiть площу прямокутного трикутника за його катетом BC a=i кутом ∠ =ABC α.

9. У трикутнику ABC проведено медiану AD. Чи рiвнi площi утворе�них трикутникiв?

Виконання письмових вправ1. За рисунком доведiть, що AD CD= , i знай�

дiть кут ADC, якщо ∠ = °DBC 35 .2. Пряма, паралельна основi AC рiвнобед�

реного трикутника ABC, перетинає сто�рони AB i BC у точках D i E вiдповiдно.1) Доведiть подiбнiсть трикутникiв ABCі DBE;2) знайдiть довжину вiдрiзка DE, якщо AD = 10 см, DB = 15 см,а медiана BK трикутника ABC дорiвнює 20 см.

3. Двi сторони гострокутного трикутника дорiвнюють 5 см i 8 см,а площа — 10 3 см2. Знайдiть периметр трикутника.

4. У рiвнобедреному трикутнику з основою 30 см i бiчною стороною25 см знайдiть висоту, проведену до бiчної сторони. Розв’яжiтьзадачу двома способами.

5. До бiчних сторiн AB i BC рiвнобедреного трикутника ABC прове�дено висоти CN i AM вiдповiдно.1) Доведiть рiвнiсть трикутникiв AMB i CNB.2) Вiдрiзок BD — медiана трикутника ABC. Доведiть подiбнiстьтрикутникiв ABD i ACN.3) Доведiть, що MN AC| | .

Розв’язування задач пiдвищеної складностi1. Висота i медiана, що проведенi з однiєї вершини трикутника, роз�

дiлили його кут на три рiвнi частини. Знайдiть кути трикутника.2. Довжини сторiн трикутника (у см) виражаються цiлими парними

числами. Знайдiть довжини сторiн, якщо вiдомо, що площа три�кутника дорiвнює 336 см2?


Тестове завдання1. У трикутнику ABC вiдомо, що AB = 6 см, sin ,A = 0 3, sin ,C = 0 6.

Знайдiть довжину сторони BC.

А Б В Г

1,2 см 2 см 3 см 1,8 см


B

A

C

D

2. У трикутнику DEF вiдомо, що DE = 10 см, EF = 14 см, DF = 18 см,точка M — середина сторони DE, точка K — середина сторони EF.Знайдiть периметр чотирикутника DMKF.

А Б В Г

21 см 30 см 39 см 42 см

3. Чому дорiвнює радiус кола, описаного навколо правильного три�кутника зi стороною 12 см?

А Б В Г

12 3 см 6 3 см 4 3 см 2 3 см

4. На рисунку зображено трикутники ABC i DEF такi, що

∠ = ∠A D, ∠ = ∠C F, AB DE= 1

3.

Знайдiть довжину сторони DF, якщо AC = 24см.

А Б В Г

72 см 36 см 18 см 8 см

5. Обчислiть площу трикутника, двi сторони якого дорiвнюють 3 смi 2 см, а кут мiж ними — 30°.

А Б В Г

3

2см2 3 см2 3 3

2см2 3 3 см2

6. У трикутнику ABC вiдомо, що AB = 3см, BC = 7 см. Якiй iз наведе�них величин може дорiвнювати довжина сторони AC?

А Б В Г

3 см 4 см 8 см 12 см

7. Знайдiть радiус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщоAB = 6 3 см, ∠ = °C 60 .


A

B

C D

Е

F

А Б В Г

6 см 8 см 12 см 16 см

VІІ. Домашнє завданняПовторити змiст основних понять уроку (див. конспект).

Розв’язати задачi.

1. Із точки D — середини катета AB прямокутного трикутника ABC,проведено перпендикуляр DE до гiпотенузи AC.

1) Доведiть подiбнiсть трикутникiв ABC i AED.

2) Знайдiть периметр трикутника ABC, якщо AE = 8 см, DE = 6 см.

2. Знайдiть найбiльший кут i площу трикутника зi сторонами 6 2 см,2 см i 10 см.

3. У трикутнику зi сторонами 4 см, 13 см i 15 см знайдiть найбiльшувисоту. Розв’яжiть задачу двома способами.

4. Через середину M катета прямокутного трикутника ABC прове�дено пряму, що паралельна катету i перетинає гiпотенузу ACу точцi N.

1) Доведiть, що AN NB= .

2) Знайдiть площу трикутника AMN, якщо BN = 8 см, ∠ = °NBC 60 .

Скласти перелiк основних понять, що мають вiдношення до по�няття чотирикутника.


Мета: повторити, систематизувати та узагальнити вiдомостiшкiльного курсу планiметрiї щодо означення, класифiкацiї, власти�востей та ознак рiзного виду чотирикутникiв, а також вiдношеньмiж ними. Повторити та систематизувати вмiння учнiв щодо спо�собiв застосування зазначеного теоретичного матерiалу пiд час роз�в’язування задач.


Наочнiсть та обладнання: конспект 3, довiдковi таблицi (таблицi№ 16–17, 28).

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етапПеревiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.



Детальнiй перевiрцi пiдлягають вправи високого та достатньогорiвнiв складностi, а також тi вправи домашнього завдання, що вик�ликали в учнiв певнi труднощi.


Повторивши думку, сформульовану на першому уроцi теми (див.урок № 1), учитель може ще раз наголосити на тому, що вивченнянового роздiлу геометрiї, що розпочинається у 10 класi, неможливебез свiдомого повторення та узагальнення основних понять планi�метрiї, вивчених упродовж 7–9 класiв, а також узагальнення спо�собiв дiй iз використання вивчених понять. Оскiльки трикутникможна вважати однiєю з найголовнiших фiгур планiметрiї (з оглядуна об’єм вивченого матерiалу), проте не єдиною фiгурою, що вивча�лась у курсi планiметрiї, то цей урок слiд присвятити роботi з чоти�рикутниками — другою великою групою планiметричних фiгур.Отже, метою уроку є повторення, узагальнення та систематизацiяосновних теоретичних вiдомостей щодо означення, критерiя класи�фікацiї, властивостi та ознаки знайомих учням з курсу планiметрiїчотирикутникiв.

ІV. Повторення, узагальнення та систематизацiя знань

Робота з конспектом 3, довiдковими таблицями та складенимудома перелiком основних понять стосовно чотирикутникiв.

Конспект 3


Чотирикутники (опуклi)

трапецiїпаралелограми iншi

Паралелограми

квадрати

прямокутники ромби

Трапецiї

рiвнобiчнiдовiльнi прямокутнi

Проведення повторення, узагальнення та систематизацiї знаньучнiв на цьому уроцi (так само, як i на попереднiх двох уроках)можна провести у формi самостiйної роботи учнiв iз довiдко�вою лiтературою. Учителю обов’язково слiд зосередити увагуучнiв на фактах, що є найбiльш важливими з точки зору їх ви�користання пiд час розв’язування типових стереометричнихзадач. Для цього вчитель може заздалегiдь скласти перелiк та�ких фактiв та запропонувати його учням у виглядi орiєнтовно�го плану повторення роздiлу «Чотирикутники». Цей перелiкможе мати такий вигляд:

класифiкацiя чотирикутникiв (за наявнiстю паралельних сторiн):� паралелограм: означення, ознаки, властивостi;� прямокутник: означення, ознаки, властивостi;� ромб: означення, ознаки, властивостi;� квадрат: означення, ознаки, властивостi;� трапецiя: класифiкацiя, означення, ознаки, властивостi рiзнихвидiв трапецiй;� кориснi факти;формули для обчислення площ довiльних чотирикутникiв;формули для обчислення площ окремих видiв чотирикутникiв.Як видно iз запропонованого перелiку, на цьому уроцi слiд про�

довжити роботу з формування в учнiв свiдомого розумiння рiзницiмiж рiзними видами математичних тверджень (означеннями, озна�ками та властивостями геометричних фiгур), а також сприяти усвi�домленню учнями специфiки застосування кожного з цих видiв твер�джень залежно вiд умови та питання задачi.


Виконання усних вправ1. Сторони паралелограма дорiвнюють 9 см i 6 см, а гострий кут —

30°. Знайдiть висоту цього паралелограма, що проведена до сто�рони довжиною 9 см.

2. Знайдiть площу паралелограма, якщо його сторони дорiвнюють3 см i 4 см, а висоти утворюють кут 30°.

3. AM i BN — бiсектриси кутiв паралелограма ABCD, AM = 6 см,BN = 8 см. Знайдiть площу чотирикутника ABMN.

4. Висота паралелограма утворює з його стороною кут 40°. Знайдiтькути паралелограма.

5. З однiєї вершини паралелограма проведенi висота i бiсектриса,кут мiж ними дорiвнює 32°. Знайдiть кути паралелограма.


6. Бiсектриса тупого кута паралелограма дорiвнює 6 см i перетинаєйого сторону пiд кутом 60°. Знайдiть меншу сторону паралелограма.

7. Бiсектриса кута паралелограма дiлить його сторону на вiдрiзки9 см i 6 см. Знайдiть периметр паралелограма. Розгляньте всi ви�падки.

8. Чи правильнi твердження?1) Якщо в чотирикутнику дiагоналi не перпендикулярнi, то цейчотирикутник не ромб;2) якщо в паралелограмi дiагоналi нерiвнi, то вiн не може бутипрямокутником;3) кожний квадрат є прямокутником;4) iснує ромб, який є прямокутником;5) жодний прямокутник не є ромбом;6) iснує квадрат, який не є ромбом.

9. Чи можна описати коло навколо довiльного паралелограма; пря�мокутника; ромба; квадрата; трапецiї?

10. Чи можна вписати коло в довiльний паралелограм; прямокутник;ромб; квадрат; трапецiю?

11. Знайдiть сторону ромба, якщо його дiагоналi дорiвнюють 12 смi 16 см.

12. Висота ромба ABCD лежить на бiсектрисi кута ABD. Визначтекути ромба.

13. Знайдiть сторону квадрата рiвновеликого прямокутнику зi сторо�нами 25 см i 9 см.

14. Сторони ромба i квадрата дорiвнюють a, гострий кут ромба дорiв�нює 30°. У скiльки разiв площа ромба менша за площу квадрата?

15. Середня лiнiя трапецiї, в яку можна вписати коло, дорiвнює 8 см.Знайдiть периметр трапецiї.

16. Знайдiть площу трапецiї ABCD, в якiй BC AD| | , AB = 42 см,BC = 20 см, AD = 60 см, ∠ = °ABC 150 .

Виконання письмових вправ1. Через точку перетину дiагоналей паралелограма ABCD проведено

пряму, що перетинає сторони BC i AD у точках N i M вiдповiдно.Доведiть рiвнiсть трикутникiв AOM i CON. Знайдiть кути пара�лелограма ABCD, якщо ∠ = °ABO 60 , ∠ = °MDO 15 .

2. У рiвнобедренiй трапецiї ABCD кут A удвiчi менший за кут B,основа AD у три рази бiльша за основу BC. Середня лiнiя трапецiїдорiвнює 6 см. Знайдiть периметр трапецiї.

3. Одна з дiагоналей ромба бiльша за iншу на 14 см. Знайдiть площуромба, якщо його сторона дорiвнює 13 см.


4. Площа рiвнобедреної трапецiї дорiвнює 24 см2, а її висота — 3 см.Знайдiть периметр трапецiї, якщо її бiльша основа дорiвнює 12 см.

Додаткове завдання1. Вiдрiзки BM i DN — висоти паралелограма ABCD (точки M i N

належать сторонам AD i AB вiдповiдно).1) Доведiть подiбнiсть трикутникiв ABN i ADN.2) Доведiть, що якщо BM DN= , то ABCD — ромб.3) Знайдiть площу паралелограма ABCD, якщо AB AD BD= = ,BM = 3 см.

2. Дiагоналi паралелограма дорiвнюють 10 см i 16 см та перетина�ються пiд кутом 60°. Знайдiть сторони й площу паралелограма.

Запропонований перелiк завдань для усного та письмовоговиконання на уроцi може бути змiнений, доповнений абоскорочений вiдповiдно до рiвня знань i вмiнь учнiв конкрет�ного класу. Але незалежно вiд системи вправ, що винесенадля виконання на урок, учитель продовжує роботу над форму�ванням умiння аналiзувати умову та питання задачi i напiдставi цього аналiзу свiдомо вiдбирати теоретичний матерi�ал, який використовується пiд час розв’язування цiєї задачi.

Пiд час розв’язування задач важливо звертати увагу учнiв наiснування системи взаємопов’язаних геометричних фактiв (напри�клад, для знаходження невiдомих елементiв чотирикутникiв розв’я�зуємо трикутники рiзних видiв).

З метою ефективної органiзацiї проведення цього етапу уроку за�дач для усного розв’язування наведено з надлишком. Залежно вiдрiвня навчальних досягнень учнiв, учитель може скласти з наведено�го перелiку завдань математичний диктант, тестову роботу або безпо�середньо обговорити з учнями за готовими рисунками основнi мо�менти розв’язання i теоретичнi вiдомостi, що використовувалися пiдчас розв’язування задач.


Тестове завдання1. На якому з наведених рисункiв зображений неопуклий много�

кутник?

А Б В Г


2. Як можна закiнчити речення «У будь�якiй трапецiї…», щоб утво�рилося правильне твердження?

А Б В Г

Дiагоналi точкоюперетину дiлять�ся навпiл

Дiагоналi рiвнi Двi сторони рiвнi Двi сторони па�ралельнi

3. Яку з наведених властивостей має будь�який прямокутник?

А Б В Г

Дiагоналi рiвнi Дiагоналi пер�пендикулярнi

Дiагоналi є бiсек�трисами йогокутiв

Кут мiж дiагона�лями дорiвнює30°

4. Рiзниця двох кутiв паралелограма дорiвнює 40°. Знайдiть йогокути.

А Б В Г

40°, 140°, 40°,140°

80°, 120°, 80°,120°

70°, 110°, 70°,110°

60°, 100°, 60°,100°

5. Чому дорiвнює бiльша зi сторiн паралелограма, якщо вона на 8 смбiльша за iншу сторону, а периметр паралелограма дорiвнює 40 см?

А Б В Г

20 см 18 см 16 см 14 см

6. Чому дорiвнює вiдношення площi квадрата до площi вписаногоу нього круга?

А Б В Г

2:π π:2 4:π π:4

7. Основи трапецiї вiдносяться як 3 : 7, а її середня лiнiя дорiвнює40 см. Знайдiть основи трапецiї.

А Б В Г

12 см, 28 см 24 см, 56 см 48 см, 112 см 18 см, 42 см


8. Пряма BM паралельна бiчнiйсторонi CD трапецiї ABCD, зоб�раженої на рисунку. Знайдiтькут D трапецiї.

А Б В Г

34° 68° 78° 86°

9. Дiагоналi квадрата ABCD перетинаються в точцi O, AC = 16 см.Знайдiть довжину вiдрiзка OD.

А Б В Г



Повторити змiст основних понять урокiв 1–3 (див. опорнi кон�спекти № 1–3).

Розв’язати задачi.1. У трапецiї ABCD основи AD i BC дорiвнюють 15 см i 10 см

вiдповiдно, ∠ = °A 90 , AB = 12 см. Знайдiть периметр трапецiї.2. Знайдiть площу паралелограма, сторони якого дорiвнюють 6 3 см

i 10 см, а висота, проведена з вершини, утворює з однiєю з них кут30°.

3. У прямокутнику ABCD через точку перетину дiагоналей проведе�но пряму, що паралельна перпендикуляру AH до дiагоналi BDi перетинає сторону AD у точцi M, BO = 25см, HO = 7 см.1) Доведiть, що OM AH: := 25 32.2) Знайдiть площу прямокутника.Скласти перелiк основних понять щодо координат, векторiв та

кола.


Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання опорнихфактiв курсу планiметрiї щодо кола, координат та перетворенняфiгур, а також вектора.

Тип уроку: повторення та систематизацiя знань i вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект 4, довiдковi таблицi (таблицi

№ 13, 14, 18, 19, 21–23, 24–26, 60–64).


A

B C

M D

68°

34°

Хiд уроку




Цей етап уроку проводимо у формi самостiйної роботи (або пропо�нуємо тестовi завдання закритого типу) на застосування вивченихпонять; по закiнченнi — перевiрка вiдповiдей та робота з корекцiїзнань, умiнь.

Тестове завданняВарiант 1

1. Знайдiть бiльшу сторону паралелограма, якщо його периметрдорiвнює 24 см i одна зi сторiн удвiчi бiльша вiд iншої.

А Б В Г Д

16 см 8 см 7 см 4 см 5 см

2. Дiагональ квадрата дорiвнює 6 2. Обчислiть площу квадрата.

А Б В Г Д

72 24 36 12 48

3. Довжини дiагоналей паралелограма дорiвнюють 10 i 20, а кут мiжними — 30°. Обчислiть площу паралелограма.

А Б В Г Д

100 50 100 3 50 3 25

4. Сторони паралелограма дорiвнюють 10 i 20, а кут мiж ними — 60°.Обчислiть площу паралелограма.

А Б В Г Д

100 50 100 3 50 3 25

5. Сторона ромба дорiвнює 28, а гострий кут — 30°. Обчислiть площуромба.

А Б В Г Д

196 196 3 28 392 392 3


6. Периметр ромба дорiвнює 80 см, а один iз його кутiв — 60°.Знайдiть довжину меншої дiагоналi ромба.

А Б В Г Д

10 см 20 3 см 30 см 20 см 10 3 см

Варiант 21. Знайдiть меншу сторону паралелограма, якщо його периметр

дорiвнює 24 см i одна зi сторiн на 2 см бiльша вiд iншої.

А Б В Г Д

16 см 8 см 7 см 4 см 5 см

2. Дiагональ квадрата дорiвнює 6 2. Обчислiть периметр квадрата.

А Б В Г Д

72 24 36 12 48

3. Довжини сторiн паралелограма дорiвнюють 10 i 20, а кут мiжними — 45°. Обчислiть площу паралелограма.

А Б В Г Д

100 200 50 2 100 2 25 2

4. Дiагональ прямокутника дорiвнює 10 см i утворює зi стороноюкут 30°. Обчислiть площу прямокутника.

А Б В Г

25 см225 3 см2 50 см2

50 3 см2

5. Площа ромба дорiвнює 6, а одна з його дiагоналей — 2. Обчислiтьдовжину другої дiагоналi.

А Б В Г Д

12 3 6 4 10

6. Менша дiагональ ромба дорiвнює 5 см, а один iз його кутiв — 120°.Знайдiть периметр ромба.

А Б В Г Д

20 см 10 3 см 20 3 см 10 см 10 3 см



Учитель узагальнює матерiал, що повторювався на попереднiхуроках i сприяє самостiйному видiленню учнями груп геометричнихфiгур. Результатом цiєї бесiди є пiдведення учнiв до логiчного ви�сновку: пiсля розгляду теоретичного матерiалу щодо трикутникiв тачотирикутникiв треба повторити означення, властивостi кола, а та�кож вiдомостi про вектори. Таким чином формулюється дидактичнамета уроку.


Самостiйна робота учнiв iз довiдковим матерiалом (конспект татаблицi) за планом:

означення кола та властивостi його елементiв;

дотична до кола та її властивостi;

кути в колi;

довжина кола i площа круга;

вписанi й описанi навколо трикутникiв кола;

вписане й описане навколо чотирикутника кола;

декартовi координати;

вектори й операцiї з ними.

Повторення та систематизацiю знань учнiв iз видiленого роз�дiлу неможливо провести ефективно, якщо намагатись «осяг�нути неосяжне», тобто за один урок вiдтворити й обговоритивесь теоретичний матерiал. Учителю слiд запропонуватиучням самостiйно опрацювати вiдповiдний довiдковий мате�ріал, але потiм пiд час обговорення розставити акценти на на�йбiльш важливих iз точки зору подальшого вивчення гео�метрiї, таких фактах:

властивiсть дiаметра, перпендикулярного до хорди кола (й оберне�не до нього твердження);

довжина кола та площа круга;

теореми про кола, вписанi та описанi навколо трикутника, поло�ження центрiв цих кiл у трикутниках загального виду та в окре�мих видах трикутникiв;

ознаки та властивостi чотирикутникiв, вписаних та описаних на�вколо кола, а також положення центрiв кiл, вписаних та описанихнавколо чотирикутникiв рiзного виду;

вираження радiусiв вписаних та описаних кiл через елементи три�кутникiв та чотирикутникiв;



Конспект 4

Коло

елементи: • центр • радiус • хорда • дуга

Кола i пряма

a — сiчна a — дотична до кола

A Oa

B

A

a

O

A

зовнi внутрішньо

Два кола

дотикаються перетинаються

O2O1 O1 O2

O1 O2

Коло i кути

A

O

Коло i круг

O O

Bα

β

B

OA

C

BO

A a

формули для обчислення координат середини вiдрiзка та обчис�лення довжини вiдрiзка через координати його кiнцiв;

переклад деяких геометричних фактiв на векторну мову.


Виконання усних вправ1. У колi з центром O дiаметр AC утворює iз хордою CK кут 30°.

Хорда AK дорiвнює 5 см. Обчислiть довжину хорди CK.2. Із точки A до кола з центром O проведено дотичну. B — точка до�

тику. Вiдомо, що OA дорiвнює 15 см, а дiаметр кола — 24 см.Знайдiть довжину вiдрiзка AB.

3. У колi, дiаметр якого дорiвнює 20 см, проведено хорду, довжинаякої дорiвнює 16 см. Знайдiть вiдстань вiд центра кола до цiєїхорди.

4. AB i AD — дотичнi до кола з радiусом 5 см. B i D — точки дотику.Знайдiть довжину вiдрiзка AB, якщо ∠ = °ABD 60 .

5. Знайдiть довжину кола, описаного навколо рiвностороннього три�кутника зi стороною 5 см.

6. Де знаходиться центр кола, описаного навколо прямокутного три�кутника? Знайдiть площу круга, що обмежується колом, описа�ним навколо прямокутного трикутника з катетами 6 см i 8 см.

7. Обчислiть радiус кола, описаного навколо трикутника зi сторо�ною 14 см i протилежним до неї кутом, що дорiвнює 30°.

8. За якої умови можна вписати коло в трапецiю; описати навколотрапецiї коло?

9. Периметр трапецiї, в яку можна вписати коло, дорiвнює 20 см.Обчислiть середню лiнiю трапецiї.

10. Дiагоналi ромба рiвнi. Знайдiть кути ромба. Чи є цей ромб описа�ним; вписаним?

Виконання письмових вправ1. Площа квадрата, описаного навколо кола, дорiвнює 48. Знайдiть

площу рiвностороннього трикутника, вписаного в це коло.2. Знайдiть радiус кола, вписаного в прямокутний трикутник, iз ка�

тетами 5 см i 12 см. Розв’яжiть задачу двома способами.

3. Двi сторони тупокутного трикутника дорiвнюють 4 см i 4 3 см,а радiус описаного кола — 4 см.1) Знайдiть кути трикутника.2) Знайдiть найменшу з дуг, якi стягують сторони трикутникав описаному колi.


4. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо ( )A 1 2; , ( )B 2 4; , ( )C 6 2; ,( )D 5 0; .

Додаткове завданняУ коло вписано опуклий чотирикутник, довжини сторiн якого до�

рiвнюють 14 см, 30 см, 40 см, 48 см. Визначте кути чотирикутника.


Тестове завдання1. У колi, радiус якого дорiвнює 10 см, проведено хорду довжиною

16 см. Чому дорiвнює вiдстань вiд центра кола до цiєї хорди?

А Б В Г

6 см 8 см 10 см 12 см

2. Вiдрiзок AB — дiаметр кола, зобра�женого на рисунку, α = °35 . Знайдiтьвеличину кута β.

А Б В Г

75° 55° 70° 65°

3. Кiнцi хорди кола дiлять його на двi дуги, градуснi мiри яких вiд�носяться як 4 : 5. Знайдiть градуснi мiри цих дуг.

А Б В Г

40°, 50° 80°, 100° 160°, 200° 120°, 240°

4. Довжини двох кiл вiдносяться як 4:9. Як вiдносяться площi кру�гiв, обмежених цими колами?

А Б В Г

2 : 3 4 : 9 16 : 81 Не можна визначити

5. Точка O — центр кола, зображеногона рисунку. Чому дорiвнює величинакута AOC?

А Б В Г

60° 120° 150° 100°


A

O

A

β Bα

C

60°

B

C

6. Точка O — центр кола, зображеногона рисунку. Чому дорiвнює градус�на мiра кута ABC?

А Б В Г

100° 120° 130° 80°

7. Через точку M кола з центром O,зображеного на рисунку, проведенодотичнi MA i MB, A i B — точки до�тику, ∠ = °BAO 20 . Знайдiть вели�чину кута AMB.

А Б В Г

20° 40° 60° 70°


Вивчити змiст опорних фактiв, розглянутих на уроцi.Розв’язати задачi.

1. На рисунку точка O — центр кола,AC — дотична до кола,

AB OB= = 4 см.

1) Доведiть, що трикутник ABCрiвнобедрений.2) Знайдiть довжину вiдрiзка OC.

2. У трапецiї ABCD основи AD i BCдорiвнюють 15 см i 10 см вiдпо�вiдно, ∠ = °A 90 , AB = 12 см. Знай�дiть периметр трапецiї. Чи є ця тра�пецiя описаною; вписаною?

3. Площа круга дорiвнює 9π см2. Навколо круга описано рiвносто�роннiй трикутник. Знайдiть його висоту.

4. У рiвнобедреному трикутнику центр описаного кола дiлить висо�ту, проведену до основи, на вiдрiзки довжиною 35 см i 21 см.Знайдiть площу трикутника.Повторити вiдомi способи розв’язання геометричних задач.


A O

O

A

AO

B

100°

C

B

M 20°

B

C

Урок № 5Геометричнi та аналiтичнi методи розв’язування задач

Мета: повторити, узагальнити та систематизувати знання учнiвщодо основних видiв геометричних задач, а також основних методiврозв’язування планiметричних задач. Повторити та узагальнитивмiння розв’язувати планiметричнi задачi геометричними методами(методом допомiжних побудов, допомiжного трикутника тощо) тааналiтичними методами (метод допомiжних площ тощо).

Тип уроку: повторення, узагальнення та систематизацiя знаньi вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект 5.

Хiд уроку




Перевiрку правильностi розв’язання письмових домашнiх вправможна провести у формi само� або взаємоперевiрки за наданим гото�вим зразком (розв’язання домашнiх вправ учитель надає учням у ви�глядi роздавального матерiалу). Найскладнiшi моменти розв’язаньобговорюються пiд час фронтальної бесiди.


Свiдому роботу учнiв на цьому етапi уроку вчитель можеорганiзувати, посилаючись на розданi учням зразки розв’я�зання домашнiх задач. Порiвняння способiв розв’язаннякiлькох (принаймнi двох) задач сприяє свiдомому сприйнят�тю учнями теми уроку. Учитель звертає увагу учнiв на те, щокритерiї порiвняння способiв розв’язання задач можуть бутирiзними: за наявнiстю додаткових побудов або за введеннямдопомiжних величин пiд час розв’язування задачi, або за роз�глядом допомiжних елементiв тощо. Головна мета цiєї робо�ти — домогтися усвiдомлення учнями того, що iснують рiзнiпiдходи (методи) до розв’язування геометричних задач. Бажа�но також сформувати в учнiв розумiння логiчної будови ви�вчення теми: повторення та узагальнення опорних фактiвпланiметрiї вимагає систематизацiї та узагальнення вiдомос�тей щодо методiв розв’язування геометричних задач.



Конспект 5

Змiст матерiалу для повторення можна взяти з пiдручника «Ге�ометрiя 10» (авт. А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Кри�жановський), п. 1. 2. Основну частину роботи на цьому етапiуроку вчитель має взяти на себе. Причиною є те, що загальнепоняття «метод розв’язування задач» сприймається бiль�шiстю учнiв на iнтуїтивному рiвнi, тобто вибiр ними методурозв’язування задачi здiйснюється не завжди свiдомо.

Бесiду про методи розв’язування геометричних задач можна по�будувати за таким планом:

основнi види геометричних задач;геометричнi методи розв’язування задач;аналiтичнi методи розв’язування задач;координатний та векторний методи розв’язування задач;узагальнена схема основних методiв розв’язування планiметрич�них задач.Як i на попереднiх уроках, щоб допомогти учням зорiєнтуватись

у доцiльностi застосування того чи iншого методу розв’язування за�дач, учитель має повiдомити, що серед названих методiв найбiльш


Основнi види геометричних задач

на обчисленняна доведення на побудову

Методи розв’язування задач

Методи допомiжнихвеличин

Методи допомiжнихфiгур

Методи допомiжнихперетворень

Век

тор

ни

йм

етод

Мет

одге

омет

ри

ч�

ни

хп

ерет

вор

ень

Ал

гебр

аїч

ни

йм

етод

Мет

одк

оор

ди

нат

Мет

оддо

пом

iжн

оїп

лощ

i(м

етод

пл

ощ)

Мет

одд

опом

iжн

ого

ку

та

Мет

одд

опом

iжн

ого

кол

а

Мет

одд

опом

iжн

ого

три

ку

тни

ка

часто вживаними є метод додаткових побудов та додаткових вели�чин. Усi iншi методи традицiйно застосовують тодi, коли названiспособи «не працюють», тобто їх застосування приводить до певнихтруднощiв.

V. Систематизацiя та узагальнення вмiнь

Виконання усних вправ

До якої групи методiв розв’язування задач слiд вiднести:

1) знаходження катетiв прямокутного трикутника за вiдомоюгiпотенузою i периметром;

2) проведення через вершину трапецiї iз заданими сторонамипрямої, паралельної бiчнiй сторонi, з метою знаходження площiтрапецiї;

3) доведення перпендикулярностi прямих AB i CD через обчис�

лення скалярного добутку векторiв AB��

i CD��

?

Виконання письмових вправ

1. Бiсектриса BD прямокутного трикутника ABC дiлить гiпотенузуAC на вiдрiзки AD = 15см, DC = 20 см.

1) Знайдiть площу трикутника ABC.

2) Знайдiть вiдношення площ трикутникiв ABD i CBD.

2. Знайдiть периметр паралелограма, дiагоналi якого дорiвнюють11 см i 13 см, а одна зi сторiн — 9 см.

3. Основи трапецiї дорiвнюють 6 см i 20 см, а бiчнi сторони — 13 смi 15 см. Знайдiть площу трапецiї. Розв’яжiть задачу двома спосо�бами.

Додаткове завдання

Знайдiть площу трикутника зi стороною a i прилеглими до неї ку�тами α i β.

Головна мета роботи з розв’язування задач на цьому уроцi —це формування усвiдомленого вибору учнями методу розв’я�зування задачi, що базується на глибокому та свiдомомуаналiзi умови та висновку задачi. Також учителю необхiднодомогтися вiд учнiв усвiдомлення того, що будь�яку гео�метричну задачу можна розв’язати принаймнi двома спосо�бами. Залежно вiд рiвня навчальних досягнень учнiв класу танаявностi часу, можна продемонструвати учням декiлькаспособiв розв’язання опорних задач (наприклад, про влас�тивiсть бiсектриси трикутника або про те, що точка перетину


медiан дiлить кожну медiану у вiдношеннi 2:1, рахуючи вiдвершини трикутника, тощо).


Контрольне завдання

Запропонуйте якомога бiльше способiв розв’язання такої задачi: зна�йдiть найменшу висоту трикутника зi сторонами 25 см, 29 см i 36 см.


Вивчити змiст основних понять уроку (див. конспект 5).


1. У вписаному трикутнику ABC вiдомо, що AB = 8 см, BC = 15 см.Знайдiть площу трикутника i площу описаного кола, якщо∪ = °ABC 240 .

2. Знайдiть периметр рiвнобедреного трикутника, в якому кут приосновi дорiвнює α, а бiсектриса, проведена з вершини цього кута,дорiвнює l.

3. Доведiть двома способами: якщо дiагоналi рiвнобедреної трапецiїперпендикулярнi, то її висота дорiвнює пiвсумi основ.

Повторити поняття декартових координат на площинi, основнiформули i рiвняння фiгур на площинi, означення i властивостi опе�рацiй iз векторами.

Урок № 6Приклади застосування координат i векторiвдо розв’язування планiметричних задач

Мета: систематизувати та узагальнити знання i вмiння учнiв що�до схеми розв’язання планiметричних задач координатним та век�торним способом.


Наочнiсть та обладнання: конспект 6, демонстрацiйнi таблицi(див 3, табл. 64).

Хiд уроку





Оскiльки задачi домашньої роботи є задачами достатнього та ви�сокого рiвнiв складностi, можна перевiрити виконання цiєї час�тини домашнього завдання, органiзувавши самоперевiрку роз�в’язання за зразком. Фронтальна бесiда з коментуванням iповним обґрунтуванням основних етапiв розв’язання домашнiхзадач сприяє органiзацiї ефективної та активної роботи учнiв нацьому етапi уроку. Вiдповiдi учнiв повиннi мiстити пояснення,чому пiд час розв’язування задачi було вибрано той чи iншийметод, якi теоретичнi факти використовувалися тощо.


З метою створення вiдповiдної мотивацiї навчальної дiяльностiучнiв, на уроцi можна створити певну проблемну ситуацiю: запропо�нуйте учням розв’язати задачу, що найпростiше розв’язується век�торним або координатним методом, а звичайними методами не роз�в’язується або має досить громiздке розв’язання.

Наприклад, можна запропонувати таку задачу.Задача. Навколо квадрата з площею S описано коло. Доведiть, що

сума квадратiв вiдстаней вiд довiльної точки кола до вершин квадра�та дорiвнює 4S.Розв’язання. Скористаємося методом

координат. Уведемо систему координаттак, як показано на рисунку.

Тодi якщо сторона квадрата дорiвнює2a, то вершини квадрата мають координа�ти ( )a a; , ( )−a a; , ( )− −a a; , ( )a a;− .

Нехай довiльна точка кола має коор�динати ( )x y; . Тодi сума квадратiв вiдста�ней вiд неї до вершин квадрата дорiвнює:

( ) ( ) ( ) ( )x a y a x a y a− + − + + + − +2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + − + + = + +x a y a x a y a x y a2 2 2 2 2 2 24 8 .

Оскiльки у вибранiй системi координат це коло має рiвнянняx y a2 2 22+ = , то шукана сума дорiвнює 16 2a , тобто 4S.

Пiд час обговорення можливих способiв розв’язання задач учнi ма�ють дiйти висновку, що в цiй задачi традицiйнi методи не є ефектив�ними, а тому слiд знайти якi�небудь iншi способи. Повторенню такихметодiв розв’язання задач та формуванню навичок виконання певноїсхеми дiй пiд час застосування цих методiв i присвячується урок.


( )a a;−( )− −a a;

O x

y

( )−a a; ( )a a;

a−aa

−a


Робота учнiв iз конспектом та довiдковими таблицями (див. на�очнiсть та обладнання).

Конспект 6

План розв’язування задач на доведення координатним методом

1. Увести систему координат, одну iз заданих точок вибрати за початоккоординат, одну з прямих — сумiстити з вiссю абсцис.

2. Записати координати всiх точок у вибранiй системi координат.

3. Використовуючи записанi координати, записати умову задачi (скластирiвняння фiгур, знайти довжини вiдрiзкiв, координати серединивiдрiзка тощо).

4. Перевiрити виконання умови, яку слiд довести через складенi в п. 3спiввiдношення

Попри те що координатний i векторний методи розв’язуваннязадач є досить ефективними i простими в застосуваннi, учнiрiдко їх використовують. Об’єктивною причиною цього є тойсумний факт, що на вивчення координатного та векторного ме�тодiв вiдводиться обмаль часу i немає системи задач, на якихможна було б вiдпрацювати цi методи (це не стосується класiвiз поглибленим вивченням математики). Отже, на цьому уроцiслiд ще раз чiтко сформулювати схему розв’язання задач (див.конспект 6), а також продовжити роботу над формуваннямв учнiв умiння перекладати геометричнi факти на мову коор�динат та векторiв (за необхiдностi повторити ще раз основнiформули та рiвняння фiгур у координатах та правила виконан�ня дiй з векторами (див. довiдковi таблицi № 60–64). На цьомуетапi уроку учнi й учитель працюють у режимi фронтальноїбесiди за наданим довiдковим матерiалом.


Математичний диктант

1. На координатнiй площинi побудуйте точки ( )A 46; i ( )B 12 12; .

2. Вiдстань мiж точками A i B дорiвнює…

3. Координати середини C вiдрiзка такi:… Побудуйте точку C.

4. Рiвняння кола з центром A та радiусом AB має вигляд… Побудуй�те це коло.

5. Точка A′, симетрична точцi A вiдносно осi абсцис, має координа�ти…, точка B′, симетрична точцi B вiдносно осi ординат, має коор�


динати…, точка C′, симетрична точцi C вiдносно початку коорди�нат, має координати… Побудуйте цi точки.

6. Через точку A проведiть пряму, паралельну осi абсцис, а черезточку B — пряму, паралельну осi ординат. Запишiть їх рiвняння.

Виконання усних вправ1. Трикутник ABC правильний, точка O — центр описаного навколо

цього трикутника кола. Знайдiть скалярний добуток векторiв OA��

i CB��

.2. У трикутнику ABC проведено медiану AM. Чи правильна рiвнiсть

AM MB AC CB��

+ = + ?

3. ABCD — трапецiя. Спростiть вираз AD CB BA��

+ + .

4. Якщо вектори�a i

�b взаємно перпендикулярнi, то чому дорiвнює

вираз( ) ( )� � � �a b a b+ − −

2 2

?

5. Знайдiть x, якщо вiдомо, що вектори ( )�a x;−3 i ( )

�b −2 6; колiнеарнi.

6. Знайдiть координати вектора AB��

, якщо ( )A −2 4; i ( )B −1 5; .

Виконання письмових вправ1. Доведiть, що площа прямокутного трикутника дорiвнює добутку

вiдрiзкiв, на якi точка дотику вписаного кола дiлить гiпотенузу.2. Знайдiть кути трикутника ABC, якщо висота CH i медiана CM

дiлять кут C на три рiвнi частини. Розв’яжiть задачу двома спосо�бами.


Тестове завдання

1. Дано точки ( )A 3 1; i ( )B −1 2; . Знайдiть координати вектора AB��

.

А Б В Г

( )AB��

4 1;− ( )AB��

− −4 1; ( )AB��

4 1; ( )AB��

−4 1;

2. Якi координати має образ точки ( )A −2 5; за симетрiї вiдносно осiординат?

А Б В Г

(2;5) ( )2 5;− ( )− −2 5; ( )5 2;−


3. Задано рiвняння кола ( ) ( )x y− + + =3 5 162 2

. Чому дорiвнює радiус

кола?

А Б В Г

8 4 16 6

4. Обчислiть модуль вектора ( )�a −1 4; .

А Б В Г

3 5 17 15

5. Знайдiть координати суми векторiв�a

i�b, зображених на рисунку.

А Б В Г

( )−5 1; (5;1) (1;7) ( )−1 7;

6. При якому значеннi x вектори ( )�a x;8

i ( )�b 3 9; перпендикулярнi?

А Б В Г

24 −24 8

3−8

3

7. При якому значеннi x вектори ( )�a 4 2; i ( )

�b x;−4 колiнеарнi?

А Б В Г

−2 2 −8 8

8. Точка C — середина вiдрiзка AB, ( )A −4 3; , ( )C 2 1; . Знайдiть коорди�нати точки B.

А Б В Г

( )B −8 1; ( )B 8 1;− ( )B −1 2; ( )B 1 2;−


Вивчити змiст теоретичного матерiалу уроку (див. конспект 6).



1

0 1 х

у

�b

�a

1. Дiагональ AC чотирикутника ABCD є дiаметром кола, описаногонавколо чотирикутника. Доведiть двома способами, що проекцiїпротилежних сторiн на дiагональ BD рiвнi.

2. Доведiть, що сума квадратiв дiагоналей трапецiї дорiвнює сумiквадратiв бiчних сторiн, доданої до подвiйного добутку основ.Повторити з курсу алгебри план розв’язання задач складанням

рiвняння з однiєю змiнною або системи рiвнянь iз двома змiнними,а також основнi види i способи розв’язання рiвнянь з однiєю змiнноюта систем рiвнянь iз двома змiнними.

Урок № 7Складання рiвнянь та систем рiвнянь за умовоюгеометричної задачi

Мета: повторити, узагальнити та систематизувати знання i вмiн�ня учнiв щодо застосування рiвнянь з однiєю змiнною та систем рiв�нянь iз двома змiнними для розв’язування планiметричних задач.

Тип уроку: повторення, узагальнення та систематизацiя знаньi вмiнь.


Хiд уроку




Роботу з перевiрки домашнього завдання проводимо у формi пе�ревiрки за зразком (готовi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання та порiвняння з результатами, одержанимипiд час виконання вправ вдома). Можливi питання висвiтлюютьсяпiд час фронтальної роботи.


Так само як i на попередньому уроцi, для створення вiдповiдноїмотивацiї навчальної дiяльностi учнiв можна створити проблемнуситуацiю, запропонувавши учням розв’язати планiметричнi задачiна складання рiвняння з однiєю змiнною або системи рiвнянь iз дво�ма змiнними рiзного рiвня складностi.

Задача 1. Знайдiть кути опуклого чотирикутника, якщо вонипропорцiйнi числам 2, 3, 4, 3.


Задача 2. Складiть рiвняння прямої, що проходить через точкиз координатами (3;2) i (2;3).

Наведенi приклади задач є класичними задачами роздiлiв «Сумакутiв опуклого чотирикутника» та «Координати i вектори на пло�щинi», а тому бiльшiсть учнiв одразу запропонує скласти рiвнянняз однiєю змiнною до першої задачi (за x позначимо коефiцiєнт про�порцiйностi та скористаємося теоремою про суму кутiв опуклого чо�тирикутника) i систему лiнiйних рiвнянь iз двома змiнними, рiвнян�ня якої утворюються за пiдстановки координат цих точок у рiвнянняпрямої iз кутовим коефiцiєнтом, до другої задачi. У будь�якому ви�падку пiд час бесiди на цьому етапi уроку має прозвучати думка проте, що досить багато планiметричних задач розв’язуються шляхомскладання та розв’язування рiвнянь та систем рiвнянь. Отже, за�вданням цього уроку є сприйняття та свiдоме засвоєння змiсту алгеб�раїчного способу розв’язання планiметричних задач, формуваннявмiнь застосовувати цей спосiб до розв’язування задач.

ІV. Повторення та систематизацiя знань

Робота учнiв з конспектом 7.

Конспект 7

План розв’язування задач складанням рiвняння (системи рiвнянь)

1. Одну з невiдомих величин позначити буквою (двi невiдомi — двомарiзними буквами).

2. Використовуючи умову задачi, виразити через вибрану змiнну(змiннi) всi iншi невiдомi величини.

3. Виходячи з вивчених властивостей геометричних фiгур та величин(теорем про суму кутiв многокутника, рiвняння фiгур у декартовихкоординатах тощо), скласти рiвняння з вибраною буквою (або систе�му рiвнянь).

4. Розв’язати складене рiвняння (систему рiвнянь) та перевiрити, чи за�довольняють знайденi числа умову задачi

Теоретичний матерiал, що треба розглянути на уроцi, мiститьплан розв’язування задач складанням рiвнянь з однiєю змiн�ною та систем рiвнянь iз двома змiнними, вiдомий учням щез урокiв алгебри у 7 класi. Проте до цього матерiалу обов’яз�ково слiд додати перелiк теорем, що виражають властивостiгеометричних величин або спiввiдношення мiж геометрични�ми величинами (довжинами вiдрiзкiв, градусними мiрами ку�тiв, площами тощо).




1. Знайдiть найбiльший iз кутiв чотирикутника, якщо вони пропор�цiйнi числам 2, 3, 7 i 8.

2. Сторони трикутника вiдносяться як 8:7:3. Знайдiть меншу сторо�ну подiбного йому трикутника з периметром 36 см.

3. Сума двох кутiв паралелограма дорiвнює 160°. Знайдiть кути па�ралелограма.


1. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, дiлитьгiпотенузу на вiдрiзки 8 см i 12 см. Знайдiть сторони цьоготрикутника.

2. Бiчна сторона рiвнобедреного трикутника дорiвнює 15 см, а висо�та трикутника, що проведена до основи, на 6 см менша вiд неї.Знайдiть основу трикутника.

3. Бiчна сторона рiвнобедреного трикутника вiдноситься до йогооснови як 5 : 6, а висота трикутника, що проведена до основи, до�рiвнює 12 см. Обчислiть периметр трикутника.

4. Одна зi сторiн трикутника дорiвнює 35 см, а двi iншi вiдносятьсяяк 3:8 i утворюють кут 60°. Знайдiть невiдомi сторони трикутника.

5. Площа ромба дорiвнює 12 см2, а його дiагоналi вiдносяться як5:12. Знайдiть периметр ромба.

6. У трапецiї ABCD (BC AD| | ), K — точка перетину дiагоналей,AK KC: := 9 4, DK BK− = 15см. Знайдiть дiагональ BD.

Додаткове завдання (на повторення)

Знайдiть довжину кола, описаного навколо рiвнобiчної трапецiї,у якої довжини основ дорiвнюють 40 см i 14 см, а висота — 39 см.





1. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, дiлитьодин iз його катетiв на вiдрiзки 2 см i 8 см, рахуючи вiд вершинипрямого кута. Знайдiть сторони трикутника.

2. Основа рiвнобедреного трикутника на 2 см бiльша вiд бiчної сто�рони. Знайдiть сторони трикутника, якщо висота, що проведенадо основи, дорiвнює 8 см.


3. Основа рiвнобедреного трикутника вiдноситься до його висоти,проведеної до основи, як 8:3. Бiчна сторона трикутника дорiвнює40 см. Обчислiть периметр трикутника.

4. Двi сторони трикутника вiдносяться як 3 2 7: , а кут мiж ними до�рiвнює 45°. Знайдiть довжини цих сторiн, якщо третя сторонатрикутника дорiвнює 30 см.

5. Периметр ромба дорiвнює120 см, а його дiагоналi вiдносяться як3:4. Обчислiть площу ромба.Повторити змiст теоретичного матерiалу теми 1.

Урок № 8Систематизацiя фактiв i методiв планiметрiї.Тематична контрольна робота № 1

Мета: перевiрити: рiвень засвоєння та систематизацiї учнямизнань щодо змiсту основних понять теми 1; якiсть сформованихумiнь щодо розв’язування найтиповiших планiметричних задач iзвикористанням рiзних методiв та способiв.

Тип уроку: контроль рiвня засвоєння знань та вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою роботою (роботу пере�вiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).

ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуУчитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботи

є демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних опорних фактiв та оволодiння основними ме�тодами та способами розв’язування програмових задач.

ІV. Умова тематичної контрольної роботи № 1

Варiант 11. Довжини сторiн трикутника виражаються рiзними цiлими чис�

лами: одна дорiвнює 5 м, друга — 4 м. Довжина третьої сторонине може дорiвнювати…

А Б В Г

2 м 7 м 8 м 9 м


2. З однiєї точки, що розташована поза прямою, проведено до цiєїпрямої перпендикуляр довжиною 6 см i похилу довжиною 10 см.Довжина проекцiї похилої на пряму дорiвнює…

А Б В Г

4 см 136 см 8 см величинi, що вiдрiзняється вiд наведених

3. У прямокутному трикутнику один iз кутiв дорiвнює 60°, а катет,що прилягає до нього, дорiвнює 12 см. Гiпотенуза дорiвнює…

А Б В Г

12 см 16 см 18 см 24 см

4. У трикутнику ABC кут A дорiвнює 40°, кут B дорiвнює 70°, M —точка перетину бiсектрис. Кут AMB дорiвнює…

А Б В Г

30° 125° 105° 70°

5. У рiвнобедреному трикутнику основа i бiчна сторона дорiвнюють12 i 10 см вiдповiдно. Висота, яка опущена на його основу, до�рiвнює…

А Б В Г

6 см 13 см 119 см 8 см

6. Кут мiж висотами паралелограма дорiвнює 25°. Кути паралело�грама, вiдповiдно, дорiвнюють…

А Б В Г

25° i 155° 50° i 130° 65° i 115° 40° i 140°

7. Площа паралелограма дорiвнює S, MB MC= . Чому дорiвнює пло�ща заштрихованої фiгури?

А Б В Г

2

3S

3

4S

7

8S

5

6S

8. Бiсектриса кута A в паралелограмiABCD дiлить сторону BC на вiдрiзки


B CM

A D

7 i 14 см (рахуючи вiд вершини B).Периметр паралелограма дорiвнює…

А Б В Г

56 см 42 см 28 см 70 см

9. Два рiвнi вiдрiзки точкою перетину дiляться навпiл. Кiнцi їх по�слiдовно з’єднали. Отриманий чотирикутник є…

А Б В Г

трапецiєю квадратом ромбом прямокутником

10. У прямокутнiй трапецiї основи дорiвнюють 5 см i 17 см, а бiльшабiчна сторона — 13 см. Висота трапецiї дорiвнює…

А Б В Г

12 см 11 см 5 см 8 см

11. З точки поданого кола проведено двi хорди, кожна з яких до�рiвнює радiусу. Кут мiж ними дорiвнює…

А Б В Г

150° 120° 135° 60°

12. Із точки, що лежить зовнi кола, до нього проведено двi взаємноперпендикулярнi дотичнi. Радiус кола дорiвнює 10 см. Довжинакожної дотичної дорiвнює…

А Б В Г

10 см 5 см 10

2см величинi, яка вiдрiзняється вiд наведених

13. У колi провели хорду довжиною 8 см, що вiддалена вiд центра на3 см. Дiаметр кола дорiвнює…

А Б В Г

5 см 12 см 10 см числу, яке вiдрiзняється вiд наведених


B CF

A D

14. Найбiльша i найменша вiдстанi вiд точки, що розмiщена всере�динi кола, до точок кола дорiвнюють 10 см та 4 см. Радiус кола до�рiвнює…

А Б В Г


15. Центр кола, вписаного в трикутник, лежить на перетинi…

А Б В Г

висот три�кутника

медiан до сто�рiн трикутника

бiсектрис кутiвтрикутника

серединних перпендику�лярiв до сторiн трикутника

16. Знайдiть вiдстань вiд центра кола ( ) ( )x y− + + =2 3 252 2

до точки

( )−2 0; .

А Б В Г

5 7 25 7

17. Дано точки ( )A −12; , ( )B 3 2;− , ( )C 0 1; . Вектор AB AC��

− 4 має коорди�

нати…

А Б В Г

( )8 8;− ( )−8 8; ( )0 0; ( )−2 0;

Варiант 21. Сторони трикутника виражаються рiзними цiлими числами; одна

дорiвнює 3 м, друга — 2 м. Третя сторона може дорiвнювати…

А Б В Г

1 м 4 м 5 м 2 м

2. З однiєї точки, що розташована поза прямою, проведено до цiєїпрямої перпендикуляр довжиною 8 см i похилу, проекцiя якої напряму дорiвнює 6 см. Довжина похилої дорiвнює...

А Б В Г

28 см 9 см 10 см величинi, яка вiдрiзняється вiд наведених


3. У прямокутному трикутнику один iз кутiв дорiвнює 60°, а гiпоте�нуза — 20 см. Чому дорiвнює менший катет?

А Б В Г

10 3 см 8 3 см 10 см 8 см

4. У трикутнику ABC кут A дорiвнює42°, M є точкою перетину бiсектристрикутника, i кут AMB дорiвнює136°. Кут B дорiвнює…

А Б В Г

46° 94° 47° 23°

5. У рiвнобедреному трикутнику висота, що проведена до його осно�ви, i бiчна сторона дорiвнюють 12 i 13 см вiдповiдно. Основа до�рiвнює…

А Б В Г

5 см 10 см 313 см 2 см

6. Тупий кут паралелограма дорiвнює 140°. Кут мiж висотами пара�лелограма, проведеними з вершини цього кута, дорiвнює…

А Б В Г

80° 20° 40° 160°

7. Площа паралелограма ABCD до�рiвнює S, точка M — середина сторо�ни BC. Чому дорiвнює площа трикут�ника ABM?

А Б В Г

2

3S

1

2S

3

4S

1

4S

8. Бiсектриса кута A в паралелограмiABCD дiлить сторону BC на вiдрiзки7 см i 14 см (рахуючи вiд вершини C).Периметр паралелограма дорiвнює…


BA

C

M

B CM

A D

DA

F CB

А Б В Г

56 см 70 см 42 см 35 см

9. Два нерiвнi вiдрiзки точкою перетину дiляться навпiл. Їхнi кiнцiпослiдовно з’єднано. Отриманий чотирикутник є…

А Б В Г

паралелограмом ромбом прямокутником квадратом

10. Сторона ромба дорiвнює 10 см, одна iз дiагоналей — 16 см. Другадiагональ дорiвнює…

А Б В Г

6 см 156 см 356 см 12 см

11. З точки поданого кола проведено дiаметр i хорду, що дорiвнюютьрадiусу. Кут мiж ними дорiвнює…

А Б В Г

30° 45° 60° величинi, яка вiдрiзняється вiд наведених

12. Із точки, що лежить зовнi кола, до нього проведено двi взаємноперпендикулярнi дотичнi, кожна довжиною 8 см. Радiус кола до�рiвнює…

А Б В Г

4 см 8 см 4 см величинi, яка вiдрiзняється вiд наведених

13. До кола проведено дотичну AB (B — точка дотику). Точка A зна�ходиться на вiдстанi 5 см центра i на 3 см вiд точки дотику. Дiа�метр кола дорiвнює…

А Б В Г

2 см 8 см 6 см числу, яке вiдрiзняється вiд наведених

14. Найбiльша i найменша вiдстанi вiд точки, що знаходиться позаколом, до точок цього кола — 8 см i 2 см. Радiус кола дорiвнює…

А Б В Г



15. Центр кола, описаного навколо трикутника лежить на перетинi…

А Б В Г

висот три�кутника

медiан до сторiнтрикутника

бiсектрис кутiвтрикутника

серединних перпендикуля�рiв до сторiн трикутника

16. Знайдiть вiдстань вiд центра кола ( ) ( )x y+ + − =2 1 92 2

до точки

( )3 1;− .

А Б В Г

29 5 29 1

17. Дано точки ( )A 2 1;− , ( )B −4 2; , ( )C −1 0; . Вектор AB BC��

+ 2 має коор�

динати…

А Б В Г

( )12 7; ( )− −12 7; ( )0 1; ( )0 1;−

V. Пiдсумки уроку

Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями; або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи №1 (заготовлених учителемзаздалегiдь) у формi роздавального матерiалу.

VІ. Домашнє завдання

Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).


ТЕМА 2. ВСТУП ДО СТЕРЕОМЕТРIЇ

Урок № 9Основнi поняття стереометрiї. Аксiоми стереометрiї

Мета: сформувати знання учнiв про основнi геометричнi фiгурив просторi, способи їх позначення, вiдмiннiсть розв’язування задачна площинi вiд задач у просторi. Повторити й узагальнити вiдомостi,отриманi в 9 класi, щодо змiсту аксiом стереометрiї.

Сформувати вмiння описувати вивченi поняття, наводити вiдпо�вiднi приклади з навколишнього середовища й застосовувати змiствивчених понять до розв’язування найпростiших задач.

Тип уроку: повторення та засвоєння нових знань, формуваннявмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Аксiоми стереометрiї».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.На цьому етапi уроку бажано надати учням iнформацiю про:орiєнтовний план вивчення теми;кiлькiсть навчальних годин;приблизний змiст матерiалу;основнi вимоги до знань i вмiнь учнiв;термiн проведення контрольної роботи;орiєнтовний змiст завдань, що будуть винесенi на контроль.


Оскiльки домашнє завдання попереднього уроку полягало в само�стiйному проведеннi аналiзу виконання завдань контрольної роботи,то на цьому етапi уроку достатньо розглянути найскладнiшi моментирозв’язань деяких задач i зiбрати зошити з аналiзом контрольної ро�боти для перевiрки.

За необхiдностi можна роздати учням iндивiдуальнi завдання навiдпрацювання контрольних моментiв.


Учитель проводить коротку бесiду, в ходi якої вiдбувається по�вторення знань, яких учнi набули у 9 класi пiд час вивчення теми

52

«Початки стереометрiї». Спираючись на це, а також на результатиповторення планiметричного матерiалу (див. тема 1), учнi разомз учителем формулюють основнi питання, якi мають бути розглянутiна цьому уроцi, а саме:

неозначуванi просторовi фiгури;

основнi властивостi неозначуваних просторових фiгур (основнi ак�сiоми стереометрiї).

Пiсля цього вчитель формулює дидактичну мету уроку.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань i вмiнь

З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку слiд активiзувати знання й умiння учнiв щодо основних фiгурпланiметрiї, аксiом планiметрiї та їх застосування до розв’язуваннязадач. Для цього можна запропонувати учням попрацювати з до�вiдковими таблицями (див. 3, таблиця № 2).

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матерiалу

1. Основнi фiгури в просторi. Уявлення про геометричну фiгуру«площина». Позначення площини.

2. Вiдмiннiсть розв’язування задач на площинi i в просторi.

3. Властивостi основних геометричних фiгур у просторi (основнi ак�сiоми стереометрiї).

Вивчення нового матерiалу цього уроку можна провестиблизько до тексту пiдручника у формi бесiди за поданим пла�ном. Акценти робимо на таких моментах:

оскiльки точка й пряма є також основними фiгурами в просторi, товiдомi учням аксiоми планiметрiї виконуються i в просторi;

у зв’язку з тим, що з’являється додаткова основна фiгура — пло�щина, то й система аксiом стереометрiї доповнюється аксiомами,що описують основнi властивостi площини та її «взаємовiдносини»з iншими основними фiгурами (точкою i прямою) у просторi;

iснують певнi вiдмiнностi в розв’язуваннi одних i тих самих задачна площинi i в просторi;

не завжди iснує площина, що мiстить усi елементи заданого гео�метричного об’єкта;

якi iснують правила в зображеннi та як позначають основнi гео�метричнi фiгури в просторi, а також випадки їх певного розташу�вання;


так само, як i в планiметрiї, розглядається питання про спосiб за�дання (проведення) прямої, одна з аксiом стереометрiї описуєспосiб задання (проведення) площини.Пiд час пiдготовки до уроку вчителю слiд усвiдомити, що на

вiдмiну вiд 9 класу названi поняття уроку подаються в строгому ма�тематичному виглядi. Учителю слiд наголосити на тому, що вiдтеперусi мiркування учнi мають обґрунтовувати, спираючись на вивченiаксiоми стереометрiї та аксiоми планiметрiї. Подальше вивченнястереометрiї розширить коло тверджень, що використовуватимутьсядля обґрунтування та розв’язання геометричних задач. Учителю та�кож слiд звернути увагу на те, що в пiдручнику (2) до трьох тради�цiйних аксiом стереометрiї додається аксiома про проведення прямоїi аксiома проведення площини формулюється iнакше, нiж у стандар�тному пiдручнику попереднiх рокiв (Геометрiя, 7–11 О. В. По�горєлова).

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�глядi конспекту 8.

Конспект 8

Аксiоми стереометрiї

1. Аксiома належностi точок площинi

Яка б не була площина, iснуютьточки, що належать цiй площинi,i точки, що не належать їй.

2. Аксiома проведення прямої в просторi

3. Аксiома проведення площиниЧерез три точки, що не лежать на однiйпрямiй, можна провести площину,

й тiльки одну

4. Аксiома перетину площин

Через будь�якi дві точкипростору можна провести

пряму, й тiльки одну

Якщо двi площини маютьспiльну точку, то вони пе�ретинаються по прямiй,що проходить через цюточку.


A

B ∉αα

B

A ∈α

B

A B

α C

Пряма AB — єдина

α C

β

α β∩ = c

C c∈

A

с

VІ. Формування первинних умiнь

Виконання усних вправ1. Чи є грань куба площиною? Чи є грань куба частиною площини?2. Точка A належить площинi α, а точка B не належить площинi α.

Чи правильно, що точки A i B не лежать в однiй площинi?3. Чи збiгаються площини α i ABC, якщо точки A, B i C не лежать на

однiй прямiй:1) A a∈ , B ∈α, C ∉α; 2) A ∈α, B ∈α, C ∉α?

4. (Задача�жарт). Три мухи одночасно злетiли з лисини. У якомувипадку вони опиняться в однiй площинi?

5. Через точки A, B i C проходять двi рiзнi площини. Як розмiщенiточки A, B i C? Чому?

6. Чи можуть двi площини мати лише одну спiльну точку; лише двiспiльнi точки; безлiч спiльних точок?

7. Прочитайте твердження, записане за допомогою символiв: якщоA ∈α, A ∈β, то α β∩ = c, A c∈ .

Виконання письмових вправ1. Точки A i B лежать у площинi α, а точка C не лежить у цiй пло�

щинi. Доведiть, що площини α i ABC перетинаються по прямiйAB.

2. У просторi задано чотири точки, причому жоднi три з них не ле�жать на однiй прямiй. Скiльки прямих можна провести черезрiзнi пари цих точок?

3. На площинi справджується твердження: «Пряма, що не прохо�дить через вершину трикутника i перетинає його сторону, перети�нає хоча б одну з двох iнших його сторiн». Чи справджується цетвердження в просторi? Вiдповiдь обґрунтуйте.

Додаткова задачаЧи можна провести площину через заданi двi точки?

Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямова�нi на засвоєння розглянутої на уроцi термiнологiї, на форму�вання вмiнь обґрунтовувати мiркування за вивченими аксiома�ми стереометрiї. Зважаючи на те, що пiд час вивченнястереометрiї просторовий рисунок виконується на площинi (ар�кушi зошита, дошцi), то не завжди вiн є помiчником у розв’я�зуваннi задачi. Отже, вчитель повинен попередити учнiв, щона вiдмiну вiд розв’язання планiметричних задач, де рисунокчасто стає у пригодi, запорукою правильного розв’язання сте�реометричної задачi є строге обґрунтування своїх мiркувань iз


використанням вивченої теорiї. Учителю доречно продемон�струвати рисунки, що мiстять прихованi «пастки» й ускладню�ють розв’язування задачi. В учнiв може виникнути питання:а навiщо тодi використовувати рисунки пiд час розв’язуваннястереометричної задачi? Учителю слiд пояснити учням, що,хоча рисунки в геометрiї не мають сили доведень, наочний i ко�нструктивний рисунок — неоцiненний помiчник у процесi до�ведення й розв’язування стереометричних задач.

VІІ. Пiдсумки уроку

Контрольнi запитання1. Назвiть основнi фiгури стереометрiї.2. Наведiть приклади задач, що мають рiзнi розв’язання на площинi

й у просторi.3. Чи правильне твердження: «Будь�яка точка простору або лежить

у заданiй площинi, або не належить їй»?4. Чи можуть двi прямi у просторi мати двi спiльнi точки?5. Через три точки проведено двi рiзнi площини. Чи можуть цi точ�

ки бути вершинами трикутника?6. Чи можуть двi рiзнi площини мати рiвно 1 000 000 спiльних то�

чок?

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити змiст нових понять уроку (див. конспект 8).Розв’язати задачi.

1. Чому мотоцикл iз коляскою стiйко стоїть на дорозi, а мотоциклубез коляски потрiбна додаткова пiдпора?

2. Чому замкненi дверi нерухомi, а незамкненi дверi можна вiдчи�нити?

3. Сконструюйте моделi:1) двох площин, що перетинаються;2) прямої, що перетинає площину;3) трьох площин, що перетинаються по однiй прямiй.

4. Двi площини мають спiльнi точки A, B i C. Доведiть, що точки A,B i C лежать на однiй прямiй.

5. У просторi задано чотири точки, жоднi три з яких не лежать наоднiй прямiй. Скiльки площин можна провести через рiзнi трiйкицих точок?

6. На площинi справджується твердження: «Якщо кути AOB i BOCпрямi i не збiгаються, то кут AOC розгорнутий». Чи справджу�ється це твердження в просторi? Вiдповiдь обґрунтуйте.


Урок № 10Наслiдки з аксiом стереометрiї

Мета: домогтися свiдомого розумiння учнями змiсту наслiдкiв iзаксiом стереометрiї та домогтися свiдомого засвоєння змiсту цих тео�рем; сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, а такожвикористовувати їх для обґрунтування мiркувань пiд час розв’язу�вання вiдповiдних задач.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Наслiдки з аксiом стерео�

метрiї».

Хiд уроку




Виконання письмових вправ перевiряється пiд час роботи учнiвза готовими розв’язаннями.

