物理数学 II 1

1111.... はじめにはじめにはじめにはじめに ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4444

1111....1111.... 偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程式式式式とはなとはなとはなとはなににににかかかか________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4444

1111....2222.... 偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程式式式式の理解の理解の理解の理解ととととはははは________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4444

1111....3333.... 記号な記号な記号な記号などどどど ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5555

1111....4444.... 偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程式式式式の種の種の種の種類類類類 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6666

1111....5555.... 初期条件・初期条件・初期条件・初期条件・境境境境界界界界条条条条件件件件 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9999

1111....6666.... 必要な初期必要な初期必要な初期必要な初期値値値値・境界・境界・境界・境界値値値値のののの数数数数________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9999

1111....7777.... 解法の概解法の概解法の概解法の概観観観観 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11110000

2222.... 定数係定数係定数係定数係数数数数１・２階常微分方程１・２階常微分方程１・２階常微分方程１・２階常微分方程式式式式の復習の復習の復習の復習 ____________________________________________________________________________________________________________________ 11113333

2222....1111.... 線形一階常線形一階常線形一階常線形一階常微微微微分方程分方程分方程分方程式式式式（（（（成長・減衰成長・減衰成長・減衰成長・減衰方方方方程式程式程式程式）））） ____________________________________________________________________________________________________ 11113333

2222....2222.... 線形二階常線形二階常線形二階常線形二階常微微微微分方程分方程分方程分方程式式式式（（（（振動方程式振動方程式振動方程式振動方程式）））） ____________________________________________________________________________________________________________________________ 11113333

3333.... 解法の解法の解法の解法の基基基基礎１，直交関数展開礎１，直交関数展開礎１，直交関数展開礎１，直交関数展開・・・・フーリエ展開フーリエ展開フーリエ展開フーリエ展開 ____________________________________________________________________________________________ 11116666

3333....1111.... 直交関数展直交関数展直交関数展直交関数展開開開開 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11116666

3333....2222.... 有限区間フ有限区間フ有限区間フ有限区間フーーーーリエ変リエ変リエ変リエ変換換換換のののの基礎基礎基礎基礎 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11117777

3333....3333.... 無限区間フ無限区間フ無限区間フ無限区間フーーーーリエ変リエ変リエ変リエ変換換換換のののの基礎基礎基礎基礎 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11118888

3333....4444.... フーリフーリフーリフーリエ変エ変エ変エ変換換換換の注の注の注の注意意意意 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22220000

3333....5555.... フーリエ変フーリエ変フーリエ変フーリエ変換換換換の重要の重要の重要の重要なななな性性性性質質質質____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11119999 3.5.1. 微分 ________________________________________________________________ 19 3.5.2. convolution__________________________________________________________ 19

4444.... 解法の解法の解法の解法の基基基基礎２，デルタ関数と礎２，デルタ関数と礎２，デルタ関数と礎２，デルタ関数とググググリーン関数リーン関数リーン関数リーン関数 ____________________________________________________________________________________________________ 22221111

4444....1111.... デルタ関デルタ関デルタ関デルタ関数数数数 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22221111

4444....2222.... ヘビサイドヘビサイドヘビサイドヘビサイドのののの階段関階段関階段関階段関数数数数 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22222222

4444....3333.... グリーン関グリーン関グリーン関グリーン関数数数数の定の定の定の定義義義義 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22223333

4444....4444.... グリーン関グリーン関グリーン関グリーン関数数数数の例：の例：の例：の例：定定定定常常常常熱伝熱伝熱伝熱伝導導導導 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22224444

4444....5555.... 逆行列とグ逆行列とグ逆行列とグ逆行列とグリリリリーン関ーン関ーン関ーン関数数数数 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22225555

5555.... 拡散方拡散方拡散方拡散方程程程程式式式式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22226666

5555....1111.... 拡散方程式拡散方程式拡散方程式拡散方程式のののの導導導導出出出出 1111：ランダムウォ：ランダムウォ：ランダムウォ：ランダムウォーーーークククク________________________________________________________________________________________________________________________ 22226666

物理数学 II 2

5555....2222.... 拡散方程式拡散方程式拡散方程式拡散方程式のののの導出２導出２導出２導出２：：：：勾勾勾勾配に比例す配に比例す配に比例す配に比例するるるるフラッフラッフラッフラッククククスススス________________________________________________________________________________________ 22227777

5555....3333.... 次元解析と次元解析と次元解析と次元解析と拡拡拡拡散方程散方程散方程散方程式式式式のののの基本基本基本基本解解解解 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33331111

5555....4444.... 任意の初期任意の初期任意の初期任意の初期条条条条件に対件に対件に対件に対すすすするるるる解解解解____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22229999

6666.... 波動方波動方波動方波動方程程程程式式式式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33334444

6666....1111.... 波動方程式波動方程式波動方程式波動方程式のののの導出１導出１導出１導出１：：：：ばばばばねで接続さねで接続さねで接続さねで接続されれれれた質た質た質た質点点点点 ____________________________________________________________________________________________________ 33334444

6666....2222.... 波動方程式波動方程式波動方程式波動方程式のののの導出２導出２導出２導出２：：：：浅浅浅浅水波水波水波水波 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33334444

6666....3333.... 一次波動方一次波動方一次波動方一次波動方程程程程式の性式の性式の性式の性質質質質 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33335555

6666....4444.... 無限領域で無限領域で無限領域で無限領域でのののの一次元一次元一次元一次元波波波波動動動動方程式の方程式の方程式の方程式の解解解解 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 33337777

6666....5555.... 波動の分散波動の分散波動の分散波動の分散性性性性 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 33339999

6666....6666.... 固定端の条固定端の条固定端の条固定端の条件件件件下での下での下での下での一一一一次次次次元波動方程元波動方程元波動方程元波動方程式式式式 ____________________________________________________________________________________________________________________________ 44441111

7777.... ラプララプララプララプラスススス・ポアソン方程式・ポアソン方程式・ポアソン方程式・ポアソン方程式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 44444444

7777....1111.... 拡散方程式拡散方程式拡散方程式拡散方程式のののの定常状定常状定常状定常状態態態態ととととしてのラプしてのラプしてのラプしてのラプララララス方程ス方程ス方程ス方程式式式式 ____________________________________________________________________________________________ 44444444

7777....2222.... 波動方程式波動方程式波動方程式波動方程式のののの定常状定常状定常状定常状態態態態ととととしてのラプしてのラプしてのラプしてのラプララララス方程ス方程ス方程ス方程式式式式 ____________________________________________________________________________________________ 44444444

7777....3333.... ポアソン方ポアソン方ポアソン方ポアソン方程程程程式式式式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 44444444

7777....4444.... ラプラス方ラプラス方ラプラス方ラプラス方程程程程式の基式の基式の基式の基本本本本解解解解____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 44445555

8888.... 解法の解法の解法の解法の基基基基礎３，固有値・固有礎３，固有値・固有礎３，固有値・固有礎３，固有値・固有関関関関数数数数 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 44448888

8888....1111.... PPPPeeeerrrrsssseeeevvvvaaaallll''''s s s s rrrreeeellllaaaattttiiiioooonnnn ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 44449999

8888....2222.... 境界条境界条境界条境界条件件件件 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 44449999

8.3.8.3.8.3.8.3. シュツルムシュツルムシュツルムシュツルム・・・・リューリューリューリュービビビビルルルル型の固有関型の固有関型の固有関型の固有関数数数数問問問問題題題題 ____________________________________________________________________________________________________ 55550000

8888....4444.... スツルム・スツルム・スツルム・スツルム・リリリリュービュービュービュービルルルル問問問問題＝対称行題＝対称行題＝対称行題＝対称行列列列列 ____________________________________________________________________________________________________________________________ 55551111

8.5.8.5.8.5.8.5. 随伴微分方随伴微分方随伴微分方随伴微分方程程程程式式式式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 55552222

8888....6666.... スツルムリスツルムリスツルムリスツルムリュュュュービルービルービルービル問問問問題題題題のいくつかのいくつかのいくつかのいくつかのののの性質の性質の性質の性質の証証証証明明明明________________________________________________________________________________________ 55555555

8888....7777.... スツルムリスツルムリスツルムリスツルムリュュュュービルービルービルービル問問問問題題題題への変への変への変への変形形形形 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 55556666

8888....8888.... スツルム・スツルム・スツルム・スツルム・リリリリュービュービュービュービルルルル問問問問題を構成す題を構成す題を構成す題を構成するるるる方程方程方程方程式式式式 ____________________________________________________________________________________________________ 55556666

8.9.8.9.8.9.8.9. シュレディシュレディシュレディシュレディンンンンガー方ガー方ガー方ガー方程程程程式式式式・井戸型ポ・井戸型ポ・井戸型ポ・井戸型ポテテテテンシャンシャンシャンシャルルルルのののの固有値・固固有値・固固有値・固固有値・固有有有有関関関関数数数数 ________________ 55557777

8888....10101010.... 固有値・固固有値・固固有値・固固有値・固有有有有関数が関数が関数が関数が複複複複素素素素数の場数の場数の場数の場合合合合 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ 55559999

9999.... 特殊関特殊関特殊関特殊関数数数数（ベッセル関数）（ベッセル関数）（ベッセル関数）（ベッセル関数）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66660000

物理数学 II 3

9999....1111.... ベッセル関ベッセル関ベッセル関ベッセル関数数数数の母関の母関の母関の母関数数数数 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66660000

9999....2222.... ベッセル関ベッセル関ベッセル関ベッセル関数数数数の微分の微分の微分の微分のののの性性性性質質質質____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66661111

9999....3333.... ベッセルのベッセルのベッセルのベッセルの微微微微分方程分方程分方程分方程式式式式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66661111

9999....4444.... 第二種のベ第二種のベ第二種のベ第二種のベッッッッセル関セル関セル関セル関数数数数（（（（ノイマン関ノイマン関ノイマン関ノイマン関数数数数）））） ____________________________________________________________________________________________________________________ 66662222

9999....5555.... 円形膜の振円形膜の振円形膜の振円形膜の振動動動動 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66663333

10101010.... 超関数超関数超関数超関数 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66668888

10101010....1111.... 超関数の導超関数の導超関数の導超関数の導入入入入と汎関と汎関と汎関と汎関数数数数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66668888

10101010....2222.... 超関数の定超関数の定超関数の定超関数の定義義義義 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66668888

10101010....3333.... 超関数の超関数の超関数の超関数の台台台台 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66669999

10101010....4444.... 超関数の微超関数の微超関数の微超関数の微分分分分と極と極と極と極限限限限____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 66669999

10101010....5555.... 超関数の直超関数の直超関数の直超関数の直積積積積と合成と合成と合成と合成積積積積____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77770000 10.5.3. 超関数の直積 ______________________________________________________ 70

10101010....6666.... 超関数の合超関数の合超関数の合超関数の合成成成成積積積積 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77771111

11111111.... 非線型非線型非線型非線型波波波波動動動動 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77772222

11111111....1111.... 一階準線形一階準線形一階準線形一階準線形偏偏偏偏微分方微分方微分方微分方程程程程式式式式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77772222

11111111....2222.... ロジスティロジスティロジスティロジスティッッッック方程ク方程ク方程ク方程式式式式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77775555

11111111....3333.... バーガースバーガースバーガースバーガース((((BBBBuuuurrrrggggeeeerrrrssss))))方方方方程式程式程式程式 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77776666

11111111....4444.... コールホッコールホッコールホッコールホッププププ変変変変換換換換 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 77779999

11111111....5555.... 波の融波の融波の融波の融合合合合 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 88880000

11111111....6666.... KKKKddddVVVV方程式方程式方程式方程式________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 88881111

11111111....7777.... 双一次形式双一次形式双一次形式双一次形式（（（（授業で授業で授業で授業ではははは示示示示さずさずさずさず）））） ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 88884444

物理数学 II 4

1. はじめに

物理学の問題多くは，偏微分方程式として表現されてきた．考えている偏微分方程式を

簡単化して常微分方程式に帰着できることも事実であるが，そのような物理系も完全に記

述しようとすれば偏微分方程式の領域に属する問題となる．

なにごともそうであるが，偏微分方程式を扱う立場には，かなり難しい厳密な数学的な

理論と，さほど難しくない応用とがある．本講義では，応用的な視点から議論を展開する．

1.1. 偏微分方程式とはなにか

偏微分方程式とは偏導関数を含む方程式のことである．２つ以上の独立変数がある場合

には，その内の一つの変数に関する導関数を偏導関数として，¶ ¶u x/ などと書かれる．

例えば，気温 Tは場所によって異なるし，時間によってもことなるので，T(x,y,z,t)と表され

る．そして例えばある地点での気温の時間変化は¶ ¶T x/ と表される．この場合，空間３

成分と時間の，計４つの独立変数がある．従って，空間２次元以上が必要な現象（例えば

定常な膜の形状），あるいは時間と空間に渡る現象（例えば波動），は本質的に偏微分方程

式で表される．我々が住んでいる４次元空間において生ずる現象の理解には，偏微分方程

式の理解が欠かすことができない．逆に言って偏微分方程式は，物理現象を空間微分と時

間微分の関係という形式で記述するものである．

1.2. 偏微分方程式の理解とは

本講義の目的は偏微分方程式を理解することであるが，理解するとはより具体的には次

の事項が達成されることであろう

1) 偏微分方程式を見て解の振る舞いが予想できる

2) 偏微分方程式を解くことができる

3) 物理の現象を偏微分方程式の形に定式化することができる

物理数学 II 5

特に(1)は重要である．一般に，多くの物理現象が同じ偏微分方程式で表される．すなわち，

偏微分方程式の解の振る舞いが理解できていれば，それが登場する全ての物理現象をある

程度理解したと言える．このような視野を諸君に身につけてもらうことが，本講義の眼目

である．しかしながら，解の振る舞いを予想するためには，(2)の偏微分方程式を解くこと

もある程度必要である．また，(3)ができるようになれば，数学と現実の関連を教科書に頼

らず，諸君自身でより深く考察することもできるだろう．

1.3. 記号など

偏微分・常微分等に関する記号は既に様々な授業で学んでいることと思うが，一般的に

用いられている表記の内，本授業で扱う記号をこの節で一括して紹介しよう．

全微分 d u

d x

u x x u x

xx=

+ -®

lim( ) ( )

