迦密唐賓南紀念中學中六級數學科重溫筆記(5) 1womcmath.net/download/UQReview02 Notes.pdf · 則普通等船票數目為 4x x + 4 x = 800 5x = 800 x = 160 售出船價的總價

S.6 Maths. Revision Note 5 L.Y.K 1

迦密唐賓南紀念中學

中六級數學科

重溫筆記(5)

方程

例 1 某觀光遊覽船只有頭等和普通等兩類船票出售。已知共售出 800 張船票，其中售出的普通

等船票數目為售出的頭等船票數目之四倍。若一張頭等船票的售價為 $1000，而一張普通

等船票的售價為 $500，求售出船價的總價。 Modified from 2003-CE-MATHS I-6

解

例 2 一包糖果與一包餅乾的重量之比為 5 : 8。6 包糖果和 5 包餅乾的總重量為 7 kg。求一包餅

乾的重量。

解

方法一：

設頭等船票數目為 x

則普通等船票數目為 4x

x + 4x = 800

5x = 800

x = 160

售出船價的總價 = 1000160 + 500640 = $480 000

方法二：

設頭等船票數目為 x，普通等船票數目為 y。

x + y = 800 ……….(i)

y = 4x ……….(ii)

將(i)代入(ii)，x + 4x = 800

5x = 800

x = 160

售出船價的總價 = 1000160 + 500640 = $480 000

設 x kg 為一包糖果的重量及 y kg 為一包餅乾的重量。

5

8

x

y

5

8x y ………(i) ［

50

8x y ］

6x + 5y = 7 ………(ii)

將(i)代入(ii)，5

6( ) 5 78

y y

y = 0.8

∴ 一包餅乾的重量是 0.8 kg。


例 3 一份數學競賽試卷共有 20 題。答對一題得 3 分，答錯一題扣 2 分，沒有作答的題目則不

扣分。偉軒參加該競賽，並取得 23 分。若他答對及沒有作答的題數相等，求他答錯的題

數。

解

例4 若 (x, y) = (1, –2) 為聯立方程 8 0

1 0

ay bx

ax by

的解，則 a =

A. –3。

B. 2。

C. 9

4。

D. 3。 ans

Modified from 2002-CE-MATHS II-8

例 5 若 2 6 2 7m n n m ，則 m modified from 2012-DSE-MATH-II-5

A. 4 。

B. 1 。 ans

C. 3。

D. 11。

設 x 為偉軒答對的題數及 y 為他答錯的題數。

2 20 .................... (i)

3 2 23 ..................... (ii)

x y

x y

從(i)，y = 20 2x

將 y = 20 2x 代入(ii)，可得 3x – 2(20 2x) = 23

x = 9

y = 2

∴ 他答錯的題數是 2。

∵ (1, –2) 為聯立方程 8 0

1 0

ay bx

ax by

的解

∴ 2 8 0 2 8

2 1 0 2 1

a b a b

a b a b

a = 3 , b = 2

2 6 7

2 1

m n

m n

及 2 7

2 7

n m

m n

m = 1, n = 3


一元二次方程

A. 解方程的方法

2

2

0

4

2

ax bx c

b b acx

a

例 6 解 22 4 7 0x x (答案以根式表示。)

解

例 7 解 3)3)(1( xxx 。 1998-CE-MATHS II-10

A. x = 1

B. x = 2

C. x = 1 或 3

D. x = 2 或 3

例 8 永坤的年歲是 y，較詠梅的年歲少 30。若二人年歲之平方和較二人年歲總和之平方少 128，

則

A. y2 + (y + 30)2 = (2y + 30)2 + 128。

B. y2 + (y + 30)2 = (2y + 30)2 – 128。

C. y2 + (y – 30)2 = (2y – 30)2 + 128。

D. y2 + (y – 30)2 = (2y – 30)2 – 128。

22 4 7 0x x

24 4 4(2)( 7) 4 72 4 6 2 2 3 2

2(2) 4 4 2x

B

詠梅的年歲 = y + 30

二人年歲之平方和 = y2 + (y + 30)2

二人年歲總和之平方= (y + y + 30)2 = (2y + 30)2

∴ y2 + (y + 30)2 = (2y + 30)2 – 128

答案：D

方法一：

( 1)( 3) 3

( 1)( 3) ( 3) 0

( 3)[( 1) 1] 0

( 3)( 2) 0

x x x

x x x

x x

x x

x = 2 或 3

方法二：

A. x = 1 左方= (1 – 1)(1 – 3) = 0, 右方= 1 – 3 = 2

B. x = 2 左方= (2 – 1)(2 – 3) = 1, 右方= 2 – 3 = 1

C.

D. x = 2

x = 3 左方= (3 – 1)(3 – 3) = 0, 右方= 3 – 3 = 0


例 9 若

1

1322

yx

yx，則 x = () modified from 1996-CE-MATHII Q.10

A. –2 。

B. –6 。

C. 2 或 3 。

D. –2 或 3 。 ans

E. –6 或 7 。

B. 根的性質

2 0ax bx c

判別式 2 4b ac

0 兩個(相異)的實根

0 一個二重根／兩個相等的實根

0 沒有實根

例 10 若以下方程有兩個相等的實根，求 k 的值。

(a) 22 8 0x x k (b) 2 ( 2) 16 0x k x

解

方法一：

將 y = 1 – x 代入 x2 + y2 = 13，

x2 + (1 – x)2 = 13

x2 + 1 – 2x + x2 = 13

2x2 – 2x – 12 = 0

x = 3 或 x = –2

(a) 22 8 0x x k

Δ = 0 2( 8) 4(2)( ) 0k

64 8 0k

8k

(b) 2 ( 2) 16 0x k x

Δ = 0 2( 2) 4(1)(16) 0k

2( 2) 64k

2 8k 或 2 8k

10k 或 6k

方法二：

x + y = 1

y = 1 – x

A. x = –2 y = 1 – (2) = 3 (2)2 + 32 = 13

B. x =–6

C. x = 2 或 3

D. x =–2 或 3 x = 3, y = 1 – 3 = 2 32 + (2)2 = 13

E. x =–6 或 7


例 11 (a) 若方程 2 12 ( 1) 0x x k 沒有實根，求 k 的範圍。

(b) 若方程 2 23 2 8 1 0kx x x 有兩個相異的實根，求 k 的範圍。

解

例 12 若方程 062 kxx 有實根，求 k 的所有可取值。 1998-CE-MATHS II-9

A. 9k

B. 9k

C. 9k

D. 9k

(a) 2 12 ( 1) 0x x k

Δ < 0 2( 12) 4(1)( 1) 0k

144 4 4 0k

4 140k

35k

(b) 2(3 2) 8 1 0k x x

Δ > 0 28 4(3 2)( 1) 0k

64 12 8 0k

12 72k

6k

答案：C

方法一：

2

0

( 6) 4(1) 0

36 4 0

9

k

k

k

方法二：

A. 9k

設 k = 10。 x2 – 6x + 10 = 0

沒有實數解

B. 9k

C. 9k

設 k = 8。 x2 – 6x + 8 = 0

x = 4 或 x = 2


C. 兩根的和與兩根的積

若和是二次方程 2 0ax bx c 的兩個根，則

(i) 兩個根的和= b

a

(ii) 兩個根的積= c

a

例 13 若及

34

342

2

，則 )1)(1( 2004-CE-MATHS II-42

A. 6 。

B. 0 。

C. 2 。

D. 8 。

例 14 設 k 為一常數。若二次方程 2 3 0x kx 的根為及 , 則 22

modified from 2015-DSE-MATHS II-34

A. 2k 。

B. 2 6k 。

C. 2 6k 。 ans.

D. 2 9k 。

2 2 2

2 2 2

( ) 2

( ) 2

3 3 2 2( )( )

