УДК 373.3.016:514 · ное развитие личности. Уместно вспомнить слова А. С. Пуш-кина: «Вдохновение нужно в поэзии,

УДК 373.3.016:514ББК 74.262.21 П64

© ООО «ДРОФА», 2017ISBN 978-5-358-17536-5

Потоскуев, Е. В. Математика : алгебра и начала математического анализа,

геометрия. Геометрия. Углублённый уровень. 10—11 клас-сы. Рабочая программа к линии УМК Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича : учебно-методическое пособие / Е. В. Пото-скуев, Л. И. Звавич. — М. : Дрофа, 2017. — 65, [2] с.

ISBN 978-5-358-17536-5Рабочая программа по предмету «Математика: алгебра и начала мате-

матического анализа, геометрия» углублённого уровня к УМК Е. В. По-тоскуева, Л. И. Звавича по геометрии содержит пояснительную записку, содержание курса, планируемые результаты в соответствии с Примерной основной образовательной программой среднего (полного) общего образо-вания, а также тематическое планирование изучения учебного материала.

Учебники, входящие в состав УМК, соответствуют Федеральному го-сударственному образовательному стандарту среднего (полного) обще-го образования, одобрены РАО и РАН, имеют гриф «Рекомендовано» и включены в Федеральный перечень учебников.

УДК 373.3.016:514ББК 74.262.21

П64

Авторы: Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич

Учебное издание

Потоскуев Евгений ВикторовичЗвавич Леонид Исаакович

Математика:алгебра и начала математического анализа, геометрия

Геометрия

Углублённый уровень

10—11 классы

Рабочая программа

Учебно-методическое пособие

Зав. редакцией М. Г. Циновская Редактор Т. С. Зельдман

Художественный редактор А. В. ПряхинТехнический редактор И. В. ГрибковаКомпьютерная верстка Н. В. Полякова

Корректор Г. И. Мосякина

Подписано к печати . Формат 60 × 90 1/16.

Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,0. Тираж экз. Заказ № .

ООО «ДРОФА». 123308, Москва, ул. Зорге, дом 1, офис № 313.

Сайт: drofa-ventana.ru

Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги можно отправлять по электронному адресу: [email protected]

По вопросам приобретения продукции издательства обращайтесь:тел.: 8-800-700-64-83; е-mail: [email protected]; сайт: drofa-ventana.ru/buy/

3

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКАНа основе Федерального государственного образователь-

ного стандарта основного общего образования, Концепции развития математического образования в Российской Феде-рации1, Примерной основной образовательной программы среднего общего образования2, Письма Минобрнауки «О ра-бочих программах учебных предметов»3 и др. и в соответ-ствии с содержанием выше упомянутого УМК разработана настоящая «РАБОЧАЯ ПРОГРАММА» по геометрии для 10—11 классов с углубленным уровнем изучения.

Изучение курса математики 10—11 классов в соответ-ствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования должно обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых как в повседневной жизни, так и в дальнейшей профессио-нальной деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения специального (не обязательно ма-тематического) образования; развивать у учащихся познава-тельную активность и любознательность, логическое мыш-ление и пространственное воображение.

Великий итальянский ученый — физик, астроном и меха-ник Галилео Галилей (1564—1642) говорил: «Геометрия яв-ляется самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Геометрия как учебный предмет играет огромную роль в развитии познавательной активности и любознательности, логического мышления и пространственного воображения

1 Концепция развития математического образования в Россий-ской Федерации. Распоряжение Правительства России от 24 дека-бря 2013 г. № 2506-Р.

2 Примерная основная образовательная программа среднего об-щего образования. Одобрено Федеральным учебно-методическим объединением по общему образованию. Протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з.

3 О рабочих программах учебных предметов. Письмо Мин-обр науки РФ от 28 октября 2015 г. № 08-1786.

4

учащегося. Изучение геометрии формирует не только специ-альные геометрические знания учащегося, но и играет огромную роль в общем развитии личности, а также умения логически мыслить и доказательно обосновывать истин-ность утверждений в любой сфере деятельности.

Соприкосновение с геометрией, ее изучение носит позна-вательный, воспитательный, развивающий и вдохновляю-щий характер. При изучении геометрии происходит духов-ное развитие личности. Уместно вспомнить слова А. С. Пуш-кина: «Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии».

Обоснования геометрических комбинаций, которыми учащийся оперирует при доказательстве теорем и решении задач, естественным образом способствуют развитию и по-вышению культуры его речи в силу такого объективного фактора, как требование корректно обосновывать любое гео-метрическое утверждение. Поэтому обучение языку геоме-трии является одной из важнейших целей математического образования, интеллектуального развития творческой лич-ности. При этом следует заметить, что хорошее геометри-ческое образование, пространственное воображение и ло-гическое мышление — это необходимые атрибуты про-фессиональной компетентности не только математика, но и инженера, экономиста, дизайнера, юриста, программиста, а также специалистов многих других областей.

Так, в основе геометрического образования лежит прин-цип доказательности. Но именно принцип доказательности должен являться составной частью юриспруденции. А разве не аксиоматический метод — метод постулатов, называе-мых «законами», положен в основу законотворческой дея-тельности?

Дедуктивный метод изложения геометрии (в сочетании с наглядностью), логическая последовательность геометри-ческих теорем, логика теоретических обоснований, методы и факты геометрических исследований и открытий — все это создает удивительно цельный и гармоничный мир геоме-трии, способствует эстетическому воспитанию человека.

Можно с полной уверенностью сказать, что из всех мате-матических дисциплин именно занятие геометрией в наи-большей мере способствует развитию интуиции и воображе-ния, а следовательно, способствует творческому развитию личности, так как интуиция и воображение — основа любо-го творчества. Великий французский ученый Анри Пуанка-ре (1854—1912) говорил: «Логика доказывает, а интуиция творит. Быть критиком хорошо, быть творцом — еще луч-ше... Без нее (интуиции) математик был бы похож на того

5

писателя, который безупречен в правописании, но у которо-го нет мыслей».

В различных беседах и выступлениях великий россий-ский академик XX в. А. Н. Колмогоров говорил, что многие его открытия были вызваны к жизни неожиданно возник-шей в его воображении геометрической картинкой. Андрей Николаевич был одним из крупнейших аналитиков и логи-ков своего времени, но всегда гордился своей геометриче-ской интуицией.

При изучении геометрии происходит культурное разви-тие личности, так как геометрия, будучи частью математи-ки, является феноменом мировой, общечеловеческой куль-туры. С давних времен принято, что человек, не получивший достаточного математического и, в частности, геометриче-ского образования, не может считаться культурным.

Геометрическое образование благотворно влияет на ин-теллектуальное развитие личности. При этом успешно реша-ются такие проблемы совершенствования мыслительной де-ятельности учащегося, как формирование и развитие: а) ее метрического компонента (умения определять, измерять и вычислять длины, площади и объемы геометрических фи-гур); б) символического компонента (понимания геометриче-ских символов и умения оперировать ими); в) интуитивного компонента (воображения — конструирования, моделирова-ния, индуктивного и дедуктивного мышления); г) логиче-ского компонента (знакомство с геометрическими понятия-ми — определениями, аксиомами, правилами логического вывода, теоремами и их доказательствами); д) конструктив-ного компонента (умения осуществлять построения изобра-жений плоских и пространственных геометрических фигур).

Курс геометрии (стереометрии) 10—11 классов углублен-ного уровня базируется на учебно-методическом комплексе, состоящем из учебников в печатной и электронной формах, задачников и методических пособий и содержащем кроме программного теоретического материала дополнительный материал и задачи к нему.

Курс обеспечивает принцип преемственности: изложение материала согласуется с изложением материала в имеющих-ся учебниках геометрии для 7—9 классов.

«Вхождение» в курс стереометрии начинается со знаком-ства с различными многогранниками на интуитивном (на-глядном) уровне и с обучения изображать их. Авторы при-держиваются концепции изучать начальные и основополага-ющие темы стереометрии в задачах, используя при этом модели и изображения, что приводит к сознательному и эф-

6

фективному формированию у ученика конструктивных про-странственных представлений.

Большое внимание в курсе уделено вопросам построения сечений многогранников. О построениях более сложных се-чений многогранников речь идет в дополнительной теме «Методы построения сечений многогранников».

В курсе нет строгого аксиоматического построения стерео-метрии. На основании нескольких аксиом последовательно доказываются теоремы стереометрии. Изучение стереоме-трии достаточно насыщенно. По мнению авторов, главным отличием изучения геометрии на углубленном уровне яв-ляется не только углубление и расширение теоретического материала, но и методически верная подборка решаемых задач, как в количественном, так и в качественном отно-шении. Прежде всего, необходимо решить все простейшие опорные задачи задачника. Этими задачами ни в коем слу-чае не следует пренебрегать, какими бы простыми они ни ка-зались. Только после решения всех опорных задач следует переходить к решению более сложных задач. В разделе «До-полнения» содержатся также «Материалы для повторения и углубления планиметрии». В них собран обширный теорети-ческий и задачный материал по планиметрии.

В процессе изучения концептуально каждое преобразова-ние пространства (кроме преобразования подобия) задается «конструктивно-алгоритмически»: сначала «конструктивно строится» отображение пространства на себя, затем доказы-вается, что построенное отображение является преобразова-нием пространства, после чего вводится соответствующее название и определение, символическое обозначение этого преобразования и изучаются его свойства.

Корректное и последовательное изучение свойств много-гранников осуществляется в 11 классе. Строгое обоснование вывода формул для вычисления объемов тел в стереометрии весьма сложно. В данном курсе этот вопрос предлагается ре-шать, основываясь на более сильном (и интуитивно понят-ном) утверждении, чем принцип Кавальери, а именно: «Ес-ли при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из пло-скостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n». Ис-пользуя этот принцип, в учебнике выводятся формулы для вычисления объемов призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей.