D

DD0

, uは xのみを独立変数とする関数: u=u(x)

偏微分 ¶¶

u

x

u x x y u x y

xx=

+ -®

lim( , ) ( , )

D

DD0

を , uは xと yを独立変数とする関数:

u=u(x,y)

¶¶

u

x

u x x y z u x y z

xx=

+ -®

lim( , , ) ( , , )

D

DD0

, u=u(x,y,z)

¶ ¶u x/ を偏導関数と呼ぶ．ある点 x0,y0での偏導関数を¶ ¶u x x y/ ( , )0 0 と表す．

上の例では，従属変数: u, 独立変数: x,y,z

なお，複数の独立変数のある変数だけ一定値を持たせる場合には，

u u x yx x= º0 0( , )

という標記も用いられる．左の表現は右の表現に比べて，xだけを定数にしているという意

味が見て取り易い．

関数の連続性：u(x,y,z) である点 x0,y0,z0に近づける時，近づける方向によらず

物理数学 II 6

lim ( , , )( , , ) ( , , )x y z x y z

u x y z® 0 0 0

が一定の値を持てば，関数 uは x0,y0,z0において連続であるとい

う．関数が連続である場合は，¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶2 2u x y u y x/ /= が成り立つ．

関数 uが n階までの全ての偏導関数を持ち，これらがすべて連続ならば，n階連続微分可

能な関数と呼び，Cn関数または Cn級関数などと呼ばれる．

次の二つの記号, Ñ, D, はよく用いられる．それぞれの定義は

Ñ º º + +u grad u iu

xj

u

yk

u

z( )

r r r¶¶

¶¶

¶¶

Duu

x

u

y

u

zº + +

¶¶

¶¶

¶¶

2

2

2

2

2

2

である．Ñはナブラ，Dはラプラシアンと呼ばれる．上の定義は３次元空間のものであるが，

２次元空間中においては各々最後の項を除けば良い．なお，後に利用する２次元極座標((r, q),

x=r cosq, y=r sinq) 上でのラプラシアンは，

Duu

r r

u

r r

u= + +

¶¶

¶¶

¶¶ q

2

2 2

2

2

1 1 (1.31)

となる．こうなることは合成関数の微分で証明できるが，式が煩雑であるのでここでは省

略する．

1.4. 偏微分方程式の種類

偏微分方程式はいろいろな基準によって分類される．分類が重要なのは一般的な理論や解

法はある特定の種類の偏微分方程式にしか適用できないからである．基本分類基準は次の

６通りである．

1) 偏微分方程式の階数 方程式中の偏導関数の最高次数を，微分方程式の階数という．

例えば，

u ut xx= は２階

u ut x= は１階

物理数学 II 7

u uut xxx= は３階

2) 独立変数の個数 例えば，

u uut xxx= は２変数

u uxx yy+ = 0 は２変数

f f f ft x x z+ + + = 0 は３変数

3) 線形か非線型か

線形方程式とは，従属変数およびその偏導関数の係数に従属係数を含まないものである．

たとえば

f f f ft x x z+ + + = 0 は線形

u uut xxx= は非線形

xu yu xt x+ + =sin( ) 0 は線形

線形方程式であれば，だいたい解を求めることができる．特に定数係数である場合の解を

求めることは，多くの計算を必要とする場合もあるが，straightforwardに可能である．

なお，最高階の偏導関数の係数がよりそれよりも低い階数偏導関数のみを含むときに，

準線形(quasi-linear)といわれる．たとえば，２階の微分方程式では

uu u uxx x yy+ = 0

は準線形であるが，

u u uxx x yy2 0+ =

は準線形ではない．また最高階偏導関数の係数に未知数がふくまれていないときは，特に

半線形(semi-linear)といわれる．

4) 同次(homogeneous)方程式か非同次(inhomogenous)方程式か

物理数学 II 8

従属変数を含まない項は，非同次項という．この項が恒等的にゼロであるときに，その

方程式を同次方程式と呼び，この項が恒等的にゼロではないときにその方程式を非同次方

程式と呼ぶ．非同次項は多くの場合，システムに対する外力の働きを表現している．

5) 係数が定数か変数か

従属変数の係数(coefficients)定数であるとき定数係数であるという．それ以外のときは変

数係数であるという．

6) ２階線形方程式の３つの基本型

一般に２階線形方程式は次のように書ける．

GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++

ここで B2-4ACの符号がゼロか正か負かで次のように分類する．

a) 放物型方程式

熱や拡散の過程を記述するもので，B2-4AC=0

例） u ut xx- = >k k0 0, 一次元熱拡散（物質濃度拡散）方程式

b) 双曲型方程式

振動や波動を記述するもので，B2-4AC>0

例） u c utt xx- =2 0 一次元波動方程式

c) 楕円型方程式

定常状態の現象を記述するもので，B2-4AC<0

例） u uxx yy+ = 0 二次元ラプラス方程式，定常熱分布・定常な膜の形状

u u f x yxx yy+ = ( , ) 二次元ポアソン方程式

物理数学 II 9

u u uxx yy+ + =l2 0 ヘルムホルツ方程式

( )u u k E V x y uxx yy+ + - =( , ) 0 シュレーディンガー方程式

変数係数の場合はまれに独立変数の値によって，どの型となるかが変わるものがある．

例) yu u

y

y

yxx yy+ =

>=<

ì

íï

îï

0

0

0

0

,

のとき楕円型のとき放物型のとき双曲型

1.5. 初期条件・境界条件

微分方程式の性質の議論にとどまらず，実際に解く場合には，適切な初期条件・境界条

件が必要である．また，これらの条件は

a) 初期条件・境界条件ともに与えられるもの

b) 初期条件のみが与えられるもの（無限領域）

c) 境界条件のみが与えられるもの（定常問題）

物理的な現実からすれば，(a)が最もありそうであるが，数式で扱う上では(b)または(c)で与

えられる場合が多い．すなわち，(b)もしくは(c)の方が，一般に(a)に比べて扱いがはるかに

簡便である．これは，良くも悪くも「科学は物事の一面からのみ光を当て，影になったも

のを無視する(ゲーテの言葉)」ということでもある．

1.6. 必要な初期値・境界値の数

前節で述べたように初期条件・境界条件が必要であるのだが，この問題についてより具

体的に考えてみよう．特にこの節を設けたのは，諸君に問題を出すと，初期値・境界値に

関する理解が不十分であるために，問題を全く誤解した条件の下で解こうとすることがま

物理数学 II 10

ま見られるためである．

最も簡単な

u ax =

という微分方程式を考えよう．この式は，

u ax bx = +

という一般解を持ち，定数 bだけの不確定性を持っている．この場合に，bの値が定まれば

解は一意に定まるので，例えば，上の微分方程式が区間(0, 1) で定義されているとすれば，

u(0) あるいは u(1) のどちらかが与えられれば解は求められる．仮に u(0) と u(1)が与えられ

るのであれば，一般には両方を満たす解は存在しない．すなわち，１変数の一階微分方程

式の解を特定するには，初期もしくは境界値は一つだけ必要であり，二つあるいはそれ以

上の初期値・境界値を満足する解は存在しない．

２階微分方程式

u axx =

の一般解は，u ax bx cx = + +2 で未知数は bと cの二つであるから，二つの条件が与えられ

れば解は確定する．この微分方程式が(0, 1)で定義されているのであれば，u(0)と u(1)を与え

れば bと cは共に求まる．これとは異なって，u(0)と ux(0)を与えるのでも良い．

一般に n次元の1m解偏微分方程式の解を特定するには，n×m個の初期・境界条件が必要

である．また，それ以上の初期・境界条件を満足する解は一般に存在しない．

1.7. 解法の概観

偏微分方程式を解くにあたって実際に有用な方法は，以下に述べるように数多くある．

ある解法は，ある方程式にしか有効でないことが多いので，どの方法がどの方程式に有効

1 空間２次元で時間を含む方程式ならば，空間２次元・時間１次元であわせて３次元である．

物理数学 II 11

であるのかを理解することが必要である．

変数分離 n変数の偏微分方程式を n個の常微分方程式に変換する．

座標変換 適切な座標に変換することで，偏微分方程式を常微分方程式にあるいはより扱

いやすい偏微分方程式に変換する．

例）円筒の流れ：円筒座標系に変換

地球の固有振動：球面座標系に変換

積分変換 フーリエ変換・ラプラス変換．一般に境界値問題にはフーリエ変換を初期値問

題にはラプラス変換を用いる．線形方程式に対して有効．

固有関数展開 偏微分方程式の解を固有関数の無限和（実用的には最初のいくつかだけで足

りる場合が多い）．これらの固有関数は元の問題に対応するいわゆる固有値問題を解く

ことにより求められる．

グリーン関数法 例えば外力をインパルスに分解し，単位インパルスに対する系の応答を

求めた上で，与えられた外力に合うように系の応答を足しあわせる方法．

特性曲線法 特性曲線の上の積分として，解を得る．非線型問題にも有効である．

摂動法 非線型問題を，一連の線形問題の解法に変える方法．

従属変数の変換 偏微分方程式に含まれる未知関数を，求めやすい新しい未知関数に変換

相似解 ある解と相似な解が得られると仮定して解く方法

変分法 最小化問題の形に方程式を書き直して，偏微分方程式の解を求める方法．全エネル

ギーなどの最小値が解になっていることが多い．

積分方程式 偏微分方程式を，積分の中に未知関数を含む形の積分方程式に変える方法．

積分方程式はまたいろいろな方法で解かれる．

等角写像 複雑な形状の下での２次元ラプラス方程式の解を，より簡単な形状の下での２次

ラプラス方程式を解くことで得る方法．流体力学などで出現するが応用はごくかぎら

れている．

物理数学 II 12

数値計算 微分を差分に変えて計算機を用いて解く方法．可能な方法がこれしかない場合

も多い．

この中で，３～５は主として線形問題に有効である．すなわち，これらの解法は線形問題

では解の重ねあわせ(superposition)が可能であるという，事実を利用している．例えば，積

分変換の最も重要な手法であるフーリエ変換を用いて微分方程式を解くことは，波数

（k=2p/L, Lは波長）毎に解を求めてそれを足しあわせたものが求める解とする手法である．

また，異なる波数を独立に扱えない場合に，波数成分に代わって独立に扱うことの可能な

関数が固有値関数である．すなわち，固有関数を用いて微分方程式を解くことは，個々の

固有関数毎に解いて，それを足しあわせたものが求める解とすることである．Green関数を

用いる解法は，例えば外力について Green関数で表現する場合は，インパルスに対する応答

をまず求める．そして与えられた外力をインパルスの重ねあわせで表現する．すると解は，

インパルス応答の重ねあわせで表現される．

本講義では，まず定数係数１・２階常微分方程式と１階偏微分方程式を簡単に紹介した後

に，２階線形偏微分方程式の内，放物型・楕円型・双曲型の代表的な方程式である，拡散

方程式・ラプラス方程式（ポアソン方程式）・波動方程式について解説しよう．またその際

に，線形方程式の解法である，フーリエ変換・グリーン関数についても解説する．次にシ

ュレーディンガー方程式を対象として，固有値関数を解説しよう．円筒座標系で表される

のが適当な点原からの２次元波動やあるいは膜の振動などは，固有関数としてベッセル関

数を持ち，また球面上の振動はルジャンドル関数を固有関数として持つことも示そう．こ

の当たりまでは，どの偏微分方程式の教科書でも共通して取り扱う内容である．さらなる

延長は，執筆者もしくは講義担当者の好みが出る部分であろう．そこで私の好みとしては，

波動方程式に関連して，一階偏微分方程式の特性曲線解法を紹介した後に，非線型の方定

式であるバーガース方程式と KDV 方程式を解説しよう．これらは様々な領域で注目を集め

たソリトン解を持つ方程式である．

物理数学 II 13

2. 定数係数１・２階常微分方程式の復習

2.1. 線形一階常微分方程式（成長・減衰方程式）

f a ft - = 0 (2.11)

ここで fは時間の関数、aは定数である。この方程式は、

f f eat= 0 (2.12)

という解を持つ。従って、aが実数ならば、a>0の時は指数的成長、a<0の時は指数的減衰

を表す。

2.2. 線形二階常微分方程式（振動方程式）

f a ftt + =2 0 (2.2-1)

この方程式は、振動方程式と呼ばれ、三角関数もしくは複素指数関数がその解である。つ

まり、cos(at), sin(at), exp(-iat), exp(iat)が解となっている2。今 fを変位とするならば、左辺第

１項は加速度を、第２項は変位に逆らう復原力を表している。すなわち、振動するという

特性は、復原力の働く物理系が一般に持つ性質である。ちなみに、第２項にかかる符号が

正の代わりに負であるのならば、やはり指数的な成長・減衰を記述する方程式となる。

2 一般解を記述するには、sin, cos の組か、exp(-at), exp(at) の組が利用される。

物理数学 II 14

(2.21)に一階微分項が吹かされた次の方程式は，減衰振動の式と呼ばれる。

f a f b ftt t+ + = 0 (2.2-2)