答案：C

α, β 是 x2 = 4x + 3 (即 x2 4x 3 = 0 ) 的根

方法一：

( 4) 34, 3

1 1( 1)( 1) 1 3 4 1 2

方法二：

x2 4x 3 = 0

α 4.645751311, β 0.6457513111

(α + 1)(β + 1) = 2

方法一：

∵ 及為二次方程 2 3 0x kx 的根

∴ ( ) 3

, 31 1

kk

2 2 2 2( ) 2 6k

方法二：MC 方法

設 k = 4，則 2 3 04x x

α = 3, β = 1, 2 2 10

A. 2k = 16


例 15 (a) 將 1

1 3i 表成 a + bi 的形式，其中 a 及 b 均為實數。

(b) 二次方程 x2 + px + q = 0 的根為 10

1 3i 及

10

1 3i。求

(i) p 及 q，

(ii) r 值的範圍使得二次方程 x2 + px + q = r 有實根。

modified from PP-DSE-MATH-I-17

解

(a) 31 1 1 1 3

1 1 1 103 13 3 0

ii

i i i

(b) (i) 10 10

1 3 , 1 31 13 3

i ii i

10 101 3 1 3 2

13 31i i

i i

,

10 10( )( ) 101 13 3i i

p = 2 p = 2,

q = 10

(ii) x2 2x + (10 r) = 0

Δ ≥ 0

(2)2 4(10 r) ≥ 0

4r 36 ≥ 0

r ≥ 9


練習 R5

1. 某話劇表演開始時，男觀眾人數與女觀眾人數之比為 8 : 9。20 分鐘後，遲到的 15 名男觀眾和

8 名女觀眾加入觀看該表演，使男觀眾人數與女觀眾人數相等。

(a) 求該話劇表演開始時的男觀眾人數和女觀眾人數。

(b) 話劇團有若干張$100 優惠券，總值為$12 000。話劇團有沒有足夠的$100 優惠券向每名觀

眾贈送一張$100 優惠券？試解釋你的答案。

2. 某校的中三級有 5 班，中三級學生總人數是 195。各班的學生人數相等。在每班中，男生均較

女生少 5 名。求該校中三級的男生人數。

A. 17

B. 22

C. 85

D. 110

3. 解 a + 2b = 4a + 3b = 5。

4. 若 2a + b – 5 = 2b – 3a = 4，則 a – b =

A. –3。

B. 2。

C. 3。

D. 5。

答案：

1. (a) 男觀眾：56，女觀眾：63

(b) 沒有

2. C

3. a = –1，b = 3

4. A

~ 第五章完 ~



中六級數學科

重溫筆記(6)

比、比例及變數法

變分

在下表中 k, 1k 和 2k 是非零的變分常數。

變分的類型符號方程

正變

y 隨 x 而正變 (即 y 與 x 成正比。)

註：若 1x ， 1y 和 2x ， 2y 是 x 和 y 的對應值，則：2

2

1

1

x

y

x

y 。

xy y = kx

反變 y 隨 x 而反變 (即 y 與 x 成反比。)

註：若 1x ， 1y 和 2x ， 2y 是 x 和 y 的對應值，則： 2211 yxyx 。 xy

1

x

ky or xy = k

聯變

(1) z 隨 x 和 y 而聯變。 xyz z = kxy

(2) z 隨 x 而正變且隨 y 而反變。 y

xz

y

xkz

部分變 (1) z 的其中一部份固定不變，而另一部份則隨 x 正變。 ---

z = a + kx

(a 是常數。)

(2) z 的其中一部份隨 x 正變和，而另一部份則隨 y 正變。 --- ykxkz 21

例 1 已知 P 隨 v 的平方和 m 而正變。當 m = 4 和 v = 3 時，P = 12。

(a) 試以方程表示 P， m 和 v 的關係。

(b) 求當 m = 5 和 v = 6 時 P 的值。

解

(a) 2P kv m ，其中 0k 常數

當 m = 4 和 v = 3 時，P = 12

2(3) (4) 12

1

3

k

k

21

3P v m

(b) 當 m = 5 和 v = 6 時， 21(6) (5) 60

3P


例 2 若 y 與 z 反變，且與 x2 正變，則 Modified from 1998-CE-MATHS II-17

A. 2

y

x z 為一常數。

B. 2

yz

x 為一常數。

C. 2x y

z 為一常數。

D. 2x

z 為一常數。

例 3 已知 y 與 x2 反變。若 x 增加 25%，則 y Modified from 1999-CE-MATHS II-45

A. 增加 800%。

B. 增加 700%。

C. 減少 36%。

D. 減少 12.5%。

例 4 已知 z 的其中一部份固定不變，而另一部份則隨 2x 而反變。當 x = 2 時， z = 3 ；當

x = 3 時， z = 8 。

(a) 試以方程表示 z 和 x 的關係。

(b) 求當 x = 4 時 z 的值。

解

2kxy

z ，其中 0k 常數

2

yzk

x 是一常數

答案：B

2

ky

x ，其中 0k 常數

新的 x = 1.25x

新的 y = 3 3

16 16

(1.25 ) 25 25

k ky

x x

y 的百分增減 =

16

25 (100%) 36%y y

y

答案：C

(a) 2

kz a

x ，其中 , 0a k 常數

當 x = 2 時， z = 3 當 x = 3 時， z = 8

2

3(2)

13

4

ka

a k

28

(3)

18

9

ka

a k

a = 12, k = –36

2

3612z

x

(b) 當 x = 4 時，2

3612

4z = 9.75


比及比例

例 5 若 543

2

yx

yx，則 x : y = 1998-CE-MATHS II-15

A. 3 : 7 。

B. 7 : 3 。

C. 7 : 11 。

D. 11 : 7 。

例 6 若 : 3 : 4a b 及 2a – b = 6，求 a 及 b 的值。

解

答案： E

方法一：

543

2

yx

yx

2 5(3 4 )x y x y

2 15 20x y x y

22 14y x

22

14

x

y

: 11: 7x y

方法二：

A. x : y = 3 : 7 2 3 2(7) 17

3 4 3(3) 4(7) 19

x y

x y

B. x : y = 7 : 3 2 7 2(3) 13

3 4 3(7) 4(3) 9

x y

x y

C. x : y = 7 : 11 2 7 2(11) 29

3 4 3(7) 4(11) 23

x y

x y

D. x : y = 11 : 7 2 11 2(7)

53 4 3(11) 4(7)

x y

x y

k 方法

設 a = 3k, b = 4k

2a – b = 6

2(3k) – 4k = 6

k = 3

a = 9, b = 12


例 7 若 5:2: ba （或 5

2

b

a），求

(a) )6(:)2( baba (b) 22

22

ab

ab

解

例 8 若 a : b = 3 : 4 及 b : c = 6 : 5，求 a : b : c。

解

例 9 若 cba 643 ，求 a : b : c。

解

a : b = 3 : 4 = 9 : 12

b : c = 6 : 5 = 12 : 10

a : b : c = =9 : 12 : 10

方法一： cba 643

3 4 6

12 12 12

a b c

4 3 2

a b c

a : b : c = 4 : 3 : 2

方法二：3 4a b 4 6b c

4

3

a

b

6 3

4 2

b

c

: 4 : 3a b : 3 : 2b c

a : b = 4 : 3

b : c = 3 : 2

a : b : c = 4 : 3 : 2

方法一：

設 2a k , 5b k

(a) 2 2 2(5 ) 12

( 2 ) : (6 ) 12 : 76 6(2 ) (5 ) 7

a b k k ka b a b

a b k k k

(b) 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

(5 ) (2 ) 29 29

(5 ) (2 ) 21 21

b a k k k

b a k k k

方法二：

(a)

2 1222 125 5( 2 ) : (6 ) 12 : 7

2 76 76( )5 5

bb ba b

a b a bba b b b

(b)