Засвоєння теорiї перевiряється пiд час опитування за питаннямиконспекту 8 або за тестовими запитаннями вiдповiдного змiсту.

Фронтальне опитування1. Якi з наведених тверджень правильнi?

1) Будь�якi двi точки завжди лежать на однiй прямiй;2) будь�якi три точки завжди лежать на однiй прямiй;3) будь�якi три точки завжди лежать в однiй площинi;4) будь�якi чотири точки завжди лежать в однiй площинi;5) серед точок простору можна вибрати три, якi не лежать в однiйплощинi.

2. Чи однаковi за змiстом висловлювання: «Площини α i β перетина�ються» i «Площини α i β мають спiльну точку»?

3. Чи можуть двi рiзнi площини мати лише:1) одну спiльну точку;2) двi спiльнi точки;3) 2010 спiльних точок?

4. Чи можуть двi прямi у просторi перетинатися бiльше нiж в однiйточцi?

5. Вiдомо, що через три заданi точки можна провести принаймнi двiплощини.1) Яке взаємне розмiщення цих точок?2) Скiльки площин можна провести через цi три точки?



З метою створення вiдповiдної мотивацiї навчальної дiяльностiстворюємо проблемну ситуацiю, для чого просимо учнiв пригадатиосновнi фiгури простору (точка, пряма та площина). Пiсля цього на�гадуємо, що одним з основних вiдношень мiж геометричними фiгу�рами як на площинi, так i в просторi, є вiдношення належностi. Далiставимо запитання: мiж якими основними фiгурами властивiстьвiдношення належностi регулюється вивченими аксiомами, а мiжякими — нi? Таким чином, учнi усвiдомлюють певне протирiччя мiжнабутими ранiше знаннями та розглянутою в ходi мiркувань ситу�ацiєю (питання належностi прямої до площини).

Так само можна створити ситуацiю, яка приведе учнiв до усвi�домлення необхiдностi розгляду питань щодо iнших, крiм описаногоу вiдповiднiй аксiомi, способiв задання площини. Це можна зробити,запропонувавши таку задачу:

За допомогою двох шнурiв столяр визначає, чи лежать кiнцi чо�тирьох нiжок стола в однiй площинi. Як вiн це робить?

Обговорення наведених ситуацiй пiдводить учнiв до висновку пронеобхiднiсть вивчення питання належностi прямої до площини, а та�кож щодо iнших способiв задання площини.

Вiдповiдь на цi запитання визначається як основна мета уроку.


Робота з конспектом 8.

Виконання вправи на встановлення вiдповiдностi

1. Через будь�якi три точки, щоне лежать на однiй прямiй,можна провести…

А безлiч площин.

2. Через двi точки простору мож�на провести…

Б площину, i до того ж тiлькиодну.

3. Якщо двi площини маютьспiльну точку, то…

В вони лежать на однiй прямiй.

4. Якщо три точки лежатьу кожнiй iз двох рiзних пло�щини, то…

Г вони перетинаються по пря�мiй, що мiстить цю точку.

Д вони перетинаються попрямiй.



План вивчення нового матерiалу1. Означення прямої, що належить площинi. Ознака належностi

прямої площинi. Перетин прямої i площини.2. Теорема про проведення площини через пряму i точку поза пло�

щиною.3. Теорема про проведення площини через двi прямi, що перетина�

ються.Вивчення нового матерiалу уроку можна провести близько дотексту пiдручника у формi бесiди за питаннями плану. Пiдчас вивчення нового матерiалу слiд звернути увагу учнiв натакi контрольнi моменти:

слiд вiдрiзняти означення та ознаку прямої, що належить пло�щинi, а також ситуацiї, в яких вони «працюють» (звертаємося дотаблицi 1, див. [3]);доведення теорем про проведення площини ґрунтується на аксiомiпро проведення площини (саме тому цi теореми є наслiдками цiєїаксiоми);з ознаки належностi прямої площинi випливає, що пряма, яка маєз площиною тiльки одну спiльну точку, перетинає цю площину.Пiд час викладення нового матерiалу вчитель має звернути увагу

учнiв на те, що висновок теорем про задання площини, мiстить двависновки: вiдповiдна площина iснує, до того ж єдина. Отже, доведен�ня теорем має складатися з двох частин: доведення iснування пло�щини та доведення єдиностi такої площини. Причому доведенняiснування є конструктивним, тобто, спираючись на вивченi аксiоми,будуємо шукану площину. Цей етап, як показує досвiд, зрозумiлийучням, тому є доцiльним запропонувати доведення iснування пло�щин для самостiйного опрацювання. Доведення єдиностi площини неочевидне. По�перше, учнi не завжди розумiють необхiднiсть доведен�ня цього факту (це їм здається очевидним з огляду на аксiому).По�друге, доведення єдиностi площини передбачає застосуванняметоду вiд супротивного, тобто iснування ще однiєї «гiпотетичної»площини (фiгури), що не завжди зрозумiле учням. Тому цей етапдоведення доцiльно докладно пояснити. Питання необхiдностi дове�дення єдиностi площини випливає з довiльностi вибору точок напрямiй.

Пiсля вивчення теорем про проведення площин доцiльно узагаль�нити способи задання площин.



Конспект 9

Наслiдки з аксiом стереометрiї

1. Означення

Пряма належитьплощинi, якщокожна точка прямоїналежить площинi.

2. Ознака належностi прямої площинi

Якщо двi точкипрямої належатьплощинi, то всяпряма належитьцiй площинi.

3. Теорема про проведення площини через пряму i точку (поза цiєю прямою)

Через пряму й точку,що не лежить на нiй,можна провестиплощину, й тiлькиодну.

4. Спосiб задання площини

Через двi прямi,що перетинаються,можна провестиплощину, й тiлькиодну.

Способи задання площини:

трьома точками, що нележать на однiй прямiй;

прямою i точкою, що нележить на нiй;

двома прямими, щоперетинаються.

Структура доведення теоремиiснування та єдиностi:

1. Доведення iснування — конструк�тивне, тобто показуємо, як можнапобудувати шуканий об’єкт.

2. Доведення єдиностi — методом вiдсупротивного.

Висновки

a

α

a ⊂ α

A a

A a

A

A

a

1

2

1

2

∈∈∈∈

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ ⊂αα

α

αa

A1

A2

A aA

a∉ ⇒

∈⊂

⎧⎨⎩

αα

i α — єдинаaα

A

α

a

C b

a b C∩ = ⇒ iснує пло�щина α:

a ⊂ α, b ⊂ α i α — єдина


Виконання усних вправ1. За рисунком назвiть:

1) площини, в яких лежитьпряма B C1 1 ;2) точки, що лежать у площи�нах DD C1 і DAA1 ;3) точки перетину прямої KM iзплощиною ABC та прямої DK iзплощиною A B C1 1 1 ;4) прямi перетину площин ABCi ADD1 , B BD1 i A B C1 1 1 , B BD1

і CC D1 1 .2. Тесляр перевiряє якiсть обробки поверхнi дошки (бруска), при�

кладаючи до неї вивiрену лiнiйку. На чому ґрунтується така пере�вiрка? Чи можлива зворотна операцiя — за допомогою добре об�робленої поверхнi бруска перевiрити прямизну лiнiйки?

3. Столяр перевiряє, чи лежать кiнцi чотирьох нiжок стiльця в од�нiй площинi, прикрiпивши навхрест до них двi нитки. На чомуґрунтується така перевiрка?

4. Чи правильно, що коли три з чотирьох заданих точок лежать наоднiй прямiй, то через цi точки можна провести площину? Чиправильне обернене твердження?

5. Скiльки площин у просторi можна провести через пряму i точку?Розгляньте всi можливi випадки.

Виконання практичних вправВирiжте з картону паралелограм. Прикладаючи його до площини

стола, дослiдiть, чи лежить паралелограм у заданiй площинi, якщоцiй площинi належать:

1) лише двi його вершини;2) сторона й один iз кiнцiв протилежної сторони;3) двi протилежнi вершини й точка перетину дiагоналей;4) двi сусiднi вершини й точка перетину дiагоналей.

Виконання письмових вправ1. Точка A належить площинi α, а точка B не належить їй. Чи

належить площинi α середина вiдрiзка AB? Вiдповiдь обґрун�туйте.

2. Якщо прямi AB i CD не лежать в однiй площинi, то прямi AC i BDтакож не лежать в однiй площинi. Доведiть.


D

C

B

A

A1

B1 C1

D1

MK

N

3. Двi прямi перетинаються в точцi O. Доведiть, що всi прямi, що пе�ретинають обидвi заданi прямi й не проходять через точку O, ле�жать в однiй площинi.

4. Доведiть, що через будь�яку пряму можна провести двi рiзнi пло�щини.

5. Вершина D паралелограма ABCDлежить у площинi α (див. рисунок).Прямi BA i BC перетинають площи�ну α в точках E i F вiдповiдно. Чиправильно виконано рисунок? Вiд�повiдь обґрунтуйте.

6. Двi сусiднi вершини й точка пере�тину дiагоналей паралелограма ле�жать у площинi α. Доведiть, щорешта вершин паралелограма та�кож лежить у площинi α.

Додаткове завдання (на повторення)Пряма, паралельна сторонi AC трикутника ABC, перетинає сторо�

ни AB i BC у точках A1 i C1 вiдповiдно. Знайдiть AC, якщо A C1 1 6= см,BA A A1 1 3 1: := .

Так само як i на попередньому уроцi, продовжуємо формувативмiння учнiв усвiдомлено застосовувати набутi знання до роз�в’язування задач iз повними та обґрунтованими пояснення�ми. Також має проводитися робота з формування вмiнь вико�ристовувати рiзнi методи розв’язування задач, зокрема мовайде про метод доведення вiд супротивного.


Контрольнi запитання1. Чи належить пряма a площинi α, якщо:

1) вона має з площиною α одну спiльну точку;2) вона має з площиною α менше нiж двi спiльнi точки;3) вiдомо, що три точки A, B i C цiєї прямої належать площинi α?

2. Чи можна провести площину через:1) сторону AB i точку O перетину дiагоналей паралелограма;2) через дiагоналi трапецiї;3) через сторону AB трикутника ABC?У якому випадку ця площина єдина? Чому?


Вивчити змiст нових понять уроку (див. конспект 9).


CA

B

D

E

α

F

Розв’язати задачi.1. Центр i двi точки кола належать деякiй площинi. Чи належить

цiй площинi будь�яка точка цього кола? Розгляньте всi можливiвипадки.

2. Кiнцi вiдрiзка AB належать площинi β. Доведiть, що серединацього вiдрiзка також належить площинi β.

3. Точка A не належить прямiй a. Доведiть, що всi прямi, якi прохо�дять через точку A i перетинають пряму a, лежать в однiй пло�щинi.

4. Кожна з двох рiзних площин мiстить прямi AB i BC. Доведiть, щоточка C лежить на прямiй AB.

5. У трикутнику ABC вершини A i B та середина сторони BC лежатьу площинi α. Доведiть, що всi сторони трикутника лежать у пло�щинi α.За конспектом 9 класу повторити приклади просторових геомет�

ричних фiгур та критерiї їх класифiкацiї.

Урок № 11Просторовi геометричнi фiгури. Прикладинеплоских просторових фiгур

Мета: повторити й узагальнити знання щодо змiсту понять гео�метричного тiла, многогранника, тiла обертання, набутих учнямив 9 класi, а також їх окремих видiв та властивостей; домогтися за�своєння властивостей зазначених геометричних тiл.

Сформувати вмiння вiдтворювати змiст розглянутих понять, ви�конувати зображення деяких просторових тiл та застосовувати ви�вченi на попереднiх уроках аксiоми та наслiдки до розв’язування за�дач із цими геометричними тiлами.

Тип уроку: узагальнення, систематизацiя i засвоєння знань.Наочнiсть та обладнання: конспект 10.

Хiд уроку




З метою перевiрки якостi виконання письмової частини домаш�ньої роботи вчитель збирає зошити учнiв на перевiрку (це можна зро�бити пiсля проведення самостiйної роботи на перевiрку засвоєння


учнями теоретичного матерiалу). Правильнi розв’язання письмовихзадач домашньої роботи у виглядi роздавального матерiалу видають�ся учням для самостiйного опрацювання.

Самостiйна роботаВарiант 1

1. Чи правильно, що якщо кiнцi вiдрiзка лежать у заданiй площинi,то i його середина лежить у цiй площинi?

2. Чи можуть двi площини мати спiльну точку, але не мати спiльноїпрямої?

3. Точка A не лежить у площинi KMN. Назвiть пряму перетину пло�щин AMN i AKM.

4. Задано точки A, B, C i D. Площина α проходить через пряму AB,але не проходить через точку C. Прямi AD i BC перетинаютьсяв точцi B. Скiльки заданих точок лежить у площинi α?

5. У просторi задано пряму i точку. Скiльки можна провести черезних рiзних площин? Розгляньте всi можливi випадки.Варiант 2

1. Чи правильно, що якщо двi площини мають три спiльнi точки, тоцi точки лежать на однiй прямiй?

2. Чи можуть двi прямi мати спiльну точку, але не лежати в однiйплощинi?

3. Точка A не лежить у площинi KMN. Назвiть пряму перетину пло�щин AMN i ANK.

4. Задано точки A, B, C i D. Площина α проходить через пряму AB,але не проходить через точку C. Прямi DB i AC перетинаютьсяв точцi A. Скiльки заданих точок лежить у площинi α?

5. У просторi задано три точки. Скiльки можна провести через нихрiзних площин? Розгляньте всi можливi випадки.


На цьому етапi уроку доречним є проведення паралелi мiж ви�вченням планiметрiї та стереометрiї. Учитель звертає увагу учнiв нате, що вивчення планiметрiї та стереометрiї будується за однiєю схе�мою: пiсля вивчення аксiом розглядаються властивостi геометрич�них фiгур. Оскiльки з «виходом» у простiр з’являються просторовiфiгури, то логiчним продовженням вивчення аксiом стереометрiїє розгляд основних властивостей таких геометричних фiгур. Отже,виникає необхiднiсть повторити змiст поняття просторової геомет�ричної фiгури (геометричного тiла), видiв геометричних тiл, знайо�мих учням iз 9 класу (куба, прямокутного паралелепiпеда, пiрамiди,


призми, а також цилiндра, конуса). Пiсля цього вчитель формулюєпитання: як «працюють» вивченi аксiоми та наслiдки з них на моде�лях просторових геометричних тiл? Вiдповiдь на це питання i є за�вданням уроку.


Учнi вiдтворюють змiст аксiом стереометрiї та наслiдкiв iз них.Проводиться бесiда iз використанням моделей куба, паралелепiпеда,призми, пiрамiди, цилiндра, конуса.

Кожний учень отримує картку iз завданням. Номери правильнихвiдповiдей учнi записують на аркушах та здають учителю.

Якi з наведених тверджень є правильними?

1 Сторони кожного кута лежать в однiй площинi

2 Сторони кожного кута визначають єдину площину

3 Сумiжнi кути лежать в однiй площинi

4 Кожнi три точки визначають єдину площину

5 Якщо двi рiзнi площини мають спiльну пряму, то, крiм точокцiєї прямої, у них немає спiльних точок

6 Якщо двi рiзнi площини мають спiльнi точки A i B, то вони пере�тинаються по прямiй AB

7 Через пряму i точку можна провести тiльки одну площину

8 Три точки простору визначають єдину площину


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про многогранники, їх елементи та властивостi.2. Уявлення про тiла обертання та їх властивостi.3. Аксiоми стереометрiї, наслiдки з них i геометричнi тiла.

Вивчення матерiалу уроку проводиться у формi бесiди за змiс�том близько до тексту пiдручника iз залученням наочностi(моделi геометричних тiл, їх зображення), з опорою на знанняучнiв щодо означень та елементiв названих геометричних тiл,набутих ними у 9 класi. Викладаючи новий матерiал, учительповинен придiлити бiльше уваги застосуванню аксiом стерео�метрiї та наслiдкiв iз них до просторових геометричних тiл.

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у ви�глядi конспекту 10.


Конспект 10

Геометричнi тiла

Многогранники Тiла обертання

VІ. Формування вмiнь


1. Чи лежить точка M на площинi SAB; на площинi SBC (рис. 1)?Чи перетинаються площини SAC i ABCD? Якщо так, то по якiйпрямiй?

Рис. 1 Рис. 2

2. Чи можна побудувати на рисунку (рис. 2) пряму перетину площинABC i ADF; ABF i ACD? Як?


A

S

BC

A1 B1

C1

A B

C

O1

O

прямокутнийпаралелепiпед

куб

пiрамiда

призма

куля

цилiндр конус

O

S

O

A1

A

BC

B1 C1D1

D

A1

B1 C1

D1

D

CB

A

B

C

A

S

D

M

C

A

B

DF

3. На рисунку зображено куб. Побу�дуйте пряму, по якiй перетинаютьсяплощини AMC i BB D D1 1 .

4. На рисунку зображено куб. Знайдiтькути трикутника ABC.

Виконання практичних вправЗобразiть на рисунку взаємне розмi�

щення точок, прямих i площин за таки�ми умовами:

1) α β∩ = c, A c∈ ; 2) α β∩ = c, β γ∩ = c.

Виконання письмових вправ1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . По якiй прямiй перетинаються площи�

ни AA B1 1 i AA D1 1 ?2. Дано трикутна пiрамiда DABC i точки M i H, що лежать на ребрах

AD i CD вiдповiдно. Побудуйте:1) точку перетину прямої MH з площиною ABC;2) пряму перетину площин MHB i ABC.

3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, M i N, що лежать на ребрахB C1 1 , A D1 1 i AD вiдповiдно. Побудуйте точки перетину прямихMN i MK iз площиною AA B1 1 .

Додаткове завданняДвi вершини трикутника належать площинi α. Чи належить цiй

площинi третя вершина, якщо заданiй площинi належить:1) центр кола, вписаного в трикутник;2) центр кола, описаного навколо трикутника?Проведiть дослiдження.

Розв’язування наведених задач має на метi досягнення трьохосновних цiлей:

1) домогтися повторення учнями змiсту вивчених на попереднiхуроках аксiом стереометрiї та наслiдкiв iз них;2) сформувати вмiння виконувати рисунки iз зображеннями мно�гогранникiв та їх елементiв, а також виконувати нескладнi побу�дови, використовуючи теоретичнi мiркування;3) пiдготувати учнiв до сприйняття теми «Побудова перерiзiвмногогранникiв».


Контрольнi запитання1. Скiльки площин можна провести через вершини A, D1 i C куба

ABCDA B C D1 1 1 1 ?


D

AB

A1 B1

C1

C

M

D1

2. Скiльки площин можна провести через ребро AS тетраедра SABC iсередину ребра BC?


Вивчити змiст матерiалу уроку (див. конспект 10).Розв’язати задачi.

1. Пряма a лежить у площинi гранi SAB тетраедра SABC i перетинаєплощину гранi ABC. Доведiть, що точка перетину лежить на ребрiAB.

2. Задано чотирикутну пiрамiду KABCD, в основi якої лежить пара�лелограм ABCD.Визначте пряму перетину площин:1) AKD i ABC; 2) AKC i ABD; 3) KBC i AKC.Повторити аксiоми стереометрiї та наслiдки з них.Розв’язати задачу на повторення.Задача. Пряма a лежить у площинi α. Пряма b перетинає площи�

ну α в точцi C, що не належить прямiй a. Доведiть, що прямi a i b неперетинаються.

Урок № 12Найпростiшi задачi на побудову перерiзiв куба,прямокутного паралелепiпеда, пiрамiди

Мета: сформувати уявлення про змiст поняття перерiзу геомет�ричного тiла сiчною площиною; домогтися засвоєння найпростiшихмiркувань (проводяться на основi аксiоми про перетин двох пло�щин), що лежать в основi розв’язування найпростiших задач на по�будову перерiзiв многогранникiв (куба, паралелепiпеда та пiрамiди).Сформувати вмiння, спираючись на здобутi на уроцi знання, розв’я�зувати найпростiшi задачi на побудову многогранникiв.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: моделi геометричних тiл.

Хiд уроку




Оскiльки задачi домашньої роботи є досить простими i вiдтворю�ють ситуацiї, що були розглянутi на уроцi, то перевiрити домашнє


завдання можна тiльки в учнiв iз низьким рiвнем навчальних досяг�нень (зiбрати в них зошити).


На цьому етапi уроку вчитель наводить приклади з навколишньо�го середовища, якi можна вважати моделями для демонстрацiї пере�тину площиною рiзних геометричних об’єктiв (наприклад, стеля тастiна будинку тощо). Таким чином, учнi усвiдомлюють, що в геомет�рiї можливе формулювання такої задачi: знайти фiгуру, яка є части�ною заданої площини й обмежена поверхнею заданого геометричноготiла. Дати означення цього поняття та вивчити способи побудови та�ких фiгур (поки що в найпростiших випадках) — це i є основна метауроку.



Учнi мають повторити змiст таких понять: аксiоми стереометрiї(зокрема, аксiома про перетин площин), наслiдки з аксiомстереометрiї (зокрема, теореми про задання площини).

1. Точка M — середина ребра AA1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

1) Назвiть площину бiчної гранi, якiй належить пряма D M1 ;

2) назвiть пряму, що лежить у знайденiй бiчнiй гранi, i площиниоснови ABCD.

2. Чи можуть двi площини мати:

1) лише одну спiльну точку;

2) лише двi спiльнi точки;

3) лише 1000 спiльних точок?

Вiдповiдь пояснiть.

3. Дано прямокутний паралелепiпед ABCDA B C D1 1 1 1 . Назвiть пряму,по якiй перетинаються площини ADC i BCC1 .

4. Дано прямокутний паралелепiпед ABCDA B C D1 1 1 1 . Точка K — се�редина ребра CC1 .

Якому ребру паралелепiпеда належатиме точка перетину прямоїDK i площини A B C1 1 1 ?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про перерiз геометричного тiла.

2. Як побудувати перерiз многогранника, використовуючи аксiомистереометрiї та наслiдки з них?


Вiдомо, що коректне означення перерiзу не розглядаєтьсяв середнiй школi i вводиться на iнтуїтивному рiвнi, тому пiдчас викладення цього матерiалу досить важливу роль вiдiграєнаочнiсть. Отже, у ходi пiдготовки до уроку вчителю бажанопiдготувати велику кiлькiсть моделей перерiзiв геометричнихтiл рiзного виду.

Також слiд зазначити, що на цьому уроцi побудова перерiзiвможлива тiльки iз застосуванням аксiоми про перетин двох площинта наслiдкiв iз неї (питання про побудову перерiзiв методом вну�трiшнього проектування та методом слiдiв на цьому уроцi не розгля�дається). Отже, алгоритм розв’язання задач на побудову перерiзiв нацьому уроцi не наводиться. Пiд час побудови перерiзу головним є те,що якщо сiчна площина має хоча б одну спiльну точку з гранню мно�гогранника (або з площиною цiєї гранi), то слiд побудувати вiдрiзокпрямої (лiнiї перетину сiчної площини та гранi многогранника), щопроходить через цю точку i має кiнцями точки на сумiжних ребрахцього многогранника.

VІ. Закрiплення знань, формування вмiнь

Виконання практичних вправ1. У тетраедрi PABC точка D — середина ребра AB. Побудуйте пере�

рiз тетраедра площиною PDC i назвiть прямi перетину площин:1) PDC i ABC; 2) PDC i APB; 3) PDC i PBC.

2. Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною B AC1 i назвiтьпрямi перетину сiчної площини з площинами A AB1 , DAB i BCC1 .Запишiть вiдповiдь за допомогою символiв.

Виконання письмових вправ1. Побудуйте перерiз тетраедра PABC площиною, що проходить через:

1) пряму BC i середину ребра PA;2) прямi A B1 1 i B C1 1 , де A1 , B1 i C1 — середини ребер PA, PB i PCвiдповiдно.

2. Побудуйте перерiз тетраедра PABC площиною, що проходить че�рез пряму KM i точку N, де точки K, M i N лежать на ребрах AB,AP i PC вiдповiдно.

Додаткове завдання (на повторення)У трикутнику ABC через вершини A i C та центр описаного кола O

можна провести принаймнi двi рiзнi площини. Знайдiть площу три�кутника, якщо OB = 5 см, BC = 8 см.

Усi вправи, що запланованi для виконання на уроцi, спрямо�ванi на засвоєння поняття «перерiз многогранника» та форму�


вання вмiнь виконувати побудови перерiзiв многогранникiв iзвикористанням аксiоми про перетин площин та наслiдкiв iзнеї. Також на уроцi слiд розв’язати задачi на повторенняiнших аксiом стереометрiї та деяких опорних фактiв планi�метрiї.


Контрольнi запитання1. Чи є видiлена на рисунку фiгура перерiзом зображеного геомет�

ричного тiла?

а) б) в)

2. Чи правильно зображено (побудовано) на рисунку перерiз куба?

а) б) в)


Вивчити змiст понять та схем дiй, розглянутих на уроцi.Розв’язати задачi.

1. Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною, що проходитьчерез:1) пряму BD i точку C1 ; 2) прямi AC1 i A C1 .

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 точки M i N — середини ребер AA1 i CC1

вiдповiдно. Побудуйте перерiз куба площиною, що проходить че�рез прямi B M1 i B N1 .Повторити змiст аксiом стереометрiї та наслiдкiв iз них.Розв’язати задачу.Середини сторiн трикутника лежать у площинi α. Чи належать

площинi α сторони цього трикутника?


Урок № 13Пiдсумковий урок

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнiвщодо змiсту наслiдкiв iз аксiом стереометрiї i способiв їх застосуван�ня до розв’язування найпростiших задач. Систематизувати вмiнняучнiв застосовувати здобутi знання до розв’язування задач, передба�чених програмою з математики.

Тип уроку: узагальнення й систематизацiя знань i вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 7–10.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою роботою. За необхiд�ностi правильнi розв’язання роздаються учням для самостiйногоопрацювання вдома.


Основна дидактична мета i завдання на урок цiлком логiчно ви�пливають iз його мiсця в темi. Оскiльки урок є останнiм, пiдсумко�вим, то увага придiляється повторенню, узагальненню й системати�зацiї знань i вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми 2. Такеформулювання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.

ІV. Повторення i систематизацiя знань

Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв учитель може органiзува�ти їхню роботу рiзними способами: або як самостiйну роботуучнiв iз довiдковим матерiалом (наприклад, за пiдручникомабо конспектом), або учнi мають самостiйно повторити змiстосновних понять теми, скласти схему, що вiдображає ло�гiчний зв’язок мiж основними поняттями теми, тощо. Можнаурок розпочати з традицiйного опитування (у формi iнтерак�тивної вправи) за основними питаннями теми або за контроль�ними запитаннями до теми.

V. Повторення i систематизацiя вмiнь

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi самостiйно сформулю�вали та випробували узагальнену схему дiй, якої вони мають


дотримуватися пiд час розв’язування типових задач, подiбнiдо яких будуть винесенi на контроль.

Перед виконанням практичного завдання проводиться роботаз видiлення основних видiв задач на застосування вивчених у темiпонять. Такими видами можуть бути задачi на:

застосування поняття належностi прямої площинi та ознаки на�лежностi прямої площинi;

застосування теорем про задання площини (двома прямими, що пе�ретинаються, або прямою i точкою поза нею);

побудову перерiзiв многогранникiв.Пiсля складання перелiку основних видiв задач учитель об’єднує

учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань) i кожнiй формулюєзавдання: «Скласти план розв’язання задачi…» (групи отримуютьiндивiдуальне завдання). На складання плану вiдводиться час, заякий учасники групи мають обговорити план розв’язання, записатийого у виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати пре�зентацiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбувається презентацiя вико�наної роботи кожною групою, а далi — обов’язкове обговоренняскладених планiв. Учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiни�ти яку�небудь iз заданих величин i пояснити, як змiниться розв’я�зання задачi. Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком цього уроку є, по�перше, складенi самими учнями уза�гальненi схеми дiй пiд час розв’язування типових задач, по�друге —здiйснення учнями необхiдної частини свiдомої розумової дiяль�ностi — рефлексiї, вiдображення кожним учнем сприйняття своїхуспiхiв та найголовнiше — проблем, над якими слiд ще попрацюватиперед контрольною роботою.


Повторити змiст навчального матерiалу теми 2.Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої

контрольної роботи.

Умова домашньої контрольної роботи1. Пряма AB i точки C, D не лежать в однiй площинi. Доведiть, що

прямi AB i CD не перетинаються.2. Чи лежить у площинi трикутника пряма, що перетинає двi його

сторони? Вiдповiдь обґрунтуйте.


3. Чи можна через три точки, що належать однiй прямiй, провестидвi рiзнi площини? Вiдповiдь обґрунтуйте.

4. Через точку D, що не лежить на прямiй a, проведено прямi b i c,якi перетинають пряму a. Доведiть, що прямi a, b i c лежатьв однiй площинi.

5. Задано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Побудуйте:1) перерiз куба площиною A C D1 1 ;2) точку перетину прямої SF iз площиною ABB1 , де S A D∈ 1 1 ,F B C∈ 1 1 .

Урок № 14Тематична контрольна робота № 2

Мета: перевiрити: рiвень засвоєння учнями знань i вмiнь щодозмiсту основних понять теми 2; якiсть сформованих умiнь розв’язу�вати задачi iз застосуванням наслiдкiв iз аксiом стереометрiї та задачна побудову перерiзiв многогранникiв iз використанням аксiоми проперетин двох площин.

Тип уроку: контроль, корекцiя знань i вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою № 2(роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).


Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основнихпонять теми й навичок оволодiння прийомами їх застосування дорозв’язування програмових задач.


Варiант 11. Скiльки площин можна провести через кiнцi однiєї дiагоналi па�

ралелограма й середину iншої?

А Б В Г

Одну Жодної Безлiч Вiдповiдь вiдрiзняється вiд наведених

74 С. П. Бабенко Усі уроки геометрії. 10 клас 75

2. Одна з вершин трикутника ABC лежить у площинi α. Площини αі ABC…

А Б В Г

не збiгаються мають лише однуспiльну точку

збiгаються мають безлiчспiльних точок

3. Точка A не належить променю BC. Через точки A, B i C…

А Б В Г

не проходитьжодної площини

проходить однаплощина

проходить хоча бодна площина

проходить безлiчплощин

4. Єдину площину можна провести через…

А Б В Г

два вiдрiзки двi хорди висоту i бiсектрисуодного з кутiв три�кутника

вершину трикутни�ка i центри описано�го та вписаного кiл

Наведiть повне розв’язання задач.5. Доведiть, що якщо дiагоналi чотирикутника перетинаються, то

його вершини лежать в однiй площинi.6. Двi рiзнi прямi перетинаються в точцi A. Доведiть, що всi прямi,

якi перетинають заданi двi прямi i не проходять через точку A, ле�жать в однiй площинi.

7. Задано трикутник ABC i точку S, що не належить площинi три�кутника. Точки M i K — середини вiдрiзкiв BC i AC вiдповiдно.Чи перетинаються площини ASM i BMK?Варiант 2

1. Якщо через пряму AB i точку M можна провести бiльше нiж однуплощину, то прямi MA i MB…

А Б В Г

не збiгаються збiгаються перетинаються або збiгаються, або перетинаються

2. Вершини A i B трикутника ABC лежать у площинi α. Площини αі ABC…

А Б В Г

не збiгаються перетинаютьсяпо прямiй

мають безлiчспiльних точок

збiгаються

3. Точка A не належить вiдрiзку BC. Через точки A, B i C…

А Б В Г

проходить хоча бодна площина

проходить лишеодна площина

не проходитьжодної площини

проходить безлiчплощин

4. Єдину площину можна провести через…

А Б В Г

точку i вiдрiзок двi прямi середнi лiнiї три�кутника

точку i пряму

Наведiть повне розв’язання задач.5. Точка C лежить на прямiй AB, точка D не лежить на прямiй AB.

Доведiть, що площини ABD i CDB збiгаються.6. Задано прямi a i b, що перетинаються. Точки A1 i A2 лежать на пря�

мiй a, точки B1 i B2 — на прямiй b. Доведiть, що прямi A B1 1 i A B2 2

лежать в однiй площинi.7. Задано прямокутник ABCD i точку S, що не належить його пло�

щинi. Чи перетинаються площини BSD i MNK, де M, N, K — се�редини вiдрiзкiв AB, BC i BS вiдповiдно?


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи № 2 (заготовлених учителемзаздалегiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити: змiст понять: паралельнi прямi, аксiоми стерео�

метрiї, паралелограм, трапецiя, середнi лiнiї трикутника та трапецiї,властивостi вiдношень.


ТЕМА 3. ПАРАЛЕЛЬНIСТЬ ПРЯМИХ I ПЛОЩИНУ ПРОСТОРI

Урок № 15Паралельнi й мимобiжнi прямi

Мета: повторити, узагальнити й систематизувати знання, набутiучнями пiд час вивчення планiметрiї про взаємне розмiщення двохпрямих на площинi, а також доповнити цi знання вiдомостями проможливi випадки взаємного розмiщення двох прямих у просторi; до�могтися свiдомого засвоєння поняття про мимобiжнi прямi.

Працювати над засвоєнням учнями змiсту та схеми доведення те�ореми про проведення площини через двi паралельнi прямi; система�тизувати знання учнiв щодо способiв задання єдиної площини в сте�реометрiї.

Сформувати первинi вмiння вiдтворювати вивченi означення татеореми, а також використовувати їх для розпiзнання геометричнихоб’єктiв i розв’язування опорних задач.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь i навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Взаємне розмiщення двохпрямих у просторi».

Хiд уроку



На цьому етапi уроку бажано надати учням iнформацiю про:

орiєнтовний план вивчення теми;

кiлькiсть навчальних годин;

приблизний змiст матерiалу;

основнi вимоги до знань i вмiнь учнiв;

термiн проведення контрольної роботи;

орiєнтовний змiст завдань, що будуть винесенi на контроль.


Учитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнитиякiсть виконання аналiзу контрольної роботи.

77


Формуванню вiдповiдної мотивацiї навчальної дiяльностi науроцi сприяє розумiння учнями логiки вивчення стереометрiїу 10 класi. Учитель ще раз звертає увагу учнiв на те, що пiсля вив�чення аксiом стереометрiї та наслiдкiв iз них наступним крокомє розгляд взаємного розмiщення основних фiгур простору — пря�мих i площин.

Проаналiзувавши результати вивчення теоретичного матерiалупопереднiх урокiв, учнi самостiйно або за допомоги вчителя усвiдом�люють, що спочатку слiд придiлити увагу розгляду взаємного ро�змiщення двох прямих. Пiсля бесiди вчителю залишається узагаль�нити сказане i сформулювати завдання на цей та наступнi чотириуроки — розглянути означення, властивостi всiх можливих вiдно�шень мiж двома прямими у просторi. Завдання на цей урок — ви�вчення означень паралельних, мимобiжних прямих.


Виконання усних вправЗ метою успiшного засвоєння учнями матерiалу уроку доцiльно

запропонувати для усного виконання вправи на повторення такихпитань: означення паралельних прямих на площинi; аксiоми стерео�метрiї; означення i властивостi паралелограма, трапецiї; означеннясередньої лiнiї трикутника та трапецiї.

1. На кожному з рисункiв визначте градусну мiру кута x. Вiдповiдьобґрунтуйте.

2. ABCD — паралелограм. Скiльки щечотирикутникiв ви бачите на цьомурисунку? Чи є серед них паралелогра�ми, трапецiї?

3. Дiагональ прямокутника дорiвнює a.Чому дорiвнює периметр чотирикут�ника, вершини якого є серединамицього прямокутника?


x

30°

x

50°73°

70°

70°50°

x

60°

70°60°

B C

DK

M

A

4. Пояснiть, що означають такi висловлення: «можна провести пло�щину», «можна провести не бiльше нiж одну площину», «площи�на визначена», «площина невизначена».

5. Доведiть, що двi прямi у просторi не можуть перетинатися бiльшнiж в однiй точцi.

6. Дано двi прямi, але через них не можна провести площину. До�ведiть, що цi прямi не перетинаються.


План вивчення нового матерiалу1. Взаємне розташування двох прямих:

а) на площинi; б) у просторi.2. Означення паралельних прямих. Позначення.3. Означення мимобiжних прямих.4. Теорема про проведення площини через двi паралельнi прямi.

Узагальнення матерiалу про способи задання єдиної площини.Змiст навчального матерiалу, що має бути розглянутий науроцi, є традицiйним i складається з таких частин: перша час�тина мiстить матерiал, вiдомий десятикласникам iз урокiвпланiметрiї: випадки взаємного розмiщення двох прямих наплощинi — паралельнiсть та перетин; позначення паралельнихпрямих. Друга частина мiстить означення мимобiжних пря�мих, а також важливу з точки зору практичного застосуваннятеорему про проведення площини через паралельнi прямi.

Викладення цього матерiалу можна проводити або у формi еврис�тичної бесiди (близько до тексту пiдручника), або у формi практичноїроботи (залежно вiд рiвня пiзнавальної активностi учнiв). У будь�якому разi головне пiд час вивчення поняття мимобiжних прямих —це розставити акценти на таких моментах:

поняття прямих, що лежать в однiй площинi, i поняття мимо�бiжних прямих є взаємовиключними;якщо двi прямi лежать в однiй площинi, то не можна стверджува�ти, що вони є паралельними або, навпаки, обов’язково перетина�ються;iснує чотири основних способи задання єдиної площини;вiдношення паралельностi прямих застосовується до двох прямих;тому якщо дано три паралельнi прямi, то це не означає, що всi вонилежатимуть в однiй площинi (це бажано показати на моделях);традицiйно пiд час вивчення означення мимобiжних прямих до�сить велика кiлькiсть учнiв неправильно розумiє вiдмiннiсть мiжтвердженнями «прямi не лежать в однiй площинi» та «прямi


лежать у рiзних площинах». Отже, перед формулюванням озна�чення мимобiжних прямих слiд пояснити учням вiдмiннiсть мiжцими твердженнями та проiлюструвати прикладами.Пiд час вивчення нового матерiалу обов’язковою є побудова схе�

ми взаємного розмiщення прямих у просторi. Залежно вiд пiдходу докласифiкацiї взаємного розмiщення прямих у просторi схеми мо�жуть бути такими.

Конспект 11

Взаємне розташування прямих у просторi

Способи задання єдиної площини


Виконання усних вправ1. Чи правильно, що:

1) двi прямi, що не є паралельними, мають спiльну точку;2) двi прямi, що не є мимобiжними, лежать в однiй площинi;3) двi прямi, що лежать в однiй площинi, паралельнi;4) двi паралельнi прямi лежать в однiй площинi?

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . З’ясуйте взаємне розмiщення прямих:1) CD i B D1 ; 2) AB i C D1 1 ; 3) AC i DD1 ; 4) A D1 i B C1 ; 5) A C1 i AC1 .


перетинаються не перетина�ються

Дві прямі не ле�жать в одній пло�

не перетинають�ся — мимобіжні

Дві прямі лежатьв одній площині

Mα

ab

B

α

A

Aaba

b

α αα

a

bM

b

a

a b M∩ = a b| |

αA

α

aC

Виконання практичних вправВважаючи лiнiї перетину стiн, пiдлоги й стелi класної кiмнати

прямими, вкажiть:1) три паралельнi прямi, що не лежать в однiй площинi;2) двi мимобiжнi прямi;3) двi прямi, що перетинаються, i третю пряму, паралельну однiйiз них i мимобiжну з другою.

Виконання письмових вправ1. Визначте, яким може бути взаємне розмiщення прямих a i c, якщо:

1) прямi a i b перетинаються, а прямi b i c паралельнi;2) прямi a i b паралельнi, а прямi b i c мимобiжнi.Виконайте вiдповiднi рисунки.

2. Дано мимобiжнi прямi a i b, точку O, що не належить жоднiй iз за�даних прямих. Доведiть, що через точку O не можна провести двiпрямi, кожна з яких перетинає обидвi прямi a i b.

3. Пряма a лежить у площинi α. Пряма b паралельна прямiй a i про�ходить через точку B площини α. Доведiть, що пряма b також ле�жить у площинi α.

Додаткове завдання1. Чи можна стверджувати, що пряма, що перетинає одну з двох па�

ралельних прямих, перетинає i другу:1) на площинi; 2) у просторi?

2. Дано двi паралельнi прямi. Чи можна стверджувати, що прямi,якi перетинають кожну з цих прямих, лежать у площинi заданихпрямих?

Майже всi задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi,спрямованi на засвоєння означення паралельних та мимо�бiжних прямих, теореми про проведення площини через двiпаралельнi прямi, а також на розвиток просторової уявиучнiв. Особливу увагу слiд звернути на додаткову задачу 2,яка є однiєю з обов’язкових для розв’язування в цiй темi (їїварiацiю про прямi, що перетинають кожну з двох прямих,якi мають спiльну точку, було розв’язано в попереднiй темi)i пiд час розв’язування якої використовується теорема пропроведення площини через двi паралельнi прямi.


Контрольнi запитання1. Прямi a i b не мимобiжнi. Чи можна через них провести площину?2. Прямi a i b не перетинаються. Чи є вони мимобiжними?


3. Прямi a i b не паралельнi. Чи можна через цi прямi провести пло�щину?

4. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Укажiть прямi, для яких пряма, щомiстить ребро BB1 , буде:1) паралельною; 2) мимобiжною;3) лежати з ним в однiй площинi.


Вивчити змiст розглянутих на уроцi понять i формул (див. кон�спект 11).

Розв’язати задачi.1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Назвiть прямi, що мiстять ребро куба та:

1) паралельнi прямiй A B1 1 ; 2) перетинаються з прямою CC1 ;3) є мимобiжними з прямою BC.

2. Сконструюйте моделi просторових фiгур, що мiстять паралельнiй мимобiжнi прямi.

3. Прямi AB i CD мимобiжнi. Доведiть, що прямi AD i BC також ми�мобiжнi.

4. Паралелограми ABCD i A B CD1 1 не лежать в однiй площинi. До�ведiть, що ABB A1 1 — паралелограм.Повторити ознаки паралельностi прямих на площинi (див.

7 клас).

Урок № 16Ознаки паралельних i мимобiжних прямих

Мета: повторити змiст понять: означення, ознака та властивiстьгеометричної фiгури, вiдношення мiж фiгурами. Домогтися засвоєннязнань змiсту теорем, що виражають ознаки паралельностi прямиху просторi та мимобiжних прямих, а також схеми їх доведення.

Сформувати вмiння вiдтворювати змiст вивчених теорем, запису�вати їх вiдповiдно до умови задачi, використовувати вивченi форму�лювання для розв’язування задач на доведення.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Ознака паралельних пря�

мих. Ознака мимобiжних прямих».

Хiд уроку





Оскiльки письмовi вправи домашньої роботи вiдтворювали ситу�ацiї, аналогiчнi до розглянутих на попередньому уроцi, правильнiстьрозв’язання перевiряється за готовими рисунками у виглядi уснихвправ (з усним обґрунтуванням).

З метою перевiрки засвоєння теоретичного матерiалу можна про�вести блiцопитування.

Блiцопитування1. Прямi a i b мимобiжнi. Чи можна через цi прямi провести площину?2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки M i N належать ребрам AA1 i AB

вiдповiдно. Яким є взаємне розмiщення прямих:1) AB i MN; 2) BB1 i MN; 3) A D1 1 i MN;4) C A1 1 i AB; 5) C A1 1 i BB1 ; 6) C A1 1 i A D1 1 ;7) C B1 i AB; 8) C B1 i BB1 ; 9) C B1 i A D1 1 ?

3. Прямi a i b перетинаються. Як можуть розмiщуватися прямi b i c,якщо прямi a i c:1) паралельнi; 2) перетинаються; 3) мимобiжнi?

4. Прямi a i b мимобiжнi. Як можуть розмiщуватися прямi b i c, якщопрямi a i c:1) паралельнi; 2) перетинаються; 3) мимобiжнi?

5. Чи можуть паралельнi прямi лежати вiдповiдно на двох площи�нах, що перетинаються. Проiлюструйте вiдповiдь прикладом iзнавколишнього середовища.

ІІІ. Формулювання мети й завданьуроку

З метою створення ситуацiї, що допоможеусвiдомити учням необхiднiсть вивчення ма�терiалу уроку, вчитель може запропонуватиїм для виконання завдання.

Завдання 1. На рисунку ABCDA B C D1 1 1 1 —

куб, точка M лежить на ребрi AA1 , точка N —на ребрi AB. Чи правильно виконано ри�сунок?

Завдання 2. Дано тра�пецiю ABCD i паралело�грам BCEF, що не лежатьв однiй площинi. Чи мо�жуть прямi EF i AD бутимимобiжними?


D

A1B1

C1

N

M

D1

AB

C

Х

A

BC

EF

D

Проаналiзувавши наведенi ситуацiї, учнi розумiють, що в завдан�нi 1 помилка в тому, що зображенi на рисунку прямi MN i BC1 є ми�

мобiжними, отже, перетинатися не можуть (оскiльки вони б зада�вали площину, а це суперечить означенню мимобiжних прямих).Проте обґрунтування цього iз застосуванням означення мимобiжнихпрямих є проблематичним. У завданнi 2 iнша ситуацiя — названiпрямi не можуть бути мимобiжними. Учнi «вiдчувають», що вонипаралельнi, проте аргументувати свою точку зору, спираючись тiль�ки на означення паралельних прямих, не можуть. Отже, вiдбува�ється усвiдомлення недостатностi набутих на попередньому уроцiзнань для обґрунтування всiх можливих ситуацiй iз паралельнимита мимобiжними прямими.

Пiсля цього вчитель пропонує учням пригадати про iснуванняiнших, крiм означень, видiв тверджень (ознак та властивостей) i ви�значити, який саме iз них допоможе впоратись iз проблемою, що ви�никла пiд час розв’язування цих завдань.

Таким чином, iз загальної дидактичної мети, сформульованої напопередньому уроцi, видiляється завдання на цей урок — сформулю�вати, довести та навчитися використовувати ознаки паралельних тамимобiжних прямих. Розв’язання цього питання визначається якосновна мета уроку.


Виконання усних вправ1. Як треба розумiти, що прямi a i b у просторi не паралельнi?2. Що можна сказати про прямi a i b, якщо вiдомо, що вони не ми�

мобiжнi?3. Чи правильне твердження: «Оскiльки прямi a i b лежать у рiзних

площинах i не перетинаються, то вони мимобiжнi»?4. Що можна сказати про прямi a i b, якщо вiдомо, що вони не пере�

тинаються?5. На рисунку зображено куб i три прямi, що перетинаються в однiй

точцi. Чи правильно виконано цей рисунок?


A

O

BC

EF

6. За рисунком знайдiть помилки в таблицi.

Прямi AB BB1 A D1 1

KP Перетинаються Мимобiжнi Перетинаються

C A1 1 Мимобiжнi Мимобiжнi Перетинаються

C B1 Перетинаються Перетинаються Мимобiжнi


План вивчення нового матерiалу1. Теорема (ознака паралельних прямих) iз доведенням.2. Властивiсть просторового чотирикутника.3. Ознака мимобiжних прямих.

Вивчення кожного питання плану можна провести близько дотексту пiдручника або у формi бесiди або можна запропонува�ти учням самостiйно опрацювати текст пiдручника iз скла�данням конспекту за наведеним планом. Пiд час вивчення те�ми придiляємо особливу увагу таким моментам:

оскiльки в просторi iснують прямi, що перетинають тiльки одну iззаданих паралельних прямих, то традицiйнi в планiметрiї ознакипаралельностi (через кути, утворенi в результатi перетину двохпрямих сiчною) не «працюють»; саме тому в просторi розгляда�ється ознака паралельностi через третю пряму, що паралельнакожнiй iз заданих двох прямих (пригадаймо, що вона також вивча�лась у планiметрiї (див. 7 клас), проте в 10 класi ця теорема набуваєбiльш широкого змiсту);паралельнiсть двох заданих прямих третiй не означає, що всi трипрямi лежать в однiй площинi;як наслiдок доведеної теореми формулюється та доводиться влас�тивiсть просторового чотирикутника;доведення ознак паралельних та мимобiжних прямих проводитьсядосить поширеним в стереометрiї методом мiркувань — методомвiд супротивного.


AB

D

A1 B1

C

C1D1K

P

Пiд час розв’язування задачi про властивiсть просторового чотири�кутника слiд акцентувати увагу учнiв на кiлькох можливих способахдоведення того факту, що середини сторiн просторового чотирикутни�ка є вершинами паралелограма, проте найбiльш рацiональним є дове�дення iз застосуванням ознаки паралельностi прямих у просторi таознаки паралелограма за двома протилежними сторонами.


Конспект 12

Ознака паралельних прямих. Ознака мимобiжних прямих

1. Двi прямi, паралельнi третiй, паралельнi мiж собою.

2. Якщо одна з двох прямих лежить у площинi, а друга перетинає цюплощину в точцi, що не лежить на першiй прямiй, то такi прямi ми�мобiжнi.

3. Якщо точки A, B, C i D — вершини просторового чотирикутника, то се�редини вiдрiзкiв AB, BC, CD i AD є вершинами паралелограма.


a

b

ca c

b ca b

| |

| || |

⎫⎬⎭

⇒

a

b

A

a

b А

A a

⊂∩ =∉

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

αα a i b — мимобiжнi

α

B

D

M P

KN

CA


Виконання усних вправ1. На рисунку ABCDA B C D1 1 1 1 —

куб, точка M лежить на ребрiAA1 , точка N — на ребрi AB. Чиправильно виконано рисунок?

2. Дано трапецiю ABCD i парале�лограм BCEF, що не лежатьв однiй площинi. Чи можутьпрямi EF i AD бути мимобiж�ними?

3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . На�звiть прямi, що мiстять реброкуба та:1) паралельнi прямiй A B1 1 ;2) перетинаються з прямою CC1 ;3) є мимобiжними з прямою BC.

Виконання письмових вправ1. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Доведiть, що пряма,

яка проходить через середини вiдрiзкiв BC i CD, паралельнапрямiй, що проходить через середини вiдрiзкiв BA i AD.

2. Паралелограми ABCD i ABEF не лежать в однiй площинi. До�ведiть рiвнiсть трикутникiв CBE i DAF.

3. Ромб AMND i трапецiя ABCD з основою BC не лежать в однiй пло�щинi.1) Визначте взаємне розмiщення прямих MN i BC.2) Знайдiть площу ромба, якщо MN = 5 см, BC = 3 см, а висотаромба дорiвнює середнiй лiнiї трапецiї.

4. Точка P не лежить у площинi чотирикутника ABCD, точка K —середина вiдрiзка PA. Доведiть, що прямi PB i KD мимобiжнi.

5. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Точки M, N, P i Q —середини вiдрiзкiв BD, CD, AB i AC вiдповiдно, AD = 16 см, BC == 18 см. Знайдiть периметр чотирикутника MNQP.

Додаткове завдання (на повторення)Площини α i β перетинаються по прямiй a. У площинi β проведено

пряму b, що перетинає площину α. Доведiть, що точка перетину b i αналежить прямiй a.

Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на закрiплення знань учнiв змiсту ознак паралельних та


BC

A1 D1

M

N

C1B1

DA

A

C

EF

D

B

мимобiжних прямих, формування вмiнь використовуватиумови цих теорем для доведення паралельностi двох прямихабо того, що заданi двi прямi мимобiжнi. Крiм того, розв’язу�вання задачi 5 сприяє подальшому засвоєнню стандартнихспособiв дiй пiд час доведення властивостi просторовогочотирикутника.


Контрольнi запитанняЧи правильнi твердження?1) Усi прямi, паралельнi заданiй, мiж собою паралельнi;2) усi прямi, паралельнi заданiй, лежать в однiй площинi;3) якщо одна з двох прямих перетинає деяку площину в точцi, щоне лежить на другiй прямiй, то цi двi прямi мимобiжнi;4) якщо одна з двох прямих лежить у площинi, а друга — не ле�жить у цiй площинi, то цi прямi — мимобiжнi;5) середини сторiн чотирикутника є вершинами паралелограма.


Вивчити змiст вивчених на уроцi формул та способiв дiй (див.конспект 12).

Розв’язати задачi.1. Дано паралельнi прямi a i b. Пряма c перетинає пряму a i не пере�

тинає пряму b. Доведiть, що прямi b i c мимобiжнi.2. Прямi m i n мимобiжнi. Точки A i B належать прямiй m, а точки C

i D — прямiй n. Чи можуть вiдрiзки AC i BD мати спiльну середи�ну? Вiдповiдь обґрунтуйте.

3. Трапецiї ABCD i AB C D1 1 мають спiльну основу AD i не лежатьв однiй площинi, причому BC B C≠ 1 1 .1) Доведiть, що BB C C1 1 — трапецiя.2) Знайдiть основи трьох заданих трапецiй, якщо їх середнi лiнiїдорiвнюють 7 см, 8 см i 9 см.

4. Пряма m не лежить у площинiтрикутника ABC (див. рисунок).Визначте взаємне розмiщенняпрямих DD1 i FF1 .Повторити: аксiоми стереометрiї

та наслiдки з них; означення пара�лельних та мимобiжних прямих.


m

C

D

D1

F1

F

BA

Урок № 17Розв’язування задач

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означення та ознакпаралельних i мимобiжних прямих, вивчених на попереднiх уроках.

Сформувати вмiння i навички використовувати вивченi поняттядля розв’язування задач на визначення взаємного розташуваннядвох прямих у просторi (з обґрунтуванням).

Тип уроку: застосування знань, формування навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 11–12.

Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань, якiзаписуються на дошцi учнями або надаються вчителем у формi роз�давального матерiалу для iндивiдуальної роботи учнiв — залежно вiдрiвня математичної пiдготовки учнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту матерiалу та формул, вивче�них на попереднiх уроках, можна провести у формi математичногодиктанту або тестового завдання, або iншого виду завдань. Вiдповiдiна запитання диктанту (тестового завдання) перевiряються i коригу�ються одразу пiсля виконання роботи.

Математичний диктантІз наведених тверджень виберiть правильнi:1) якщо прямi a i b не перетинаються, то вони обов’язково перети�наються;2) якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, товона перетинає й iншу;3) якщо прямi a i b не паралельнi однiй i тiй самiй прямiй, то вонине паралельнi мiж собою;4) паралельнi прямi можуть лежати вiдповiдно у двох площинах,що перетинаються;5) якщо пряма c перетинає двi паралельнi прямi a i b, то прямi обо�в’язково лежать в однiй площинi;6) якщо прямi a i b мимобiжнi й прямi b i c мимобiжнi, то мимо�бiжними є й прямi a i c.


У зошитах учнi записують тiльки номери правильних тверджень.Усi необхiднi для розв’язування задач рисунки учнi виконують начернетках.


Головна мета уроку — сформувати сталi вмiння та навички засто�совувати до розв’язування задач означення, ознаки паралельнихi мимобiжних прямих.

ІV. Вiдтворення i систематизацiя опорних знань, умiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попереднiх двох уроках за змiстом конспектiв 11–12.

V. Формування вмiнь


1. Чи правильно, що двi паралельнi прямi лежать в однiй площинi?

2. Чи правильно, що двi прямi, якi лежать в однiй площинi, пара�лельнi?

3. Чи правильно, що якщо двi прямi в просторi не перетинаються, товони паралельнi?

4. Чи правильно, що якщо двi прямi у просторi не перетинаються, товони мимобiжнi?

5. Визначте взаємне розмiщення прямих a i b, якщо пряма a лежитьу площинi α, а пряма b перетинає площину α в точцi, що не лежитьна прямiй a.

6. Визначте взаємне розмiщення прямих a i b, якщо площина αмiстить пряму a i перетинає пряму b у точцi, що не лежить напрямiй a.

7. Пряма l перетинає площину трикутника ABC у точцi B. Назвiтьпряму, що мимобiжна прямiй l i мiстить сторону цього трикут�ника.


1. На однiй iз двох прямих, що перетинаються, вибрано точку й че�рез неї проведено пряму, паралельну iншiй прямiй. Доведiть, щоцi три прямi лежать в однiй площинi.

2. Точка D не належить площинi трикутника ABC. Точки M, N, Pі —Q середини вiдрiзкiв AD, AB, BC i CD вiдповiдно. Доведiть, щоMN PQ| | .

3. Двi мимобiжнi прямi a i b вiдповiдно паралельнi прямим m i n. Чиправильно, що прямi m i n мимобiжнi?


4. Через вершину трикутника ABC проведено пряму a, що не нале�жить площинi трикутника. Доведiть, що прямi a i BM — ми�мобiжнi, де точка M — середина сторони AC.

5. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Точки M, N, K i F —середини вiдрiзкiв AB, BD, DC i AC вiдповiдно. Доведiть, що вiд�рiзки MK i NF перетинаються i точкою перетину дiляться навпiл.

Запропонованi задачi для письмового розв’язування сприя�ють подальшому засвоєнню означень, ознак паралельнихi мимобiжних прямих, формуванню сталих навичок застосо�вувати знання в стандартних ситуацiях. Пiд час розв’язуван�ня письмових задач 3 i 5 вiдбувається подальше удосконален�ня вмiнь працювати в просторовому чотирикутнику.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивчених понять. Класифiкацiю можна про�вести за рiзними критерiями.


Повторити означення та ознаки (див. конспекти 11–12).Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботи1. Через точку O перетину дiагоналей паралелограма ABCD проведе�

но пряму OK, що не перетинає його сторiн. Доведiть, що прямi OKi BC — мимобiжнi.

2. Трикутник ABK i паралелограм ABCD лежать у рiзних пло�щинах. Точки M i N — середини вiдрiзкiв AK i BK вiдповiдно.Обґрунтуйте взаємне розмiщення прямих MN i DC; прямих MNі BD.

3. ABCDA B C D1 1 1 1 — куб. Серед прямих, визначених точками рисун�ка, вкажiть прямi, паралельнi прямiй A D1 1 . Визначте взаємне ро�змiщення прямої AD1 вiдносно прямих площини ABC.

4. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Доведiть, щовiдрiзки, що сполучають середини вiдрiзкiв AB i CD, AD i BC, ACi BD, перетинаються в однiй точцi i точкою перетину дiлятьсянавпiл.



Урок № 18Властивостi паралельних прямих

Мета: домогтися усвiдомленого засвоєння учнями змiсту теоремипро iснування та єдинiсть прямої, паралельної заданiй, працюватинад засвоєнням опорного факту про площину паралельних прямих,що перетинають задану пряму.

Сформувати первиннi вмiння:вiдтворювати змiст вивчених тверджень та використовувати їх дляаргументацiї мiркувань;розв’язувати задачi, що передбачають застосування вивчених науроцi властивостей разом iз попередньо засвоєним теоретичнимматерiалом.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi паралельних

прямих».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити для перевiрки виконання домашньої са�мостiйної роботи. У разi необхiдностi учнi отримують правильнi роз�в’язання задач для самостiйного опрацювання вдома.


На цьому етапi вчитель має нагадати учням про те, що перед по�чатком вивчення теми «Взаємне розмiщення прямих у просторi»було поставлено завдання вивчити означення, ознаки та властивостiвiдношень мiж прямими у просторi. Узагальнивши в ходi бесiдизмiст вивченого на попереднiх трьох уроках матерiалу, доходимовисновку, що властивостi вiдношень мiж двома прямими ще не роз�глядалися. Таким чином, iз загальної мети (див. урок 15) виокрем�люється остання змiстова частина — вивчення властивостей пара�лельних прямих i формування вмiнь їх застосовувати. Учительформулює мету уроку.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалуслiд запропонувати учням вiдтворити:

означення та ознаки паралельних, мимобiжних прямих;


ознаки та властивостi паралельностi прямих на площинi;аксiоми стереометрiї та наслiдки з них;означення, властивостi середнiх лiнiй трикутника i трапецiї;ознаки подiбних трикутникiв;змiст поняття «властивiсть геометричної фiгури».Актуалiзацiю опорних знань можна провести у формi бесiди або

iнтерактивної вправи «Закiнчи речення».Виконання вправи «Закiнчи речення»

1. Двi прямi, що лежать в однiй площинi i не перетинаються…2. Мимобiжними називаються прямi…3. Двi прямi, паралельнi третiй…4. Через пряму i точку, що не лежить на цiй прямiй, можна…5. Через двi прямi, що перетинаються, можна…6. Вiдрiзок, що сполучає середини двох сторiн трикутника, нази�

вається…7. Середня лiнiя трикутника паралельна…8. Вiдрiзок, що сполучає середини бiчних сторiн трапецiї, називається…9. Середня лiнiя трапецiї дорiвнює…

10. Якщо два кути одного трикутника дорiвнюють двом кутам iншоготрикутника, то цi трикутники…

V. Засвоєння нових знаньПлан вивчення нового матерiалу

1. Теорема про проведення прямої, паралельної заданiй.2. Властивiсть площини паралельних прямих, що перетинають за�

дану пряму (опорна задача).Викладення цього матерiалу можна провести близько до тек�сту пiдручника або у формi бесiди, або у формi самостiйної ро�боти учнiв iз текстом пiдручника. Пiд час вивчення нового ма�терiалу акцентуємо увагу учнiв на таких моментах:

властивiсть паралельних прямих на площинi й у просторi маютьоднакове звучання, проте у просторi ця теорема має бiльш широ�кий змiст;зазначена теорема складається з двох частин: iснування прямої,паралельної заданiй, i єдинiсть такої прямої. Отже, доведення цiєїтеореми складається з двох частин;розгляд опорної задачi дає змогу, розв’язуючи традицiйнi в цiйтемi задачi про перетин вiдрiзка паралельними прямими, не дово�дити кожного разу те, що цi прямi лежать в однiй площинi. Отже,ця опорна задача значно спрощує побудову рисунка до задачi i їїрозв’язування.


Конспект 13

Властивостi паралельних прямих

1. Через точку простору, що не лежить на прямiй, можна провести пря�му, паралельну заданiй, i тiльки одну.

A a∉ ⇒ 1) iснує b: A b∈ , b a| |

2) b — єдина.

2. Усi паралельнi прямi, що перетинають задану пряму, лежать з неюв однiй площинi.

a b c

d a

d b

d c

| | | |

∩∩∩

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ a ⊂ α, b ⊂ α, c ⊂ α, d ⊂ α


Виконання усних вправНа рисунку AA BB CC1 1 1| | | | . Чи нале�

жать цi прямi однiй площинi? Як тре�ба змiнити рисунок, якщо додати доумов задачi iснування прямої l, яка пе�ретинає всi заданi прямi?

Виконання письмових вправ1. Вiдрiзок AB не перетинає площину α. Через кiнцi вiдрiзка i його

середину — точку C, проведено паралельнi прямi, що перетина�ють площину α в точках A1 , B1 i C1 вiдповiдно.

1) Доведiть, що точки A1 , B1 i C1 лежать на однiй прямiй.

2) Знайдiть CC1 , якщо AA1 6= см, BB1 10= см.

2. Площина α проходить через кiнець A вiдрiзка AB. Через кiнець Bi точку C цього вiдрiзка проведено паралельнi прямi, що перети�нають площину α в точках B1 i C1 вiдповiдно. Знайдiть:

1) BB1 , якщо CC1 6= см, AC AB: := 3 4;


a

b

α

α

A B

B1A1

C

C1

b

A

a

cd

2) AB, якщо CC1 4= см, BB1 6= см, AC = 8 см;

3) CC1 , якщо BB1 12= см, AC = 16 см, CB = 8 см.


Двi сусiднi вершини i точка перетину дiагоналей трапецiї нале�жать площинi α. Чи належать площинi α двi iншi вершини трапецiї?

Пропонованi задачi є рiзними за рiвнем складностi, проте схо�жими за змiстом варiантами обов’язкової для розв’язуванняв цiй темi задачi i передбачають застосування саме тверджен�ня опорної задачi. Тому розв’язування цих задач проводитьсяза певним планом: розглядаються групи паралельних пря�мих, що перетинаються однiєю прямою, далi робиться висно�вок, про те, що всi вони лежать у однiй площинi, пiсля чогопроводиться перехiд вiд просторових об’єктiв до плоскихфiгур (трикутникiв, трапецiй). Далi розв’язування стереомет�ричної задачi зводиться до розв’язування планiметричної за�дачi iз використанням вiдповiдного матерiалу (означення тавластивостi середнiх лiнiй трикутника та трапецiї, ознак по�дiбних трикутникiв тощо).