В дополнительных темах курса предложены материалы «О применении определенного интеграла для нахождения

7

объемов тел вращения», «О симметриях правильных много-гранников», «О поверхностях второго порядка», «О вектор-ном произведении векторов». А в очерках «Об элементарной геометрии», «Об аналитической геометрии», «О дифферен-циальной геометрии», «О проективной геометрии», «О неев-клидовой геометрии Лобачевского», «О сферической геоме-трии», «О топологии» с историко-биографическими справ-ками о жизни основоположников, творцов, создателей отдельных ветвей геометрии и где рассказывается о путях становления этих ветвей геометрии как науки. В очерке «Об аксиоматическом построении геометрии» речь идет о по-строении трехмерной евклидовой геометрии по Гильберту и по Вейлю.

Изложение материала обеспечивает изучение тем на раз-личных уровнях сложности. Каждый учитель сам выберет подходящий его классу уровень изучения. Для оценки ре-зультатов освоения знаний предусмотрено проведение кон-трольных работ, тестов и зачетов по темам курса. Помогают этому всему имеющиеся в «Приложениях» списки основных теорем стереометрии и таблиц с формулами планиметрии и стереометрии.

Задачи курса структурированы по уровню сложности. Ко всем задачам либо даны ответы, либо указания к их решению, в ряде случаев приводятся подробные решения задач. В помощь учителю в методических пособиях пред-ставлены решения сложных и интересных задач по темам курса.

Данный курс может стать хорошей основой для ведения полугодовых и годовых элективных курсов или внеурочных занятий по геометрии. Для этого можно использовать основ-ной материал учебников и задачников комплекса, и особен-но материал их разделов «Приложения» и «Дополнения».

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТАИзучение курса предполагает достижение выпускниками

старшей школы следующих личностных, метапредметных и предметных результатов1.

1 Примерная основная образовательная программа среднего общего образования. Одобрено Федеральным учебно-методиче-ским объединением по общему образованию. Протокол от 28 ию ня 2016 г. № 2/16-з.

8

Личностные результаты освоения учебного предмета— Ориентация обучающихся на достижение личного

счастья, реализацию позитивных жизненных перспектив, инициативность, креативность, готовность и способность к личностному самоопределению, способность ставить цели и строить жизненные планы;

— готовность и способность обучающихся к отстаиванию личного достоинства, собственного мнения, готовность и спо собность вырабатывать собственную позицию по отноше-нию к общественно-политическим событиям прошлого и на-стоящего на основе осознания и осмысления истории, духов-ных ценностей и достижений нашей страны;

— готовность и способность обучающихся к саморазви-тию и самовоспитанию в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества, потреб-ность в физическом самосовершенствовании;

— мировоззрение, соответствующее современному уров-ню развития науки и общественной практики, основанное на диалоге культур, а также различных форм общественного сознания, осознание своего места в поликультурном мире;

— принятие ценностей демократии и социальной соли-дарности, готовность к договорному регулированию отноше-ний в группе или социальной организации;

— готовность обучающихся к конструктивному участию в принятии решений, затрагивающих их права и интересы, в том числе в различных формах общественной самоорга-низации, самоуправления, общественно значимой деятель-ности;

— приверженность идеям интернационализма, дружбы, равенства; воспитание уважительного отношения к нацио-нальному достоинству людей и их чувствам;

— принятие общечеловеческих ценностей, готовности и способности вести диалог с другими людьми, достигать в нем взаимопонимания, находить общие цели и сотрудни-чать для их достижения;

— принятие гуманистических ценностей, осознанное, уважительное и доброжелательное отношение к другому че-ловеку, его мнению, мировоззрению;

— формирование нравственной позиции, в том числе спо-собности к сознательному выбору поведения, основанного на чести, долге, справедливости, милосердии и дружелюбии;

— готовность обучающихся к трудовой профессиональ-ной деятельности как к возможности участия в решении личных, общественных, государственных проблем;

9

— физическое, эмоционально-психологическое, социаль-ное благополучие обучающихся в жизни образовательной организации, ощущение детьми физической, психологиче-ской и информационной безопасности и психологического комфорта;

— сформированность целостного мировоззрения, соответ-ствующего современному уровню развития науки математи-ки и общественной практики ее применения;

— основы саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, твор-ческой и ответственной деятельности с применением мето-дов математики;

— готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности на основе развитой мотивации учебной деятельности и лич-ностного смысла изучения математики, заинтересованности в приобретении и расширении математических знаний и способов действий, осознанности в построении индивидуаль-ной образовательной траектории;

— осознанный выбор будущей профессии, ориентирован-ной на применение математических методов и возможностей реализации собственных жизненных планов; отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, обще-национальных проблем;

— ответственное отношение к учению, способность и го-товность обучающихся к самообразованию, саморазвитию и самореализации на основе осознанной мотивации учебной деятельности, личностной направленности на изучение и по-знание геометрии, построение индивидуальной образова-тельной траектории повышения геометрической культуры;

— сформированность представлений о геометрии как ча-сти общечеловеческой культуры, универсальном языке нау-ки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;

— сформированность у обучающихся познавательной ак-тивности и любознательности, основ логического, алгорит-мического, вычислительного мышления и пространственно-го воображения;

— сформированность прочного и сознательного овладе-ния учащимися системой геометрических знаний и умений;

10

— сформированность умений применять полученные зна-ния при решении задач различного уровня сложности;

— сформированность умений аргументированно обосно-вывать утверждения логического, конструктивного и вычис-лительного характера.

Метапредметные результаты освоения учебного предметаМетапредметные результаты представлены тремя группа-

ми универсальных учебных действий (УУД).1. Регулятивные универсальные учебные действияВыпускник научится:— самостоятельно определять цели, задавать параметры

и критерии, по которым можно определить, что цель достиг-нута;

— оценивать возможные последствия достижения постав-ленной цели в деятельности, собственной жизни и жизни окружающих людей, основываясь на соображениях этики и морали;

— ставить и формулировать собственные задачи в образо-вательной деятельности и жизненных ситуациях;

— оценивать ресурсы, в том числе время и другие немате-риальные ресурсы, необходимые для достижения поставлен-ной цели;

— выбирать путь достижения цели, планировать решение поставленных задач, оптимизируя материальные и немате-риальные затраты;

— организовывать эффективный поиск ресурсов, необхо-димых для достижения поставленной цели;

— сопоставлять полученный результат деятельности с по-ставленной заранее целью.

2. Познавательные универсальные учебные действияВыпускник научится: — искать и находить обобщенные способы решения за-

дач, в том числе осуществлять развернутый информацион-ный поиск и ставить на его основе новые (учебные и познава-тельные) задачи;

— критически оценивать и интерпретировать информа-цию с разных позиций, распознавать и фиксировать проти-воречия в информационных источниках;

— использовать различные модельно-схематические сред -ства для представления существенных связей и отношений, а также противоречий, выявленных в информационных источниках;

11

— находить и приводить критические аргументы в отно-шении действий и суждений другого; спокойно и разумно от-носиться к критическим замечаниям в отношении собствен-ного суждения, рассматривать их как ресурс собственного развития;

— выходить за рамки учебного предмета и осуществлять целенаправленный поиск возможностей для широкого пере-носа средств и способов действия;

— выстраивать индивидуальную образовательную траек-торию, учитывая ограничения со стороны других участни-ков и ресурсные ограничения;

— менять и удерживать разные позиции в познаватель-ной деятельности.

3. Коммуникативные универсальные учебные действияВыпускник научится:— осуществлять деловую коммуникацию как со сверстни-

ками, так и со взрослыми (как внутри образовательной орга-низации, так и за ее пределами), подбирать партнеров для деловой коммуникации исходя из соображений результатив-ности взаимодействия, а не личных симпатий;

— при осуществлении групповой работы быть как руково-дителем, так и членом команды в разных ролях (генератор идей, критик, исполнитель, выступающий, эксперт и т. д.);

— координировать и выполнять работу в условиях реаль-ного, виртуального и комбинированного взаимодействия;

— развернуто, логично и точно излагать свою точку зре-ния с использованием адекватных (устных и письменных) языковых средств;

— распознавать конфликтогенные ситуации и предотвра-щать конфликты до их активной фазы, выстраивать деловую и образовательную коммуникацию, избегая личностных оценочных суждений;

— самостоятельно ставить цели учебной, исследователь-ской и проектной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответ-ствии с поставленной задачей и условиями ее выполнения;

— самостоятельно планировать альтернативные пути до-стижения целей, осознанно выбирать наиболее эффектив-ные способы решения учебных и познавательных задач;

— находить необходимую информацию, критически оце-нивать и интерпретировать информацию в различных источ-никах (в справочниках, литературе, Интернете), представ-лять информацию в различной форме (словесной, таблич-ной, графической, символической), обрабатывать, хранить

12

и передавать информацию в соответствии с познавательны-ми или коммуникативными задачами;

— осуществлять познавательную, учебно-исследователь-скую и проектную деятельность, разрешать проблемы; осу-ществлять самостоятельный поиск методов решения прак-тических задач, применять различные методы познания;

— продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участ-ников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

— владеть языковыми средствами — ясно, логично и точ-но излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

— владеть навыками познавательной рефлексии как осоз-нания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и не-знания, новых познавательных задач и средств их дости-жения;

— самостоятельно ставить цели учебной, познавательной, исследовательской деятельности; осознанно находить аль-тернативные и наиболее эффективные способы их дости-жения;

— распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;

— применять изученные свойства геометрических фигур и формул для решения геометрических задач с практиче-ским содержанием;

— создавать проблемные геометрические ситуации и ги-потетически выдвигать пути их разрешения с привлечением алгебры и математического анализа, компьютерных техно-логий;

— применять индуктивные и дедуктивные методы рас-суждений при доказательстве теорем и решении задач;

— представлять информацию в словесной, графической, табличной, символической форме;

— воспринимать геометрические понятия как важней-шие математические модели реальных предметов, позволя-ющие описывать и изучать разные процессы и явления ре-ального мира; понимать возможности аксиоматического по-строения курса геометрии.