2 2 22 2

2 22 2 2

2 29( ) 295 252 21 21( )5 25

bb bb a

bb a b b


例 10 若 1 澳元相當於 8.12 港元，1000 日元相當於 98.35 港元，則 1 澳元相當於多少日元？答

案須準確至最接近的日元。 Modified from 1999-CE-MATHS II-13

解

例 11 茶葉 A 與茶葉 B 以 x : y 的比 (以重量計) 混合。 A 的原價為 $ 100 / kg，B 的原價為

$150 / kg。若 A 的價格增加 5%，而 B 的價格減少 8%，則混合後的茶葉每 kg 的價格不

變。求 x : y。 Modified from 2000-CE-MATHS II-36

解

例 12 A 牌咖啡豆及 B 牌咖啡豆的成本分別為$20/kg 及$14/kg。x kg 的 A 牌咖啡豆與 y kg 的 B

牌咖啡豆混合後的咖啡豆的成本為$15/kg。求 x : y。 Modified from 2008-CE-MATHS II-13

解

例 13 某地圖的比例尺為 1：500 000。若某道路在該地圖上的長度為 14 cm，求該道路的實際長

度，答案以 km 表示。 Modified from 2004-CE-MATHS II-15

解

1 澳元= 8.12 港元= 8.12 港元1000

98.35

日元

港元 83 日元

設茶葉 A 有 kx kg, 茶葉 B 有 ky kg

則茶葉原來的總價格 = 100kx + 150ky

而茶葉新的總價格 = 100(1.05)kx + 150(0.92)ky = 105kx + 138ky

依題意，100kx + 150ky = 105kx + 138ky

12ky = 5kx

12

5

x

y

x : y = 12 : 5

20 14x y

x y

= 15

20x + 14y = 15x + 15y

5x = y

y

x=

5

1

∴ x : y = 1 : 5

該道路的實際長度= 14 500 000 cm = 7 000 000 cm =000100

0000007km = 70 km


例 14 某工廠在某月首 5 天每天生產 4 725 件電腦晶片，並在之後的 4 天每天生產 2 700 件電腦

晶片。求該工廠在該 9 天電腦晶片的生產率 (以件/天為單位)。

A. 825 件/天

B. 1 620 件/天

C. 3 600 件/天

D. 3 825 件/天

例 15 一輛汽車行駛了 6 小時。該汽車在首 4 小時的平均速率為 48 km/h。若該汽車在該 6 小時

的平均速率為 56 km/h，求該汽車在最後 2 小時的平均速率。

A. 60 km/h

B. 64 km/h

C. 72 km/h

D. 88 km/h

例 16 圖中顯示一艘船在某早上由碼頭 A 航行至碼頭 D (途經碼頭 B 及碼頭 C)的圖像。該航程

分為三部分：第 I 部分(由 A 至 B)，第 II 部分(由 B 至 C)及第 III 部分(由 C 至 D)。

(a) 在航程哪一部分的平均速率最高？

試解釋你的答案。

(b) 若航程第 II 部分的平均速率為

42.5 km/h，求碼頭 A 與碼頭 B 之間

的距離。

(c) 求該船由碼頭 A 航行至碼頭 D 的平

均速率，答案以 m/s 表示。

解

D

所求的率 =9

7002472545 件/天= 3 825 件/天

C

設 x km/h 為該汽車在最後 2 小時的平均速率。

6

2484 x = 56

192 + 2x = 336

2x = 144

x = 72

∴ 所求的平均速率是 72 km/h。

A

時間 10:00 0

40

航行距離

(km

)

B

C

11:12

D 54

10:16 10:40

(a) 圖中線段的斜率代表航程中那部分的平均速率。由於第 I 部分的線段的斜率最大，

所以第 I 部分的平均速率最高。

(b) BC 的距離40 16

42.5 1760

km

AB 的距離= 40 – 17 = 23 km

(c) 所求的平均速率=54 1000

12.572 60

m/s


例 17 圖中顯示在某下午 4:00 至 4:15 期間，在 A 地與 C 地之間的同一直路上嘉兒及偉雄以恆速

率騎腳踏車的圖像。偉雄由 C 地經 B 地抵達 A 地，而嘉兒由 B 地前往 C 地。已知 A 地與

C 地相距 4.5 km。

(a) 求嘉兒和偉雄在該期間的速率，答案以

km/min 表示。

(b) 偉雄在何時抵達 B 地？

(c) 當偉雄抵達B地時，他與嘉兒相距多遠？

(d) 在該期間，嘉兒與偉雄何時相遇？解

偉雄

嘉兒

A

時間 4:00 0

4.5

與A地

之距

離 (

km

)

B

C

4:15

1.5

(a) 嘉兒的速率=15

5.15.4 km/min= 0.2 km/min

偉雄的速率=15

5.4km/min= 0.3 km/min

(b) 偉雄抵達 B 地所需的時間=3.0

5.15.4 min= 10 min

∴ 偉雄在下午 4:10 抵達 B 地。

(c) 所求的距離= 0.2(10) km= 2 km

(d) 設嘉兒與偉雄在下午 4:00 的 t min 後相遇。

嘉兒與 A 地之間的距離= (1.5 + 0.2t) km

偉雄與 A 地之間的距離= (4.5 – 0.3t) km

1.5 + 0.2t = 4.5 – 0.3t

0.5t = 3

t = 6

∴ 嘉兒與偉雄在下午 4:06 相遇。


練習 R6

1. 若 x 及 y 均為非零的數使得 9 6

3

x y

x y

= 4，求 x : y。

2. 設 m 和 n 均為非零的常數。若nm

nm32

= 8，則 m : n =

A. 3 : 5。 B. 4 : 15。

C. 5 : 3。 D. 15 : 4。

3. 設 α和 β均為非零的常數。若(α + β) : (α – β) = 9 : 5，則 α : β =

A. 1 : 2。 B. 2 : 1。

C. 2 : 7。 D. 7 : 2。

4. 若 x、y 及 z 均為非零的數使得 3z = 4y 及 z = 3x，求 (x + y) : (x + z)。

5. 某地圖的比例尺為 1 : 20 000。若某長方形花園在地圖上的長度和闊度分別為 4.8 cm 和 3 cm，

則該花園的實際面積為

A. 0.057 6 km2。

B. 0.576 km2。

C. 57.6 km2。

D. 5 760 km2。

6. 某實心直立圓柱形石柱的實際高度是 17.5 m。圖中所示為該石柱

的比例圖。圖中，石柱的高度是 7 cm，而它的底直徑是 3 cm。

(a) 求該圖的比例尺。(答案須以 1 : n 的形式表示。)

(b) 志明宣稱該石柱的實際體積不少於 800 m3，你是否同意？試

解釋你的答案。

7. 圖中顯示在某下午1:00至2:18期間，在S地與W地之間的同一直路上宏達及子珊跑步的圖像。

宏達以恆速率跑步，他與子珊在 T 地相遇，而 S 地與 T 地相距 2 km。

(a) S 地與 W 地相距多遠？

(b) 子珊在該期間靜止了多久？

(c) 子珊在下午 1:48 至 2:18 期間的平均速率

較她在下午 1:00 至 1:16 期間的平均速率

是否增加了 20%？試解釋你的答案。

7 cm

3 cm

S

時間

1:00 1:16 1:48 0

2

與S地之

距離

(km

)

子珊

宏達

T

W

1:24 2:18


8. 已知 y 隨 x 正變，其中 0x 。當 64x 時， 4y 。

9. 已知 y 隨 x 正變。當 12x 時， 4y 。當 33x 時，求 y 的值。

10. 已知 a 隨 2b 正變，其中 0b 。當 4b 時， 4a 。當 100a 時，求 b 的值。

11. 已知 y 隨 2x 正變，其中 0x 。當 3x 時， 21y 。當 42y 時，求 x 的值。(答案

以根式表示)