Залежно вiд рiвня математичної пiдготовки учнiв та наявностiчасу можна запропонувати для розв’язування бiльш складнi задачiтакого змiсту: 1) через кiнцi вiдрiзка, що перетинає деяку площину,та його середину проведенi паралельно прямi, що перетинають цюплощину у вiдповiдних точках. За деякими вiдомими величинамизнайти певну величину; 2) через вершини паралелограма, що не пе�ретинає деяку площину, та точку перетину його дiагоналей прове�денi паралельнi прямi, що перетинають цю площину у вiдповiднихточках. За деякими вiдомими величинами знайти певну величину.


Контрольнi запитання

Точка M лежить на прямiй m. Через точку M провели двi прямi ai b, що не перетинають пряму m. Чи можливо це:

1) на площинi;

2) у просторi?

Чи можливо, щоб:

1) обидвi прямi a i b були паралельними прямiй m;

2) одна пряма була паралельною, а друга лежала з прямою mв однiй площинi;

3) обидвi прямi a i b були мимобiжними прямiй m?



Вивчити змiст засвоєних на уроцi понять (див. конспект 13).Розв’язати задачi.

1. Кiнець A вiдрiзка AB лежить у площинi α. Через точку B i точкуC — середину вiдрiзка AB, проведено паралельнi прямi, що пере�тинають площину α в точках B1 i C1 вiдповiдно.1) Доведiть, що точки A, B1 i C1 лежать на однiй прямiй.2) Знайдiть довжину вiдрiзка BB1 , якщо CC1 8= см.

2. Вiдрiзок AB перетинає площину α. Через кiнцi вiдрiзка i його се�редину — точку C, проведено паралельнi прямi, що перетинаютьплощину α в точках A1 , B1 i C1 вiдповiдно.1) Доведiть, що точки A1 , B1 i C1 лежать на однiй прямiй.2) Знайдiть CC1 , якщо AA1 6= см, BB1 10= см.Повторити: змiст конспектiв 11–12, означення та властивостi се�

реднiх лiнiй трикутника та трапецiї, ознаки подiбних трикутникiв.


Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями змiсту теорем,що виражають властивостi паралельних прямих у просторi, ознакпаралельних та мимобiжних прямих. Формувати сталi вмiннявiдтворювати змiст вивчених тверджень (означень, ознак та власти�востей паралельних та мимобiжних прямих), а також використову�вати цi твердження для аргументацiї мiркувань пiд час розв’язуван�ня задач вiдповiдного змiсту.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 11–13.

Хiд уроку




Учитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити роз�в’язання домашнiх задач як домашню самостiйну роботу або провес�ти перевiрку домашнього завдання у формi перевiрки за зразком.

Рiвень засвоєння знань i вмiнь попереднього уроку можна пере�вiрити пiд час виконання учнями завдань математичного диктанту.За необхiдностi проводиться робота з корекцiї знань.


Математичний диктант1. Чи правильне твердження: «Якщо одна з двох паралельних пря�

мих належить деякiй площинi, то й друга пряма належить цiйплощинi»?

2. Чи може пряма в просторi перетинати одну з двох паралельнихпрямих i не перетинати iншу?

3. Чи правильне твердження: «Якщо двi прямi у просторi не перети�наються, то вони паралельнi»?

4. Прямi a, b i c паралельнi i перетинають площину α в точках A, B i Cвiдповiдно, причому AC = 5, AB = 4, BC = 2. Пряма d перетинаєпрямi a, b i c у точках A1 , B1 i C1 вiдповiдно.Чи правильно виконано рисунок?

5. Пряма l перетинає площину трикутника ABC у точцi B. Яка зiсторiн трикутника лежить на прямiй, що є мимобiжною з прямоюl?

6. ABCD i AMND — паралелограми, що не лежать в однiй площинi.Визначте вид чотирикутника BCMN.


На цьому етапi уроку вчитель ще раз нагадує учням про загальнумету вивчення теми. Пiсля узагальнення вивченого на попередньомууроцi теоретичного матерiалу виникає необхiднiсть удосконалити цiзнання. Це можна зробити тiльки пiд час розв’язування задач. Роз�в’язування задач також сприяє кращому розумiнню теоретичногоматерiалу, формуванню сталих умiнь i навичок застосовувати набутiзнання на практицi. Успiшна робота в цьому напрямi — основнамета нашого уроку.


Повторення основних теоретичних питань теми вiдбулося пiд часвиконання завдань математичного диктанту та його перевiрки. Єдинийключовий момент, на який можна звернути ще раз увагу на цьому


a b

α

C1

A

A1

c

B1

d

CB

етапi уроку — це властивiсть площини паралельних прямих, що пе�ретинаються однiєю прямою (можна ще раз проаналiзувати завдання4 математичного диктанту).

V. Формування вмiнь

Виконання усних вправ за готовими рисунками1. Як побудувати точку F, якщо DF AC| | ?

2. Як побудувати точку S, якщо PS NK| | ?

3. Вiдомо, що SE NK| | , MS = 4, SN = 1. Чи може бути: ME = 6, EK = 3?

Виконання письмових вправ1. Трикутник ABC не перетинає площину α (див. рисунок). Через

його вершини, середини M i N сторiн AC i AB вiдповiдно, точкуK — середину вiдрiзка MN проведено паралельнi прямi, що пе�ретинають площину α в точках A1 , B1 , C1 , M1 , N1 , K1 вiдповiдно.Знайдiть довжину вiдрiзка KK1 , якщо AA1 7= см, BB1 9= см,CC1 15= см.


αA C

B

D

P

N

KMα

S

N

KMα

2. Точка P не належить площинi квадрата ABCD. Доведiть, що пря�ма, яка проходить через точки перетину медiан трикутникiв PABi PCD, паралельна прямим BC i AD.

3. Вершина D паралелограма ABCD лежить у площинi α. Через точ�ки A, B i C проведено паралельнi прямi, що перетинають площинуα в точках A1 , B1 i C1 вiдповiдно. Знайдiть довжину вiдрiзка BB1 ,якщо:1) AA1 3= см, CC1 13= см;2) AA a1 = , CC c1 = .

Додаткове завдання (на повторення)1. Доведiть, що вiдрiзки, якi сполучають середини мимобiжних ре�

бер тетраедра, перетинаються в однiй точцi й дiляться цiєю точ�кою навпiл.

2. Доведiть, що двi паралельнi прямi не можуть перетинати двi ми�мобiжнi прямi.

3. Прямi a i b та прямi b i c перетинаються. Чи правильно, що прямi ai c перетинаються?

Пiд час розв’язування найпростiших задач iз використаннямвластивостi площини паралельних прямих, що перетинаютьодну пряму, проводиться вiдпрацювання схеми дiй, складеноїна попередньому уроцi. Дiї виконуються за таким планом:

1) розглядаються групи паралельних прямих, що перетинаютьсяоднiєю прямою;2) робиться висновок, про те, що всi вони лежать у однiй пло�щинi;3) проводиться перехiд вiд просторових об’єктiв до розглядуплоских фiгур — трикутникiв, трапецiй;4) розв’язується планiметрична задача iз використанням вiдпо�вiдного матерiалу — означення та властивостi середнiх лiнiй три�кутника та трапецiї, ознаки подiбних трикутникiв тощо.


B1

C1

N1

K1

M1

A1

AB

C

M

N

K

α


Тестовi завдання1. Площини α i β перетинаються. Отже, прямi a i b, зображенi на ри,

сунку…

А Б В Г

мимо�бiжнi

перетина�ються

пара�лельнi

можуть бути розмiщенi по�рiзному за�лежно вiд розташування площин

2. Два прямокутники ABCD i AEFD лежать у рiзних площинах.Прямi BC i EF…

А Б В Г



мимо�бiжнi

можуть бути розмiщенi по�рiзному за�лежно вiд розташування площин

3. Дiагоналi протилежних граней AA B B1 1 i DD C C1 1 кубаABCDA B C D1 1 1 1 …

А Б В Г

паралельнi мимобiжнi паралельнi чи мимобiжнi перетинаються


Повторити змiст означень, ознак та властивостей паралельних тамимобiжних прямих (див. конспекти 11–13).

Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1

1. Площини трапецiї ABCD з основою AB та трикутника ABS незбiгаються, точки K i L — середини вiдрiзкiв AS i BS вiдповiдно.Визначте взаємне розмiщення прямих:1) DC i KL; 2) DL i KC; 3) CB i AS.

2. Площина α не збiгається з площиною трикутника ABC i прохо�дить через сторону AB. На продовженнi сторони AC позначеноточку C1 так, що точка C лежить мiж точками A i C1 .


a α

βb

1) Побудуйте точку B1 перетину площини α з прямою, що проходитьчерез точку C1 паралельно прямiй CB.

2) Знайдiть довжину вiдрiзка BB1 , якщо AC AB: := 3 2 i CC1 9= .

Варiант 21. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi, а точки M, N, P i Q —

середини вiдрiзкiв AB, BC, AD i DC вiдповiдно. Визначте взаємнерозмiщення прямих:

1) PQ i MN; 2) QM i PN; 3) AD i BC.

2. Через кiнець A вiдрiзка AB проведено площину α, а через кiнецьB — пряму, що перетинає площину α в точцi B1 . Точка C лежитьна вiдрiзку AB.

1) Побудуйте точку C1 перетину площини α з прямою, що прохо�дить через точку C паралельно прямiй BB1 .

2) Знайдiть довжину вiдрiзка BB1 , якщо AB = 6, AC CC: :1 2 5= .

Урок № 20Взаємне розмiщення прямої i площини у просторi. Ознакапаралельностi прямої i площини

Мета: сформувати в учнiв:

правильне уявлення про випадки взаємного розмiщення прямоїi площини у просторi;

усвiдомлене розумiння означення прямої, паралельної площинi.

Працювати над засвоєнням учнями змiсту й доведення ознаки па�ралельностi прямої площинi.

Сформувати вмiння:

вiдтворювати змiст вивчених на уроцi тверджень;

використовувати твердження для визначення виду взаємного роз�мiщення прямої та площини в конкретному випадку;

використовувати означення та ознаку паралельностi прямої i пло�щини для доведення їх паралельностi.

Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Взаємне розмiщення прямоїi площини у просторi».

Хiд уроку





Учитель збирає зошити з виконаною домашньою самостiйною ро�ботою. З метою корекцiї знань учнiв, якi потребують додаткової пе�дагогiчної уваги, вчитель роздає їм правильнi розв’язання домашнiхзадач із розгорнутими поясненнями.


На цьому етапi уроку можна скористатися прийомом, який буловикористано на уроцi 15.

Учитель ще раз звертає увагу учнiв на логiку будови курсу сте�реометрiї: пiсля введення основних фiгур вивчаються їх властивостi,що описують вiдношення мiж ними, у нашому випадку — це вiдно�шення паралельностi. Отже, пiсля розгляду паралельностi прямих,цiлком логiчним є вивчення питання про взаємне розмiщення пря�мої i площини.

Зрозумiло, що вивчення цього питання i є основною метою на�ступних трьох урокiв. Проте на цьому уроцi (знову ж за традицiйноюлогiкою вивчення геометричних фiгур та вiдношень мiж ними) ма�ють бути розглянутi означення та ознаки випадкiв взаємного ро�змiщення прямої i площини.


З метою свiдомого сприйняття учнями змiсту навчального мате�ріалу, необхiдно повторити:

аксiоми стереометрiї та наслiдки з них (зокрема, теорему про на�лежнiсть прямої площинi); означення паралельних та мимо�бiжних прямих;

теорему про проведення площини через двi заданi паралельнiпрямi.

Повторити зазначений теоретичний матерiал можна пiд часфронтальної бесiди або запропонувавши учням iнтерактивну вправу(наприклад, «Закiнчи речення»).

Фронтальна бесiда

1. Якi випадки взаємного розмiщення прямої i площини вам вiдомi?

2. Що означає висловлення «пряма належить площинi»?

3. Чи iснує ознака, за якою можна стверджувати, що пряма нале�жить площинi?

4. Як ви розумiєте висловлення «пряма перетинає площину»?

5. У якому випадку пряма не має спiльних точок із площиною?



План вивчення нового матерiалу1. Випадки взаємного розмiщення прямої i площини.2. Означення прямої, паралельної площинi. Позначення.3. Ознака прямої, паралельної площинi (з доведенням).

Змiст навчального матерiалу уроку є стандартним i вивча�ється за стандартною схемою iз використанням прийому ана�логiї iз взаємним розмiщенням двох прямих у просторi. Пiдчас викладення нового матерiалу акценти робимо на такихмоментах:

так само, як i для двох прямих, можливi три випадки взаємного ро�змiщення прямої i площини у просторi;так само, як i для двох прямих, паралельнiсть прямої i площинипередбачає вiдсутнiсть у них спiльних точок;так само, як i для двох прямих, для прямої i площини доведення па�ралельностi за означенням неможливе, тому одразу пiсля означенняпаралельностi прямої i площини вивчається вiдповiдна ознака, яка,до речi, доводиться тим самим методом — «вiд супротивного».

Конспект 14

Взаємне розмiщення прямої i площини у просторi. Ознака паралельностiпрямої i площини


Пряма i площина

не мають спiльнихточок — паралельнi

мають не менше нiжодну спiльну точку

α

мають бiльше нiжодну спiльну точ�ку — пряма ле�жить у площинi

мають тiльки однуспiльну точку —

перетинаються(пряма перетинає

площину)

a

A

BAB

∈∈

⎫⎬⎭

⇒ ⊂αα

αa B∩ =α

a | |αa

Ba

A

Bα α

Ознака паралельностi прямої i площини

Якщо пряма, що не належить площинi, паралельна якiй�небудь прямiйцiєї площини, то вона паралельна i самiй площинi

a

b

a b

a

∉⊂

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒αα α

| |

| |


Виконання усних вправ1. Чи можливо, щоб пряма a була не паралельна площинi α, але на

площинi α iснували б прямi, паралельнi a?2. Якi треба мати вiдомостi про пряму й площину, щоб зробити ви�

сновок, що вони не паралельнi?3. Чи правильне мiркування: «Точки A i B не лежать на площинi α,

причому вiдрiзок AB не має з площиною α спiльних точок. Отже,пряма AB паралельна площинi α»?

4. Скiльки прямих, паралельних площинi, можна провести через за�дану точку?

Виконання письмових вправ1. Основа BC трапецiї ABCD паралельна площинi β, що мiстить точ�

ку A. Доведiть, що:1) основа AD лежить у площинi β;2) середня лiнiя трапецiї паралельна площинi β.

2. Точка P не лежить у площинi прямокутника ABCD.1) Доведiть, що пряма AB паралельна площинi PCD.2) Назвiть сторону прямокутника, паралельну площинi PCD.

3. Доведiть, що через точку, яка не належить площинi, можна про�вести пряму, паралельну цiй площинi.

Додаткове завданняПряма a не лежить у площинi α. Доведiть, що коли пряма a i пло�

щина α паралельнi однiй i тiй самiй прямiй b, то вони паралельнi мiжсобою.

Вправи, що мають виконуватись усно, бажано супроводжува�ти створенням динамiчних моделей iз пiдручних засобiв (учнiможуть працювати в парах). Вправи для письмового виконан�ня спрямованi на свiдоме засвоєння означення та ознаки пара�


α

a

b

лельностi прямої площинi, а тому пiд час їх виконання бажа�но вимагати вiд учнiв розгорнутих та послiдовних пояснень iзвикористанням зазначених тверджень.


Контрольнi запитанняЧи правильнi твердження?1) Якщо пряма не паралельна площинi, то вона перетинає цюплощину;2) якщо пряма не лежить у площинi, то вона паралельна цiй пло�щинi;3) якщо пряма паралельна якiй�небудь прямiй площини, то цяпряма паралельна площинi;4) якщо пряма, що не лежить у площинi, не паралельна якiй�небудь прямiй цiєї площини, то задана пряма перетинає площину.


Вивчити змiст теоретичного матерiалу (див. конспект 14).Розв’язати задачi.

1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Назвiть:1) ребра, паралельнi площинi BCC1 ;2) площини граней, паралельнi ребру AD.

2. Вiдрiзок AB i площина γ не мають спiльних точок. Чи правиль�но, що:1) вiдрiзок AB паралельний площинi γ;2) пряма AB паралельна площинi γ?

3. Пряма a паралельна площинi α. Чи правильно, що пряма a пара�лельна будь�якiй прямiй площини α? Чи правильно, що в пло�щинi α iснує пряма, паралельна прямiй a?

4. Чи можна сформулювати ознаку паралельностi прямої i площиниу виглядi: «Пряма, паралельна якiй�небудь прямiй заданої пло�щини, паралельна й самiй площинi»?

5. Вершини B i C паралелограма ABCD належать площинi α, що незбiгається з площиною паралелограма. Доведiть, що пряма AD па�ралельна площинi α.

6. Точки A i C належать площинi α, точка B не належить цiй пло�щинi. Доведiть, що пряма, яка проходить через середини вiдрiз�кiв AB i BC, паралельна площинi α.Помiркувати над питанням.Як можуть бути розташованi двi прямi, паралельнi до однiєї пло�

щини, а також двi площини, паралельнi до однiєї i тiєї самої прямої?


Урок № 21Властивостi прямої, що паралельна площинi

Мета: працювати над засвоєнням учнями теореми про влас�тивiсть паралельних прямої i площини, а також опорних вiдомостейпро пряму, паралельну двом площинам, що перетинаються; сформу�вати первиннi вмiння вiдтворювати цi твердження, розв’язувати за�дачi з використанням вивчених понять.

Продовжувати роботу iз закрiплення знань означення та ознакипрямої, паралельної площинi, а також iз формування вмiнь викорис�товувати вивченi поняття для розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивiсть прямої, пара�лельної площинi».

Хiд уроку




Оскiльки на попередньому уроцi було вивчено низку нових по�нять, перевiрку виконання домашнiх вправ (як усних, так i письмо�вих) проводимо фронтально (за готовими рисунками з коментарем).Зошити тих учнiв, якi мають низький рiвень навчальних досягнень,перевiряємо окремо.


За логiкою вивчення геометрiї, пiсля вивчення означення таознаки прямої, паралельної площинi, випливає необхiднiсть розгля�нути властивостi цього вiдношення. Отже, завдання на цей урок —вивчення властивостей прямої, паралельної площинi.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку можна запропонувати для виконання вправи такого змiсту.


1. Чи можливо, щоб пряма a була не паралельна площинi α, алеу площинi α iснувала б пряма, паралельна прямiй a?

2. Пряма a паралельна площинi α. Чи iснує у площинi α пряма, непаралельна прямiй a?


3. Прямi a i b паралельнi. Як можуть бути розмiщенi пряма b i пло�щина α, якщо:1) пряма a i площина α паралельнi;2) пряма a i площина α перетинаються;3) пряма a лежить у площинi α?

4. Прямi a i b перетинаються. Як можуть бути розмiщенi пряма bi площина α, якщо:1) пряма a i площина α паралельнi;2) пряма a i площина α перетинаються;3) пряма a лежить у площинi α?

5. Прямi a i b мимобiжнi. Як можуть бути розмiщенi пряма b i пло�щина α, якщо:1) пряма a i площина α паралельнi;2) пряма a i площина α перетинаються;3) пряма a лежить у площинi α?

6. Точка M не лежить у площинi трикутника ABC. KL — середнялiнiя трикутника AMC. Знайдiть площину, що паралельна пря�мiй KL.


План вивчення нового матерiалу1. Властивiсть прямої, паралельної площинi (з доведенням). Не�

обхiдна й достатня умова паралельностi прямої i площини.2. Опорна задача про пряму, паралельну двом площинам, що пере�

тинаються (з доведенням).Змiст нового матерiалу уроку є традицiйним i розглядаєтьсяза планом вiдповiдно до послiдовностi викладення його в тек�стi пiдручника. Учителю слiд звернути увагу учнiв на те, щовластивiсть прямої, паралельної площинi, можна сформулю�вати двома способами:

1) якщо пряма паралельна площинi, то через будь�яку точку цiєїплощини можна провести пряму, паралельну заданiй прямiй;2) якщо площина проходить через пряму, паралельну iншiй пло�щинi, то перша площина перетинає другу по прямiй, паралельнiйцiй прямiй.Стисло змiст начального матерiалу можна подати учням у ви�

глядi конспекту 15.


Конспект 15

1. Властивiсть прямої, паралельної площинi

Якщо пряма, паралельна площинi, то через будь�яку точку цiєї площиниможна провести пряму, паралельну до заданої прямої.

Або

Якщо через пряму, паралельну площинi α, проходить площина β, що пе�ретинає площину α, то лiнiя перетину цих площин паралельна до заданоїпрямої.

a

a

b

a b

| |

| |

αβ

α β⊂∩ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒

2. Властивiсть прямої, паралельної кожнiй із двох площин, що перетина,ються

Якщо пряма паралельна кожнiй iз двох площин, що перетинаються, товона паралельна лiнiї їх перетину.

α βαβ

∩ = ⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒a

c

c

c a| |

| |

| |


Виконання усних вправ1. Сторона BC трикутника ABC паралельна площинi α, що мiстить

вершину A (рис.). Чи правильно побудовано пряму l, по якiй пере�тинаються площини α i ABC? Чому?

2. Площина α, що паралельна сторонi BC трикутника ABC, перети�нає сторони AC i AB у точках C1 i B1 вiдповiдно. Визначте взаємнерозмiщення прямих BC i B C1 1 .


α

B C

A l

α

aβ

b

α

βa c

3. Через ребро AB куба ABCDA B C D1 1 1 1 i точку K ребра B C1 1 проведе�но перерiз. Визначте взаємне розмiщення прямої AB i прямої, щомiстить вiдрiзок, по якому перерiз перетинає грань A B C D1 1 1 1 .

Виконання письмових вправ1. Площини α i β перетинаються по прямiй c. Пряма a паралель�

на прямiй c i не належить жоднiй iз площин α i β. Доведiть, щоa| |α i a| |β.

2. Площина, паралельна сторонi AC трикутника ABC, перетинаєсторони AB i BC у точках A1 i C1 вiдповiдно.1) Доведiть подiбнiсть трикутникiв ABC i A BC1 1 .2) Знайдiть сторону AC, якщо A C1 1 4= см, BA BA1 2 3: := .

3. Доведiть, що площина, яка перетинає одну з двох паралельнихпрямих, перетинає i другу пряму.

Письмовi вправи, що запланованi для виконання на уроцi,спрямованi на закрiплення знань як нових понять (власти�востi прямої, паралельної площинi), так i понять, вивченихна попереднiх уроках (включаючи означення та ознаки пара�лельних та мимобiжних прямих). Особливу увагу слiд при�дiлити розв’язуванню задачi 2. Ця задача традицiйно є базо�вою i виноситься на контроль. Пiд час розв’язування цiєїзадачi бажано скласти схеми її розв’язання: застосувавшивластивiсть паралельної прямої i площини, дiстаємо подiбнiтрикутники, з чого випливають вiдповiднi вiдношення.


Контрольнi запитанняЧи правильнi твердження?1) Якщо пряма паралельна площинi, то всi прямi площини пара�лельнi цiй прямiй;2) якщо пряма паралельна площинi, то будь�яка площина, щопроходить через цю пряму, перетинає задану площину по прямiй,що паралельна заданiй прямiй;3) якщо пряма паралельна лiнiї перетину двох площин, то цяпряма паралельна кожнiй iз заданих площин;4) якщо пряма паралельна кожнiй iз двох площин, то цi площиниперетинаються по прямiй, паралельнiй заданiй прямiй.


Вивчити змiст розглянутих на уроцi понять (див. конспект 15).Розв’язати задачi.


1. Вершина C трикутника ABC не належить площинi α, що мiститьсторону AB. На сторонах CA i CB позначено точки A1 i B1 вiдпо�вiдно, причому CA CA CB CB1 1 3 5: : := = .

2. «Якщо пряма паралельна лiнiї перетину двох площин, то вонапаралельна кожнiй iз двох площин». Скоригуйте це тверджен�ня так, щоб воно справджувалося, i доведiть скориговане твер�дження.

3. Пряма a паралельна площинi α, а пряма b перетинає пряму a.Яким може бути взаємне розмiщення прямої b i площини α?

Повторити: змiст поняття перерiзу геометричного тiла i способипобудови перерiзiв iз використанням аксiом стереометрiї та на�слiдкiв iз них.


Мета: продовжити роботу над:

свiдомим засвоєнням учнями означення, ознаки i властивостi пря�мої, паралельної площинi;

формуванням сталих умiнь та навичок встановлення взаємного ро�змiщення прямої i площини з використанням вивчених твер�джень;

формуванням умiнь розв’язувати задачi на доведення та обчислен�ня з використанням означення, ознаки i властивостi прямої, пара�лельної площинi.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 14, 15.

Хiд уроку




Форма проведення цього етапу уроку значною мiрою зале�жить вiд рiвня знань i вмiнь учнiв: це може бути самостiйнаробота з перевiрки домашнього завдання за зразком або фрон�тальна робота з коментування розв’язань, заздалегiдь записа�них учнями на дошцi, або самостiйна робота з виконаннявправ, аналогiчних за змiстом вправам домашньої роботи.



Труднощi та питання, що, можливо, виникли в учнiв пiд час ви�конання вправ домашньої роботи, є пiдставою для формулюваннявiдповiдної мети уроку.

ІV. Узагальнення знань


1. Чи може пряма, що паралельна деякiй площинi, перетинати хочаб одну пряму, що лежить у цiй площинi?

2. Чи правильно, що середня лiнiя трапецiї паралельна довiльнiйплощинi, яка проходить через основу цiєї трапецiї?

3. Задано двi площини, що перетинаються, i точку на однiй iз них.Чи можна через цю точку провести пряму, яка не перетинає жод�ної iз заданих прямих?

4. Чи правильно, що пряма, яка паралельна прямiй перетину двохплощин, паралельна хоча б однiй iз цих площин?

5. Площина проходить через одну з мимобiжних прямих. Як вонаможе бути розмiщена вiдносно другої прямої?

6. Чи будуть двi прямi мимобiжними, якщо одна з них паралельнадеякiй площинi, а iнша перетинає цю площину?

7. Чи можна через одну з мимобiжних прямих провести площину,паралельну iншiй прямiй?

8. Пряма a паралельна деякiй площинi. Чи правильно, що пряма b,яка паралельна прямiй a, також паралельна цiй площинi?

9. Як розмiщенi прямi a i b, якщо вони паралельнi однiй площинi?

10. Як розмiщенi прямi a i b, якщо через пряму b можна провести двiплощини, паралельнi прямiй a?

11. Чи може пряма перетинати рiвно три гранi куба?

V. Формування вмiнь i навичок


1. Якщо двi площини, що перетинаються по прямiй c, перетинаютьтретю площину γ по паралельних прямих, то c| | γ. Доведiть.

2. Побудуйте перерiз трикутної пiрамiди PABC площиною, що про�ходить через середини ребер PB i BC, паралельно ребру РС. Виз�начте вид многокутника, що утворився.

3. Площина α паралельна сторонi AC трикутника ABC i проходитьчерез середину сторони AB. Доведiть, що площина α проходитьчерез середину сторони BC.


Додаткове завдання (на повторення)Точки A, B i C не належать площинi α. Чи перетинається площина

α з площиною, що мiстить цi точки? Розгляньте всi можливi випад�ки, висловiть припущення.

Вправи уроку дають можливiсть учням закрiпити знання, здобутiна попередньому уроцi, та повторити матерiал попереднiх чотирьохурокiв. Розв’язування задачi № 2 потребує вiд учнiв застосувати нетiльки матерiал попереднього уроку, а й використання поняття пере�рiзу та повторення мiркувань, що супроводжують вiдповiдну побудо�ву. Успішно впоратись iз цим завданням допоможе попереднє вико�нання усних вправ.



Повторити змiст вивчених понять у темi (див. конспекти 11–15).Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Два паралелограми ABCD i ABC D1 1 лежать у рiзних площинах,

точки N, M i K — середини сторiн AB, CD i AD1 вiдповiдно.1) Визначте взаємне розмiщення прямих i площин:а) C D1 1 i ABC; б) KN i DD C1 ; в) AB i DCC1 ; г) D B1 i MKN.2) Побудуйте точку перетину L прямої KN з площиною BCC1 .3) Обчислiть довжину вiдрiзка KL, якщо KN = 2 см.4) Побудуйте пряму, паралельну площинам обох паралелограмiв.Варiант 2Трикутник ABC i паралелограм ABFD лежать у рiзних площи�

нах, точки N, M i K — середини сторiн BC, AC i BF вiдповiдно.1) Визначте взаємне розмiщення прямих i площин:а) DF i ABC; б) AB i MNK; в) AC i DBF; г) MK i BCD.2) Побудуйте точку перетину P прямої BD з площиною ACF.3) Обчислiть довжину вiдрiзка PK, якщо MN = 3 см.4) Побудуйте пряму, паралельну площинам трикутника i парале�лограма.


Урок № 23Пiдсумковий урок з теми «Взаємне розмiщення прямиху просторi. Взаємне розмiщення прямої i площини»

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнiвщодо:

випадкiв взаємного розмiщення двох прямих у просторi;

означення, ознак i властивостей паралельних i мимобiжних пря�мих;

випадкiв взаємного розмiщення прямої i площини у просторi;

означення, ознак i властивостей паралельних прямої i площини.

Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання дорозв’язування задач, передбачених програмою.

Тип уроку: узагальнення i систематизацiя знань, умiнь i навичок.


Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Основна дидактична мета i завдання на урок цiлком логiчно ви�пливають iз його мiсця в темi. Оскiльки урок є останнiм, пiдсумко�вим, то увага придiляється повторенню, узагальненню й системати�зацiї знань i вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми. Такеформулювання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв учитель може органiзува�ти їхню роботу рiзними способами: або як самостiйну роботуз довiдковим матерiалом (наприклад, iз пiдручником або кон�спектом), або учнi мають самостiйно повторити змiст основ�них понять теми, скласти схему, що вiдображає логiчнийзв’язок мiж основними поняттями теми, тощо. Можна урокрозпочати з традицiйного опитування (у формi iнтерактивноївправи) за основними питаннями теми або за контрольнимизапитаннями до теми.


Контрольнi запитання1. Дайте означення паралельних прямих у просторi.2. Сформулюйте ознаку паралельностi прямих.3. Дайте означення мимобiжних прямих.4. Сформулюйте ознаку мимобiжних прямих.5. Назвiть випадки взаємного розмiщення прямої i площини.6. Дайте означення паралельностi прямої i площини.7. Сформулюйте ознаку паралельностi прямої i площини.8. Сформулюйте властивiсть прямої, паралельної площинi.


Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi самостiйно сформулю�вали та випробували узагальнену схему дiй, якої вони маютьдотримуватися пiд час розв’язування типових задач, подiбнiдо яких будуть винесенi на контроль.

Перед виконанням практичного завдання проводиться робота з ви�дiлення основних видiв задач на застосування вивчених у темi понять.Такими видами можуть бути задачi на:

доведення паралельностi прямих або доведення того, що двi прямiє мимобiжними;доведення паралельностi прямої площинi;застосування властивостi просторового чотирикутника;застосування властивостi площини паралельних прямих, що пере�тинаються однiєю прямою;застосування властивостей паралельних прямої i площини.Пiсля складання перелiку основних видiв задач учитель об’єднує

учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань) i кожнiй формулюєзавдання: «Скласти план розв’язання задачi…» (групи отримуютьiндивiдуальне завдання). На складання плану вiдводиться час, заякий учасники групи мають обговорити план розв’язання, записатийого у виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати пре�зентацiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбувається презентацiя вико�наної роботи кожною групою, а далi — обов’язкове обговоренняскладених планiв. Учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiни�ти яку�небудь iз заданих величин i пояснити, як змiниться розв’я�зання задачi. Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком цього уроку є, по�перше, складенi учнями узагальненiсхеми дiй пiд час розв’язування типових задач, по�друге, здiйснення


учнями необхiдної частини свiдомої розумової дiяльностi — реф�лексiї, вiдображення кожним учнем сприйняття своїх успiхiв та най�головнiше — проблем, над якими слiд ще попрацювати перед кон�трольною роботою.


Повторити змiст навчального матерiалу теми.Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої


Умова домашньої контрольної роботиВарiант 1

1. Трикутник ABF i прямокутник ABCD лежать у рiзних площинах.Точки M i N — середини вiдрiзкiв AF i BF вiдповiдно. Як ро�змiщенi прямi MN i DC, MN i BD, пряма MN i площина ABC?Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. Площина α перетинає двi сторони DF i FA трикутника DFA в точ�ках K i M вiдповiдно i паралельна його третiй сторонi. Знайдiтьдовжину вiдрiзка KM, якщо DK KF: := 2 3, DA = 15см.

3. Двi площини α i β перетинаються по прямiй AB. Чи можна ствер�джувати, що пряма, проведена на площинi α паралельно площинiβ, завжди паралельна AB?Варiант 2

1. Паралелограм ABCD i трапецiя CDFK (CD FK| | ) не лежать в однiйплощинi. Як розмiщенi прямi CD i AK, BF i AK, пряма CD i пло�щина ABK? Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. Дано вiдрiзок AB i площину α, яка його не перетинає. Точка O дi�лить його у вiдношеннi AO OB: := 31. Через точки A, O i B проведенопаралельнi прямi, що перетинають площину α в точках A1 , O1 i B1

вiдповiдно. Знайдiть довжину вiдрiзка OO1 , якщо AA1 14= см,BB1 6= см.

3. Двi прямi паралельнi площинi. Чи завжди на площинi знайдетьсятретя пряма, що паралельна двом заданим прямим? Вiдповiдьобґрунтуйте.



Мета: перевiрити:рiвень засвоєння учнями знань означень, ознак i властивостей па�ралельних, мимобiжних прямих, означення, ознаки та властивос�тей паралельних прямої та площини;якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi з використанням за�значених понять (задачi на класифiкацiю, встановлення взаємногорозмiщення двох прямих i взаємного розмiщення прямої i площи�ни, а також задачi на обчислення).Тип уроку: контроль i корекцiя знань i вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з домашньою контрольною роботою № 3 (пере�вiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).


Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних понять та оволодiння основними прийомамита методами розв’язування програмових задач.


Варіант 11. Визначте взаємне розмiщення прямих a i c, якщо a b| | , b c| | .

А Б В Г

Паралельнi Перетинаються Мимобiжнi Паралельнi абомимобiжнi

2. Прямi a i b перетинаються в точцi O. У якому з перелiчених ви�падкiв прямi a, b i пряма c обов’язково лежать в однiй площинi?

А Б В Г

Пряма c про�ходить черезточку O

Прямi a i cпаралельнi

Пряма c перетинаєпрямi a i b у точках,вiдмiнних вiд точки O

Пряма c перетинаєпряму a i не пере�тинає пряму b


3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Серед заданих прямих виберiть парумимобiжних прямих.

А Б В Г

B C1 i A D1 B D1 i A C1 BC i DD1 AD i B D1

4. Вершини C i D прямокутника ABCD лежать у площинi α, а точкаперетину дiагоналей прямокутника не лежить у цiй площинi.Яким є взаємне розмiщення прямої AB i площини α?

А Б В Г

Паралельнi Перетинаються Пряма лежитьу площинi

Визначитинеможливо

Наведiть повне розв’язання задач.5. Площина α проходить через середини сторiн AB i BC трикутника

ABC. Знайдiть довжину вiдрiзка AC, якщо вiдстань мiж точкамиперетину площини α зi сторонами AB i BC трикутника ABC до�рiвнює 4, 6 см.

6. Точка B не лежить у площинi трикутника ACD, точки M, P, K i E —середини вiдрiзкiв AB, BC, CD i AD вiдповiдно. MK PE= = 10 см,AC = 12 см. Знайдiть BD.

7. Через паралельнi прямi a i b проведенi двi площини, що перетина�ються по прямiй c. Доведiть, що прямi a i b паралельнi прямiй c.Варiант 2

1. Визначте взаємне розмiщення прямих a i b, якщо a c| | , b c| | .

А Б В Г

Перетинаються Мимобiжнi Паралельнi Паралельнi абомимобiжнi

2. Прямi c i b перетинаються в точцi A. У якому з перелiчених ви�падкiв прямi a, b i пряма c обов’язково лежать в однiй площинi?

А Б В Г

Пряма a про�ходить черезточку A

Прямi a i c па�ралельнi

Пряма a перетинаєпрямi c i b у точ�ках, вiдмiнних вiдточки A

Пряма a перетинаєпряму c i не пере�тинає пряму b


3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Серед заданих прямих виберiть парумимобiжних прямих.

А Б В Г

BC1 i AD1 BD1 i AC1 AB i C D1 1 AD i B B1

4. Вершини C i D паралелограма ABCD лежать у площинi α, а точкаM — середина сторони BC, не лежить у цiй площинi. Яким є вза�ємне розмiщення прямої AB i площини α?

А Б В Г

Перетинаються Паралельнi Пряма лежитьу площинi


5. Площина β проходить через середини сторiн DE i DF трикутникаDEF. Знайдiть вiдстань мiж точками перетину площини β зiсторонами DE i DF, якщо EF = 32, см.

6. Точка D не лежить у площинi трикутника ABC, точки M, K, Pі —E середини вiдрiзкiв AD, DC, CB i AB вiдповiдно. AC BD= == 8 см, MP KE= . Знайдiть MP.

7. Площини α i β перетинаються по прямiй l. У площинах α i β прове�дено прямi a i b вiдповiдно так, що a b| | . Доведiть, що прямi a, b i lпопарно паралельнi.


Пiсля виконання роботи можна оголосити правильнi вiдповiдi дозавдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних роз�в’язань завдань контрольної роботи № 3 (заготовлених учителем за�здалегiдь) у формi роздавального матерiалу.


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язан�нями).

Повторити: змiст понять: аксiоми стереометрiї та наслiдки з них;ознаки рiвностi та ознаки подiбностi трикутникiв.


Урок № 25Розмiщення двох площин у просторi: площини,що перетинаються, паралельнi площини. Ознакапаралельностi площин

Мета: cформувати в учнiв:уявлення про всi можливi випадки взаємного розмiщення двохплощин у просторi; знання означення паралельних площин i озна�ки паралельностi площ;первиннi вмiння вiдтворювати вивченi твердження, визначати видвзаємного розмiщення двох площин вiдповiдно до умови задачi;вмiння використовувати означення та ознаку паралельностi пло�щин для доведення того, що заданi двi площини є паралельними(або для спростування цього факту).Домогтися засвоєння знань означення паралельних площин i оз�

наки паралельностi площин.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралельнi площини».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.Оскiльки урок є першим у цьому роздiлi, то традицiйно розпочи�

наємо його зi вступної бесiди: приблизний змiст навчального матерi�алу теми, кiлькiсть навчальних годин i орiєнтовна дата проведеннятематичної контрольної роботи з теми, програмовi вимоги до знаньi вмiнь учнiв у цiй темi.




Проводиться бесiда, у ходi якої учнi мають стисло вiдтворитизмiст вивченого матерiалу та логiку будови початкiв стереометрiїу 10 класi (таку бесiду зручно проводити за схемою).

Пiсля бесiди формулюється мета уроку: досконало вивчити (дос�конало — значить вивчити означення, ознаки та властивостi) питан�ня про взаємне положення двох основних фiгур стереометрiї — двохплощин. На цьому уроцi — першому в цiй темi, логiчно розглянутиозначення та ознаки — це i є основна мета уроку.



Виконання усних вправЗ метою успiшного й усвiдомленого засвоєння матерiалу уроку

пропонуємо учням повторити аксiоми стереометрiї та наслiдки з нихза готовими рисунками. Особливу увагу придiляємо аксiомi про пе�ретин площин.


План вивчення нового матерiалу1. Випадки взаємного розмiщення двох площин.2. Означення паралельних площин. Позначення.3. Ознака паралельностi площин (iз доведенням).

Викладення нового матерiалу можна побудувати за тради�цiйною схемою (спираючись на пiдручник), тобто спочаткуформально з’ясувати, скiльки спiльних точок можуть мати


Основнi фiгуристереометрiї

Властивостi основних фiгур(аксiоми та наслiдки)

Взаємне розмiщення двохосновних фiгур

Двiплощини

Прямаi площина

Точкаi пряма

Точкаi площина

Двi прямi

Oα

ab

B

α

A

α

B

α

A CaAB

α

a

β

a

α

ABA a

двi площини, потiм розглянути означення паралельних пло�щин i ознаку паралельностi площин.

Оскiльки на етапi актуалiзацiї опорних знань було повторено ак�сiому про перетин двох площин, то учнi розумiють, що з поняття проiснування однiєї спiльної точки для двох площин вiдразу випливає,що площини мають спiльну пряму — пряму перетину, тобто безлiчспiльних точок. Отже, можна пiдвести учнiв до висновку: двi площи�ни можуть не мати спiльних точок або мати їх безлiч — iнших ви�падкiв немає.

Вивчення нового матерiалу уроку проводиться за традицiйноюсхемою (близько до тексту пiдручника): спочатку актуалiзуєтьсяжиттєвий досвiд учнiв щодо взаємного розмiщення двох площин (iзвикористанням твердження вiдповiдної аксiоми), пiсля чого видiля�ється новий вид цього розмiщення — коли площини не мають спiль�них точок. Формулюється означення цього виду розмiщення, а потiм,пiсля пригадування вiдомої недосконалостi цього означення для дове�дення питання про паралельнiсть площин, формулюється i доводить�ся ознака паралельностi площин (методом вiд супротивного).

Доречно звернути увагу учнiв на справедливiсть двох рiзних фор�мулювань ознаки паралельностi площин: через двi пари вiдповiднопаралельних прямих, що перетинаються i лежать у заданих двохплощинах, та через пару прямих, що перетинаються, однiєї площи�ни, якi паралельнi до iншої площини (це необхiдно для бiльшої зруч�ностi розв’язування рiзних задач).

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у виг�лядi конспекту 16.

Конспект 16


αa

β

α

β

Двi площини перетинаються

не перетинаютьсяпо прямiй

Означення. Двi площининазиваються паралельними,якщо вони не перетинаються.

Ознака. 1) Якщо двi прямi,що перетинаються, однiєїплощини вiдповiдно паралельнiдвом прямим, що перетинаються,iншої площини, то такiплощини паралельнi.

2) Якщо двi прямi, щоперетинаються, однiєїплощини паралельнiiншiй площинi, то цiдвi площини паралельнi.


Виконання усних вправ1. Площини α i β паралельнi. Чи правильно, що:

1) будь�яка пряма площини α паралельна площинi β;2) будь�яка пряма площини α паралельна будь�якiй прямiй пло�щини β?

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 назвiть площину, паралельну:1) площинi AA B1 1 ; 2) площинi BCC1 ; в) площинi EFH,де E, F i H — середини ребер AB, BB1 i BC вiдповiдно.

3. Змоделюйте двi паралельнi площини i проведiть у кожнiй iз нихпо двi прямi, що перетинаються. Чи обов’язково серед проведенихпрямих є паралельнi? Сформулюйте твердження, обернене доознаки паралельностi площин. Чи справджується воно?

Виконання письмових вправ1. Площини α i β паралельнi, пряма a лежить у площинi α. Доведiть,

що пряма a паралельна площинi β.2. Паралелограми ABCD i ABC D1 1 не лежать в однiй площинi. До�

ведiть паралельнiсть площин DAD1 i CBC1 .3. Із точки M проведено вiдрiзки MA, MB i MC, що не лежать в од�

нiй площинi. Доведiть, що площина, яка проходить через середи�ни цих вiдрiзкiв, паралельна площинi ABC.


β

α

α

β

O1

a2

b2

a1

b1

O2

α

Oa

b

β

α | |β

Додаткове завданняДвi сторони трикутника паралельнi деякiй площинi. Чи пара�

лельна цiй площинi решта сторiн цього трикутника? Чи змiнитьсявiдповiдь, якщо взяти замiсть трикутника паралелограм?

Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямованiна свiдоме засвоєння учнями змiсту означення та ознаки пара�лельностi площин (причому додатковi задачi потребують нетiльки використання вiдповiдного планiметричного матерiалу,але й використання ознаки паралельностi площин саме в другiйредакцiї — через двi прямi, що перетинаються, однiєї площини,що паралельнi другiй площинi). Звертаємо увагу учнiв, що в до�датковiй задачi та їй подiбних (на доведення того, що деяка пря�ма або вiдрiзок паралельнi площинi) працює висновок, от�риманий у задачi 1 для письмового розв’язування: якщо двiплощини паралельнi, то будь�яка пряма однiєї площини пара�лельна до iншої площини. Цей висновок застосовується за та�кою схемою: спочатку доводиться паралельнiсть площин (черезознаку), потiм використовується результат задачi 1 (його можназаписати пiсля доведення до конспекту як опорний факт).

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитання

1. Двi прямi площини α паралельнi площинi β. Чи можна стверджу�вати, що площини α i β паралельнi?

2. Двi прямi площини α вiдповiдно паралельнi двом прямим площи�ни β. Чи можна стверджувати, що площини α i β паралельнi?

3. У площинах α i β iснують прямi, що не перетинаються. Чи пра�вильно, що прямi α i β паралельнi?

4. Якi умови слiд додати до запитань 1–3, щоб твердження про пара�лельнiсть площин справджувалося?

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст основних понять уроку (див. конспект 16).Розв’язати задачi.

1. ABCDA B C D1 1 1 1 — куб, точки E, F i H лежать на ребрах AB, BB1

і BC вiдповiдно. Визначте, чи паралельнi площини:1) ABB1 i DD C1 1 ; 2) AB C1 i ACD1 ; 3) EFH i AB C1 .

2. Пряма b перетинає площину β у точцi B. Площина α проходить че�рез пряму b. Чи можуть площини α i β бути паралельними? Вiдпо�вiдь обґрунтуйте.

3. Двi сторони трикутника паралельнi площинi α. Доведiть, що се�реднi лiнiї трикутника паралельнi площинi α.



Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями означеннята ознаки паралельностi площин i доведеного опорного факту.

Продовжити роботу з формування вмiнь i навичок:використовувати вивченi твердження для розв’язування задач накласифiкацiю розмiщення площин;доводити, що заданi двi площини паралельнi, або спростовувати цетвердження.Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 16.

Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання можна провести за готовими рисунками з короткими записа�ми розв’язань (записанi на дошцi учнями або виконанi вчителему формi роздавального матерiалу для iндивiдуальної роботи) або об�говорити контрольнi моменти розв’язань. Вибiр форми перевiрки до�машнього завдання залежить вiд рiвня математичної пiдготовкиучнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту матерiалу, вивченого на по�переднiх уроках, можна провести у формi математичного диктанту.

Математичний диктантДоповнiть речення так, щоб утворилося правильне твердження.

1. Двi площини в просторi або…, або…2. Якщо двi площини мають одну спiльну точку, то вони…3. Якщо двi площини не мають спiльних точок, то вони…4. Якщо прямi AB i BC площини α вiдповiдно… прямим A B1 1 i B C1 1

площини…, то площини α i β — паралельнi.5. Якщо сторони AB i BC трикутника ABC паралельнi площинi γ,

то…6. Якщо двi… сторони паралелограма паралельнi площинi α, то пло�

щина паралелограма паралельна площинi α.По закiнченнi виконання завдань диктанту — перевiрка вiдповi�

дей та корекцiя знань i вмiнь.



Головна мета уроку безпосередньо випливає з результатiв вико�нання домашньої роботи i математичного диктанту. Якщо учнi при�пустилися помилок, то виникає необхiднiсть продовжити роботу iзподальшого засвоєння навчального матерiалу, вивченого на поперед�ньому уроцi. Якщо ж помилки були незначними, то метою урокує удосконалення вмiнь застосовувати набутi знання до розв’язуваннязадач.

ІV. Вiдтворення i систематизацiя опорних знань i вмiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попередньому уроцi за змiстом конспекту 16.

V. Удосконалення вмiнь, формування навичок

Виконання усних вправ1. Чи може бути, що десять прямих площини α паралельнi площинi

β, але площини α i β не паралельнi? Вiдповiдь проiлюструйте ри,

сунком.

2. Чи правильне твердження: «Двi площини, що паралельнi однiйi тiй самiй прямiй, паралельнi мiж собою»?

3. Чи правильне таке означення: «Двi площини α i β називаються па�ралельними, якщо кожна пряма, що лежить на площинi α, не ле�жить на площинi β»?

4. Чи може пряма мати спiльну точку з однiєю з паралельних пло�щин, але не перетинати другу площину?

5. Дано BK KA= , BM MD= , BH HC= (див. рисунок). Доведiть, щоплощина KMH паралельна площинi ACD.

Виконання письмових вправ1. Чи можуть бути паралельними площини, що проходять через не�

паралельнi прямi?

2. Двi сумiжнi сторони паралелограма паралельнi площинi α. Якевзаємне розмiщення площини паралелограма i площини α?


HK

MD

A C

B

3. Точка D не лежить у площинi трикутника ABC. На вiдрiзках DA,DB i DC позначено точки A1 , B1 i C1 вiдповiдно так, що

DA AA DB BB DC CC1 1 1 1 1 1: : := = .

Доведiть, що площини ABC i A B C1 1 1 паралельнi.4. Визначте, чи обов’язково площина γ паралельна площинi тра�

пецiї, якщо площина γ паралельна:1) основам цiєї трапецiї; 2) дiагоналям цiєї трапецiї?

5. Точка A не належить площинi α. Доведiть, що всi прямi, якi про�ходять через точку A i паралельнi площинi α, лежать в однiй пло�щинi. Як розмiщена ця площина вiдносно площини α?

Додаткове завданняДоведiть, що в умовах ознаки паралельностi площин прямi a1 i a2

не можуть належати площинi β.Наведенi вправи як для усного, так i для письмового виконан�ня передбачають багаторазове вiдтворення вивчених на попе�редньому уроцi понять (закрiплення знань) та їх застосуваннядля доведення паралельностi площин або ж паралельностi де�якої прямої заданiй площинi. Отже, пiд час виконання вправучнi вiдтворюють у змiнених умовах ситуацiї задач поперед�нього уроку.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування означення та ознаки паралельностi площин,складання схеми розв’язання задач кожного типу.


Повторити теорiю (див. конспект 16).Розв’язати задачi.

1. Кожна з двох площин паралельна прямим a i b. Чи будуть цi пло�щини паралельнi? У якому випадку?

2. Площина паралельна двом дiагоналям правильного шестикутни�ка. Чи обов’язково вона паралельна площинi шестикутника?

3. Сконструюйте моделi взаємного розмiщення площин у просторi,описаного в символьному виглядi:1) α γ∩ = a, β γ∩ = b, α β| | ; 2) α β∩ = a, β γ∩ = b, α γ| | .

4. Виготовте модель куба з пластилiну i розрiжте її так, щоб площи�на перерiзу перетинала чотири ребра куба. Чи паралельнi прямi,по яких площина перерiзу перетинає протилежнi гранi куба? Якафiгура утворилася в перерiзi?


Урок № 27Властивостi паралельних площин

Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту теореми, що виражаєвластивостi паралельних площин.

Працювати над формуванням умiнь:вiдтворювати змiст вивченої теореми, схему її доведення;використовувати теорему разом iз вивченими означеннями таознакою паралельних площин для розв’язування задач.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi паралельних

площин».

Хiд уроку




Оскiльки письмовi вправи домашньої роботи вiдтворювали ситу�ацiї, аналогiчнi до розглянутих на попередньому уроцi, задачi пере�вiряються усно за готовими рисунками.


Для створення ситуацiї, що допоможе усвiдомити учням не�обхiднiсть вивчення питання уроку, звертаємося до результатiв ви�конання вдома практичної вправи 4 (учнi дiляться результатамисвоїх спостережень).

Пiсля цього вчитель формулює проблему: дослiдити питання проперетин двох паралельних площин третьою та про вiдрiзки пара�лельних прямих, що мiстяться мiж паралельними площинами, якщопаралельнi прямi перетинають паралельнi площини. Таким чиномформулюється завдання уроку.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалуслiд актуалiзувати знання означення паралельних площин i пара�лельних прямих, удосконалювати вмiння застосовувати цi означен�ня, властивостi паралелограма, ознаки подiбностi трикутникiв та на�слiдкiв iз них.


Виконання усних вправ1. Пряма a паралельна площинi α. Яким може бути взаємне ро�

змiщення площин α i β, якщо:1) пряма a належить площинi β;2) пряма a перетинає площину β;3) пряма a паралельна площинi β?

2. Пряма a перетинає площину α. Яким може бути взаємне ро�змiщення площин α i β, якщо:1) пряма a належить площинi β;2) пряма a перетинає площину β;3) пряма a паралельна площинi β?

3. Пряма a належить площинi α. Яким може бути взаємне розмiщен�ня площин α i β, якщо:1) пряма a належить площинi β;2) пряма a перетинає площину β;3) пряма a паралельна площинi β?

4. Дано двi паралельнi площини α i β i точка A, що не лежить нажоднiй iз цих площин. Скiльки iснує:1) прямих, що проходять через точку A i паралельнi площинам α i β;2) площин, що проходять через точку A i паралельнi площинам α i β?


План вивчення нового матерiалу1. Теорема (властивостi паралельних площин) із доведенням.2. Опорна задача (див. конспект 17).

Вивчення кожного питання плану можна провести близько дотексту пiдручника або у формi бесiди, або як самостiйну робо�ту учнiв iз текстом пiдручника з наступним складанням кон�спекту за поданим планом. Доведення опорного факту можназапропонувати виконати самостiйно або провести його пiд часфронтальної бесiди.



Виконання усних вправ1. Чи правильнi твердження?

1) Якщо пряма площини α паралельна прямiй площини β, то α β| | ;2) якщо двi прямi площини α паралельнi двом прямим площиниβ, то α β| | ?У випадку негативної вiдповiдi наведiть контрприклади.


Конспект 17

Властивостi паралельних площин

1. Теорема. Якщо двi площини паралельнi, то:

1) прямi, по яких вони перетинаються третьою площиною, паралельнi;

2) вiдрiзки паралельних прямих, що мiстяться мiж ними, рiвнi.

1) 2)

2. Опорнi факти

1) Пряма, що перетинаєодну з двох паралельнихплощин, перетинаєi другу площину.

2) Площина, яка перетинаєодну з двох паралельнихпрямих, перетинаєi другу пряму.


b

а

β

αα

β

ba

A1B1

B2A2

α β

αβαβ

| |

| |a b

a A

b A

b B

b B

A A B B∩ =∩ =∩ =∩ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⇒ =1

2

1

2

1 2 1 2

α βα γβ γ

| |

| |∩ =∩ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒a

b

a b

β

A

B

α βα

β| |

a Aa B

∩ =⎫⎬⎭

⇒ ∩ =

a

α

a

A

b

a b

a Ab B

| |

∩ =⎫⎬⎭

⇒ ∩ =α

α

α

B

2. Чи можна провести паралельнi площини через основи трапецiї;через бiчнi сторони трапецiї?

3. Площини α i β паралельнi. Пряма a лежить у площинi α, а пряма b —у площинi β. Яким може бути взаємне розмiщення прямих a i b?

Виконання письмових вправ1. Доведiть, що двi площини, паралельнi третiй, паралельнi. Яку

назву можна дати цьому твердженню?2. Двi паралельнi площини перетинають сторону OA кута AOB у точ�

ках A1 i A2 , а сторону OB — у точках B1 i B2 вiдповiдно. Знайдiть:1) A B1 1 , якщо A B2 2 24= см, OA A A1 1 2 2 1: := ;2) OB1 i B B1 2 , якщо OB2 15= см, OA OA1 2 2 3: := .

3. Площина паралелограма ABCD паралельна площинi β. Через вер�шини паралелограма проведено паралельнi прямi, що перетина�ють площину β. Доведiть, що цi прямi перетинають площину βу вершинах iншого паралелограма.

Додаткове завдання (на повторення)Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною, що проходить

через середини ребер AB i BC, паралельно ребру BB1 .Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на закрiплення знань учнями властивостей паралельнихплощин, а також, певним чином, доповнюють список цихвластивостей. Особливу увагу слiд звернути на задачу 2, роз�в’язування якої передбачає, крiм застосування властивостейпаралельних площин, ще й використання ознак подiбностiтрикутникiв. Проте слiд одразу попередити традицiйнi по�милки, яких припускаються учнi, розв’язуючи такi задачi.Правильне розв’язування проводиться за такою схемою:

1) оскiльки сторони кута перетинаються, то вони задають пло�щину;2) площина кута перетинає двi паралельнi площини по паралель�них прямих (див. властивiсть паралельних площин);3) цi паралельнi прямi, перетинаючи сторони кута, утворюють iзкожною з цих сторiн вiдповiднi рiвнi кути (див. властивостi пара�лельних прямих, що перетинаються третьою);4) отже, утворюються подiбнi трикутники (див. ознака подiбностiтрикутникiв за двома кутами), тобто стереометрична задача зво�диться до розв’язування задачi на площинi;5) у подiбних трикутниках вiдповiднi сторони пропорцiйнi (див.означення подiбних трикутникiв), звiдки ми й знайдемо невiдомiелементи.



Контрольнi запитанняНа кожному з рисункiв 1), 2) зобра�

женi паралельнi площини α i β. Знайдiтьна рисунках помилки та виправте їх.

1) ABCD — трапецiя, AB i DC — їїбiчнi сторони.2) A X1 6= , AX = 2, AB = 4, A B1 1 8= .


Вивчити змiст засвоєних на уроцiтверджень (див. конспект 17).

Розв’язати задачi.1. Точки A1 , B1 i C1 — середини ребер

PA, PB i PC тетраедра PABC.Знайдiть площу трикутника ABC,якщо площа трикутника A B C1 1 1 до�рiвнює 16 см2.

2. Паралельнi прямi перетинають одну з двох паралельних площину точках A1 i A2 , а другу — в точках B1 i B2 вiдповiдно. ЗнайдiтьB B1 2 , якщо A A1 2 12= .Повторити: теорему про iснування та єдинiсть прямої, паралель�

ної заданiй.

Урок № 28Властивостi паралельних площин(Існування площини, паралельної заданiй площинi)

Мета: працювати над подальшим закрiпленням знань про озна�чення, ознаки та основнi властивостi паралельних площин; розпоча�ти роботу над формуванням в учнiв уявлення про змiст теореми, проiснування та єдинiсть площини, паралельної заданiй, а також роботунад засвоєнням учнями опорних фактiв, що виражають деякi цiкавiвластивостi паралельних площин.

Сформувати вмiння вiдтворювати змiст вивчених понять та вико�ристовувати їх для аргументацiї своїх мiркувань пiд час розв’язуван�ня задач на паралельнiсть площин.

Тип уроку: закрiплення набутих ранiше знань; засвоєння новихзнань, формування вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi паралельнихплощин».


α

β

A B

CD

2) BA

A1

B1

α

β

X

1)

Хiд уроку




Учитель збирає зошити учнiв iз метою перевiрити якiсть вико�нання домашньої роботи. У разi необхiдностi учнi отримують пра�вильнi розв’язання цих вправ для самостiйного опрацювання вдома.

Якiсть засвоєння теоретичного матерiалу уроку можна перевiри�ти за результатами виконання математичного диктанту пiд назвою«Виправ помилку».

Математичний диктант «Виправ помилку»1. Площини у просторi можуть бути паралельними, перетинатися

i бути мимобiжними.2. Двi площини паралельнi, якщо двi прямi однiєї площини пара�

лельнi двом прямим другої площини.3. Вiдрiзки прямих, що лежать мiж

паралельними площинами, рiвнi.4. Прямi AB i CD паралельнi як прямi

перетину двох площин третьою.5. Не може бути, що безлiч прямих

площини α паралельнi безлiчi пря�мих площини β, а площини α i β непаралельнi.

ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуНа цьому етапi уроку вчитель має ще раз нагадати учням про ло�

гiчну будову шкiльного курсу геометрiї. Вивчення будь�якого поняттяабо вiдношення складається з трьох етапiв: уведення означення ново�го поняття, формулювання та доведення ознаки, розгляд властивос�тей цього поняття. Учитель повiдомляє учням, що, крiм основнихвластивостей паралельних площин, розглянутих на попередньомууроцi, є ще кiлька цiкавих властивостей. Вивчення цих додатковихвластивостей i є основною метою уроку.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань i вмiньЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

учням слiд повторити аксiоми стереометрiї та наслiдки з них, озна�чення та ознаку паралельностi площин, теорему про проведення пря�мої в просторi, паралельної заданiй. Таке повторення можна органi�зувати за таблицями або конспектами.


Aα

B

β

C

D

V. Засвоєння знаньПлан вивчення нового матерiалу

1. Теорема про iснування та єдинiсть площини, паралельної заданiй(iз доведенням).

2. Додатковi властивостi паралельних площин:про двi площини, паралельнi третiй;опорна задача про пряму, що проходить через точку однiєї з пара�лельних площин, паралельну другiй площинi;теорема Фалеса у просторi.

Насправдi запропонований теоретичний матерiал уроку неє обов’язковим для вивчення у 10 класi. Тому вчитель сам ви�рішує, чи вивчати цей матерiал, чи зекономити навчальнийчас для подальшого удосконалення вмiнь застосовувати набутiзнання про паралельнiсть площин до розв’язування задач.

У разi якщо математична пiдготовка учнiв та їх пiзнавальна ак�тивнiсть є достатньо високими для формування цiлiсних знань пропаралельнiсть площин, то бажано викласти весь матерiал, зазначе�ний у планi вивчення нового матерiалу. При цьому бажано зосереди�ти увагу учнiв на таких моментах:

теорема про iснування та єдинiсть площини, паралельної заданiй,є аналогом теореми про iснування та єдинiсть прямої, паралельноїзаданiй;схема доведення теореми аналогiчна до схеми доведення теоремипро iснування та єдинiсть прямої, паралельної заданiй;iз теореми про iснування та єдинiсть площини, паралельної за�данiй, випливає, що двi площини, паралельнi третiй, паралельнiмiж собою;iснує ряд планiметричних тверджень, якi залишаються правиль�ними, якщо в них слово «пряма» замiнити на слово «площина» (те�орема Фалеса у просторi — приклад такого твердження).Стисло навчальний матерiал можна подати учням у виглядi кон�

спекту 18.

VІ. Закрiплення знань, формування вмiнь

Математичний диктант1. Точки A i B розмiщенi в однiй iз паралельних площин, точки C i D —

в iншiй. Вiдрiзки AC i BD перетинаються в точцi M. Як розмiщенiпрямi AB i CD?

2. Точка S знаходиться поза площиною трикутника ABC. Точки A1 ,B1 i C1 є серединами вiдрiзкiв SA, SB i SC вiдповiдно. Визначтевзаємне розмiщення площин ABC i A B C1 1 1 .


Конспект 18

Властивостi паралельних площин

1. Теорема. Через точку поза поданоюплощиною можна провестиплощину, паралельну заданiй,причому тiльки одну.

A ∉β ⇒ 1) iснує α β| | , A ∈α; 2) α — єдина.

2. Опорнi факти

1) Двi площини, що паралельнiтретiй, паралельнi.

α γβ γ

α β| |

| || |

⎫⎬⎭

⇒

2) Якщо площини α i βпаралельнi, то будь�якапряма, що проходитьчерез точку площини αi паралельна β,лежить у площинi α.

α βα

β

α

| |

| |

A

A a

a

a∈∈

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ ⊂

3) Вiдношення вiдрiзкiв, щовiдтинають на прямiй трипаралельнi площини,не залежить вiд вибору прямої.

A A

A A

B B

B B1 2

2 3

1 2

2 3

=

3. Дiагональ i сторона трапецiї паралельнi площинi α. Як розмiщенiплощина α i площина трапецiї?

4. Площина α паралельна прямiй b, а пряма b паралельна площинi γ,вiдмiнної вiд α. Яке взаємне розмiщення площин α i γ?

5. Дано площину α i пряму a, що їй не належить. Скiльки iснує рiз�них площин, що проходять через пряму a i паралельнi площинi α?

6. Дано паралельнi площини. Точка M не належить жоднiй iз них.Скiльки iснує рiзних площин, що проходять через точку M i пара�лельнi заданим площинам?


B1

A2

A1

B2

α

β

X

A

β

β

aA

α

γ

β

α

γ B3A3

Виконання письмових вправ1. Пряма паралельна однiй із двох паралельних площин. Доведiть,

що ця пряма паралельна другiй площинi або належить їй.2. Мимобiжнi прямi a i b перетинають три паралельнi площини

в точках A1 , A2 , A3 i B1 B2 , B3 вiдповiдно. Знайдiть довжинивiдрiзкiв A A1 3 i B B1 3 , якщо A A B B1 2 2 3= , A A2 3 9= см, B B1 2 16= см.

Додаткове завдання (на повторення)Якщо двi площини, що перетинаються по прямiй c, перетинають

третю площину γ по паралельних прямих, то пряма c паралельнаплощинi γ. Доведiть.