13

Предметные результаты освоения учебного предмета Выпускник в 10—11 классах научится на углублен-ном уровне (для успешного продолжения образования по специаль-ностям, связанным с прикладным использованием мате-матики)Элементы теории множеств и математической логики— Свободно оперировать1 понятиями: утверждение, от-

рицание утверждения, истинные и ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения, контр пример;

— проводить доказательные рассуждения для обоснова-ния истинности утверждений.

В повседневной жизни и при изучении других пред-метов:

— проводить доказательные рассуждения в ситуациях по-вседневной жизни, при решении задач из других предметов.

Геометрия— Владеть геометрическими понятиями при решении за-

дач и проведении математических рассуждений;— самостоятельно формулировать определения геометри-

ческих фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и при-знаках геометрических фигур и обосновывать или опро-вергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить в несложных случаях клас-сификацию фигур по различным основаниям;

— исследовать чертежи, включая комбинации фигур, из-влекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;

— решать задачи геометрического содержания, в том чис-ле в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи до-полнительные построения, исследовать возможность приме-нения теорем и формул для решения задач;

— уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;

— владеть понятиями стереометрии: призма, параллеле-пипед, пирамида, тетраэдр;

1 Здесь и далее: знать определение понятия, знать и уметь обо-сновывать свойства (признаки, если они есть) понятия, характери-зовать связи с другими понятиями, представляя одно понятие как часть целостного комплекса, использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.

14

— иметь представления об аксиомах стереометрии и след-ствиях из них и уметь применять их при решении задач;

— уметь строить сечения многогранников с использова-нием различных методов, в том числе и метода следов;

— иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;

— применять теоремы о параллельности прямых и пло-скостей в пространстве при решении задач;

— уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;

— уметь применять перпендикулярности прямой и пло-скости при решении задач;

— владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;

— владеть понятиями расстояние между фигурами в про-странстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;

— владеть понятиями двугранный угол, угол между пло-скостями, перпендикулярные плоскости и уметь приме-нять их при решении задач;

— владеть понятиями призма, параллелепипед и приме-нять свойства параллелепипеда при решении задач;

— владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;

— владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элемен-ты правильной пирамиды и уметь применять их при реше-нии задач;

— иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;

— владеть понятием площадь поверхности многогранни-ка и уметь применять его при решении задач;

— владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять их при решении задач;

— иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применять их при решении задач;

15

— иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении задач;

— иметь представление о площади сферы и уметь приме-нять его при решении задач;

— уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

— иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхно-стей подобных фигур.

В повседневной жизни и при изучении других пред-метов:

— составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для решения задач практиче-ского характера и задач из смежных дисциплин, исследо-вать полученные модели и интерпретировать результат.

Векторы и координаты в пространстве— Владеть понятиями векторы и их координаты;— уметь выполнять операции над векторами;— использовать скалярное произведение векторов при ре-

шении задач;— применять уравнение плоскости, формулу расстояния

между точками, уравнение сферы при решении задач;— применять векторы и метод координат в пространстве

при решении задач.История математики— Иметь представление о вкладе выдающихся математи-

ков в развитие науки;— понимать роль математики в развитии России. Иметь

представление об историческом пути развития геометрии как науки, огромной роли отечественных математиков в этом развитии.

Методы математики— Использовать основные методы доказательства, прово-

дить доказательство и выполнять опровержение; — применять основные методы решения математических

задач;— на основе математических закономерностей в природе

характеризовать красоту и совершенство окружающего ми-ра и произведений искусства;

— применять простейшие программные средства и элек-тронно-коммуникационные системы при решении матема-тических задач;

16

— пользоваться прикладными программами и програм-мами символьных вычислений для исследования математи-ческих объектов.

Выпускник 10—11 классов получит возможность на-учиться на углубленном уровне (для обеспечения возможности успешного продолжения образования по спе циальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук)Геометрия— Иметь представление об аксиоматическом методе;— владеть понятием геометрические места точек в про-

странстве и уметь применять их для решения задач;— уметь применять для решения задач свойства плоских

и двугранных углов, трехгранного угла, теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла;

— владеть понятием перпендикулярное сечение призмы и уметь применять его при решении задач;

— иметь представление о двойственности правильных многогранников;

— владеть понятиями центральное и параллельное про-ектирование и применять их при построении сечений мно-гогранников методом проекций;

— иметь представление о развертке многогранника и кратчайшем пути на поверхности многогранника;

— иметь представление о конических сечениях;— иметь представление о касающихся сферах и комбина-

ции тел вращения и уметь применять их при решении задач;— применять при решении задач формулу расстояния от

точки до плоскости;— владеть разными способами задания прямой уравнени-

ями и уметь применять при решении задач;— применять при решении задач и доказательстве теорем

векторный метод и метод координат; — иметь представление об аксиомах объема, применять

формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, при-змы и пирамиды, тетраэдра при решении задач;

— применять теоремы об отношениях объемов при реше-нии задач;

— применять интеграл для вычисления объемов и поверх-ностей тел вращения, вычисления площади сферического пояса и объема шарового слоя;

— иметь представление о движениях в пространстве: па-раллельном переносе, симметрии относительно плоскости, центральной симметрии, повороте относительно прямой,

17

винтовой симметрии, уметь применять их при решении за-дач;

— иметь представление о площади ортогональной проек-ции;

— иметь представление о трехгранном и многогранном угле и применять свойства плоских углов многогранного уг-ла при решении задач;

— иметь представления о преобразовании подобия, гомо-тетии и уметь применять их при решении задач;

— уметь решать задачи на плоскости методами стереоме-трии;

— уметь применять формулы объемов при решении за-дач.

Векторы и координаты в пространстве— Владеть понятиями векторы и их координаты;— уметь выполнять операции над векторами;— использовать скалярное произведение векторов при ре-

шении задач;— применять уравнение плоскости, формулу расстояния

между точками, уравнение сферы при решении задач;— применять векторы и метод координат в пространстве

при решении задач;— находить объем параллелепипеда и тетраэдра, за-

данных координатами своих вершин;— задавать прямую в пространстве;— находить расстояние от точки до плоскости в си-

стеме координат;— находить расстояние между скрещивающимися пря-

мыми, заданными в системе координат.История математики— Иметь представление о вкладе выдающихся математи-

ков в развитие науки;— понимать роль математики в развитии России.Методы математики— Использовать основные методы доказательства, прово-

дить доказательство и выполнять опровержение;— применять основные методы решения математических

задач;— на основе математических закономерностей в природе

характеризовать красоту и совершенство окружающего ми-ра и произведений искусства;

— применять простейшие программные средства и элек-тронно-коммуникационные системы при решении матема-тических задач;

18

— пользоваться прикладными программами и програм-мами символьных вычислений для исследования математи-ческих объектов;

— строить изображения геометрических фигур при изуче-нии теоретического материала, при решении задач на доказа-тельство, построение и вычисление, распознавать на черте-жах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;

— применять математические знания к исследованию окружающего мира (моделирование физических процессов, задачи экономики).

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТАВведение в стереометриюПредмет стереометрии. Пространственные фигуры: куб,

параллелепипед, призма, пирамида, сфера и шар. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Теоремы о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку; через две пересекающиеся пря-мые; через две параллельные прямые. Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей. Техника выполнения простей-ших стереометрических чертежей.

Прямые в пространствеПересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся пря-

мые в пространстве. Признаки скрещивающихся прямых.Свойства параллельных прямых в пространстве. Теорема

о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. Теорема о транзитивности параллельности пря-мых в пространстве.

Направление в пространстве. Теорема о равенстве двух углов с сонаправленными сторонами. Определение угла меж-ду скрещивающимися прямыми.

Прямая и плоскость в пространствеПараллельность прямой и плоскости. Признак парал-

лельности прямой и плоскости. Теорема о линии пересече-ния двух плоскостей, одна из которых проходит через пря-мую, параллельную другой плоскости. Теорема о линии пе-ресечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых. Теорема о плоско-сти, проходящей через одну из двух скрещивающихся пря-мых параллельно другой прямой.

Определение прямой, перпендикулярной плоскости. При-знак перпендикулярности прямой и плоскости.

19

Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о длинах перпен-дикуляра, наклонных и проекций этих наклонных. Теоремы о трех перпендикулярах (прямая и обратная).

Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух прямых, пер-пендикулярных плоскости.

Определение угла между наклонной и плоскостью. О ве-личине угла между наклонной и плоскостью и методах его нахождения.

Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Ортогональное проектирование, его свой-ства.

Плоскости в пространствеВзаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Определение параллельных плоскостей. Признаки парал-лельности двух плоскостей.

Теорема о линиях пересечения двух параллельных пло-скостей третьей плоскостью. Теорема о прямой, пересекаю-щей одну из двух параллельных плоскостей. Теорема о пло-скости, пересекающей одну из двух параллельных плоско-стей.

Теорема о плоскости, которая параллельна данной пло-скости и проходит через точку, не лежащую в данной пло-скости. Единственность такой плоскости. Теорема о транзи-тивности параллельности плоскостей в пространстве.

Теорема об отрезках параллельных прямых, заключен-ных между двумя параллельными плоскостями. Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных плоскостей.

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Тео-рема о линейном угле двугранного угла. Угол между двумя плоскостями. Методы нахождения двугранных углов и углов между двумя плоскостями.

Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикуляр-ности двух плоскостей. Теорема о прямой, перпендикуляр-ной линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей и лежащей в одной из них. Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух взаимно перпендикуляр-ных плоскостей и имеющей со второй плоскостью общую точку. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, пер-пендикулярных третьей.

Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Теорема о площади ортогональной проекции многоуголь-ника.

20

Расстояния в пространствеРасстояние между двумя точками. Расстояние между точ-

кой и фигурой. Расстояние между точкой и прямой. Теорема Менелая для тетраэдра. Расстояние между точкой и плоско-стью. Расстояние между точкой и сферой. Приемы нахожде-ния расстояний от точки до фигуры в пространстве. Решение задач на построение перпендикуляров, проведенных из вер-шин изображенного правильного тетраэдра (куба) к его ре-брам, граням, плоским сечениям; вычисление длин этих перпендикуляров.