12. 已知 y 隨 x 正變，其中 0y 。當 2x 時， 16y 。當 8x 時，求 y 的值。

13. 水晶球的價值 $C 隨其半徑 cmr 的立方而正變。當水晶球的半徑為 3.5 cm 時，其價值是

$1029。若水晶球的價值為 $3 000，求其半徑。

14. 一瓶健康飲品所提供的熱量 H kcal 隨該健康飲品的容量 V mL 而正變。已知 100 mL 的健康

飲品能提供 50 kcal 的熱量。求一瓶 180 mL 的健康飲品能提供的熱量。

15. 已知 y 隨 2x 反變，其中 0x 。當 3x 時， 5y 。當 5x 時，求 y 的值。

16. 已知 y 隨 x 反變，其中 0x 。當 4x 時，4

5y 。當 256x 時，求 y 的值。

17. 已知 y 隨 x 反變，其中 0x 。當 4x 時， 10y 。當 32y 時，求 x 的值。

18. 在一月初，樂晴購買了一部手提電話，其價值 $x 隨使用時間 t 個月的正平方根而反變。在

同年十月初，該手提電話的價值為 $1 600。求在第二年四月初該手提電話的價值。(答案須準

確至最接近的元。)

19. T 隨 2u 和 v 正變，且隨 3w 反變，其中 0w 。當 2u ， 4v 及 2w 時， 20T 。

1238 當 6u ， 2v 及 4w 時，求 T 的值。

20. a 隨 2b 正變，且隨 c 反變，其中 0c 。當 3b 及 16c 時，1

12a 。當 4b 及

9c 時，求 a 的值。


21. 某地區的住宅單位之每平方米售價 $V 隨樓齡 N 年而反變，且隨該住宅單位與鐵路車站之

間的距離 d m 之正平方根而反變。當某一住宅單位的樓齡為 4 年，且與鐵路車站相距 169 m，

該住宅單位的每平方米售價 $37 500。

22. 設 x 與 y 正變及與 z 反變。當 y = 2 及 z = 3 時，x = 7。當 y = 6 及 z = 7 時，x =

A. 49 。 B. 49

9 。

C. 9 。 D. 49

4 。

1997-CE-MATHS II-39

23. 若 x 與 y 反變，且與 2z 正變，則

A. 2yz

x 為一常數。 B.

2z

xy 為一常數。

C. y

xz 2

為一常數。 D. y

z 2

為一常數。

1998-CE-MATHS II-17

24. z 部分隨 x 正變，部分隨 y 反變，其中 0y 。當 4x 及 3y 時， 14z 。當 5x

及 6y 時， 14z 。當 2x 及 1

2y 時，求 z 的值。

25. M 是兩部分之和，一部分隨 2x 正變，另一部分隨 x 正變，其中 0x 。當 4x 時，

58M 。當 1x 時， 1M 。當 1

4x 時，求 M 的值。

26. u 部分隨 v 正變，部分隨 2v 正變。當 1v 時， 5u 。當 3v 時， 3u 。當 5v 時，

求 u 的值。

27. A 部分隨 x 正變，部分隨 y 正變。當 2x 及 3y 時， 13A 。當 3x 及 4y 時，

18A 。當 4x 及 5y 時， A 的值是否小於 25？試解釋你的答案。

28. 流動電話網絡 A 的每月服務費 $ S 可分成兩部分，一部分固定，另一部分隨通話時間 t 分鐘

而正變。當通話時間是 100 分鐘及 130 分鐘時，每月服務費依次是 $230 及 $284。

(a) 以 t 表 S。 (4 分)

(b) 流動電話網絡 B 的服務費只隨通話時間而正變，費用為每分鐘 $2.20。某人每月約使用

110 分鐘通話時間。從節省費用著眼，他應加入網絡 A 還是 B？試加以釋。 (3 分)

1998-CE-MATHS I-12


29. 出版社為作家發行小說所給予的報酬 $V 部分隨售賣的小說數量 P 冊而正變，部分為固定

的稿費 $F，其中 F 是非零常數。已知建生出版的小說售出 15 000冊，可得的報酬是 $147500。

芷珊出版的小說售出 12 000 冊，可得的報酬是 $143 000。出版社欲調整稿費使希文出版的小

說售出 12 000 冊，而可得報酬不多於 $147 500。求新稿費的最高限額。

答案：

1. 18 : 5 2. C

3. D 4. 13 : 16

5. B 6. (a) 1 : 250 (b) 否

7. (a) 6.5 km (b) 32 min (c) 是 8. 15

9. 11 10. 20

11. 6 12. 256

13. 5 cm 14. 90 kcal

15. 9

5 16.

1

10

17. 5

4 18. $1239

19. 45

4 20.

16

81

21. $15 600 22. C

23. B 24. 18

25. 5

4 26. 35

27. 是 28. (a) 50 1.8S t (b) 網絡 B

29. $129 500

~ 第六章完 ~



中六級數學科

重溫筆記(7)

求積法

平面圖形

三角形的面積

1. ΔABC 的面積1 1 1

sin C sin A sin B2 2 2

ab bc ca

2. 希羅公式

ΔABC 的面積 ( )( )( )s s a s b s c ，

其中 2

a b cs

(即 s =

周界

2 )

弧長和扇形的面積

弧長, 2360

xl r

扇形面積, 2

360

xA r

例 1 圖中， BCAB 2 。求 BC，答案須準確至三位有效數字。 1998-CE-MATHS II-31

A. 0.775 cm

B. 1.00 cm

C. 1.34 cm

D. 1.73 cm

圓周

圓面積

答案：C

2 2 2

2 2

2 2

2

2

3

(2 ) 9

4 9

5 9

1.8

1.34 cm

AB BC

BC BC

BC BC

BC

BC

BC


例 2 圖中，AB = 15 cm，BC = CD = 10 cm，DE = 5 cm，EF = 3 cm 及 FG = 6 cm。求 ΔAFH 的

周界。 Modified from PP-DSE-MATH-II-18

A. 48 cm

B. 78 cm

C. 84 cm

D. 223 cm

*************************************************************************************

例 3 若一正十二邊形的面積為 123 cm 2，求該十二邊形的邊長。答案須準確至最接近的0.1 cm。


解

例 4 圖中，求五邊形 ABCDE 的面積。 1998-CE-MATHS II-21

A. 16 cm2

B. 18 cm2

C. 20 cm2

D. 24 cm2

*************************************************************************************

G

A

B C

D E

F

H

G

A

B C

D E

F

H

15 cm

10 cm

10 cm 6 cm

5 cm

K L

3 cm

答案：A

AH = (10 + 5 + 6) cm = 21 cm

在 ΔAFL 中，AL = (10 + 5) cm = 15 cm

FL = (15 – 10 + 3) cm = 8 cm

AF = 2 215 8 cm = 17 cm

在 ΔHFL 中，LH = 6 cm

FH = 2 28 6 cm = 10 cm

ΔAFH 的周界 = (21 + 17 + 10) cm = 48 cm

75°

30°

x

r r

360 180 3030 , 75

12 2

21 123sin 30

2 12r

r 7.01427

7.01427

sin30 sin75

x

x 3.6 cm

答案：C

設 x = AB ( = AE)

x2 + x2 = 42

8x

面積 2 2 214 ( 8) 20 cm

2


例 5 圖中，O 為扇形 OAB 的圓心。扇形 OAB 的面積是 60 m2。求該扇形的

(a) 半徑；

(b) 周界。

Modified from 2004-CE-MATHS I-9

解

例 6 圖中，O 為扇形 OABC 的圓心。D 為 OC 的中點，而 B 為 AC

上一點使 BD OC。若

OD = 6 cm，求陰影區域 BCD 的面積。 Modified from 2006-CE-MATHS II-19

解

150 A B

O

(a) 設 r m 為該扇形的半徑。

扇形面積 = 60

2 150π 60

360r

r2 = 144

r = 12

∴ 該扇形的半徑是 12 m。

(b) 該扇形的周界150

2π(12) 12 12 55.4 m360

AB OA OB

O

D

C

B

A

連接 OB。

OB = OC = 2OD = 2(6) cm = 12 cm

在 ΔOBD 中，cos BOD =6

12 [或

6 12

sin sin90OBD

]