Майже всi задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi,спрямованi на закрiплення знань змiсту вивчених на уроцiпонять, а також формування вмiнь застосовувати цi твер�дження у вiдповiдних ситуацiях.

Задача на повторення сприяє повторенню учнями змiсту теми«Паралельнiсть прямої та площини».


Контрольнi запитанняЯкi з наведених планiметричних тверджень справджуються, як�

що слово «пряма» замiнити на слово «площина»?1) Двi прямi (на площинi) паралельнi, якщо вони не перетина�ються.2) Якщо двi прямi (площини) паралельнi третiй, то вони пара�лельнi.3) Якщо деяка пряма перетинає одну з двох паралельних прямих(площини), то вона перетинає й iншу.4) Якщо деяка пряма перетинає одну з двох паралельних прямих,то вона перетинає й iншу.5) Паралельнi прямi, що перетинають iншi прямi, вiдтинають наних пропорцiйнi вiдрiзки.


Вивчити змiст засвоєних на уроцi понять (див. конспект 18).Розв’язати задачi.

1. Чи правильнi твердження?1) Якщо вiдрiзки двох прямих, що мiстяться мiж двома пара�лельними площинами, рiвнi, то цi прямi паралельнi;2) якщо лiнiї перетину двох площин третьою паралельнi, то цiплощини паралельнi.


У випадку негативної вiдповiдi наведiть контрприклади.2. Прямi a i b, що перетинаються, перетинають три паралельнi пло�

щини в точках A1 , A2 , A3 i B1 B2 , B3 вiдповiдно. Знайдiть довжинивiдрiзкiв A A1 3 i B B1 3 , якщо A A B B1 2 2 3= , A A2 3 9= см, B B1 2 16= см.Повторити: означення, властивостi та ознаки паралельних пло�

щин.


Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями змiсту тео�рем, що виражають властивостi паралельних площин; формуваннямсталих умiнь застосовувати вивченi твердження для розв’язуваннязадач.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 17, 18.

Хiд уроку




Перевiрку правильностi виконання письмових вправ домашньогозавдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань. За�писи можуть виконати на дошцi декiлька учнiв iз високим рiвнемнавчальних досягнень, або вчитель запропонує їх у формi роздаваль�ного матерiалу для iндивiдуальної роботи учнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалу, ви�вченого на попереднiх уроках, можна провести за допомогою тесто�вого завдання. Якiсть виконання тестових завдань перевiряєтьсяодразу пiсля виконання роботи; за необхiдностi проводиться корек�цiя знань.

Тестовi завданняВарiант 1

1. Якщо двi сумiжнi сторони паралелограма паралельнi площинi α,то площина паралелограма i площина α…

А Б В Г

паралельнi перетинаються збiгаються абопаралельнi

паралельнi абоперетинаються


2. Якщо дiагоналi трапецiї паралельнi площинi α, то основи тра�пецiї…

А Б В Г

лежать у пло�щинi α

паралельнiплощинi α

перетинаютьплощину α

можуть перетинати площи�ну α, а можуть бути пара�лельними цiй площинi

3. Одна основа AD трапецiї ABCD лежить у площинi α. Через точкуM — середину AB, проведено площину β, паралельну площинi α,що перетинає CD у точцi N. Прямi MN i BC…

А Б В Г

паралельнi мимобiжнi перетинаються збiгаються

4. Скiльки площин, паралельних заданiй площинi, можна провестичерез подану точку простору?

А Б В Г

Жодної Одну Безлiч Вiдповiдь залежить вiд розмiщення пода�ної точки вiдносно заданої площини

5. Якщо лiнiї перетину площин α i β площиною γ паралельнi, то пло�щини α i β…

А Б В Г

паралельнi перетинаються можуть бути паралель�ними або перетинатися

паралельнi чизбiгаються

6. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 проведено два перерiзи: через точки A, B1 , Ci через точки A, D, C1 . Площини цих перерiзiв…

А Б В Г

збiгаються перетина�ються

паралельнi можуть бути розмiщенi по�рiзному,i це залежить вiд розмiрiв куба

Варiант 21. Якщо двi сумiжнi сторони трапецiї паралельнi площинi α, то пло�

щина α i площина трапецiї…

А Б В Г

перетинаються паралельнi збiгаються чи па�ралельнi

паралельнi чиперетинаються


2. Двi сторони трикутника паралельнi деякiй площинi α. Отже, тре�тя сторона трикутника…

А Б В Г

лежить у пло�щинi α

перетинає пло�щину α

паралельна пло�щинi α

може перетинатиплощину α

3. Сторона AC трикутника ABC лежить у площинi α. Через точку M —середину сторони AB, проведено площину β, що перетинає сторонуBC у точцi K, паралельно площинi α. Прямi MK i AC…

А Б В Г

перетинаються паралельнi мимобiжнi збiгаються

4. Скiльки iснує паралельних заданiй прямiй площин, що прохо�дять через подану точку?

А Б В Г

Безлiч Одна Жодної Вiдповiдь залежить вiд взаємного ро�змiщення точки i прямої

5. Якщо двi площини паралельнi однiй i тiй самiй прямiй, то цi пло�щини…

А Б В Г

паралельнi перетинаються збiгаються паралельнi чи перетинаються

6. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 проведено два перерiзи: через точки A1 , B,C1 i через точки A1 , D1 , C. Площини цих перерiзiв…

А Б В Г

збiгають�ся



можуть розмiщуватися по�рiзному, цезалежить вiд розмiрiв куба


Головна мета уроку зумовлена його мiсцем у роздiлi й полягаєв тому, щоб пiсля закрiплення знань учнями означення, ознак тавластивостей паралельних площин, сформувати сталi вмiння i на�вички користуватися цими твердженнями пiд час розв’язування сте�реометричних задач рiзного виду.



Учням пропонується спочатку самостiйно повторити змiст мате�рiалу, вивченого на попереднiх двох уроках, за змiстом конспектiв17, 18.

V. Формування навичок

Виконання усних вправ1. У площинi α iснує три прямi, паралельнi площинi β. Чи можна

зробити висновок, що площини α i β паралельнi?2. Чи можуть бути паралельними площини, що проходять через не�

паралельнi прямi?3. Площини α i β паралельнi. Яким може бути взаємне розмiщення

прямої a i площини β, якщо:1) пряма a паралельна площинi α;2) пряма a перетинає площину α;3) пряма a належить площинi α?

4. Чи може пряма мати спiльну точку з однiєюз паралельних площин, але не перетинатидругу?

5. Дано: SK KA= , SN NC= , SM MB= (див. ри,сунок). Доведiть, що площини KMN i ABCпаралельні.

6. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 побудовано перерiзи A DC1 1 i ACB1 . Чи па�ралельнi площини цих перерiзiв?

7. Площини α i β паралельнi. На площинi α позначено точки C i D,а на площинi β — точки C1 i D1 такi, що CC DD1 1| | . Знайдiть довжи�ни вiдрiзкiв CC1 i CD, якщо DD1 7= см, C D1 1 5= см.

8. Через точки K, L i ребро AB куба ABCDA B C D1 1 1 1 побудовано пере�рiз ALKB, де точки K i L — середини ребер CC1 i DD1 вiдповiдно.Доведiть, що AB i LK паралельнi.

Виконання письмових вправ1. Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною, що проходить

через точки K, Mi N, якщо:1) точки K, M i N лежать на ребрах AA1 , BB1 i CC1 вiдповiдно;2) точки K i N лежать на ребрах AD i DC вiдповiдно, точка M — награнi A B C D1 1 1 1 ;3) точки K i M лежать на ребрах AA1 , BB1 вiдповiдно, а точка Nзбiгається з вершиною C1 .

2. Трикутник ABC лежить у площинi α. Через його вершини прове�дено паралельнi прямi, що перетинають площину β, паралельну


A

B

C

N

M

K

S

площинi α, у точках A1 , B1 i C1 . Доведiть, що трикутники ABCі A B C1 1 1 рiвнi.

3. Площини α i β паралельнi. На площинi α позначено точки M i N,а на площинi β — точки M1 i N1 такi, що прямi MM1 i NN1 пара�лельнi. Знайдiть довжини вiдрiзкiв NN1 i M N1 1 , якщо MN = 5 см,MM1 6= см.

4. Сторона AB трикутника ABC лежить у площинi α. Площина β, щопаралельна площинi α, перетинає сторони AC i BC у точках A1 i B1

вiдповiдно. Знайдiть довжину вiдрiзка A B1 1 , якщо A C1 9= см,AA1 3= см, AB = 8 см.

5. Площини α i β паралельнi. На площинi α позначено точки A i B,а на площинi β — точки C i D так, що вiдрiзки AD i BC перетина�ються в точцi K. Доведiть, що прямi AB i CD паралельнi.

Пропонованi задачi для письмового розв’язування передбача�ють застосування вивченої на попереднiх уроках теорiї i вiд�творюють ранiше розглянутi стандартнi ситуацiї:

паралельнi прямi перетинають паралельнi площини;паралельнi площини перетинаються двома прямими, що також пе�ретинаються.Окрiм того на уроцi продовжується робота з формування вмiнь

виконувати побудови перерiзiв многогранникiв iз використаннямвластивостей паралельних площин.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивчених тверджень (класифiкацiя може бутипроведена за рiзними критерiями).


Повторити змiст теоретичного матерiалу з теми «Паралельнiстьплощин» (див. конспекти 17, 18).


Умова домашньої самостiйної роботи1. Точка S знаходиться поза площиною трикутника ABC. Точки A1 ,

B1 i C1 є серединами вiдрiзкiв SA, SB i SC вiдповiдно. Точки K i Mдiлять вiдрiзки CA i CB у вiдношеннi 1:3, рахуючи вiд точки C.1) Визначте взаємне розмiщення прямих KM i A B1 1 .2) Побудуйте пряму перетину площини A B M1 1 iз площиною ACS.3) Визначте взаємне розмiщення прямої KM i площини A B C1 1 1 .4) Визначте взаємне розмiщення площин AKM i A B C1 1 1 .


2. Площини α i β паралельнi. На площинi αпозначено точки A, B i C i через них про�веденi паралельнi прямi, що перетина�ють площину β у точках A1 , B1 i C1 вiдпо�вiдно. Знайдiть довжину вiдрiзкiв A B1 1 ,B C1 1 i A C1 1 , якщо AB = 10 см, BC = 4 см,AC = 8 см.

3. Чотирикутники ABCD i DECF — парале�лограми, причому точка B не лежитьу площинi AFD (див. рисунок). Доведiть,що площини AFD i BCE паралельнi.

Урок № 30Зображення просторових фiгур на площинi. Паралельнепроектування та його властивостi

Мета: сформувати в учнiв уявлення про особливостi зображенняпросторових фiгур на плоскому рисунку. Домогтися свiдомого за�своєння учнями змiсту поняття «проектування фiгур».

Працювати над формуванням:уявлення про особливостi паралельного проектування;умiнь вiдтворювати змiст вивчених понять;умiнь виконувати нескладнi побудови паралельних проекцiй фiгурiз використанням вивчених властивостей.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралельне проектування

i його властивостi».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити учнiв на перевiрку й оцiнює домашню са�мостiйну роботу.


На цьому етапi вчитель має показати учням логiку вивченнятеми «Паралельнiсть у просторi» i звернути увагу на необхiднiстьзображувати просторовi фiгури на площинi.


A

B C

D

F

E

На перший погляд, тема «Паралельне проектування та його влас�тивостi» не пов’язана безпосередньо з попереднiми темами, але вив�ченi на попереднiх уроках властивостi взаємного розмiщення пря�мих i площин у просторi дозволяють не тiльки розв’язувати задачiвiдповiдного змiсту, а й допомагають виконувати зображення про�сторових фiгур на плоскому рисунку так, щоб цi зображення булидостатньо наочними та вiдображували певнi особливостi таких про�сторових фiгур.

Вивчення питання про спосiб зображення просторових фiгур наплоскому рисунку за допомогою властивостей паралельностi прямихта площин — основна мета уроку.


З метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку можна запропонувати їм вправи на повторення змiсту та спо�собiв застосування таких понять:

означення, ознаки та властивостi паралельностi прямих i площину просторi;теорема про пропорцiйнi вiдрiзки (див. планiметрiя).

Виконання усних вправ1. Через кiнцi вiдрiзка AB та його середину — точку C, проведено па�

ралельнi прямi, що перетинають площину α у точках A1 , B1 i C1

вiдповiдно. Що можна сказати про розмiщення точок A1 , B1 i C1 ?2. Через вершини трикутника ABC проведено паралельнi прямi, що

перетинають площину α у точках A1 , B1 i C1 . Чи можуть точки A1 ,B1 i C1 лежати на однiй прямiй?

3. Вiдрiзок KM паралельний площинi α. Через кiнцi вiдрiзка прове�денi паралельнi прямi, що перетинають площину в точках K1 i M1 .Яким є взаємне розмiщення прямих KM i K M1 1 ?

4. Сторони кута ABC перетинаються двома паралельними площина�ми α i β у точках A1 i C1 , A2 i C2 вiдповiдно. Вiдомо, що BA A A1 2 2: == 2 1: . Знайдiть вiдношення BC C C1 2 2: .


План вивчення нового матерiалу1. Описове означення паралельного проектування. Супутнi поняття.2. Властивостi паралельного проектування (з доведенням).

Успiшному формуванню в учнiв правильних уявлень проспосiб побудови та властивостi паралельних проекцiй просто�рових фiгур сприятиме використання наочностi. Так, перед


формулюванням описового означення паралельного проекту�вання бажано продемонструвати на стiнi кабiнету тiнi вiд про�сторових каркасних моделей рiзних геометричних тiл. Такимчином, учнi отримують пiдтвердження того, що паралельнепроектування є найбiльш природним способом зображенняпросторових фiгур на площинi Учням слiд нагадати факт,вiдомий з курсу оптики: завдяки великiй вiддаленостi Сонцявiд Землi його променi можна вважати паралельними. Пiд частакого практичного дослiдження бажано показати учням, щозображення однiєї й тiєї самої просторової фiгури можутьбути рiзними, залежно вiд вибраного ракурсу (можна розгля�нути найбiльш цiкавi випадки). Пiсля цього формулюєтьсяописове означення паралельного проектування та вводитьсявiдповiдна термiнологiя. Перед формулюванням основнихвластивостей паралельного проектування доцiльно «попрацю�вати» з вiдповiдними каркасними моделями, щоб учнi мализмогу спочатку «побачити» на практицi справедливiсть основ�них властивостей, а потiм уже доводити цi властивостi, вико�ристовуючи вiдповiднi теоретичнi твердження. Вивчення цiєїчастини теоретичного матерiалу учнi можуть тепер здiйснитисамостiйно за текстом пiдручника.

Стисло навчальний матерiал можна подати учням у виглядi кон�спекту 19.


Виконання усних вправ1. Чи може проекцiя бути бiльшою за вiдрiзок, що проектується?2. Чи може вiдрiзок бути паралельною проекцiєю прямої?3. Як розмiщений у просторi вiдрiзок вiдносно площини проекцiї,

якщо вiн проектується в точку?4. У якому випадку проекцiя вiдрiзка дорiвнює самому вiдрiзку?5. Як розмiщенi двi прямi, якщо їх проекцiї на площину пара�

лельнi?

Виконання письмових вправ1. Точки A1 i B1 — проекцiї точок A

i B на площину π (див. рисунок).Пряма AB перетинає цю площи�ну в точцi C. Знайдiть довжинувiдрiзка AB, якщо

AA1 18= см BB1 12= см, AC = 27 см.


π

A

B

A1C1B1

Конспект 19

Паралельне проектування i його властивостi

1. Для зображення просторовихфiгур на площинi користуютьсяпаралельним проектуванням; та�кий спосiб вiдповiдає зоровомусприйняттю фiгури пiд час її роз�глядання здалеку.

Пряма l задає напрям проектуван�ня, α — площина проекцiї

2. Властивостi зображення фiгурина площинi

1) Прямолiнiйнi вiдрiзки фiгуризображуються на площинi рисункавiдрiзками; паралельнi вiдрiзкифiгури зображуються на площинiрисунка паралельними вiдрiзками.

AB CD A B C D| | | |⇒ 1 1 1 1

2) Середина вiдрiзка зображуєтьсяна площинi серединою зображенняцього вiдрiзка.

3) Вiдношення вiдрiзкiв однiєї пря�мої або паралельних прямих зберi�гається за паралельного проекту�вання.

AB

BC

A B

B C= 1 1

1 1


A

A1

l

α

F1

F

A

B

A1

DC

B1

C1 D1

α

C1

C

A1 B1

BA

α

α

AB

B1A1

C

C1

2. Як розмiщенi три точки в просторi вiдносно площини проекцiї танапрямку проектування, якщо їх паралельними проекцiями є:1) одна точка; 2) двi точки; 3) три точки однiєї прямої?Для кожного випадку виконайте рисунок.

3. Дано паралельну проекцiю трапецiї. Побудуйте проекцiю її серед�ньої лiнiї.

4. Дано точки A1 , B1 i C1 — проекцiї вершин A, B i C паралелограмаABCD. Побудуйте проекцiю вершини D.

Додаткове завдання (на повторення)Побудуйте перерiз тетраедра PABC площиною, що проходить через:1) внутрiшню точку K гранi ABC паралельно гранi PAB;2) середину ребра PA паралельно гранi ABC.

Розв’язування наведених задач сприяє свiдомому засвоєннютермiнологiї, розвитку просторової уяви учнiв та формуваннювмiнь використовувати властивостi паралельного проектуван�ня для побудови проекцiй плоских фiгур. Пiд час виконанняусних вправ (саме вони мають розвивати просторову уяву) ба�жано використовувати наочнiсть (учнi складають тимчасовiмоделi з пiдручних засобiв). У процесi розв’язування письмо�вих задач слiд вимагати вiд учнiв розгорнутого обґрунтуванняпобудов (хоча б усного).


Контрольнi запитання1. Чи може:

1) паралельною проекцiєю трикутника бути вiдрiзок; точка?2) паралельною проекцiєю вiдрiзка бути трикутник; точка?3) паралельною проекцiєю середньої лiнiї бути середня лiнiя про�екцiї; висота проекцiї; вiдрiзок, що вiдтинає вiд проекцiї подiб�ний трикутник iз коефiцiєнтом подiбностi, який дорiвнює 3?


Вивчити змiст означення та властивостей паралельного проекту�вання (див. конспект 19).

Усно розв’язати задачi 1–5.1. Назвiть фiгури, якi можуть бути паралельними проекцiями:

1) вiдрiзка; 2) променями; 3) кута; 4) трикутника.2. Назвiть декiлька плоских фiгур, паралельною проекцiєю яких

може бути:1) точка; 2) пряма; 3) паралелограм.


3. Яким може бути взаємне розмiщення двох прямих у просторi,якщо їх проекцiями є:1) двi точки; 2) пряма i точка поза нею; 3) пряма й точка на нiй?

4. Чи можуть:1) проекцiї двох рiвних вiдрiзкiв бути нерiвними;2) проекцiї двох нерiвних вiдрiзкiв бути рiвними;3) проекцiї двох паралельних вiдрiзкiв бути паралельними;4) проекцiї двох непаралельних вiдрiзкiв бути паралельними?

5. У якому випадку проекцiя фiгури збiгається iз самою фiгурою?Розв’язати задачi.

1. На рисунку довжина вiдрiзка AB дорiв�нює довжинi його проекцiї A B1 1 . Знай�дiть кут AMC, якщо точка M — середи�на вiдрiзка AA1 .

2. Дано паралельну проекцiю трикутни�ка. Побудуйте проекцiї його медiан.

3. Дано точки A1 , B1 i O1 — проекцiї двохсусiднiх вершин i точки перетину дiа�гоналей паралелограма вiдповiдно. По�будуйте проекцiю решти вершин.Вирiзати паперову модель паралелограма.


Мета: працювати над засвоєнням учнями означення та властивос�тей паралельного проектування; формувати вмiння виконувати по�будови паралельних проекцiй простих фiгур шляхом застосуванняозначення та властивостей паралельного проектування.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 19.

Хiд уроку




Учитель органiзовує самостiйну роботу учнiв iз метою перевiркиправильностi розв’язання домашнiх задач за зразками. Найбiльшскладнi та важливi моменти розв’язання коментуються.


π

A

B

CB1

M

A1

Перевiрити засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалуможна за питаннями, поданими у формi усних домашнiх вправ.


Основна мета уроку полягає у застосуваннi означення та власти�востей паралельного проектування пiд час розв’язування задач, у по�дальшому засвоєннi вiдповiдної термiнологiї (площина проекцiї, на�прямок проектування, паралельна проекцiя фiгури на площинутощо), а також у формуваннi сталих умiнь виконувати простi побудо�ви просторових фiгур на площинi.


Учнi самостiйно повторюють матерiал, вивчений на попередньо�му уроцi, за змiстом конспекту 19.


Виконання усних вправ1. У якому випадку трикутник проектується:

1) у вiдрiзок прямої; 2) трикутник, що йому дорiвнює?2. Паралелограм ABCD є зображенням квадрата. Як побудувати зоб�

раження перпендикулярiв, проведених iз точки перетину дiагона�лей квадрата, до сторiн квадрата?

3. Паралелограм ABCD є зображенням ромба з кутом 60°. Як побудува�ти зображення висоти ромба, що проведена з вершини тупого кута?

4. Трикутник ABC — зображення прямокутного трикутника A B C1 1 1

iз прямим кутом при вершинi C1 . Як побудувати зображення пер�пендикулярiв, проведених iз точки M сторони A B1 1 на сторониA C1 1 i B C1 1 трикутника A B C1 1 1 ?

5. Чи є рiзниця мiж поняттями «паралельна проекцiя фiгури наплощину» i «зображення фiгури на площинi»?

Виконання практичної вправиВирiжте з паперу модель паралелограма ABCD i перегнiть її по

дiагоналi BD. Задайте напрямок проектування так, щоб проекцiєютрикутника ABD на площину CBD був:

1) трикутник CBD; 2) вiдрiзок BD.

Виконання письмових вправ1. Трикутник A B C1 1 1 i вiдрiзок B D1 1 — паралельнi проекцiї трикут�

ника ABC i його бiсектриси BD. Чи правильно, що:1) B D1 1 — бiсектриса трикутника A B C1 1 1 ;2) AB BC A D D C: := 1 1 1 1 ? Вiдповiдi обґрунтуйте.


2. Дано паралельну проекцiю трикутника i двох його висот. Побу�дуйте проекцiю центра кола, описаного навколо трикутника.

Додаткове завданняДоведiть, що внаслiдок паралельного проектування:1) три точки, що не належать однiй прямiй, не можуть проектува�тися в три точки, що належать однiй прямiй;2) двi прямi, що перетинаються, не можуть проектуватися в двiпаралельнi прямi.

Задачi для письмового розв’язування на уроцi є задачамибiльш високого рiвня складностi, нiж тi, що були розв’язанi напопередньому уроцi. Розв’язування наведених задач пере�дбачає вiльне володiння термiнологiєю i властивостями пара�лельного проектування, сформованi вмiння виконувати аргу�ментованi побудови на основi вивченої теорiї в стандартнихситуацiях. Тому перед розв’язуванням цих задач учителю слiдпридiлити достатньо уваги повторенню базових моментiв, роз�глянутих на попередньому уроцi (див. уснi вправи).



Повторити змiст теоретичного матерiалу пiдручника.Виконати домашню самостiйну роботу.


1. Якi геометричнi фiгури можуть бути паралельними проекцiями:1) прямої; 2) двох паралельних прямих; 3) трикутника?

2. Чи можуть двi прямi, що перетинаються, проектуватися:1) у двi прямi, що перетинаються;2) у паралельнi прямi;3) в одну пряму;4) у пряму i точку на нiй;5) у пряму i точку поза нею?

3. Дано пряму i точку, що їй не належить. Чи може проекцiя цiєїточки належати проекцiї заданої прямої?

4. Чи можна в результатi паралельного проектування прямокутни�ка дiстати: 1) паралелограм; 2) трапецiю?

5. Чи можна в результатi паралельного проектування паралелогра�ма дiстати чотирикутник з кутами 30°, 70°, 150°, 110°?

6. Чи можуть нерiвнi вiдрiзки мати рiвнi паралельнi проекцiї?


Варiант 21. Якi геометричнi фiгури можуть бути паралельними проекцiями:

1) вiдрiзка;

2) двох паралельних вiдрiзкiв;

3) паралелограма?

2. Чи можуть двi паралельнi прямi проектуватися:

1) у двi прямi, що перетинаються;

2) у паралельнi прямi;

3) в одну пряму;

4) у пряму i точку на нiй;

5) у пряму i точку поза нею?

3. Як мають бути розмiщенi вiдносно напрямку проектування двiпрямi, що перетинаються, щоб вони проектувалися в пряму i точ�ку, що їй належить?

4. Чи можна в результатi паралельного проектування трапецiї дiстати:

1) паралелограм; 2) вiдрiзок?

5. Чи можна в результатi паралельного проектування опуклого чо�тирикутника з кутами 20°, 100°, 160°, 80° дiстати ромб?

6. Чи можуть рiвнi вiдрiзки мати нерiвнi паралельнi проекцiї?

Урок № 32Паралельнi проекцiї плоских фiгур

Мета: працювати над:

засвоєнням знань про види паралельних проекцiй основних плос�ких фiгур, якi випливають з основних властивостей паралельногопроектування;

формуванням умiнь виконувати побудови паралельних проекцiйплоских фiгур та зображення їх елементiв iз використанням вивче�них ранiше властивостей паралельного проектування.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралельнi проекцiї плос�ких фiгур», каркаснi моделi деяких плоских фiгур (кутiв рiзноговиду, трикутникiв рiзного виду, паралелограмiв, трапецiй).

Хiд уроку





Зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити домашню само�стiйну роботу.

Для учнiв з низьким рiвнем навчальних досягнень учитель зазда�легiдь готує роздавальний матерiал з правильними розв’язаннямидомашнiх вправ.

ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуНа цьому етапi уроку вчитель може ще раз звернутися до на�

очностi, провiвши низку експериментiв iз моделями основних плос�ких фiгур та їх тiнями. У результатi цих експериментiв учнi спосте�рiгають за видами паралельних проекцiй фiгур, можуть зробитипевнi припущення та висновки щодо видiв утворених паралельнихпроекцiй. Узагальнення спостережень, обґрунтування висновкiв таоволодiння вмiннями застосовувати цi висновки пiд час розв’язуван�ня вiдповiдних задач i є основною метою уроку.


З метою свiдомого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу уро�ку можна запропонувати їм вправи на повторення змiсту та способiвзастосування понять:

означення паралельного проектування;властивостi паралельного проектування;види паралельних проекцiй найпростiших фiгур планiметрiї за�лежно вiд напрямку проектування та розмiщення площини про�екцiї (вправи, аналогiчнi до усних вправ попереднього уроку);властивiсть двох паралельних прямих, одна з яких перпендику�лярна до третьої (у планiметрiї);властивiсть дiаметра, перпендикулярного до хорди.

Виконання усних вправ1. Якi геометричнi фiгури можуть бути паралельними проекцiями…

1) точки;2) вiдрiзка;3) променя;4) прямої;5) двох паралельних вiдрiзкiв;6) двох паралельних прямих;7) двох прямих, що перетинаються;8) двох мимобiжних прямих;9) трикутника; 10) паралелограма?


2. Вiдрiзок AB паралельно проектується на площину α. Проекцiявiдрiзка дорiвнює цьому вiдрiзку. Як розмiщенi пряма AB i пло�щина α? Скiльки випадкiв слiд розглянути?

3. У просторi дано пряму i точку, що їй не належить. Чи може пара�лельна проекцiя цiєї точки належати проекцiї заданої прямої?

4. Проекцiї прямих a i b на площину паралельнi. Як розмiщенiпрямi a i b? Скiльки випадкiв слiд розглянути?

5. Чи можна внаслiдок паралельного проектування трапецiї дiстати:1) точку;2) вiдрiзок;3) паралелограм;4) трапецiю?


План вивчення нового матерiалу1. Паралельна проекцiя кута.2. Паралельна проекцiя трикутника.3. Паралельна проекцiя паралелограмiв рiзного виду.4. Паралельна проекцiя трапецiй.5. Паралельна проекцiя кола.

Викладення змiсту матерiалу уроку можна провести у формiевристичної бесiди або запропонувати учням самостiйно ви�вчити теорiю за пiдручником i поданим планом iз наступнимскладанням загальної таблицi. Пiд час пiдбиття пiдсумкiв ак�центуємо увагу учнiв на таких моментах:

пiд час паралельного проектування зберiгається загальна формафiгури, проте розмiри (периметр, довжина сторiн, величини ку�тiв) — у загальному випадку — не зберiгаються;пiд час зображення елементiв заданої фiгури слiд керуватисятiльки властивостями паралельного проектування.Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у ви�



Виконання усних вправ1. Трикутник A B C1 1 1 є паралельною проекцiєю трикутника ABC. Чи

правильно, що:1) бiсектриси трикутника A B C1 1 1 є проекцiями бiсектрис трикут�ника ABC; 2) медiани трикутника A B C1 1 1 є проекцiями медiантрикутника ABC; 3) висоти трикутника A B C1 1 1 є проекцiями ви�сот трикутника ABC?


Конспект 20

Паралельнi проекцiї плоских фiгур

1. Проектування трикутникiв

Пiд час проектування будь�якийтрикутник зображується трикутни�ком довiльної форми

2. Проектування кутiв

Пiд час паралельного проектуваннябудь�який нерозгорнутий кут зобра�жується довiльним кутом.

3. Проектування паралелограмiв

Пiд час паралельного проектуванняпаралелограми, ромби, прямокут�ники, квадрати зображуються пара�лелограмами довiльної форми.

4. Проектування трапецiй

Пiд час паралельного проектуваннябудь�яка трапецiя зображуєтьсядовiльною трапецiєю.

5. Проектування кола

Пiд час паралельного проектуванняколо зображується елiпсом.


2. Чи може паралельна проекцiя паралелограма бути:1) квадратом;2) трапецiєю;3) чотирикутником зi сторонами 4 см, 5 см, 6 см i 7 см;4) чотирикутником із кутами 60°, 120°, 60°, 120°?

Виконання письмових вправ1. Дано паралельну проекцiю кола з центром

O i хордою AB (див. рисунок). Побудуйтепроекцiю дiаметра кола, перпендикулярно�го до заданої хорди.

2. Дано паралельну проекцiю кола. Побудуй�те проекцiю:1) дiаметра кола; 2) центра кола.

Додаткове завдання (на повторення)Мимобiжнi прямi a i b паралельнi площинi γ. Через точку C пло�

щини γ проведено пряму, що перетинає цi прямi в точках A i B вiдпо�вiдно. Доведiть, що вiдношення AC CB: не залежить вiд вибору точкиC у площинi γ.

Крiм закрiплення вiдповiдного теоретичного матерiалу до впра�ви (див. уснi вправи), мета виконання вправ — формуваннявмiнь виконувати побудови елементiв паралельних проекцiйплоских фiгур (зокрема, побудови паралельних проекцiй пер�пендикулярних вiдрiзкiв). Найтиповiшою помилкою учнiвє спроба перенести перпендикулярнiсть на паралельну проек�цiю. Це стає причиною припускання учнями помилок у 11 класiпiд час виконання зображень геометричних тiл та їх елементiвi розв’язуваннi вiдповiдних задач. Тому пiсля вивчення вiдпо�вiдного теоретичного матерiалу уроку на етапi закрiплення таформування вмiнь слiд звернути увагу учнiв на те, що оскiлькикути внаслiдок паралельного проектування не зберiгаються, топобудова перпендикулярних прямих виконується тiльки черезвикористання вiдповiдної властивостi паралельних прямих.


Тестовi завдання1. Яка з наведених фiгур не може бути паралельною проекцiєю ромба?

А Б В Г

Ромб Опуклий чотири�кутник

Прямокутник Паралелограм


O′

A′

B′

2. На яке з наведених запитань треба дати негативну вiдповiдь?

А Б В Г

Чи можна вна�слiдок паралель�ного проектуван�ня прямокутникадiстати тра�пецiю?

Чи можна вна�слiдок паралель�ного проектуван�ня вiдрiзка дiста�ти точку?

Чи можна вна�слiдок паралель�ного проектуван�ня прямокутникадiстати квадрат?

Чи можна вна�слiдок паралель�ного проектуван�ня прямокутникадiстати парале�лограм?


Вивчити змiст теоретичного матерiалу уроку (див. конспект 20).Розв’язати задачi.

1. Трикутник A B C′ ′ ′ — проекцiя рiвносторон�нього трикутника (див. рисунок). Побудуйтепроекцiю перпендикуляра, проведеногоз точки M ′ до сторони A C′ ′.

2. Дано паралельну проекцiю ромба, гострий кутякого дорiвнює 60°. Побудуйте проекцiю висо�ти ромба, проведеної з вершини тупого кута.

3. Дано паралельну проекцiю рiвнобедреної трапецiї. Побудуйтепроекцiю її висоти, проведеної з вершини тупого кута.Повторити: властивостi елементiв чотирикутникiв, властивостi

правильних многокутникiв, теореми про центри вписаного та описа�ного кiл.


Мета: працювати над закрiпленням знань учнями означення,властивостей паралельного проектування та видiв паралельних про�екцiй основних плоских фiгур; продовжити роботу над формуваннямсталих умiнь виконувати паралельнi проекцiї геометричних фiгур таїх елементiв iз використанням вивчених тверджень.

Тип уроку: застосування знань i вмiнь, формування навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 20.

Хiд уроку




A′ B′

C′

M′


Форма проведення цього етапу уроку значною мiрою залежитьвiд рiвня знань та вмiнь учнiв. Це може бути самостiйна робота учнiвз перевiрки домашнього завдання за зразком або фронтальна роботаз коментування розв’язань, заздалегiдь записаних деякими учнямина дошцi, або самостiйна робота з виконання вправ, аналогiчних зазмiстом до вправ домашньої роботи.


Труднощi та питання, що, можливо, виникли в учнiв пiд час ви�конання вправ домашньої роботи, є пiдставами для формулюваннявiдповiдної мети уроку.

ІV. Удосконалення знань

Виконання усних вправ1. Скiльки точок на площинi проекцiй можна дiстати, проектуючи

на неї:1) двi точки; 2) три точки?

2. У яку фiгуру проектується пряма перетину двох площин?3. Чи правильне твердження: «Паралельнi прямi проектуються

в паралельнi прямi або в одну пряму»?4. Чи можуть двi прямi, що перетинаються, проектуватися:

1) у прямi, що перетинаються;2) у паралельнi прямi;3) в одну пряму;4) у пряму i точку, що лежить на цiй прямiй;5) у пряму i точку, що не лежить на цiй прямiй?

5. Якi геометричнi фiгури можна дiстати на площинi проекцiй у ре�зультатi проектування двох мимобiжних прямих?

6. Наведiть приклади геометричних фiгур, розмiщених у просторi,що проектуються у пряму; у вiдрiзок?

7. За якої умови рiвностороннiй трикутник проектується:1) у рiвностороннiй трикутник;2) у рiвнобедрений трикутник?

8. Чи можна стверджувати, що в трикутнику, площина якого не па�ралельна напряму проектування:1) медiани трикутника проектуються в медiани трикутника�про�екцiї;2) висоти — у висоти трикутника�проекцiї;3) бiсектриси — у бiсектриси трикутника�проекцiї?


9. Чи можна стверджувати, що проекцiєю ромба, якщо вiн не проек�тується у вiдрiзок, також є ромб?

10. За якої умови квадрат проектується:1) у квадрат;2) у ромб;3) у прямокутник?



1. Точки A′, B′ i C′ — проекцiї точок A, B i C на площину α (див. рису,нок). Побудуйте пряму перетину площин ABC i α.

2. Побудуйте проекцiю правильного шестикутника за поданимипроекцiями трьох його послiдовних вершин.

3. Трикутник A B C′ ′ ′ — паралельна проекцiя трикутника ABC,у якому ∠ = °C 90 , ∠ = °A 30 . Побудуйте проекцiю бiсектриси BD.

4. Точки A, B i C, що не лежать на однiй прямiй, є паралельнимипроекцiями трьох вершин паралелограма. Побудуйте проекцiючетвертої вершини паралелограма. Скiльки розв’язкiв має за�дача?

5. Трикутник ABC є паралельною проекцiєю рiвнобедреного прямо�кутного трикутника, на гiпотенузi якого зовнi побудовано квад�рат (квадрат лежить у площинi трикутника). Побудуйте пара�лельну проекцiю цього квадрата.

6. Дано паралельну проекцiю кола з центром O. Побудуйте пара�лельну проекцiю правильного трикутника, вписаного в це коло.

7. Трикутник ABC є зображенням трикутника A B C1 1 1 , у якого∠ = °C1 90 i A C B C1 1 1 1 3 4: := . Побудуйте зображення центра кола,вписаного у трикутник A B C1 1 1 .

Додаткове завдання (на повторення)Через точки A i A1 , що лежать поза площиною α, проведено прямi

AB, AC, A B1 1 , A C1 1 так, що пряма AB паралельна прямiй A B1 1 , а пря�ма AC — прямiй A C1 1 , де точки B, C, B1 i C1 — точки перетину вiдпо�


α

CA

B

A′B′

C′

вiдних прямих з площиною α. Доведiть, що прямi BC i B C1 1 пара�лельнi або збiгаються.

Вправи уроку дають можливiсть учням закрiпити знання, на�бутi на попередньому уроцi, та повторити досить великий об�сяг матерiалу попереднiх класiв. Кiлькiсть задач, запропоно�ваних для розв’язування на уроцi, може бути збiльшена абозменшена вiдповiдно до рiвня активностi учнiв (чим бiльшебуде розв’язано задач, тим краще). Збiльшити кiлькiсть роз�в’язаних задач можна за рахунок того, що не треба вимагативiд учнiв повного опису побудов — достатньо в стислому виг�лядi зафiксувати аналiз i ключовi моменти побудови. Особли�ву увагу слiд звернути на задачу 1, яка є основою для подаль�шого засвоєння учнями методу внутрiшнього проектуванняпiд час побудови перерiзiв геометричних тiл. Схему розв’я�зання цiєї задачi учнi мають зафiксувати у зошитах.


Контрольнi запитанняМожна скласти iз запитань, що наведенi на етапi актуалiзацiї

опорних знань i вмiнь.


Повторити змiст вивчених на цьому та на попередньому уроцi по�нять (див. конспекти 19, 20).

Розв’язати задачi.1. Точки A, B i O — паралельнi проекцiї двох вершин i центра пра�

вильного трикутника. Побудуйте проекцiю цього трикутника.2. Дано паралельну проекцiю прямокутного трикутника, в якому

тангенс одного з кутiв дорiвнює2

3. Побудуйте проекцiю середин�

ного перпендикуляра до гiпотенузи.3. Трикутник ABC є паралельною проекцiєю рiвностороннього три�

кутника A B C1 1 1 . Побудуйте зображення перпендикулярiв, прове�дених iз точок M i N до сторiн AC i AB, де точка M лежить усере�динi трикутника, точка N належить сторонi AC.Повторити: паралельне перенесення на площинi (означення,

властивостi, див. 9 клас).


Урок № 34*

Паралельне перенесення у просторi

Мета: працювати над формуванням в учнiв свiдомого розумiннязмiсту означення та властивостей (теореми та наслiдкiв iз неї) пара�лельного перенесення у просторi;

сформувати в учнiв умiння:

вiдтворювати змiст вивчених понять;

застосовувати цi поняття для обґрунтування дiй пiд час розв’язу�вання найпростiших задач на побудову образiв поданих геометрич�них об’єктiв пiд час паралельного перенесення.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралельне перенесенняу просторi».

Хiд уроку




Учитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити вико�нання домашнiх вправ як домашню самостiйну роботу або провестиперевiрку домашнього завдання за зразком.


На цьому етапi уроку вчитель може провести бесiду, стислийзмiст якої полягає в тому, що паралельне проектування має кiлькарiзних окремих випадкiв залежно вiд напряму проектування вiднос�но площини проекцiї та площини геометричного об’єкту, що проек�тується. Можна пригадати результати спостережень, проведених пiдчас наочних експериментiв з каркасними моделями геометричнихфiгур та їх тiнями. Таким чином, цiлком логiчно пiсля вивчення за�гальних засад, що стосуються паралельного проектування, розгляну�ти деякi окремi його випадки. Вивчення одного з окремих випадкiвi є метою уроку. Вивчення iншого окремого випадку паралельногопроектування — ортогональне проектування, буде розглядатисяв темi перпендикулярнiсть прямих i площин.


** Матерiал уроку не обов’язковий для вивчення, тому вчитель на свiй розсудможе розглянути з учнями цей матерiал або використати урок для розв’я�зування задач, або використати його як резервний урок.


Виконання усних вправЗ метою свiдомого засвоєння змiсту нового матерiалу уроку мож�

на запропонувати учням вправи, аналогiчнi за змiстом до уснихвправ попереднього уроку.

Виконання усних вправ1. Якi геометричнi фiгури можуть бути паралельними проекцiями:

1) променя;2) двох мимобiжних прямих;3) трапецiї?

2. Чи можуть двi мимобiжнi прямi проектуватися:1) у двi прямi, що перетинаються;2) у двi паралельнi прямi;3) в одну пряму;4) у пряму i точку, що належить цiй прямiй;5) у двi точки?

3. Як мають бути розмiщенi вiдносно напрямку проектування двiмимобiжнi прямi, щоб вони проектувалися в пряму i точку, що їйне належить?

4. Чи можна внаслiдок паралельного проектування прямокутникадiстати чотирикутник з кутами 90°, 90°, 40°, 140°?

5. Чи може паралельною проекцiєю прямої бути:1) вiдрiзок;2) промiнь;3) точка?

6. Чи може паралельною проекцiєю прямої бути:1) вiдрiзок;2) рiвний йому кут?

7. За яких умов прямокутник проектується в прямокутник?


План вивчення нового матерiалу1. Означення паралельного перенесення у просторi.2. Теорема (основна властивiсть паралельного перенесення у про�

сторi).3. Наслiдки з теореми про основну властивiсть паралельного перене�

сення у просторi.Учитель може викласти матерiал уроку близько до текступiдручника або запропонувати учням самостiйно опрацюватитеоретичний матерiал за поданим планом iз наступним скла�


данням конспекту. У разi самостiйного вивчення учнями запiдручником змiсту нового матерiалу по закiнченнi роботислiд перевiрити складенi конспекти та за необхiдностi провес�ти корекцiю знань.

Акценти робимо на таких моментах: паралельне перенесенняє окремими видом паралельного проектування, свого роду виняткомiз правила. Тому пiд час паралельного перенесення:

площина фiгури, що проектується, паралельна площинi проекцiїабо збiгається з нею;зберiгається не тiльки форма фiгури, але й її розмiри (вiдстанi мiжточками, кути);зберiгається паралельнiсть мiж прямими та площинами або пряма(площина) переходить сама в себе.

Конспект 21

Паралельне перенесення у просторi

1. Паралельне перенесення — особ�ливий випадок паралельного про�ектування, коли площина фiгури,що проектується паралельна доплощини проекцiї.

α — площина проекцiї;

β — площина фiгури F;

α | |β

На рисунку виконано паралельнеперенесення фiгури F.

2. Властивостi паралельногоперенесення

1) Теорема. Паралельне перенесен�ня зберiгає вiдстанi мiж точками.

Якщо за паралельного перенесенняA A→ 1, B B→ 1, то AB A B= 1 1.

2) Наслiдок iз теореми. Паралельнеперенесення переводить прямув паралельну (або ту саму) пряму;вiдрiзок — у рiвний йому вiдрiзок;кут — у рiвний йому кут; площи�ну — у паралельну (або ту саму)площину.


l

β

F′

F

α

A B

A1 B1

α


Виконання усних вправ1. Чи iснує паралельне перенесення, яке переводить:

1) одну з двох мимобiжних прямих у другу;2) одну з граней куба в iншу;3) одну з граней тетраедра в iншу?

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 унаслiдок паралельного перенесення реброBB1 переходить у ребро CC1 . Визначте, у яку фiгуру переходить:1) вершина A1 ; 2) ребро A B1 1 .

Виконання письмових вправ1. Точка A′ не лежить у площинi трикутника ABC. Пiд час пара�

лельного перенесення точка A переходить у точку A′. Побудуйтетрикутник A B C′ ′ ′, у який переходить трикутник ABC. Доведiть,що трикутники ABC i A B C′ ′ ′ рiвнi.

2. Унаслiдок паралельного перенесення площина α переходить у пло�щину α′. Площина β перетинає площини α i α′ по прямих c i c′ вiдпо�вiдно. Доведiть, що c c| | ′.

Додаткове завдання (на повторення)Дано двi мимобiжнi прямi a i b. Через точки прямої a проводяться

прямi, паралельнi прямiй b. Чи рiвнi кути, якi прямi утворюютьз прямою a?

Розв’язування запропонованих задач сприяє закрiпленнюзнань основної властивостi паралельного перенесення та на�слiдкiв iз неї.


Контрольнi запитанняЧи може за паралельного перенесення:1) пряма перейти у вiдрiзок; у точку;2) прямокутний трикутник — у рiвностороннiй трикутник; у по�дiбний до поданого трикутника;3) трапецiя перейти у паралелограм?


Вивчити змiст теорiї (див. конспект 21).Розв’язати задачi.

1. Побудуйте зображення фiгури, в яку переходить тетраедр PABCу результатi паралельного перенесення, пiд час якого точка A пе�реходить у точку P.


2. У результатi паралельного перенесення точки A i B переходятьу точки A′ i B′ вiдповiдно. Доведiть, що точки A, B, A′ i B′ лежатьв однiй площинi.

3. Сторони прямокутника вiдносяться як 3:1. Побудуйте зображен�ня перпендикуляра, проведеного з вершини прямокутника дойого дiагоналi.Повторити: паралельнiсть площин, а також паралельне проекту�

вання.

Урок № 35Пiдсумковий урок з теми«Паралельнiсть прямих i площин у просторi»

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнiв:

означення, ознак та властивостей паралельних площин;

поняття паралельного проектування та його властивостей.Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання до

розв’язування задач, передбачених програмою з математики в цiйтемi.

Тип уроку: узагальнення i систематизацiя знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 17–21.

Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою роботою. За необхiд�ностi правильнi розв’язання роздаються учням для самостiйногоопрацювання вдома.


Як i завжди, основна мета уроку випливає з його мiсця в темi.Оскiльки урок є пiдсумковим, то першочерговим є повторення, уза�гальнення i систематизацiя знань та вмiнь, набутих учнями пiд часвивчення теми 3. Таке формулювання мети створює вiдповiдну моти�вацiю дiяльностi учнiв.


Учнi самостiйно повторюють теоретичний матерiал теми запiдручником або конспектом. Можна також провести опиту�


вання за основними питаннями теми або за контрольними за�питаннями.

Контрольнi запитання1. Назвiть випадки взаємного розмiщення двох площин у просторi.2. Сформулюйте означення паралельностi площин у просторi.3. Сформулюйте ознаку паралельностi площин.4. Опишiть паралельне проектування як спосiб зображення фiгур

на площинi. Назвiть основнi властивостi паралельного проекту�вання.

5. Опишiть паралельне перенесення в просторi. Якi властивостi вономає?


Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової роботи,мета якої полягає в тому, щоб учнi самостiйно сформулювали та ви�пробували узагальнену схему дiй, якої вони мають дотримуватисяпiд час розв’язування типових задач, подiбнi до яких будуть вине�сенi на контроль.

Основнi види задач на застосування вивчених у темi 4 понять мо�жуть бути такi:

доведення паралельностi двох площин;знаходження довжини вiдрiзкiв iз використанням властивостi па�ралельних площин;побудова паралельної проекцiї геометричної фiгури або її елемен�тiв iз використанням властивостей паралельного проектування.Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель об’єднує

учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань). Завдання кожноїз груп формулюється так: «Скласти план розв’язання задачi…» (кож�на з груп отримує iндивiдуальне завдання). На складання планукожнiй групi вiдводиться певний час, за який учнi мають: обговори�ти план розв’язання, записати його у виглядi послiдовних крокiв, ре�алiзувати та пiдготувати презентацiю своєї роботи. По закiнченнiвiдбувається презентацiя виконаної роботи кожною групою. Пiсляпрезентацiї — обов’язкове обговорення складених планiв. Учительабо учнi (iнших груп) пропонують змiнити яку�небудь iз величину задачi i пояснити, як змiниться її розв’язання. Пiсля обговорен�ня — обов’язкова корекцiя знань та пiдбиття пiдсумкiв.


Пiдсумком уроку узагальнення, систематизацiї знань i вмiнь учнiвє, по�перше, складенi узагальненi схеми дiй пiд час розв’язування


типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдної частинисвiдомої розумової дiяльностi учнiв (рефлексiї) — вiдображення кож�ним учнем власного сприйняття успiхiв та, найголовнiше, проблем,над якими слiд ще попрацювати перед контрольною роботою.


Повторити змiст основних понять теми 3.Опрацювати складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої


Умова домашньої контрольної роботи1. Вершини C i D прямокутника ABCD лежать у площинi α, а точка

перетину дiагоналей прямокутника не лежить у заданiй площинi.Яким є взаємне розмiщення прямої AB i площини α?

А Б В Г

Паралельнi Перетинаються Пряма лежитьу площинi


2. Площини α i β паралельнi. Пряма a лежить у площинi α, а прямаb — у площинi β. Визначте взаємне розмiщення прямих a i b.

А Б В Г

Паралельнi абоперетинаються

Паралельнi абомимобiжнi

Мимобiжнi абоперетинаються

Мимобiжнi

3. Точки M i N не належать площинi паралелограма ABCD (по одинбiк вiд площини). Серед наведених умов виберiть ту, за якої пло�щини ABM i CDN паралельнi.

А Б В Г

BM CN= AM DN| | AM MB⊥ MN AD=

4. Площина, паралельна сторонi AC трикутника ABC, перетинаєсторони AB i BC у точках M i N вiдповiдно. Знайдiть довжинувiдрiзка MN, якщо AC = 10, BM = 12, MA = 3.

А Б В Г

4 6 8 10


5. Серед наведених фiгур виберiть ту, яка може бути паралельноюпроекцiєю трапецiї.

А Б В Г

Довiльнатрапецiя

Прямокутник Паралелограм Опуклийчотирикутник

Наведiть повне розв’язання задач.

6. Побудуйте зображення квадрата, вписаного в рiвнобедрений пря�мокутний трикутник, якщо вони мають спiльний прямий кут.

7. Три прямi, що проходять через точку O, перетинають двi пара�лельнi площини α i β у точках A, B, C i A1 , B1 , C1 вiдповiдно.

1) Обґрунтуйте взаємне розмiщення прямих BC i B C1 1 .

2) Знайдiть довжину вiдрiзка AB, якщо

A B1 1 54= см, OC CC: :1 1 17= .


Мета: перевiрити:

рiвень засвоєння учнями знань основних понять теми 3;

якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi з використаннямозначення, ознак i властивостей паралельних площин;

якiсть сформованих умiнь застосовувати означення та властивос�тей паралельного проектування для зображення просторовихфiгур на площинi.

Тип уроку: контроль i корекцiя знань, умiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою№ 4. Роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематично�го бала.


Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основних


понять та оволодiння прийомами їх застосування для розв’язуванняпрограмових задач теми.


Варiант 11. Бiчнi сторони трапецiї паралельнi площинi α. Чи паралельна пло�

щина α i площина трапецiї?2. Побудуйте зображення прямокутного трикутника i його середньої

лiнiї, що паралельна одному з катетiв.3. Дано двi паралельнi площини. Через точки A i B однiєї з цих пло�

щин проведено паралельнi прямi, що перетинають другу площинув точках A1 i B1 . Знайдiть довжину вiдрiзка A B1 1 , якщо AB = 7 см.Вiдповiдь обґрунтуйте.

4. ABCDA B C D1 1 1 1 — куб. Точки M, N i K — середини ребер A B1 1 ,A D1 1 i AD вiдповiдно. Обґрунтуйте взаємне розмiщення площинMNK i B D D1 1 .

5. Паралельною проекцiєю прямокутника ABCD ( )AC BD О∩ = наплощину α є чотирикутник A B C D1 1 1 1 . Знайдiть довжину вiдрiзкаCC1 , якщо AA1 3= см, BB1 4= см, DD1 6= см.

6. Через точку K, що не лежить мiж паралельними площинами α i β,проведено прямi, якi перетинають площину α у точках A i B,а площину β — у точках A1 i B1 вiдповiдно. Знайдiть довжинувiдрiзка AB, якщо KA AA: :1 1 17= , A B1 1 54= см.Варiант 2

1. Двi дiагоналi ромба паралельнi площинi α. Чи паралельна площи�на α i площина ромба? Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. Побудуйте зображення рiвнобедреного трикутника та його серед�ньої лiнiї, що паралельна однiй iз бiчних сторiн.

3. Дано двi паралельнi прямi i точки B й B1 на однiй iз них. Через цiточки проведено двi паралельнi площини, що перетинають другупряму в точках C i C1 вiдповiдно. Знайдiть довжину вiдрiзка CC1 ,якщо BB1 9= см. Вiдповiдь обґрунтуйте.

4. ABCDA B C D1 1 1 1 — куб. Точки M, N i S — середини ребер A D1 1 ,C D1 1 i DD1 вiдповiдно. Обґрунтуйте взаємне розмiщення площинMNS i A C D1 1 .

5. Паралельною проекцiєю ромба ABCD (AC BD O∩ = ) на площину αє чотирикутник A B C D1 1 1 1 . Знайдiть довжину вiдрiзка BB1 , якщоAA1 2= см, CC1 8= см, DD1 6= см.

6. Через точку M, що лежить мiж паралельними площинами α i β,проведено прямi, якi перетинають площину α у точках A i C,


а площину β — у точках A1 i C1 вiдповiдно. Знайдiть довжинувiдрiзка AC, якщо MA AA: :1 2 5= , A C1 1 21= см.


Учитель може оголосити правильнi вiдповiдi до завдань, викона�них учнями або роздати учням для опрацювання вдома (домашнiйаналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’язань завдань кон�трольної роботи (заготовлених учителем заздалегiдь) у формi розда�вального матерiалу.


Виконати аналiз контрольної роботи за розданими розв’язан�нями.

Повторити: змiст понять мимобiжнi прямi, кут мiж прямими наплощини.


ТЕМА 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНIСТЬ ПРЯМИХI ПЛОЩИН У ПРОСТОРI (26 ГОД)

Урок № 37Кути мiж прямими, що перетинаються

Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту:

означення кута мiж прямими, що перетинаються у просторi;

означення перпендикулярних прямих;

теореми про кути мiж вiдповiдно паралельними прямими та на�слiдку з них.Розпочати роботу з формування вмiнь:

вiдтворювати вивченi поняття;

встановлювати кути мiж прямими, що перетинаються у просторi;

використовувати вивченi твердження для розв’язування несклад�них задач на доведення та обчислення.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Кути мiж прямими, що пе�

ретинаються», просторовi каркаснi моделi.

Хiд уроку




Зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити аналiз контрольноїроботи.


Учитель проводить з учнями за схемою коротку бесiду, в ходi якоївiдтворюється логiка вивчення геометрiї в 10 класi. Логiчний ланцю�жок може бути таким: основнi фiгури стереометрiї → аксiоми стерео�метрiї та наслiдки з них (основнi властивостi основних фiгур) → ви�падки взаємного розташування основних фiгур стереометрiї та їхвластивостi (паралельнiсть двох прямих, паралельнiсть прямої i пло�щини, паралельнiсть двох площин) → геометричнi величини, якiможна вимiряти в просторi (кути, вiдрiзки). Таким чином, форму�люється загальна мета вивчення теми «Перпендикулярнiсть у про�

168

сторi». Мета цього уроку — вивчення питання про вимiрювання кутiвмiж прямими, що перетинаються.


З метою успiшного засвоєння матерiалу уроку проводиться бесiда,в ходi якої повторюються можливi випадки взаємного розмiщеннядвох прямих у просторi, властивостi та ознака паралельностi прямих,ознака мимобiжностi прямих. Необхiдно також повторити означеннякута мiж прямими на площинi (див. 7 клас) та властивостi перпенди�кулярних прямих на площинi.


Чи правильно, що…

1) якщо двi прямi лежать в однiй площинi, то вони не мимобiжнi;

2) якщо двi прямi не перетинаються, то вони паралельнi;

3) двi прямi завжди лежать в однiй площинi;

4) якщо пряма в просторi перетинає одну з двох паралельних пря�мих, то вона обов’язково перетинає i другу;

5) паралельнi прямi можуть лежати на двох площинах, що пере�тинаються;

6) через точку, що не лежить на прямiй, можна провести пряму,яка не перетинає заданої;

7) кут мiж дiагоналлю AB1 гранi ABB A1 1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 i ре�бром AB дорiвнює 45°?



1. Кути мiж прямими однiєї площини: кут мiж паралельними пря�мими; кут мiж прямими, що перетинаються.

2. Означення перпендикулярних прямих.

3. Теорема про кути мiж вiдповiдно паралельними прямими (з дове�денням).

4. Ознака перпендикулярностi прямих (наслiдок iз теореми).

Викладення змiсту матерiалу уроку можна провести близькодо тексту пiдручника у формi евристичної бесiди з викорис�танням наочностi (каркаснi моделi) або запропонувати учнямсамостiйно вивчити теорiю за пiдручником (див. план) iз по�дальшим складанням загальної таблицi (див. конспект 22).Пiдбиваючи пiдсумки вивчення теоретичного матерiалу, звер�таємо увагу учнiв на такі моменти:


кут мiж прямими площини визначається залежно вiд їх розташу�вання: для паралельних прямих окремо, для тих, що перетинають�ся, — окремо;означення кута мiж прямими, що перетинаються, — фактично,планiметричне означення кута мiж прямими, яке було вивченев 7 класi (чому? Оскiльки прямi, що перетинаються, задають єдинуплощину);на вiдмiну вiд означення перпендикулярних прямих на площинi,в означеннi перпендикулярностi прямих у просторi є тiльки однавимога — величина кута мiж прямими повинна дорiвнювати 90°;теорема про кут мiж прямими, вiдповiдно паралельними заданимпрямим, i наслiдок з неї, фактично, є пiдготовкою до сприйняттяучнями змiсту поняття кута мiж мимобiжними прямими, яке будевивчатися на наступному уроцi.Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у ви�



Виконання усних вправ1. Чи правильнi у стереометрiї такi твердження?

1) Через точку, що лежить на заданiй прямiй, можна провеститiльки одну пряму, перпендикулярну до цiєї прямої.2) Прямi, перпендикулярнi до однiєї й тiєї самої прямої, пара�лельнi мiж собою.3) Якщо пряма проходить через точку кола перпендикулярно дорадiуса, проведеного до цiєї точки, то вона є дотичною до кола.

2. Чи правильне твердження: «Якщо прямi, що перетинаються, непаралельнi двом заданим перпендикулярним прямим, то вони неперпендикулярнi мiж собою»?

Виконання практичної вправиНа площинi справджується твердження: «Двi прямi, перпенди�

кулярнi до третьої, паралельнi». За допомогою моделювання визнач�те, чи правильне твердження в просторi за умови, що:

1) три заданi прямi паралельнi однiй площинi;2) будь�якi двi iз заданих прямих мимобiжнi.

Виконання письмових вправ1. Прямi a i b паралельнi. Пряма c перпендикулярна до прямої a. До�

ведiть, що прямi b i c перпендикулярнi.2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 знайдiть кут мiж ребрами:

1) DA1 i DC1 ; 2) B C1 1 i AD.


Конспект 22

Кути мiж прямими, що перетинаються

1.

2. Означення перпендикулярних прямих

Якщо кут мiж прямимидорiвнює 90°, ( )∠ = °⇒ ⊥a b a b; 90то прямi називаютьсяперпендикулярними.

3. Теорема. Кут мiж прямими,що перетинаються, дорiвнює кутумiж прямими, вiдповiднопаралельними заданим.

( ) ( )

a b O

a b

a a

b b

a b

∩ =∠ =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ ∠ =;

| |

| |

;α

α1

1

1 1

4. Ознака перпендикулярних прямих

Якщо двi прямi,що перетинаються,вiдповiдно паралельнiперпендикулярним прямим,то вони також перпендикулярнi.


a

b

a

b

αO

a

bO

α

b1

a1

Ob

a

α

лежать на однiй площинiне лежать на однiй

площинi (мимобiжнi)

Двi прямi у просторi

паралельнi

a b| | ⇒ кут мiжпрямими a i b

дорiвнює 0°

перетинаються

Кут мiж прямимиa i b — кут α, якщо

0 90°≤ ≤ °α

a

b

O

a1

b1

O1

O1

3. Прямi OA, OB i OC попарно перпендикулярнi. Знайдiть довжинувiдрiзка BC, якщо AB = 17 см, AC = 25см, OB = 8 см.

4. Усi ребра тетраедра PABC дорiвнюють a. Точки D i E — серединиребер BC i PA вiдповiдно. Доведiть, що DE PA⊥ i DE BC⊥ . Знайдiтьдовжину вiдрiзка DE.

Розв’язування запропонованих задач сприяє розвитку просто�рової уяви учнiв, свiдомому засвоєнню вивченого на уроцi тео�ретичного матерiалу. Пiд час виконання наведених вправформуються вмiння використовувати означення й теоремидля обґрунтування мiркувань пiд час розв’язування задач надоведення та обчислення. Задачi середнього рiвня, в основ�ному, є позицiйними, проте задачi достатнього рiвня (3, 4) пе�редбачають застосування, крiм матерiалу уроку, ще й фактiвпланiметрiї (теореми Пiфагора, властивостi медiани рiвнобед�реного трикутника, проведеної до основи). Задача № 3 — одназ базових задач стереометрiї (три прямi, що попарно перпен�дикулярнi), має бути спочатку змодельована (за допомогоюпiдручних засобiв або на готових предметах iз навколишньогосередовища), а потiм уже виконується зображення (не забу�ваймо про властивостi паралельного проектування) i розгля�дається розв’язання (послiдовне розв’язування трьох прямо�кутних трикутникiв).


Контрольнi запитанняЧи може кут мiж прямими у просторi дорiвнювати:1) 0°; 2) 89°; 3) 91°; 4) половинi розгорнутого кута?Що ви можете сказати про взаємне розмiщення цих прямих?



1. Для куба ABCDA B C D1 1 1 1 заповнiть таблицю.

Прямi Взаємне розмiщення Кут мiж прямими

B C1 i BC1

B C1 i A D1

AC i B C1

2. Прямi OA, OB i OC попарно перпендикулярнi. Знайдiть площутрикутника ABC, якщо OA OB OC= = = 4см.


Розв’язати задачу на повторення.

Вiдрiзок BD — висота й медiана трикутника ABC. На променi BDпозначено точку E. Доведiть, що трикутник AEC рiвнобедрений.

Урок № 38Кут мiж мимобiжними прямими

Мета: працювати над свiдомим засвоєнням учнями означеннякута мiж мимобiжними прямими; продовжити роботу над подаль�шим засвоєнням означення перпендикулярних прямих, теореми прокути мiж вiдповiдно паралельними прямими та наслiдку з них. Пра�цювати над формуванням умiнь:


встановлювати величини кутiв мiж мимобiжними прямими;

визначати кути мiж прямими, що перетинаються у просторi;

використовувати вивченi твердження для розв’язування несклад�них задач на доведення та обчислення.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Кут мiж мимобiжними пря�мими», просторовi каркаснi моделi.

Хiд уроку




Цей етап уроку проводимо у формi усного обговорення за готови�ми рисунками (рисунки до задач на дошцi побудованi заздалегiдь).


За логiкою вивчення геометрiї, пiсля введення мимобiжних пря�мих, виникає питання про вимiрювання кутiв мiж двома мимо�бiжними прямими. Таким чином, визначається мета цього уроку.


Фронтальна бесiда

1) Чи можуть двi мимобiжнi прямi перетинатися?

2) Одна пряма лежить у площинi, а друга — перетинає цю площи�ну в точцi, що не лежить на першiй прямiй. Чи iснує така пряма,що паралельна до першої прямої i перетинає другу пряму?


3) Двi прямi перпендикулярнi. Через точку, що не лежить у пло�щинi цих прямих, проведено двi прямi, вiдповiдно паралельнi доподаних. Чи може кут мiж цими прямими бути гострим?