(2.22)式の第２項は、fを変位とするならば、速度に比例する減衰を表している。現実には多

少なりとも摩擦による減衰が生ずる。その効果を無視し得る場合には(2.21)を、無視し得な

い場合には(2.22)によって、系の記述を行う。

練習問題 2.1. f i ft + =w 0 でωが実数（すなわち上の一階の場合の aが純虚数に相当）

の場合に，解が振動解であることを示せ．

が得られることから容易に分かる．純虚数ではなく，複素数を含む次の式

0 1 2-10

0

10

成長振動減衰振動

図 2.2-1. 成長振動および減衰振動の例

練習問題 2.1. f i ft + =w 0 でωが実数（すなわち上の一階の場合の aが純虚数に相当）

の場合は， 02 =+ ff tt w と等価であることを示せ．

練習問題 2.2 ( )f r i ft + - + =w 0 の解が成長･減衰振動解となることを示し，r とωは物

物理数学 II 15

理的になにを表す量かを説明せよ．

練習問題 2.3 方程式 0=++ bfaff ttt の解が， ))exp((0 tirff w+= であると仮定して，与

えられた方程式の解を得よ。

物理数学 II 16

3. 解法の基礎１，直交関数展開・フーリエ展開

3.1. 直交関数展開

ある関数をフーリエ級数（関数）や固有関数に展開する方法は基本的に同じである．す

なわち展開する関数系のおのおのの関数が互いに直交するという性質を利用する．展開す

る関数系が gn, n=0, 1, 2,...であるとすると，その各々が直交することの定義は

g r g r drn m

n mn m

D

( ) ( ),

,*ò

¹ == ¹

ìíî

0

0 (3.1-1)

として与えられる．ここで Dは関数の定義域を示す．また，関数が一次元空間で定義され

るなら積分 drは線積分，２次元空間で定義されるなら面積分，３次元空間で定義されるな

ら体積積分である．この際に関数 fを次のように展開(expand)する

f r F g rn nn

( ) ( )==

¥

å0

(3.1-2)

その第m番目の展開係数は，両辺に gm* （*は共役複素数）をかけて，Dで積分することで

得られる．すなわち，

F g g dr F g g dr F g g drn n mnD

nn

n m

D

m m m

D

* * *

=

¥

=

¥

åò å ò ò= =0 0

(3.1-3)

であるから，

òò=D

mm

D

mm drggdrgfF ** (3.1-4)

として展開係数が得られる．直交であることに加えて，

g r g r drn m

n mn mD

( ) ( ),

,*ò

¹ == ¹

ìíî

1

0 (3.1-5)

となる場合は，正規直交と呼ぶ．ここで正規とは，関数の２乗積分が１となることである．

正規であれば，例えば(3.14)の分母が１であるというように，若干計算は楽になるが本質的

に重大な意味を持つものではない．重要なことは，直交するということである．

物理数学 II 17

3.2. 有限区間フーリエ変換の基礎

フーリエ変換とは，上の直交関数に三角関数を用いるものである．関数を周波数成分の

合成で表現するものである．したがって，有限区間 x L L= -( , )で定義される関数 fのフー

リエ級数 Fnは次式で定義しよう，

f x F in

Lxn

n

( ) exp= æèç

öø÷=

¥

å p

0

(3.2-1)

ここで Fnを得たい．そこで，

( )exp exp exp

n ix

L

m ix

Ldx

i n m x

Ldx

L

L

L

Lp p pæèç

öø÷

-æèç

öø÷

=-æ

èç

ö

ø÷

- -ò ò

を求めよう．ここで，n=mの場合は明らかに

( ) ( )exp exppi n m x

Ldx dx dx L

L

L

L

L

L

L-æ

èç

ö

ø÷ = = =

- - -ò ò ò0 1 2

また，n¹mの場合は

( ) ( )

( )( ) ( )( )[ ]

exp( )

exp

( )exp exp

pp

p

pp p

i n m x

Ldx

L

i n m

i n m x

L

L

i n mi n m i n m

L

L

L

L-æ

èç

ö

ø÷ =

--æ

èç

ö

ø÷

é

ëêê

ù

ûúú

-- - - - =

- -

ò

0

用いると(3.14)式より，

FL

fm ix

Ldxm

L

L

=-æ

èçöø÷

-ò

1

2exp

p (3.2-4)

によって，フーリエ係数が求められる．

f(x) F(x)

フーリエ変換

フーリエ逆変換(時間領域time domain)

(周波数領域frequency domain)

物理数学 II 18

なお，ここでは-L, Lの区間で定義したが，有限区間のフーリエ変換は 0,Lなど他の適当

な区間でも同様に定義できる．また，ここでは複素指数関数を用いたが，sin, cosで定義し

ても良い．複素指数関数と sin, cosが表裏一体の関係にあることは複素関数論で学んだこと

と思う．sin, cosを用いるのが特に有利である場合は，そのどちらか一方だけを考慮すれば

良い場合である．例えば 0,Lの区間でのフーリエ級数展開を u=0 at x=0の条件の下で行うの

であれば，sinのみを考えれば良い．このような，sin, cosのどちらかのみを利用し得る境界

条件が与えられていない場合には，一般に指数関数を用いる方が計算が簡便である．

3.3. 無限区間フーリエ変換の基礎

無限区間でもフーリエ変換は用いられるが，フーリエ変換を古典的な関数の範囲で定義

する場合には，絶対可積分可能，すなわち ò¥

¥-dxf が有限の値となる必要がある．これは

例えば f=1のような簡単な関数でもフーリエ変換はできないということであり，フーリエ変

換の応用には強い制約となる．ただし，無限遠では振幅がゼロとなる物理現象を考える場

合には，有限区間同様に扱うことが可能である．

f x F in

Lxn

n

( ) exp= æèç

öø÷=

¥

å p

0

と

ò-

÷øö

çèæ -

=L

L

n dL

inf

LF x

xpexp

2

1

から，

å ò¥

-¥= -

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ -

=n

L

L

xL

nid

L

inxf

Lxf

px

xpexpexp)(

2

1)(

が成り立つ．ここで，L→∞の極限を考えて，総和式を積分に Lnk /p= として変換すると

( ) ( )ò ò¥

¥-

¥

¥-÷÷ø

öççè

æ-= dkikxdikxfxf expexp)(

2

1)( xx

p

これは元の関数 f に演算を行って，別な関数にした後に，また他の演算を行ってもとの関

数に戻している．この際に最初の演算をフーリエ変換，後の演算をフーリエ逆変換と定義

すれば，

物理数学 II 19

( )

( )ò

ò¥

¥-

¥

¥-

=

-=

dkikxkFxf

dikxfkF

exp)(2

1)(

exp)()(

p

xx

となる．人によっては，変換式を対称にするために，

( )

( )ò

ò¥

¥-

¥

¥-

=

-=

dkikxkFxf

dikxfkF

exp)(2

1)(

exp)(2

1)(

p

xxp

とする例もあるが本質には影響しない．一度決めた定義を使いつづければ良い．

3.4. フーリエ変換の重要な性質

3.4.1. 微分

フーリエ変換 ( ) ( )dxikxxfkF ò¥

¥--= exp)( では以下の性質がある．

( ) ( )dxikxdxdfkikF ò¥

¥--= exp/)(

( ) ( ) ( )dxikxdxfdkFik nnn ò¥

¥--= exp/)(

証明

( ) ( ) ( )[ ] ( ) )(expexpexp/ kikFdxikxfikikxfdxikxdxdf =-+-=- òò¥

¥-

¥¥-

¥

¥-

以下同様にして高階微分についても示すことができる．

3.4.2. convolution

関数 fと gとの convolution gf * は

( ) ( )ò -º* xxx dxgfgf

で定義され，各々の関数のフーリエ変換を ][],[ gFfF とすれば，

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ][][expexp

)exp(]*[

gFfFdikgdikf

dxikxdxgfgfF

=--=

--=

òòò ò

¥

¥-

¥

¥

¥

¥

¥

¥-

hhhxxx

xxx

の性質がある．すなわち，ある既知関数のフーリエ変換の積が得られた時には，その逆変

換は各々の関数の convolution として与えられる．フーリエ変換に限らず，他の積分変換で

物理数学 II 20

もこの性質は成り立つ．

3.5. フーリエ変換の注意

定数係数線形微分方程式で、時間あるいは空間に振動する現象である場合には、フーリ

エ変換が有用。フーリエ変換は分を ik の積にしてくれるので、微分方程式が代数方程式に

なる。そこで、

微分方程式のフーリエ変換⇒代数方程式⇒代数方程式を解く⇒解の逆フーリエ変換⇒解

を得る

という手順で微分方程式の解を得ることができる。定数係数常微分方程式において解を

exp(λx)などと仮定したのも、実はフーリエ変換をしていることに他ならない。ただし初期

値問題にはラプラス変換の方が適している。

フーリエ変換は非常に有用であるが，全ての方法がそうであるように万能では無い．フ

ーリエ変換が有効であるためには，方程式の係数が定数である必要がある．方程式の係数

が一定ではない場合にはフーリエ変換は一般に使用できない．しかし，その場合でも直交

関数を用いて方程式を解くことが可能な場合があり，そのような直交関数を固有関数固有関数固有関数固有関数と呼

ぶ．固有関数については後に学ぶ。

物理数学 II 21

4. 解法の基礎２，デルタ関数とグリーン関数

4.1. デルタ関数

物理では現象を理想化して考える．たとえば，質点は体積を持たないと仮定する．では

質点の密度はどのような値となるだろうか？直感的に無限大となることは理解できるだろ

う．しかし単に無限大と言ったのでは，この密度と質点の質量との間の関係は定められて

いない．通常密度を空間積分すれば，質量が得られる．この関係が質点についても成り立

つよう質点の密度を定義をすれば，

( )òòò =v

mdvzyx ,,r

( ) ( ) ( )( ) ( )î

íì

¹=¥

=000

000

,,,,,0

,,,,,,,

zyxzyx

zyxzyxzyxr

となる．このようにある一点以外ではゼロであるが，積分をすると有限の値となる量は，

理想化を行うと様々に現れる．例えば，弦を一点で引っ張る場合の荷重，物体が衝突する

瞬間に働く力（力積は有限），他にも例を挙げればきりがない．したがって，上のような性

質を持つ関数をあらかじめ定義しておけば非常に便利であろう．その関数がディラックの

デルタ関数（もしくは単にデルタ関数，クロネッカーのデルタ関数とは異なる）である．

すなわち，デルタ関数は

( ) ( ) ( )ò =-D

rfdvrfrr 00

rrrrd

で定義される。すなわち，ある関数にデルタ関数をかけて積分すると，デルタ関数が非ゼ

ロとなる地点の値が抜き出される．またこの定義から次の性質を持つことが直ちに示され

る。

( )ò =D

dvr 1r

d (4.1-1)

( )îíì

¹=¥

=0,0

0,

r

rr r

rr

d

の性質を持つ．

具体的な関数の極限としてデルタ関数を定義する場合もある．いろいろな関数が有り得

るが，本授業で後に有益であるのは，ガウス関数による定義であろう．ガウス関数とは，

)/exp( 22 ax-

と定義され，原点から遠ざかるにつれて振幅が減衰する，いくつかある関数の代表的なも

のである．ガウス関数の積分は練習問題 4.3で求めるように ò¥

¥-=- adxax /)/exp( 22 p と

なるので，(4.1.-1)を満足するためには，一次元空間におけるデルタ関数は

物理数学 II 22

pd /)/exp()( 22

0lim aaxx

a

-=®

と定義することができる．

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1exp(-x2)

図4.1-1 ガウス関数。

グリーン関数は，ある外力と系の応答との間をつなげる関数であり，線形代数の逆行列

を微分方程式に持ち込んだものとなっている．線形システムでは，外力と系の応答との間

に直接的な因果関係を求めることが可能であり，その表現がグリーン関数であるとも言え

る．解を得る上でのメリットとしては，一旦グリーン関数さえ求めてしまえば，外力がど

のようなものであっても，系の応答を簡単に求めることができるという利点がある．より

具体的に言うと後に見るように，外力がデルタ関数で与えられるときに系の応答を記述す

る関数がグリーン関数であり，その点から impulse responseとも呼ばれる．グリーン関数を

具体的に求める方法は，実にさまざまな方法が存在する．どの方法を用いようと，あるシ

ステムに対するグリーン関数はもちろん同じものが得られるので，ここでは解法の子細に

は立ち入らずに，物理的な理解を深めるために，いくつかの簡単な例についてグリーン関

数による解釈を紹介しよう．

空間・時間に与えられた単位大きさの外力が，システムに与える影響を記述するもので

ある．システムが線形であるならば，単位大きさの外力に対する応答を重ねあわせること

で，全体の応答を求めることができる．

4.2. ヘビサイドの階段関数

デルタ関数を積分したものがヘビサイドの階段関数である．すなわち，

( ) ( )ò ¥-=

xdxH xxd

この関数は明らかに

( )îíì

><

=0,1

0,0

x

xxH

物理数学 II 23

となる．また形式的に

( ) ( )xxd

xHdd=

とも書ける．この関数は例えば，時間ゼロから一定の外力が作用する場合(switch on forcing)