Расстояние между двумя фигурами. Расстояние между двумя параллельными прямыми. Расстояние между прямой и плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями. Рас-стояние между скрещивающимися прямыми. Приемы на-хождения расстояний между фигурами в пространстве. Ре-шение задач на нахождение расстояний между скрещи-вающимися прямыми, содержащими ребра правильного тетраэдра, диагонали куба.

Геометрические места точек пространства, связанные с расстояниями. Повторение теории в задачах на нахожде-ние расстояний от данной точки: а) до вершин и сторон дан-ного многоугольника (треугольника), плоскость которого не содержит данную точку; б) до граней данного двугранного угла; в) до ребер и граней данного куба (правильного тетраэ-дра); г) до построенного сечения данного многогранника.

Векторный метод в пространствеВектор в пространстве. Единичный и нулевой вектор.

Противоположные векторы. Единственность отложения от данной точки вектора, равного данному вектору. Коллинеар-ность двух векторов и ее геометрический смысл. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на скаляр) и их свойства.

Компланарность трех векторов. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, компланарным с данным вектором. Три некомпланарных вектора. Разложение векто-ра по трем некомпланарным векторам. Векторный базис в пространстве. Разложение вектора и его координаты в дан-ном векторном базисе. Условие коллинеарности двух векто-ров и компланарности трех векторов в пространстве.

Угол между двумя векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Условие ортогональности двух век-торов. Векторное доказательство признака перпендикуляр-ности прямой и плоскости, теорем о трех перпендикулярах.

21

Координатный метод в пространствеОртонормированный базис в пространстве. Прямоуголь-

ная декартова система координат в пространстве. Координа-ты вектора, действия над векторами в координатах. Условие коллинеарности двух векторов в координатах.

Скалярное произведение векторов в координатах. Усло-вие перпендикулярности двух векторов в координатах. Про-екция вектора на ось в координатах.

Декартовы прямоугольные координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между двумя точками в координа-тах; координат точки, делящей отрезок в данном отноше-нии, середины отрезка. Уравнения и неравенства, задающие множества точек в пространстве. Уравнение сферы и нера-венство шара. Общее уравнение плоскости в декартовых прямоугольных координатах. Уравнение плоскости, прохо-дящей через данную точку перпендикулярно данному векто-ру. Частные случаи общего уравнения плоскости и их графи-ческая иллюстрация. Уравнение плоскости в отрезках. Фор-мула расстояния от точки до плоскости.

Угол между двумя плоскостями в координатах. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в координатах.

Уравнения прямой по точке и направляющему вектору; канонические и параметрические уравнения прямой. Урав-нения прямой по двум ее точкам. Прямая как линия пересе-чения двух плоскостей. Угол между двумя прямыми в коор-динатах. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости в координа-тах. Угол между прямой и плоскостью в координатах. Усло-вия параллельности и перпендикулярности прямой и пло-скости.

Преобразования пространстваОтображения пространства. Определение преобразования

пространства. Тождественное преобразование. Центральная симметрия пространства: определение, запись в координа-тах. Обратное преобразование. Композиция преобразований.

Движения пространства: определение движения; компо-зиция движений. Общие свойства движений. Движения пер-вого и второго рода в пространстве. О равенстве фигур в про-странстве. Свойства центральной симметрии пространства. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости центральной симметрии. Центральная симме-трия пространства — движение второго рода. Централь-но-симметричные фигуры.

22

Симметрия относительно плоскости (зеркальная симме-трия): определение, запись в координатах. Свойства симме-трии относительно плоскости. Симметрия относительно пло-скости — движение второго рода. Неподвижные точки, не-подвижные прямые, неподвижные плоскости зеркальной симметрии. Фигуры, симметричные относительно плос-кости.

Параллельный перенос: определение, запись в координа-тах. Свойства параллельного переноса. Параллельный пере-нос — движение первого рода. Неподвижные точки, непод-вижные прямые, неподвижные плоскости параллельного пе-реноса.

Скользящая симметрия. Скользящая симметрия — дви-жение второго рода. Поворот вокруг оси. Свойства осевой симметрии и поворота вокруг оси. Осевая симметрия — дви-жение первого рода. Зеркальный поворот. Зеркальный пово-рот — движение второго рода. Винтовое движение. Винтовое движение — движение первого рода. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости скользящей симметрии, осевой симметрии, зеркального поворота, вин-тового движения.

Взаимосвязь различных движений пространства. Компо-зиции двух зеркальных симметрий относительно параллель-ных и пересекающихся плоскостей. Семь различных видов движений пространства.

Гомотетия пространства. Формулы гомотетии простран-ства в координатах и ее свойства. Определение подобия про-странства; разложение подобия в композицию гомотетии и движения. О подобии фигур в пространстве.

Повторение в задачах материала о преобразованиях про-странства, используя координатный метод, тетраэдр, куб.

МногогранникиВнутренние и граничные точки, внутренность и граница

геометрической фигуры. Выпуклая, связная, ограниченная геометрическая фигура. Пространственная область. Геоме-трическое тело, его внутренность и поверхность.

Многогранник и его элементы: вершины, ребра, грани, плоские углы при вершине, двугранные углы при ребрах. Эйлерова характеристика многогранника. Теорема Де-карта—Эйлера для выпуклого многогранника1. Понятие о развертке многогранника. Свойства выпуклых многогран-ников.

1 Доказательство этой теоремы рассмотрено в разделе «Правиль-ные многогранники».

23

О понятии объема тела. Свойства объемов тел. Равновели-кие и равносоставленные тела. Объем прямоугольного па-раллелепипеда.

Определение призмы и ее элементов. Количество вершин, ребер, граней, диагоналей у n-угольной призмы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Призматическая поверхность. Перпендикулярное сечение призмы. Боковая и полная поверхности призмы; формулы вычисления их пло-щадей. Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм.

Определение параллелепипеда. Наклонный, прямой, пря-моугольный параллелепипед. Куб. Свойства диагоналей па-раллелепипеда. Свойство прямоугольного параллелепипеда. Объем параллелепипеда.

Понятие о многогранном угле. Вершина, грани, ребра, плоские углы при вершине выпуклого многогранного угла. Многогранные углы при вершинах многогранников. Трех-гранный угол. Теорема о плоских углах трехгранного угла (неравенство трехгранного угла). Теорема о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла. Теорема синусов и тео-рема косинусов трехгранного угла.

Определение пирамиды и ее элементов. Количество вер-шин, ребер и граней у n-угольной пирамиды. Некоторые частные виды пирамид: пирамида, все боковые ребра кото-рой равны между собой (все боковые ребра пирамиды образу-ют равные углы с плоскостью ее основания); пирамида, все двугранные углы которой при ребрах основания равны меж-ду собой; пирамида, ровно одна боковая грань которой пер-пендикулярна плоскости ее основания; пирамида, две сосед-ние боковые грани которой перпендикулярны плоскости ее основания; пирамида, две несоседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости ее основания; пирамида, боко-вое ребро которой образует равные углы с ребрами основа-ния, выходящими из одной вершины. Формулы вычисления площадей боковой и полной поверхностей пирамиды.

Правильная пирамида и ее свойства. Апофема правиль-ной пирамиды. Формулы вычисления площадей боковой и полной поверхностей правильной пирамиды.

Свойства параллельных сечений пирамиды. Усеченная пирамида, формулы вычисления ее боковой и полной по-верхностей. Объем пирамиды и формулы его вычисления. Формула вычисления объема усеченной пирамиды.

Тетраэдры. Объем тетраэдра. Возможность выбора ос-нования у тетраэдра. Свойство отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с центроидами противоположных гра-

24

ней. Правильный тетраэдр. Ортоцентрический тетраэдр. Равногранный тетраэдр (тетраэдр, все грани которого рав-ны). Тетраэдр, все боковые грани которого образуют равные двугранные углы с плоскостью его основания. Формула V =

= 16 a•b•r(а, b)•sin j вычисления объема тетраэдра, где а

и b — длины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, j — угол между прямыми, содержащими эти ребра, r(a, b) — рас-стояние между этими прямыми. Отношение объемов двух тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы.

Доказательство теоремы Декарта—Эйлера для выпуклых многогранников. Виды, элементы и свойства правильных многогранников. Вычисление площадей поверхностей и объ-емов правильных многогранников. Решение задач на все ви-ды правильных многогранников.

Фигуры вращенияПоверхность и тело вращения. Цилиндр. Основания, об-

разующие, ось, высота цилиндра. Цилиндрическая поверх-ность вращения. Сечения цилиндра плоскостью. Изображе-ние цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру. Разверт-ка цилиндра. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей цилиндра. Призма, вписанная в цилиндр и описанная около цилиндра. Вычисление объема цилиндра.

Конус вращения. Вершина, основание, образующие, ось, высота, боковая и полная поверхности конуса. Сечения ко-нуса плоскостью. Равносторонний конус. Касательная пло-скость к конусу. Изображение конуса. Развертка. Вычисле-ние площадей боковой и полной поверхностей конуса. Свой-ства параллельных сечений конуса. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды. Цилиндр, вписанный в конус.

Усеченный конус: основания, образующие, высота, боко-вая и полная поверхности. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса. Вычисление объе-мов конуса и усеченного конуса.

Шар и сфера. Хорда, диаметр, радиус сферы и шара. Изо-бражение сферы. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Пересечение шара и сферы с плоско-стью. Плоскость, касательная к сфере и шару. Теоремы о ка-сательной плоскости.

Шары и сферы, вписанные в цилиндр, конус, многогран-ник и описанные около них. Шары и сферы, вписанные в двугранный угол и многогранный угол. Шары и сферы, вписанные в правильные многогранники и описанные около них.