План вивчення нового матерiалу1. Означення кута мiж мимобiжними прямими.2. Приклади розв’язування задач на визначення кута мiж мимо�

бiжними прямими.Означення кута мiж мимобiжними прямими формулюєтьсятрадицiйно як кут мiж двома прямими, що перетинаються, якiвiдповiдно паралельнi до цих мимобiжних прямих. Проте длярозв’язування задач часто використовується iнший спосiб виз�начення кута мiж мимобiжними прямими, а саме: на однiй iзмимобiжних прямих вибираємо довiльну точку i через неї про�водимо пряму, паралельну до другої прямої (коректнiсть тако�го визначення доводиться iз застосуванням теореми про кутмiж прямими, що вiдповiдно паралельнi до заданих прямих).Також пiд час розгляду питання про кут мiж мимобiжнимипрямими бажано повiдомити учням про те, що в деяких пiд�ручниках та довiдковiй лiтературi вони можуть зустрiти по�няття перпендикулярних мимобiжних прямих, яке не су�перечить означенню перпендикулярних прямих у просторi,оскiльки вимога перетину прямих у цьому означеннi вiдсутня.

Пiдбиваючи пiдсумки вивчення питання про кут мiж мимо�бiжними прямими, вчитель має наголосити на тому, що, крiм випад�ку паралельних прямих, кут мiж прямими визначається завжди яккут мiж прямими, що перетинаються (це можуть бути й заданi прямiабо їм паралельнi).



Виконання усних вправ1. Кут мiж прямими a i b дорiвнює α. Чи правильно, що:

1) прямi a i b перетинаються;2) прямi a i b мимобiжнi;3) α ≤ °90 .

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 назвiть:1) двi прямi, що перетинаються пiд прямим кутом;2) двi мимобiжнi перпендикулярнi прямi;


Конспект 23

Кут мiж мимобiжними прямими

1. Означення. Кутом мiж мимобiжними прямими називається кут мiжпрямими, що перетинаються i паралельнi поданим мимобiжним пря�мим.

( ) ( )∠ = ∠a b a b; ;1 1

Якщо ( )∠ = °a b1 1 90; , то a i b перпендикулярнi.

2. Задача. Правильний трикутник FBCi паралелограм ABCD не лежатьв однiй площинi (рис.). Знайдiтькут мiж прямими BF i AD.

Розв’язання. Оскiльки за означенням паралелограма AD BC| | , то кут мiж

прямими BF i AD дорiвнює куту FBC. За умовою трикутник BCF рiвнос�тороннiй, отже, шуканий кут дорiвнює 60°.

Вiдповiдь. 60°.

3) двi прямi, що перетинаються пiд кутом 45°;4) двi мимобiжнi прямi, кут мiж якими дорiвнює 45°.

3. Двi прямi паралельнi бiчним сторонам рiвнобедреного трикутни�ка. Чи правильно, що кут мiж заданими прямими дорiвнює одно�му з кутiв трикутника? Чи змiниться вiдповiдь, якщо замiстьбiчних сторiн розглянути бiчну сторону й основу трикутника?

Виконання письмових вправ1. Прямi a i b паралельнi. Пряма c перпендикулярна до прямої c i не

перетинає її. Доведiть, що прямi b i c перпендикулярнi.2. Прямi AB i EF паралельнi, а прямi AC i EF мимобiжнi. Знайдiть

кут мiж прямими AC i EF, якщо:1) ∠ = °CAB 25 ; 2) ∠ = °CAB 90 ; 3) ∠ = °CAB 120 .

3. Ромб ABCD i трикутник BMC не лежать в однiй площинi.Знайдiть кут мiж прямими MB i AD, якщо:1) ∠ = °BMC 80 ; 2) ∠ = °MCB 50 ; 3) ∠ = °BMC 90 , MC = 4, AD = 8.

4. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 знайдiть кут мiж ребрами:1) AD i CC1 ; 2) A C1 1 i CD.

a

b

A

b1

a1

O

A

B C

D

F

5. Прямi a, b i c паралельнi однiй площинi. Знайдiть кут мiж прями�ми a i c, якщо:

1) ( )∠ = °a b; 90 , ( )∠ = °b c; 50 ; 2) ( )∠ = °a b; 30 , ( )∠ = °b c; 20 .

Крiм свiдомого засвоєння означення кута мiж мимобiжнимипрямими i кута мiж прямими у просторi, поняття перпенди�кулярних прямих у просторi (див. уснi вправи), метою вико�нання вправ є також формування вмiнь використовувати ма�терiал цього i попереднього урокiв разом iз ранiше набутимизнаннями. Наприклад, розв’язування письмової задачi № 5вимагає вiд учнiв усвiдомлення того, що прямi, паралельнi дооднiєї площини, не є паралельними (бажано пригадати вiдпо�вiдну властивiсть), а тому визначати кут мiж заданими пря�мими слiд через кути мiж їх проекцiями на цю площину (див.властивостi паралельного проектування).



Що можна сказати про взаємне розмiщення двох прямих у про�сторi, якщо вiдомо, що кут мiж ними дорiвнює:

1) 0° ; 2) 89°; 3) половинi розгорнутого кута?

Чи змiниться вiдповiдь, якщо розглядати такi самi величиникутiв мiж прямими на площинi? Чому?




1. Пряма l паралельна сторонi AB трикутника ABC i не лежитьу площинi трикутника. Доведiть, що прямi l i BC мимобiжнi, тазнайдiть кут мiж ними, якщо:

1) ∠ = °ABC 150 ; 2) ∠ = ∠ = °BAC BCA 50 .

2. Трикутник KMN i трапецiя ABCD (AD BC| | ) не лежать в однiй пло�щинi. Вiдрiзок MN — середня лiнiя цiєї трапецiї, MN MK= ,∠ = °MKN 25 . Знайдiть кут мiж прямими:

1) AD i KN; 2) BC i MK.

3. Визначте взаємне розмiщення та кут мiж прямими BD i A D1 1

у кубi ABCDA B C D1 1 1 1 .

Повторити: властивостi середин сторiн просторового чотирикут�ника, означення та найпростiшi властивостi куба та прямокутногопаралелепiпеда.



Мета: працювати над подальшим засвоєнням знань учнiв:означення кута мiж двома прямими у просторi;означення перпендикулярних прямих.Продовжити роботу з формування сталих умiнь:вiдтворювати вивченi поняття:використовувати цi твердження для визначення кутiв мiж прями�ми у просторi на моделях геометричних тiл та просторових кон�фiгурацiй.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 22, 23.

Хiд уроку




Проведення цього етапу уроку залежить вiд рiвня знань та вмiньучнiв: це може бути самостiйна робота учнiв iз перевiрки домашньо�го завдання за зразком або фронтальна робота з коментування роз�в’язань, заздалегiдь записаних деякими учнями на дошцi, або само�стiйна робота з виконання вправ, аналогiчних за змiстом до вправдомашньої роботи.


Труднощi та питання, що, можливо, виникли в учнiв пiд час ви�конання вправ домашньої роботи, є пiдставою для формулюваннявiдповiдної мети уроку.

ІV. Удосконалення знань

Виконання усних вправ1. Чи правильне твердження: «Через точку, що лежить на заданiй

прямiй, можна провести тiльки одну пряму, перпендикулярну доцiєї прямої»?

2. Пряма проходить через точку кола, перпендикулярно до радiуса,проведеного до цiєї точки. Чи можна стверджувати, що прямає дотичною до кола?

3. Пряма a перпендикулярна до прямої b. Яким може бути взаємнерозмiщення прямих a i c, якщо прямi b i c:


1) перпендикулярнi; 2) паралельнi; 3) мимобiжнi;

4) перетинаються, але не перпендикулярнi?

4. Точка M лежить на ребрi AA1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 . Як провестив гранi AA D D1 1 пряму MN перпендикулярно до ребра AD1 ?

5. Дано пряму a i точку M. Скiльки iснує прямих, що проходять че�рез точку M, перетинають пряму a i перпендикулярнi до неї?Скiльки випадкiв слiд розглянути?



1. Прямi OA, OB i OC попарно перпендикулярнi. Знайдiть довжинувiдрiзка AB, якщо OC = 10 см, AC = 5 5 см, BC = 2 61 см.

2. У тетраедрi PABC ∠ =ABC α. Знайдiть кут мiж прямою, що прохо�дить через середини ребер AB i AC, i прямою, що проходить черезсередини ребер PA i PB.

3. У кубi знайдiть:

1) кут мiж мимобiжними дiагоналями двох сумiжних граней;

2) кут мiж дiагоналлю куба i дiагоналлю його основи, що вихо�дять з однiєї вершини;

3) кут мiж дiагоналлю куба й бiчним ребром.


Точка M не лежить у площинi квадрата ABCD, дiагоналi якогоперетинаються в точцi O. Чи можуть кути MOA, MOB, MOC i MODбути рiвними? Висловiть припущення.

Вправи, що запропонованi для виконання на уроцi, маютьбiльш високий рiвень складностi, нiж вправи попередньогоуроку, i вимагають вiд учнiв застосування не тiльки знань ма�терiалу попереднiх двох урокiв, але й вивчених у 9 класi влас�тивостей деяких окремих видiв многогранникiв (куба, пара�лелепiпеда, пiрамiди), а також просторового чотирикутника.З метою успiшного розв’язування письмових задач необхiднопопередньо виконати уснi вправи.



Серед прямих, що мiстять ребра куба ABCDA B C D1 1 1 1 , i прямимиDC1 , AC, BD, A C1 1 i B D1 1 знайдiть тi, кут мiж якими дорiвнює:

1) 0°; 2) 90°; 45°; 4) 60°.



Повторити змiст вивчених на цьому й попередньому уроках по�нять (див. конспект 22, 23).


1. Сторони основи прямокутного паралелепiпеда вiдносяться як 1 3: .

Знайдiть кут мiж мимобiжними дiагоналями основ паралелепiпеда.

2. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Знайдiть кут мiжпрямими AC i BD, якщо вiдстань мiж серединами вiдрiзкiв ABі CD дорiвнює вiдстанi мiж серединами вiдрiзкiв AD i BC.

Повторити: iснування та єдинiсть перпендикуляра до прямої,означення, ознаки та властивостi рiвнобедреного трикутника.

Урок № 40Ознака перпендикулярностi прямої i площини

Мета: працювати над засвоєнням учнями означення прямої, пер�пендикулярної до площини, ознаки перпендикулярностi прямоїi площини; продовжити роботу із закрiплення знань щодо визначен�ня кута мiж прямими у просторi.

Розпочати роботу з формування вмiнь:


встановлювати перпендикулярнiсть прямої i площини з використан�ням означення та ознаки перпендикулярностi прямої i площини;

визначати кути мiж прямими у просторi.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Перпендикулярнiсть прямоїта площини», просторовi каркаснi моделi.

Хiд уроку




На цьому уроцi доречно запропонувати учням виконати само�стiйну роботу, змiст завдань якої вiдтворює ситуацiї, опрацьованi напопереднiх уроках: визначення кутiв мiж паралельними, мимо�бiжними та прямими, що перетинаються i мiстять елементи много�гранникiв (куба, прямокутного паралелепiпеда, тетраедра).


Самостiйна роботаВарiант 1Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Заповнiть таблицю, вказавши кут мiж

прямими.

Прямi AA1 CB1 A B1 1

BC

BC1

DC1

CC1

Варiант 2

Прямi AA1 CD1 A D1 1

DC

DC1

BC1

CC1


З метою усвiдомлення учнями актуальностi питання, винесеногодля вивчення на цей урок, можна запропонувати їм для розглядукiлька каркасних моделей, що мiстять ребра, якi перетинають пло�щину (серед них одна з моделей зображує пряму, перпендикулярнудо площини). Пiсля цього учням пропонується порiвняти цi моделiта видiлити окремий випадок, який, на їхню думку, вiдрiзняєтьсявiд iнших. Вiрогiдно, що учнi виберуть саме варiант перпендикуляр�ностi прямої i площини. Запропонувавши учням описати вибранийварiант, учитель формулює проблему, розв’язання якої і є основноюдидактичною метою уроку.


З метою свiдомого засвоєння теоретичного матерiалу уроку слiдповторити ознаки та властивостi рiвнобедреного трикутника, ознакита означення рiвностi трикутникiв i ознаку перпендикулярностi пря�мих. Повторити цей матерiал можна за готовими рисунками трикут�никiв пiд час фронтальної бесiди.



План вивчення нового матерiалу1. Означення прямої, перпендикулярної до площини. Що означає

умова «пряма є перпендикулярною до деякої площини»?2. Ознака перпендикулярностi прямої до площини (з доведенням).3. Приклади застосування ознаки перпендикулярностi прямої до де�

якої площини.Вивчення питання перпендикулярностi прямої та площинибажано розпочати з повторення змiсту таблицi 1 (див. таблицi«Геометрiя в таблицях» Є. Нелiна). Далi формулюється озна�чення прямої, перпендикулярної до площини, пiсля чогоучням пропонується помiркувати над такими питаннями.

Запитання до учнiв1. Чи можна застосувати розглянуте означення для доведення пер�

пендикулярностi прямої i площини?2. Чи буде пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпен�

дикулярна тiльки до однiєї прямої цiєї площини (будуємо вiдпо�вiдну каркасну модель)?

3. Яку мiнiмальну кiлькiсть прямих площини, що перпендикулярнiдо заданої прямої i перетинають цю площину, треба взяти длятого, щоб можна було стверджувати, що пряма перпендикулярнадо площини?Пiсля цiєї бесiди учнi усвiдомлюють необхiднiсть вивчення озна�

ки перпендикулярностi прямої до площини. Учитель пропонуєучням ознайомитися зi змiстом вiдповiдної теореми. Пiсля ознайом�лення учнiв iз формулюванням теореми роботу над подальшим ви�вченням теоретичного матерiалу можна побудувати залежно вiд рiв�ня навчальних досягнень учнiв. Можна запропонувати учнямсамостiйно розглянути теорему за пiдручником iз подальшим скла�данням плану доведення й обговорення найбiльш складних мо�ментiв. Або учитель доводить теорему з повним поясненням i надан�ням плану доведення.

Пiд час вивчення ознаки перпендикулярностi прямої та площинислiд звернути увагу учнiв, що вона є правильною незалежно вiд того,чи проходить задана пряма через точку перетину прямих на пло�щинi. Учителю бажано поставити учням таке питання: «Яким є вза�ємне розмiщення заданої прямої i тих прямих, що лежать у пло�щинi?» Вивчення нового матерiалу уроку можна закiнчитирозглядом прикладiв практичного застосування ознаки перпендику�лярностi прямої до площини.



Конспект 24Перпендикулярнiсть прямої i площини

1. Означення. Пряма називаєтьсяперпендикулярною до площини,якщо вона перпендикулярна добудь�якої прямої, що лежитьу цiй площинi.

2. Ознака перпендикулярностi пря/мої i площини. Якщо пряма пер�пендикулярна до двох прямих,що лежать у площинi й перетина�ються, то вона перпендикулярнадо цiєї площини.

b a b

c a ca

⊂ ⊥⊂ ⊥

⎫⎬⎭

⇒ ⊥αα

α,

,

3. Властивостi прямої i площини, перпендикулярних мiж собою

1) Якщо площина перпендикулярна до однiєї з двох паралельних пря�мих, то вона перпендикулярна й до другої.

2) Двi прямi, перпендикулярнi до однiєї й тiєї ж площини, паралельнi.

3) Пряма, що перпендикулярна до однiєї з двох паралельних площин,перпендикулярна й до другої.

4) Якщо пряма перпендикулярна до двох рiзних площин, то цi площинипаралельнi.



1. Назвiть у навколишньому середовищi приклади прямих i пло�щин, що перпендикулярнi.

2. Аркуш паперу прямокутної форми пере�гнули посереднiй лiнiї MH (див. рисунок).Утворену фiгуру розмiстили на столi так,що на ньому опинилися точки A, B i H.Яке положення вiдносно площини столазаймає пряма MH?


a

b

cα

d

a

b

cα

A B

CD M

H

3. Що означає твердження: «Пряма не перпендикулярна до пло�щини»?

4. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини,то вона не перпендикулярна до жодної прямої, що лежить у цiйплощинi?

Виконання письмових вправ1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Доведiть перпендикулярнiсть:

1) прямої AD i площини C CD1 ;

2) прямих AC i BB1 .

2. Пряма MB перпендикулярна до сторiн AB i BC квадрата ABCD.Доведiть перпендикулярнiсть:

1) прямих MB i AC;

2) прямої AB i площини MBC;

3) прямої AD i площини MAB.

3. Площина, перпендикулярна до сторони BC трикутника ABC, про�ходить через сторону AC. Визначте вид трикутника i знайдiть AB,якщо AC = 4см, ∠ = °B 30 .

Метою розв’язування усних задач є свiдоме засвоєння учнямиозначення та ознаки перпендикулярностi прямої та площини,означення та способiв визначення кутiв мiж прямими у про�сторi. Виконання письмових вправ передбачає формуваннявмiнь використовувати новi знання в комплексi з набутимиранiше. Оскiльки на початковому етапi засвоєння знань учнiмають певнi проблеми з вибором аргументiв для обґрунтуван�ня своїх дiй, то доречно перед розв’язуванням задач ще разпояснити такi моменти:

якщо за умовою задачi пряма i площина перпендикулярнi, то слiдвикористовувати означення перпендикулярностi;

якщо ж у задачi вимагається довести перпендикулярнiсть прямоїй площини, то слiд застосувати ознаки перпендикулярностi.


Контрольнi запитання1. Чи правильно, що пряма a перпендикулярна до площини α, якщо

ця пряма перпендикулярна до:

1) деякої прямої площини α;

2) будь�якої прямої площини α;

3) двох прямих площини α;

4) двох прямих площини α, що перетинаються?


2. Пряма a не лежить у площинi паралелограма ABCD. Серед наве�дених тверджень виберiть правильнi:1) якщо ( )a ABC⊥ , то a AC⊥ ;2) якщо a AC⊥ , то ( )a ABC⊥ ;3) якщо a BC⊥ i a AD⊥ , то ( )a ABC⊥ ;4) якщо a BC⊥ i a AB⊥ , то ( )a ABC⊥ .



1. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 назвiть:1) двi прямi, перпендикулярнi до площини ABC;2) усi ребра, перпендикулярнi до площини CC D1 1 ;3) площину, перпендикулярну до прямої BD;4) двi площини, перпендикулярнi до прямої A D1 1 .

2. Дiагоналi ромба ABCD перетинаються в точцi O. Пряма MO пер�пендикулярна до прямих AC i BD. Доведiть перпендикулярнiсть:1) прямих MO i AB;2) прямої AC i площини BMD.

3. У трикутнику ABC кут B дорiвнює 90°, AC = 17 см, BC = 15 см.Пряма AD перпендикулярна до площини трикутника. Знайдiтьвiдстань вiд точки D до вершин B i C, якщо AD = 6 см.

Додаткова задача (на повторення)Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Знайдiть кут мiж

прямими AC i BD, якщо AC = 16, BD = 10, а вiдстань мiж серединамивiдрiзкiв AD i BC дорiвнює 7.

Урок № 41*

Побудова прямої, перпендикулярної до площини

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту опорних задач напобудову прямої, перпендикулярної до площини, а також площини,перпендикулярної до заданої прямої. Закрiпити знання учнямиозначення та ознаки перпендикулярностi прямої до площини; озна�чення кута мiж прямими у просторi.

Формувати вмiння:вiдтворювати вивченi поняття;встановлювати перпендикулярнiсть прямої i площини;


* Вивчення теми не є обов’язковим.

використовувати вивченi опорнi факти для обґрунтування розв’я�зання задач.Виховувати математичну культуру учнiв.Тип уроку: засвоєння та закрiплення знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Побудова перпендикуляр�

них прямої i площини».

Хiд уроку




Виконання усних вправ перевiряємо пiд час фронтальної бесiди.Розв’язання письмових вправ перевiряємо за зразком.

Засвоєння змiсту теоретичного матерiалу перевiряється пiсля ви�конання тестових завдань.

Виконання тестових завданьВарiант 1

1. До площини гранi ADD A1 1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 не є перпендику�лярною пряма…

А Б В Г

DC AB A C1 D C1 1

2. Яким є взаємне розмiщення прямої a i площини α, якщо пряма aперпендикулярна до двох сумiжних сторiн паралелограма, якийлежить у площинi α?

А Б В Г

a⊥α a | |α ⊂ α Вiдповiдь вiдрiзняється вiднаведених

3. Скiльки площин проходить через задану точку простору перпен�дикулярно до заданої прямої?

А Б В Г

Жодної Одна Безлiч Вiдповiдь залежить вiд ро�змiщення точки


4. Перерiзом куба площиною, перпендикулярною до його гранi, є…

А Б В Г

квадрат прямокутник трикутник многокутник, щовiдрiзняється вiд наведених

Варiант 2

1. До площини гранi ABB A1 1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 перпендикулярнапряма…

А Б В Г

AD1 AC C A1 AD

2. Яким є взаємне розмiщення прямої a i площини α, якщо пряма aперпендикулярна до двох дiаметрiв круга, що лежить у площинi α?

А Б В Г

a ⊂ α a⊥α a | |α Вiдповiдь вiдрiзняється вiднаведених

3. Скiльки прямих проходить через задану точку простору перпен�дикулярно до заданої площини?

А Б В Г

Безлiч Жодної Одна Вiдповiдь залежить вiд ро�змiщення точки

4. Перерiзом куба площиною, перпендикулярною до його ребра, є…

А Б В Г

квадрат прямокутник, щоне є квадратом

трикутник многокутник, що вiдрiзня�ється вiд наведених


Учитель пропонує учням помiркувати над такими запитаннями:

1) Чи завжди можна побудувати пряму, перпендикулярну до за�даної площини?

2) Якщо так, то скiльки таких прямих можна провести черезбудь�яку точку простору?


3) Чи завжди можна побудувати площину, перпендикулярну дозаданої прямої?4) Якщо так, то скiльки таких площин можна провести черезбудь�яку точку простору ?Обговоривши висунутi припущення, вчитель формулює пробле�

му — вивчити питання про iснування та єдинiсть прямої (площини),перпендикулярної до заданої площини (прямої). Розв’язання цiєїпроблеми i є основною метою уроку.


Фронтальне опитування1. Скiльки площин можна провести через задану пряму?2. Скiльки прямих, перпендикулярних до заданої прямої, можна

провести через точку на цiй площинi? У просторi?3. Одна пряма перпендикулярна до кожної з двох прямих, що пере�

тинаються. Який висновок iз цiєї умови можна зробити ?


План вивчення нового матерiалу1. Опорна задача (про побудову площини, перпендикулярної до по�

даної прямої).2. Опорна задача (про побудову прямої, перпендикулярної до пода�

ної прямої).Вивчення питання про iснування та єдинiсть прямої (площи�ни), перпендикулярної до заданої площини (прямої), не є обо�в’язковим. Проте бажано придiлити вивченню цього питанняхоча б мiнiмум часу задля того, щоб в учнiв, якi цiкавлятьсяматематикою, сформувалося повне уявлення про перпендику�лярнiсть прямої та площини. Крiм того, цi питання є пiдготов�чими для сприйняття властивостей перпендикулярностi пря�мої i площини, властивостi перпендикуляра до площини та дляматематично строгого обґрунтування цих властивостей.



Виконання усних вправ1. Скiльки прямих, перпендикулярних до прямої AB, можна про�

вести через точку A; через точки вiдрiзка AB?2. Скiльки прямих, перпендикулярних до площини KMN, можна

провести через точку K; через точки прямої MN?


Конспект 25

Побудова перпендикулярних прямої i площини

1. Опорна задача 1. Через подану точкупрямої можна провести площину, пер�пендикулярну до заданої прямої,i тiльки одну.

2. Опорна задача 2. Через подану точкуплощини можна провести пряму, пер�пендикулярну до заданої площини,i тiльки одну.

Виконання письмових вправ1. Пряма DA перпендикулярна до площини прямокутного трикут�

ника ABC, у якому кут B — прямий. Доведiть, що пряма CB пер�пендикулярна до:1) площини BDA; 2) прямої BD.

2. Кожне ребро тетраедра PABC дорiвнює a. Побудуйте перерiз тет�раедра площиною, що перпендикулярна до ребра PA i проходитьчерез його середину. Знайдiть площу побудованого перерiзу.

3. Визначте, яку фiгуру утворюють усi прямi, що проходять черезточку A прямої a i перпендикулярнi до заданої прямої.

Додатковi задачi1. Сторона квадрата ABCD дорiвнює a. Пряма MD перпендикулярна

до прямих AC i BD. Знайдiть вiдстанi вiд точки M до вершин A, Bi C, якщо MD a= 3.

2. Пряма MA перпендикулярна до сторiн AB i AC рiвносторонньоготрикутника ABC. Знайдiть довжину вiдрiзка MA, якщо точка Mвiддiлена вiд середини сторони BC на 6 см, а площа трикутникаABC дорiвнює 9 3 см2.

Виконання усних вправ сприяє подальшому засвоєнню змiстуопорних задач. Розв’язування письмових задач основної час�тини спрямованi на засвоєння алгоритмiв побудови площини,перпендикулярної до заданої прямої, i прямої, перпендику�


αA

a

A

a

A a∈ ⇒ iснує α: A ∈α, α⊥a

A a∈ ⇒ iснує a:

1) A a∈ , a⊥α;

2) a — єдина пряма

α

лярної до заданої площини, а також на повторення означеннята ознаки перпендикулярностi двох прямих, прямої i пло�щини.

Додатковi задачi є пiдготовчими до вивчення питання провiдстанi у просторi, тому розв’язати цi задачi можна за наявностiчасу для обговорення питання про змiст поняття вiдстанi вiд точкидо точки (у протилежному випадку — розв’язування цих задач пере�носиться на наступний урок).


Контрольнi запитання1. Скiльки площин проходить через точку перпендикулярно до за�

даної прямої?Розгляньте всi випадки.

2. Скiльки прямих проходить через точку перпендикулярно до зада�ної площини?Розгляньте всi випадки.



1. Дiагоналi ромба ABCD перетинаються в точцi O. Пряма MC пер�пендикулярна до площини ромба. Доведiть, що MO BD⊥ .

2. Побудуйте перерiз куба з ребром a площиною, що перпендикуляр�на до ребра куба i проходить через його середину. Знайдiть площупобудованого перерiзу.Повторити: змiст конспекту 24.


Мета: працювати над закрiпленням знань:означення та ознаки прямої, перпендикулярної до площини;опорних фактiв про пряму, перпендикулярну до заданої площини,та площину, перпендикулярну до заданої прямої.Продовжити роботу над формуванням умiнь:вiдтворювати вивченi твердження;застосовувати вивченi твердження щодо перпендикулярностi пря�мої i площини для розв’язування задач на доведення перпендику�лярностi прямої i площини;


використовувати означення перпендикулярностi прямої i площи�ни для визначення вiдстанi мiж двома точками у просторi.Тип уроку: застосування знань, формування сталих умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 24, 25.

Хiд уроку




Фронтальна робота з коментування розв’язань письмової частинидомашнього завдання, заздалегiдь записаних на дошцi. Для учнiв iзвисоким рiвнем навчальних досягнень — iндивiдуальнi завдання.

Перевiрку засвоєння теоретичного матерiалу попереднiх двохурокiв проводимо на етапi вiдтворення знань.


Для усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення питання урокуучитель пропонує до розгляду таку задачу.

Пряма KD перпендикулярна до сторiн DC i DA квадрата ABCD зiстороною 4 см. Знайдiть вiдстань вiд точки K до вершин A, B i C.

Аналiзуючи умову та питання задачi, вчитель разом iз учнямивидiляють одну з важливих проблем, що розв’язуються в стерео�метрiї, а саме — визначення вiдстаней. Учнi мають пригадати, щовизначення вiдстанi мiж двома точками на площинi зводилося дознаходження довжини вiдрiзка через рiвнiсть вiдрiзкiв (у рiвнихтрикутниках або чотирикутниках) або ж через розв’язування три�кутникiв (прямокутних, зокрема). Виникає питання: як знайтивiдстань мiж двома точками у просторi? Вирiшення цього питаннязастосуванням iз використанням перпендикулярностi прямої до пло�щини i є одним з основних завдань уроку.

ІV. Вiдтворення знань

Цей етап уроку можна провести у формi фронтальної бесiди абоу формi блiцопитування (короткi письмовi вiдповiдi на запитання)з наступною перевiркою правильностi виконання роботи.

Фронтальне опитування1. Чи правильнi наведенi твердження?

1) Якщо пряма не перпендикулярна до площини, то вона не пер�пендикулярна до жодної прямої цiєї площини.


2) Пряма, перпендикулярна до двох прямих площини, перпенди�кулярна до цiєї площини.3) Якщо пряма перпендикулярна до площини, то в цiй площинiiснує безлiч прямих, перпендикулярних до заданої прямої.

2. Пряма a перпендикулярна до площини α. Як можуть бути роз�мiщенi площина α i пряма b, якщо:1) прямi a i b — мимобiжнi;2) прямi a i b — перпендикулярнi;3) прямi a i b — перетинаються, але не перпендикулярнi;4) прямi a i b — паралельнi?

3. Пряма a перпендикулярна до площини α. Як можуть бути роз�мiщенi прямi a i b, якщо:1) пряма b належить площинi α;2) пряма b перпендикулярна до площини α;3) пряма b перетинає площину α, але не перпендикулярна до пло�щини α?

4. Чи є перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною AD C B1 1 прямокут�ником?

V. Удосконалення вмiнь

Виконання письмових вправ1. Точка O — центр рiвностороннього трикутника ABC, OM — пер�

пендикуляр до площини ABC, OM = 1 см. Сторона трикутника до�рiвнює 3 см. Знайдiть вiдстанi вiд точки M до вершин трикутникаABC.

2. Точка O — точка перетину дiагоналей квадрата ABCD, сторонаякого дорiвнює 2 см. OE — перпендикуляр до площини квадрата,OE = 3 см. Знайдiть вiдстанi вiд точки E до вершин квадрата.

3. Точка M не лежить у площинi паралелограма ABCD, дiагоналiякого перетинаються в точцi O, причому MA MC= , MB MD= .Доведiть, що пряма MO перпендикулярна до площини паралело�грама.

4. Через вершину прямого кута B трикутника ABC проведено прямуDB, перпендикулярну до сторiн AB i BC. Точка M — середина сто�рони AC. Знайдiть DM, якщо AB = 6 см, BC = 8 см, BD = 12 см.

Пiсля проведеної на попередньому етапi уроку роботи з вiд�творення означення та ознаки перпендикулярностi прямоїi площини учнi мають ще раз усвiдомити, що для доведенняперпендикулярностi прямої i площини необхiдно застосуватиознаку (шукай двi прямi площини, що перетинаються, такi,


щоб були перпендикулярнi до заданої прямої). Якщо перпен�дикулярнiсть прямої i площини доведено (через ознаку), то заозначенням пряма, що перпендикулярна до площини, будеперпендикулярною до будь�якої прямої цiєї площини, причо�му з прямими площини, що проходять через точку перетинузаданої прямої з площиною, вона утворює прямi кути.Тому задачi на визначення вiдстаней мiж двома точками роз�в’язуємо за загальною схемою: доводимо перпендикулярнiстьпрямої i площини, з доведеної перпендикулярностi зробимовисновок про перпендикулярнiсть заданої прямої до будь�якоїпрямої площини, пiсля чого дiстаємо прямокутний трикут�ник, у якому шукана вiдстань є довжиною однiєї зi сторiн,далi — застосовуємо теорему Пiфагора.


Контрольнi запитання1. Пряма MB перпендикулярна до сторiн AB i BC трикутника ABC.

Яким є трикутник MBD, де точка D — довiльна точка сторониAC?

2. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. ТочкаS сполучена з вершиною A квадрата. Визначте, яким є трикутникSAD.


Повторити змiст означення та ознаки перпендикулярностi пря�мої до площини (див. конспекти 24, 25).

Розв’язати задачi.1. У трикутнику ABC з прямим кутом B AC = 17 см, BC = 15 см. Пря�

ма AD перпендикулярна до площини трикутника. Знайдiтьвiдстанi вiд точки D до вершин B i C, якщо AD = 6 см.

2. Пряма MO перпендикулярна до площини кола з центром O.Знайдiть вiдстань вiд точки M до точки кола B, якщо довжинакола дорiвнює 14π см, а MO = 24см.

3. У трикутнику ABC AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см, AD — висо�та трикутника. Пряма AM перпендикулярна до площини трикут�ника. Знайдiть довжину вiдрiзка MA, якщо MD = 15см.


Урок № 43Зв’язок мiж паралельнiстю та перпендикулярнiстюпрямих i площин

Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями означення,ознаки перпендикулярностi прямої i площини; доповнити цi знанняопорними фактами, що виражають зв’язок мiж паралельнiстю пло�щин i перпендикулярнiстю прямої та площини. Продовжити роботуз формування сталих умiнь:

вiдтворювати вивченi поняття;використовувати цi твердження для розв’язування задач на дове�дення перпендикулярностi прямої i площини;використовувати перпендикулярнiсть прямої i площини для ви�значення вiдстаней мiж точками у просторi.Тип уроку: застосовування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Зв’язок мiж паралельнiстю

та перпендикулярнiстю прямих i площин».

Хiд уроку




Зiбрати зошити з виконаними письмовими вправами та перевiри�ти, врахувавши як самостiйну роботу.


Учитель пропонує обговорити такi питання.1. Чи правильнi твердження: «Якщо двi прямi площини перпенди�

кулярнi до третьої прямої цiєї площини, то цi двi прямi пара�лельнi» та «Якщо в площинi одна з двох паралельних прямихперпендикулярна до третьої, то й друга пряма перпендикулярнадо третьої»?

2. Чи будуть справджуватися цi твердження, якщо третю пряму за�мiнити на площину?

3. А чи будуть справджуватися цi твердження, якщо двi прямi за�мiнити на двi площини? Висловленi припущення пiдтверджуютьiснування нез’ясованих питань зв’язку паралельностi та перпен�дикулярностi прямих i площин, тому формулюється завдання наурок — розглянути цi питання.


ІV. Засвоєння знаньПлан вивчення матерiалу

1. Опорна задача про двi площини, що перпендикулярнi до однiєїпрямої.

2. Опорна задача про пряму, що перпендикулярна до однiєї з двохпаралельних площин.

3. Опорна задача про площину, що перпендикулярна до однiєї з двохпаралельних прямих.

4. Опорна задача про двi прямi, що перпендикулярнi до однiєї пло�щини.

Традицiйно з названих опорних фактiв у 10 класi вивчалисятiльки два останнiх, проте для повноти картини щодо iсну�вання зв’язку мiж паралельнiстю та перпендикулярнiстюпрямих i площин бажано розглянути всi наведенi опорнi фак�ти. Методика проведення цiєї частини уроку може бути та�кою: працюємо з планiметричними твердженнями про зв’я�зок паралельностi i перпендикулярностi прямих, замiнюючидвi прямi на двi площини. Потiм замiнюємо третю пряму наплощину i доводимо правильнiсть цих тверджень або само�стiйно, або пiд час фронтальної бесiди.


V. Закрiплення знаньВиконання усних вправ

1. Чи правильно, що двi прямi, перпендикулярнi до однiєї площи�ни, паралельнi?

2. Чи правильно, що двi прямi, паралельнi до однiєї площини, пер�пендикулярнi?

3. Чи може пряма, перпендикулярна до площини, бути паралель�ною прямiй, що лежить у цiй площинi?

4. Чи може пряма, перпендикулярна до площини, бути мимобiжноюз прямою, що лежить у цiй площинi?

5. Визначте кут мiж прямими a i b, якщо a⊥α, b| |α.6. Визначте взаємне розмiщення прямих a i b, якщо a⊥α, b⊥α.7. Пряма OA перпендикулярна до площини рiвностороннього три�

кутника ABC. Назвiть вiдрiзок, що дорiвнює вiдрiзку OC.8. Сторона AB паралелограма перпендикулярна до площини α. Як

розмiщена пряма CD вiдносно площини α? Чому?9. Сторони AB i CD чотирикутника ABCD перпендикулярнi до пло�

щини α. Визначте вид цього чотирикутника, якщо сторони AD i BCне рiвнi.


Конспект 26

Зв’язок мiж паралельнiстю та перпендикулярнiстю прямих i площин

1. Двi площини, що перпендику�лярнi до однiєї прямої, пара�лельнi.

2. Пряма, що перпендикулярна дооднiєї з двох паралельних пло�щин, перпендикулярна i до дру�гої.

3. Якщо площина перпендикуляр�на до однiєї з двох паралельнихпрямих, то вона перпендикуляр�на i до другої.

a

a bb

⊥ ⎫⎬⎭

⇒ ⊥α

α| |

4. Двi прямi, що перпендикулярнiдо однiєї площини, — пара�лельнi.

a

ba b

⊥⊥

⎫⎬⎭

⇒αα

| |

VІ. Формування вмiнь i навичок

Виконання письмових вправ1. Площина α i пряма b, що не лежить у цiй площинi, перпендику�

лярнi до прямої a. Доведiть, що b| |α.

2. Прямi a i b перпендикулярнi до площини α. Пряма c перетинає оби�двi цi прямi. Знайдiть кут мiж прямими a i c, якщо один iз кутiв,утворених у результатi перетину прямих b i c, дорiвнює 125°.


A

B

α

β

a

a

a

⊥⊥

⎫⎬⎭

⇒αβ

α β| |

a

β

α

B

Aα β

αβ

| |

aa

⊥⎫⎬⎭

⇒ ⊥

ba

a b

α

α

3. Дано прямi a, b, c, d i площину α, причому пряма a перпендикулярнадо площини α, прямi b i c належать площинi α, пряма d перпендику�лярна до прямих b i c. Серед наведених прямих назвiть паралельнi.

Додаткове завдання (на повторення)Пряма MA перпендикулярна до площини паралелограма ABCD,

MD CD⊥ . Доведiть, що ABCD — ромб.Основна частина уроку присвячена розв’язуванню опорнихзадач, що сприяє закрiпленню вiдповiдних знань та форму�ванню вмiнь використовувати цi знання на практицi. Вправи1, 2, 3 для письмового виконання можна розглядати як за�крiплення змiсту вивчених тверджень. Виконання додатково�го завдання сприяє повторенню ознаки та означення перпен�дикулярностi прямої i площини, означення прямокутника,але для її успiшного розв’язання бажано на етапi усвiдомлен�ня умови попрацювати з вiдповiдними поняттями.

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитання

1. Чи правильно, що пряма перпендикулярна до площини, якщовона перпендикулярна двох прямих цiєї площини?

2. Чи правильно, що пряма перпендикулярна до площини, якщовона перпендикулярна до двох паралельних прямих цiєї площини?

3. Пряма a лежить у площинi α, b⊥α. Вставте замiсть крапок позна�чення a, b або α так, щоб наведене твердження було правильним:1) якщо пряма перпендикулярна до…, то вона перпендикулярнадо… i паралельна…;2) якщо пряма паралельна…, то вона перпендикулярна до… i…

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст тверджень (див. конспект 26).Розв’язати задачi.

1. Пряма MC перпендикулярна до площини паралелограма ABCD,MA BD⊥ . Доведiть, що ABCD — ромб.

2. Сторона AD паралелограма ABCD лежить у площинi α, а сторонаAB перпендикулярна до площини α. Знайдiть довжину дiагоналiBD, якщо AC дорiвнює 4 см.

3. Пряма a i площина α перпендикулярнi до прямої b. Доведiть, щоколи пряма a i площина α мають спiльну точку, то пряма a лежитьу площинi α.Повторити: розв’язування прямокутних трикутників, ознаки,

властивостi та означення рiвнобедреного трикутника; означення тавластивостi чотирикутникiв.



Мета: продовжити роботу над подальшим закрiпленням учнямиозначення й ознаки перпендикулярностi прямої i площини, а такожопорних фактiв, що виражають зв’язок мiж паралельнiстю i перпен�дикулярнiстю прямих i площин; продовжити роботу з формуваннявмiнь використовувати вивченi твердження для розв’язування задачвiдповiдного змiсту.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 24–26.

Хiд уроку




Перевiрку виконання письмових вправ проводимо фронтально заготовими рисунками.

Оскiльки вправи домашньої роботи є репродуктивними, їх вико�нання ретельно перевiряємо в окремих учнiв.


Мета уроку полягає в подальшому закрiпленні знань учнiв озна�чення, ознаки перпендикулярностi прямої i площини, а також опор�них фактiв, що встановлюють зв’язок мiж перпендикулярнiстю й па�ралельнiстю прямої i площини. На цьому уроцi продовжуєтьсяформування вмiнь застосовувати вивченi твердження в комплексiз ранiше вивченим матерiалом для розв’язування задач, що передба�чають доведення перпендикулярностi прямих i площин. Також про�довжується формування вмiнь використовувати означення перпенди�кулярностi для обчислення вiдстаней мiж двома точками у просторi.


Проводимо самостiйну роботу учнiв iз довiдковим матерiалом(див. конспекти 24–26), пiсля якої пропонуємо виконати вправи.

Виконання вправ1. Точка M не належить площинi паралелограма ABCD, причому

MA MC= , MB MD= . Доведiть, що MO перпендикулярна до пло�щини паралелограма, де O — точка перетину дiагоналей парале�лограма.


2. Точка M не належить площинi квадрата ABCD, причомуMB MD= . Доведiть, що BD перпендикулярна до площини MAO.

3. Точка A не належить площинi трикутника BCD, причому∠ = °ABC 90 , ∠ = °DBC 90 . Назвiть пряму i площину, що перпенди�кулярнi мiж собою.

4. ABCD — прямокутник, точка M не належить площинi прямокут�ника i MA AB⊥ . Знайдiть пряму i площину, що перпендикулярнiмiж собою.

5. Точки P i D не належать площинi трикутника ABC. PA AB⊥ ,DC BC⊥ , PA CD| | . Доведiть, що прямi PA i DC перпендикулярнi доплощини трикутника.

V. Застосування знань i вмiнь

Як вiдомо, найскладнiшим моментом у вивченнi геометрiї є пе�рехiд вiд набутих учнями знань до оперативних умiнь, тобто дозастосування знань пiд час розв’язування практичних задач.Навчитися цього можна лише розв’язуючи задачi, проте нацьому шляху учням корисними можуть бути певнi орiєнтири,тобто рекомендацiї алгоритмiчного характеру щодо порядкудiй. Такi орiєнтири в цiй темi учнi отримали на одному з попе�реднiх урокiв (див. методичний коментар до розв’язуваннязадач, урок 42): доведення перпендикулярностi прямої i пло�щини через ознаку → застосування означення перпендикуляр�ностi прямої i площини (пряма, перпендикулярна до площини,перпендикулярна до будь�якої прямої цiєї площини) → вихiдна розгляд прямокутних трикутникiв. Ця схема може бути за�стосована повнiстю або частково (тiльки до доведення перпен�дикулярностi прямої до деякої прямої площини), проте по�слiдовнiсть мiркувань є незмiнною.

Виконання письмових вправ1. Через точку E, що лежить поза площиною трикутника ABC, проведе�

но пряму EA, яка перпендикулярна до прямих AB i AC. На вiдрiзкуBC позначено довiльну точку D. Визначте вид трикутника EAD.

2. Доведiть, що кожне ребро куба перпендикулярне до двох йогограней.

3. Визначте вид трикутника, якщо через одну з його сторiн можнапровести площину, перпендикулярну до другої сторони.

4. Точка D лежить поза площиною рiвнобедреного трикутника ABCi рiвновiддалена вiд точок B i C, точка M — середина основиBC.Доведiть, що пряма BC перпендикулярна до площини ADM.


5. У трикутнику ABC кут C — прямий, AC дорiвнює 9 см, BC —12 см, точка M — середина сторони AB. Пряма DC перпендику�лярна до площини ABC, DC дорiвнює 18 см. Знайдiть DM.


Проводиться рефлексiя щодо рiвня засвоєння знань та вмiнь.


Повторити змiст конспектiв 24–26.Виконати домашню самостiйну роботу.


1. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 O — точка перетину дiагоналей гранi ABCD.1) До яких ребер куба перпендикулярна пряма AC?2) Визначте взаємне розмiщення прямих A O1 i BD.3) Доведiть, що пряма B D1 1 перпендикулярна до площини AA C1 1 .4) Через точку M на ребрi AB проведiть пряму, перпендикулярнудо дiагоналi AC.5) Побудуйте перерiз куба площиною, що проходить через сере�дину ребра AB перпендикулярно до прямої AC. Обчислiть площуцього перерiзу.

2. Із вершини прямого кута C рiвнобедреного прямокутного трикут�ника ABC проведено пряму, перпендикулярну до площини цьоготрикутника, i на нiй позначено точку S. Побудуйте:1) площину, що проходить через точку S перпендикулярно допрямої AB;2) пряму, що проходить через середину вiдрiзка AS перпендику�лярно до площини ABC;3) площину, що проходить через точку A паралельно площинiBCS;4) пряму, що проходить через точку C перпендикулярно до пло�

щини ABS, якщо AC CS= 2

3.

Варiант 21. Вiдрiзок OS проведено iз центра O квадрата ABCD перпендику�

лярно до його площини, точка M — середина вiдрiзка BC.1) Знайдiть прямi, що перпендикулярнi до прямої BD.2) Визначте взаємне розмiщення прямих SM i BC.3) Доведiть, що пряма AD перпендикулярна до площини SOM.4) Через точку O проведiть пряму, перпендикулярну до прямої AD.


5) Побудуйте точки перетину площини, що проходить через точ�ку M i перпендикулярна до прямої BD, з прямими BS, BA, BC.

Обчислiть площу утвореного цими точками трикутника, якщодовжина сторони квадрата дорiвнює 6 см, а вiдрiзка OS — 4 см.

2. Із вершини A квадрата ABCD проведено вiдрiзок AM, перпенди�кулярний до площини квадрата. Побудуйте:

1) площину, що проходить через точку M перпендикулярно допрямої AB;

2) пряму, що проходить через середину вiдрiзка MC перпендику�лярно до площини квадрата;

3) площину, що проходить через точку B паралельно площинiACM;

4) пряму, що проходить через точку A, перпендикулярно до пло�

щини MBD, якщо AB AM= 2

3.

Урок № 45Перпендикуляр i похила

Мета: працювати над свiдомим засвоєнням учнями змiсту:

означення перпендикуляра, похилої, проведених iз точки позаплощиною, до площини та супутнiх понять;

властивостей похилих, проведених iз однiєї точки до площини;

спiввiдношень мiж перпендикуляром та похилою, проведенимиз однiєї точки до заданої площини.

Сформувати первиннi вмiння:

вiдтворювати змiст вивчених тверджень;

застосовувати їх у найпростiших ситуацiях для обґрунтуваннямiркувань;

розв’язувати найпростiшi задачi на обчислення довжин перпенди�кулярiв та похилих iз використанням вивчених тверджень.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Перпендикуляр i похила»,просторовi каркаснi моделi.

Хiд уроку





Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою само�стiйною роботою на перевiрку. З метою надання учням можливостiскоригувати знання та вмiння вчитель роздає учням правильнi роз�в’язання домашнiх вправ для самостiйного опрацювання вдома.


Сформулювавши тему уроку, вчитель звертається до вiдомихучням з урокiв планiметрiї понять перпендикуляра й похилої, прове�дених з однiєї точки до прямої, проекцiї похилої на пряму (бесiдапроводиться за вiдповiдним рисунком). Пiсля цього вчитель пропо�нує розглянути просторовi каркаснi моделi, що зображують перпен�дикуляри, проведенi до площини, i пропонує порiвняти цi моделiз наведеним рисунком. На завершення формулюється основна метауроку: вивчити питання про вiдрiзки прямих, перпендикулярних доплощини, супутнi поняття та їх властивостi, способи їх застосуванняпiд час розв’язування задач.


Виконання усних вправЗ метою кращого розумiння учнями змiсту властивостей перпен�

дикулярiв та похилих до площини слiд повторити змiст таких твер�джень:

означення та властивостi кола, описаного навколо трикутника;означення та властивостi кола, описаного навколо многокутника;означення та властивостi перпендикуляра i похилої до прямої;означення та властивостi прямокутних трикутникiв.

Тестовi завдання1. Центр кола, описаного навколо трикутника — це…

А Б В Г

точка пере�тину медiантрикутника

точка перети�ну бiсектристрикутника

точка перетину серединнихперпендикулярiв, проведе�них до сторiн трикутника

точка перети�ну висот три�кутника

2. Радiус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, до�рiвнює…

А Б В Г

пiвпериметру половинi гiпоте�нузи

половинi катета пiврiзницi суми ка�тетiв i гiпотенузи


3. За якою з наведених формул можна знайти радiус кола, описано�го навколо правильного трикутника зi стороною, що дорiвнює a?

А Б В Г

Ra=

2 3R

a=2

Ra=2

Ra=3

4. За якою з наведених формул можна знайти радiус кола, описано�го навколо квадрата?

А Б В Г

Ra=2

Ra=2

Ra=

2 3R

a=3

5. Із точки A до прямої a проведено перпендикуляр AB i AC. Вiдомо,що AC = 5, ∠ = °ACB 30 . Обчислiть довжину перпендикуляра AB.

А Б В Г

5 2,5 5 3

2

5 3

6. Яке з наведених тверджень є правильним для прямокутного три�кутника?

А Б В Г

Катетбiльший загiпотенузу

Гiпотенуза до�рiвнює добуткукатета на синуспротилежногокута

Квадрат гiпоте�нузи дорiвнюєквадрату сумикатетiв

Тангенс гострого кутапрямокутного трикутникадорiвнює вiдношенню про�тилежного катета до при�леглого


План вивчення нового матерiалу1. Означення перпендикуляра до площини. Супутнi поняття. Вiд�

стань вiд точки до площини.2. Поняття похилої, проведеної до площини та її проекцiї.3. Властивостi перпендикуляра, похилих i проекцiй.4. Опорна задача (про точку, рiвновiддалену вiд вершин многокут�

ника). Побудова зображення точки, рiвновiддаленої вiд вершинмногокутника на проекцiйному рисунку.


Перш за все слiд зауважити: попри те що цей урок кла�сифiкується як урок вивчення нового матерiалу, фактичновiдбувається розширення уявлень учнiв про вiдомi власти�востi перпендикулярiв, похилих, їх проекцiй для випадкутривимiрного простору. Саме тому можливий такий варiантвивчення матерiалу — розгляд означення i властивостей пер�пендикуляра, похилих та їх проекцiй на площину в по�рiвняннi з аналогiчними поняттями в планiметрiї. Учительзвертає увагу учнiв на схожi моменти в означеннях i власти�востях: наприклад, властивостi виконуються тiльки для по�хилих, проведених iз однiєї точки до заданої площини; абодовжина перпендикуляра, проведеного з точки як до прямої,так i до площини, показує вiдстань вiд цiєї точки як до пря�мої, так i до площини. Учитель також указує на вiдмiннiсть:на площинi iз заданої точки до прямої можна провести тiлькидвi рiвнi похили, у просторi таких похилих безлiч. Особливовiдповiдально слiд поставитися до вивчення змiсту опорної за�дачi про точку, рiвновiддалену вiд вершин многокутника.Оскiльки цей опорний факт використовується для розв’язу�вання багатьох стереометричних задач i правильної побудовирисункiв, то бажано попрацювати над змiстом самої задачi.З умови задачi випливає, що проекцiями рiвних похилих(вiдстаней), проведених iз точки до площини многокутника,є рiвнi радiуси кола, описаного навколо цього многокутника.Із цього випливають можливостi розв’язування задач на зна�ходження невiдомих похилих через радiус кола, описаногонавколо многокутника, який можна визначити або за форму�лами, або виходячи з властивостей многокутника. Такожпiсля роботи з цiєю задачею бажано обговорити питання проправильне виконання проекцiйного рисунка в задачах на точ�ку, рiвновiддалену вiд вершин многокутника.



Виконання усних вправ1. Точка B лежить у площинi β, вiдрiзки AB i CB — перпендикуляри

до площини β.1) Яким є взаємне розмiщення прямої AC i площини β?2) Чи лежать точки A, B i C на однiй прямiй? Яка з цих точок неможе лежати мiж двома iншими, якщо AB CB> ?


Конспект 27

Перпендикуляр i похила

1. Перпендикуляром, проведеним iззаданої точки на задану площину,називається вiдрiзок, що сполучаєцю точку iз точкою площини (осно�вою перпендикуляра) i лежить напрямiй, перпендикулярнiй до пло�щини; при цьому довжина перпен�дикуляра називається вiдстаннювiд заданої точки до площини.

2. Похилою, проведеною з точки доплощини, називається будь�якийвiдрiзок, що сполучає цю точкуз точкою площини (основою похи�лої) i не є перпендикуляром доплощини; вiдрiзок, що сполучаєоснови перпендикуляра i похилої,проведених з однiєї точки, нази�вається проекцiєю похилої.

3. Поняття перпендикуляра до пря�мої, похилої до прямої, проекцiїпохилої на пряму, вiдстанi вiд точ�ки до прямої у просторi аналогiчнiпланiметричним; їх властивостiзберiгають свою правильнiстьу стереометрiї.

4. Якщо точка поза площиною много�кутника рiвновiддалена вiд усiх йоговершин, то основою перпендикуляра,проведеного iз заданої точки до пло�щини многокутника, є центр кола,описаного навколо многокутника.


h — вiдстаньвiд A до α

α

A

перпендикуляр

основа пер�пендикуляра

Aпохила

α

основапохилої

проекцiяпохилої

α

основапохилої

проекцiяпохилої

похиладо прямої a

перпендикулярдо прямої a

основаперпенди�куляра

d — вiдстаньвiд A до a

P

O

C

A

B D

ΔABC — рiвностороннiй,PA PB PC= =

ABCD — квадрат, прямокутникPA PB PC PD= = =

B

P

A

OC

B

A

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Назвiть проекцiю дiагоналi B D1 на пло�щину:

1) ABC; 2) ABB1 ; 3) A AD1 .

3. Із точки до площини проведено перпендикуляр AB i рiвнi похилiAC AC1 2> . Чи обов’язково:

1) AC AB1 > ; 2) BC AB1 > ;

3) точки B, C1 i C2 лежать на однiй прямiй?


1. Із точки A до площини α проведено перпендикуляр AB i похилуAC. Знайдiть:

1) AC, якщо AB BC= = 2 2 см;

2) AB i AC, якщо BC = 12 см, ∠ = °BAC 30 ;

3) AB i BC, якщо AB BC: := 34, AC = 15 см.

2. Площа рiвностороннього трикутника дорiвнює 27 3 см2. Знайдiтьвiдстань вiд площини трикутника до точки, вiддiленої вiд усiхйого вершин на 10 см.

3. Сторони прямокутника дорiвнюють 12 см i 16 см. Точка просторувiддалена вiд усiх вершин прямокутника на 26 см. Знайдiть вiд�стань вiд цiєї точки до площини прямокутника.

Оскiльки змiст навчального матерiалу має досить великий об�сяг, то на цьому уроцi розв’язуємо найпростiшi вправи на ро�зумiння, закрiплення змiсту основних понять уроку, а такожформуємо уявлення про найпростiшi схеми розв’язування за�дач на перпендикуляр i похилу до площини.

Схема 1. Перпендикуляр + похила + її проекцiя = прямокутнийтрикутник → розв’язування прямокутного трикутника (теоремаПiфагора або спiввiдношення мiж сторонами i кутами).

Схема 2. Якщо є ключова фраза «…точка рiвновiддалена вiд вер�шин…», то див. змiст опорної задачi (шукай радiус описаного кола).



1. Через вершину A прямокутника ABCD (AB BC< ) проведено пер�пендикуляр AM до його площини. Точку M сполучено з точкамиB, C i D. Який iз вiдрiзкiв MA, MB, MC, MD має найбiльшу дов�жину?

2. Із точки, що не лежить на площинi, проведенi похилi довжиною aдо цiєї площини. Що є геометричним мiсцем основ цих похилих?



Вивчити змiст конспекту (див. конспект 27).


1. Із точки до площини проведено перпендикуляр i похилу, довжинаякої дорiвнює 8 см. Знайдiть:

1) довжину перпендикуляра, якщо кут мiж перпендикуляромi похилою дорiвнює 45°;

2) довжину проекцiї похилої, якщо вона утворює з похилоюкут 60°.

2. Точка, вiддалена вiд вершин правильного трикутника на 5 см,знаходиться на вiдстанi 4 см вiд площини трикутника. Знайдiтьпериметр цього трикутника.

3. Точка простору вiддалена вiд площини квадрата на 12 см i рiв�новiддалена вiд його вершин. Знайдiть вiдстань вiд цiєї точки довершин квадрата, якщо його площа дорiвнює 50 см2.

Повторити: спiввiдношення мiж сторонами й кутами в прямокут�ному, довiльному трикутниках (теореми синусiв та косинусiв).


Мета: працювати над закрiпленням учнями знань:

означення перпендикуляра, похилої, проведених iз точки позаплощиною до площини, та супутнiх понять;

властивостей похилих, проведених iз однiєї точки до площини;

спiввiдношень мiж перпендикуляром та похилою, проведенимиз однiєї точки до заданої площини.

Продовжити роботу з формування сталих умiнь застосовуватививченi поняття до розв’язування задач.

Тип уроку: закрiплення знань, формування вмiнь i навичок.


Хiд уроку




Учитель органiзує роботу з перевiрки домашнього завдання зазразком iз коментуванням учнями змiсту наданих учителем правиль�


них розв’язань домашнiх вправ. Пiсля виконання роботи за роздани�ми зразками учнi виконують корекцiю розв’язань у робочих зошитах.

Засвоєння змiсту теоретичного матерiалу уроку перевiряється пiдчас виконання усних вправ або проведення математичного диктанту.

Математичний диктант1. Із точки A до площини α проведено перпендикуляр AC та похилу

AB. Знайдiть:1) AB, якщо BC = 3, AC = 4;2) AB, якщо AC = 7, ∠ = °BAC 30 ;3) BC, якщо AB = 10, BC = 8;4) AC, якщо BC = 5, ∠ = °ABC 45 ;5) BC, якщо AB = 10, ∠ = °BAC 60 ;6) AC, якщо AB = 12, ∠ = °ABC 45 .

2. Із точки A до площини α проведено двi похилi AB i AC та перпен�дикуляр AD. Знайдiть:1) AB, якщо AC = 10, CD = 6, DB = 15;2) BD, якщо AC = 25, CD = 20, AB = 17.


Пiсля перевiрки домашнього завдання, пiд час якої можливе ви�правлення припущених помилок, учнi мають усвiдомити, що матерi�ал, вивчений на попередньому уроцi, потребує закрiплення (у разiвеликої кiлькостi помилок) або вiдпрацювання на бiльш складнихприкладах. У цьому й полягає основне завдання на урок.


Виконання усних вправЗа рисунками, поданими в конспектi 27, сформулювати пра�

вильнi твердження про перпендикуляр, похилi та їх проекцiї.

V. Удосконалення вмiнь, вiдпрацювання навичок

Виконання письмових вправ1. Із точки поза площиною проведено двi рiвнi похилi до цiєї площи�

ни. Кут мiж похилими складає 60°. Знайдiть довжини похилих,якщо їх проекцiї дорiвнюють 4 2 см, а кут мiж проекцiями пря�мий.

2. Із точки до площини проведено двi рiвнi похили, довжини якихдорiвнюють 6 2 см. Знайдiть вiдстань вiд заданої точки до площи�ни, якщо кут мiж похилими дорiвнює 60°, а їх проекцiї взаємноперпендикулярнi.



3. Із точки до площини проведено двi похилi. Довжина однiєї з нихдорiвнює 20 см, а довжина її проекцiї — 16 см. Кут мiж проекцiя�ми похилих складає 120°, а основи похилих сполученi вiдрiзкомдовжиною 19 см. Знайдiть довжину другої похилої.

4. Якщо через центр кола, описаного навколо многокутника, прове�дено пряму, перпендикулярну до площини многокутника, то точ�ки цiєї прямої рiвновiддаленi вiд вершин многокутника.

5. Периметр прямокутника дорiвнює 28 см, а площа — 48 см2. Точкапростору вiддалена вiд площини прямокутника на 12 см. Знай�дiть вiдстанi вiд цiєї точки до вершин прямокутника, якщо цiвiдстанi рiвнi.


Знайдiть радiус кола, описаного навколо трикутника зi сторона�ми 5 3 см i 2 см та кутом мiж ними 30°.

Усi задачi уроку можна умовно подiлити на двi групи:1) задачi про двi похилi, якi проведенi з однiєї точки до пло�щини так, що їх проекцiї утворюють деякий нерозгорнутийкут;2) задача, обернена до опорної, розглянутої на попередньомууроцi, i задача на застосування її змiсту.Пiд час розв’язування задач першої групи в учнiв часто вини�кають труднощi, пов’язанi з розумiнням того факту, що, навiдмiну вiд планiметрiї, у стереометрiї перпендикуляр та по�хилi, проведенi з точки, а також їх проекцiї, не обов’язковолежать в однiй площинi. Щоб усунути цю проблему, можнаперед початком розв’язування задач ще раз звернутися до на�очностi — попрацювати з каркасними моделями.Що стосується задачi № 4, оберненої до опорної, то за певнихумов її можна було розглянути на попередньому уроцi, сфор�мулювавши необхiдну i достатню умови точки, рiвновiддале�ної вiд вершин многокутника, якщо ця точка не лежитьу площинi многокутника.


Проводимо рефлексiю.


Повторити змiст теоретичного матерiалу (див. конспект 27).Розв’язати задачi.

1. Із точки до площини проведено перпендикуляр довжиною 12 смi двi похилi, довжини яких дорiвнюють 12 2 см i 13 см. Знайдiтьвiдстань мiж основами похилих, якщо кут мiж їх проекцiями до�рiвнює 90°.

2. Із точки, вiддаленої вiд площини на 12 см, проведено двi взаємноперпендикулярнi похилi, проекцiї яких дорiвнюють 9 см i 16 см.Знайдiть вiдстань мiж основами похилих.

3. Точка простору вiддалена вiд площини прямокутника на 8 см вiдкожної з його вершин на 17 см. Знайдiть площу прямокутника,якщо його сторони вiдносяться як 3:4.Повторити: поняття вiдстанi на площинi (вiдстань мiж двома точ�

ками, вiд точки до прямої, мiж паралельними прямими).

Урок № 47Вiдстанi у просторi

Мета: сформувати в учнiв уявлення про способи вимiрюваннявiдстаней у просторi, способи обґрунтування побудови вiдстаней пiдчас розв’язування задач; працювати над формуванням умiнь будува�ти та обґрунтовувати побудову вiдстаней вiд точки до площини, вiдпрямої до паралельної їй площини та вiдстанi мiж паралельнимиплощинами, а також умiння обчислювати цi вiдстанi, використовую�чи вивченi ранiше властивостi плоских фiгур.

Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Вiдстанi у просторi», кар�

каснi моделi.

Хiд уроку




Одним iз варiантiв проведення цього етапу уроку є виконання са�мостiйної роботи на перевiрку оволодiння учнями вивчених на попе�реднiх уроках схем у стандартних ситуацiях. Приблизний текст са�мостiйних роботи може складатись iз задач такого змiсту.

Варiант 11. Із точки M до площини α проведено похилi MN i MK, а також

перпендикуляр MF. Знайдiть MF i MK, якщо

MN = 20 см, NF = 16 см, KF = 5см.


2. Точка M рiвновiддалена вiд вершин ромба ABCD. Доведiть, щоABCD — квадрат.

3. Із точки M до площини α проведено похилi MA i MB та перпенди�куляр MC,

MA = 8 см, MC = 8 см, AB = 316 см, ∠ = °ACB 120 .

Знайдiть довжину похилої MB.Варiант 2

1. У прямокутному трикутнику ABC (∠ = °C 90 )

AC = 24см, BC = 10 см.

Через точку D до площини трикутника проведено перпендикулярAD так, що AD = 18 см. Знайдiть довжини похилих DB i DC.

2. O — точка перетину бiсектрис трикутника ABC. Пряма MO пер�пендикулярна до площини трикутника. Точка M рiвновiддаленавiд вершин трикутника. Доведiть, що трикутник ABC — рiвносто�роннiй.

3. Із точки M до площини α проведено похилi MA i MB та перпенди�куляр MO,

AB = 12 см, ∠ = °MAB 60 , ∠ = °ABO 30 .

Знайдiть довжину вiдрiзка MO.