BOD = 60 [ OBD = 30°, AOB = OBD = 30° ]

AOB = 90°– 60° = 30 [ BOD = 90°– 60° = 30 ]

陰影區域 BCD 的面積 = 扇形 AOB 的面積 + ΔOBD 的面積

2 230 1π(12) (6)(12)sin60 (12 18 3) cm

360 2 68.9 cm2


例 7 圖中，O 為扇形 OAB 及扇形 OCD 的圓心。陰影區域 ABDC 的面積為 30 cm2。若

BD = 4 cm，則 OB =

A. 2 cm。

B. 8 cm。

C. 16 cm。

D. 18 cm。


例 8 若一扇形的半徑及面積分別為 5 cm 及 5 cm2，求該扇形的周界，準確至最接近的 0.1 cm。

A. 6.3 cm

B. 11.3 cm

C. 16.3 cm

D. 23.1 cm


例 9 圖中，O 為扇形 OPQR 的圓心及POR = 90。已知 ΔPOR 的面積為 128 cm2。

(a) 求 OP 的長度。

(b) 求陰影區域的面積。

解

Modified from PP-DSE-MATH-II-15

P

RO

Q

135 D

O

C

A B

答案：B

設 OB = r cm。

2 2

2 2

2 2

135 135( 4) 30

360 360

( 4) 80

8 16 80

8

r r

r r

r r r

r

答案： C

設為該扇形的圓心角。

扇形面積= 5

2(5) 5360

72

該扇形的周界=72

2(5) 2π(5) 16.3 cm360

(a) 設 OP = OR = r cm。

ΔPOR 的面積 = 128 cm2

1

2r2 = 128

r2 = 256

r = 16

∴ OP = 16 cm

(b) 陰影區域的面積 2 2 21(16) 128 (64 128) cm 64( 2) cm

4


例 10 圖中，O 為半圓 ABCD 的圓心及 AD 為直徑。已知 AD = 4 cm 及 BC = 8 cm。求陰影區域

的面積，答案以表示。 Modified from 2012-DSE-MATH-II-21

解

立體圖形

球體

表面積= 24 r ，

體積= 3

3

4r ，

其中 r 為半徑

圓柱體

側面積= rh2 ，

體積= hr 2 ，

其中 r 為半徑及 h 為高

圓錐體

側面積= rl ，

體積= hr 2

3

1 ，

其中 r 為半徑、l 為斜棱／斜高及 h 為高

角柱體

體積= 底面積高

角錐體

體積= 3

1 底面積高

B

D

C

A O

考慮 ΔBOC， 2, 8OB OC BC

2 2 22 2 ( 8)cos 0

2(2)(2)

90

BOC

BOC

陰影區域的面積 2 21 180 90(2)(2) (2) (2 ) cm

2 360


例 11 圖中所示為一直立角柱體。求它的

(a) 體積。 Modified from 2008-CE-MATHS II-19

(b) 總表面積； Modified from 1999-CE-MATHS II-22

解 Modified from 1998-CE-MATHS I-1

例 12 圖中，實心直立三角柱體的總表面面積為

A. 600 cm2。

B. 960 cm2。

C. 1 080 cm2。

D. 1 200 cm2。


例 13 實心直立角錐體的底為一正方形。若該底的周界為 96 cm 及該角錐體每條斜梭的長均為

22 cm，求該角錐體的總表面面積。 Modified from 2009-CE-MATHS II-17

解

(a) 體積(4 6) 3

82

= 120 cm3

(b) 斜邊 2 23 2 13

總表面積 2(4 6) 32 (4 3 6 13) 8 163 cm

2

8 cm

17 cm

24 cm

2 217 8 15

總表面面積 38 152 (8 15 17) 24 1080 cm

2

底的邊長96

244

22 22 2434

2

，其中一面側面面積 34(34 22)(34 22)(34 24) 221.269

總表面面積 2 224 4(221.269) 1460 cm

22 22

24


例 14 圖中的固體由一圓柱體及一半球體組成，兩部分的底相同，且半徑為 1 cm。若該固體的

高是 12 cm，求它的

(a) 總表面積； Modified from 2001-CE-MATHS II-8

(b) 體積。 Modified from 2006-CE-MATHS II-18

答案以 π表示。

解 Modified from 1998-CE-MATHS II-22

例 15 圖中所示為一直立圓錐體，其底半徑為 9 cm 且斜高為 15 cm。求該圓錐體的體積。

A. 135 cm3

B. 324 cm3

C. 405 cm3

D. 972 cm3

Modified from PP-DSE-MATH-II-16

例 16 圖中所示為一直立圓錐體，底半徑 4 cm，高 3 cm。求它的

(a) 體積； Modified from 2003-CE-MATHS II-20

(b) 總表面面積。 Modified from 2005-CE-MATHS II-17

解 Modified from 1998-CE-MATHS II-20

(a) 2 2 212 (1)(11) 4 (1) (1) 25 cm

2

(b) 2 3 31 4 35(1) (11) (1) cm

2 3 3

(a) 體積 2 31(4) (3) 16 cm

3

(b) 斜高 2 23 4 5

總表面面積= π(4)(5) +π(4)2 = 36π cm2

9 cm

15 cm高 2 215 9 12

體積 2 31(9) (12) 324 cm

3


例 17 圖中所示為一直立圓柱體、一半球體及一直立圓錐體，它們的高度相等。它們的體積分別

為 x cm3、y cm3 及 z cm3。

下列何者正確？

A. x < y < z

B. x < z < y

C. y < x < z

D. z < x < y


例 18 若半徑為 r 的一實心半球體的曲面面積與高度為 h 及底半徑為 r 的一實心直立圓柱體的曲

面面積相等，則 r : h =

A. 1 : 1。

B. 1 : 2。

C. 2 : 1。

D. 4 : 1。


例 19 圖中顯示的固體由上下兩部分連接而成︰上部分為高 8 cm及底半徑 x cm的直立圓柱體；

下部分為半徑 x cm 的半球體。已知圓柱體的曲面面積為半球體的曲面面積之兩倍。

(a) 求 x 的值。

(b) 求該固體的總表面面積，答案以表示。

(c) 志達想將該固體的表面髹上油漆，費用是$0.5/cm2。若志達只有$170，

他有沒有足夠的金錢支付所需費用？試解釋你的答案。

Modified from SP-DSE-MATH-I-6

解

cm

h cm

h cm

h cm

2

h

h cm 2h cm

答案：A

x =2

π2

h

(h) =1

4h3, y = 31 4

π2 3

h

=2

3h3

圓錐體的底半徑= 2 2(2 )h h = 23h , z = 2 21π( 3 ) ( )

3h h = h3

∵ 1

4h3 <

2

3h3 < h3

∴ x < y < z

答案：A

1

2(4r2) = 2rh

r

h=

1

1

∴ r : h = 1 : 1

(a) 212 (8) 2 (4π )

2x x

8x = 2x2

x = 4

(b) 該固體的總表面面積= 2 212π(4)(8) 4π(4) π(4)