などによく用いられる．

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1H(x)

図4.2-1 ヘビサイドの階段関数．

4.3. グリーン関数の定義

グリーン関数は，系(システム)に対する入力と出力の間をつなげる関数であり，線形代数

の逆行列を微分方程式に持ち込んだものとなっている．入力としては外力（方程式の非同

次項）が多く用いられるが，5.3節で学ぶように初期値についてグリーン関数を定義するこ

ともできる．線形システムでは，入出力の間に直接的な関係を求めることが可能であり，

その表現がグリーン関数である．解を得る上でのメリットとしては，一旦グリーン関数冴

え求めてしまえば，外力（もしくは初期値）がどのようなものであっても，系の応答を簡

単に計算できるという利点がある．

より具体的に言えば後に見るように，外力（初期値）がデルタ関数で与えられる時に系

の応答を記述する関数がグリーン関数であり，そのために impulse response とも呼ばれる．

線形システムでは，impulse response の重ねあわせとして任意の外力（初期値）に対する系

の応答を求めることができる．

グリーン関数を具体的に求めるには，様々な方法が存在する．どの方法を用いようと，

あるシステムに対するグリーン関数はもちろん同じものが選られる．偏微分方程式におい

てグリーン関数を求めるのは，5章以降で行うこととして，この節ではグリーン関数の定義

を与え，また次の4.4節において簡単な常微分方程式についてグリーン関数を求めてみよう．

ある系において，系の応答が u(x, t), 外力が f(x, t)であるとする．この時，グリーン関数G x t x tu u f f( , ; , )r r

は次のように定義される，

物理数学 II 24

fu

t

ffffx

ffuuuu ttdtxdtxftxtxGtxuu

f

³= ò ò¥-

,),(),;,(),(rrrrr

r

外力がデルタ関数で与えられる場合 )()(),( 00 ttxxtxf ffff --= ddrrr

は，デルタ関数の性

質より

000

00

),,;,(

)()(),;,(),(

tttxtxG

dtxdttxxtxtxGtxu

uuu

t

ffff

x

ffuuuu

u

f

³=

--= ò ò¥-rr

rrrrrrr

dd

となる．この式からグリーン関数が，ある時間と場所に与えられた impulse入力（デルタ関

数）に対する応答，すなわち impulse responseとなっていることが分かる．デルタ関数に対

する応答を一般に微分微分微分微分方方方方程式程式程式程式のののの基本解基本解基本解基本解という，線形微分方程式の場合微分方程式の基本解

は無限領域におけるグリーン関数に一致する．非線形微分方程式の場合，一般には解を上

のような impulse入力に対する解の重ねあわせでは解くことができず，グリーン関数は定義されない．なお，ここで， t tu ³ 0また t tu f³ としているのは，外力の入力に先立って系の

応答はありえないという物理的な因果関係を考慮している．積分範囲にこのような条件を付さずに，G x t x t t tu u f f u f( , ; , )

r r= <0 としても良い．

4.4. グリーン関数の例：定常熱伝導

次の１次元のポアソン方程式をグリーン関数を用いて解いてみよう．

1and00

10),(2

2

==

<<=

xatu

xxfudx

d

ポアソン方程式は，外力のある熱伝導あるいは波動方程式の定常問題と考えられるので，

この問題は加熱・冷却のある場合の１次元熱伝導の定常解，および外力が作用する下での

１次元の弦の釣り合いの問題と考えることができる．まず次のグリーン関数に対する解を

求めよう．

100

10),()(2

2

andxatv

xxxvdx

d

==

<<-= xd

外力が作用する点以外では，曲率がゼロなので直線で表される．また，

d

dxv x dx v v x dx x

2

21( ) ( )= - = - =

+ --

+

-

+

òò x xx

x

x

x

d x x

従って，x<ξで v=αx, x>ξで v=βx +cとすると，上の式からβ-α=1連続の条件からαξ=

物理数学 II 25

βξ+c，また x=1での境界条件からβ+c=0でなくてはならない．これらを連立させて解く

と，

v xx x

x x( )

( ) ,

,=

- <- >

ìíî

x xx x x

1

である．これがグリーン関数に他ならないので，

îíì

>-<-

=xxxxx

xxx

xxxG

,

,)1();(

として

u x G x f d( ) ( ; ) ( )= ò x x x0

1

が解である．

4.5. 逆行列とグリーン関数

また，行列 A が正則行列である場合には，行列の階数は行列の列・行数に一致し，この

時逆行列が定義される．逆行列を用いて任意の外力 f(I)に対する，解 u(i)は，

fAurr 1-=

と表されることは，すでに良く知っているとおりである．これを微分方程式で書き直すな

らば，

fLu 1-=

と表される．ここで L-1は逆行列 A-1と同等の機能を果たす演算子である．この演算子を具

体的に記述するのが，次に学ぶグリーン関数である．

物理数学 II 26

5. 拡散方程式

5.1. 拡散方程式の導出 1：ランダムウォーク

拡散もしくは熱伝導方程式の導出には主として２つの方法がある．一つは微少体積を考

えそこへの，濃度（拡散方程式の場合）あるいは温度（熱伝導方程式の場合）の流入量が，

濃度あるいは温度の勾配に比例するという経験則に基く方法である．他の一つは，ランダ

ムウォークに基づいて求める方法である．後の方法がより原理的な方法であるので，ここ

ではその方法に従って拡散方程式を導出しよう．

一次元空間（直線）を下のようにDx毎の格子点に区分し，その格子点上に粒子が一つあ

るとしよう．一次元のランダムウォークをするとして，時間Dt後には粒子が右隣および左

隣の格子点へ映る確率がそれぞれ 1/2であるとする．Dt後には

x-Dx x+Dxx x+2Dxx-2Dx

図 5.1-1 グリッド上の粒子移動の模式図。

nステップの値に粒子が格子点 xにある確率をW(x, t)とすれば，これは差分方程式

( )W x t t W x x t W x x t, ( , ) ( , )+ = + + -D D D1

2

1

2

を満たす．これを書き直して，

( ) ( ) [ ]W x t t W x t W x x t W x t W x x t, , ( , ) ( , ) ( , )+ - = + - + -D D D1

22

ここで以下のようにテーラー展開すると

W x t t W x t tW x t

t

W x x t W x t xW x t

x

x W x t

x

( , ) ( , )( , )

....

( , ) ( , )( , ) ( , )

......

+ = + +

± = ± + ±

D D

D DD

¶¶

¶¶

¶¶

2 2

22

従ってDt ®0, Dx ®0の極限で

物理数学 II 27

¶¶

k¶

¶W x t

t

W x t

x

( , ) ( , )= 2

を得る．ここで，

k = =1

2 2

2 2DD

Dx

t

n x

独立に運動する N個の粒子がそれぞれランダムウォークする場合r( , ) ( , )x t NW x t= とお

けば，rは粒子数の確率密度，すなわち濃度である．濃度についても明らかに，次式

¶ r¶

k ¶ r¶

( , ) ( , )x t

t

x t

x= 2

が成り立つ．この式を拡散方程式または熱伝導方程式と呼ぶ．kは拡散係数もしくは熱伝導

係数である．

さてここでkにDtやDxが残るのが不合理であるように感ぜられるかもしれない．なぜなら，

今 DtやDxは確定した値を持たないのにもかかわらず，拡散係数や熱伝導係数は物質に固有

な（圧力や温度等に依存することはあるが）値を持つからである．実はDtやDxは，確定し

ないものの，DtとDx2の比は一定の値を持つ．すなわち，Dxを定めれば，Dtは粒子が隣接

する格子点に移動する可能性が 1/2である時間として定まるのである．

拡散方程式は、ラプラシアンDを用いると、

u ut - =k D 0 (5.1.1)

と表される．なおすでに述べたとおりラプラシアンDは，一次元空間では¶ ¶/ x2，二次元

空間では ( )¶ ¶ ¶ ¶/ /x y2 2+ ，三次元空間では ( )¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶/ / /x y z2 2 2+ + である．

5.2. 拡散方程式の導出２：勾配に比例するフラックス

x-Dx/2 x+Dx/2

図 5.2-1 一次元領域の区分。

物理数学 II 28

拡散による物質の濃度フラックス（もしくは熱フラックス）が，拡散（熱伝導）係数と

濃度（温度）の勾配に比例するものとする．この場合，

÷÷ø

öççè

æ-»D

D-=D+= 2/2/ xxxxxx

t x

u

x

uux

¶¶

k¶¶

k

であるので，Dx ®0の極限で

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

-¶¶

D»

D-=D+=®D

2/2/0

1lim

xxxxxxx

t x

u

x

u

xu kk

を考えて，拡散係数が場所の関数である場合の拡散方程式は，

( ) 0=- xxt uu k (5.2.1)

ここで係数κを定数とすると，

u ut xx- =k 0

を得る．なお，(5.2.1)を空間に積分すると

( ) ( )bxxaxx

b

auudxu

t ==-=

¶¶

ò kk

拡散方程式は名前の通り、熱の伝導もしくは物質濃度の拡散を表す。物質濃度の拡散と

は、水に溶かされた砂糖が周囲に広がっていく、などの過程である。ある地点の温度が周

囲の温度よりも低いならばそこでのuxxは正なので、utも正となり温度は上昇する。すなわ

ち、周囲の温度(もしくは濃度など)になじむという、調節過程をこの方程式は表している。

uが ( )x = - ¥ + ¥, で定義されるのであれば，(5.2-1)は波数成分について簡単に解を得るこ

とができる．

物理数学 II 29

-4 -2 0 2 4

0

1

図 5.2-2. 一次元拡散方程式 u ut xx- =k 0の時間発展(k=0.1)。実線は t=0(初期値), 破線は

t=1, 点線は t=2 のものである。

5.3. 無限領域での任意の初期条件に対する解

( ) ( )xxuxuu xxt fk =¥<<¥-= 0,,,

与式と初期条件をフーリエ変換して

( )dxiaxtxutu ò¥

¥--º exp),()(ˆ

( ) ( )dxiaxkuaut ò¥

¥--=F-= exp0,,ˆˆ 2 fk

波数空間での解は

( ) )exp(ˆ 2 taku kF-=

実空間での解は

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]taFkF

takFtxu

k

k211

21

exp

exp,

-*F=

-F=--

-

ここで積分変換の表から

( )[ ] ( )( )txt

taF kpk

k 4/exp4

1exp 221 -=--

を得ることができるので，convolution の性質から

( ) ( )( )txt

xtxu kpk

f 4/exp4

1)(, 2-*=

物理数学 II 30

( ) ( ) ( ) xkx

xfpk

dt

x

ttxu ò

¥

¥- ÷÷ø

öççè

æ --=

4exp

4

1,

2

(5.5-1)

となって解が得られる．上式からただちに、初期値がデルタ関数 )(xd で与えられるなら、

÷÷ø

öççè

æ-=

t

x

tu

kpk 4exp

4

1 2

が解である。これを拡散方程式の基本解と呼ぶ。別な言い方をすれば，初期条件の impules

応答の重ねあわせとして解が得られている．したがって，基本解は初期値と応答とに関す

るグリーン関数である．

-4 -2 0 2 40

5

10

15

図 5.3-1κ=1, t=0.01 (実線)，0.1(破線), 2(点線)における拡散方程式の基本解．

5.4. 一次元有限領域での任意の初期値に対する解（両端での温度ゼロ）

方程式： )0,0(, tlxuu xxt <<<= k

初期条件： ( )xxu f=)0,(

境界条件： lxatu ,00 ==

この境界条件の下では変数分離が可能であり、 )()(),( tTxXtxu = と置く。与式を書き換え

て得られる

)(

)(''

)(

)('

xX

xX

tT

tT=

k

は、左辺が tのみ右辺が xのみの関数であるから、両辺はある定数に等しくなくてはならな

い。この定数が正であれば、Tは物理的に不適切な成長解を持つので、定数は負でなくては

ならない。そこで、定数を-λと置くと、次の二つの常微分方程式が得られる。

0)()(' =+ tTtT lk

0)()('' =+ xXxX l

Xについての微分方程式は sin,cosの解を持つが境界条件から 0)()0( == lXX であるので、

sinのみが解として適切であり、

物理数学 II 31

( ) ( ) ( ) ,..2,1,/,/sin 2 === nlnlxnAxx nnn plp

の各々が解である（Anは定数）。この各々の解に対して、Tは

( ) ( )( )tlnBtT nn2/exp pk-=

が解となるので（Bnは定数）、結局

( ) ( ) ( )( )å¥

=

-=1

2/exp/sin,n

n tlnlxnCtxu pkp

が一般解である。初期条件を満たすには、

( ) ( )å¥

=

=1

/sinn

n lxnCx pf (エエエエララララーーーー !

参照参照参照参照元元元元が見が見が見が見つつつつかかかかりりりりませませませませんんんん。。。。-1)

から

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxlxnxl

dxlxndxlxnxClll

n /sin2

/sin//sin00

2

0pfppf òòò == (エエエエララララーーーー !