На цьому етапi уроку доречними будуть слова вчителя про те, щознаходження довжини перпендикуляра, проведеного з точки до пло�щини, є одним iз кiлькох випадкiв важливої задачi геометрiї, а са�ме — задачi про визначення вiдстаней. Таким чином формулюєтьсязавдання на урок: вивчити питання про можливi випадки вiдстанейу геометрiї та способи їх обчислення.


Виконання усних вправ1. Точки A, B i C лежать на площинi α. Пряма MA перпендикулярна

до площини α, AB AC= . Доведiть, що MB MC= .2. ABCD — прямокутник, O — точка перетину його дiагоналей. Пря�

ма KO перпендикулярна до площини прямокутника. Доведiть, що

KA KB KC KD= = = .

3. Пряма PO перпендикулярна до площини DEK,

PE PD PK= = , OE OD= ,

де точка O належить площинi DEK. Доведiть, що ∠ = °DKE 90 .



План вивчення нового матерiалу1. Вiдстанi в планiметрiї.2. Вiдстанi в стереометрiї: вiдстань вiд точки до площини; вiдстань

вiд прямої до паралельної площини; вiдстань мiж двома пара�лельними площинами.

Цей урок є дуже важливим у формуваннi правильного «мате�матичного свiтогляду» учнiв, оскiльки на цьому уроцi розгля�дається системний пiдхiд до обчислення вiдстаней у площинiта в просторi. Слiд зазначити, що пiд час вивчення питанняпро обчислення вiдстаней у просторi, можна, як i на поперед�ньому уроцi, використовувати прийом аналогiї та порiвнян�ня. Проведення аналогiї та порiвняння вiдстаней у просторiз вiдповiдними вiдстанями на площинi сприяє кращому ро�зумiнню учнями поняття вiдстанi i формуванню просторовоїуяви. На цьому уроцi також розпочинається копiтка роботаз пiдготовки учнiв до розв’язування стереометричних задач iзповним обґрунтуванням у рамках пiдготовки до ДПА та ЗНОз математики. Уже в 10 класi бажано формувати в учнiв сталiнавички усвiдомлено (не формально) обґрунтовувати побудо�ви вiдстаней у просторi перед їх обчисленням.


Конспект 28

Вiдстанi у просторi

1. Вiдстань мiж двома точками

Вiдстань мiж двома точками про�стору дорiвнює довжинi вiдрiзка,що сполучає цi точки.

( )ρ A B AB; =

2. Вiдстань вiд точки до прямої

Вiдстань вiд точки до прямої до�рiвнює довжинi перпендикуляра,проведеного iз цiєї точки доподаної прямої.

( )ρ A a AD; =


AB

A

D a

3. Вiдстань вiд точки до площини

Вiдстань вiд точки до площинидорiвнює довжинi перпендикуля�ра, проведеного iз цiєї точки дозаданої площини.

( )ρ αA AH; =

4. Вiдстань мiж двома прямими

1) вiдстань мiж двома паралель�ними прямими дорiвнює вiдстанiвiд будь�якої точки однiєї з цихпрямих до другої прямої.

( )ρ a b AB; =

2) Вiдстанню мiж двома мимо�бiжними прямими називаєтьсядовжина їх спiльного перпенди�куляра.

( )ρ a b AB; =

5. Вiдстань мiж паралельнимипрямою i площиною

Вiдстань вiд прямої до паралель�ної площини дорiвнює вiдстанiвiд будь�якої точки цiєї прямоїдо заданої площини.

( ) ( )ρ α ρ αa A AH; ;= =

6. Вiдстань мiж паралельнимиплощинами

Вiдстань мiж паралельними пло�щинами дорiвнює вiдстанi вiдбудь�якої точки однiєї площинидо другої площини.

( ) ( )ρ α β ρ β; ;= =A AH


A

Hα

A

Ba

b

B

a

b

A

αH

Aa

β

H

Aα



1. Точки A i B лежать по один бiк вiд площини α. Доведiть, що колицi точки рiвновiддаленi вiд площини α, то AB| |α.

2. Вiдрiзок довжиною 35 см впирається кiнцями у двi паралельнiплощини. Знайдiть вiдстань мiж цими площинами, якщо про�екцiї цього вiдрiзка на кожну з них дорiвнюють 21 см.

3. Вiдрiзки довжиною 41 см i 50 см впираються кiнцями у двi пара�лельнi площини. Знайдiть проекцiю меншого вiдрiзка на одну iзподаних площин, якщо проекцiя бiльшого вiдрiзка на цю площи�ну дорiвнює 30 см.

4. Площина, проведена через вершину прямого кута трикутника,паралельна його гiпотенузi. Знайдiть довжину гiпотенузи трикут�ника, якщо його катети вiдносяться як 3:4, а їх проекцiї на цюплощину дорiвнюють 9 см i 16 см.

5. Вершини трикутника ABC рiвновiддаленi вiд площини α i лежатьпо один бiк вiд неї. Доведiть, що площини ABC i α паралельнi.


Точка F знаходиться на вiдстанi 6 см вiд вершин прямокутникаi на вiдстанi 4 см вiд його площини. Знайдiть сторони прямокутника,якщо одна з них у два рази бiльша за другу.


Контрольнi запитання (на зображеннi моделi куба та паралелепi�педа вказати вiдстанi вiд точки до прямої, вiд точки до площини,мiж паралельними прямими, мiж паралельними площинами).


Вивчити змiст конспекту 28.


1. Вiдрiзок AB впирається у двi паралельнi площини. Чи рiвнi про�екцiї вiдрiзка на цi площини? Чому?

2. Два вiдрiзки впираються кiнцями у двi паралельнi площини.Знайдiть вiдстань мiж цими площинами, якщо довжини вiдрiзкiввiдносяться як 13:15, а проекцiї вiдрiзкiв на одну з площин до�рiвнюють 5 см i 9 см.

3. Сторона AD паралелограма ABCD лежить у площинi α, а сторонаBC вiддалена вiд цiєї площини на вiдстань d. Знайдiть вiдстань вiдточки перетину дiагоналей паралелограма до площини α.



Мета: продовжити роботу над свiдомим засвоєнням учнями по�няття вiдстанi вiд точки до площини, способiв визначення вiдстанейу просторi; доповнити знання учнiв схемою розв’язування задач назнаходження вiдстаней вiд точок простору або кiнцiв вiдрiзка до пло�щини.

Продовжити роботу над формуванням навичок використовуватививченi поняття для:

обґрунтування побудови вiдстаней у просторi;

розв’язування задач на обчислення вiдстаней вiд точки до площи�ни, мiж прямою та паралельною до неї площиною, а також вiдстанiмiж двома паралельними площинами.



Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання проводимо за готовими короткими записами розв’язань. За�лежно вiд рiвня математичної пiдготовки учнiв розв’язання записанiна дошцi учнями або виконанi вчителем у формi роздавального ма�терiалу для iндивiдуальної роботи учнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалу про�водимо у формi фронтальної бесiди.


Головна мета уроку полягає в тому, щоб, закрiпивши знанняучнiв про способи обчислення вiдстаней у просторi, сформувати сталiвмiння та навички роботи з обґрунтування побудов вiдстаней, обчис�лення вiдстаней мiж рiзними парами основних фiгур у просторi.

ІV. Вiдтворення й систематизацiя опорних знань

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на двох попереднiх уроках за змiстом конспектiв 27, 28, тавiдповiсти на запитання.


Фронтальне опитування1. Чи може перпендикуляр до площини, проведений iз кiнця похи�

лої, дорiвнювати її проекцiї на цю площину?2. Із двох рiзних точок, що не лежать у площинi, проведено двi по�

хилi однакової довжини до цiєї площини. Чи можна стверджува�ти, що їх проекцiї на цю площину теж мають однаковi довжини?

3. Із точки перетину дiагоналей ромба проведено перпендикуляр доплощини ромба, кiнцi якого сполучили з його вершинами. Скiль�ки прямокутних трикутникiв утворилося при цьому?

4. Вiдомо, що точки A i B рiвновiддаленi вiд площини. Як розмiщенiпряма AB та її проекцiя на цю площину?

5. Чи правильно, що двi площини збiгаються, якщо вiдстань мiжними дорiвнює нулю?

6. Вiдомо, що три точки знаходяться на однаковiй вiдстанi вiд пло�щини. Чи можна стверджувати, що цi точки лежать на площинi,паралельнiй заданiй?

7. Яку фiгуру утворюють точки, рiвновiддаленi вiд вершин трикут�ника?

8. Де розташованi точки, що знаходяться на однаковiй вiдстанi вiдвершин прямокутника?

V. Доповнення знань

Серед задач достатнього та високого рiвнiв складностi, якi ма�ють бути розв’язанi на уроцi, є серiя задач, в яких мова йдепро знаходження вiдстанi до площини вiд кiнцiв (або iншихточок) вiдрiзка, що не належить цiй площинi (паралельний доплощини або непаралельний, що лежить по один бiк вiд пло�щини, або такий, що перетинає площину). Усi цi задачi роз�в’язуються приблизно за однiєю схемою i цю схему можна по�бачити в дiї у розв’язаннi наведеної нижче задачi.

Тому перед тим, як давати учням задачi для самостiйного розв’я�зування, бажано опрацювати поданий у пiдручнику приклад, видi�ливши основнi кроки в загальнiй схемi розв’язування задач такоговиду.

Задача. Точки A i B лежатьпо один бiк вiд площини α i вiд�даленi вiд неї на 6 см i 10 смвiдповiдно (рисунок). Знайдiтьвiдстань вiд середини вiдрiзкаAB до площини α.


C1

α

A C

B1A1

B

Розв’язання. Проведемо iз точок A, B перпендикуляри AA1 , BB1

до площини α. Тодi AA1 i BB1 — вiдстанi вiд точок A i B до площиниα. За умовою AA1 6= см, BB1 10= см.

Нехай точка C — середина вiдрiзка AB. Проведемо CC1 ⊥α, тодiCC1 — шукана вiдстань вiд середини вiдрiзка AB до площини α.

Оскiльки прямi AA1 , BB1 i CC1 перпендикулярнi до площини α, тоза теоремою про прямi, перпендикулярнi до однiєї площини, прямiAA1 , BB1 i CC1 паралельнi. Цi прямi перетинають пряму AB, отже,вони лежать в однiй площинi, що перетинає площину α по прямiйA B1 1 . Таким чином, точка C1 лежить на вiдрiзку A B1 1 . За теоремоюФалеса, оскiльки AC CB= , то A C C B1 1 1 1= . За доведеним чотирикут�ник AA B B1 1 — трапецiя, тодi CC1 — середня лiнiя цiєї трапецiї. Затеоремою про середню лiнiю трапецiї

CCAA BB

11 1

2=

+,

отже, CC1

6 10

28= + = см.

Вiдповiдь. 8 см.



1. Один iз кiнцiв вiдрiзка лежить у площинi α. Знайдiть вiдстань вiддругого кiнця вiдрiзка до заданої площини, якщо серединавiдрiзка вiддалена вiд неї на 4 см.

2. Вiд верхнього кiнця вертикального стовпа заввишки 13 м до дахубудинку заввишки 6 м необхiдно протягнути дрiт. Вiдстань мiж


рисунок

Умова

обґрунтування вiдстаней вiд точкидо площини (мiж паралельними пря�

мими, паралельними площинами

розв’язування планiметричної задачi

стовпом i будинком складає 24 м. Скiльки метрiв дроту знадо�биться, якщо вважати, що вiн не провисає.

3. Вiдрiзок AB перетинає площину α в точцi C. Знайдiть його довжи�ну, якщо проекцiї вiдрiзкiв AC i CB на площину α дорiвнюють 4 смi 8 см вiдповiдно, а вiдстань вiд точки B до площини α на 3 смбiльша, нiж вiд точки A.

4. Вершини трикутника вiддаленi вiд площини α на 4 см, 6 см i 8 см.Знайдiть вiдстань вiд точки перетину медiан до площини α.


1. Катети прямокутного трикутника дорiвнюють 6 см i 8 см. Точкапростору вiддалена вiд кожної вершини трикутника на 13 см.Знайдiть вiдстань вiд цiєї точки до площини трикутника.

2. Бiльша основа, бiчна сторона й дiагональ рiвнобедреної трапецiїдорiвнюють 10 см, 6 см i 8 см вiдповiдно. Точка простору вiддале�на вiд кожної з вершин трапецiї на 13 см. Знайдiть вiдстань вiдцiєї точки до площини трапецiї.

Вправи для письмового виконання на уроцi можна умовноподiлити на двi групи: задачi на знаходження вiдстаней вiдточок вiдрiзкiв до площини (розв’язання таких задач сприяєповторенню поняття вiдстань вiд точки до площини) та задачiiз використанням опорної задачi про точку, рiвновiддаленувiд вершин многокутника (додатковi задачi).


Робота за готовим рисунком

1. На рисунку зображено куб iз ребром a.Чому дорiвнює вiдстань:1) вiд точки A до площини A B C1 1 1 ;2) вiд точки A до площини BDD1 ?

2. На рисунку зображено куб iз ребром a.Чому дорiвнює вiдстань:1) вiд точки A до площини квадратаA B C D1 1 1 1 ;2) вiд точки D до площини трикутникаA B D1 1 1 ;3) вiд точки A до площини трикутника B D C1 1 1 ?


Повторити змiст конспектiв 22–28.Виконати домашню самостiйну роботу.


A

B

D

A1

B1

C

C1

D1


1. Точка D знаходиться на вiдстанi 8 см вiд вершин рiвносторонньо�го трикутника ABC зi стороною 4 см.Знайдiть вiдстанi:1) вiд точки D до прямої AB;2) вiд точки B до площини DOC, де точка O — центр трикутникаABC;3) вiд точки D до площини ABC;4) вiд площини, що проходить через середини вiдрiзкiв DA, DB,DC до площини трикутника ABC.

2. Чи правильно, що коли вiдстань вiд прямої до площини вiдмiннавiд нуля, то пряма i площина паралельнi?Варiант 2

1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 iз ребром 2 см.Знайдiть вiдстанi:1) вiд вершини A1 до прямої BD;2) вiд центра гранi ABCD до площини BCC1 ;3) вiд площини, що проходить через середини ребер BC, DC, B C1 1 ,до площини DBB1 ;4) вiд точки C до площини DBC1 .

2. Вiдомо, що вiдрiзок AB вiддалений вiд площини α на 3 см. Чиозначає це, що пряма AB вiддалена вiд площини на 3 см?


Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнiвщодо:

означення кутiв мiж прямими у просторi;означення та ознаки прямої, перпендикулярної до площини;зв’язку мiж паралельнiстю та перпендикулярнiстю;способiв вимiрювання вiдстаней у просторi.Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання до

розв’язування задач, передбачених програмою з математики.Тип уроку: узагальнення й систематизацiя знань, умiнь i на�

вичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 22–28.


Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Основна дидактична мета уроку та завдання на урок полягаютьу повтореннi, узагальненнi та систематизацiї знань та умiнь, набутихучнями в ходi вивчення теми. Таке формулювання мети створюєвiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.

ІV. Повторення й систематизацiя знань

Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв учитель може органiзу�вати роботу з повторення та систематизацiї знань рiзнимиспособами: як самостiйну з теоретичним матерiалом (на�приклад, за пiдручником або за конспектом повторити змiстосновних понять теми чи скласти схему, що вiдображає зв’я�зок мiж основними поняттями теми, тощо), або традицiйнопровести опитування (у формi iнтерактивної вправи) заосновними питаннями теми або за контрольними запитання�ми до роздiлу.


1. Дайте означення кута мiж прямими в просторi для рiзних ви�падкiв взаємного розмiщення прямих.

2. Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини. Сформу�люйте ознаку перпендикулярностi прямої i площини.

3. Сформулюйте властивостi прямих, перпендикулярних до пло�щини.

4. Дайте означення вiдстаней вiд точки до прямої, вiд прямої до па�ралельної площини, мiж паралельними площинами.

V. Повторення й систематизацiя вмiнь, навичок

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб власне учнi сформулювалита випробували узагальнену схему дiй, якої вони мають до�тримуватися пiд час розв’язування типових завдань, подiбнiдо яких будуть винесенi на контроль.


Перед виконанням практичного завдання проводиться роботаз видiлення основних видiв задач на застосування вивчених у темiпонять. Такими видами задач можуть бути задачi на:

визначення кутiв мiж прямими (тими, що перетинаються, та ми�мобiжними) у просторi на готових моделях многогранникiв;

доведення перпендикулярностi прямої i площини;

застосування властивостей перпендикуляра i похилих, проведе�них з однiєї точки до площини;

застосування опорної задачi про точку, рiвновiддалену вiд вершинмногокутника;

застосування зв’язку мiж паралельнiстю та перпендикулярнiстю;

знаходження вiдстаней у просторi.

Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель об’єднуєучнiв у робочi групи учнiв (за кiлькiстю видiв завдань), завданнякожної групи формулюється як «Скласти план розв’язання задачi…»(кожна з груп отримує iндивiдуальне завдання). На складання планукожнiй групi вiдводиться певний час, за який учнi групи мають: об�говорити план розв’язання, записати його у виглядi послiдовнихкрокiв, реалiзувати та пiдготувати презентацiю своєї роботи. По за�кiнченнi вiдбувається презентацiя виконаної роботи кожною гру�пою. Пiсля презентацiї — обов’язкове обговорення складених пла�нiв: учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнити яку�небудь iзподаних величин i пояснити, як змiниться розв’язання задачi. Пiсляобговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком уроку узагальнення, систематизацiї знань i вмiньучнiв є, по�перше, складенi узагальненi схеми дiй пiд час розв’язу�вання типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдноїчастини свiдомої розумової дiяльностi учнiв (рефлексiї) вiдображен�ня кожним учнем власного сприйняття своїх успiхiв та, найголов�нiше, проблем, над якими слiд ще попрацювати перед контрольноюроботою.


Повторити змiст понять теми.

Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.

Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньоїконтрольної роботи № 5.


Варiант 11. Із точки A до площини α проведена похила довжиною 10 см.

Знайдiть вiдстань вiд точки A до площини, якщо проекцiя похи�лої на площину дорiвнює 6 см.

2. Через вершину прямого кута C прямокутного трикутника ABC дойого площини проведено перпендикуляр CM. Знайдiть довжинусторони AB трикутника ABC, якщо

CM = 8 см, BM = 17 см, ∠ = °CAB 30 .

3. Із вершини C прямокутника ABCD проведено перпендикуляр CMдо площини ABC. Доведiть, що пряма AD перпендикулярна доплощини DMC.

4. Із точки A до площини α проведенi двi похилi AB i AD. Проекцiїцих похилих на площину α дорiвнюють 7 см i 18 см. Знайдiтьвiдстань вiд точки A до площини α, якщо

AB AD: := 5 6.

5. Два вiдрiзки, довжини яких дорiвнюють 13 см i 20 см, впирають�ся своїми кiнцями у паралельнi площини. Знайдiть вiдстань мiжплощинами, якщо рiзниця проекцiй цих вiдрiзкiв на одну з пло�щин дорiвнює 11 см.

6. Через вершину A паралелограма ABCD проведено площину α, па�ралельну дiагоналi BD. Вiдстань мiж BD i площиною α дорiвнює5 см, а проекцiї сторiн AB i AD на цю площину дорiвнюють 8 смi 7 см вiдповiдно. Знайдiть дiагональ AC паралелограма, якщо дiа�гональ BD дорiвнює 9 см.Варiант 2

1. Із точки M до площини β проведена похила. Проекцiя похилої нацю площину дорiвнює 5 см, а вiдстань вiд точки M до площини βдорiвнює 12 см. Знайдiть довжину похилої.

2. Через вершину прямого кута C прямокутного трикутника ABC дойого площини проведено перпендикуляр CD. Знайдiть довжинусторони AB трикутника ABC, якщо

AD = 20 см, CD = 16 см, ∠ = °CAB 60 .

3. Трикутник BCE i прямокутник ABCD не лежать в однiй площинi,∠ = °ABE 90 . Доведiть, що пряма DC перпендикулярна до площи�ни BCE.

4. Із точки K до площини α проведенi двi похилi KP i KD. Знайдiтьвiдстань вiд точки K до площини, якщо

KD KP− = 2 см,


а довжини проекцiй похилих дорiвнюють 9 см i 5 см.

5. Два вiдрiзка, довжини яких дорiвнюють 10 см i 17 см, спирають�ся своїми кiнцями у паралельнi площини. Знайдiть вiдстань мiжплощини, якщо сума проекцiй цих вiдрiзкiв на одну з площин до�рiвнює 21 см.

6. Через вершину C трикутника ABC проведено площину α, пара�лельну сторонi AB. Вiдстань мiж AB i площиною α дорiвнює 6 см,а проекцiї сторiн CA i CB на цю площину дорiвнюють 4 см i 8 смвiдповiдно. Знайдiть медiану CM трикутника ABC, якщо дiаго�наль AB дорiвнює 10 см.


Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями змiсту основних по�нять теми «Перпендикулярнiсть у просторi»; якiсть сформованихумiнь визначати кути мiж прямими у просторi, доводити й викорис�товувати перпендикулярнiсть прямої i площини для обчисленнявiдстаней у просторi пiд час розв’язування задач, передбачених про�грамою з математики.

Тип уроку: контроль рiвня засвоєння знань i вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою.Роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала.


Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних понять та оволодiння прийомами їх застосу�вання пiд час розв’язування програмових задач.


Варiант 1

1. Двi прямi AD i BF перпендикулярнi до площини трикутника ABC.Чи можуть вони перетинатися? Чому?


2. Чи правильно, що коли одна з двох перпендикулярних прямихпаралельна площинi, то друга обов’язково перпендикулярна пло�щинi. Зробiть вiдповiдний рисунок.

3. Із точки C до площини прямокутника ABCD зi сторонами 9 см i 12 смпроведено перпендикуляр CM. Обчислiть довжину цього перпенди�куляра, якщо вiдстань вiд точки M до точки A дорiвнює 39 см.

4. Із точки M до площини проведено двi похилi, що дорiвнюють37 см i 13 см. Проекцiї цих похилих вiдносяться як 1 : 7. Знайдiтьвiдстань вiд точки M до площини.

5. Катет прямокутного трикутника дорiвнює 8 см, а прилеглий донього кут — 60°. Вiдстанi вiд точки простору до вершин трикут�ника дорiвнюють по 10 см. Обчислiть вiдстань вiд цiєї точки доплощини трикутника.Варiант 2

1. Площина квадрата ABCD перпендикулярна до прямої BF. Чи можеця площина бути паралельною до прямої KM, якщо KM BF| | ?

2. Чи можливо, щоб кожна з двох перпендикулярних прямих булапаралельна однiй площинi? Зробiть вiдповiдний рисунок.

3. Із точки D до площини прямокутника ABCD зi сторонами 6 смi 8 см проведено перпендикуляр DK довжиною 24 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки K до вершини A прямокутника.

4. Із точки K до площини проведено двi похилi, довжини якихвiдносяться як 5 : 6. Знайдiть вiдстань вiд точки K до площини,якщо проекцiї похилих дорiвнюють 4 см i 3 3 см

5. Гострий кут мiж дiагоналями прямокутника дорiвнює 60°, а мен�ша його сторона — 12 см. Точка простору знаходиться на вiдстанi13 см вiд вершин прямокутника. Обчислiть вiдстань вiд цiєї точ�ки до площини прямокутника.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи № 5 (заготовлених учителемзаздалегiдь) у формi роздавального матерiалу.


Виконати аналiз контрольної роботи за розданими розв’язаннями.Повторити змiст понять: коло, вписане у трикутник, коло, вписа�

не у многокутник.


Урок № 51Теорема про три перпендикуляри

Мета: сформувати уявлення учнiв про змiст задачi про вимiрю�вання вiдстанi вiд точки до прямої площини; працювати над засвоєн�ням змiсту теореми про три перпендикуляри та схеми її доведення.

Сформувати первиннi вмiння:вiдтворювати вивченi твердження;використовувати вивченi твердження для розпiзнавання перпен�дикуляра, проведеного з точки до прямої у просторi, на готових ри�сунках;виконувати та обґрунтовувати побудову перпендикуляра з точкидо прямої у просторi (точка не належить площинi, в якiй лежитьзадана пряма).Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Теорема про три перпенди�

куляри».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.Вступна бесiда вчителя про:приблизний змiст навчального матерiалу другого роздiлу теми;кiлькiсть навчальних годин, вiдведених на вивчення цього матерiалу;орiєнтовну дату проведення тематичної контрольної роботи з теми;вимоги до знань i вмiнь учнiв.




Проводиться бесiда, пiд час якої учнi мають повторити матерiал,вивчений у попередньому роздiлi про визначення вiдстаней у про�сторi (див. конспект 28), пiсля якої вчитель окреслює проблему —пряма i точка знаходяться у просторi, як знайти вiдстань вiд точкидо заданої прямої?

Пiсля обговорення проблеми формулюється мета уроку — доско�нало вивчити питання про визначення вiдстанi вiд точки до прямоїу просторi, а також навчитися розпiзнавати та обґрунтовувати побу�дову таких вiдстаней.



Виконання усних вправ(iз використанням каркасних моделей)

1. Як формулюється означення перпендикулярних прямої i площини?2. Як формулюється ознака перпендикулярностi прямої i площини?3. Яке з теоретичних тверджень служить практичним правилом пе�

ревiрки перпендикулярностi прямої та площини?4. Якi висновки про перпендикулярнiсть прямої i площини можна

зробити за допомогою означення?5. Як вимiрюється вiдстань вiд точки до прямої в площинi?6. Якщо з однiєї точки до прямої площини провести всi вiдрiзки, то

який iз них буде найкоротшим?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про змiст задачi, що приводить до теореми про три пер�

пендикуляри.2. Теорема про три перпендикуляри (пряма й обернена) з дове�

денням.3. Як обґрунтовувати вiдстань вiд точки до прямої (у просторi).

Вивчення матерiалу уроку можна проводити за традицiйноюсхемою за наданим планом близько до тексту пiдручника,роблячи акценти на таких моментах:

теорема про три перпендикуляри складається з двох частин (проперпендикулярнiсть похилої до прямої площини i про перпендику�лярнiсть її проекцiї до цiєї прямої);обґрунтування вiдстанi вiд точки до прямої у просторi може здiй�снюватися (виходячи зi сказаного вище) двома способами: першийспосiб — перпендикуляр iз точки до площини → перпендикулярз основи першого перпендикуляра до прямої площини → похила iззаданої точки до основи другого перпендикуляра, другий спосiб —спочатку обґрунтувати положення основи перпендикуляра до пло�щини або до прямої, а потiм виконувати побудову.Інший спосiб, що сприяє сприйняттю та усвiдомленню змiсту

теореми про три перпендикуляри, передбачає виконання практич�ної роботи, пiд час якої учнi експериментальним шляхом, крок закроком, доходять формулювання цiєї теореми з наступним її дове�денням.



Конспект 29

Теорема про три перпендикуляри

1. Задачi про вимiрювання вiдстанi вiдточки простору до прямої площини.

( )

A

a

AM

M

∉⊂

⊥∈

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒

αα

αα

Як знайти ( )ρ A a; ?−

2. Теорема про три перпендикуляри:

1) Пряма, що проведена на площинiперпендикулярно до проекцiї похилої нацю площину, перпендикулярна до цiєїпохилої.

a

AB

a BC

BC AC

a AC

⊂⊥

⊥=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ ⊥

αα

αпр

2) Якщо пряма на площинi перпендику�лярна до похилої, то вона перпендику�лярна й до її проекцiї.

a

AB

a AC

a BC

⊂⊥

⊥

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ ⊥

αα

3. Як побудувати та обґрунтувати вiд�стань вiд точки до прямої у просторi?

Приклад. Нехай MA — перпендикулярдо площини трикутника ABC (∠ = °B 90 ).

Побудувати вiдстань вiд точки M допрямої BC (перпендикуляр iз точки Mдо прямої BC).

Розв’язання. Розглянемо MA, MB i AB:MA⊥α, BC ⊂ α, MB — похила, AB —проекцiя MB на α,

AB BC⊥ , звiдси MB BC⊥ . Отже,( )MB M BC= ρ ; .


A

M

aα

B

A

α

a

C

A

B

C

M

α


Виконання усних вправ1. Доведiть, що в кубi ABCDA B C D1 1 1 1 дiагональ BC1 гранi BCC B1 1

перпендикулярна до прямої AB.2. Із вершини A ромба ABCD проведено перпендикуляр AS до його

площини. Доведiть, що прямi SO i BD перпендикулярнi, де O —точка перетину дiагоналей ромба.

3. Із вершини гострого кута A до площини прямокутного трикутни�ка ABC проведено перпендикуляр AS. Знайдiть вiдстань вiд точкиS до точки B, якщо BC = 3, SC = 4.

4. На рисунках 1–4 ( )MA ABC⊥ . За рисунками обґрунтуйте вiдстань

вiд точки M до прямої BC.

Рис. 1 Рис. 2

ABCD — ромб BC — дотична до кола

Рис. 3 Рис. 4

Виконання письмових вправ1. Через вершину A рiвностороннього трикутника ABC проведено

перпендикуляр MA до площини трикутника. Точка K — серединасторони BC.1) Доведiть, що MK BC⊥ .

2) Знайдiть довжину вiдрiзка MA, якщо AB = 2 3 см, MK = 5см.

2. Вiдрiзок MB — перпендикуляр до площини квадрата ABCD.1) Доведiть, що MA AD⊥ , MC CD⊥ .2) Знайдiть довжини вiдрiзкiв MA i MC, якщо MB = 12 см, а пло�ща квадрата дорiвнює 25 см2.


A

B

C

D

M

D C

BA

M

A

B

C

M

D

BA

C

M

3. Сторони трикутника дорiвнюють 6 см, 25 см i 29 см. Із вершининайменшого кута трикутника проведено перпендикуляр до йогоплощини довжиною 15 см. Знайдiть вiдстань вiд вершини цьогокута до найменшої сторони.

Додаткове завданняТочка перетину дiагоналей ромба вiддалена вiд його сторони на

3 см. Знайдiть площу ромба, якщо його гострий кут дорiвнює α.Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, сприяютькращому розумiнню теореми про три перпендикуляри (див.уснi вправи), передбачають застосування стандартної схемиобґрунтування перпендикулярностi похилої до площини, про�веденої з точки до прямої (див вище). Письмовi вправи прак�тично вiдтворюють ситуацiї, що описанi в усних вправах, про�те передбачають, крiм обґрунтування, ще й застосуванняпланiметричного матерiалу (теореми Пiфагора, формул площромба, квадрата, трикутника).

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитанняІз вершини A квадрата ABCD до його площини проведено перпен�

дикуляр AS. Побудуйте вiдповiдний рисунок. Знайдiть на цьому ри!сунку всi прямокутнi трикутники, одна з вершин яких — точка S.

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст засвоєного на уроцi матерiалу (див. конспект 29).Розв’язати задачi.

1. Чи правильно, що будь�яка пряма, яка перпендикулярна до похи�лої, перпендикулярна до її проекцiї на цю площину?

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Укажiть i обґрунтуйте вiдстань:1) вiд точки B1 до прямої CD;2) вiд точки C до прямої A D1 1 ;3) вiд точки D1 до прямої AC;4) вiд точки A1 до прямої BD.

3. У трикутнику ABC кут B — прямий. Вiдрiзок MC — перпендику�ляр до площини трикутника. Знайдiть вiдстань вiд точки M допрямої AB, якщо:1) AC = 17 см, AB = 15 см, MC = 6 см;2) AC = 5 2 см, ∠ = °A 45 , ∠ = °MBC 60 .

4*. У трикутнику ABC AB BC= , ∠ = °B 120 . Вiдрiзок MA довжиною8 см — перпендикуляр до площини трикутника. Знайдiть площу три�кутника, якщо вiдстань вiд точки M до сторони BC дорiвнює 10 см.


Урок № 52Точка, рiвновiддалена вiд сторiн трикутника (многокутника)

Мета: сформувати уявлення в учнiв про змiст опорної задачi проточку, що рiвновiддалена вiд сторiн многокутника (трикутника).

Продовжити роботу над:засвоєнням теореми про три перпендикуляри та способи її застосу�вання для обґрунтування вiдстаней вiд точки до прямої площини;формуванням умiнь вiдтворювати вивченi твердження, визначативид взаємного розмiщення двох прямих у просторi вiдповiдно довивченої теореми;формуванням умiнь використовувати змiст опорної задачi для роз�в’язування задач на обчислення вiдстанi вiд точки до площинимногокутника за умови, що ця точка рiвновiддалена вiд сторiн цьо�го многокутника.Тип уроку: засвоєння та закрiплення знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Застосування теореми про

три перпендикуляри», стереометричний ящик.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняПеревiрка виконання письмових вправ проводиться у виглядi

фронтальної бесiди за готовими рисунками. Виконання усних вправможна провести, запропонувавши учням математичний диктант.

Математичний диктант1. SA — перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Назвiть

вiдрiзок, що зображує вiдстань вiд точки S до прямої CD.2. SA — перпендикуляр до площини прямокутника ABCD. Назвiть

вiдрiзок, що зображує вiдстань вiд точки S до прямої BC.3. Точка O — точка перетину дiагоналей ромба ABCD. SA — перпен�

дикуляр до площини ромба. Назвiть вiдрiзок, що зображуєвiдстань вiд точки S до прямої BD.

4. Точка O — точка перетину дiагоналей ромба ABCD. SA — перпен�дикуляр до площини ромба. Назвiть вiдрiзок, що зображуєвiдстань вiд точки S до прямої AC.

ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуУчитель пропонує учням завдання (на повторення):Знайти геометричне мiсце точок, рiвновiддалених вiд...


сторiн нерозгорнутого кута;

двох прямих (паралельних або непаралельних);

сторiн трикутника;

сторiн многокутника.

Повторивши вiдповiдну властивiсть (ГМТ, рiвновiддалених вiдсторiн нерозгорнутого кута, є бiсектрисою цього кута) та наслiдкиз неї (про вписане у многокутник коло), мiркуємо над питанням: чизмiниться вiдповiдь у кожному з цих випадкiв, якщо з площини ви�йти у простiр? Далi формулюємо бiльш конкретне завдання на урок:вивчити питання про точку, рiвновiддалену вiд сторiн многокутника(трикутника) у просторi.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань i вмiньЗ метою свiдомого засвоєння матерiалу уроку бажано повторити

з учнями властивостi перпендикуляра та похилих, проведених iз од�нiєї точки до площини, означення та властивостi кола, вписаногоу многокутник (трикутник), а також ознаку чотирикутника, описа�ного навколо кола та формули радiусiв кiл, вписаних у правильнiмногокутники.

Виконання вправЗаповнiть таблицю.

ФiгураДе знаходиться

центр вписаногокола

Формула дляобчислення радiу/са вписаного кола

Формулидля обчислення

площi фiгури

Правильнийтрикутник

Прямокутнийтрикутник

Довiльний три�кутник

Квадрат

Ромб

Трапецiя Укажiть умову, заякої в трапецiюможна вписати коло

V. Засвоєння знаньПлан вивчення нового матеріалу

1. Опорна задача про точку, рівновіддалену від сторін многокутника.


2. Побудова зображення точки, рівновіддаленої від сторін много�кутника.

3. Зведення стереометричних задач до планіметричних.Опорну задачу про точку, рівновіддалену від сторін многокут�ника, традиційно доводять спочатку для трикутника, а потімпоширюють висновки задачі на випадок многокутника, у якийможна вписати коло. Якщо рівень пізнавальної активностіучнів достатньо високий, можна запропонувати цю частинуматеріалу вивчити самостійно за підручником, а потім під часобговорення виділити основні етапи доведення. Якщо ж учнімають проблеми із самостійним вивченням нового матеріалу,можна, як і на попередньому уроці, провести практичну робо�ту зі стереометричним ящиком та набором моделей многокут�ників. Головне, на чому треба зосередити увагу учнів, — церозуміння того, що проекції рівних похилих, проведених іззаданої точки до сторін многокутника, є радіусами вписаногоу многокутник кола (з усіма відповідними наслідками: у пра�вильних многокутниках і трикутниках вони обчислюються завідомими формулами, а в чотирикутниках виражаються че�рез їх елементи). Також після виконаної роботи з опорною за�дачею бажано обговорити питання про зображення правиль�них із точки зору паралельного проектування рисунків дозадач відповідного змісту.

Після вивчення змісту та доведення опорної задачі доречно роз�глянути питання про загальну методику розв’язування стереомет�ричних задач «розбиранням» її за допомогою теорем стереометрії накілька планіметричних задач. Учитель ознайомлює учнів із понят�тям «винесених» креслень та пропонує попрацювати із готовим роз�в’язанням однієї такої задачі.

Стисло зміст навчального матеріалу можна подати учням у ви�гляді конспекту 30.


Виконання усних вправ(на розумiння)Із точки M — центра кола, впи�

саного в трикутник BCD, проведе�но перпендикуляр MA до площинитрикутника. Обґрунтуйте вiдстаньвiд точки A до прямої BC.


B

A

C

M

E

D

Конспект 30

Застосування теореми про три перпендикуляри

1. Опорний факт. Якщо точка позаплощиною многокутника рівновідда�лена від усіх його сторін, то основоюперпендикуляра, проведеного із за�даної точки до площини многокут�ника, є центр кола, що вписанев многокутник.

( ) ( )( ) ( ) ( )

M ABC MO ABC

M AB M AC M BC

∉ ⊥

= =⎫⎬⎭

⇒,

; ; ;ρ ρ ρточ�

ка O — центр кола, вписаного в три�кутник ABC, OP ON OK r= = = —радіус вписаного кола.

2. Як побудувати зображення точки,що рівновіддалена від сторін много�кутника (і не лежить у площинімногокутника)?

Нехай ADCD — зображення ромба.Побудувати зображення точки M,рівновіддаленої від сторін ромба.

Побудова

1) Точка перетину діагоналей ромба —центр вписаного в ромб кола;

2) ( )OM ABC⊥ ;

3) M — шукана точка.

3. Стереометрична задача →

→ Обґрунтування положення прямих, відрізків і кутів →

→ Розгляд плоских фігур, використання їх властивостей

Виконання письмових вправ1. Точка поза площиною паралелограма рiвновiддалена вiд його

сторiн. Доведiть, що цей паралелограм є ромбом.2. Точка простору вiддалена вiд кожної сторони квадрата на 13 см.

Знайдiть вiдстань вiд цiєї точки до площини квадрата, якщо йогопериметр дорiвнює 40 см.

3. Вiдстань вiд точки, рiвновiддаленої вiд сторiн правильного три�кутника, до площини трикутника дорiвнює 8 см. Знайдiть вiд�


B

A

C

M

O

PN

K

O

CB

A D

M

стань вiд цiєї точки до сторiн трикутника, якщо його периметрдорiвнює 36 3 см.


Якщо через центр кола, що вписане в многокутник, проведенопряму, перпендикулярну до площини многокутника, то точки цiєїпрямої рiвновiддаленi вiд сторiн многокутника. Доведiть.

Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, спрямованiна засвоєння учнями змiсту опорної задачi про точку, рiвно�вiддалену вiд сторiн многокутника, а також передбачають по�вторення деяких планiметричних спiввiдношень (ознак ром�ба, властивостей квадрата, формули радiуса вписаного колата периметра квадрата, правильного трикутника тощо). До�даткова задача є опорною задачею, оберненою до розглянутоївище, i може бути розглянута на попередньому етапi уроку якчастина загальної задачi про необхiдну й достатню умовиточки, рiвновiддаленої вiд сторiн многокутника.



Чи iснують у просторi точки, рiвновiддаленi вiд сторiн:

1) прямокутного трикутника;

2) рiвностороннього трикутника;

3) паралелограма;

4) прямокутника;

5) квадрата;

6) трапецiї з бiчними сторонами 4 см i 5 см i середньою лiнiєю4,5 см?


Вивчити змiст конспекту 30.


1. Точка, вiддалена вiд кожної сторони квадрата на 10 см, знахо�диться на вiдстанi 8 см вiд площини квадрата. Знайдiть площуквадрата.

2. Бiльша дiагональ ромба дорiвнює 32 см, а гострий кут 60°. Черезточку перетину дiагоналей ромба проведено перпендикуляр дойого площини. Знайдiть довжину цього перпендикуляра, якщойого другий кiнець вiддалений вiд кожної сторони ромба на 17 см.


3. Пряма a перетинає площину α в точцi A i не перпендикулярна доцiєї площини. Доведiть, що в площинi α через точку A можна про�вести пряму, перпендикулярну до прямої a, й тiльки одну.

Повторити змiст теореми про три перпендикуляри (див. кон�спект 30).

Розв’язати задачу.

Із точки O перетину дiагоналей квадрата ABCD до його площинипроведено перпендикуляр SO i точку S сполучено iз серединою сторо�ни DC. Знайдiть довжину вiдрiзка SC, якщо

AB = 8 см, ∠ = °SEO 60 .


Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями змiсту теоре�ми про три перпендикуляри та властивостi точки, рiвновiддаленої вiдсторiн многокутника; продовжити роботу з формування вмiнь i нави�чок використання вивчених тверджень для побудови та обґрунту�вання вiдстаней вiд точки до прямої у просторi, а також розв’язуван�ня задач на знаходження вiдстаней вiд точки до прямої простору i вiдточки до площини многокутника за умови рiвновiддаленостi цiєї точ�ки вiд усiх сторiн многокутника.



Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання проводимо за готовими рисунками з короткими записамирозв’язань. Цi розв’язання вiдтворенi учнями на дошцi або виконанiвчителем на картках для iндивiдуальної роботи учнiв. Вибiр формиперевiрки домашнього завдання залежить вiд рiвня математичноїпiдготовки учнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту матерiалу та формул, вивче�них на попереднiх уроках, можна провести у формi математичногодиктанту.


Математичний диктант1. Чи правильне твердження?

1) Якщо пряма площини перпен�дикулярна до похилої, то вонаперпендикулярна до її проекцiї.2) Якщо MA AB⊥ , то CA AB⊥ (див.

рисунок).3) Якщо (див. рисунок) CM⊥α, тоCA AB⊥ i MA AB⊥ .

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка O — точка перетину дiагоналейгранi ABCD. Знайдiть:1) вiдстань вiд точки C1 до прямої A D1 1 ;2) вiдстань вiд точки D1 до прямої AB;3) точку на гранi ABCD, яка рiвновiддалена вiд вершин гранiA B C D1 1 1 1 .Якiсть виконання завдань диктанту перевiряється одразу пiсля

виконання роботи, за необхiдностi проводимо роботу з корекцiї знань.


Головна мета уроку випливає iз результатiв перевiрки домашньоїроботи та виконання математичного диктанту. Пiсля аналiзу поми�лок, яких припустились, учнi мають усвiдомити необхiднiсть про�довження роботи iз подальшого засвоєння знань, вивчених на попе�редньому уроцi, формуванням вiдповiдних умiнь.

ІV. Вiдтворення й систематизацiя опорних знань, умiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попереднiх уроках, за змiстом опорних конспектiв 28, 29.


Виконання усних вправ за готовими рисунками

1. На рисунках ( )MA ABC⊥ . За рисунками обґрунтуйте вiдстань вiд

точки A до прямої BC.


AB

C

M

D

AB

C

M α

A B

CD

M

2. Із точки M проведiть перпендикуляр до прямої AB (див. рисунки).

Виконання письмових вправ1. Точка, що вiддалена вiд кожної сторони ромба на 13 см, знахо�

диться на вiдстанi 12 см вiд площини ромба. Знайдiть площу ром�ба, якщо його сторона дорiвнює 20 см.

2. У трикутнику ABC кут B прямий, BC = 15 см, AC = 25 см. Черезсередину катета AB проведено перпендикуляр до площинитрикутника довжиною 8 см. Знайдiть вiдстань вiд вершини цьогоперпендикуляра до сторiн AC i BC.

3. Основа й бiчна сторона рiвнобедреного трикутника дорiвнюютьвiдповiдно 48 см i 40 см. Точка простору вiддалена вiд кожної сто�рони трикутника на 20 см. Знайдiть вiдстань вiд цiєї точки доплощини трикутника.

4. Точка M — середина сторони BC правильного трикутника ABC.Через точку M проведено перпендикуляр ME до площини трикут�ника. Побудуйте перпендикуляри, проведенi з точки E на прямiAB, AC i BD, де точка D — середина сторони AC.

5. Основи рiвнобiчної трапецiї дорiвнюють 8 см i 18 см. Із центра Oкола, вписаного в цю трапецiю, проведено перпендикуляр OM доїї площини. Точка M знаходиться на вiдстанi 10 см вiд сторiн тра�пецiї. Знайдiть вiдстань вiд точки M до площини трапецiї.

Вправи як для усного, так i для письмового виконання, перед�бачають багаторазове вiдтворення теореми про три перпенди�куляри та властивостi точки, рiвновiддаленої вiд сторiн три�кутника, iз додатковим використанням властивостей плоскихфiгур, тверджень про положення центра вписаного кола таформул для обчислення радiуса цього кола. Оскiльки запропо�


A

BC

α

M

AB

Cα

M

A

B

C

M

O

A

B

C

α

M

α

D

нованi задачi є задачами достатнього та високого рiвнiв склад�ностi та передбачають виконання учнями кiлькох послiдовнихлогiчних крокiв пiд час розв’язування, то перед розв’язуваннямписьмових вправ проводиться коротка бесiда. Пiд час цiєї бесiдиузагальнюються знання учнiв про загальний спосiб розв’язаннястереометричної задачi, складається вiдповiдна схема, якавiдпрацьовується пiд час розв’язування наступних задач.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування теореми про три перпендикуляри та складан�ня схеми розв’язування задач кожного типу.


Повторити змiст теоретичного матерiалу (див. конспекти 28, 29).Виконати домашню самостiйну роботу.


1. Із точки O перетину дiагоналей квадрата ABCD проведено перпен�дикуляр OM до його площини. Чи правильно, що MA AD⊥ ?

2. Точка S вiддалена вiд усiх сторiн квадрата на 13 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки S до площини квадрата, якщо довжина йогосторони дорiвнює 10 см.

3. Вiдрiзок BK — перпендикуляр до площини рiвнобедреного три�кутника ABC з основою AC. Проведiть через точку K перпендику�ляр до сторони AC.

4. Через вершину C прямокутника ABCD проведено перпендикулярдо його площини довжиною 8 см. Знайдiть вiдстань вiд кiнця цьо�го перпендикуляра до прямої AD, якщо сторони прямокутникаAB = 6 см, BC = 10 см.

5. Сторона рiвностороннього трикутника дорiвнює 32 3 см. Точка Aпростору вiддалена вiд кожної його сторони на 34 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки A до площини трикутника.

6. У прямокутнiй трапецiї ABCD (BC AD| | ) BC = 8 см, AD = 12 см,∠ = °A 90 , через вершину C проведено перпендикуляр CK довжи�ною 6 см до її площини. Знайдiть вiдстань вiд кiнця цього перпен�дикуляра до прямої AD.Варiант 2

1. Із точки O перетину дiагоналей ромба ABCD проведено перпенди�куляр OM до його площини. Чи правильно, що MB BC⊥ ?


2. Точка S вiддалена вiд усiх сторiн квадрата на 20 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки S до площини квадрата, якщо довжина йогосторони дорiвнює 24 см.

3. Вiдрiзок BK — перпендикуляр до площини прямокутного три�кутника ABC iз прямим кутом C. Проведiть через точку K перпен�дикуляр до сторони AC.

4. Через вершину C паралелограма ABCD проведено перпендикулярдо його площини довжиною 8 см. Знайдiть вiдстань вiд кiнця цьо�го перпендикуляра до прямої AD, якщо сторона паралелограмаAD = 9 см, висота CH = 6 см.

5. Площа рiвностороннього трикутника дорiвнює 27 3 см2. Точка Aпростору вiддалена вiд кожної його сторони на 5 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки A до площини трикутника.

6. У рiвнобiчнiй трапецiї ABCD (BC AD| | ) BC = 8 см, AD = 16 см, черезвершину C проведено перпендикуляр CK довжиною 6 см до її пло�щини. Знайдiть вiдстань вiд кiнця цього перпендикуляра до пря�мої AD.

Урок № 54Кут мiж прямою i площиною

Мета: сформувати в учнiв уявлення про кут мiж прямою та пло�щиною; домогтися засвоєння його властивостi та схеми побудовий обґрунтування кута мiж прямою та площиною; працювати надформуванням умiнь вiдтворювати змiст вивченого означення i схе�ми, а також використовувати їх для обґрунтування кута мiж прямоюi площиною пiд час розв’язування задач вiдповiдного змiсту.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Кут мiж прямою i площи�ною», стереометричний ящик.

Хiд уроку




Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою само�стiйною роботою. Учням iз низьким рiвнем навчальних досягненьпропонуються правильнi розв’язання для виконання аналiзу роботи.


ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуУчитель пропонує учням розглянути ряд каркасних моделей пря�

мих, якi рiзним способом розмiщенi вiдносно площини: перетинаютьплощину, перпендикулярнi до неї або лежать в площинi. Пiсля цiєїроботи учнi порiвнюють цi моделi (що спiльного, що вiдмiнного) тарозбивають моделi на групи за подiбнiстю ознак. Видiливши окремогрупу моделей, у яких пряма перетинає площину, учитель пропонуєпорiвняти об’єкти всерединi цiєї групи. Намагаючись охарактеризу�вати, чим вiдрiзняються моделi, якi зображують прямi, що перети�нають площину, учнi мають усвiдомити нестачу знань у вирiшеннiцього питання. Пiсля цього вчитель формулює проблему: дослiдитипитання про перетин прямої з площиною з метою встановлення вiд�мiнностей мiж рiзними випадками — це i є основна мета уроку.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань i вмiньЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

уроку слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо означення пер�пендикуляра i похилої, проведених iз точки до площини, проекцiїпохилої на площину, кута мiж двома прямими, спiввiдношень мiжсторонами i кутами в прямокутному трикутнику, а також влас�тивiсть синуса гострого кута.

V. Засвоєння знаньПлан вивчення нового матерiалу

1. Означення кута мiж прямою та площиною.2. Властивiсть кута мiж прямою i площиною.3. Як обґрунтувати кут мiж прямою i площиною. Приклад задачi.

Поняття кута мiж прямою i площиною є одним iз найважли�вiших понять стереометрiї. Тому пiд час формування поняттякута мiж прямою i площиною важливо одразу попередити ти�повi помилки учнiв. Інодi учнi визначають кут мiж заданоюпрямою i площиною на зображеннях многогранникiв як кутмiж цiєю прямою та довiльною прямою, що лежить у площинiта проходить через точку перетину прямої з площиною. Отже,пiсля формулювання означення кута мiж прямою та площи�ною бажано провести невелику практичну роботу:

1) скласти каркасну модель, що зображує пряму, яка перетинаєплощину;2) «провести» на моделi кiлька прямих площини, що проходятьчерез точку перетину поданої прямої з площиною (серед цих пря�мих обов’язково має бути пряма, що є проекцiєю поданої прямоїна площину);

3) вимiряти кути, якi задана пряма, що перетинає площину,утворює з кожною з прямих;4) зробити висновок.Виконавши роботу, учнi мають усвiдомити, що кут мiж прямою

та її проекцiєю на площину, є найменшим серед усiх можливих кутiвмiж прямою та прямими площини. Саме тому вiн i визначається яккут мiж прямою i площиною (можна провести аналогiю з вимiрюван�ням кутiв мiж двома прямими). Провiвши строге доведення цьогофакту, переходимо до найважливiшого моменту уроку: обґрунто�вуємо кут мiж прямою та площиною (див. конспект 31). Ця роботаiлюструється прикладом розв’язання задачi вiдповiдного змiсту.



Виконання усних вправ1. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 назвiть кут мiж:

1) прямою CB1 i площиною A AB1 ;2) прямою C A1 i площиною C CD1 ;3) прямою C O1 i площиною ABC.

2. Кут мiж прямою i площиною дорiвнює 50°. Чи може ця прямаутворювати з деякою прямою площини кут 30°, 40°, 90°?

Виконання письмових вправ1. За рисунком знайдiть:

1) довжину похилої AC, якщо во�на утворює з площиною α кут 30°,а її проекцiя BC дорiвнює 3 3 см;2) довжину перпендикуляра AB,якщо кут мiж похилою AC i пло�щиною α дорiвнює ϕ, AC l= .

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Знай�дiть кут нахилу:1) прямої C B1 до площини ABC;2) прямої AD до площини AA C1 1 .

3. Із точки A до площини проведено перпендикуляр AB i похилi ACі AD. Знайдiть:1) кут нахилу прямої AD до цiєї площини, якщо AC = 6 2 см,AD = 12 см, а пряма AC утворює з цiєю площиною кут 45°;2) довжину похилої AC, якщо AD = 6 3 см, а похилi AC i AD утво�рюють iз заданою площиною кути 45° i 60° вiдповiдно.


A

α

ϕB

C

Конспект 31

Кут мiж прямою i площиною


Кутом мiж прямою i площиною, щоперетинає задану пряму i не пер�пендикулярна до неї, називаєтьсякут мiж прямою та її проекцiєю нацю площину.

AC C

AB

BC AC

∩ =⊥−

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

ααпроекція

( ) ( )⇒ ∠ = ∠AC BC AC; ;α

2. Властивостi

1) Кут мiж прямою i площиною є найменшим iз кутiв, якi утворює зада�на пряма з прямими цiєї площини;

2) кут мiж прямою i площиною не бiльше за 90°.

3. Обґрунтування кута мiж прямою i площиною

1) Вказати (обґрунтувати) перпендикуляр, проведений iз точки заданоїпрямої (похилої) до заданої площини;

2) вказати проекцiю заданої прямої (похилої) на цю площину;

3) визначити кут мiж заданою прямою та її проекцiєю.

4. Задача. Пiд кутом ϕ до площиниα проведено похилу. Знайдiть кутϕ, якщо проекцiя цiєї похилоївдвiчi менша за похилу.

Розв’язання. Нехай AC — похиладо площини α. Проведемо AB⊥α.Тодi BC — проекцiя похилої ACна площину α. Отже, кут ACB —кут мiж похилою AC i площиною α;за умовою задачi ∠ =ACB ϕ.Оскiльки за умовою AC BC= 2 , тов прямокутному трикутнику ABC(∠ = °B 90 ) кут A дорiвнює 30°,звiдки ϕ = °60 .

4. Вiдрiзок MB — перпендикуляр до площини правильного трикут�ника ABC, MB AB= , точка D — середина сторони AC. Заповнiтьтаблицю кутiв мiж прямими i площинами.


A

BC

α

CB

ϕ

α

A

Пряма ПлощинаКут, що

вимiрюєтьсяВеличина кута

MA ABC

MD ABC

AC MBD

AB MBD

BC MBA

AM MBD

Додатковi завдання (на повторення)1. Знайдiть кут мiж мимобiжними прямими, одна з яких перпенди�

кулярна до заданої площини, а iнша нахилена до цiєї площинипiд кутом γ.

2. У кубi знайдiть:1) кут мiж мимобiжними дiагоналями двох сумiжних граней;2) кут мiж дiагоналлю куба i дiагоналлю його основи, якi вихо�дять з однiєї вершини;3) кут мiж дiагоналлю куба й бiчним ребром.

Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, сприяютьподальшому засвоєнню учнями змiсту означення кута мiжпрямою та площиною, схеми обґрунтування кута мiж прямоюта площиною. Тому головна вимога до розв’язування задач —свiдомо обґрунтовувати кут мiж прямою та площиною вiдпо�вiдно до вивченої схеми. У якостi додаткових запитань на по�вторення можна розглянути задачу на кут мiж мимобiжнимипрямими та прямими, що перетинаються.Також пiд час розв’язування задач на уроцi слiд дотримувати�ся загальної схеми, розглянутої на попередньому уроцi.


Контрольнi запитання1. Кут нахилу дiагоналi C D1 гранi CDD C1 1 до гранi ADD A1 1 куба

ABCDA B C D1 1 1 1 дорiвнює…

А Б В Г

∠C D A1 1 1 ∠C D A1 1 ∠C DA1 1 ∠C DD1 1

2. Пряма нахилена до площини пiд кутом 60°. У площинi є пряма,що утворює iз заданою прямою кут, який дорiвнює…


А Б В Г

75° 55° 45° 15°


Вивчити змiст розглянутих на уроцi тверджень (див. конспект 31).Розв’язати задачi.

1. Точка A не належить площинi α. Скiльки прямих, нахилених доплощини α пiд кутом 60°, можна провести через точку A?

2. Кут мiж прямою i площиною дорiвнює ϕ. Який кут утворює цяпряма з перпендикуляром до заданої площини?

3. Протягом сонячного дня ви спостерiгаєте за тiнню вiд дерева. Якзмiнюється її довжина? Чому?

4. Знайдiть довжину ескалатора в торговельному центрi, якщовiдстань мiж поверхами дорiвнює 10 м, а кут нахилу ескалаторадо пiдлоги складає 35°.

5. Площина проходить через дiагональ ромба. Доведiть, що прямi,якi мiстять сторони ромба, утворюють iз площиною рiвнi кути.

6. Вiдрiзок MB — перпендикуляр до площини квадрата ABCD, дiа�гоналi якого перетинаються в точцi O, MB AB= . Заповнiть табли�цю кутiв мiж прямими i площинами.

Пряма ПлощинаКут, що

вимiрюєтьсяВеличина кута

MC ABC

MD ABC

MO ABC

AD MBD

CD MBC

AM MBD

Повторити: означення, аксiому вимiрювання та види кутiв наплощинi, перпендикулярнiсть прямої i площини (означення, ознакута властивiсть), означення та властивостi паралельного перенесенняу просторi, теорему про три перпендикуляри.


Урок № 55Двогранний кут. Кут мiж площинами

Мета: працювати над усвiдомленим засвоєнням учнями:поняття двогранного кута;поняття лiнiйного кута двогранного кута та його властивостей;вимiрювання двогранного кута та кута мiж двома площинами, щоперетинаються.Працювати над формуванням умiнь:вiдтворювати змiст вивчених понять;використовувати їх для обґрунтування за рисунками лiнiйнихкутiв двогранних кутiв i кутiв мiж площинами;виконувати побудови лiнiйних кутiв;застосовувати набутi вмiння до розв’язування задач на обчисленнялiнiйних кутiв i вiдстаней.Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Двогранний кут. Кут мiж пло�

щинами», стереометричний ящик, моделi кутiв, двогранних кутiв.

Хiд уроку




За готовими рисунками (моделями) перевiряється правильнiстьрозв’язання домашнiх задач на обґрунтування кутiв мiж прямими таплощинами. Обчислювальнi задачi (базового рiвня) перевiряємо пiдчас фронтальної бесiди.


Цей етап уроку можна провести рiзними способами. Один iзних — запропонувати учням помiркувати над такими питаннями (за�питання та вiдповiдi супроводжуються демонстрацiями).

Фронтальна бесiда1. Якi фiгури утворяться, якщо на прямiй позначити точку? (Про�

менi зi спiльним початком)2. Як називається фiгура, що утворюється з двох променiв, якi

мають спiльний початок? (Кут)3. Якi фiгури утворяться, якщо на площинi провести пряму? (Двi

пiвплощини зi спiльною прямою).


4. Як назвати фiгуру, що складається з двох пiвплощин, якi маютьспiльну пряму?Обмiркувавши останнє питання, учнi доходять висновку, що таку

фiгуру в просторi ще не вивчали, i таким чином формулюється завдан�ня: дослiдити питання про зазначену фiгуру (означення, вимiрюваннята iншi властивостi, а також її застосування на практицi). Вiдповiдьна це питання визначається як основна дидактична мета уроку.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалуслiд повторити означення кута на площинi, аксiому вимiрювання тавиди кутiв на площинi, перпендикулярнiсть прямої i площини (озна�чення, ознаку та властивiсть), означення та властивостi паралельно�го перенесення у просторi, теорему про три перпендикуляри.

Фронтальне опитування1. Який iз чотирьох кутiв, утворених у результатi двох прямих, на�

зивається кутом мiж цими прямими?2. У яких межах може змiнюватися цей кут?3. Якi види кутiв на площинi ви знаєте? Назвiть їх властивостi.4. Наведiть означення перпендикулярностi прямої i площини.5. Якi види кутiв, на вашу думку, людина повинна вмiти вимiрюва�

ти у просторi? (Мiж будь�якими прямими; мiж прямою i площи�ною; мiж площинами)

6. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.


План вивчення нового матерiалу1. Означення двогранного кута. Елементи двогранного кута. Наочне

уявлення про двогранний кут.2. Поняття лiнiйного кута двогранного кута та його властивостi.

Вимiрювання двогранних кутiв.3. Як обґрунтувати й побудувати лiнiйний кут двогранного кута

(три основнi способи).4. Поняття кута мiж двома площинами, що перетинаються. Вимi�

рювання кута мiж площинами.Зважаючи на складнiсть i важливiсть навчального матерiалуi виходячи з його великого обсягу, вивчення нового матерiалуможна провести у виглядi лекцiї за поданим планом. На�вчальний матерiал учитель викладає близько до текступiдручника, поступово виконуючи на дошцi записи. Учнi кон�спектують основнi моменти матерiалу.


Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�глядi конспекту 32.

Конспект 32

Двогранний кут. Кут мiж площинами


Двогранним кутом називається фiгура,що складається з двох пiвплощин (гранейдвогранного кута) зi спiльною граничноюпрямою (ребром двогранного кута).

Двогранний кут:

c — ребро двогранного кута, α i β — гранiдвогранного кута.

У пiрамiдi ABCD є двогранний кут із реб�ром AC (див. рисунок), AB,…

2. Лiнiйний кут двогранного кута

1) Нехай задано двогранний кут iз ребром ci гранями α i β.

2) Проведемо площину γ перпендикулярнодо ребра c.

3) Площини γ i α перетинаються по прямiйa, площини γ i β — по прямiй b.

Тодi ( )∠ a b; — лiнiйний кут двогранногокута з ребром c i гранями α i β.

3. Властивостi лiнiйного кута двогранного кута

1) Усi лiнiйнi кути двогранного кута рiвнi;

2) градусна мiра вiдповiдного лiнiйного кута називаються градусноюмiрою цього двогранного кута.

4. Як побудувати (й обґрунтувати) лiнiйнийкут двогранного кута?

Спосiб 1

Нехай задано двогранний кут iз ребром ci гранями α i β.

γγ αγ β

⊥∩ =∩ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

c

a

b

( )∠ a b; — лiнiйний кут

двогранного кута.


α

βc

a b

cα

γ

β

B

C

A D

β

γ

α c

ba

Спосiб 2

Через точку C ребра c проведемо у площинiα пряму a c⊥ , у площинi β — пряму b c⊥ .

( )∠ a b; — лiнiйний кут двогранного кута.

Спосiб 3

1) Позначимо у площинi точку A;

2) проведемо AB⊥β;

3) у площинi β проведемо BC c⊥ .

Тодi за теоремою про три перпендикуляриAC c⊥ .

Отже, ∠ ACB — лiнiйний кут двогранногокута.


Кутом мiж двома площинами, що перети�наються, називається найменший iз дво�гранних кутiв, утворених у результатi їхперетину.

6. Вимiрювання кутiв

Кут мiж площинами, що перетинаються,дорiвнює куту мiж прямими, по яких третяплощина, що перпендикулярна до лiнiї їхперетину, перетинає цi площини.

Кут мiж площинами α i β — кут мiж пря�мими a i b (див. рисунок).


Виконання усних вправ1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Назвiть ребро та лiнiйний кут двогран�

ного кута з гранями:1) ABC i B BC1 ;2) A BD1 i ABD;3) B AC1 i ACD.

2. Один iз двогранних кутiв, утворених у ре�зультатi перетину двох площин, дорiвнює150°. Знайдiть кут мiж цими площинами.

3. За рисунком знайдiть кут мiж площинами:

1) AOC i AOB;

2) AOC i BOC;

3) AOB i BOC.


a

bc

α

Cβ

ϕ

A

B

β

α

C

α

a

b

B

СA 60°

О

Виконання письмових вправ1. За рисунками побудуйте й обґрунтуйте лiнiйний кут двогранного

кута з гранями ABC i ABD.

2. На однiй iз граней двогранного кута позначено точку. Знайдiть:1) вiдстань вiд цiєї точки до ребра кута, якщо вона вiддаленавiд другої гранi на 8 2 см, а градусна мiра двогранного кута до�рiвнює 45°;2) вiдстань вiд цiєї точки до гранi кута, якщо вона вiддалена вiд реб�ра кута на 12 см, а градусна мiра двогранного кута дорiвнює 30°.