25

Шаровой сегмент, его основание и высота; сегментная по-верхность. Шаровой слой, его основания и высота; шаровой пояс. Шаровой сектор и его поверхность. Формулы для вы-числения площадей сферы, сегментной поверхности, шаро-вого пояса, поверхности шарового сектора. Формулы для вычисления объемов шара, шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕПланирование на изучение учебного материала на углу-

бленном уровне рассчитано на 3 ч в неделю, всего по 102 ч в 10 и 11 классах.

В тематическом планировании разделы основного содер-жания разбиты на темы в порядке их изучения.

Особенностью тематического планирования является то, что в нем содержится описание возможных видов деятельно-сти обучающихся в процессе усвоения соответствующего со-держания.

10 КЛАСС

Основное содержание Характеристика основных видов учебной деятельности

Глава 1ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ (8 ч)

Предмет стереометрии. Пространственные фигуры: куб, параллеле-пипед, призма, пирами-да, сфера и шар. Основ-ные понятия стереоме-трии. Аксиомы стереометрии. Аксиомы стереометрии в задачах на доказательство и построение с использо-ванием моделей и изобра-жений куба, тетраэдра, пирамиды. (1 ч)

Строить изображения куба, парал-лелепипеда, призмы, пирамиды, сферы и шара.На моделях и изображениях много-гранников определять (изображать) точки, прямые, плоскости; произво-дить символические обозначения, записи.Формулировать и иллюстрировать аксиомы стереометрии с ис пользованием изображений и моделей куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Решать задачи на доказательство и построение, используя аксиомы стереометрии. Вырабатывать навык начинать решение стереометрической задачи с изображения фигур, о которых

26


идет речь в этой задаче, сопрово-ждая аргументированными объяс-нениями возникающие утвержде-ния

Следствия из аксиом. Теоремы о плоскости, проходящей: через прямую и не лежащую на ней точку; через две пересекающиеся прямые; через две параллельные прямые. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий с использова-нием моделей и изобра-жений куба, параллеле-пипеда, пирамиды. (2 ч)

Доказывать первые следствия из аксиом.Изображать плоскость в прост- ран стве, задавая ее: а) тремя точка-ми, не лежащими на одной прямой; б) прямой и не принадлежащей ей точкой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.На моделях и изображениях много-гранников «видеть» параллельные прямые.Решать задач на применение аксиом стереометрии и их следствий с использованием моделей и изобра-жений куба, параллелепипеда, пирамиды, сопровождая при этом аргументированными объяснения-ми возникающие утверждения

Пересечение прямой и плоскости, двух плоско-стей. Техника выполне-ния простейших стерео-метрических чертежей. Решение конструктив-ных и вычислительных задач с использованием изображений многоу-гольников, куба, тетраэ-дра. (2 ч)

Доказывать изученные теоремы.Строить изображения куба, пра-вильного тетраэдра, параллелепипе-да, призмы, пирамиды и выполнять дополнительные построения на этих изображениях: строить точки пересечения прямой и плоскости, «проводить» прямые пересечения двух плоскостей.Строить плоские сечения много-гранников на основании системы аксиом, аргументированно объяс-няя каждый «шаг построения».Корректно обосновывать утвержде-ния, возникающие при решении задач и доказательстве теорем

Решение задач стереоме-трии на доказательство, построение, вычисление.

Формулировать и иллюстрировать аксиомы стереометрии с использо-ванием изображений и моделей

Продолжение табл.

27


Построение сечений куба, тетраэдра, пирами-ды. Вычисление площа-дей этих сечений. (2 ч)

куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Доказывать изученные теоремы.Решать задачи на доказательство, вычисление, построение с использо-ванием изображений куба, правиль-ного тетраэдра, призмы, пирамиды, аргументируя утверждения и «шаги построения»

Проекты1. История развития стереометрии.Основные этапы.2. Различные системы аксиом стереометрии

Искать, отбирать, анализировать, систематизировать и классифициро-вать информацию. Использовать различные источники информации для работы над проектом

Графическая работа № 1.Тема «Следствия из аксиом стереометрии».(Работа может быть предложена учащимся как специальное домаш-нее задание.)

Решать конструктивные задачи стереометрии на основании системы аксиом, корректно аргументируя «шаги построения»

Контрольная работа № 1 (1 ч)

Решать задач на аксиомы стереоме-трии и следствия из них

Глава 2ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ (8 ч)

Пересекающиеся, парал-лельные и скрещиваю-щиеся прямые в про-странстве. Признаки скрещивающихся пря-мых. Решение задач на взаимное расположение прямых в пространстве с использованием моде-лей и изображений многогранников. (2 ч)

Формулировать определения параллельных, скрещивающихся прямых. Формулировать и доказы-вать признак скрещивающихся прямых.На моделях, изображениях тетраэ-дра, куба и других многогранников интуитивно «видеть», изображать различные пары прямых и с помо-щью признаков определять их взаимное расположение. Решать задачи о взаимном располо-жении прямых в пространстве на доказательство, построение


28


и вычисление, используя изображе-ния и модели куба, правильного тетраэдра, призмы, пирамиды

Свойства параллельных прямых в пространстве. Теорема о двух парал-лельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. Признак параллельности прямых в пространстве. Парал-лельные прямые в задачах на доказатель-ство, построение и вычисление. (1 ч)

Доказывать, что: а) через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну; б) если одна из двух параллельных прямых лежит в данной плоскости, то другая, параллельная ей прямая, не может эту плоскость пересекать; в) из двух пересекающихся прямых только одна может быть параллель-на данной прямой; г) если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны; д) из двух скрещивающихся прямых только одна может быть параллель-на данной прямой.На изображениях куба, правильно-го тетраэдра, призмы решать задачи на доказательство, построение и вычисление, используя свойства параллельных и скрещивающихся прямых

Направление в простран-стве. Теорема о равенстве двух углов с сонаправлен-ными сторонами. Опреде-ление угла между скре-щивающимися прямы-ми. Решение задач на вычисление углов между прямыми в пространстве с использованием изобра-жений куба, правильного тетраэдра, а также много-угольников, расположен-ных в различных плоско-стях. (1 ч)

На моделях, изображениях тетраэ-дра, куба и других многогранников правильно строить, изображать: а) углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми, затем находить их величину, сопровождая каждый шаг построения и вычисле-ния корректной аргументацией; б) перпендикуляр из данной точки на данную прямую и находить его длину, аргументированно обосновы-вая каждый шаг построения и вычисления.Решать задачи на нахождение угла между пересекающимися и скрещи-вающимися прямыми на изображе-ниях правильных многогранников


29


Решение задач на взаим-ное расположение пря-мых в пространстве. Изображение (проведе-ние) на плоскости (в тетради) прямой, прохо-дящей в пространстве через данную точку: а) параллельно данной прямой; б) перпендику-лярно данной прямой; в) скрещивающейся с данной прямой (на изображениях куба, правильного тетраэдра). Число решений задачи на построение. (2 ч)

На моделях, изображениях куба, правильного тетраэдра, параллеле-пипеда, правильных пирамиды и призмы определять и вычислять углы между прямыми, содержащи-ми ребра, диагонали многогранни-ка, диагонали его граней, сопрово-ждая каждый шаг построения и вычисления корректной аргумен-тацией

Повторение теоретиче-ского материала о взаим-ном расположении двух прямых в пространстве в задачах на доказатель-ство, построение, вычис-ление. (1 ч)

Правильно изображать куб, пра-вильный тетраэдр, правильные пирамиду и призму, прямоугольный параллелепипед. На построенных изображениях этих многогранников изображать различные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве, при этом правильно строить, изображать углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми, затем находить их величину. Строить сечения многогранников и находить их площади, периметры


На изображении многогранника находить: а) углы между различны-ми прямыми, содержащими его ребра, диагонали; б) длины отрез-ков. Аргументированно обоснованное решение задач. Понимать сущность правильного краткого письменного обоснования решения. Ссылаться на изученный материал, грамотно выполнить чертежи


30


Глава 3 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ (27 ч)ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ (9 ч)

Определение параллель-ных прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Решение задач на доказа-тельство с использовани-ем признака параллель-ности прямой и плоско-сти. Решение конструктивных задач стереометрии о проведе-нии через данную точку: а) прямой, параллельной данной плоскости; б) плоскости, параллель-ной данной прямой. (2 ч)

Формулировать определение и признак параллельности прямой и плоскости.Используя изображения многогран-ников, строить изображения: а) прямой, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости: б) плоскости, проходя-щей через данную точку параллель-но данной прямой.Доказывать теоремы о том, что:а) если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость парал-лельны; б) плоскость и не лежащая в ней прямая, параллельные некото-рой плоскости, параллельны; в) плоскость и не лежащая в ней прямая, параллельные некоторой прямой, параллельны.Используя изображения многогран-ников, решать задачи на доказа-тельство и вычисление, применяя свойства параллельности прямых и плоскостей. Аргументированно обосновывать каждое утверждение логического, конструктивного, вычислительного характера

Теорема о линии пересе-чения двух плоскостей, одна из которых прохо-дит через прямую, параллельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух параллель-ных прямых. Теорема

Используя изображения многогран-ников, строить линии пересечения двух плоскостей: а) одна из которых проходит через прямую, параллель-ную другой плоскости; б) каждая их которых проходит через одну из двух параллельных прямых.Доказывать теорему о плоскости, проходящей через одну из двух скрещивающихся прямых парал-лельно другой прямой.