参照参照参照参照元元元元が見が見が見が見つつつつかかかかりりりりませませませませんんんん。。。。-2)

( ) ( ) ( )( ) 2/2//2cos1/cos1/sin00

2

0

2 ldxlxnldxlxndxlxnlll

=+-=-= òòò pppQ

であるので、結局(エラーエラーエラーエラー! 参照元が参照元が参照元が参照元が見見見見つかつかつかつかりりりりまままませせせせんんんん。。。。-1) (エラーエラーエラーエラー! 参照参照参照参照元元元元がががが見見見見つかつかつかつかりりりりませませませませんんんん。。。。

-2)で求める解が表される。

5.5. 次元解析と拡散方程式の基本解

さて、図 5.3-1の特徴は、初期にある領域に集中している解が時間の進行につれて、初期

に与えられた領域の両側に広がっていくということである。このような解を次元解析と、

また解を予想することで求めてみよう。

まず、解の形については Gauss関数 exp(-x2/w2)としよう。この関数は、局所的な分布をあ

らわすのには最も良く利用される関数である。関数の形は図 5.5-1のようになる。このガウ

ス関数で解が表されると仮定すると、その幅は時間とともに広がるはずである。ここで次

元解析を用いる。拡散方程式の次元を、時間を T、長さを L、振幅を Uとして代表的なスケ

ールがどのようなバランスとなるかを調べる。すなわち、一次元拡散方程式において uを U

物理数学 II 32

で、¶/¶tを 1/Tで、¶/¶xを 1/Lで置き換えても、式のバランスはおおむね成り立たなくては

ならない。したがって、

U T U L/ /» k 2

であるから代表的な長さスケールは

L T» k

となる。したがって、ガウス関数の幅Wも時間の 1/2乗に比例して広がると予想すること

が妥当である。そこで、W=(-akt)1/2となる解が存在するかどうかを調べよう。また、熱量も

しくは物質質量の保存が成り立つためには、ガウス関数の高さは、幅に反比例して小さく

なる必要がある。したがって、解の形を次のように仮定する。

ua t

x

a t= -

æèç

öø÷

1 2

k kexp (5.5-1)

ここで、uの時間・空間微分は

ua t

x

a t

x

a tx = - -æèç

öø÷

1 2 2

k k kexp (5.5-2)

( )u

a t a t

x

a t a t

x

a t

x

a txx = - -æèç

öø÷ + -

æèç

öø÷

1 2 1 42 2

2

2

k k k k k kexp exp (5.5-3)

ua t

x

a t a t

x

a t

x

a tt = -æèç

öø÷ + -

æèç

öø÷

1

2

13

2 2

2

2

k k k k kexp exp (5.5-4)

となる。したがって、一次元拡散方程式が成り立つかどうかを、(5.5-3)と(5.5-4)を一次元拡

散方程式に代入して確かめよう。すなわち、

u ua t

x

a t t

x

a t at

x

a tt xx- = -æèç

öø÷ + - -

é

ëê

ù

ûúk

k k k k1 1

2

2 42

2

2

2

2

2 2exp

で、a=4ならば一次元拡散方程式が成立する。従って、

物理数学 II 33

ut

x

t= -

æèç

öø÷

1

4 4

2

k kexp (5.5-5)

が解となることが確認できた。

物理数学 II 34

6. 波動方程式

6.1. 波動方程式の導出１：ばねで接続された質点

一般の教科書でよくなされる波動方程式の導出は，弦の振動にもとづくものと，ばねで接続さ

れた質点に対するものである．ここでは後者の方法で波動方程式を導出しておこう．

質点の質量をm，ばね乗数を aとし，n番目の質点の変位を unで表そう．ばね間の距離がDx，n

番目のばねの位置が xであるとする．このとき変位は

( ) ( ){ }{ }

md u

d ua u u u u

a u u u

nn n n n

n n n

2

2 1 1

1 12

= - - -

= - +

+ -

+ -

であらわされる．un,un±1はそれぞれ，u(x), u(x±Dx)と表すことができる．テーラー展開，

....),(

24

),(

6

),(

2

),(),(),(

4

44

3

33

2

22

x

txux

x

txux

x

txux

x

txuxtxutxxu

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

D+

D±

D+D±=D±

(6.1)

して，もとの式に代入し，４次の項以下を無視すると

d u

d tc

d u

d xc x a m

2

22

2

2= =, /D

という波動方程式を得る．

6.2. 波動方程式の導出２：浅水波

ばねで接続された質点や弦の振動は，地震波を考察するには理解しやすいが，他の現象とはか

ならずしも直接の物理的対応はない．しかし，一般に連続体に復元力が作用するのであれば波動

が存在する．その一例を，大気・海洋で基本的な役割を果たす浅水波について見てみよう．

海洋および大気はその水平幅に比べて厚さが非常に薄いことは、良く知っていることと思う。

従って大規模大気あるいは海洋変動をモデル化するには、浅いという取り扱いが可能で、この時

に流体層内が上から下まで一様に動くという、浅水近似を用いることができる。この近似の下で

は、線形の運動方程式は次のように書ける。

¶¶ r

¶¶

u

t

p

x= -

1

0

物理数学 II 35

圧力は海水表面の盛り上がり hで生ずると考え、

p g h= r0

となる。これを用いて最初の式から圧力を消去すれば，

¶¶

¶¶

u

tg

h

x= -

またこの水面の盛り上がりは、水の収束・発散でもたらされるので、

¶¶

¶¶

h

tH

u

x= -

と表される。これら２式から u または h を消去することは簡単にでき

¶¶

¶¶

2

2

2

2 0h

tgh

h

x- = もしくは 0=- xxtt gHuu

となる。一般に連続体に復元力が作用して波動が生ずる場合，復元力が強いほど波の速度は速い．

例えば(6.16)では重力が大きければ大きいほど，波の速度 g hも速くなる．波動の全てが(6.16)

のように書き表せられるわけではないが，波動を記述する方程式の中で上式が最も基本となる式

である．

なお，この導出では波長に比べて水深が十分に深いという仮定を最初から用いている．この仮

定が成り立たない場合の波の波数と角周波数との関係は， ( )hkgk tanh2 =w で与えられる．導出

は流体力学の教科書，もしくは理工学者が書いた数学の本・偏微分方程式を参照のこと．

6.3. 一次波動方程式の性質

一次元波動方程式

f c ftt xx- =2 0 (6.3.1)

を因数分解すると、

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶t

cx t

cx

f-æèç

öø÷ +æèç

öø÷ =0 (6.3.2)

が得られるので、 f c ft x- = 0 か f c ft x+ = 0のどちらかが満たされなくてはならない。これらの

式は定数係数の一階偏微分方程式で，最も簡単な偏微分方程式である．すなわち，偏微分方程式

であるからには少なくとも二つの独立変数による微分が含まれていなくてはならない．

物理数学 II 36

f c ft x+ = 0

の方程式の解は、t=0における初期値を F(x)とするならば、

f x t F x ct( , ) ( )= -

となる。なお，定数係数一階偏微分方程式は二次元平面上では

f c f c ftx

xy

y+ + = 0

三次元空間の場合には

f c f c f c ftx

xy

yz

z+ + + = 0

と表される。

問題 f x t F x ct( , ) ( )= - が f c ft x+ = 0の解になっていることを確認せよ。

解答 x-ctを uとおき，合成関数の微分より

¶¶

¶¶

f

t

d F

d u

u

t

d F

d uc= = -

¶¶

¶¶

f

x

d F

d u

u

x

d F

d u= = +

となるので，

f cf dF du c ct x+ = - + =/ ( ) 0

であるから与式は f c ft x+ = 0の解となっている．

この解は、x-ctが一定であるならば時間によらず fの値は変化しないことを表している。すなわ

ち、速度 cで初期値の形のまま情報が伝播するのである3。この方程式は、波動の登場する様々な

分野で現れる。

3 初期値の形、すなわち F(x) はいかなる関数であっても良い。

物理数学 II 37

-1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

t=0 t=1 t=2

図6.3-1. f x t F x ct c F x x( , ) ( ), , ( ) exp( ( / . ) )= - = = -2 0 5 2 で定められる関数の、t=0, 1, 2 にお

ける分布。

なので、+c, -cの速度で形を変えずに伝播する信号を表している。このそれぞれを満たす式は任意

関数 F,GについてF x ct( )- およびG x ct( )+ であるから，一次元波動方程式の一般解は

u F x ct G x ct= - + +( ) ( ) (6.3)

で与えられる．この解をダラダラダラダランンンンベーベーベーベールルルル解解解解(d’Alembert)という．+cの伝播速度を持つ波と-cの伝播

速度を持つ波との振幅の大小等の性質は、初期条件・境界条件などが与えられて始めて定まる．

6.4. 無限領域での一次元波動方程式の解

適当な初期値・境界値を与えられた場合の波動方程式の解は，一般解(6.33)を利用して得ること

ができる．ここでは，無限に長い弦のように無限領域で関数 uが定義される場合の解を得よう．

一般性を失わずに初期条件を

u x u x at tt= = =j y( ), ( ), 0 (6.4.1)

とする．無限領域については境界条件は必要が無い．

(6.4.1)から，(6.3.3)の任意関数 F, Gは，次のように求まる．(6.3.3)と(6.3.3)を微分した式で，t=0

とおいて

物理数学 II 38

F x G x x( ) ( ) ( )+ = j (6.4.2)

- + =cF x cG x x' ( ) '( ) ( )y (6.4.3)

ここで(6.4.3)を積分すると

Kdc

xGxFx

+=- ò xxy0

)(1

)()( (6.4.4)

となるので，(6.4.2)と (6.4.4)の和と差から

F x xc

x K

G x xc

x K

x

x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= - +

= + -

ò

ò

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

0

0

j y

j y

(6.4.5)

が得られ，これを(6.3.3)に代入すれば任意定数 Kは打ち消しあって消えて，

u x tx ct x ct

cd

x ct

x ct

( , )( ) ( )

( )=- + +

+-

+

òj j

y x x2

1

2 (6.4.6)

を得る．これをスススストトトトーーーーククククスススス(Stokes)の波動公式の波動公式の波動公式の波動公式という．

-4 -2 0 2 4

0

1

図6.2 初期値

f xx

x or x

ft

( ), . .

, . .=

- < << - <

ìíî

=

1 05 0 5

0 0 5 05

0

物理数学 II 39

に対する、c=2 の波動方程式の解。実線は t=0(初期値), 破線は t=1, 点線は t=2 を示す。最初に

与えられた変位が、半分の振幅の変位として左右に伝搬している。

6.5. 波動の分散性

前節までで学んだ波動の伝播速度は一定であった．しかし，波数によって伝播速度が異なる場

合があることも知らいる．6.1節での波動方程式の導出において，テーラー展開の４次の項までと

れば

d u

d tc

d u

d xx

d u

d x

2

22

2

22

4

4

1

12= +

æèç

öø÷D (6.5.1)

を得る．この式は xの４階微分を含んでいるが，やはり波動方程式の一つである．いま，波数が

k，振動数wで伝播する波 ( )u ei kx t= -w を考える．これを(6.51)に代入すると

( )w 2 2 2 2 21 12= -c k x kD /

ダランベールの解より ( )u ei kx t= -w の伝播速度はw/kである．従って，伝播速度

w / /k c x k= -1 122 2D

は波数によって異なる．この性質を分分分分散散散散性性性性(dispersion)と呼ぶ．波数によらず伝播速度が一定の波

は，非分散非分散非分散非分散(nondispersive)であるといわれる．たとえば，地震波でいえば P波・S波は非分散であ

るが，表面波は一般に分散性を持つ．水波も浅水重力波は分散性は無いが，浅水の仮定が成立し

ない場合は分散性を持つし（理工学者が書いた数学の本・偏微分方程式７章２節参照），低気圧な

どと関連の深い大気中のロスビー波も分散性を有する．

なお，分散性波動の場合，エネルギーを伝播する速度と，位相を伝播する速度は異なる．エネ

ルギーを伝播する速度は，群速度群速度群速度群速度(group velocity)と呼ばれ dkd /w で与えられる．一方位相を伝え

る速度は，位位位位相相相相速度速度速度速度(phase velocity)と呼ばれ， k/w で与えられる．角周波数と波数との関係を分

散関係と呼ぶ．分散関係を波数の関数として角周波数を描いた図で言えば，群速度は曲線の傾き，

位相速度は原点からの傾きとして図から読み取ることができる．

物理数学 II 40

0 10 200

5

10

wavenumber (rad m-1)

angu

lar

freq

uenc

y (r

ad s-1) sqrt(g k tanh(k h)), h=0.2

図6.5.1 水の波の分散関係．水の波は ( )hkgk tanh2 =w という分散関係を持つことが知られている．

ここで，kは波数，hは水深，gは重力加速度，ωは角周波数である．波数が小さい，すなわち波

長が長い波ほと，位相速度・群速度共に大きいことが見て取れる．

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

50

100

150

200

250

図6.5.2 分散性波動の例．横軸は距離 x，縦軸は時間 tで，振幅 u(x,t)を等高線と色で示している．

位相速度は，等高線の傾きで示される．群速度は，振幅の大きな領域が進行する速度であり，こ

の場合位相速度と同方向だがより遅い速度となっている．

物理数学 II 41

6.6. 固定端の条件下での一次元波動方程式

それでは具体的な問題を扱って，フーリエ変換に親しんでみよう．扱う方程式は，一次元波動

方程式である．すなわち，

u c utt xx- =2 0 (6.6.1)

である．境界条件は簡単のために，u=0 at x=-L, Lとし，初期状態を u=u0(x) ut=u1(x) at t=0としよ

う．ここで，u0, u1は任意関数である．まず，

u u x t X x T t= =( , ) ( ) ( )

と置いて変数分離をする．(6.6.1)より，

XT c TXtt xx- =2 0

従って

T

c T

X

Xatt xx

2 = =

と置ける4．すなわち，

T ac Ttt - =2 0

X aXxx - = 0 (6.6.2)