Майже всi вправи, що запланованi для виконання на уроцi,спрямованi на засвоєння знань щодо змiсту означення лiнiй�ного кута двогранного кута та способiв його обґрунтування,а також на розумiння означення кута мiж площинами, що пе�ретинаються, та його вимiрювання. Пiд час розв’язування якусних, так i письмових задач слiд вимагати вiд учнiв вiдтво�рення всiх необхiдних мiркувань вiдповiдно до схеми, розгля�нутої на уроцi № 53.


Контрольнi запитання1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Чому дорiвнює кут мiж площинами

AA B1 1 i B C D1 1 ?

А Б В Г

45° 90° 60° Вiдповiдь вiдрiзняється вiд наведених

2. Кут мiж площинами не може дорiвнювати…

А Б В Г

45° 95° 85° 5°


C

B

A

F

ABCE — квадрат,ABDF — прямокутник

( )CD ABD⊥

C

B

A DD

E

A

BD

C

3. Який кут утворює площина лiнiйного кута двогранного кута, щодорiвнює 30°, iз кожною з його граней?

А Б В Г

30° 45° 60° 90°


Вивчити змiст засвоєнних на уроцi понять (див. конспект 32).Розв’язати задачi.

1. Виготовте з картону модель двох пiвплощин, обмежених спiль�ною прямою. Побудуйте на моделi лiнiйний кут двогранного кутамiж цими пiвплощинами i позначте на його сторонах по точцi.

2. За рисунком побудуйте й обґрунтуйте лiнiйний кут двогранногокута з гранями ABC i ABD.

3. Знайдiть величину гострого кута двогранного кута, якщо пряма,що паралельна ребру i належить однiй iз граней кута, вiддаленавiд ребра i вiд другої гранi кута на 12 см i 6 3 см.

4. Із середини сторони правильного трикутника до площини трикут�ника проведено перпендикуляр. Знайдiть його довжину, якщоплоща трикутника дорiвнює 36 3 см2, а другий кiнець перпенди�куляра вiддалений вiд iнших сторiн на 6 см.Повторити: теорему про три перпендикуляри.


Мета: працювати над:подальшим засвоєнням учнями змiсту означень кута мiж прямоюi площиною, двогранного кута та кута мiж площинами;формуванням сталих умiнь застосовувати набутi знання для роз�в’язування задач на розпiзнавання, обґрунтування, побудову та об�числення кутiв.Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.


B

A

C

D

FA

B

D

C


Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання проводимо за готовими короткими записами розв’язань. Роз�в’язання записують учнi на дошцi, учням iз низьким рiвнем навчаль�них досягнень бажано роздати картки з повними поясненнями дорозв’язання домашнiх задач (для iндивiдуальної роботи вдома).

Перевiрку засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалу, ви�вченого на попереднiх уроках, можна провести у формi математич�ного диктанту iз завданнями на дописування.

У якостi питань цього диктанту учитель пропонує учням початокформулювань означень, властивостей i теорем, вивчених учнями заостаннi чотири уроки.

Перевiрку правильностi виконання математичного диктанту про�водимо по його закiнченнi у виглядi само� або взаємоперевiрки.


Головна мета уроку полягає у формуваннi сталих навичок i нави�чок застосовувати набутi знання до розв’язування стереометричнихзадач на розпiзнавання, обґрунтування, побудову та обчисленнякутiв рiзного виду в просторi.

ІV. Вiдтворення й систематизацiя опорних знань i вмiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попереднiх двох уроках за змiстом конспектiв 31, 32.

Виконання усних вправ (на вибiр)

1. ABCD — квадрат, O — точка перетину його дiагоналей, пряма POперпендикулярна до площини квадрата. Назвiть кути мiж:

1) прямою PB i площиною PCD;

2) прямою PB i площиною ABC;

3) прямою PO i площиною PBC;

4) прямою PD i площиною PBC;

5) прямою PC i площиною BCD;

6) прямою OB i площиною PCD.


2. Пряма MO перпендикулярна до площини рiвностороннього три�кутника ABC, точка O — центр трикутника, OD BC⊥ . Побудуйтерисунок i за його допомогою назвiть кут мiж площинами:1) MOB i MOD; 2) MBC i ABC.

3. ABCD — квадрат, пряма PD перпендикулярна до його площини.Назвiть кути мiж площинами:1) PBC i ABC; 2) PCD i ABC; 3) PAD i PCD; 4) PAD i PBC.

4. ABCD — квадрат, O — точка перетину його дiагоналей, пряма MOперпендикулярна до площини квадрата, BP MC⊥ . Назвiть кутимiж площинами:1) PBD i BCD; 2) MBC i MCD.

5. Як у кубi ABCDA B C D1 1 1 1 знайти кут мiж площинами ABCDі A D CB1 1 ?

6. Який кут мiж сумiжними гранями куба; мiж протилежними?


Виконання письмових вправ1. На однiй iз граней гострого двогранного кута позначено двi точки,

вiддаленi вiд ребра куба на 13 см i 39 см вiдповiдно. Знайдiтьвiдстань вiд другої точки до другої гранi, якщо перша точкавiддалена вiд неї на 12 см.

2. За рисунком знайдiть кут мiж площина�ми ABC i ABD, якщо CD = 6 см, AB == 2 6 см, а пряма CB утворює з площи�ною ABD кут 45°.

3. Трикутники ABD i ABC не лежатьв однiй площинi, кут мiж їх площинамидорiвнює 60°. Знайдiть довжину вiд�рiзка CD, якщо AC = 13 см, AB = 24 см,AD = 15см.

4. За рисунком задачi 2 знайдiть кут мiж площинами ABC i ABD,якщо площа трикутника ABC дорiвнює 16 см2, DB = 4 3 см,

AB = 4 2 см.

5. Із точки A до площини проведено перпендикуляр AB i похилi AC,AD. Знайдiть довжину вiдрiзка CD, якщо AB = 3 см, ∠ = °CBD 150 ,а цi похилi утворюють iз площиною кути 30° i 45° вiдповiдно.

Задачi для письмового розв’язування на уроцi передбачаютьзастосування вивченої теорiї й вiдтворюють стандартнi ситу�ацiї щодо знаходження кута мiж прямою i площиною i кутамiж площинами.


C

B

AD

Пiд час розв’язування задач слiд вимагати вiд учнiв повногообґрунтування як кута мiж прямою та площиною, так i лi�нiйного кута двогранного кута та кута мiж площинами (зарозглянутими ранiше схемами). Окрiм того, на уроцi продов�жується робота з повторення планiметричного матерiалу.


Пiдсумком уроку є видiлення учнями основних видiв задач на за�стосування вивчених понять.


Повторити змiст теоретичного матерiалу з теми «Кути мiж пря�мими i площинами» (див. конспекти 31–32).



1. Похила утворює з площиною кут 30°. Довжина похилої 4 см.Знайдiть довжину її проекцiї.

2. Точка A знаходиться на вiдстанi 9 см вiд площини α. Похилi ABі AC утворюють iз площиною α кути 45° i 60°, а кут мiж проекцi�ями похилих дорiвнює 150°. Знайдiть вiдстань мiж точками B i C.

3. Квадрат i прямокутник, площi яких вiдповiдно дорiвнюють36 см2 i 54 см2, мають спiльну сторону, а кут мiж площинами до�рiвнює 30°. Знайдiть вiдстань мiж паралельними сторонами пря�мокутника i квадрата.

4. Рiвнобедренi трикутники ABC i ABD мають спiльну основу AB,що дорiвнює 24 см. Кут мiж їх площинами дорiвнює 60°. Знайдiтьдовжину вiдрiзка CD, якщо BC = 15см, BD = 13см.Варiант 2

1. Похила утворює з площиною кут 60°. Довжина її проекцiї до�рiвнює 9 см. Знайдiть довжину похилої.

2. Точка K знаходиться на вiдстанi 6 см вiд площини α. Похилi KAі KB утворюють iз площиною α кути 45° i 30°, а кут мiж похилимидорiвнює 135°. Знайдiть вiдстань мiж точками B i A.

3. Квадрат i прямокутник, площi яких вiдповiдно дорiвнюють36 см2 i 96 см2, мають спiльну сторону, а вiдстань мiж їх паралель�ними сторонами дорiвнює 14 см. Знайдiть кут мiж площинамипрямокутника i квадрата.

4. Рiвнобедренi трикутники ABC i ACD мають спiльну основу AC, щодорiвнює 12 см. Кут мiж їх площинами дорiвнює 60°, ∠ = °ABC 60 ,∠ = °ADC 120 . Знайдiть довжину вiдрiзка BD.


Урок № 57Ознака перпендикулярностi площин

Мета: працювати над формуванням в учнiв:уявлення про перпендикулярнi площини та ознаки перпендику�лярних площин;вiдтворювати змiст вивчених понять;обґрунтовувати положення площин iз використанням вiдповiдноїознаки;виконувати зображення перпендикулярних площин;розв’язувати задачi на застосування вивчених понять для обчис�лення вiдстаней.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Перпендикулярнi площини».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити на перевiрку й оцiнює домашню само�стiйну роботу. Для учнiв iз низьким рiвнем навчальних досягненьучитель заздалегiдь готує картки з правильними розв’язаннями до�машнiх задач.


З метою мотивацiї вивчення нового матерiалу уроку бажано за�пропонувати учням логiчне завдання.

Логiчне завданняПродовжте ланцюжок мiркувань.

Кут мiж прямими дорiвнює 90° → перпендикулярнi прямi

кут мiж площинами 90° → ?

Вивчення матерiалу стосовно випадку, коли площини перетина�ються пiд прямим кутом (за загальною методикою вивчення геомет�ричних об’єктiв: означення, ознака, властивiсть), — мета наступнихтрьох урокiв. Завдання цього уроку — вивчення означення та ознакиперпендикулярних площин та формування первинних умiнь застосо�вувати їх до розв’язування задач.




З метою успiшного засвоєння змiсту нового матерiалу пропо�нуємо учням попрацювати з наочнiстю (стереометричний ящик тапаперовi моделi двогранних кутiв та площин, що перетинаються)i вiдтворити змiст понять попереднiх урокiв: двогранний кут,лiнiйний кут двогранного кута та кут мiж площинами. Вiдтвореннязнань супроводжується демонстрацiями на вiдповiдних моделях.Далi — на предметах iз навколишнього середовища, а потiм шукаємомоделi площин, що перетинаються, та визначаємо (приблизно) гра�дуснi мiри цих кутiв. Пiсля розгляду кiлькох таких прикладiв учнiпомiчають, що переважна кiлькiсть прикладiв є прикладами, де кутмiж площинами прямий.


План вивчення нового матерiалу1. Означення перпендикулярних площин.

2. Ознака перпендикулярностi площин.

3. Як побудувати площину, перпендикулярну до заданої? Як обґрун�тувати, що одна iз заданих площин перпендикулярна до другої?

Пiсля проведеної на попереднiх етапах уроку роботи учням не�складно самостiйно вивчити означення перпендикулярнихпрямих за пiдручником. Так само нескладно буде засвоїтизмiст ознаки перпендикулярностi площин. Отже, матерiал пер�ших двох пунктiв плану учнi опрацьовують самостiйно запiдручником. Далi проводиться бесiда, пiд час якої обговорю�ються випадки застосування означення та ознаки перпендику�лярностi площин, i робиться висновок: i означення, i ознака,можуть бути застосованi для обґрунтування перпендикуляр�ностi двох площин i для побудови таких площин. Випадки за�стосування ознаки та означення для доведення перпендику�лярностi площин вiдрiзняються набором даних задачi, а саме:для доведення за означенням слiд знати, що кут мiж площина�ми прямий, а для доведення за ознакою — що одна з площинпроходить через пряму, перпендикулярну до iншої площини.Цi умовиводи фiксуються в конспектах у виглядi вiдповiднихсхем.

Також слiд зауважити: з ознаки перпендикулярностi площин тазадачi про проведення площин через задану пряму випливає справед�ливiсть твердження про те, що через подану точку (пряму поза пло�


щиною) можна провести безлiч площин, перпендикулярних до пода�ної площини (демонструємо моделi).


Конспект 33

Перпендикулярнi площини. Ознака перпендикулярних площин


Двi площини називаються перпен�дикулярними (взаємно перпендику�лярними), якщо кут мiж ними до�рiвнює 90°.

2. Теорема (ознака перпендикуляр!ностi площин)

Якщо одна з площин проходить че�рез пряму, перпендикулярну додругої, то цi площини перпендику�лярнi.

3. Побудова площини, що перпенди!кулярна заданiй

1) C ∈β, CA⊥β;

2) CA ⊂ α;

3) α β⊥ (за ознакою).



1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Визначте, чи перпендикулярнi площини:

1) ABC i CDD1 ; 2) A AC1 i B BD1 ; 3) ABC1 i A B C1 1 .

2. Пряма a перпендикулярна до площини α. Чи можна через заданупряму провести площину, що перетинається з площиною α пiд ку�том 60°? Чому?


1. Пряма MA перпендикулярна до площини трикутника ABC. До�ведiть перпендикулярнiсть площин AMB i ABC.

2. Кiнцi вiдрiзка завдовжки 6 см належать двом перпендикулярнимплощинам i вiддаленi вiд прямої перетину цих площин на 3 смі 3 2 см вiдповiдно. Знайдiть кути, що утворює вiдрiзок iз зада�

ними площинами.


C

α

β

A

a

β

α

b

3. Доведiть, що всi прямi, якi перпендикулярнi до площини α i пере�тинають пряму a, лежать в однiй площинi. Як розмiщена ця пло�щина вiдносно площини α?

4. Точка P рiвновiддалена вiд вершин прямокутника ABCD. До�ведiть перпендикулярнiсть площин APC i ABC.

5. Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною, що проходитьчерез ребро AA1 i перпендикулярна до площини BDD1 .

Додаткове завдання (на повторення)За яких умов пiд час паралельного проектування прямокутник

проектується у вiдрiзок?Виконання вправ сприяє свiдомому засвоєнню означенняй ознаки перпендикулярних площин, схеми мiркувань пiд часдоведення перпендикулярностi площин як за означенням, такi за ознакою. Цю мету можна досягнути лише за умови повногообґрунтування розв’язання усних i письмових вправ. Особливуувагу слiд придiлити розв’язанню задачi 5, де умова перпенди�кулярностi площин використовується для побудови перерiзу.


Контрольнi запитання1. Перерiзом куба площиною, перпендикулярною до його гранi, є…

А Б В Г

квадрат прямокут�ник

трикутник многокутник, що вiдрiзняєтьсявiд наведених

2. Скiльки площин, перпендикулярних до заданої площини, прохо�дить через пряму, що не є перпендикулярною до цiєї площини?

А Б В Г

Безлiч Жодна Одна Двi

3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Площина BDD1 перпендикулярна доплощини…

А Б В Г

C CD1 C B B1 1 C CB1 C D B1 1 1


Вивчити змiст означення та ознаки перпендикулярностi площин(див. конспект 33).


Розв’язати задачi.1. За допомогою моделi перпендикулярних площин α i β визначте,

яким може бути взаємне розмiщення прямих a i b, якщо пряма aлежить у площинi α, пряма b — у площинi β. Модель принести на�ступного уроку.

2. Пряма MD перпендикулярна до площини прямокутника ABCD.Доведiть перпендикулярнiсть площин:1) MDA i ABC;2) MDA i MDC.

3. За рисунком доведiть перпендикуляр�нiсть площин BDM i ADC.

4. Побудуйте перерiз куба ABCDA B C D1 1 1 1

площиною, що проходить через ребро C D1 1

i перпендикулярна до площини A DC1 .

Урок № 58Властивостi перпендикулярних площин

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту властивостейперпендикулярних площин (про перпендикуляр до лiнiї перетинуперпендикулярних площин i про двi площини, перпендикулярнi дотретьої).

Розпочати роботу над формуванням умiнь:

вiдтворювати змiст вивчених тверджень;

використовувати їх для обґрунтування положення перпендикуля�ра до лiнiї перетину перпендикулярних площин;

виконувати послiдовнi дiї пiд час розв’язування задач про вiд�рiзок, що кiнцями спирається на двi перпендикулярнi площини.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi перпендику�лярних площин», каркаснi моделi (двох площин, що перетинаються,та вiдрiзкiв).

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняПеревiрку домашнього завдання проводимо як перевiрку за зраз�

ком iз коментарем.


A

B

C

DM


Створюємо проблемну ситуацiю: пропонуємо учням розв’язатиодну iз задач, розв’язання якої передбачає застосування теореми проперпендикуляр до лiнiї перетину перпендикулярних площин.

Наприклад, задача. Вiдрiзок AB довжиною 25 см спирається кiн�цями на перпендикулярнi площини α i β. Точка A вiддалена вiд пло�щини на 15 см, а точка B вiд площини α — на 7 см. Знайдiть проекцiївiдрiзка на кожну iз заданих площин.

Пiд час обговорення умови задачi слiд звернути увагу учнiв натой факт, що положення перпендикуляра, проведеного з точки пло�щини до лiнiї її перетину з перпендикулярною площиною, досi не об�говорювалось. Отже, без знання точного положення перпендикуля�ра, зрозумiло, задача не розв’язується. Таким чином формулюєтьсяодне iз завдань уроку, яке потiм узагальнюється до вивчення власти�востей перпендикулярних площин.



1. Знайдiть в навколишньому середовищi моделi перпендикулярнихплощин.

2. Через вершину D квадрата ABCD до його площини проведено пер�пендикуляр DS.

Доведiть, що:

1) площина SAD перпендикулярна до площини SCD;

2) площини SBC i SCD перпендикулярні.

Знайдiть ще пари перпендикулярних площин на цьому рисунку.

3. У трикутнику ABC кут C — прямий. Пряма PB перпендикулярнадо площини трикутника ABC. Доведiть, що площини PAC i PBCперпендикулярнi.

4. Точка O — центр квадрата ABCD. OS — перпендикуляр до площи�ни квадрата.

Доведiть:

1) перпендикулярнiсть площин SAC i ABD;

2) перпендикулярнiсть площин SAC i SBD.



1. Теорема про перпендикуляр до лiнiї перетину перпендикулярнихплощин.


2. Опорна задача про пряму, що проведена через точку однiєї з двохвзаємно перпендикулярних площин, перпендикулярно до другоїплощини.

3. Теорема про двi площини, що перпендикулярнi до третьої.4. Опорна задача про площину, що перпендикулярна до однiєї з двох

паралельних площин.Викладення змiсту матерiалу уроку можна провести близько дотексту пiдручника у формi бесiди iз використанням каркаснихмоделей. На думку автора, пiсля доведення теореми про перпен�дикуляр до лiнiї перетину двох перпендикулярних площин дляформування повного уявлення про властивостi перпендикуляр�них площин доцiльно розглянути та довести опорну задачу пропряму, що проведена через точку однiєї взаємно перпендику�лярних площин перпендикулярно до другої площини.Теорема про двi площини, перпендикулярнi до третьої, разомiз опорною задачею про площину, що перпендикулярна дооднiєї з двох паралельних площин, завершує список твер�джень, що пов’язують перпендикулярнiсть та паралельнiстьпрямих i площин у просторi. Цiкаво, що формулювання цiєїтеореми та опорного факту (див. п. 4 плану) так само, як пiдчас вивчення перпендикулярностi та паралельностi прямої таплощини, можна отримати, якщо у вiдповiдних твердженняхдля трьох прямих на площинi замiнити слова «прямi» на«площини».



Виконання усних вправ1. Площини α i β перпендикулярнi. Чи правильно, що:

1) будь�яка пряма площини α перпендикулярна до площини β;2) у площинi α iснують прямi, перпендикулярнi до площини β?Скiльки таких прямих iснує?

2. Якi з наведених тверджень правильнi?1) Через точку, взяту поза площиною, можна провести площину,перпендикулярну до цiєї площини, i причому, тiльки одну.2) Якщо площина α перпендикулярна до площини β, то площина αперпендикулярна до будь�якої прямої, що паралельна площинi β.3) Двi площини перпендикулярнi третiй, перпендикулярнi мiжсобою.


4) Якщо пряма i площина перпендикулярнi однiй й тiй самiй пло�щинi, то вони паралельнi мiж собою.

Конспект 34

Властивостi перпендикулярних площин

1. Теорема. Якщо пряма в однiйіз перпендикулярних площин пер�пендикулярна до лiнiї їх перети�ну, то вона перпендикулярна додругої площини.

α βα β

αβ

⊥∩ =⊂

⊥

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ ⊥с

a

a c

a

2. Опорний факт. Якщо пряма, про�ведена через точку однiєї з двохвзаємно перпендикулярних пло�щин, перпендикулярна до другоїплощини, то вона лежитьу першiй площинi.

α βα β

βα

⊥∩ =∈

⊥∈

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒ ⊂с

C c

a

C a

a

3. Теорема. Якщо двi площини, щоперпендикулярнi до третьої, пере�тинаються, то пряма їх перетинуперпендикулярна до третьої пло�щини.

α γβ γα β

γ⊥

⊥∩ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ ⊥

c

c

4. Опорний факт. Площина, перпен�дикулярна до однiєї з двох пара�лельних площин, перпендикуляр�на i до другої площини.

α βγ α

γ β| |

⊥⎫⎬⎭

⇒ ⊥


a

c

α

β

a

c

α

β

β

γ

c

α

α

β

γ

С

3. Площини α i β — перпендикулярнi. Як можуть бути розташованiпряма a i площина β, якщо:1) пряма a паралельна площинi α;2) пряма a належить площинi α;3) пряма a перпендикулярна до площини α;4) пряма a i площина α перетинаються, але вони не перпендику�лярнi?

4. Площини α i β — перпендикулярнi. Як розташованi площини β i γ,якщо:1) площини α i γ перпендикулярнi;2) площини α i γ паралельнi;3) площини α i γ перетинаються, але вони не перпендикулярнi?

Виконання письмових вправ1. Із точок A i B, що лежать у двох

перпендикулярних площинах,проведено перпендикуляри ACi BD до прямої перетину цихплощин (див. рисунок). Знай�дiть довжину:1) вiдрiзка AB, якщо AC = 9 см,CD = 12 см, BD = 8 см;2) вiдрiзка CD, якщо AB = 41 см,AC = 24 см, BD = 9 см;3) вiдрiзкiв AC i BD, якщоAB = 25 см, AD = 20 см, BC == 369 см.

2. Із точки D проведено перпенди�куляри DA i DB до взаємно пер�пендикулярних площин α i βвiдповiдно. Площина ADB пе�ретинає пряму перетину пло�щин α i β у точцi C.1) Доведiть, що ADBC — пря�мокутник.2) Обґрунтуйте й обчислiть вiдстань вiд точки D до прямої перети�ну площин α i β, якщо AD = 24, BD = 18 см.

3. Площини трикутникiвABC i ADC перпендикулярнi AC = 12 см.Знайдiть довжину вiдрiзка BD, якщо:1) AB BC= = 10 см, AD DC= , ∠ = °ADC 90 ;2) трикутники ABC i ADC рiвностороннi.


A

B

β

α

DCc

β

B

DA

C

α

Додаткове завдання (на повторення)Точка P рiвновiддалена вiд вершин правильного трикутника

ABC. Знайдiть кут мiж прямими PA i BC.Виконання усних вправ сприяє подальшому засвоєнню змiстутверджень, вивчених на попередньому етапi уроку, i усвiдом�ленню їх мiсця в загальнiй картинi теоретичних положень,що стосуються перпендикулярностi площин.Метою виконання письмових вправ є формування сталихумiнь i навичок застосовувати вивченi твердження для роз�в’язування програмових задач на знаходження вiдстаней мiжточками, що лежать у кожнiй iз двох перпендикулярних пло�щин. Тому на цьому уроцi доцiльно вiдразу скласти схемуобґрунтування розв’язання такого типу задач: обґрунтуваннявiдстанi вiд точки до прямої (площини) → обґрунтування по�ложення проведених перпендикулярiв → перехiд вiд стерео�метричних задач до планiметричних на розв’язування прямо�кутних трикутникiв.Розв’язування додаткової задачi сприяє повторенню власти�востi точки, рiвновiддаленої вiд вершин трикутника, i понят�тя кута мiж мимобiжними прямими. Цю задачу розв’язуємоза наявностi часу.


Контрольнi запитання1. Чи правильнi наведенi твердження?

1) Якщо пряма перпендикулярна до лiнiї перетину двох перпен�дикулярних площин, то вона лежить в однiй iз перпендикуляр�них площин.2) Якщо пряма перпендикулярна однiй iз двох перпендикуляр�них площин, то вона належить другiй площинi.3) Якщо двi площини перпендикулярнi до третьої, то вони (цi двiплощини) перпендикулярнi.



1. Чи правильно, що:1) через подану точку площини можна провести єдину площину,перпендикулярну до заданої;2) через подану точку прямої перетину двох площин можна про�вести єдину площину, перпендикулярну до кожної з цих площин?


2. Сконструюйте модель прямокутникiв ABCD i ABEF, якi лежатьу перпендикулярних площинах. За допомогою моделi визначте,чи перпендикулярнi прямi AC i AF, AE i BC, DB i BF.

3. Кiнцi вiдрiзка довжиною 12 см належать двом перпендикуляр�ним площинам. Знайдiть вiдстанi вiд кiнцiв вiдрiзка до кожноїз площин, якщо цей вiдрiзок утворює iз заданими площинамикути 45° i 60°.

4. Площини квадратiв ABCD i AB C D1 1 зi стороною 10 см перпенди�кулярнi. Знайдiть вiдстань:1) вiд точки B до прямої B C1 1 ; 2) вiд точки C1 до прямої AB.Повторити: означення та ознаку перпендикулярностi площин,

вiдстанi мiж паралельними прямими та паралельними площинами,теорему про три перпендикуляри та метричнi спiввiдношення в пря�мокутному трикутнику.


Мета: працювати над подальшим закрiпленням учнями змiстуозначення, ознаки та властивостi перпендикулярних площин; про�довжити роботу з формування вмiнь i навичок використовувати:

вивченi твердження для розв’язування задач на розпiзнавання до�ведення перпендикулярностi площин;умови перпендикулярностi площин для розв’язування задач на об�числення вiдстаней мiж точками, що лежать у кожнiй iз перпенди�кулярних площин.Тип уроку: застосування знань, умiнь i навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 33–34, каркаснi моделi.

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування учнiв на роботу.


Перевiрку правильностi виконання письмових вправ домашньогозавдання проводимо за готовими рисунками з короткими записамирозв’язань. Рисунки i записи вчитель готує на дошцi заздалегiдь.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту матерiалу та формул, вивче�них на попереднiх уроках, можна провести у формi математичногодиктанту.



Учнi позначають вiдповiдi «+» (правильне твердження), «–» (не�правильне твердження).

Серед наведених укажiть правильнi твердження.

1. Через будь�яку пряму можна провести площину, перпендику�лярну до заданої площини.

2. Через точку поза площиною, можна провести тiльки одну площи�ну, перпендикулярну до заданої.

3. Якщо в кожнiй iз двох перпендикулярних площин провести попрямiй зi спiльним початком на прямiй перетину, то кут мiжцими прямими дорiвнює 90°.

4. Якщо маємо двi прямi, кожна з яких лежить в однiй iз перпенди�кулярних площин зi спiльним початком на прямiй перетину, токут мiж цими прямими дорiвнюватиме 90°, якщо хоч одна з нихперпендикулярна до прямої перетину.

5. Якщо двi площини перпендикулярнi до третьої, то вони можутьбути паралельними.

6. Якщо двi площини перпендикулярнi до третьої, то вони не мо�жуть перетинатися.

7. Площини вертикальних дiагональних перерiзiв куба перпендику�лярнi.

8. Якщо площина i пряма перпендикулярнi до однiєї й тiєї самоїплощини, то вони паралельнi мiж собою.

9. Якщо площина перпендикулярна до заданої площини, то вонаперпендикулярна i до прямої, паралельної цiй площинi.

10. Якщо двi площини перпендикулярнi до третьої площини, то пря�ма їх перетину також перпендикулярна до тiєї самої площини.

Якiсть виконання завдань диктанту перевiряється пiсля вико�нання роботи. За необхiдностi проводимо роботу з корекцiї знань.


Традицiйно пiсля вивчення блоку нового матерiалу, що включаєозначення, ознаку та властивостi стереометричних об’єктiв, прово�диться урок розв’язування задач. Пiсля аналiзу помилок, яких учнiприпустилися пiд час виконання домашнiх вправ та математичногодиктанту, проводиться корекцiя, а також продовжується робота iззакрiплення знань i вдосконалення вмiнь використовувати знаннядля розв’язування задач вiдповiдного змiсту, що передбаченi програ�мою.


ІV. Вiдтворення й систематизацiя опорних знань i вмiнь

Самостiйна робота з теоретичним матерiаломза конспектами 33, 34

Виконання усних вправ (з повним обґрунтуванням)1. Чи правильно, що будь�яка пряма, що лежить в однiй iз двох пер�

пендикулярних площин, перпендикулярна до другої площини?2. Площини α i β перпендикулярнi. Пряма a не лежить у площинi α.

Визначте взаємне розмiщення прямої a i площини α, якщо a⊥β.3. Наведiть контрприклад, що заперечує твердження: «Пряма, що

паралельна однiй iз двох перпендикулярних площин, перпенди�кулярна до другої площини».

4. Чи правильно, що якщо одна з двох площин проходить через пря�му, перпендикулярну до лiнiї перетину площин, то цi площиниперпендикулярнi?

5. Площини α i β перпендикулярнi. Прямi a i b лежать у площинах αі β вiдповiдно. Визначте взаємне розмiщення цих прямих, якщоa| |β, b| |α.

6. Наведiть контрприклад, що заперечує твердження: «Двi площи�ни, що перпендикулярнi до третьої, паралельнi».


Робота з довiдковим матерiаломЗа готовим розв’язанням наведеної задачi вiдбувається коменту�

вання з видiленням основних його етапiв.Задача. Вiдрiзок AB довжиною 25 см спирається кiнцями на пер�

пендикулярнi площини α i β. Точка A вiддалена вiд площини на15 см, а точка B вiд площини α — на 7 см. Знайдiть проекцiї вiдрiзкана кожну iз заданих площин.Розв’язання. Нехай перпендику�

лярнi площини α i β перетинаються попрямiй c, A ∈α, B ∈β, AB = 25 (див. ри!

сунок). Проведемо в площинi α пер�пендикуляр AC до прямої c, а в пло�щинi β — перпендикуляр BD допрямої c. Оскiльки α β⊥ , то за теоре�мою про перпендикуляр до лiнiї пе�ретину перпендикулярних площинAC⊥β, BD⊥α. Отже, AC i BD вiдстанi вiд кiнцiв вiдрiзка AB до цихплощин: AC = 15 см, BD = 7 см. Тодi вiдрiзки BC i AD — шуканi про�екцiї вiдрiзка AB на цi площини. Знайдемо їх довжини.


A

B

β

α

DCc

Із трикутника ABC (∠ = °C 90 ) за теоремою Пiфагора

BC = − =25 15 202 2 (см).

Аналогiчно з трикутника BDA (∠ = °D 90 ) за теоремою Пiфагора

AD = − =25 7 242 2 (см).


1. Вiдрiзок AB лежить в однiй iз двох перпендикулярних площинi не перетинає другу. Точки A i B вiддаленi вiд прямої l перетинуцих площин на 9 см i 5 см вiдповiдно. У другiй площинi проведенопряму l, причому точка A вiддалена вiд неї на 15 см. Знайдiтьвiдстань вiд точки B до цiєї прямої.

2. Площину ромба ABCD перегнули по прямiй BD так, щоб площи�ни ABD i CBD були перпендикулярнi. Знайдiть вiдстань мiж точ�ками A i C, якщо в цьому ромбi ∠ = °ABC 120 , BD = 2 см.

3. Вiдрiзок лежить в однiй iз двох перпендикулярних площин i неперетинає другу. Кiнцi вiдрiзка вiддаленi вiд прямої перетинуплощин на 5 см i 27 см. Перший iз них вiддалений на 13 см вiдпрямої l, що лежить у другiй площинi i паралельна прямiй пере�тину заданих площин. Знайдiть вiдстань вiд середини цьоговiдрiзка до прямої l.

4. Точка P рiвновiддалена вiд сторiн правильного трикутника ABC iзпериметром 6 3 см. Із цiєї точки проведено перпендикуляр PO

довжиною 2 2 см до площини трикутника. Обґрунтуйте й об�числiть вiдстанi вiд точки O до площини APB.


Точки A i B лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах.Вiдрiзок AB утворює з цими площинами кути 30° i 45°. Знайдiть вiд�стань мiж основами перпендикулярiв, проведених iз точок A i B долiнiї перетину площин, якщо AB = 8 см.

Майже всi письмовi вправи уроку вiдтворюють ситуацiї, розгля�нутi на попереднiх уроках: на перпендикулярних площинах по�значенi точки, з яких проведено перпендикуляри (до лiнiї пере�тину або до iншої площини), i знаходяться вiдстанi вiд цихточок до iншої площини або лiнiї перетину площин. Проте наве�денi задачi вiдрiзняються вiд задач попереднього уроку обсягомматерiалу, що використовується для обґрунтування цих мо�ментiв (додатково розглядається поняття вiдстанi мiж паралель�ними прямими, кута мiж прямою i площиною тощо).


Слiд звернути увагу на задачу 4, оскiльки ситуацiя, що роз�глянута в нiй, сприяє, по�перше, усвiдомленню технологiї по�будови перпендикуляра iз заданої точки до поданої площини.По�друге, розв’язування цiєї задачi є пропедевтикою задачi назнаходження вiдстанi вiд основи висоти до бiчної гранi пра�вильної трикутної пiрамiди. Розв’язування цiєї задачi такожсприяє розумiнню технологiї побудови зображення, вписаноїу правильну трикутну пiрамiду (див. 11 клас).


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивчених означення, ознаки та властивостейперпендикулярних площин.


Повторити теоретичний матерiал (див. конспекти 33, 34).


1. Двi паралельнi прямi, вiдстань мiж якими дорiвнює 34 см, нале�жать двом перпендикулярним площинам i паралельнi прямiй їхперетину. Знайдiть вiдстанi вiд заданих прямих до прямої пере�тину площин, якщо одна з цих вiдстаней на 14 см менша за другу.

2. Площини квадрата ABCD i прямокутника AB C D1 1 перпендику�лярнi. Знайдiть вiдстань мiж прямими BC i B C1 1 , якщо площiквадрата i прямокутника дорiвнюють 36 см2 i 48 см2 вiдповiдно.

3. Рiвнобедренi трикутники ABC i DBC мають спiльну основу довжи�ною 30 см, AD DC= = 25 см. Обґрунтуйте й обчислiть вiдстань вiдточки до площини ABC.

Повторити означення та властивостi паралельного проектування,а також теорему про три перпендикуляри.

Урок № 60Ортогональна проекцiя многокутника

Мета: повторивши означення паралельного проектування, сфор�мувати в учнiв уявлення про особливий випадок паралельного проек�тування; працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми, що ви�ражає формулу площi ортогональної проекцiї многокутника.

Розпочати роботу над формуванням умiнь:

вiдтворювати вивченi твердження;

виконувати зображення ортогональних проекцiй многокутникiв;


використовувати вивчену формулу для розв’язування задач на об�числення площ ортогональних проекцiй многокутникiв.Удосконалювати вмiння визначати та обґрунтовувати кути мiж

площинами, що перетинаються.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Ортогональна проекцiя мно�

гокутника», стереометричний ящик.

Хiд уроку




Учитель збирає зошити на перевiрку, оцiнює якiсть виконання до�машньої роботи як самостiйну роботу. За необхiдностi учням, у якихвиникли труднощi пiд час виконання домашнього завдання, пропо�нується роздавальний матерiал iз правильними розв’язаннями задач.


Фронтальна бесiда1. Чим ми користуємося пiд час вивчення властивостей просторових

фiгур? (Моделями та рисунками)2. Яким способом побудови рисунка ми користуємося для того, щоб

зображення було наочним? (Паралельним проектуванням)3. Як можуть бути розташованi напрямки проектування вiдносно

площини проекцiї? Напрямок проектування вiдносно площиниплоскої фiгури? Що при цьому може вiдбуватися?Обговорення останнього питання сприяє усвiдомленню учнями

того, що окремим випадком паралельного проектування є такий,коли напрямок проектування перпендикулярний до площини про�екцiї (обговорення супроводжується наочнiстю). Вивчення важли�вих особливостей цього виду проектування та способiв їх застосуван�ня на практицi — основна мета уроку.


Виконання усних вправ1. Чи може проекцiя бути бiльшою за вiдрiзок, який проектується?2. Чи може паралельною проекцiєю прямої бути вiдрiзок?3. Як розмiщений у просторi вiдрiзок вiдносно площини проекцiї,

якщо вiн проектується в точку?


4. У якому випадку проекцiя вiдрiзка дорiвнює самому вiдрiзку?5. Як розмiщенi у просторi два вiдрiзки, якщо вони проектуються

в один й той самий вiдрiзок?6. Як розмiщенi двi прямi, коли їх проекцiї на площину паралельнi?7. У якому випадку трикутник проектується:

1) у вiдрiзок прямої;2) у трикутник;3) у трикутник, що йому дорiвнює?

8. Трикутник ABC — зображення прямокутного трикутника з пря�мим кутом при вершинi C. Як побудувати зображення перпенди�кулярiв, проведених iз точки M сторони AB на сторони AC i BCтрикутника?

9. Чи є рiзниця мiж поняттями «паралельна проекцiя фiгури наплощину» i «зображення фiгури на площинi»?


План вивчення нового матерiалу1. Поняття ортогонального проектування, ортогональної (прямокут�

ної) проекцiї.2. Властивостi ортогональної проекцiї.3. Теорема про площу ортогональної проекцiї многокутника.4. Наслiдок iз теореми.

Вивчення нового матерiалу вiдбувається за традицiйною схе�мою (можна близько до тексту пiдручника). Спочатку форму�люється конструктивне означення ортогонального проекту�вання (у чому полягає особливiсть цього виду паралельногопроектування), а потiм формулюються його загальнi власти�востi. Далi обговорюється питання про те, що ортогональнепроектування, крiм певних особливостей, має й особливувластивiсть — ця властивiсть формулюється у виглядi вiдпо�вiдної тереми. Зазначимо, що традицiйно цю теорему дово�дять спочатку для трикутникiв в окремих випадках: 1) пло�щина проекцiї проходить через одну зi сторiн трикутника;2) площина проекцiї паралельна до площини трикутника.Потiм усi висновки узагальнюються для ортогональної про�екцiї будь�якого опуклого многокутника.Цiкавим iз точки зору самоконтролю розв’язування задач наобчислення площi ортогональної проекцiї є наслiдок iз вiдпо�вiдної теореми.



Конспект 35

Ортогональна проекцiя многокутника

1. Уявлення про ортогональне проекту!вання

Якщо виконується паралельне проек�тування фiгури у напрямку прямої l,перпендикулярної до площини α, тотаке паралельне проектування нази�вається ортогональним проектуванням.

l

F FF

⊥→ ′

⎫⎬⎭

⇒ ′α

— ортогональна проекцiя

фiгури F на площину α.

2. Властивостi ортогонального проектування

Ортогональне проектування є окремим випадком паралельною проекту�вання, тому ортогональне проектування має всi властивостi паралельногопроектування, зокрема, якщо площина многокутника не перпендикуляр�на площинi проекцiї, то ортогональна проекцiя многокутника є такожмногокутником.

3. Теорема. Площа ортогональної проекцiї многокутника на площину до�рiвнює добутку площi многокутника на косинус кута мiж площиноюмногокутника i площиною проекцiї.

S Sпр = ⋅cosϕ,

де S — площа многокутника, Sпр. — площа ортогональної проекцiї много�кутника, ϕ — кут мiж площинами.

4. Наслiдок iз теореми. Площа ортогональної проекцiї многокутника небiльша за площу многокутника: S Sпр. ≤ .


Виконання усних вправ1. Заповнiть порожнi мiсця в таблицi.

Площа многокутникау просторi

Кут мiж площинами много/кутника i його проекцiї

Площа проекцiї

100 60°

64 32

45° 10

2. Чи може площа ортогональної проекцiї многокутника дорiвнюва�ти площi цього многокутника?


F

F′

α

l

3. Як зрозумiти твердження теореми (формула площi ортогональноїпроекцiї многокутника) у випадку, якщо ϕ = °90 .

4. Обчислiть площу перерiзу A D CB1 1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

Виконання письмових вправ1. Ортогональною проекцiєю прямокутника, сторона якого нале�

жить площинi проекцiї, є квадрат. Знайдiть кут мiж площинамипрямокутника i квадрата, якщо сторони прямокутника дорiвню�ють 6 см i 3 3 см.

2. Ортогональною проекцiєю многокутника з площею S є многокут�ник з площею S1 . Знайдiть:

1) S, якщо S1 12 2= см2, а кут мiж площинами многокутникiв до�

рiвнює 45°;

2) S1 , якщо S = 8 3 см2, а кут мiж площинами многокутникiв до�

рiвнює 30°;3) кут мiж площинами многокутникiв, якщо S = 90 см2, S1 45= см2.

3. Кут мiж площиною фiгури F i α дорiвнює ϕ. Знайдiть площу орто�гональної проекцiї фiгури F на площину α, якщо задана фiгура є:1) прямокутним трикутником iз гiпотенузою 24 см i гострим ку�том 60°, а кут ϕ дорiвнює 30°;2) ромбом зi стороною 8 см i кутом 135°, а кут ϕ, а кут дорiвнює 45°;3) рiвнобедреною трапецiєю з основами 4 см i 10 см та бiчною сто�роною 5 см, а кут ϕ дорiвнює 60°.

4. Основа рiвнобедреного трикутника паралельна площинi α, а йогоортогональна проекцiя на задану площину — рiвностороннiй трикут�ник зi стороною 6 см. Знайдiть кут мiж площинами трикутникiв,якщо бiчна сторона рiвнобедреного трикутника дорiвнює 3 5 см.

5. Трикутник A B C1 1 1 — ортогональна проекцiя трикутника ABC наплощину α, а трикутник A B C2 2 2 — ортогональна проекцiя трикут�ника A B C1 1 1 на площину ABC. Знайдiть кут мiж площинами ABCi α, якщо:1) площа трикутника A B C2 2 2 складає 0, 75 площi трикутника ABC;2) площа трикутника ABC удвiчi бiльша за площу трикутникаA B C2 2 2 .

Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, спрямованi назакрiплення формули площi ортогональної проекцiї многокут�ника й передбачають як пряме застосування формули, так i по�передню роботу з побудови та обґрунтування зображень просто�рових фiгур та кутiв мiж площинами. Пiд час виконаннянаведених письмових вправ також використовуються формули


для обчислення площ плоских фiгур. Розв’язування наведенихусних задач, як правило, не викликає в учнiв труднощiв. З ме�тою попередження можливих помилок, перед розв’язуваннямзадач високого i достатнього рiвнiв складностi бажано запропо�нувати учням самостiйно розглянути розв’язання наведеноїу пiдручнику задачi. Ця задача передбачає попередню роботуз наслiдком iз теореми про площу ортогональної проекцiї. Пiсляопрацювання цього питання робимо вiдповiднi висновки, потiмучнi починають розв’язувати письмовi задачi, з урахування усiхзауважень.


Контрольнi запитання1. Площа одного трикутника дорiвнює 18 см2, а площа другого —

36 см2. Який iз цих трикутникiв може бути ортогональною про�екцiєю iншого? Пiд яким кутом у цьому випадку перетинаютьсяплощини трикутникiв?

А Б В Г

90° 60° 30° 45°

2. Проекцiєю куба за ортогонального проектування паралельно йогогранi є…

А Б В Г

квадрат прямокутник п’ятикутник шестикутник


Вивчити змiст засвоєних на уроцi понять та формул (див. кон�спект 35).

Розв’язати задачi.1. Ортогональною проекцiєю вiдрiзка AB на площину α є точка B.

Який вiдрiзок є проекцiєю похилої AC на площину α? Чому?2. Довжина ортогональної проекцiї вiдрiзка AB на площину α дорiв�

нює довжинi вiдрiзка AB. Чи випливає з цього, що AB| |α?3. Чи паралельнi двi площини, якщо площi ортогональних проекцiй

деякого многокутника на цi площини:1) дорiвнюють площi многокутника; 2) рiвнi мiж собою?

4. Трикутники ABC i DBC мають спiльну сторону BC. Двограннийкут iз ребром BC дорiвнює 60°. Вiдрiзок AD — перпендикуляр доплощини DBC. Знайдiть площу:


1) трикутника DBC, якщо площа трикутника ABC дорiвнює 10 см2;

2) трикутника ABC, якщо площа трикутника DBC дорiвнює 10 см2.

5. Кут мiж площиною фiгури F i площиною α дорiвнює ϕ. Знайдiтьплощу ортогональної проекцiї фiгури F на площину α, якщо:

1) трикутник зi сторонами 13 см, 14 см, 15 см, а кут ϕ дорiвнює 60°;

2) прямокутник iз дiагоналлю 10 см i кутом мiж дiагоналями 45°,а кут ϕ дорiвнює 45°.

6. Ортогональною проекцiєю квадрата, одна з дiагоналей якого па�ралельна площинi проекцiї, є ромб. Знайдiть кут мiж площинамиромба й квадрата, якщо сторона квадрата дорiвнює 2 см, а одназ дiагоналей ромба — 2 см.

Повторити означення, ознаку та властивостi мимобiжних прямих.

Урок № 61Вiдстань мiж мимобiжними прямими. Вiдстань вiд точкидо фiгури*. Вiдстанi мiж фiгурами

Мета: працювати над формуванням в учнiв уявлення про:

спiльний перпендикуляр до двох мимобiжних прямих;

вiдстанi мiж мимобiжними прямими;

вiдстанi вiд точки до фiгури та вiдстанi мiж двома фiгурами.

Домогтися засвоєння учнями означення спiльного перпендикуля�ра двох мимобiжних прямих, вiдстанi вiд точки до фiгури.

Формувати в учнiв умiння:

вiдтворювати змiст вивчених понять;

виконувати дiї для виконання побудов та знаходити на готових ри�сунках зображення вiдстаней мiж мимобiжними прямими, вiд точ�ки до фiгури та мiж двома фiгурами;

обґрунтовувати побудову вiдстаней;

застосовувати цi обґрунтування до розв’язування найпростiшихзадач на обчислення вiдстаней.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь i навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Вiдстань мiж мимобiжнимипрямими».


* На розсуд учителя, можна до названих питань додати питання про вiд�стань вiд точки до фiгури та вiдстань мiж двома фiгурами або запропонува�ти їх учням з високим рiвнем навчальних досягнень для самостiйногоопрацювання або як тему для реферату чи короткого повiдомлення.

Хiд уроку




Бажано провести перевiрку домашнього завдання за зразком,з одночасним коментуванням.


З метою створення вiдповiдної мотивацiї навчальної дiяльностiпропонуємо учням таблицю, яка нагадує учням вiдомi їм види таспособи обчислення вiдстаней у просторi. Далi вчитель пропонуєучням проаналiзувати всi випадки взаємного розмiщення прямихi площин у просторi. Пiсля обговорення цього питання доходимо вис�новку: питання про вiдстанi мiж мимобiжними прямими ще не ви�вчалося. Вiдразу виникає питання про iснування такого поняття вза�галi, а якщо так, то як увести це поняття i як воно «працює напрактицi»?

Вiдстанi у просторi

1.

AB −?

4.

AB −?

2.

AB −?

5.

AB −?

3.

AB −? AB −?


αc

b

A

B

A

B

a

A

B

A

B

a

a

B

A

b α

β

A

B

α

Таким чином, цiлком логiчно формулюється мета цього уроку —вивчення поняття вiдстанi мiж мимобiжними прямими.


Виконання усних вправЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

можна запропонувати їм вправи, що сприяють вiдтворенню означен�ня, ознаки та властивостi мимобiжних прямих, а також вiдстанеймiж паралельними прямими та паралельними площинами.

1. На рисунку зображено куб ABCDA B C D1 1 1 1 .

Точки M i N належать вiдповiдно ребрам AA1

i AB. Яким є взаємне розмiщення прямих:1) AB i MN; 2) BB1 i MN; 3) A D1 1 i MN;4) C A1 1 i AB; 5) C A1 1 i BB1 ; 6) C A1 1 i A D1 1 ;7) C B1 i AB; 8) C B1 i BB1 ; 9) C B1 i A D1 1 ?

2. Два вiдрiзки спираються своїми кiнцями напаралельнi площини (див. рисунок). Знай�дiть довжину проекцiї похилої CD на однуз площин, якщо AB = 20, CD = 15 i проекцiяпохилої AB на одну з площин дорiвнює 16.

3. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорiвнює a. Зна�йдiть вiдстань вiд ребра CC1 до площини:1) ABB1 ; 2) BDD1 .

4. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорiвнює a. Знай�дiть вiдстань мiж площинами ABD i B D C1 1 1 .



1. Поняття спiльного перпендикуляра двох мимобiжних прямих.Властивiсть спiльного перпендикуляра двох мимобiжних прямих.

2. Означення вiдстанi мiж двома мимобiжними прямими.

3. Знаходження вiдстанi мiж мимобiжними прямими пiд час роз�в’язування задач.

4*. Вiдстань вiд точки до фiгури. Вiдстань мiж фiгурами.

Матерiал уроку викладається близько до тексту пiдручникаi супроводжується вiдповiдною демонстрацiєю моделей. Пiдчас розгляду поняття спiльного перпендикуляра апелюємо допредметiв оточення (стiни, стеля кабiнету тощо), щоб проде�монструвати спiльний перпендикуляр двох мимобiжних пря�мих, а також те, що вiн є найкоротшою вiдстанню вiд деякої


A

B

D

A1

B1

C

C1

D1

M

N

β

A

B

α

DE F

C

точки однiєї з мимобiжних прямих до деякої точки другоїз мимобiжних прямих.Пiд час формулювання та доведення властивостi спiльногоперпендикуляра двох мимобiжних прямих звертаємо увагуучнiв на такi моменти:

якими б не були двi мимобiжнi прямi (тобто яким би не був кут мiжними), завжди iснує їх спiльний перпендикуляр, i єдиний, для цихмимобiжних прямих;спiльний перпендикуляр двох мимобiжних прямих є спiльнимперпендикуляром паралельних площин, якi можна провести черезцi двi прямi.З останньої тези цiлком логiчно випливає означення вiдстанi мiж

двома мимобiжними прямими. Нагадаємо логiку питання вiдстанiв геометрiї: вiдстань — це довжина найкоротшої лiнiї, що з’єднуєточки двох геометричних об’єктiв, мiж якими вимiрюється вiдстань.

Останнє основне питання, що обов’язково має бути розглянутимна уроцi, — обґрунтування вiдстанi мiж мимобiжними прямими пiдчас розв’язування задач. Виходячи з питань, що були розглянутiвище, пропонуємо на вибiр один із чотирьох способiв такого обґрун�тування (див. конспект 36).

Питання про вiдстань вiд точки до фiгури i про вiдстань мiж дво�ма фiгурами не обов’язкове для вивчення, тому, на розсуд учителя,або цей матерiал розглядається на уроцi на рiвнi уявлень, або пропо�нується сильним учням для вивчення самостiйно за пiдручником.



Виконання усних вправ1. На рисунку зображений куб ABCDA B C D1 1 1 1 iз ребром a. Укажiть

вiдрiзок, довжина якого дорiвнює вiдстанi мiж прямими:1) DD1 i B C1 1 ; 2) B D1 1 i CC1 .

2. На рисунку зображений куб ABCDA B C D1 1 1 1

iз ребром a. Укажiть вiдрiзок, довжина яко�го дорiвнює вiдстанi мiж прямими OO1

і D C1 1 .3. На рисунку зображений куб ABCDA B C D1 1 1 1

iз ребром a. Укажiть вiдрiзок, довжина яко�го дорiвнює вiдстанi мiж трикутником ACDi квадратом A B C D1 1 1 1 .


A

B

D

A1

B1

C

C1

D1

О

О1

Конспект 36

Вiдстань мiж мимобiжними прямими. Вiдстань мiж фiгурами

1. Означення. Спiльним перпендикуляромдвох мимобiжних прямих називаєтьсявiдрiзок з кiнцями на цих прямих, пер�пендикулярний до кожної з них.

Властивостi спiльного перпендикуляра двох мимобiжних прямих:

двi мимобiжнi прямi мають спiльний перпендикуляр, i тiльки один;

спiльний перпендикуляр двох мимобiжних прямих є спiльнимперпендикуляром двох паралельних площин, що мiстять цi прямi.

2. Означення. Вiдстанню мiж мимобiжними прямими називається довжи�на їх спiльного перпендикуляра.

3. Пiд час розв’язування задач для обчислення вiдстанi мiж мимобіжнимипрямими застосовують один зi способiв:

1) будують спiльний перпендикуляр цих мимобiжних прямих i обчислю�ють його довжину;

2) проводять через цi мимобiжнi прямi паралельнi площини α i β, тодi шу�кана вiдстань дорiвнює вiдстанi мiж цими площинами;

3) проводять через одну з прямих у площинi β, паралельну до другої пря�мої a, тодi шуканою є вiдстань вiд прямої a до площини β;

4) проводять площину β, перпендикулярну до однiєї з цих прямих a, A —точка їх перетину, ортогонально проектуються цi двi прямi a i b на пло�щину β. Тодi a A→ , b b→ ′, а шукана вiдстань — вiдстань вiд точки Aдо прямої b′.

4. 1) Вiдстань вiд точки A до фiгури F — цевiдстань вiд точки A до найближчої точ�ки B фiгури F.

( )ρ A F AB; = , де B F∈ , AB AX≤ , x F∈ .

2) Вiдстанню мiж фiгурами F1 i F2 нази�вається вiдстань мiж їх найближчимиточками.

( )A F X F

B F X F

AB X X

AB F F

∈ ∈∈ ∈

≤

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ =

1 1 1

2 2 2

1 2

1 2

;

; ;ρ


F

X2

X1

A

B

X

F1

F2

A B

a

N

M

b

Виконання письмових вправ1. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорiвнює 1. Знайдiть вiдстань мiж ми�

мобiжними прямими:1) AB i CC1 ; 2) AC i BB1 ; 3) A B1 i C D1 .

2. У тетраедрi PABC, усi ребра якого дорiвнюють a, знайдiтьвiдстань мiж ребрами PA i BC.

Додаткове завдання (на повторення)1. Основа сараю — прямокутник площею 54 м2. Знайдiть площу

його двосхилого даху, якщо схили утворюють iз горизонтальноюплощиною кути 30°.

2. Ортогональною проекцiєю ромба на площину, що мiстить однуз його вершин, є квадрат. Знайдiть кут мiж площинами ромбаi квадрата, якщо дiагоналi ромба дорiвнюють 6 см i 12 см.

Пiд час розв’язування усних задач вiдбувається засвоєннявивчених схем обґрунтування вiдстанi мiж мимобiжнимипрямими. Виконання письмових вправ, що запланованi наурок, сприяє не тiльки закрiпленню вивчених схем, а такожформуванню вмiнь застосовувати їх до розв’язування задач наобчислення вiдстаней мiж мимобiжними прямими. Додатковiзадачi сприяють повторенню поняття площi ортогональноїпроекцiї та формули для її обчислення, поняття кута мiж пло�щинами та лiнiйного кута двогранного кута. Таким чиномпроводиться пiдготовка до тематичної контрольної роботи.

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитанняВикористовуючи зображення куба

ABCDA B C D1 1 1 1 (див. рисунок), знайдiть

кути мiж прямими i заповнiть таблицю.

Прямi BC BC1 DC1

AA1

CB1

A B1 1

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст теоретичного матерiалу уроку (див. конспект 36).Розв’язати задачi.

1. Пряма MA перпендикулярна до площини правильного трикутникаABC зi стороною a. Знайдiть вiдстань мiж прямими MA i BC.


AB

D

A1B1

C

C1D1

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 iз ребром a знайдiть вiдстань мiж прямими:

1) AA1 i B D1 ; 2) BD i A C1 .

3. Ортогональною проекцiєю рiвностороннього трикутника площею36 3 см2 на площину, що мiстить одну з його вершин, є рiвнобед�

рений трикутник iз бiчною стороною 3 13 см. Знайдiть кут мiжплощинами трикутникiв.

Повторити: теорему про три перпендикуляри, поняття кута мiжпрямою та площиною, перпендикулярнiсть площин, а також ортого�нальне проектування.


Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнiвщодо:

змiсту теореми про три перпендикуляри;

властивостей точок, рiвновiддалених вiд сторiн многокутника;

означення кута мiж прямою та площиною;

двогранного кута та кута мiж площинами;

означення, ознак i властивостей перпендикулярних площин;

поняття ортогонального проектування та його властивостей;

формули обчислення площi ортогональної проекцiї многокутника.

Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання дорозв’язування задач, передбачених програмою з математики.

Тип уроку: узагальнення й систематизацiя знань та вмiнь.


Хiд уроку

ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.

За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.

ІІІ. Формулювання мети й завдань урокуОсновна дидактична мета уроку та завдання на урок полягають

у повтореннi, узагальненнi та систематизацiї знань та вмiнь, набутихучнями в ходi вивчення теми. Таке формулювання мети створюєвiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


ІV. Повторення й систематизацiя знаньЗалежно вiд рiвня пiдготовки учнiв учитель може органiзу�вати роботу з повторення та систематизацiї знань рiзнимиспособами: як самостiйну за теоретичним матерiалом (на�приклад, за пiдручником або за конспектом повторити змiстосновних понять теми чи скласти схему, що вiдображає зв’я�зок мiж основними поняттями теми, тощо), або традицiйнопровести опитування (у формi iнтерактивної вправи) заосновними питаннями теми або за контрольними запитання�ми до роздiлу.

Контрольнi запитання1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.2. Дайте означення кута мiж прямою i площиною.3. Дайте означення двогранного кута i його градусної мiри. Зобра�

зiть на рисунку двогранний кут i лiнiйний кут двогранного кута.4. Дайте означення кута мiж площинами.5. Дайте означення перпендикулярних площин. Сформулюйте озна�

ку перпендикулярностi площин.6. Сформулюйте властивостi перпендикулярних площин.7. Опишiть побудову ортогональної проекцiї многокутника. За�

пишiть формулу площi ортогональної проекцiї многокутника.

V. Повторення й систематизацiя вмiнь, навичок

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi сформулювали та ви�пробували узагальнену схему дiй, якої вони мають дотриму�ватися пiд час розв’язування типових завдань, подiбнi дояких будуть винесенi на контроль.

Перед виконанням практичного завдання проводиться роботаз видiлення основних видiв задач на застосування вивчених у темiпонять. Такими видами задач можуть бути задачi на:

обґрунтування вiдстанi вiд точки до прямої у просторi та на знахо�дження цих вiдстаней;обґрунтування й обчислення кута мiж прямою та площиною (абовикористання цього кута для знаходження вiдстаней);знаходження кута мiж площинами;застосування властивостi перпендикулярних площин;знаходження площi ортогональної проекцiї.Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель об’єднує

учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань), завдання кожної


групи формулюється як «Скласти план розв’язання задачi…» (кожназ груп отримує iндивiдуальне завдання). На складання плану кожнiйгрупi вiдводиться певний час, за який учнi групи мають: обговоритиплан розв’язання, записати його у виглядi послiдовних крокiв, реал�iзувати та пiдготувати презентацiю своєї роботи. По закiнченнiвiдбувається презентацiя виконаної роботи кожною групою. Пiсляпрезентацiї — обов’язкове обговорення складених планiв: учительабо учнi (iнших груп) пропонують змiнити яку�небудь iз поданих ве�личин i пояснити, як змiниться розв’язання задачi. Пiсля обговорен�ня — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком уроку узагальнення, систематизацiї знань i вмiнь є,по�перше, складенi узагальненi схеми дiй пiд час розв’язування типо�вих завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдної частини свiдо�мої розумової дiяльностi (рефлексiї), вiдображення кожним учнемвласного сприйняття своїх успiхiв та, найголовнiше, проблем, надякими слiд ще попрацювати перед контрольною роботою.


Повторити змiст понять теми.Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати тестовi завдання для

самоперевiрки.1. На рисунку гострокутний трикутник A BC1

i трапецiя ABCD (AD BC| | ) не лежать в однiйплощинi. Серед кутiв виберiть кут, що до�рiвнює куту мiж прямими A C1 i AD.

А Б В Г

∠ A AD1 ∠ A CA1 ∠ A CB1 ∠CAD

2. Закiнчiть речення так, щоб утворилося правильне твердження.Пряма a перпендикулярна до площини α, якщо вона перпендику�лярна до…

А Б В Г

деякої прямоїплощини α

будь�якої прямоїплощини α

деяких двох пря�мих площини α

двох паралель�них прямих пло�щини α


B C

D

A1

A

3. На рисунку ( )MA ABC⊥ . За цим рисунком

знайдiть довжину вiдрiзка MC.

А Б В Г

13 4 10 119 5

4. Серед наведених тверджень виберiть неправильне.

А Б В Г

Двi прямi, пер�пендикулярнi дооднiєї площини,паралельнi

Якщо одназ двох паралель�них прямих пер�пендикулярна додеякої площини,то друга пряматакож перпенди�кулярна до цiєїпрямої

Двi площини,перпендикулярнiдо однiєї прямої,паралельнi

Двi прямi в про�сторi, перпенди�кулярнi до тре�тьої, обов’язковопаралельнi

5. На рисунку ( )MA ABC⊥ . Вiдрiзок MB — вiд�

стань вiд точки M до прямої BC. Визначтевид трикутника ABC.

А Б В Г

Прямо�кутнийз гiпотену�зою AC

Прямо�кутнийз гiпотену�зою AB

Рiвнобед�ренийз основоюBC

Рiвносто�роннiй

6. На рисунку ABCD — ромб, ( )MC ABC⊥ . На�

звiть вiдрiзок, який зображає вiдстань вiдточки M до прямої BD.

А Б В Г

MB MO MD MC

7. Пряма a перетинає площу α й утворює з двома прямими цiєї пло�щини кути 30° i 60°. Закiнчiть речення так, щоб утворилося пра�вильне твердження. Кут мiж прямою a i площиною α…


M

C

BA

O

D

M

C

A

B

M

C

BA

12

4

3

А Б В Г

бiльше за 30° бiльше за 60° не бiльше за 30° бiльше за 30°,але менше за 60°

8. Рiвнобедрений трикутник ABC i DBC маютьспiльну основу, ( )AD DBC⊥ (рис.). Назвiть

лiнiйний кут двогранного кута з ребром BC.

А Б В Г

ABD AMD ADM ACD

9. Рiвнобедренi трикутники ABC i DBC маютьспiльну основу, ( )AD DBC⊥ (див. рис.). Се�ред даних пар площин виберiть тi, якi не єперпендикулярними.

А Б В Г

ABD i DBC ADM i ABC ADM i DBC ADM i ADC

10. Перпендикулярнi площини α i β перетинаються по прямiй c. Пло�щина γ, перпендикулярна до прямої c, перетинає цi площини попрямих a i b вiдповiдно. Серед поданих тверджень виберiть непра�вильне.

А Б В Г

b ⊥γ a ⊥β b c⊥ α γ⊥

11. Трикутник A BC1 — ортогональна проекцiя трикутника ABC наплощину α. Площа трикутника A BC1 дорiвнює 16 см2, а кут мiжплощинами ABC i α дорiвнює 60°. Знайдiть площу трикутникаABC.

А Б В Г

8 см2 32 см28 3 см2 32 3

3см2

12. Точка D не лежить у площинi рiзностороннього трикутника ABCi рiвновiддалена вiд його вершин. Вiдрiзок DO — перпендикуляр


A

B

C

DM

до площини ABC. Закiнчiть речення так, щоб утворилося пра�вильне твердження. Точка O — точка перетину…

А Б В Г

медiана трикут�ника ABC

бiсектриса три�кутника ABC

висот трикутни�ка ABC

серединних пер�пендикулярiв досторiн трикутни�ка ABC


Мета: перевiрити:

рiвень засвоєння учнями знань та вмiнь вiдповiдно до програмо�вих вимог щодо змiсту основних понять теми;

якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi з використан�ням теореми про три перпендикуляри, властивостей точок,рiвновiддалених вiд сторiн многокутника, означення кута мiжпрямою та площиною, двогранного кута та кута мiж площинами;означення, ознак та властивостей перпендикулярних площин,поняття ортогонального проектування та його властивостей, а та�кож формули обчислення площi ортогональної проекцiї много�кутника.

Тип уроку: контроль рiвня засвоєння знань i вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою.Роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала.


Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних понять та оволодiння прийомами їх застосу�вання пiд час розв’язування програмових задач.