2 = 112 cm2

(c) 所需費用= $112(0.5) $175.929 > $170

∴ 志達沒有足夠的金錢支付所需費用。


例 20 圖 I 顯示扇形薄紙片 OXYZ，其面積為 3375π cm2。將 OX 及 OZ 連接，OXYZ 可屈成一倒

置直立圓錐形容器，如圖 II 所示。

(a) 求 OX 的長度。

(b) 求該容器的高度。

(c) 假定該容器鉛垂放置。若將體積

為 0.12 m3 的水注入該容器，水會

否溢出？試解釋你的答案。


解

相似的平面及立體圖形

若以 1A 、 2A 表示兩個相似平面圖形的面積， 1l 、 2l 表示它們任意兩個對

應的線性量度，則

2

2

1

2

1

l

l

A

A。

若以 1V 、 2V 表示兩個相似立體的體積， 1A 、 2A 表示它們任意兩個對應的

平面面積， 1l 、 2l 表示它們任意兩個對應的線性量度，則

2

2

1

2

1

l

l

A

A 及

3

2

1

2

1

l

l

V

V。

216

O

Z X

Y

圖 I 圖 II

(a) 2216. ( ) 3375

360OX

OX2 = 5625

OX = 75 cm

(b) 設 r cm 為該容器的底半徑。

2162 2 (75)

36045

r

r

該容器的高度 2 275 45 60 cm

(c) 該容器的容量= 2 3 3 33

1 127234.5025(45) (60) 127234.5025 cm m 0.127 m

3 100 > 0.12 m3

∴ 水不會溢出。


例 21 在一比例為 1 : 500 的地圖上，某塊長方形土地的面積為 6 cm2。求該塊土地的真實面積。


A. 30 m2

B 150 m2

C 1 500 m2

D 3 000 m2

*************************************************************************************

例 22 圖中，AB // DC。若 ABE 及 CDE 的面積分別為 4 及 9，求 BCE 的面積。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 9

1997-CE-MATHS II-54

*************************************************************************************

例 23 兩個相似實心圓錐體的體積的比為 8 : 27。

(a) 求小圓錐體與大圓錐體的高的比。

(b) 求小圓錐體與大圓錐體的總表面積的比。


解

答案：B

設 A 為真實面積。

2

2

2 22

6 1( )500

1 500 000 cm

1 500 000m 150 m

100

A

A

答案：C

∵ ΔABE ~ ΔCDE

∴ 2 4( )

9

AE

CE

2

3

AE

CE

2

3

24

3

ABE

BCE

BCE

的面積

的面積

的面積

ΔBCE 的面積= 6

(a) 38 2

2 :327 3

(b) 22 : 32 = 4 : 9


例 24 圖中，一底為正方形的直立角錐體，被兩個與其底平行的平面分成 A、 B 、 C 三部分，

使斜棱的長分別為 1 cm、2 cm 及 3 cm。

(a) 求 A、B 及 C 的側面積的比。

(b) 求 A、B 及 C 的體積的比。

Modied from 1998-CE-MATHS II-42

解

例 25 已知 X、Y 及 Z 均為相似實心直立圓柱體。若 Y 的曲面面積︰Z 的曲面面積 = 9 : 16 及 X

的體積為 Z 的體積的 8 倍，則 X 的高度︰Y 的高度 = Modified from 2009-CE-MATHS II-19

A. 2 : 3。

B. 8 : 3。

C. 8 : 9。

D. 128 : 9。

例 26 一個底為邊長 x的正方形的直立角柱體的體積是另一底為邊長 y的正方形的直立角柱體的

體積之三倍。若這兩個角柱體的高度相等，則 x : y = Modified from 2010-CE-MATHS II-18

A. 3 : 1。

B. 9 : 1。

C. 2 : 1。

D. 3 : 1。

(a) 12 : (32 – 12) : (62 – 32) = 1 : 8 : 27

(b) 13 : (33 – 13) : (63 – 33) = 1 : 26 : 189

答案：B

∵ Y 的高度︰Z 的高度9

3: 416

X 高度︰Z 的高度 38

2 :11

= 8 : 4

∴ X 的高度︰Y 的高度︰Z 的高度= 8 : 3: 4

答案：D

設 h 為每個角柱體的高度。

x2h = 3y2h

2

2

x

y=

3

1

x

y=

3

1


例 27 圖 I 中，ABCDEF 為一木塊，其形狀為一直立角柱體，且底 ABC 為一直角三角形。已知

BC = 12 cm，AC = 15 cm 及 CD = 8 cm。

(a) 求 ΔABC 的面積。

(b) 求木塊 ABCDEF 的體積。

(c) 與面BCDF平行的平面PQRS將木塊ABCDEF分割為兩木塊APQRES及BCQPSFDR，

如圖 II 所示。已知 AQ = 5 cm。

(i) 求木塊 APQRES 的體積。

(ii) 木塊 APQRES 與木塊 ABCDEF 是否相似？試解釋你的答案。


解

~ 第七章完 ~

B

A

C

D

E

F

圖 I 圖 II

S

P

B

A

C

D

E

F Q

R

(a) AB = 2 215 12 = 9 cm

ΔABC 的面積 =1

2(12)(9) = 54 cm2

(b) 木塊 ABCDEF 的體積= (54)(8) = 432 cm3

(c) (i) 設 a cm2 為 ΔAPQ 的面積。

∵ ΔAPQ ~ ΔABC

∴ 54

a=

25

15

a = 6

∴ 木塊 APQRES 的體積= (6)(8) = 48 cm3

(ii) 48 1

432 9

APQRES

ABCDEF

的體積

的體積,

3AQ

AC

=3

5

15

=1

27

[或 AQ

AC=

5

15=

1

3,

QR

CD=

8

8= 1]

∵ 以上兩個比不相等，

∴ 該兩木塊不相似。



中六級數學科

重溫筆記(8)

坐標幾何

極坐標

極坐標系統由一個固定的點和一條水平軸組成，固定的

點稱為極點 O，水平軸稱為極軸。

極坐標上的一點 P 可以表示為 (r, θ)，其中 r 是 O 與

P 之間的距離，而 θ 是由極軸至 OP 以逆時針方向量

度的角，且 0 360 。

例 1 A(3, 60º)、B(4, 330º)和 C(5, 240º)是極坐標上的三點。

(a) 求 A 與 C 之間的距離。

(b) 證明 90AOB 。由此，求 ΔOAB 的面積及周界。

解

例 2 點 A 及點 B 的極坐標分別是(7, 118°)及 (24, 208°)。求 A 與 B 間之距離。

A. 17

B. 23

C. 25

D. 31


A

B

C

答案：C

設 O 為極點。

AOB = 208° – 118° = 90°

∴ ΔAOB 是一個直角三角形。

AB = 2 2OA OB = 2 27 24 = 25

(a) AC = 3 + 5 = 8

(b) AOB = 60° + (360° – 330°) = 90°

ΔOAB 的面積3(4)

62

2 23 4 5AB

ΔOAB 的周界= 3 + 4 + 5 = 12


極坐標 (r, θ)

2 2r x y , tany

x

直角坐標 (x, y)

cosx r , siny r

例 3 若點 A 的直角坐標為(1, –1)，求 A 的極坐標。

解

例 4 若點 P 的極坐標是(2, 60)，則 P 的直角坐標是

A. ( 3 , 1)。

B. (1 , 3 )。

C. ( 3 , 1)。

D. (1 , 3 )。


A(1, 1)

θ

O

y

x

設(r, θ)為 A 的極坐標。

2 21 ( 1) 2r OA

1tan

1

θ = 315° (∵ (1, –1)在第四象限)