ここで aは定数である．ここで aの符号に応じて３つの場合に分けて解が存在するかどうかを調

べよう．

(i) aがゼロの場合は，X=ax+bであるが，これが境界条件を満足するためには，a=b=0，すなわち

X=0を満たさなくてはならない．この時常に u=0であるから，初期値 u0がいたるところでゼロで

ある場合以外は，a=0では満足する解を与え得ない．

(ii) a=k2>0の場合は，Xは

0)exp()exp( >-+= aforkxBkxAX

4 c2の項を Tの側に置いたのは，後の議論がその方が若干簡単になるからである．もちろん，X

の側に置いても解は得られる．

物理数学 II 42

である．ここで境界条件から，

A B A kL B kL+ = + =0 0, exp( ) exp( )

が満足されなくては解となり得ないが，この２式は同時には満足され得ないので，a>0は解を与

えない．

(iii) 次に a=-k2<0の場合

X A kx B kx for a= + >sin( ) cos( ) 0

である．境界条件を満たすためには，

B=0, kn

L=

p (6.6.3)

であれば良い．すなわち，nをパラメータとして表される解 Xn

Xn

Lx nn = =sin( ) , ,....

p1 2 (6.6.4)

の各々が境界条件を満足する．この Xnの各々に対応して Tnが次のように得られる．

T Cn

Lct D

n

Lctn n n= +sin( ) cos( )

p p

従って，解は

un

Lx C

n

Lct D

n

Lctn n n= +ì

íî

üýþ

sin( ) sin( ) cos( )p p p

となる．この個々の振動は，一定の波数 np/Lと周波数 npc/Lを持つ．この個々の振動は偏微分方

程式と境界条件を満たすので，その重ね合わせもまた解となる．したがって，

un

Lx C

n

Lct D

n

Lctn n

n

= +ìíî

üýþ=

¥

åsin( ) sin( ) cos( )p p p

1

(6.6.5)

が解である．ここで定数 C’, D’ は初期条件から決定される．初期条件を適用すると，

u Dn

Lxt n

n=

=

¥

= æèç

öø÷å0

1

sinp

であるから，辺々sin( / )n x Lp を掛けて 0から Lまで積分すれば，

Dn

Lx dx u

n

Lx dxn

L

t

L

sin sin2

0

0

0

p pæèç

öø÷

= æèç

öø÷ò ò =

ここで

物理数学 II 43

( ) ( )

( ){ }sin / cos /

cos / / / /

2

0

2

0

2

0 0

1

1 1 2 1 2 2

n x L dx n x L dx

n x L dx dx L

L L

L L

p p

p

ò òò ò

= -

= - + = =

なので，

DL

un

Lx dxn t

L

= æèç

öø÷=ò

20

0

sinp

(6.6.6)

となる．一方 uの一階時間微分の初期条件から，

un c

LC

n

Lxt t n

n=

=

¥

= æèç

öø÷å0

1

p psin

が得られ，また辺々sin( / )n x Lp を掛けて 0から Lまで積分すれば，

Cn c

un

Lx dxn t

L

= æèç

öø÷=ò

20

0pp

sin (6.6.7)

すなわち，解は (6.6.5)で与えられ，その展開係数は，(6.6.6), (6.6.7)で得られる．

本節の問題は，固有値・固有関数を用いて解いたと考えることができる．(6.62-4)のように恒等

的にゼロではない解がパラメータ kの特定の値に対してしか存在しない問題を固有値問題

(eigenvalue problem)と呼び，その特定の kの値を固有値(eigenvalue)，対応する解を固有関数

(eigenfunction)と呼ぶ.異なる固有関数は独立な時間発展を示す．このの問題に即して言えば，他の

固有関数の初期の振幅に関わらず，ある固有関数の振幅が決定されればその固有関数の振幅の時

間発展は一意に求められる．この事は，問題を解く場合に，各固有関数についてその発展を独立

に求め，それらを重ねあわせることで全体の解が得られることを意味している．

物理数学 II 44

7. ラプラス・ポアソン方程式

7.1. 拡散方程式の定常状態としてのラプラス方程式

前の節で学んだ熱伝導や拡散は一定の境界条件と外力の下では，十分に時間が経過すれば，も

はや変動を示さないことは経験的に予想できるであろう．このとき，熱伝導方程式

u ut = kD (7.1.1)

の左辺がゼロとなるので

Du = 0 (7.1.2)

が満足されなくてはならない．これがラプラス方程式である．すなわちラプラス方程式は，拡散・

熱伝導の定常状態として理解することができる．ラプラス方程式は重力場・電磁気・流体力学・

熱伝導・拡散で良く用いられる。

ラプラス方程式を満たす関数は調和調和調和調和関関関関数数数数(harmonic function)と呼ばる．正則な複素関数の実部と

虚部の各々は調和関数となっており，２次元ラプラス方程式を満たすことは、複素関数で学んだ

であろう。

7.2. 波動方程式の定常状態としてのラプラス方程式

前節では拡散・熱伝導方程式からラプラス方程式を導いたが，波動方程式

u c utt - =2 0D (7.2.1)

の定常解としてラプラス方程式を理解することもできる．波動方程式において，ut=0 (もちろん

utt=0)であればラプラス方程式に帰着することは簡単に見て取れる．例えば，張力を受ける膜の定

常状態などは，上のように考えるとラプラス方程式で記述される．

7.3. ポアソン方程式

同次方程式であるラプラス方程式に，非同次項すなわち外力項を加えたものがポアソン方程式

である．

Du f= (7.3.1)

ある同次方程式に非同次項を付加して他の名前を付けることは，一般的な呼び名の慣習には反す

物理数学 II 45

ることである．すなわち，拡散・熱伝導方程式や波動方程式に非同次項が加わっても，別な名前

がつけられることはない．おそらくラプラス方程式よりも，ポアソン方程式の方が物理現象に対

して用いられることが多いので，特に名前を付して用いられているのであろう．

例えば、重力に関するポアソン方程式は次のように書ける。

j j j p rxx yy zz G x y z+ + = 4 ( , , ) (7.3.2)

ここでjは重力ポテンシャル、Gは万有引力定数、rは密度である。電場の場合ならば、

j j j r exx yy zz+ + = - / 0 (7.3.3)

ここでjは静電ポテンシャル、e0は誘電率、rは電荷密度である。このように式の上から、重力ポ

テンシャルと静電ポテンシャルは全く同じ性質を持つ事は明かである。

7.4. ラプラス方程式の基本解

ラプラス方程式において，極座標表示で u=u(r)と表される場合の解を求めてみよう．２次元空

間では，

D =æèç

öø÷ +

1 12

2

2r rr

r r

¶¶

¶¶

¶¶ q

なので，解が rのみに依存するのであれば，

10

r rr

ru

¶¶

¶¶

æèç

öø÷ =

を解いて，

u a r b= +log( )

を得る5．

３次元空間では

D =æèç

öø÷ +

æèç

öø÷ +

1 1 12

22 2 2

2

2r rr

r r r

¶¶

¶¶ q

¶¶ q

q¶

¶ q q¶

¶jsinsin

sin

であるから，

10

22

r rr

ru

¶¶

¶¶

æèç

öø÷ =

を解いて，

物理数学 II 46

u ra

rb( ) = +

を得る6．特に

u rr

( ) log= -1

2

1

p

u rr

( ) = -1

4p

をおのおの２次元，３次元のラプラス方程式の基本解と呼ぶ．

これらの基本解は，いずれも r=0で発散する．このことは，原点がこれらの解の特異点であり，

基本解は原点を除いてラプラスの方程式の解となっていることを意味する．実は原点以外で基本

解を持ち，しかも方程式の定義域が原点を含むためには，与えられる方程式はラプラス方程式で

はなくポアソン方程式でなくてはならない．この時，外力は原点でのデルタ関数で与えられる．

このことを次に見てみよう．

まず２次元の場合にu a r b= +log( ) を，ポアソン方程式に代入し原点を含む任意の閉領域で積

分してみよう．

( )Ñ Ñ = òòòò u ds f dsSS

ガウスの定理より

( ) ( ) ( )Ñ Ñ = Ñ × = Ñ + ×

= +æèç

öø÷ × = - = -

òòò ò

ò ò

u dv u n dl a r b ndl

a er

er

r e dl ar

dl a

CS C

r r

C C

r r

r r r

log( )

log( )¶

¶¶

¶ qpq

1 12

従って，a=-1/(2p)とすれば f は原点以外でいたるところゼロであり，かつ原点を含む面積積分は１，

f dsS

=òò 1，である．これは fが２次元のディラックのデルタ関数であることに他ならない．

( ) ( )f dv u dv u n ds ar

b nds

ar r

ds ar

ds

V V S S

S S

= Ñ Ñ = Ñ × = Ñ +æèç

öø÷

×

= = -

òòò òòò òò òò

òò ò

r r1

1 12

¶¶

5 ( )ru ru a u a r u a r b' ' ' / log( )= ® = ® = ® = +0 6 ( ' )' ' ' / /r u r u a u a r u a r b2 2 20= ® = ® = ® = + (最後の aはその直前の aとは符号

が異なっているが，いずれにせよ定数であるのでここでは無視した．)

物理数学 II 47

ここで簡単のために Sを半径 Rの球面上での積分とすれば

f dva

Rds

a

RR a

V S

= - = - = -òòò ò2 221 4 4p p

従って，a=a=-1/(4p)とすれば，fは原点以外でいたるところゼロであり，かつ原点を含む体積積分

は１である．これは fが３次元のディラックのデルタ関数であることに他ならない．従って，デ

ィラックのデルタ関数を外力とする２次元および３次元のポアソン方程式において，定数 bを無

視すれば解はラプラス方程式の基本解となる．

物理数学 II 48

8. 解法の基礎３，固有値・固有関数

弦の振動では固有関数は簡単な sin関数で表されているので，特に固有値を求めるという意識

無しに解を得ることが可能であったし，固有値・固有関数の意義というものもあまり感じられな

かったであろう．しかしより一般的な問題では，固有関数は sin, cos ではなく，より複雑な関数

で与えられる．この際に固有値・固有関数が存在するということは，解の性質を理解する上で非

常に有効である．

それではどのような場合に sin,cos ではない固有関数が登場するのであろうか．この事を考え

る上では，逆に sin, cos で表される固有関数とはどのような性質を持つかを考慮し，それで表現

し得ない状況を考えれば良い．sin, cos の特徴は振動を示すということに加えて，関数の定義さ

れている領域全体に渡って同じ波長と振幅を持つことが著しい特徴となっている．すなわち，場

所によって振幅や波長が変化する現象に対してはsin, cosは固有関数とはならないことが容易に

予想できる．このような現象のいくつかの例を挙げよう．例えば，上で解いた固定端の境界条件

における一次元波動方程式でも，場所によって伝播速度が異なれば，解はsin, cos の固有関数で

は与えられない．また，２次元(x,y)空間での固定端を持つ振動を考えると，境界の形状が矩形で

あれば x,y それぞれの方向に sin 関数で表される固有関数を持つ．これは x,y の方向に変数分離

することが可能なので，それぞれの方向の関数の積として，x-y 領域上での解が得られるから可

能となる．しかし，境界の形状が円形であれば x,y 方向に変数分離ができず sin, cos の固有関数

は存在し得ない．

まとめると，微分微分微分微分方方方方程程程程式式式式のののの係係係係数数数数か境か境か境か境界界界界位位位位置置置置が，が，が，が，独独独独立変立変立変立変数数数数の関の関の関の関数数数数ととととななななってってってっていいいいる場る場る場る場合合合合にはにはにはには，，，，固固固固有有有有関関関関

数が数が数が数が存存存存在す在す在す在するるるる場場場場合合合合でもでもでもでも，，，，一般一般一般一般にににに ssssiiiin, con, con, con, cossss 以以以以外外外外のののの固固固固有関有関有関有関数数数数となとなとなとなるるるる．．．．

次に問題となるのは，それではどのような場合に固有関数が存在するかである．すなわち，あ

る微分方程式と境界条件を与えられた場合に，それが固有関数を持つかどうかを判断できれば，

そのシステムを理解するには固有関数を求めることが一般に最も有効である． 実用上有用な固有

関数問題の多くは，以下で述べるシュツルム・リュービル問題として与えられる．短く言えば，

シュツルム・リュービル問題とは，自己随伴微分方程式を適切な境界条件の下で解く問題が，実

数の固有値・固有関数を求める問題に帰着されるということである．自己随伴微分演算子の話題

物理数学 II 49

はやや高度で抽象的に感ぜられるかもしれないが，随伴微分方程式という用語を将来聞いた時に

うろたえないですむように，紹介しておく．そこで，まずシュツルム・リュービル問題を紹介し，

次に自己随伴微分方程式について説明し，その後に実際の固有値･固有関数問題として井戸型ポテ

ンシャルにおけるシュレディンガー方程式の解と，円形膜の振動を紹介しよう．最後に，固有値・

固有関数が実数であるシュツルム・リュービル問題を超えて，複素数の固有値・固有関数として

表現される問題があることに注意を示しておく．

8.1. Perseval's relation

区間(a,b)にで定義される関数 f(x)と g(x)