Варiант 1

1. Через вершину кута B, що дорiвнює 30°, прямокутного три�кутника ABC iз гiпотенузою AB = 4 см проведено перпендикулярBM = 3см. Обчислiть вiдстань вiд точки M до прямої AC.

2. Периметр рiвнобедреного трикутника дорiвнює 36 см, а основа —16 см. Точка простору вiддалена вiд площини трикутника на

вiдстань104

3см i рiвновiддалена вiд усiх сторiн трикутника.

Знайдiть цю вiдстань.

3. Із точок A i B, що лежать у двох перпендикулярних площинах,проведено перпендикуляри AC i BD до лiнiї перетину цих пло�щин. Знайдiть довжину вiдрiзка AC, якщо AD = 5 см, CB = 2 10

см, BD = 2 6 см.

4. Через вершину B рiвнобедреного трикутника ABC (AB BC= ) про�ведено пряму BM перпендикулярно до його площини. Обчислiтьвiдстань мiж прямими BM i AC, якщо AB = 18 см, AC = 24см.

5. Знайдiть площу ортогональної проекцiї трикутника зi сторонами12 см, 17 см i 25 см на площину α, що утворює з площиною три�кутника кут 60°.

6. Кут мiж площинами рiвностороннiх трикутникiв ABC i ABC1 до�рiвнює 45°. Знайдiть вiдстань CC1 , якщо AB = 6 см.

Варiант 2

1. Через точку O — точку перетину дiагоналей прямокутника ABCD,у якого BC = 24 см, BD = 26 см, до його площини проведеноперпендикуляр довжиною 3 3 см. Обчислiть вiдстань вiд точки Mдо прямої AD.

2. Точка S рiвновiддалена вiд усiх сторiн прямокутного трикутника,катет i гiпотенуза якого дорiвнюють вiдповiдно 4 см i 5 см, i вiдда�лена вiд площини трикутника на вiдстань 11 см. Обчислiтьвiдстань вiд точки S до сторiн трикутника.

3. Із точок A i B, що лежать у двох перпендикулярних площинах,проведенi перпендикуляри AC i BD до лiнiї перетину площин.Обчислiть довжину вiдрiзка AB, якщо AD = 5 см, CD = 4 см,CB = 2 10 см.

4. Через вершину квадрата ABCD проведено пряму AM перпендику�лярно до його площини. Обчислiть вiдстань мiж прямими AM iBD, якщо сторона квадрата дорiвнює 12 см.


5. Ортогональною проекцiєю трикутника, площа якого дорiвнює360 см2, на площину α є трикутник зi сторонами 13 см, 30 смi 37 см. Чому дорiвнює кут мiж площиною α i площиною трикут�ника?

6. Ромб ABCD зiгнули по дiагоналi BD так, що кут мiж площинамиABCD i BCD дорiвнює 30°. Знайдiть вiдстань AC, якщо BD = 32 см,а периметр ромба дорiвнює 80 см.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями; або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи № 6 (заготовлених учителемзаздалегiдь) у формi роздавального матерiалу.


Виконати аналiз контрольної роботи за розданими розв’язаннями.Повторити: роздiл «Основнi фiгур стереометрiї та аксiоми стерео�

метрiї й наслiдки з них».


ТЕМА 5. ПОВТОРЕННЯ I СИСТЕМАТИЗАЦIЯНАВЧАЛЬНОГО МАТЕРIАЛУ (7 год)

Основна мета: повторити, систематизувати та узагальнити знан�ня учнiв про змiст основних понять стереометрiї , вивчених у 10 кла�сi, та види задач на застосування означень, ознак та властивостейвивчених понять. Повторити, систематизувати та узагальнити набутiпід час вивчення названого матерiалу вмiння.

ОРIЄНТОВНЕ ПЛАНУВАННЯ ПОВТОРЕННЯ МАТЕРIАЛУ

Урок № 64

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнiвпро основнi фiгури стереометрiї та їх властивостi (аксiоми стерео�метрiї та наслiдки з них), а також про означення, властивостi таознаки паралельних прямих i площин у просторi.

Узагальнити вмiння їх застосовувати до розв’язування задач.

Уснi вправи

1. На зображеннях многогранників (рис. 1–4) укажіть:

а) будь�яку спільну точку верхньої основи і правої бічної грані па�ралелепіпеда; лінію перетину зазначених площин;

б) лінію перетину основи піраміди з бічною гранню;

в) лінії перетину бічних граней піраміди.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

2. Назвіть усі прямі, які перетинаються з прямою SB на рис. 3.

3. Яку площину визначає кожна пара прямих, що перетинаються нарис. 4?

287

A1

D1

C1B1

D

CB

A

S

C

B

A

A1

D

B1

D1

C1

CB

AD

CB

A

S

4. За рисунками 1–4 назвіть пряму і точку, за допомогою яких мож�на задати площину:а) основу многогранника;б) бічну грань (будь�яку певну).

5. Точка M — середина ребра AA1 куба ABCDA B C D1 1 1 1 .а) Назвіть площину бічної грані, якій належить пряма D M1 .б) Назвіть пряму, яка лежить у знайденій бічній грані і площиніоснови ABCD.в) Обчисліть довжину відрізка MD1 , якщо ребро куба дорівнює4 см.

6. Столяр перевіряє, чи лежать кінці чотирьох ніжок стола в однійплощині за допомогою двох ниток. Як треба натягнути нитки,щоб кінці чотирьох ніжок столу лежали в одній площині?

7. Чи можуть дві площини мати:а) лише одну спільну точку;б) лише дві спільні точки?Відповідь поясніть.

8. З однієї точки простору виходять три промені, що не лежатьв одній площині. Скільки площин можна провести через ці про�мені, беручи їх попарно?

9. Три різні площини мають спільну точку. Чи є правильним твер�дження про те, що площини мають спільну пряму? Скільки різ�них прямих можна дістати при попарному перетині цих площин?

10. Доведіть, що всі вершини чотирикутника ABCD лежать в однійплощині, якщо його діагоналі перетинаються.

11. Площини α і β перетинаються по прямій a. Через точку A прямої aпроведено площину γ, яка перетинає пряму a. Доведіть, що пло�щина γ перетинає площини α і β по двох різних прямих.

12. Доведіть, що коли дві прямі не лежать в одній площині, то вонине перетинаються.

13. Прямі a і b перетинаються в точці A, до того ж пряма a лежить у пло�щині α. Чи є правильним твердження, що пряма b лежить у пло�щині α?

14. Доведіть, що коли будь�які чотири точки фігури лежать в однійплощині, то всі точки фігури лежать у цій площині, тобто фігураплоска.

15. Дві вершини трикутника належать площині. Чи належить їй вер�шина, якщо ій площині належить:а) центр кола, вписаного в трикутник;б) центр кола, описаного навколо трикутника?


16. Три площини, взяті попарно, перетинаються по прямих a, b, c. До�ведіть, що коли всі три площини не мають спільної точки, топрямі a, b, c попарно не перетинаються.

17. Щоб знайти найбільш стійке положення для вимірювальних при�строїв, їх зазвичай встановлюють на триногах. Чому?

18. Дано площину α і прямокутник ABCD. Чи може площині α нале�жати:а) лише одна вершина прямокутника;б) лише дві його вершини;в) лише три його вершини?

19. Дано дві прямі a і b, що перетинаються в точці A. Доведіть, щопряма c, яка перетинає подані прямі і не проходить через точку A,лежить з ними в одній площині.

20. Дано пряму a і точку A, яка не лежить на цій прямій. Доведіть,що всі прямі, що проходять через точку A і перетинають пряму a,лежать в одній площині.

21. Дано дві прямі, що перетинаються. Чи є правильним твердження,що всі прямі, які перетинають подані, лежать в одній площині?Відповідь поясніть.

22. Дано чотири різні точки, три з яких лежать на одній прямій. Чиє правильним твердження про те, що всі чотири точки лежатьв одній площині? Відповідь поясніть.

23. Дано площину α і прямокутник ABCD, O — точка перетину йогодіагоналей AС і BD. Відомо, що точки A, B, O лежать у площині α.Доведіть, що всі вершини прямокутника лежать у площині α.

1. Розміщення двох прямих у просторі. Прямі,що перетинаються. Паралельні, мимобіжні прямі.Ознака паралельності прямих

1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 .

а) Чи перетинаються прямі AA1 і BB1 ; AB1 і DC1 ? Які це прямі?б) Чи перетинаються прямі AD і BB1 ; AB і DD1 ; CD1 і AB? Які цепрямі?


A1

D

B1

D1

C1

CB

A

в) Чи можна провести площину через AD і DB1 ; DB1 і DD1 ; D C1

і DB1 ? Чому?2. Яким може бути взаємне розміщення прямих a і b, якщо пряма a

не перетинає площину α, а пряма b лежить у площині α?3. Через точки A, B і середину M відрізка AB проведено паралельні

прямі, що перетинають площину α в точках A1 , B1 , M1 від�повідно. Знайдіть довжину відрізка MM1 , якщо AA1 13= м,BB1 7= м. Відрізок AB не перетинає площину α.

4. Точка P не лежить у площині трапеції ABCD з основами AD і BC.Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відрізків PBі PC, паралельна середній лінії трапеції.

5. Доведіть, що середини ребер AD, AB, BC, CD тетраедра ABCDналежать одній площині. Вершинами якого чотирикутника є ціточки?

6. Дано дві різні прямі a і b. Через подану точку M проведіть пряму,мимобіжну з кожною з поданих прямих, коли відомо, що ціпрямі:а) паралельні;б) перетинаються.

7. Дано дві мимобіжні прямі a і b, пряма c перетинає кожну з поданихпрямих. Доведіть, що будь�яка пряма, що паралельна c і відміннавід поданої прямої, є мимобіжною хоча б з однією з прямих a і b.

8. У площині α дано прямі a і b. Точка P не належить α. Проведітьлінію перетину площин, що проходять через a і P, b і P. Розглянь�те усі випадки розміщення прямих a і b.

2. Розміщення прямої і площини у просторі. Ознакапаралельності прямої і площини

1. Прямі a і b мимобіжні. Пряма a паралельна площині α. Ука�жіть усі можливі випадки взаємного розміщення прямої b таплощини α.

2. Площина α і пряма a паралельні одній і тій самій прямій b. До�ведіть, що пряма a паралельна площині α.

3. Пряма і площина паралельні між собою. Як розміщується поданапряма відносно прямих:а) які лежать у поданій площині;б) паралельних поданій площині;в) які перетинають подану площину?

4. Доведіть, що коли площина проходить через пряму, паралельнудо другої площини і перетинає цю площину, то пряма перетинуплощин паралельна першій прямій.


5. Прямі a і b мимобіжні, а прямі b і c паралельні. Чи можна провестиплощину через c і a? Відповідь поясніть.

6. Прямі a і b паралельні. Яке положення може займати пряма aвідносно площини, що проходить через пряму b?

7. Дано пряму і пару площин, які перетинаються. Охарактеризуйтевсі можливі випадки взаємного розміщення прямої і площин.

8. Чи правильне твердження: дві прямі, що паралельні одній і тійсамій площині, паралельні між собою?

9. Одна з двох паралельних прямих паралельна деякій площині. Чиможна стверджувати, що і друга пряма паралельна цій площині?

10. Дано пряму, яка паралельна площині. Доведіть, що в цій пло�щині завжди можна провести прямі, паралельні поданій.

11. Дві площини перетинаються. Чи існує площина, яка перетинає ціплощини по паралельних прямих?

12. Дано трапецію KLMN з основами KN і LM. Сторона KN лежитьу площині α, що не співпадає з площиною трапеції. Як розташо�вані інші сторони трапеції відносно площини α?

13. Чи може площина γ, яка проходить через середини двох сторінтрикутника, перетинати його третю сторону? Відповідь обґрун�туйте.

14. Чи правильне твердження: «Пряма, паралельна площині, якщовона паралельна прямій, яка лежить у цій площині»? Відповідьобґрунтуйте.

15. Дано дві різні прямі a і b. Через дану точку M проведіть пряму,мимобіжну до кожної з даних прямих, якщо відомо, що ці прямі:а) паралельні; б) перетинаються.


L M

N

α

B

M

C

A

K N

γ

16. Чи правильне твердження, що пряма, паралельна площині, не пе�ретинає жодної з прямих, які лежать у цій площині?

17. Дано a| |α, b| |α. Чи правильне твердження, що a b| | ?18. Доведіть, що пряма, паралельна кожній з площин, які перетина�

ються, паралельна лінії їхнього перетину.19. Прямі a і b мимобіжні. Доведіть, що через пряму b можна провести

площину, паралельну прямій a, і до того ж лише одну.20. Прямі a і b не лежать в одній площині. Через пряму a проведено

дві площини — α і β. Доведіть, що хоча б одна з цих площин не па�ралельна прямій b.

21. Площина α і пряма a паралельні. Пряма b перетинає пряму a.Яким може бути взаємне розміщення прямої b і площини α?

22. Прямі a і b паралельні. Пряма a перетинає деяку площину α. До�ведіть, що пряма b також перетинає площину α.

23. Поясніть, як через подану точку провести площину, паралельнуподаній. Скільки таких площин можна провести?

24. Дано площину і паралельну до неї пряму. Через точку, взяту наплощині, проведіть у цій самій площині пряму, паралельну доподаної прямої.

25. Із точки A, що не лежить у площині α, проведено до площини αвідрізок AB. Він поділений точкою C у відношенні 3 : 4 (від A доB) і через неї проведено паралельно до площини α відрізокCD = 12 см. Через точку D проведено до площини α відрізок AE.Визначте відстань між точками B і E.

26. Через подану точку проведіть: а) пряму, паралельну кожнійз поданих площин, що перетинаються; б) площину, паралельнукожній з двох мимобіжних прямих.

27. Дано тетраедр ABCD. Поясніть, як побудувати його переріз пло�щиною, яка проходить через вершину D і внутрішню точку Mграні ABC паралельно ребру AB.

3. Розміщення двох площин у просторі. Існування площини,паралельної поданій площині. Властивості паралельнихплощин

1. Доведіть, що протилежні грані куба паралельні.2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Доведіть, що переріз, проведений у кубі

через вершини A, D1 , C, паралельний перерізу, що проходить че�рез вершини A1 , B, C1 .

3. Точки A, B, C і D не лежать в одній площині (див. рис.). Точки K, Mі N — середини відрізків AD, DB і DC відповідно. Доведіть, щоплощини ABC і KMN паралельні.


4. Дано a| |α, a| |β, b| |α, b| |β. Яким має бути взаємне розміщення цихпрямих, щоб площини α і β були паралельні?

5. Чи правильне твердження:а) площини паралельні, якщо пряма, яка лежить в одній із пло�щин, паралельна прямій, що лежить у другій площині;б) площини паралельні, якщо дві прямі, які лежать в одній пло�щині, відповідно паралельні двом прямим, що лежать у другійплощині? Відповідь обґрунтуйте.

6. Чи можна через будь�яку пряму провести площину, паралельнуподаній площині?

7. Дано дві різні площини, що паралельні двом поданим прямим. Чибудуть ці площини паралельні між собою?

8. Дві площини α і β паралельні. У площині α проведено пряму a,а в площині β — пряму b. Які можливі випадки взаємного роз�міщення прямих a і b?

9. Відрізки AB і CD лежать відповідно в паралельних площинах α і β.Що можна сказати про взаємне розміщення прямих AD і BC? Заякої умови вони перетнуться або будуть паралельні?

10. Через пряму a, що лежить в одній з двох паралельних площин,проведено дві площини, які перетинають другу площину по пря�мих b і c. Доведіть, що b c| | .

11. Доведіть, що коли дві площини паралельні третій, то вони пара�лельні між собою.

12. Промені a1 , a2 , a3 , які мають спільний початок у точці O, перетина�ють дві паралельні площини відповідно в точках A1 і B1 , A2 і B2 , A3

і B3 . Доведіть, що

OA

OB

OA

OB

OA

OB1

1

2

2

3

3

= = .

13. Відомо, що промені a1 , a2 , a3 , які мають спільний початок O, пере�тинають дві площини α і β відповідно в точках A1 і B1 , A2 і B2 , A3

і B3 , причому


D

C

B

A

K

M

N

OA

OB

OA

OB

OA

OB1

1

2

2

3

3

= = .

Чи можуть площини α і β бути не паралельні? Яким має бутивзаємне розміщення цих променів, щоб твердження α β| | було пра�вильним?

14. Площини α і β паралельні, до того ж площина α перетинає деякупряму a. Доведіть, що й площина β перетинає пряму a.

15. Дано дві паралельні площини і точку P, що не лежить між ними.Дві прямі, які проходять через точку P, перетинають ближчу доточки P площину в точках A1 і A2 , а дальню — в точках B1 і B2

відповідно. Зробіть креслення і поясніть, як знайти довжинувідрізка B B1 2 , якщо

A A a1 2 = і PA A B n m1 1 1: := .

4. Паралельне проектування та його властивості.Зображення просторових фігур на площині

1. Доведіть властивості паралельного проектування:а) проекцією прямої є пряма;б) проекції паралельних прямих паралельні;в) відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків до�рівнює відношенню довжин відрізків, що проектуються.

2. Скільки точок на площині проекцій можна дістати, проектуючи нанеї: а) дві точки; б) три точки?

3. В яку фігуру проектується пряма перетину двох площин?4. Чи правильне твердження: паралельні прямі проектуються в па�

ралельні прямі або в одну пряму?5. Чи можуть дві прямі, які перетинаються, проектуватися:

а) в прямі, які перетинаються;б) в паралельні прямі;в) в одну пряму;г) в пряму і точку, що лежить на цій прямій;д) в пряму і точку, що не лежить на цій прямій?

6. Які геометричні фігури можна дістати на площині проекцій у ре�зультаті проектування двох мимобіжних прямих?

7. Наведіть приклади геометричних фігур, розміщених у просторі,які проектуються в пряму; у відрізок?

8. За якої умови рівносторонній трикутник проектується:а) у рівносторонній трикутник;б) у рівнобедрений трикутник?


9. Чи можна стверджувати, що в трикутнику, площина якого не па�ралельна напрямку проектування:а) медіани трикутника проектуються в медіани трикутника�про�екції;б) висоти — у висоти трикутника�проекції;в) бісектриси — у бісектриси?

10. Площина паралелограма не паралельна напрямку проектування.Доведіть, що його проекцією є паралелограм.

11. Чи можна стверджувати, що проекцією ромба, якщо він не проек�тується у відрізок, також є ромб?

12. За якої умови квадрат проектується:а) у квадрат; б) у ромб; в) у прямокутник?

13. Трикутник ABC є зображенням рівнобедреного трикутникаA B C1 1 1 , у якого A C B C1 1 1 1= і висота дорівнює основі. Поясніть, якпобудувати зображення центра описаного кола.

14. Дано прямі a і b, які не перетинаються. Знайдіть множину точокM, що ділять у заданому відношенні всі відрізки AB, кінці якихналежать даним прямим (A a∈ , B b∈ , AM MB k: = ).

15. Дано зображення кола. Побудуйте зображення правильного три�кутника:а) вписаного в це коло;б) описаного навколо нього.

16. Побудуйте зображення квадрата, вписаного в коло, і квадрата,описаного навколо нього.

17. Користуючись зображенням кола, побудуйте зображення двохйого взаємно перпендикулярних діаметрів.

18. Побудуйте дотичну до еліпса (центр еліпса заданий), яка:а) паралельна поданій його хорді;б) проходить через подану його точку.

19. Побудуйте зображення вписаних у коло:а) прямокутного трикутника;б) прямокутника;в) рівнобедреної трапеції;г) правильного восьмикутника.

20. Прокоментуйте побудову зображення описаних навколо кола:а) прямокутного трикутника;б) рівнобедреного трикутника;в) ромба;г) рівнобедреної трапеції.


21. Точки A, B, C належать зображенню кола. Як побудувати:а) точку M так, щоб дуги AB і CM зображення кола зображалирівні дуги кола;б) точку N так, щоб дуги AB і AN зображення кола зображалирівні дуги кола?

Математичний диктант№ 11. Точки A і B належать площині α, а точка C лежить поза площиною

α. Чи належить пряма AC[ ]AB площині α?2. Скільки прямих і площин можна провести через одну точку [дві

точки] простору?3. Три вершини ромба [трапеції] належать площині. Як розташова�

на четверта його [її] вершина відносно цієї площини?4. Розгляньте прямокутний паралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1 .

Назвіть пряму, по якій перетинаються площини ABC і BB C1

[A AD1 і D DC1 ].5. У кубі ABCDA B C D1 1 1 1 побудовано переріз площиною, яка прохо�

дить через точки B, D, K, де K — середина ребра CC1 . Укажіть видтрикутника BKD.

[У кубі ABCDA B C D1 1 1 1 побудовано переріз площиною, яка прохо�дить через точки K, L, M— середини ребер AB, AD, AA1 . Укажітьвид трикутника LMK.]


A1

D

B1

D1

C1

CB

A

A1

D

B1

D1

C1

CB

A

K

M

ABC

C1

D1

B1

D

A1

K

L

6. Через три точки простору проходить безліч площин [одна площи�на]. Що можна сказати про взаємне розміщення цих точок?

7. Скільки площин визначають три [чотири] прямі, що попарно пе�ретинаються?

8. Точки K, M, P, T не лежать в одній площині. Чи можуть пряміKM і PT перетинатися? Відповідь обґрунтуйте.

[Прямі AB і CD не лежать в одній площині. Чи можуть прямі AСі ВD перетинатися? Відповідь обґрунтуйте.]

9. Проведіть площину, що проходить через кінці трьох ребер куба[прямокутного паралелепіпеда], які виходять з однієї вершини.Визначте площу перерізу, якщо ребро куба 6 см [ребра прямокут�ного паралелепіпеда 3 см, 4 см і 7 см].

10. Виходячи з аксіом і відомих теорем, доведіть, що в просторі існу�ють чотири точки, які не лежать в одній площині [дві прямі, якіне лежать в одній площині].

Математичний диктант№ 2

1. У просторі дано дві паралельні прямі a і b та деяку пряму c. Чиправильне твердження: якщо пряма c перетинає пряму a, то вонанеодмінно перетинає і пряму b? [Якщо пряма c перетинає обидвіпрямі a і b, то прямі a, b і c лежать в одній площині?]

2. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Чи паралельна пряма AB площині, якапроходить через прямі DC і A B1 1 ? [Площині B C C1 1 ?]

3. Через основу AC трикутника ABC проведено площину α. Доведіть,що пряма, яка проходить через середини бічних сторін цього три�кутника, паралельна площині α. [Через основу AD трапеції ABCDпроведено площину α. Доведіть, що пряма, яка проходить черезсередини бічних сторін цієї трапеції, паралельна площині α.]

4. У просторі дано чотири точки A, B, C, D. Відомо, що прямі ABі CD — мимобіжні. Що можна сказати про взаємне розміщенняпрямих AD і BC? [Що можна сказати про взаємне розміщеннятрьох із поданих чотирьох точок?]

5. Через точку K проведено дві прямі a і b, які перетинають дві пара�лельні площини α і β: першу — в точках A1 і A2 , другу — в точкахB1 і B2 відповідно. Обчисліть KA1 [ ]KB2 , якщо

A A B B1 2 1 2 3 4: := , A B1 1 7= см, KA2 12= см.

6. Дано паралельну проекцію рівнобедреного трикутника. Побудуй�те проекцію висоти [бісектриси] цього трикутника, проведеної дойого основи. Побудову обгрунтуйте.


Тестовi завдання

Варіант 11°. Дано піраміду SABC. По якій

прямій перетинаютьсяплощини ABC і SBC?А. BC.Б. AC.В. AS.Г. SB.

2°. Паралелограм ABCD і трикутникABS не лежать в одній площині,MN — середня лінія трикутникаABS. Що можна сказати провзаємне розміщення прямихMN і DC?А. Прямі MN і DC мимобіжні.Б. Прямі MN і DC перетинаються.В. Прямі MN і DC не лежатьв одній площині.Г. MN і DC паралельні.

3°. Дано паралелепіпедABCDA B C D1 1 1 1 .Площинам яких гранейпаралельна пряма AD?А. ABB A1 1 .Б. DD C C1 1 .В. A B C D1 1 1 1 .Г. АB C D1 1 .

4. Дано правильний тетраедрABCD. Точки M і N — відповідносередини ребер AD і AB.Побудували переріз тетраедраплощиною, що проходитьчерез подані точки паралельноплощині BCD. Яку фігурудістали в перерізі?А. Рівносторонній трикутник.Б. Рівнобедрений трикутник.В. Різносторонній трикутник.Г. Іншу фігуру.

298 Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести

S

C

B

A

M

D

N

S

CB

A

A1

D

B1

D1

C1

CB

A

A

B

CD

N

M

5. Відрізок M N1 1 — паралельнапроекція відрізка MNна площину α. Точка Kналежить відрізку MN.Виберіть правильне твердження.А. Проекція точки K на площинуα не належить відрізку M N1 1 .Б. Відрізки MN і M N1 1 не лежатьв одній площині.В. Якщо MK KN: := 2 3, то M K K N1 1 1 1 2 3: := .Г. Якщо MK KN= , то M K K N1 1 1 12= .

6. У просторі дано дві різні прямі a і b, які лежать у площині α. По�значте неправильні твердження серед чотирьох даних тверджень.А. Прямі a і b можуть перетинатися.Б. Прямі a і b можуть бути паралельними.В. Прямі a і b можуть бути мимобіжними.Г. Через прямі a і b можна провести площину, відмінну від пло�щини α.

7 . Із зовнішньої точки A до площини α проведено відрізок AB, якийточка C поділяє у відношенні 2 : 3 (від A до B), і через цю точкупроведено паралельно площині α відрізок CD. Крім того, черезточку D проведено до площини α відрізок AE ( )E ∈α . Відомо, щовідстань між точками B і E дорівнює 40 см. Чому дорівнюєвідстань між точками C і D?

8 . У кубі ABCDA B C D1 1 1 1 середини K і L протилежних ребер AA1 і CC1

сполучили відрізками з вершинами куба B і D1 . Визначте видутвореного чотирикутника KBLD1 і знайдіть його сторони, якщоребро куба дорівнює a.

9 . У кубі ABCDA B C D1 1 1 1 побудовано переріз площиною, яка прохо�дить через точки A, D, N і K, де N і K — середини ребер CC1 і BB1

відповідно. Порівняйте площі перерізу й основи ABCD.


α

MK

N

K1 N1M1

A1

D

B1

D1

C1

CB

A

K N

10 . Дано квадрат ABCD. Точка простору S рівновіддалена від кож�ної з вершин квадрата. Точки K, M — середини відрізків SA і BC.Що можна сказати про взаємне розміщення прямої KM і площи�ни АSC?

11 . Прямокутна трапеціяA B C D1 1 1 1 є зображеннямрівнобічної трапеціїABCD (AB — основатрапеції). M1 і N1 —середини сторінA B1 1 і D C1 1 , B F D C1 1 1 1⊥ .Який відрізокє зображенням висотитрапеції ABCD?

12 . Три паралельніплощини α, β, γперетинають дві данімимобіжні прямі a і bу точках A1 , A2 , A3

і B1 , B2 , B3 відповідно(точка A2 лежитьміж точками A1 і A3 ,точка B2 лежить міжточками B1 і B3 ).Доведіть, щоA A B B A A B B1 3 1 3 2 3 2 3: := .

Варіант 2

1°. Дано прямокутнийпаралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1 .По якій прямій перетинаютьсяплощини ADD1 і DCC1 ?

А. AC1 .

Б. DD1 .

В. D C1 1 .

Г. AC.

2°. Паралелограми ABCD і ABC D1 1 не лежать в одній площині. Щоможна сказати про взаємне розміщення прямих D C1 1 і DC?

А. Прямі D C1 1 і DC не лежать в одній площині.

Б. Прямі D C1 1 і DC перетинаються.


A1 M1 B1

D1 F1 N1 C1

A3

A2

B2

B3

B1A1

α

β

γ

a b

A1

D1

C1B1

D

CB

A

В. Прямі D C1 1 і DC паралельні.Г. D C1 1 і DC мимобіжні.

3°. Дано паралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1 .Площинам яких гранейпаралельна пряма DC?А. BB C C1 1 .Б. AA B B1 1 .В. A B C D1 1 1 1 .Г. AA D D1 1 .

4. Дано правильну піраміду ABCDE.Точки M, N, K — відповідносередини ребер AB, AE і AC.Побудували переріз пірамідиплощиною, що проходить черезподані точки, паралельно площиніBCDE. Яку фігуру дісталив перерізі?А. Прямокутник.Б. Квадрат.В. Ромб.Г. Іншу фігуру.

5. Відрізок A B1 1 — паралельнапроекція відрізка ABна площину α. Точка Cлежить на відрізку AB.Виберіть правильнетвердження.А. Проекція точки C на площину α лежить поза відрізком A B1 1 .Б. Прямі AA1 і BB1 не лежать в одній площині.В. Якщо AC = 3 см, AB = 12 см, то A C A B1 1 1 1 1 4: := .Г. Прямі AB і A B1 1 не лежать в одній площині.

6. У просторі дано чотири точки A, B, C, D. Відомо, що прямі AB і CD —паралельні. Позначте неправильні твердження серед чотирьох данихтверджень.


D1

C1

D

CB

A

A1

D

B1

D1

C1

CB

A

α

A

B

C

B1C1A1

NM

DC

B

A

E

K

А. Прямі AD і BC лежать в одній площині.

Б. Прямі AD і BC неодмінно паралельні.

В. Прямі AC і BD можуть бути мимобіжними.

Г. Прямі AC і BD лежать в одній площині.

7 . Із зовнішньої точки A до площини α проведено відрізок AB, якийподілено точкою C у відношенні 3 : 4 (від A до B) і через неї прове�дено паралельно площині α відрізок CD = 12 см. Крім того, черезточку D проведено до площини α відрізок AE ( )E ∈α . Чомудорівнює відстань між точками B і E?

8 . У кубі ABCDA B C D1 1 1 1 сполучили послідовно середини ребер AA1 ,A B1 1 , B C1 1 , C C1 , CD, DA і AA1 . Визначте, яка фігура при цьомуутворилася. Знайдіть її сторони, якщо ребро куба дорівнює a.

9 . У піраміді SABC, всі ребраякої рівні між собою,побудовано переріз площиною,яка проходить через точкиA, B, K, де K — середина ребраSC. Порівняйте площі перерізуі трикутника ABC.

10 . Дано квадрат ABCD. Точка S простору рівновіддалена відкожної з вершин квадрата. Точки L, M — середини відрізківSC, AD. Що можна сказати про взаємне розміщення прямої LMі площини SAB?

11 . Паралелограм A B C D1 1 1 1

є зображенням ромбаABCD з кутом A,що дорівнює 60°.Крім того,A F F D1 1 1 1= ,B K A D1 1 1 1⊥ .Який відрізокє зображеннямвисоти ромба?

12 . Три паралельні площиниα, β, γ перетинають мимобіжніпрямі a і b у точках A1 , A2 , A3

і B1 , B2 , B3 (площина β лежитьміж площинами α і γ). Доведіть,що A A A A B B B B1 2 2 3 1 2 2 3: := .


A

B

C

S

K

ba

γ

β

α

A1

B1

B3

B2

A2

A3

C1B1

O1

A1 K1 F1 D1

Письмовi вправи

1. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Доведiть, що прямiAB i CD не перетинаються.

2. Точки A, B i C належать кожнiй iз двох рiзних площин. Доведiть,що цi точки лежать на однiй прямiй.

3. Доведiть, що якщо дiагоналi чотирикутника перетинаються, тойого вершини лежать в однiй площинi.

4. Площини α i β перетинаються по прямiй AB. Пряма a паралельнаплощинам α i β. Доведiть, що прямi a i AB паралельнi.

5. Прямi a i b перетинаються. Доведiть, що всi прямi, паралельнiпрямiй b, якi перетинають пряму a, лежать в однiй площинi.

6. Сторони AB i BC паралелограма ABCD перетинають площину α.Доведiть, що прямi DA i DC також перетинають площину α.

7. Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Доведiть, що пряма,яка проходить через середини вiдрiзкiв AB i BC, паралельнапрямiй, що проходить через середини вiдрiзкiв AD i CD.

Уроки № 65, 66

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнiв:

про означення, властивостi й ознаки перпендикулярних прямихi площин у просторi;

про види та способи обчислення вiдстаней i кутiв у просторi.Узагальнити вмiння застосовувати їх до розв’язування задач.

Уснi вправи

1. Перпендикулярність прямих у просторі.Перпендикулярність прямої і площини. Ознакаперпендикулярності прямої і площини. Властивостіперпендикулярних прямої і площини

1. Дано: ABCDA B C D1 1 1 1 — куб,т. O AA B B∈ 1 1 ,OM DC| | ,ON CC| | 1 .Доведіть, що∠ =MON 90 o .

2. Складіть план розв’язання задачі. Через точку O перетину діаго�налей куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведено площину MON, паралельно


A1

D

B1

D1

C1

CB

A

OM

N

основі ABCD куба. Доведіть, що ∠ =MON 90 o , де M і N — точкиперетину проведеної площини з ребрами CC1 , DD1 .

3. Пряма a перпендикулярна прямій b, пряма a перпендикулярнапрямій c, b і c — прямі, що лежать у площині α і перетинаютьсяв точці M. Чи перпендикулярна пряма a прямій MK, де K нале�жить площині α?

4. Прямі AB, AC, AD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжинувідрізка BC, якщо AD a= , DC b= , DB c= .

5. Доведіть, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинає цюплощину.

6. Пряма a, перпендикулярна до площини α, перетинає цю площинув точці A. Доведіть, що пряма b, яку проведено через точку A пер�пендикулярно прямій a, лежить у площині α.

7. Доведіть, що через подану точку не можна провести двох різнихплощин, перпендикулярних до поданої прямої.

8. Поясніть, як через подану точку провести пряму, перпендикуляр�ну до двох поданих мимобіжних прямих.

9. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1 і точку M, щоє внутрішньою точкою перерізу ACC A1 1 . Прокоментуйте побудовуперерізу паралелепіпеда площиною, яка проходить через точку Mі перпендикулярна:а) до прямої BB1 ;б) до прямої BC.

10. Ремонтуючи свердлильний верстат, слюсар за допомогою косинцямає вивірити перпендикулярність осі свердла до площини стола,на якому кріпиться деталь. Як це зробити? Відповідь обґрунтуйте.

11. Щоб розпил дерев’яного бруса був перпендикулярний до ребра,через точку A ребра проводять перпендикулярно до ребра пряміAB і AC. Потім пиляють так, щоб розпил був спрямований по цихпрямих. Чи правильно це? Відповідь обґрунтуйте.

12. Чому висок паралельний стіні, якщо під час виконання будівель�них робіт не допущено браку? Поясніть.


C

B

A

D

13. Що можна сказати про пряму, яка паралельна перпендикулярудо площини?

14. Чи можна стверджувати, що пряма, яка перетинає круг у центріі перпендикулярна: а) діаметру; б) двом діаметрам — перпендику�лярна до площини круга?

15. Чи правильно, що коли пряма перпендикулярна до двох прямих,які лежать у площині α, то перпендикулярна й площині α?

16. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини,то вона не перпендикулярна до жодної прямої, яка лежить у ційплощині?

17. На рисунку ABCD — паралелограм, MA MC= , MB MD= . До�ведіть, що пряма MO перпендикулярна до площини ABC.

2. Перпендикуляр і похила. Теорема про триперпендикуляри. Перпендикулярність площин. Ознакаперпендикулярності площин

1. Точка M лежить поза площиною трикутника ABC і рівновіддале�на від усіх його вершин. Де знаходиться проекція точки M наплощину цього трикутника, якщо трикутник:а) гострокутний;б) прямокутний;в) тупокутний?

2. Дано рівнобедрений трикутник ABC (АС ВС= ) з кутом при основі50°. Через вершину B до площини цього трикутника проведеноперпендикуляр MB. Порівняйте довжини відрізків MA, MB, MC.


D

CB

A

М

О

C

B

A

M

3. Рівнобедрений трикутник BCD ( )BC BD= лежить у площині α.Через його вершину B проведений перпендикуляр AB до площиниα. Скориставшись рисунком, знайдіть пари рівних кутів.

4. Точка L рівновіддалена від усіх точок кола. Чи можна стверджу�вати, що вона лежить на перпендикулярі до площини кола, про�веденому через центр кола?

5. Пряма і площина паралельні. Чи можна стверджувати, що пря�ма, яка перпендикулярна до поданої площини, перпендикулярнай до поданої прямої?

6. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. ТочкуS сполучено з вершинами квадрата A і C. Поясніть, як визначитивеличину кута SAD і кута SCD. Визначте цю величину.

7. З точки M, що не лежить у площині α, проведені до цієї площиниперпендикуляр і похила. Як у площині α провести пряму, що пер�пендикулярна до похилої?

8. На колі з центром у точці O дано точку A. До площини кола прове�дено перпендикуляр OM. Як проходить похила MA відноснодотичної, проведеної до кола в точці A?

9. Розв’яжіть задачі за готовими рисунками.1) Дано:

Δ ABC ⊂ α1 ,∠ =A 30 o , ∠ =C 60 o ,AD⊥α.Доведіть: BD BC⊥ .

2) Дано:ABCDA B C D1 1 1 1 — куб.Доведіть: A B B C1 1 1⊥ .


D

A

B

Cα

D

A B

Cα

A1

D

B1

D1

C1

CB

A

3) Дано:MA⊥α.AB AC= ,CD DB= .Доведіть: MD BC⊥ .

4) Дано: ABCD — квадрат,

( )BE ABC⊥ .Що можна сказати провзаємне розміщення прямих a і b?

5) Дано: ABCD — ромб,

( )AE ABC⊥ .Що можна сказати про взаємнерозміщення прямих a і b?

10. Дано прямокутний трикутник з гіпотенузою c і гострим кутом α.З вершини A поданого кута проведено перпендикуляр AK до пло�щини трикутника. Знайдіть відстань від точки K до катета, про�тилежного поданому куту, якщо AK m= . Складіть план розв’я�зання.

11. Точка M віддалена від площини квадрата на 14 см, а від кожноїз його сторін — на 50 см. Знайдіть сторону квадрата і відстань відйого вершин до точки M.

12. Через точку O перетину діагоналей паралелограма проведено пер�пендикуляр OK до його площини. Поясніть, чому відстань відточки K до будь�якої з вершин не менша, ніж відстань від K добудь�якої зі сторін.

13. Доведіть, що точка, рівновіддалена від вершин прямокутника,який не є квадратом, неоднаково віддалена від його сторін.

14. Точка, рівновіддалена від прямих, на яких лежать сторони ром�ба, однаково віддалена й від його вершин. Поясніть, як знайтикути ромба.


αC

BA

D

M

CB

b

A D

C D b

aB

E

a

E

A

15. Точка M віддалена від кожної вершини правильного шестикутни�ка на відстань, що дорівнює a, а від кожної сторони — на відстаньb. Знайдіть відстань від точки M до площини шестикутника.

16. Знайдіть у кубі ABCDA B C D1 1 1 1 і назвіть взаємно перпендикулярніплощини.

17. Скільки площин, перпендикулярних до поданої площини, можнапровести через одну пряму?

18. Де міститься основа висоти піраміди, одна з бічних граней якоїперпендикулярна основі?

19. Дано дві перпендикулярні площини. В одній з них проведено пря�му, яка перетинає другу площину в деякій точці P. Як у другійплощині побудувати пряму, що проходить через точку Р і перпен�дикулярна поданій?

21. Дано дві взаємно перпендикулярні площини α і β. Площина γ пере�тинає кожну з поданих площин і перпендикулярна до площини β.З’ясуйте, як розміщена лінія перетину α і γ відносно площини β?

21. Чи можна стверджувати, що пряма і площина, які перпендику�лярні іншій площині, паралельні між собою?

22. Доведіть, що дві площини, які перпендикулярні третій і перети�нають її по паралельних прямих, паралельні.

23. Площина і пряма паралельні. Чи є правильним твердження: пло�щина, перпендикулярна прямій, перпендикулярна і площині?

24. Чи правильно, що лінією перетину двох площин, які перпендику�лярні третій площині, є перпендикуляр до цієї площини?

25. Чи неодмінно будуть паралельні дві площини, які перпендику�лярні одній і тій самій площині?

26. Дано дві перпендикулярні площини α і β. У площині β проведенопряму a так, що вона є похилою до площини α. Де міститься про�екція похилої a на площину α?

27. Як побудувати площину, перпендикулярну двом іншим площи�нам, що перетинаються? Скільки таких площин можна побудува�ти?

3. Відстані в просторі. Ортогональне проектування1. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 , довжина ребра якого 2 см. Знайдіть від�

стань між прямими:а) AD1 і B C1 ;б) AB і CC1 ;в) AB і B D1 .

2. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорівнює a. Знайдіть відстань між пря�мими AA1 і BD1 .


Дано:a і b — мимобіжні прямі,a ⊂ α, b⊥α.Поясніть, як знайти відстаньміж a і b.

3. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 , довжина ребра якого дорівнює a. По�ясніть, як знайти відстань між прямими AВ1 і СD1 .

4. Складіть план і розв’яжіть задачу. Основа AD трапеції ABCD ле�жить у площині α, а основа BC знаходиться на відстані 5 см відцієї площини. Знайдіть відстань від площини α до точки M пере�тину діагоналей цієї трапеції, якщо AD BC: := 7 3.

5. Складіть алгоритм розв’язання задач.1) У паралелограмі ABCD вершини A і D знаходяться на площиніα, а B і C — поза нею. Сторона AD = 10 см, сторона AB = 15 см, про�екції діагоналей AC і BD на площину α відповідно дорівнюють13,5 см та 10,5 см. Визначте довжину кожної діагоналі парале�лограма.2) Через одну зі сторін ромба проведено площину на відстані 4 смвід протилежної сторони. Проекції діагоналей ромба на цю пло�щину дорівнюють 8 см і 2 см. Знайдіть проекції сторін.3) Вершини рівностороннього трикутника зі стороною a знахо�дяться поза площиною α на однаковій від неї відстані d. З центратрикутника проведено перпендикуляр до його площини у проти�лежний від площини α бік. Довжина цього перпендикуляра — h.З кінця перпендикуляра проведено прямі через вершини трикут�ника до перетину з площиною α. Визначте довжини відрізків цихпрямих між вершинами трикутника і площиною α та відстаніміж їх кінцями.


b

Mα a

O α

M

AD

B C

B1 C1

6. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 з ребром a.а) Доведіть, що AA1 і BC — мимобіжні прямі;б) побудуйте їх спільний перпендикуляр;в) знайдіть відстань між цими прямими.

7. Поясніть, як через подану точку простору провести пряму, що пе�ретинає дві дані мимобіжні прямі.

8. Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 6 і 8. Одне з бічнихребер перпендикулярне до площини основи і дорівнює 6. Як знай�ти відстань між цим ребром і мимобіжною з ним діагоналлю ос�нови?


1. Чи є правильним твердження: пряма, що перетинає круг у центріі перпендикулярна радіусу [двом радіусам], перпендикулярна доплощини круга?

2. До площини прямокутника ABCD [до площини паралелограмаABCD] у точці перетину діагоналей проведено перпендикуляр. Чиможна стверджувати, що довільна точка M цього перпендикуляразнаходиться на однаковій відстані від вершин прямокутника [па�ралелограма]?

3. Точка B знаходиться на відстані 2 6 [ ]2 8 від однієї з двох пер�

пендикулярних площин і на відстані 5 [7] від другої. Чомудорівнює відстань від точки B до лінії перетину площин?

4. Перпендикулярні площини α і β перетинаються по прямій a.У площині α проведена пряма, що перпендикулярна прямій a. Щоможна сказати про взаємне розміщення цієї прямої і площини β?[Площини α і β перпендикулярні. Через точку A площини α прове�дено пряму a, яка перпендикулярна до площини β. Що можнасказати про розміщення цієї прямої відносно площини α?]

5. Відрізок AB не перетинає площину α, точка O — його середина.Відомо, що відстані від точок A і B до площини α відповіднодорівнюють 3 і 5 [7 і 3]. Обчисліть відстань від точки O до площи�ни α.

6. Точки A1 і A2 лежать на прямій a. Точки B1 і B2 лежать на прямійb. Прямі a і b мимобіжні. Доведіть, що прямі A B1 1 і A B2 2 ми�мобіжні. [Прямі a і b мимобіжні. Точки A1 і A2 лежать на прямій a.Точки B1 і B2 лежать на прямій b. Доведіть, що прямі A B1 2 і A B2 1

мимобіжні.]7. Пряма і площина паралельні. За допомогою моделі з’ясуйте, чи

можна стверджувати, що пряма, яка перпендикулярна до даної


прямої [перпендикулярна до даної площини] перпендикулярна доподаної площини [прямої]. Проілюструйте свої висновки за допо�могою рисунка.

8. Скільки площин, перпендикулярних до поданої площини, можнапровести через подану пряму, якщо ця пряма перпендикулярнадо площини [не перпендикулярна до площини]?

9. Що є геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок A і Bпростору? [Що є геометричним місцем прямих, віддалених відподаної площини на відстань h?]

10. Сторона правильного трикутника ABC дорівнює 4. Через вершинуB проведено перпендикуляр BK до площини трикутника.Знайдіть відстань від точки K до прямої, що проходить через сере�дини сторін AB і BC, якщо BK = 1. [Сторона правильного трикут�ника ABC дорівнює 8. Через вершину B проведено перпендикулярBK до площини трикутника. Знайдіть вершину BK, якщовідстань від точки K до прямої, що проходить через серединисторін AB і BC, дорівнює 4.]

Тестові завдання

Варіант 1

1°. Точка S лежить поза площиною трикутника ABС, SA AC⊥і AB AC⊥ , SA AB SB= = . Виберіть правильне твердження.

А. Пряма SA перпендикулярнадо площини ABC.

Б. Пряма AB перпендикулярнадо площини SAC.

В. Пряма AC не перпендикулярнадо площини SAB.

Г. Пряма BC перпендикулярнадо площини ASC.

2°. Із деякої точки проведено до поданої площини перпендикулярдовжиною c і похилу, кут між ними дорівнює 60°. Чому дорівнюєдовжина похилої?

А.c

2. Б.

2

3

c. В. 2c. Г.

c 3

2.

3°. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорівнює a. Чому дорівнює відстаньміж прямими CC1 і BD1 ?

А. a. Б. a 2. В.a

2. Г. Не можна визначити.


C B

A

S

4. На перпендикулярі до площини прямокутника ABCD, який про�ходить через точку A, взято точку P, відмінну від A. Доведіть, щоплощина APB перпендикулярна до площини BPC.

5. З вершини квадрата ABCD проведено перпендикуляр AE до пло�щини квадрата. Чому дорівнює відстань від точки E до прямоїBD, якщо AE = 2 дм, AB = 8 дм?А. 8 дм. Б. 128 дм. В. 6 дм. Г. 132 дм.

6. Відрізок завдовжки 10 см перетинає площину, кінці його відда�лені від площини на відстані 5 см і 3 см. Знайдіть довжину про�екції відрізка на площину.А. 4,2 см. Б. 3,75 см. В. 6 см. Г. 6,25 см.

7 . Відстані від точки S до всіх вершин прямокутного трикутникаMNK ( )∠ =N 90 o рівні, точка O — середина гіпотенузи MK. Які

з наведених тверджень правильні?А. Пряма NO неодмінно перпендикулярна до площини SMK.Б. Пряма NO неодмінно перпендикулярна до прямої SO.В. Пряма SO неодмінно перпендикулярна до площини MNK.Г. Якщо MN = 6 см, NK = 8 см і NS = 13 см, то SO = 12 см.

8 . З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 17 смі 15 см. Проекція однієї з них на 4 см більша, ніж проекціядругої. Знайдіть проекції похилих.

9 . Точка M, яка не належить площині трикутника, рівновіддаленавід усіх його вершин. Де знаходиться проекція точки M відносновнутрішньої області трикутника, якщо цей трикутник гострокут�ний?

10 . Через вершину прямого кута прямокутного трикутника прове�дено площину α, паралельно гіпотенузі. Проекції катетів на цюплощину дорівнюють 8 см і 4 3 см. Знайдіть проекцію гіпотенузи,якщо відомо, що відстань між гіпотенузою і площиною дорівнює4 см.

11 . Доведіть, що точка, яка рівновіддалена від вершин прямокутни�ка, що не є квадратом, неоднаково віддалена від його сторін.

12 . Побудуйте спільний перпендикуляр діагоналі куба і не перети�наючої її діагоналі грані цього куба. Знайдіть довжину спільногоперпендикуляра, якщо довжина ребра куба a.

Варіант 21°. Точка S лежить поза площиною рівнобедреної трапеції ABCD

( )AB CD| | , SA AB⊥ , SA AD⊥ . Виберіть правильне твердження.

А. Прямі AD і AB перпендикулярні.


Б. Пряма AD перпендикулярнадо площини ABS.В. Пряма AS не перпендикулярнадо прямої AC.Г. Пряма AS перпендикулярнадо площини BCD.

2°. Із деякої точки проведено до поданої площини перпендикулярдовжиною b і похилу, кут між ними дорівнює 30°. Чому дорівнюєдовжина похилої?

А.b

2. Б.

2

3

b. В. 2b. Г.

b 3

2.

3°. Ребро куба ABCDA B C D1 1 1 1 дорівнює a. Якою є відстань між пря�мими CC1 і B D1 1 ?

А. a. Б. a 2. В.a

2. Г. Не можна визначити.

4. На перпендикулярі до площини прямокутника ABCD, який про�ходить через точку A, взято точку P, відмінну від A. Доведіть, щоплощина APB перпендикулярна до площини APD.

5. Через вершину рівностороннього трикутника ABC проведено пер�пендикуляр AD до площини трикутника. Чому дорівнює відстаньвід точки D до прямої BC, якщо AD = 1дм, BC = 8 дм?

А. 63 дм. Б. 4 3 дм. В. 17 дм. Г. 7 дм.

6. Деякий відрізок перетинає площину, його кінці віддалені від пло�щини на відстані 5 см і 3 см, довжина проекції відрізка на площи�ну дорівнює 6 см. Знайдіть довжину відрізка.А. 8 см. Б. 5 см. В. 6 см. Г. 10 см.

7 . Відстані від точки S до всіх вершин квадрата MNKL рівні, точкаO — центр квадрата. Які з наведених тверджень правильні?А. Пряма SO перпендикулярна до площини MNK.

Б. Якщо SM = 2 см, MN = 2 см, то SO = 1 см.

В. Пряма NL перпендикулярна до площини MKS.Г. Пряма NL перпендикулярна до площини SKL.

8 . З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 6 смдовша, ніж друга. Проекції похилих дорівнюють 17 см і 7 см.Знайдіть довжини похилих.

9 . Точка M, яка не належить площині трикутника, однаково відда�лена від усіх його вершин. Де міститься проекція точки M віднос�но внутрішньої області трикутника, якщо цей трикутник тупо�кутний?


S

AB

CD

10 . Через одну зі сторін ромба проведено площину на відстані 4 смвід протилежної його сторони. Проекції діагоналей ромба на цюплощину дорівнюють 8 см і 2 см. Знайдіть проекції сторін.

11 . Доведіть, що точка, яка рівновіддалена від вершин правильногомногокутника, рівновіддалена і від його сторін.

12 . Побудуйте спільний перпендикуляр до площин A BD1 і CB D1 1

куба ABCDA B C D1 1 1 1 . Знайдіть довжину цього перпендикуляра,якщо довжина ребра куба дорівнює a.

Письмові вправи

1. У просторі дано точки A, B, C і D. Відомо, що AB CD⊥ , AC BD⊥ . До�ведіть, що AD BC⊥ .

2. Чи існує чотирикутна піраміда, дві протилежні бічні грані якоїперпендикулярні до площини основи?

3. Висота трикутної піраміди проходить через точку перетину висоттрикутника основи. Доведіть, що протилежні ребра піраміди по�парно перпендикулярні.

4. Точки A і B лежать у площині α, M — така точка простору, дляякої AM = 2, BM = 5 і ортогональна проекція на площину αвідрізка BM втричі більша за ортогональну проекцію на цю пло�щину відрізка AM. Знайдіть відстань від точки M до площини α.

5. Відомо, що деяка точка M рівновіддалена від двох прямих m і n,які перетинаються. Доведіть, що ортогональна проекція точки Mна площину прямих m і n лежить на бісектрисі одного з кутів,утворених прямими m і n.

6. Пряма l проходить через точку, що лежить на колі з центром O ірадіусом r. Відомо, що ортогональною проекцією прямої l на пло�щину кола є дотична до цього кола. Знайдіть відстань від точкиO до прямої l.

7. Нехай A, B, C, D — чотири точки простору. Доведіть, що колиAB BC= і CD DA= , то прямі AC і BD перпендикулярні.

Урок № 67

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань означень тавластивостей основних понять курсу геометрiї 10 класу.

З’ясувати якiсть сформованих умiнь застосовувати набутi знанняпiд час:

виконання зображень геометричних об’єктiв вiдповiдно до власти�востей паралельного проектування за описом, поданим в умовi за�дачi;


розпiзнання геометричних об’єктiв i обґрунтування своїх мiрку�вань;розв’язування задач, передбачених програмовими вимогами.Провести пiдсумкову контрольну роботу за курс геометрiї 10 класу.

Варiант 11. Площина α проходить через вершини A i B трикутника ABC i точ�

ку M — середину сторони BC. Доведiть, що точка C належить пло�щинi α.

2. Площина α перетинає вiдрiзки OA i OB у точках K i M так, щопряма AB паралельна площинi α.1) Обґрунтуйте взаємне розмiщення прямих KM i AB;2) обчислiть довжину вiдрiзка AB, якщо OK KA: := 2 3i KM = 7 см.

3. Катет рiвнобедреного прямокутного трикутника дорiвнює 3 2 см.Точка простору, що вiддалена вiд площини трикутника на вiд�стань 4 см, рiвновiддалена вiд його вершин. Знайдiть вiдстань вiдцiєї точки до вершин трикутника.

4. Із точки до площини проведено двi рiвнi похилi. Кут мiж похили�ми дорiвнює 60°, а кут мiж їх проекцiями — прямий. Обчислiтьдовжини похилих, якщо довжини проекцiй дорiвнюють 8 2 см.

5. Площини α i β перпендикулярнi. Рiвностороннiй трикутник ABCлежить у площинi α так, що сторона AB належить прямiй перети�ну цих площин. Пряма b лежить у площинi β, паралельна прямiйперетину i вiддалена вiд неї на 4 см. Обчислiть вiдстань вiд точкиC до прямої b, якщо AB дорiвнює 2 3 см.

6. Через катет AC прямокутного трикутника ABC (∠ = °C 90 ) проведе�но площину α, яка утворює з площиною трикутника кут 45°.Знайдiть вiдстань вiд точки B до площини α, якщо AB = 26 см,AC = 10 см.

Варiант 21. Дано 10 точок, що не лежать в однiй площинi. Чи можуть

будь�якi 9 з них лежати на однiй прямiй? Вiдповiдь обґрунтуйте.2. Точки A i B розмiщенi в одному пiвпросторi вiдносно площини α,

точка C — в iншому. Площина α паралельна прямiй AB. ВiдрiзкиAC i BC перетинають площину α в точках X i Y вiдповiдно.1) Обґрунтуйте взаємне розмiщення прямих AB i XY;2) обчислiть довжину вiдрiзка AX, якщо AB = 5см, XY = 3 см,CX = 2 см.

3. Катет прямокутного трикутника дорiвнює 8 см, а прилеглий донього гострий кут 60°. Вiдстанi вiд точки простору до усiх вершин


трикутника дорiвнюють по 10 см. Обчислiть вiдстань вiд цiєї точ�ки до площини трикутника.

4. З точки, вiддаленої вiд площини на 4 см, проведено двi похилiдовжиною 5 см i 4 2 см. Вiдстань мiж основами похилих дорiвнює5 см. Знайдiть кут мiж проекцiями похилих.

5. Площини α i β перпендикулярні. Рiвнобедрений трикутника ABCлежить у площинi α так, що його основа AB належить прямiй пе�ретину площин. Пряма b лежить у площинi β i паралельна до лiнiїперетину площини, причому вiдстань вiд b до цiєї прямої 5 см.Обчислiть вiдстань вiд точки C до прямої b, якщо AB = 32 смі AC = 20 см.

6. Площина рiвнобедреного трикутник ABC (AC CB= ) утворює з пло�

щиною α, що мiстить сторону AB, кут 45°. Обчислiть вiдстань вiдточки B до площини α, якщо AC CB= = 15см, AB = 10 см.

Уроки № 68–70

Мета: пiдбити пiдсумки вивчення геометрiї у 10 класi, розгляну�ти приклади задач пiдвищеного рiвня складностi та задач за курс ге�ометрiї 10 класу, що виносяться на ДПА i ЗНО з математики.

Методика проведення урокiв повторення, систематизацiї таузагальнення знань та вмiнь учнiв описана вище (див. пiдсум�ковi уроки з вивчених тем). За бажанням вчитель можеурiзноманiтнити форму проведення цих урокiв за рахунок за�стосування нестандартних форм роботи (уроки — вiкторини,рiзного виду математичнi змагання: естафети, брейн�рингитощо). Змiст задач учитель пiдбирає вiдповiдно до рiвня на�вчальних досягнень учнiв, але незалежно вiд цього рiвня, ба�жано запропонувати учням рiзного рiвня складностi цiкавi за�дачi. Як i на всiх попереднiх уроках, на уроках повторенняслiд придiляти увагу уснiй роботi учнiв, а також бажано матизасiб проведення дiагностики роботи учнiв. Тому пропонують�ся матерiали для пiдготовки вчителем проведення урокiв по�вторення та систематизацiї у виглядi набору усних вправ, ма�тематичних диктантiв, цiкавих нестандартних задач татестових завдань для пiдсумкової дiагностики.

Письмовi вправи

1. Дано паралельнi прямi a i b та точку C, яка не лежить у площинiцих прямих. Як побудувати пряму, яка проходить через точку Ci паралельна прямим a i b?


2. На двох непаралельних площинах позначено по точцi (цi точки нележать на прямiй перетину площин). Як у кожнiй iз площин про�вести через цi точки паралельнi прямi, що лежать у поданих пло�щинах?

3. Через бiчну сторону AB трапецiї ABCD проведено площину α, якане мiстить точки C i D. Доведiть, що пряма CD перетинає площинуα, i знайдiть вiдстань вiд точки A до точки їх перетину, якщоAD = 8 см, BC = 6 см, AB = 3см.

4. Пряма a паралельна площинi α. Чи правильно, що:а) будь�яка пряма, що перетинає пряму a, перетинає площину α;б) будь�яка площина, що перетинає пряму a, перетинає площину α?

5. Паралельнi прямi a i b перетинають площину α в точках A1 та B1 ,а площину β — в точках A2 i B2 вiдповiдно, причому A A B B1 2 1 2= .Чи правильно, що α| | β?

6. Через сторони AB i CD чотирикутника ABCD проведено пара�лельнi площини. Доведiть, що коли AB CD= , то чотирикутникABCD — паралелограм.

7. Доведiть, що всi прямi, якi перетинають одну з двох мимобiжнихпрямих i паралельнi другiй прямiй, лежать в однiй площинi.

8. Двi сторони трикутника дорiвнюють 6 i 9. На паралельнiй про�екцiї трикутника побудуйте проекцiю бiсектриси кута мiж цимисторонами.

9. Вiдрiзок DA — перпендикуляр до площини трикутника ABC,у якому ∠ = °B 90 .1) Назвiть площини, якi проходять через три з поданих точокi перпендикулярнi до площини DBA.2) Знайдiть градусну мiру двогранного кута з ребром BC, якщоBC = 16 см, ∠ = °C 60 , а точка D вiддалена вiд прямої BC на 32 см.

10. Точка M не лежить у площинi прямого кута A i вiддалена вiд йоговершини на 5 2 см, а вiд його сторiн на 34 см i 41 см. Знайдiтькут нахилу прямої MA до площини цього кута.

11. Точка P рiвновiддалена вiд вершин прямокутного трикутникаABC iз гiпотенузою AC. Доведiть перпендикулярнiсть площинPAC i ABC.

12. Рiвнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠ = °C 90 ) перегнулипо висотi CH так, щоб площини трикутникiв ABH i CBH булиперпендикулярнi. Знайдiть кут ACB.

13. Дано куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Доведiть перпендикулярнiсть прямоїAC1 i площини A BD1 .


14. Через середини двох сторiн трикутника проведено площини, пер�пендикулярнi до цих сторiн. Доведiть, що точки прямої перетинуцих площин рiвновiддаленi вiд вершин трикутника.

15. Доведiть, що кут мiж площинами дорiвнює куту мiж перпендику�лярами до цих площин.

16. У правильному тетраедрi PABC знайдiть двогранний iз ребром AB.

17. Похила утворює з площиною α кут 45°. У площинi α через основу

похилої проведено пряму a пiд кутом 45° до проекцiї похилої.Знайдiть кут мiж похилою i прямою a.

18. Два вiдрiзки впираються кiнцями в двi паралельнi площини. Дов�жини вiдрiзкiв вiдносяться як 1 3: , а градуснi мiри кутiв, якi

вони утворюють з цими площинами — як 2 : 1. Знайдiть цi кути.


ЛIТЕРАТУРА

1. Возна М. С. Уроки з геометрiї. 10 клас. — Тернопiль: Астон,2003. — 124 с.

2. Мазур К. І. та iн. Тестовi задачi з математики: Геометрiя: На�вчальний посiбник / Мазур К. І., Мазур О. К., Ясiнський В. В.; заред. В. В. Ясiнського. — К.: Фенiкс, 2002. — 336 с.

3. Нелiн Є. П. Геометрiя в таблицях: Навчальний посiбник для учнiвстарших класiв. — Х.: Свiт дитинства, 1997. — 64 с.

4. Литвиненко Г. М., Федченко Л. Я., Швець В. О. Збiрник завданьдля екзамену з математики на атестат про середню освiту. Геомет�рiя. Частина ІІ. — Львiв: ВНТЛ, 1997.

5. Бродський Я. С., Павлов О. Л., Слiпенко А. К. Геометрiя. Тести зiстереометрiї. 10–11 класи. — Тернопiль: Навчальна книга — Бог�дан, 2004. — 136 с.

6. Афанасьєва О. М., Бродський Я. С., Павлов О. Л., Слiпенко А. К.Дидактичнi матерiали з геометрiї. 10–11 класи: Навчальний по�сiбник. — Тернопiль: Навчальна книга — Богдан, 2003. — 136 с.

7. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабiнович Ю. М., Якiр М. С. Збiр�ник задач i завдань для тематичного оцiнювання з геометрiї для10 класу. — Х.: Гiмназiя, 2001. — 128 с.

8. Раухман А. С., Сень Я. Г. Устные упражнения по геометрии для7–11 классов: Пособие для учителя. — К.: Радянська школа,1989. — 160 с.

9. Ершова А. П., Голобородько В. В. Устные проверочные и зачетныеработы по геометрии для 10–11 класса. — М.: Илекса, 2008. —112 с.

10. Істер Олександр. Уснi вправи з алгебри та геометрiї. 10 клас. —Тернопiль: Пiдручники i посiбники, 2002. — 80 с.

11. Баум И. В., Брызгалов К. Н., Горзий Т. А. Задания по геометриидля 9 и 10 классов: Метод. пособие. — К.: Радянська школа,1987. — 96 с.

12. Бровченко О. М. Геометрiя в таблицях та схемах: Довiдкове ви�дання. — К.: ТОВ «Логос», 1997. — 128 с.

13. Сухарева Л. С. Завдання для усної роботи, математичнi диктантита тести. Геометрiя. 10–11 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,2008. — 126 с.

319

320

Навчальне видання

БАБЕНКО Свiтлана Павлiвна

Навчально�методичний посiбник

Головний редактор І. С. МарковаРедактор Г. О. Новак

Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва

Пiдписано до друку 02.07.2010. Формат 60×90116. Папiр газетний.

Гарнiтура «Шкільна». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,00. Зам. № 10�07/05�05.ТОВ «Видавнича група “Основа”».

Свiдоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 вiд 25.07.2007.Україна, 61001 Харкiв, вул. Плеханiвська, 66.

Тел. (057) 731�96�33. E�mail: [email protected]

Documents

petrychenko.at.ua · УДК 514 ББК 22.151 Б12 БабенкоС.П. Усiурокигеометрії.10клас.Академічнийрiвень.—Х.: Вид.група