31


о плоскости, проходящей через одну из двух скрещивающихся пря-мых параллельно другой прямой. Решение задач на свойства параллель-ных прямой и плоскости с использованием изобра-жений параллелепипеда, куба, пирамиды. (3 ч)

Доказывать теоремы о том, что: а) если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту пло-скость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой; б) если через каждую из двух параллельных прямых прове-дена плоскость, причем эти плоско-сти пересекаются, то прямая их пересечения параллельна каждой из данных прямых; в) если прямая параллельна каждой из двух пересе-кающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения; г) для любых двух скрещивающих-ся прямых существует единственная пара параллельных плоскостей, проходящих соответственно через эти прямые.Решать задачи на свойства парал-лельности прямой и плоскости, используя модели и изображения многогранников

Решение задач на постро-ение сечений параллеле-пипеда, куба, тетраэдра плоскостью: а) парал-лельной данной прямой; б) параллельной данной плоскости. Вычисление площадей построенных сечений. (2 ч)

Используя изображения куба, правильного тетраэдра, параллеле-пипеда, призмы, на основании свойств параллельности прямой и плоскости решать задачи на доказательство, построение и вычисление, сопровождая каждое утверждение корректной аргумен-тацией

Повторение теории о параллельности пря-мых и плоскостей в задачах на доказатель-ство, построение и вычисление. (2 ч)

Повторять формулировки определе-ния и признака параллельности прямой и плоскости, всех теорем о свойствах параллельности прямой и плоскости, иллюстрируя каждую из них на изображениях и моделях многогранников. Решать задачи на доказательство, построение и вычисление, сопровождая реше-


32


ния аргументированными объясне-ниями.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ (9 ч)

Определение прямой, перпендикулярной плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Решение задач на доказа-тельство, построение и вычисление с использо-ванием признака перпен-дикулярности прямой и плоскости. (2 ч)

Формулировать: а) определение прямой, перпендикулярной плоско-сти; б) признак перпендикулярно-сти прямой и плоскости. Строить изображение: а) прямой, проходя-щей через данную точку перпенди-кулярно данной плоскости; б) пло-скости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.Формулировать признак перпенди-кулярности прямой и плоскости.На изображениях куба, правильно-го тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда проводить пря-мые, перпендикулярные данной плоскости, и изображать плоскости, перпендикулярные данной прямой, логически обосновывая каждое построение. Решать задачи на доказательство и вычисление на перпендикулярность прямой и плоскости, используя модели и изображения многогранников

Перпендикуляр и на-клонная. Теоремы о длинах перпендику-ляра, наклонных и проекций этих наклон-ных. Теоремы о трех перпендикулярах (пря-мая и обратная). Реше-ние задач на доказатель-ство, построение и вычисление с использо-ванием признака перпен-дикулярности прямой и плоскости, теорем о трех перпендикулярах. (2 ч)

Формулировать и доказывать прямую и обратную теоремы о трех перпендикулярах.На изображениях и моделях куба, правильного тетраэдра, прямоуголь-ного параллелепипеда: а) иллюстри-ровать теорему о трех перпендику-лярах; б) решать задачи на доказа-тельство, построение и вычисления, используя теоремы о перпендику-лярности прямой и плоскости, о трех перпендикулярах, корректно аргументируя соответствующие шаги логического, вычислительного и конструктивного характера


33


Теорема о двух парал-лельных прямых, одна из которых перпендикуляр-на плоскости. Теорема о двух прямых, перпен-дикулярных плоскости. Решение задач на свой-ства перпендикулярных прямых и плоскостей. (2 ч)

Формулировать и доказывать теоремы о свойствах прямых, перпендикулярных плоскости.На изображениях куба, правильно-го тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда решать задачи на доказательство, конструктивного и вычислительного характера, используя свойства прямых, пер-пендикулярных плоскости, сопро-вождая решение каждой задачи логическими обоснованиями

Проведение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей на изображениях куба, правильного тетраэдра, прямоугольного паралле-лепипеда. Вычисление расстояний площадей сечений куба, правильно-го тетраэдра. перпенди-кулярна плоскости. Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости. Решение задач на свойства перпен-дикулярных прямых и плоскостей. (2 ч)

Формулировать признак перпенди-кулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах, теоремы о свойствах прямых, перпендикулярных плоскости. Иллюстрировать эти теоремы на изображениях многогранников.Строить сечения единичного куба плоскостью, перпендикулярной: а) ребру куба; б) диагонали куба; б) диагонали грани куба. Найти площадь каждого сечения.Строить сечения единичного пра-вильного тетраэдра плоскостью, которая проходит: а) перпендику-лярно высоте тетраэдра через её середину; б) перпендикулярно ребру тетраэдра через его середину; в) через вершину тетраэдра перпен-дикулярно медиане противополож-ной грани. Найти площадь каждого сечения


На изображении многогранника находить: а) прямые, перпендику-лярные плоскости; б) длины отрез-ков. Строить сечение многогранника и находить его площадь. Выполнять рисунки к задачам; обосновывать решения


34


УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ (9 ч)

Определение угла между наклонной и плоскостью. О величине угла между наклонной и плоскостью и методах его нахожде-ния. Решение задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с использованием изобра-жений куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды. (3 ч)

Формулировать определение угла между прямой и плоскостью.На моделях и изображениях много-гранников интуитивно «видеть» угол между прямой и плоскостью и логически обосновывать его изображение. Решать задачи на построение и вычисление угла между прямой и плоскостью с использованием изображений куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды, корректно аргументируя логиче-ские утверждения

Параллельное проекти-рование. Свойства параллельного проекти-рования. Ортогональное проектирование, его свойства. Решение задач. (3 ч)

Формулировать и доказывать свойства параллельного проектиро-вания. Строить в параллельной проекции изображения любого треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции, окружности. Формулировать свойства ромба, прямоугольника, квадрата, тра-пеции, инвариантные при парал-лельном проектировании.Изображать в параллельной проек-ции равнобедренную трапецию и ее ось симметрии.Изображать в параллельной проек-ции ромб, имеющий угол в 60°, и строить изображение высоты этого ромба, проведенной из: а) вершины острого угла; б) верши-ны тупого угла.Верно и наглядно строить изобра-жение правильной четырехуголь-ной пирамиды, правильной тре-угольной пирамиды, правильного тетраэдра.Правильно и наглядно «строить» угол между прямой и плоскостью


35


на изображениях куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды.Решать задачи на вычисление углов между прямой и плоскостью, используя изображения куба, правильной пирамиды, правильно-го тетраэдра. Верно строить изображение пра-вильного шестиугольника и пра-вильной шестиугольной призмы в параллельной проекции.Находить площадь ортогональной проекции многоугольника.Решать задачи на доказательство, построение, вычисление с использо-ванием изображений куба, правиль-ного тетраэдра, параллелепипеда, правильной шестиугольной призмы

Повторение теории о взаимном расположении прямых и плоскостей в задачах на доказатель-ство, построение и вычисление. (3 ч)

Формулировать определение и признак: а) параллельности прямой и плоскости; б) перпендику-лярности прямой и плоскости.Формулировать и доказывать прямую и обратную теоремы о трех перпендикулярах.Формулировать и доказывать теоремы о свойствах прямых, параллельных (перпендикулярных) плоскости.Строить сечения многогранников, определять виды сечений и вычис-лять их площади.Используя многогранники, решать задачи на доказательство, построе-ние, вычисление, применяя при этом свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, свойства параллель-ного проектирования


36


Глава 4ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ (17 ч)ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ (8 ч)

Взаимное расположение двух плоскостей в про-странстве. Определение параллельных плоско-стей. Признаки парал-лельности двух плоско-стей. Решение задач на признак параллельности двух плоскостей с ис-пользованием изображе-ний многогранников. (2 ч)

Формулировать определение парал-лельных плоскостей.Формулировать и доказывать признаки параллельности плоско-стей.Интуитивно «видеть» параллельные плоскости на моделях и изображе-ниях многогранников, после чего доказывать параллельность этих плоскостей на основании признаков их параллельности. Используя модели и изображения многогран-ников, решать задачи на нахожде-ние расстояния от точки до плоско-сти, между двумя параллельными плоскостями, от точки до прямой

Теорема о линиях пересе-чения двух параллель-ных плоскостей третьей плоскостью. Теорема о прямой, пересекающей одну из двух параллель-ных плоскостей. Теорема о плоскости, пересекаю-щей одну из двух парал-лельных плоскостей. Решение задач на доказа-тельство, вычисление, построение сечений многогранников. (2 ч)

Формулировать и доказывать теоремы о свойствах параллельных плоскостей.Используя изображения многогран-ников и корректно аргументируя возникающие утверждения, решать задачи: а) на признак параллельно-сти двух плоскостей; б) на доказа-тельство, построение сечений многогранников и вычисление их периметров, площадей

Теорема о плоскости, которая параллельна данной плоскости и проходит через точку, не лежащую в данной плоскости. Единствен-ность такой плоскости. Теорема о транзитивно-

Формулировать и доказывать теоремы: а) о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости; б) о транзитивности отношения параллельности плоско-стей в пространстве. Используя модели и изображения


37


сти параллельности плоскостей в простран-стве. Решение конструк-тивных задач, задач на доказательство и вычис-ление. (1 ч)

многогранников, решать конструк-тивные задач, задачи на доказатель-ство и вычисление, корректно аргументируя возникающие при решении утверждения

Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями. Теорема о прямой, перпендику-лярной к одной из двух параллельных плоско-стей. Решение задач. (1 ч)

Формулировать и доказывать теоремы: а) о свойствах отрезков, заключенных между двумя парал-лельными плоскостями; б) о свой-стве прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных плоскостей.Используя модели и изображения многогранников, решать задачи на построение сечений, доказательство и вычисление расстояний между точками, прямыми и плоскостями; вычисление углов между прямыми и плоскостями, корректно аргумен-тируя возникающие утверждения

Повторение в задачах материала о параллель-ности и перпендикуляр-ности прямых и плоско-стей с использованием изображений многогран-ников. (1 ч)

Формулировать и доказывать: признаки параллельности плоско-стей; теоремы о свойствах парал-лельных плоскостей; теоремы о свойствах отрезков, заключенных между двумя параллельными плоскостями, о свойстве прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных плоскостей.Используя изображения многогран-ников, решать задачи на доказа-тельство, построение и вычисление, повторяя при этом свойства парал-лельного (ортогонального) проекти-рования, параллельности и перпен-дикулярности прямых и плоско-стей.