( ) ò =ºb

adxxxgxfgf 0)()()(, r

となる場合に重み関数 ( )xr について f と gは直交すると言う．またノルムノルムノルムノルムを

( ) ( )ò=b

z jj dxxxuu r2

と定義する．また関数 fが，正規直交関数系 ( ) ...,2,1, =ixui で

( )å=

¥®=

N

ijj

Nxucxf

1

lim)(

と展開できる場合に，両辺のノルムを取れば，

å¥

=

=1

22

ijcf

となる．これをパパパパーーーーセセセセババババルのルのルのルの等等等等式（式（式（式（Parseval's relation））））という．

8.2. 境界条件

固有値問題の詳細に入る前に，境界条件の与えかたを整理しておこう．固有値問題は，一般に

境界値問題として与えられる．

境界値問題あるいは初期値境界値問題では，境界条件は次のいずれかで与えられる．

第一第一第一第一種種種種の境の境の境の境界界界界値値値値問問問問題題題題，デデデディリィリィリィリククククレレレレ(Dirichlet)の境の境の境の境界界界界条件条件条件条件： 境界上で関数

値が指定される．u(a)=u0(a) , u(b)=u0(a), u0(a), u0(b) は与えられる．

物理数学 II 50

第二第二第二第二種種種種の境の境の境の境界界界界値値値値問問問問題，題，題，題，ノノノノイマンイマンイマンイマン(Neumann)のののの境境境境界界界界条件条件条件条件： 境界上の関数

の勾配の法線成分が指定される．un(a)=un0(a) , un(b)=un0(a), un0(a), un0(b)は与えられる．

第三第三第三第三種種種種の境の境の境の境界界界界値値値値問問問問題題題題： 第一種と第二

種の混合，u(a)+h(un(a)-g)=0ここで h,gは定数．

なお，初期値問題はココココーーーーシーシーシーシー問問問問題題題題とも呼ばれる．

また，方程式が記述する領域が境界の内部である場合を内部内部内部内部問問問問題題題題，外部である場合を外部外部外部外部問問問問題題題題

とも呼ぶ．例えば，球殻上に帯電している場合の球殻内の電位分布を求めるのは内部問題，球殻

外の電位分布を求めるのは外部問題である．

8.3. シュツルム・リュービル型の固有関数問題

有限区間における次の形の微分方程式は、適切な境界条件の下で，固有値・固有関数が存在す

ることが知られており、これをシュツルム・リュービル問題(Sturum-Liouville problem)と呼ぶ。

( ) )(,0)()( bxauxuxrdx

duxp

xd

d<<=+-÷

øö

çèæ lr (8.3-1)

ここでlが固有値である。p(x)は区間 a<x<bでゼロにはならないとする．どのような境界条件がシ

ュツルム・リュービル問題を与えるかは，一般的な表現としては次節の随伴演算子の説明に待た

なくてはならない．ここでは次の第一・第二・第三種の境界条件については，シュツルム・リュ

ービル問題が成り立つことのみ，言及しておく．

u=0 at x=a and x=b

u’=0 at x=a and x=b

u+c u’=0 at x=a and x=b

また， -¥=a または ¥=b であっても良い．これらの場合は，特異境界値問題と呼ばれる．

スツルム・リューヴィルの固有値問題の固有値・固有関数には次の性質があることが知られてい

る。

固有値l、固有関数ともに実数である。

二つの異なる固有関数は重み関数r(x)について、次のように直行する。

物理数学 II 51

r( ) ( ) ( ) ,x u x u x dx for n mn m

a

b

= ¹ò 0

固有値は可算無限個存在し、最小値が存在する。それらの固有値に大きくなる順に番号を付加す

れば、 limn

n®¥® ¥l となる。なお、応用上ここでの固有値の逆数を固有値と定義する場合も

多い、その場合は固有値の最大値が存在し、番号の大きい固有値はゼロに収束することとな

る。（ただし -¥=a または ¥=b の場合は連続固有値を取り得る．）

固有値ln に対応する固有関数 un(x)は a<x<b に n-1 個のゼロ点を持つ。

どの固有値も縮退していない。なお、縮退するとは１つのに複数の固有関数が属することを言う。

したがって縮退していないとは、異なる固有値と異なる固有関数が一対一対応することであ

る。

固有関数系{u1,u2,...}は重みr(x)に関して完全系をなす。

つまり

ò åå

å

¹=÷ø

öçè

æ-÷

ø

öçè

æ-=

-

==¥®

=¥®

b

a

N

ijj

N

ijj

N

N

ijj

N

mnfordxucxfucxfx

ucxf

,0)()()(lim

)(lim

*

11

1

r

すべての固有関数・固有値問題が上記のような性質を持つわけではないが，応用上重要な問題で

はこれらの性質が成り立つことが多い．

8.4. スツルム・リュービル問題＝対称行列

復習：

Aの転置行列(行列の列と行を入れ替える)を At , A の共役行列(各行列成分の共役複素数を取る)

を A*，A の随伴行列を ( ) ( )tt AAA **~ºº で表現する．

簡単のために重み関数を１とするスツルム・リュービル問題の微分方程式

)(,0)()( bxauuxrdx

duxp

xd

d<<=+-÷

øö

çèæ l

を微少区間Δxでの差分で表現すると，

物理数学 II 52

0)()()(

)1()(

2

)1()()()1(

2

)()1(1

=+-

÷øö

çèæ

D---+

-D

-+++D

iuiuir

x

iuiuipip

x

iuiuipip

x

l

簡単のために，x=a,bでは u=0という境界条件を考えると，上の差分方程式は，次の行列方程式で

表現できる．

0=+ uuArr

l

ここで非対角要素は

22

)()1(),1(

x

ipipiiA

D++

=+

と

22

)1()(),1(

x

ipipiiA

D-+

=-

のみだけで， )1,(),1( -=- iiAiiA が成立するので，A は実対称行列である．実対称行列の固有値・

固有ベクトルはすべて実数である．これはスツルムリュービル問題の固有値・固有ベクトルが実

数であることに対応している．行列解析とスツルム・リュービル問題との間に厳密な１対１対応

が成り立つことに注意するべきである．歴史的に見ると，この対応はハイゼンベルグによって展

開された行列力学と，シュレディンガーによって展開された波動力学の間の数学的同等性を確率

する際に顕著に示された．また，今日においても，離散近似を用いてスツルム・リュービル問題

の数値計算をする作業が，エルミート行列の演算に帰着されるという点で，この対応性を認識し

ておくことは非常に有用である．

8.5. 随伴微分方程式

区間 a,bにおける２階線形の同次微分方程式は，演算子 L, B1, B2を用いて，一般に次のように表

される．

Lu x f x a x b L p xd

dxq x

d

dxr x( ) ( ), , ( ) ( ) ( )= < < º + +

2

2 (8.51)

ここで，p(x)は区間 a<x<bでゼロにはならないとする．pのゼロ点は微分方程式の特異点となるか

ら，われわれは内側に特異点が存在しない区間[a,b]を選ぶ，ということを意味している．特異点

が境界上にくることはあってよいし，しばしばそうなる．

微分方程式の数学の理論体系の中では，随伴演算子7 L を次のように定義することが便利である．

7 随伴演算子を overbarL ではなく，asteriskL*で示す教科書も多い．しかし一般に複素共役を

asteriskで表すので，随伴演算子をそれ以外の記号で表す方が混乱が少ないであろう．

物理数学 II 53

Lud

dxpu

d

dxqu ru

pd u

dxp q

du

dxp q r u

= - +

= + ¢ - + ¢¢ - ¢ +

2

2

2

22

[ ] [ ]

( ) ( )

(8.5-2)

(8.5-1)と (8.5-2)を比較すると， L L= となるための必要十分条件は

¢ =p q

である．この条件が満たされると，

Lu Lud

dxp x

d u x

d xr x u x= =

é

ëê

ù

ûú +( )

( )( ) ( ) (8.5-3)

となって演算子 Lは自己随伴形であるといわれる．また自己随伴演算子のことをエルミート演算

子とも呼ぶ．ちなみにエルミート行列（自己随伴行列）とは，対称行列の複素数への拡張版であ

った．

任意の C2関数 u(x), v(x)に対して，部分積分を行うと，

[ ]

vLudx vpu vqu uru dx

p vu v u q p uv uL v dx

a

b

a

b

a

b

a

b

= ¢¢ + ¢ +

= ¢ - ¢ + - ¢ +

òòò

( )

( ) ( )

となる．ここで，Lが自己随伴演算子であれば，p’=qである．さらに，境界条件が自己随伴

[ ]p vu v ua

b( )¢ - ¢ = 0 (8.5-4)

であるなら

vLudx uL v dxa

b

a

b=ò ò (8.5-5)

が成り立つ．この性質が成り立つ時に，演算子 Lは(8.5-4)で定められる境界条件を満たす関数 u, v

に対して自己随伴であると表される．境界条件が自己随伴であること意味は，次節において明ら

かにされるであろう．

なお境界条件についても演算子を定義する表現もある．u(a), u’(a)の線形結合である演算子B1 と，

u(b), u’(b)の線形結合である演算子 B2を用いて，uに対する境界条件が

B u at x a B u at x b1 20 0= = = =,

なる同次境界条件で表される時に，(8.5-4)が成立するような vに対する境界条件を，

物理数学 II 54

B v at x a B v at x b1 20 0= = = =,

で表されるなら，これを随伴境界条件と呼ぶ．また，微分演算子 Lと境界条件を与える演算子 B1,

B2をあわせて，演算子 ( , , )L B B1 2 と呼び， ( , , )L B B1 2 を随伴演算子と呼ぶ．演算子と随伴演算

子が一致するとき，演算子 ( , , )L B B1 2 は自己随伴であるという．

固有値問題では，u(x), v(x) は微分方程式の解で同じ固有値または異なる固有値に対応している．

従って，uと vに科せられる境界条件は同一である．境界条件 c1 u + c2 u’=0 (c1c2¹0)は，自己随伴

である．

微分方程式と境界条件がスツルム・リュービル問題を形成する条件は，演算子 ( , , )L B B1 2 が自

己随伴であることである．自己随伴演算子がスツルム・リュービル問題の性質を満足することを，

いくつかの性質について次節で証明しよう．

物理数学 II 55

8.6. スツルムリュービル問題のいくつかの性質の証明

・固有値が実数

0=+-÷øö

çèæ uqu

dx

dup

dx

drl

から

( )òò

òò

-+÷÷ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ=

úû

ùêë

é+-÷

øö

çèæ-ú

û

ùêë

é+-÷

øö

çèæ=

b

a

b

a

b

a

b

a

dxuuudxdx

dup

dx

du

dx

dup

dx

d

udxuqudx

dup

dx

ddxuuqu

dx

dup

dx

d

***

*

*

*0

rll

rlrl

部分積分を行って

( )òò -+÷÷ø

öççè

æ--ú

û

ùêë

é-=

b

a

b

a

b

a

dxuudxdx

du

dx

du

dx

du

dx

dupu

dx

dupu

dx

dup **

****0 rll

第２項の積分は明らかにゼロである．また境界条件が自己随伴 [ ]p vu v ua

b( )¢ - ¢ = 0であれば，第

一項もゼロとなり，

ll =*

となることが示される．すなわち，固有値は実数である．

・固有関数の直交

ある固有値・固有関数の組について，

0=+-÷øö

çèæ

iiii uqu

dx

dup

dx

drl

が成り立つので，上と類似の作業を行う．

( )òò

òò

-+÷øö

çèæ-÷

øö

çèæ=

úúû

ù

êêë

é+-÷÷

ø

öççè

æ-ú

û

ùêë

é+-÷

øö

çèæ=

b

a jijiji

j

b

a

i

i

b

a jjjj

j

b

a iiii

dxuudxudx

dup

dx

du

dx

dup

dx

d

dxuuqudx

dup

dx

ddxuuqu

dx

dup

dx

d

rll

rlrl0

再び部分積分を行うと第一項の積分はゼロとなる．従って， ji ¹ について ji ll ¹ であるならば

（固有値が縮退していなければ），

物理数学 II 56

0=òb

a ji dxuur

でなくてはならない．これは，固有関数が直交していることを示している．ただしこの証明には

抜けがある．すなわち，固有値が縮退していないことを示せてはいないので，固有関数の直交性

を完全に証明するには，別途固有値が縮退していないことも証明しなくてはならない．

8.7. スツルムリュービル問題への変形

重要な実数２階偏微分方程式でも自己随伴計でないものは数多く存在する．しかし，自己随伴

形でない演算子でも，実数演算子であれば常に次のように自己随伴形に変換できる．

( ) uxrudx

dxqu

dx

dxpLu )()(

2

2

++=

において qp ¹' とする．Lに

( )( ) ú

û

ùêë

éò

xdt

tp

tq

pexp

1

をかけたとすると

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ú

û

ùêë

é+

þýü

îíì

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éòòò

xxxdt

tp

tq

xp

xq

dx

dudt

tp

tq

dx

dLudt

tp

tq

pexpexpexp

1

となり，これは明らかに自己随伴である8．

8.8. スツルム・リュービル問題を構成する方程式

・波動方程式・ヘルムホルツの方程式の円柱座標表示，例）円形膜の振動

→ベッセルの方程式→ベッセル関数

・ラプラス方程式・ヘルムホルツ方程式の球座標表示

→ルジャンドル方程式→ルジャンドル関数

・井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式

・量子力学的な調和振動子に対する微分方程式・大気海洋の赤道波動

→エルミート関数

8 アルフケン２巻, P. 244

物理数学 II 57

8.9. シュレディンガー方程式・井戸型ポテンシャルの固有値・固有関数

微分方程式の係数が独立変数の関数となる例を，シュレディンガー方程式について考えてみよ

う．空間には一次元とすると，質量 mの粒子が、ポテンシャル U(x)の外力を受けて行う運動を記

述するシュレディンガー方程式は次のように書ける．

it m x

Uh h¶¶

¶¶

YY Y= - +

2 2

22 (8.9-1)