∴ A 的極坐標為 ( 2, 315 ) 。

O x

y P

60°

Q

2

答案：B

x = 2 cos 60° = 1

y = 2 sin 60° = 3

∴ (1 , 3)P


例 5 點 A 的直角坐標是(1, 1)。若 A 繞原點旋轉 180至 A，求 A的極坐標。

A. (1, 225°)

B. (1, 315°)

C. ( 2 , 225°)

D. ( 2 , 315°) Modified from 2012-DSE-MATH-II-23

例 6 在某極坐標系中，O 是極點。點 A 及點 B 的極坐標分別是(k, 87°)及(12, 177°)，其中 k 是

一個正常數。已知 AB = 13。

(a) OAB 是否一個直角三角形？試解釋你的答案。

(b) 求 OAB 的周界。

(c) 設 C 為該極坐標系中的一點使BOC = 25°及 OC = OB。求 C 的兩個可能極坐標。


解

O x

y

B

A(–1 , –1)

答案：C

A的直角坐標 = (–1 , –1)

OA= 2 21 1 = 2

tan =1

1

= 225°

∴ ( 2, 225 )A

(a) AOB = 177° – 87° = 90°

∴ ΔOAB 是一個直角三角形。

(b) 在 ΔOAB 中，OA2 + OB2 = AB2

k2 + 122 = 132

2 213 12 5k

∴ ΔOAB 的周界 = OA + OB + AB = 5 + 12 + 13 = 30

(c) OC = OB = 12

C 的兩個可能極坐標是(12, 177° – 25°)和(12, 177° + 25°)，即(12, 152°)和(12, 202°)。


例 7 在某極坐標系中，O 是極點。點 A、點 B、點 C 及點 D 的極坐標分別是(8, 22°)、(10, 112°)、

(8, 202°)及(15, 292°)。

(a) A、O 與 C 是否共線？試解釋你的答案。

(b) 求 CD 的長度。

(c) 求四邊形 ABCD 的面積。

Modified from PP-DSE-MATH-I-6

解

*************************************************************************************

距離公式

2 21 2 1 2( ) ( )PQ x x y y

中點公式及截點公式

已知 1 1( , )A x y 及 2 2( , )B x y .

若 P 是 AB 的中點，

則 1 2

2

x xx

, 1 2

2

y yy

()

1 2sx rxx

r s

,

1 2sy ryy

r s

(a) AOC = 202° – 22° = 180°

∴ A、O 與 C 共線。

(b) COD = 292° – 202° = 90°

在 ΔCOD 中，CD = 2 2OC OD = 2 28 15 = 17

(c) AOB = 112° – 22° = 90°

ΔABC 的面積=1

2AC OB =

1(8 8)(10)

2 = 80

ΔACD 的面積=1

2AC OD =

1(8 8)(15)

2 = 120

∴ 四邊形 ABCD 的面積= ΔABC 的面積 + ΔACD 的面積 = 80 + 120 = 200


斜率

PQ 的斜率 = 2 1

2 1

y y

x x

，其中 1 2x x 。

平行線和垂直線

1L 的斜率 1m , 2L 的斜率= 2m

1 2//L L 若 1 2m m

1 2L L 若 1 2 1m m

*************************************************************************************

變換

A. 平移

設 P = (x, y) 及 k > 0。若 P

1. 向上平移 k 單位，則新的坐標為 P'(x, y + k)；

2. 向下平移 k 單位，則新的坐標為 P'(x, y – k)；

3. 向左平移 k 單位，則新的坐標為 P'(x – k, y)；

4. 向右平移 k 單位，則新的坐標為 P'(x + k, y)。

B. 反射

1. 設 P = (x, y)。若 P 沿

(a) x 軸反射（即水平軸），則新的坐標為

P'(x, –y)；

(b) y 軸反射（即鉛垂軸），則新的坐標為

P'(–x, y)；

(c) 一條與 x 軸平行的直線（即水平線）反射，則

P 的 x 坐標不會改變；

(d) 一條與 y 軸平行的直線（即垂直線）反射，則

P 的 y 坐標不會改變。

2. 原來的點與對稱軸之間的距離相等於影像與對稱

軸之間的距離。



C. 旋轉

設 P = (x, y)。若 P 繞原點 O

1. 以順時針方向旋轉 90º（或逆時針方向旋轉 270º），

則新的坐標為 P'(y, –x)；

2. 旋轉 180º，則新的坐標為 P'(–x, –y)；

3. 以逆時針方向旋轉 90º（或順時針方向旋轉 270º），

則新的坐標為 P'(–y, x)。

例 8 若點 A(5, –6)繞原點順時針方向旋轉 270°，求 A 的像的坐標。

A. (–6, –5)

B. (–5, 6)

C. (5, 6)

D. (6, 5) ans.

例 9 點 A 的坐標是(–6, 2)。A 繞原點順時針方向旋轉 270°至 B。C 為 B 對 y 軸的反射影像。求

A 與 C 間之距離。

A. 32

B. 80

C. 96

D. 128

例 10 圖中，點 A 的坐標是(–2, –5)，而水平直線 L 通過點(0, 1)。若 A 繞原點 O 逆時針方向旋轉

90°至 B，求 B 對直線 L 的反射影像的坐標。

A. (–5, 0)

B. (–5, 3)

C. (5, 3)

D. (5, 4)

答案：D

B 的坐標 = (–2, –6), C 的坐標 = (2, –6)

2 2[2 ( 6)] ( 6 2) 128AC

O x

y

A

L(0 , 1)

答案：D

B = (5, –2)

B 與直線 L 的距離 = 1 (2) = 3

B 對直線 L 的反射影像的坐標= (5, 1 + 3) = (5, 4)



例 11 圖中，點 A 的坐標是(6, 4)。A 繞原點 O 逆時針方向旋轉 90° 至 B。C 為 AB 的中點。

(a) 求 C 的坐標。

(b) OC 是否垂直於 AB？試解釋你的答案。

(c) 子明宣稱 OAC 是一個等腰直角三角形。你是否同意？

試解釋你的答案。


解

例 12 圖中，點 A 的坐標是(3, 6)。A 繞原點 O 順時針方向旋轉 90°至 B。C 為 B 對 y 軸的反射影

像。

(a) 寫出 B 和 C 的坐標。

(b) AC 是否垂直於 OB？試解釋你的答案。

Modified from SP-DSE-MATH-I-8

解

O x

y

A(6 , 4)

A(3 , 6)

O x

y

(a) B 的坐標 = (–4, 6)

C 的坐標 =6 ( 4) 4 6

, 2 2

= (1, 5)

(b) OC 的斜率=5 0

1 0

= 5, AB 的斜率=6 4

4 6

=1

5

OC 的斜率 AB 的斜率=1

55

= –1

∴ OC 垂直於 AB。

(c) AC = 2 2(6 1) (4 5) = 26 , OC = 2 2(1 0) (5 0) = 26

∵ AC = OC 且 OC 垂直於 AB，

∴ ΔOAC 是一個等腰直角三角形。

∴ 同意該宣稱。

(a) B = (6, –3), C = (–6, –3)

(b) AC 的斜率=3 6

6 3

= 1, OB 的斜率=3 0

6 0

=1

2

AC 的斜率 OB 的斜率=1

12

=1

2 –1

∴ AC 並不垂直於 OB。


直線的方程

A. 直線方程

方程備註

1. 點斜式

1 1( )y y m x x m: 斜率

2. 兩點式

1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

3. 截距式

1yx

a b

a: x 軸截距

b: y 軸截距

4. 斜截式

y = mx + c m: 斜率

c: y 軸截距

5. 一般式

Ax + By + C = 0

斜率A

B

y 軸截距C

B

x-軸截距C

A

水平線的方程：

y = k

垂直線的方程：

x = k


例 13 A(0, 4) 及 )1 ,2(B 是兩點。 1998-CE-MATHS I-8

(a) 求 AB 的斜率。

(b) 求過 (1, 3) 且垂直於 AB 的直線的方程。

解

例 14 直線 L: 3x + y – 6 = 0 與 x 軸及 y 軸相交於 P 及 Q。 Modified from 2002-CE-MATHS I-8

(a) 求 P 及 Q 的坐標。

(b) 求 PQ 中點的坐標。

解

(a) AB 的斜率4 1 3

0 ( 2) 2

(b) 所求的方程：

3 1312

3 2

1 33 9 2 2

2 3 11 0

y

x

y

xy x

x y

(a) 當 y = 0 時， 3x + 0 – 6 = 0

x = 2

∴ P = (2, 0)