Графическая работа № 2. Тема «Параллельность в пространстве».

Решать конструктивные задачи стереометрии на основании свойств параллельности прямых и плоско-


38


Замечание. Графическая работа № 2 может быть предложена учащимся в качестве специального домашнего задания

стей, корректно аргументируя «шаги построения»


Находить расстояния и углы между прямыми и плоскостями, используя свойства параллельности и перпен-дикулярности прямых и плоско-стей, свойства ортогонального проектирования. Строить изображе-ние фигуры, заданной в задаче. Обосновывать решение задачи; понимать краткое письменное обоснование решения задачи

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (9 ч)

Двугранный угол. Линей-ный угол двугранного угла. Теорема о линейном угле двугранного угла. Угол между двумя плоскостями. Методы нахождения двугранных углов и углов между двумя плоскостями. Решение задач с исполь-зованием правильных многогранников и многоугольников, не лежащих в одной плоскости. (1 ч)

Формулировать определение дву-гранного угла. Видеть и правильно изображать линейные углы дву-гранных углов в данном многогран-нике. Решать задачи на нахождение: величины двугранного угла; рассто-яния от точки, расположенной внутри двугранного угла, до его граней или его ребра. Использовать изображения куба, прямоугольного параллелепипеда, правильных или специальных пирамид для решения различных задач на двугранные углы

Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Реше-ние задач на определение и признак перпендику-лярных плоскостей, используя изображения правильного тетраэдра, правильной пирамиды, куба (1 ч)

Формулировать определение пер-пендикулярных плоскостей. Форму-лировать и доказывать признак перпендикулярности двух плоско-стей.Решать задачи на определение и признак перпендикулярных плоскостей, используя изображения правильного тетраэдра, правильной пирамиды, куба


39


Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух взаимно перпендикуляр-ных плоскостей и лежа-щей в одной из них. Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух взаимно перпен-дикулярных плоскостей и имеющей со второй плоскостью общую точку. Теорема о линии пересечения двух плоско-стей, перпендикулярных третьей. Решение задач на свойства перпендику-лярных плоскостей. (2 ч)

Формулировать и доказывать теоремы: а) о прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпенди-кулярных плоскостей и перпенди-кулярной прямой их пересечения; б) о прямой, перпендикулярной одной из двух взаимно перпендику-лярных плоскостей и имеющей со второй плоскостью общую точку; в) о линии пересечения двух плоско-стей, перпендикулярных третьей.Иллюстрировать содержание этих теорем на моделях и изображениях куба, правильного тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда, правильной шестиугольной при-змы. Используя эти многогранники и применяя теоремы о свойствах параллельности и перпендикуляр-ности прямых и плоскостей, решать задачи: а) на доказательство парал-лельности и перпендикулярности прямых и плоскостей; б) на вычис-ление расстояний и углов между прямыми и плоскостями; в) на построение сечений и вычисление их площадей.Рассуждения при решении задач сопровождать корректными аргу-ментациями

Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещива-ющимися прямыми. Решение задач на нахож-дение расстояния между скрещивающимися прямыми, используя изображения правильно-го тетраэдра, куба. (2 ч)

Доказывать теорему о единственно-сти общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.Доказывать, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно: а) расстоянию между парал-лельными плоскостями, проходя-щими через эти прямые; б) расстоя-нию от любой точки одной из прямых до плоскости, проходя-щей через вторую прямую парал-лельно первой прямой; в) расстоя-нию от точки пересечения плоско-


40


сти, перпендикулярной одной из данных прямых, до ортогональной проекции на эту плоскость второй прямой.Решать задачи на нахождение расстояния между скрещивающи-мися прямыми, используя изобра-жения правильного тетраэдра, куба, прямоугольного параллелепипеда. Целесообразно предлагать учащим-ся решать одну и ту же задачу различными методами

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника и ее значение при решении задач на нахождение: а) площади основания многогранника; б) пло-щади сечения многогран-ника; в) двугранного угла при ребре многогранни-ка; г) угла между плоско-стями основания и сечения многогранни-ка. Решение задач. (1 ч)

Формулировать и доказывать теорему о площади о ортогональной проекции многоугольника. На основании этой теоремы, исполь-зуя изображения многогранников, решать задачи на нахождение: а) площади основания многогранни-ка; б) площади сечения многогран-ника; в) двугранного угла при ребре многогранника; г) угла между плоскостями основания и сечения многогранника

Повторение теории о двугранных углах и углах между плоскостя-ми в задачах на доказа-тельство, построение и вычисление (1 ч)

Формулировать и понимать сущ-ность признака перпендикулярно-сти двух плоскостей, теорем о свойствах перпендикулярности прямых и плоскостей. Решать различными способами задачи на нахождение расстояний между двумя скрещивающимися прямы-ми, величины угла между плоско-стями, используя изображения многогранников.

Проекты1. Взаимное расположе-ние трех плоскостей в пространстве. 2. Жизнь и творчество



41


Фалеса Милетского.3. Теорема о площади ортогональной проекции многоугльника

Графическая работа № 3. Тема «Перпендикуляр-ность в пространстве».Замечание. Графическая работа № 3 может быть предложена учащимся в качестве специального домашнего задания

Решать конструктивные задачи стереометрии на основании свойств перпендикулярности прямых и плоскостей, корректно аргументи-руя «шаги построения»


Используя свойства перпендикуляр-ности прямых и плоскостей, свой-ства ортогонального проектирова-ния, углы между прямыми, прямы-ми и плоскостями. Верно и наглядно строить изображения фигур. Аргу-ментированно обосновывать реше-ния задач. Понимать сущность правильного краткого письменного обоснования решения задачи

Глава 5РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (9 ч)

Расстояние между двумя точками. Расстояние между точкой и фигурой. Расстояние между точкой и прямой. Рассто-яние между точкой и плоскостью. Теорема Менелая для тетраэдра. Расстояние между точкой и сферой. Расстояние между двумя фигурами. Расстояние между двумя параллель-ными прямыми. Расстоя-ние между прямой и плоскостью. Расстоя-ние между скрещиваю-

Формулировать определение рассто-яния от точки до прямой и до плоскости; между двумя параллель-ными плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми.На изображениях многогранников «видеть» и, аргументированно обосновывая, находить расстояние от точки до прямой и плоскости, между параллельными плоскостя-ми, между скрещивающимися прямыми


42


щимися прямыми. Приемы нахождения расстояний от точки до фигуры, между фигура-ми в пространстве. (4 ч)

Геометрические места точек пространства, связанные с расстояния-ми. Повторение теории в задачах на нахождение расстояний от данной точки: а) до вершин и сторон данного многоу-гольника (треугольника), плоскость которого не содержит данную точку; б) до граней данного двугранного угла; в) до ребер и граней данного куба (правильного тетраэдра); г) до постро-енного сечения данного многогранника. (3 ч)

Иллюстрировать на изображениях многогранников геометрическое место точек пространства: а) равно-удаленных от трех данных неколли-неарных точек; б) равноудаленных от сторон данного треугольника; в) равноудаленных от концов данного отрезка; г) равноудаленных от двух параллельных плоскостей; д) расположенных внутри двугран-ного угла и равноудаленных от его граней; е) равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых. На изображениях куба, правильно-го тетраэдра, правильной призмы решать задачи на нахождение расстояний и углов между прямыми и плоскостями, используя геометри-ческие места точек


Используя изображения многогран-ников, находить расстояния между точками, от точки до прямой и плоскостями. Строить изображе-ния фигур. Обосновывать решения задач

УРОКИ ОБОБЩЕНИЯ ПРОЙДЕННОГО МАТЕ-РИАЛА.О ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО-СТИ, УГЛАХ И РАССТО-ЯНИЯХ В ПРОСТРАН-СТВЕ (2 ч)

Формулировать, доказывать, иллюстрировать на изображениях куба, правильного тетраэдра, правильной призмы, параллелепи-педа теоремы о свойствах парал-лельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в простран-стве. Решать содержательные задачи на параллельность и перпен-дикулярность прямых и плоско-стей, на нахождение различных расстояний между ними


43


Проект «Сравнительная характеристика геоме-трических мест точек на плоскости и в простран-стве»


Глава 6ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ (9 ч)

Линейные операции над векторамиВектор в пространстве. Единичный и нулевой вектор. Противополож-ные векторы. Единствен-ность отложения от данной точки вектора, равного данному вектору. Коллинеарность двух векторов и ее геометриче-ский смысл. Линейные операции над векторами и их свойства. Компланарность трех векторов. Разложение вектора по двум неколли-неарным векторам, компланарным с данным вектором. Три некомпла-нарных вектора. Разло-жение вектора по трем некомпланарным векто-рам. Векторный базис в пространстве. Разложе-ние вектора и его коорди-наты в данном векторном базисе. Условие коллине-арности двух векторов и компланарности трех векторов в пространстве. Коллинеарность двух и компланарность трех векторов в геометриче-ских задачах с много-гранниками. (5 ч)

Формулировать определения: вектора в пространстве; компланар-ных векторов; суммы, разности двух векторов; произведения вектора на число. Формулировать свойства линейных операций над векторами и иллюстрировать их, используя изображения многогран-ников. Формулировать определе-ния: компланарных векторов; векторного базиса на плоскости и в пространстве; теоремы о разло-жении вектора по двум неколлине-арным и трем некомпланарным векторам. Производить разложение вектора в данном базисе.Формулировать признаки коллине-арности двух и компланарности трех векторов в пространстве, иллюстрируя их на изображениях многогранников.Решать геометрические задачи векторным методом, для чего переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику, выполнять алгебраи-ческие операции над векторами и полученный в векторной форме результат верно переводить «обрат-но», на «геометрический язык». На изображениях куба, пирамиды, параллелепипеда векторным мето-дом определять взаимное располо-жение точек, прямых и плоскостей.Доказывать векторным методом параллельность трех прямых некоторой одной плоскости