ここでhはプランク定数，Yが波動関数である．定常状態を表す波動関数は，定数のエネルギーE

を用いて

Eti

ex h-

=Y )(y (8.9-2)

と表すことができる。これを (8.9-1)に代入すると，

Em x

Uy¶¶

y y= - +h2 2

22 (8.9-3)

という時間を含まないシュレディンガー方程式を得る．この式でポテンシャルが

Ux a

U x a U=

<> >

ìíî

0

00 0

,

, ,

U

xa0

として、その解を考えよう。すなわち、

( )ïî

ïí

ì

>-

<-=

axm

EU

axm

E

xd

d

,2

,2

20

2

2

2

y

yy

h

h (8.9-4)

である。ここで(8.9-4)の右辺の符号が負ならば波動関数は x方向に振動解を持ち、符号が正なら

物理数学 II 58

ば波動関数は成長・減衰解を持つ。また、x=aにおいて、波動関数とその１階微分は連続でなく

てはならない。この解は、Eおよび U0-E の符号によって大きく異なることは容易に予想される。

そこで、それらの符号別に解の振る舞いを考察しよう。上の条件下では、対称性を利用すること

が賢明である。そこで奇関数・偶関数を分けて考慮し、簡単のために偶関数のみを以下では扱い、

x>0 のみについて考えることとしよう。偶関数なので、¶ y ¶/ x= 0 at x=0 である。線形問題で

あるので一般性を失わずに、 y >0 at x=0 を仮定する。

E<0 (この場合もちろん U0-E>0)

この場合は、ともに x<a, a<x での(8.9-4)の解は exp で与えられる。また、 y >0 at x=0 を満

たすには、¶ y ¶2 2 0/ x > である。この条件は上に凹な曲線となるので、x<a において

y >0,¶ y ¶/ x> 0でありつづける（図の曲線(1)）。また、同様の議論が a<x でもなりたち、結

局この場合の波動関数は x®¥, y®¥となる。しかしこれは物理的に意味の無い解である。なぜな

ら、どんな有限区間を取ってもそこでの粒子の存在確率がゼロとなるためである。

(ii) 0<E<U0

この場合は、x<a での解はコサインで与えられる。また、a<x での解は、指数関数で与えられる

が xの無限大で発散しないためには減衰関数でなくてはならない。従って

( )y =

æèç

öø÷

<

-éëê

ùûú

<

ì

íïï

îïï

cos ,

exp ,

Em

x x a

E Um

x a x

2

2

2

0 2

h

h

ここで、x=a で波動関数とその一回微分が連続であるという条件は、特定の Eについてしか成立

しない。すなわち、Eは固有値で、波動関数が固有関数となる。Eが小さいほどコサインの波数が

小さくなる。このように条件を満足する最低の Eを基底状態と呼ぶ。基底状態であっても E>0 で

あって、エネルギーはゼロではない。また、古典力学とは異なって E<U である領域にも粒子が一

定の確率で存在する。この性質がトンネル効果を引き起こしている。

(ii) U0<E

この場合は、x<a, a<x の両方でコサイン・サインが解である。この場合には、任意の Eが解と

して許される。この場合の Eは連連連連続続続続固固固固有有有有値値値値となっている。

物理数学 II 59

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2E 1 E 2 E<E 1 E 1 <E<E 2 2 <E

0 2 4 6 8 10-1

0

1xa=1, Continuous Eigen Values

8.10. 固有値・固有関数が複素数の場合

固有値・固有関数が複素数となる問題も存在する．これらの問題は，固有値・固有関数が実数

であるシュツルム・リュービル問題の範疇には属さない．応用上重要な固有値が複素数となる問

題の一例は，時間的に成長・減衰である．周波数ωが固有値となる問題を考えよう．単なる振動

現象であれば，固有値は実数であるが，成長減衰を伴う現象では固有値は複素数となる．すなわ

ち，

exp( ) exp( ( )) exp( ) exp( )exp( )i i i i iR i i R i Rw w w w w w w= + = - + = -

となって，ωの虚部が成長減衰率を表す．

また，固有関数が複素数となる重要な例は，位相の伝播が見られる現象の空間的な構造を固有

関数で表現する場合である．

物理数学 II 60

9. 特殊関数（ベッセル関数）

２階偏微分方程式を変数分離して得られる，２階の常微分方程式の解のうち，初等関数で表現

できないものを特殊関数と呼ぶ．例えば，円形膜の振動（円筒座標での波動方程式）はベッセル

関数で解が得られるし，極座標系におけるラプラス方程式はルジャンドル関数によって解が得ら

れる．これらの特殊関数はまた，直接それらの微分方程式との関連以外でもいくつかの有用な性

質を示すことが知られており，幅広い応用に用いられている．しかし，学生にとって特殊関数は

なかなかなじめないかと思う．そこで，特にベッセル関数についていくつかの側面から検討しよ

う．ルジャンドル関数については，時間の関係から割愛する．

9.1. ベッセル関数の母関数

特殊関数は母母母母関関関関数数数数（（（（generating function））））を用いて定義することができる．母関数 Qは次のよう

に，関数列 Fnを次のように

( ) ( )å¥

-¥=

=n

nn xFxQ xx ,

定義するものである．ベッセル関数とその母関数との関係は，次のように定義される．

( ) ( )( ) ( )å¥

-¥=

- ==n

nn

ttx txJetxg /12/,

である．これを å¥

=

=+++++=0

432 !/...!4/!3/2/1n

nz nzzzzze であることを利用してローラン展

開9して

å å¥

=

¥

=

- ÷øö

çèæ-÷

øö

çèæ=

0 0

)2/(2/

!

1

2!

1

2r

s

s

rtxxt

st

x

r

xtee

を得る．これから tn の項を与えるのは，r-s=n であるから，

( ) ( )( )

sn

s

s

n

x

snsxJ

2

0 2!!

1+¥

=÷øö

çèæ

+-

= å (9.1)

が得られる．これが（整数）ｎ次（第一種の）のベッセル関数(Bessel function)である．ここでｎ

が非整数の場合にも利用できるよう，ガンマ関数(Gamma function) を導入しよう．ガンマ関数は，

( ) ( )( )ò¥ -- >=G0

1 0Re zdttez zt

で定義される．直接積分によって ( ) 11 =G であり，部分積分によって ( ) )(1 zzz G=+G であること

が示される．従って，正の整数に対しては ( ) !)1()1()(1 nnnnnnn =-G-=G=+G である．よっ

て

9 複素数で学んでいると思うが，正則な関数（特異点を持たない関数）はテーラー展開可能であ

り，特異点を持つ関数でもローラン展開することができる．

物理数学 II 61

( ) ( )( )

( )( ) ( )

s

s

ss

s

s x

ss

x

ssxJ

2

0

2

0 211

1

21!

1+¥

=

+¥

=÷øö

çèæ

++G+G-

=÷øö

çèæ

++G-

= åånn

n nn (9.1-2)

をn次のベッセル関数と呼ぶ．

なお，n<0のベッセル関数は，n が非整数であればn>0のベッセル関数と一次独立であるが，整

数の場合は，

( ) ( ) ( )xJxJ nn

n 1-=- (9.1-3)

の関係を持つ．この証明は，(9.1-1)から直ちに得られる．

9.2. ベッセル関数の微分の性質

ある関数の微分が，その関数自体で表されるのは exp のみであり，それと表裏一体の関係にあ

る sin, cos は，どちらかの微分が他方になるという関係にある．このような関係は，一般にはも

ちろん成り立たないが，ある次数の特殊関数の微分は他の次数の特殊関数で表される．従って，

特殊関数の微分の表現は，微分方程式を扱う上で基本的に重要である．

ベッセル関数の微分については，次の性質が知られている．第３項の証明は，(9.1-2)を直接微

分すれば良い．

( )( ) ( ) ( ) ( )xJxxJxxJxxJx 11 '' +

- =+= nn

nn

nn

nn n

( )( ) ( ) ( ) ( )xJxxJxxJxxJx 11 '' +

----- -=+= nn

nn

nn

nn n

各々の式で，一階の微係数を左辺においてその係数で割れば，

( ) ( ) ( ) xxJxJxJ /' 1 nnn n-= - (9.2-1)

( ) ( ) ( ) xxJxJxJ /' 1 nnn n+-= + (9.2-2)

となる．さらに和を取れば

( ) ( ) ( ){ } 2/' 11 xJxJxJ +- -= nnn

が，差を取れば

( ) ( ) ( ){ } ( )nnnn 2/' 11 xxJxJxJ +- +=

が得られる．

9.3. ベッセルの微分方程式

（第一種の）ベッセル関数はベベベベッッッッセセセセルルルルの微の微の微の微分分分分方方方方程式程式程式程式(Bessel's differential equation),

( ) ( ) 0222

2222 =-++=-+÷

øö

çèæ ux

dx

dux

dx

udxux

dx

dux

dx

dx nn (9.3-1)

の一つの解であり，他の一つの解として次節で見るように第二種のベッセル関数（ノイマン関数）

が知られている．またここで xの代わりに kxとおけば

( ) ( ) ( ) ( ) 0''' 2222 =-++ kxuxkkxxukxux n (9.3-2)

が得られる．この式もやはりベッセルの微分方程式と呼ばれる．(9.3-1)は明らかに自己随伴な微

分方程式なので，自己随伴な境界条件の下でスツルム・リュービル問題を構成する．

物理数学 II 62

ベッセル関数とベッセルの方程式との関係を示すには，いくつかの方法がある．ここでは，ベ

ッセル関数の微分が(9.2-1)式すなわち， ( ) ( ) ( ) xxJxJxJ /' 1 nnn n-= - を満たすことを利用して，

ベッセル関数の解となることを示そう．まず，(9.2-1)の両辺に xをかけ整理して，

( ) ( ) ( ) 0' 1 =+- - xJxxJxxJ nnn n (9.3-3)

として，これを微分すると，

( ) 0''1''

'''''

11

11

=--++=+--+

--

--

nnnn

nnnnn

nnJxJJxJ

JJxJJxJ

xをかけてから，n 倍した(9.3-3)を引いて

( ) 0'1''' 12

122 =--+-+ -- vJxxJJxJJx nnnn nn

を得る．n-1次についての(9.2-2)，すなわち ( ) ( ) ( )xJxxJxxJ 11 )1(' -- -+-= nnn n を上式に代入す

ると，

( ) 0''' 222 =-++ nnn n JxxJJx

が最終的に得られる．これはベッセルの方程式に他ならない．従って（第一種の）ベッセル関数

は，ベッセルの方程式を満足する．なお，この証明では(9.2-1)(9.2-2)の両式のみを利用しているの

で，これら両式を満足する関数であれば第一種のベッセル関数以外にもベッセルの方程式を満足

することに注意するべきである．

ベッセル関数とベッセル方程式の関係を導く他の方法としては，ベッセル関数の解を

( )...2210 +++= xaxaaxu p

と仮定して，(9.3-1)に代入して，（第一種の）ベッセル関数を得る方法もある．この仮定では，非

整数のべき nx が最初に付されていることがポイントである．

9.4. 第二種のベッセル関数（ノイマン関数）

一般に２階の微分方程式には，独立な二つの解が存在する．従って，ベッセルの微分方程式の

すべての解を得るには， nJ と独立なもう一つの解が必要である．ベッセルの微分方程式は，nを

２乗の形でしか含んでいないので， n-J もやはり解である．しかし，nが整数の場合 n-J は(9.1-3)

から nJ と一次独立な解では無い．しかし，適当に nJ と n-J を組み合わせた関数を作れば，その関

数のnが整数の場合の値を，nが非整数の場合の値の極限値として定義することが可能である．そ

こで，通常 nJ と独立なベッセルの微分方程式の解として，

N xJ x J x

nn nnp

np( )

( ) cos ( )

sin=

- - (9.4-1)

を用いる．この関数はノノノノイマイマイマイマンンンン関数関数関数関数（Neumann function）または第二種第二種第二種第二種ののののベベベベッセッセッセッセルルルル関数関数関数関数と呼ばれ，

nが非負の整数 nである場合には，分子も分母もゼロであるからn®nの極限によって Nn(x)を定義

する． nN の代わりに nY という記号もよく利用される．

また，

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xiNxJxHxiNxJxH nnnnnn -=+= )2()1( , (9.4-2)

物理数学 II 63

を第一種および第二種のハンケハンケハンケハンケルルルル関数関数関数関数（Hankel function）と呼ぶ．この組合わせも第一種・第二

種のベッセル関数同様，ベッセルの方程式の独立な２つの解を与える． ( ) ( )21 ,,, nnn HHNJ v を総称

して，n次の円筒関数という．なお，(9.4-2)と

qqq sincos ie i ±=±

との相似性には注意するべきである．この類似性は，進行する波を表すために，ハンケル関数を

利用することが適していることを示唆する．

0 2 4 6 8 10-1

0

1

J0(x) J1(x) J2(x)

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

N0(x) N1(x) N3(x)

図 9.4-1 第 0次，１次，２次の第１種（上）と第２種(下)のベッセル関数の図．

9.5. 円形膜の振動

矩形膜の場合は，

次に境界の位置が独立変数の関数となる例を２次元の膜の振動について考えてみよう．

膜の振動は波動方程式で記述される．つまり支配方程式は，

( )u c u utt xx yy- + =2 0 (9.5-1)