當 x = 0 時， 3(0) + y – 6 = 0

y = 6

∴ Q = (0, 6)

(b) PQ 中點的坐標=2 0 0 6

( , ) (1, 3)2 2


例 15 圖中，點 A 的坐標為 (–4, 5)。A 繞原點 O 順時針方向旋轉 90 至 B。C 為 A 對 x 軸的反

射影像。

(a) 寫出 B 及 C 的坐標。

(b) O、B 與 C 是否共線？試解釋你的答案。

(c) A 水平平移至 D 使得 90BCD 。求通過 C 及 D 的直線的方程。由此，或利用其

他方法，求 D 的坐標。


解

(a) B = (5, 4), C = (–4, –5)

(b) OB 的斜率4 0 4

5 0 5

, OC 的斜率

0 ( 5) 5

0 ( 4) 4

∵ OB 的斜率 OC 的斜率

∴ O、B 與 C 不是共線。

(c) BC 的斜率4 ( 5)

15 ( 4)

∵ BC⊥CD

∴ CD 的斜率1

11

CD 的方程：( 5)

1( 4)

y

x

x + y + 9 = 0

設 D = (k, 5)。

∵ D (k, 5) 在 CD 上

∴ k + 5 + 9 = 0

k = –14

D = (–14, 5)


B. 直線的圖像

L 的斜率 tan

當是銳角時， tan 0 ，因此斜率 > 0.

當是直角時，tan 是未下定義的，因此斜率也是未下定義的。

當是鈍角時， tan 0 ，因此斜率 < 0。

例下列那一圖像有正斜率？

A. B. C. D.

解

A. 直線由左下延伸至右上，所以斜率 > 0

B. 直線鉛垂於 x 軸，所以斜率沒有定義

C. 直線由左上延伸至右下，所以斜率 < 0

D. 直線平行於 x 軸，所以斜率 = 0

斜截式

y = mx + c

m：斜率，c：y 軸截距


例 16 若 a < 0 及 b < 0，下列何者可表示 y ax b 的圖像？

A. B.

C. D.

一般式

Ax + By + C = 0

斜率A

B , y 軸截距

C

B , x 軸截距

C

A

例 17 在圖中，直線的方程是 0ax by c 。下列何者正確？

A. 0ac

B. 0ab

C. 0ac

D. 0bc

A. 直線由左上延伸至右下，所以斜率< 0，所以 a < 0

而 y 軸與直線的交點在原點之下，所以 y 軸截距< 0，所以 b < 0

B. 直線由左下延伸至右上，所以斜率> 0，所以 a > 0

而 y 軸與直線的交點為原點，所以 y 軸截距= 0，所以 b = 0

C. 直線由左上延伸至右下，所以斜率< 0，所以 a < 0

而 y 軸與直線的交點在原點之上，所以 y 軸截距 > 0，所以 b > 0

D. 直線由左下延伸至右上，所以斜率> 0，所以 a > 0

而 y 軸與直線的交點在原點之上，所以 y 軸截距> 0，所以 b > 0

答案：C

直線由左下延伸至右上，所以斜率> 0， 0a

b ，即 0

a

b ，a 與 b 正負號相異。

另外，y 軸與直線的交點在原點之上，所以 y 軸截距> 0， 0c

b ，即 0

c

b ，b

與 c 正負號相異。

由此推斷，a 與 c 同號，即 ac > 0


例 18 圖中，直線 L1、L2、L3及 L4的斜率分別是 m1、m2、m3及 m4。若 L1⊥L3及 L2⊥L4，則下

列何者必為正確？

I. m1 < m3

II. m3 < m4

III. m1m3 = –1

A. 只有 I 及 II

B. 只有 I 及 III

C. 只有 II 及 III

D. I、II 及 III

軌跡

與一點保持固定距離圓

與兩點保持相等距離垂直平分線

與一直線保持固定距離一對平行線

與一線段保持固定距離

與兩平行線保持相等距離

與兩相交直線保持相等距離角平分線

O

R Q

l

3

即

BA

O x

y

L4 L1

L2 L3

答案：B

I. ∵ m1 < 0 及 m3 > 0

∴ m1 < m3

∴ I 必為正確。

II. ∵ L3 較 L4 傾斜，

∴ m3 > m4

∴ II 不正確。

III. ∵ L1⊥L3

∴ m1m3 = –1

∴ III 必為正確。


方法一：

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

( 0) ( 3) ( 5) ( 3)

( 0) ( 3) ( 5) ( 3)

( 5)

10 25

2.5

PA PB

x y x y

x y x y

x x

x x x

x

P 的軌跡的方程是 x = 2.5。

方法二：

P 的軌跡是 AB 的垂直平分線

∵ AB 是水平線，且 AB 的中點是(2.5, 3)

P 的軌跡是一穿過 (2.5, 3) 的垂直線，其方程是 x = 2.5。

例 A(0, 3) 和 B(5, 3) 是直角坐標平面上的兩點。移動點 P(x, y)與 A 和 B 保持相等距離，即

PA = PB。求 P 的軌跡的方程。

解

三角形的中心()

1. 三角形的形心是三條中線的交點。

2. 三角形的外心是三條垂直平分線的交點。

3. 三角形的垂心是三條頂垂線的交點。

4. 三角形的內心是三條角平分線的交點。

註：形心及內心必位於三角形之內。


圓的方程

標準式

2 2 2( ) ( )x h y k r

圓心 = (h, k)，半徑 = r

圓的方程的一般式

2 2 0x y Dx Ey F

圓心 = (h, k) = , 2 2

D E

，半徑 2 2

2 2

D Er F

直線與圓的相交

相交於兩點

Δ> 0

相交（相切）於一點

Δ= 0

沒有交點

Δ< 0

例求圓 x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = 0 與直線 y = 2x – 5 的交點的坐標。

解

切線

接點

將 y = 2x – 5 代入 x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = 0，

2 2

2

(2 5) 2 4(2 5) 13 0

5 26 32 0

x x x x

x x

x = 2 或 16

5x

交點= (2, –1) 及 16 7

( , )5 5


例已知直線 y = mx + 5 與圓 x2 + y2 – 5x – 5 = 0 相切。

(a) 求 m 的值。 (b) 寫出直線的兩個可能方程。

解

例已知一圓 C : 0174163222 yxyx ，A(5, –3) 是圓上的一點。

求通過圓上 A(5, –3) 這點的切線 L 的方程。

解

~ 第八章完 ~

(a) 將 y = mx + 5 代入 x2 + y2 – 5x – 5 = 0，

2 2

2 2

2 2

2 2

2

( 5) 5 5 0

(1 ) (10 5) 20 0

0

(10 5) 4(20)(1 ) 0

100 100 25 80 80 0

20 100 55 0

x mx x

m x m x

m m

m m m

m m

11

2m 或

1

2m

(b) 所求的方程是 11

52

y x , 1

52

y x

圓心 G = )8 ,16()2

16 ,

2

32(

AG 的斜率 11

5

516

)3(8

, L 的斜率 5

11

11

5

1

L 的方程：

070511

55111555

11

5

3

yx

xyx

y

步驟：

1. 求圓心 G

2. 求 AG 的斜率 2 1

2 1

( )y y

x x

3. 求 L 的斜率1

( )AG

m

4. 求 L 的方程 1

1

( )y y

x xm

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