44


Скалярное произведение векторовУгол между двумя векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Условие ортогональности двух векторов. Векторное доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о трех перпенди-кулярах. Векторное решение геометрических задач на доказательство перпендикулярности прямых и плоскостей, на вычисление углов между прямыми и плоскостями с использо-ванием изображений куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды. (3 ч)

Формулировать определение: угла между двумя ненулевыми вектора-ми; скалярного произведения двух ненулевых векторов. Доказывать свойства скалярного произведения векторов.Формулировать и доказывать признак перпендикулярности двух векторов.Используя изображения куба, правильного тетраэдра, прямоуголь-ного параллелепипеда, векторным методом доказывать параллель-ность и перпендикулярность пря-мых и плоскостей, содержащих ребра, грани и сечения этих много-гранников. С помощью скалярного произведения находить величины углов между прямыми и плоскостя-ми, вычислять длины отрезков, расстояния от точки до прямой и плоскости, используя модели и изображения куба, правильного тетраэдра. Геометрические задачи, решаемые векторным методом, сопровождать аргументированными объяснениями

Проект «Векторный метод решения стереоме-трических задач»



Выполнять линейные операции над векторами, использовать свойства скалярного произведения векторов. Находить длину вектора, угол между векторами.На изображении многогранника задавать векторный базис, после чего векторным методом находить длины отрезков, углы между ребрами, правильно записывать разложение вектора по базису


45


Глава 7КОРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ (9 ч)

Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координа-тах. (2 ч)Ортонормированный базис в пространстве. Прямоугольная декарто-вая система координат в пространстве. Коорди-наты вектора, действия над векторами в коорди-натах. Условие коллине-арности двух векторов в координатах. Решение задач.Скалярное произведение векторов в координатах. Условие перпендикуляр-ности двух векторов в координатах. Проекция вектора на ось в коорди-натах. Решение задач

Формулировать: а) определение ортонормированного базиса в пространстве, декартовых прямо-угольных координат вектора в этом базисе; б) определения и свойства линейных операций над векторами, условие коллинеарности двух векторов в координатной форме. Иллюстрировать эти свойства и операции на изображениях куба, введя базисные векторы на его ребрах, исходящих из одной верши-ны.Формулировать и выводить в координатном виде: формулу скалярного произведения двух векторов; формулу вычисления угла между двумя векторами и условие перпендикулярности двух векторов.Используя изображение куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды, решать векторным методом задачи на параллельность (перпендикулярность) прямых и плоскостей, на вычисление различных расстояний, углов между прямыми

Задание фигур в про-странстве уравнениями. Плоскость и прямая в координатах. (4 ч)Формулировать: а) опре-деление ортонормирован-ного базиса в простран-стве, декартовых прямо-угольных координат вектора в этом базисе; б) в координатной форме определения и свойства линейных операций над векторами, условие

Формулировать определение декар-товых прямоугольных координат точки в пространстве.Выводить формулы нахождения: расстояния между двумя точками в координатах; координат точки, делящей отрезок в данном отноше-нии; координаты середины отрезка. Выводить: уравнение сферы и неравенство шара; общее уравне-ние плоскости в декартовых прямо-угольных координатах; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно


46


коллинеарности двух векторов. Иллюстриро-вать эти свойства и операции на изображе-ниях куба, введя базис-ные векторы на его ребрах, исходящих из одной вершины.Формулировать и выво-дить в координатном виде: формулу скалярно-го произведения двух векторов; формулу вычисления угла между двумя векторами и условие перпендику-лярности двух векторов. Используя изображение куба, правильного тетраэдра, правильной пирамиды, решать векторным методом задачи на параллель-ность (перпендикуляр-ность) прямых и плоско-стей, на вычисление различных расстояний, углов между прямыми

данному вектору; частные случаи общего уравнения плоскости и их графическая иллюстрация; уравне-ние плоскости в отрезках; формулу расстояния от точки до плоскости.Выводить формулу вычисления угла между двумя плоскостями, условие их параллельности и перпендику-лярности. В координатной форме решать задачи: а) на вычисление скалярно-го произведения двух векторов и определения, перпендикулярны ли они; б) на определение, коллине-арны (компланарны) ли данные векторы; в) на вычисление величи-ны угла между двумя векторами; г) на вычисление длины вектора, расстояния между двумя точками, нахождение координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении; д) на составление уравнения плоскости, сферы; е) на вычисление угла между двумя плоскостями по заданным их уравнениям, определяя при этом, параллельны (перпендикулярны) ли они; ж) на вычисление расстояния: от данной точки до данной плоско-сти; между параллельными плоско-стями. С помощью уравнений плоскостей решать аффинные и метрические задачи стереометрии, используя в качестве объектов изучения куб, прямоугольный параллелепипед, правильный тетраэдр, правильную пирамиду, правильную призму, сферу

Уравнения прямой по точке и направляюще-му вектору; канониче-ские и параметрические

Выводить: равнения прямой по точке и направляющему вектору; канонические и параметрические уравнения прямой; уравнения


47


уравнения прямой. Уравнения прямой по двум ее точкам. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Угол между двумя прямыми в координатах. Условия параллельности и пер-пендикулярности двух прямых в пространстве. Решение задач. Взаимное расположение прямой и плоскости в координа-тах. Угол между прямой и плоскостью в координа-тах. Условия параллель-ности и перпендикуляр-ности прямой и плоско-сти. Решение задач. (3 ч)

прямой по двум ее точкам. Нахо-дить точку пересечения прямой и плоскости.В координатном виде выводить формулу вычисления: а) угла между двумя прямыми, условие их парал-лельности и перпендикулярности; б) угла между прямой и плоскостью, условие их параллельности и перпендикулярности.В координатной форме решать задачи: а) на составление уравнения прямой, сферы; б) на вычисление угла между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, заданными уравнениями, определяя при этом, параллельны (перпендикулярны) ли они; в) на вычисление расстояния: от данной точки до данной прямой; между параллельными прямыми; между скрещивающимися прямы-ми; г) на нахождение точки пересе-чения прямой и плоскости.С помощью уравнений прямых и плоскостей решать аффинные и метрические задачи стереометрии, используя в качестве объектов изучения куб, прямоугольный параллелепипед, правильный тетраэдр, правильную пирамиду, правильную призму, сферу

Проект «Координатный метод решения стереоме-трических задач»



По данным в координатном виде точкам определять геометрическое место точек пространства, удовлет-воряющих заданным условиям. По известным координатам некото-рых вершин многогранника


48


и дополнительным условиям его «устройства», найти координаты остальных вершин этого многогран-ника.По заданным в координатном виде точкам составить уравнения: прямых; плоскостей; сферы; пло-скости, касающейся этой сферы. Найти расстояние между скрещива-ющимися прямыми

ПОВТОРЕНИЕ (10 ч)Теория, практикум по решению задач планиме-трии и стереометрии. Устный зачет

Формулировать и доказывать все теоремы курса 10 класса. Выводить и комментировать все формулы курса 10 класса. Иллюстрировать теоремы на моделях и изображени-ях куба, правильного тетраэдра, правильных призм и пирамид, параллелепипеде. Решать задачи на построение, доказательство и вычисление, правильно и нагляд-но выполняя рисунки и корректно аргументируя утверждения логиче-ского, конструктивного и вычисли-тельного характера

Итоговая контрольная работа № 9 (2 ч)

В заданных многогранниках нахо-дить углы между прямыми, между прямой и плоскостью. Строить сечение многогранника и находить его площадь. Находить расстояние между скрещивающимися прямы-ми, от точки до прямой и плоскости

Окончание табл.

49

11 КЛАСС


Глава 1ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА (10 ч)

Отображения простран-ства. Определение преобразования про-странства. Тождествен-ное преобразование.Центральная симметрия пространства: определе-ние, запись в координа-тах. Обратное преобразо-вание. Композиция преобразований. Реше-ние задач. Движения пространства: определение движения; композиция движений. Общие свойства движе-ний. Движения первого и второго рода в про-странстве. О равенстве фигур в пространстве. Свойства центральной симметрии пространства. Неподвижные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости центральной симметрии. Центральная симметрия пространства — движе-ние второго рода. Цен-трально-симметричные фигуры. Решение задач.Симметрия относительно плоскости («зеркальная симметрия»): определе-ние, запись в координа-тах. Свойства симметрии относительно плоскости. Симметрия относительно плоскости — движение второго рода. Неподвиж-

Формулировать и иллюстрировать определение:отображения и преобразования пространства; композиции преобра-зований; преобразования, обратного данному преобразованию; равенства двух преобразований; неподвижной фигуры при данном преобразова-нии.Формулировать определение и свойства движений пространства, видов движений: центральной и осевой симметрии, симметрии относительно плоскости. Формули-ровать: определение равенства двух фигур на основе движений; опреде-ление фигуры, симметричной относительно точки, прямой, плоскости.Конструктивно строить образы точки, прямой, плоскости, много-гранника, сферы при симметрии относительно точки, плоскости. Выводить координатные формулы центральной, плоскостной симме-трии пространства и строить образы фигур, пользуясь формулами этих преобразований.Находить неподвижные фигуры при различных симметриях и корректно обосновывать существование центра (плоскости, оси) симметрии данной геометрической фигуры. Используя куб, правильный те-траэдр, правильные призмы, применять различные симметрии при решении стереометрических задач на доказательство, построение и вычисление, корректно обосновы-вая при этом утверждения логиче-

50


ные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости зеркальной симметрии. Фигуры, симметричные относи-тельно плоскости. Решение задач. (4 ч)

ского, конструктивного и вычисли-тельного характера

Параллельный перенос: определение, запись в координатах. Свойства параллельного переноса. Параллельный пере-нос — движение первого рода. Неподвижные точки, неподвижные пря-мые, неподвижные плоскости параллельного переноса. Решение задач.Скользящая симметрия. Скользящая симме-трия — движение второ-го рода. Поворот вокруг оси. Свойства осевой симметрии и поворота вокруг оси. Осевая симметрия — движение первого рода. Зеркаль-ный поворот. Зеркаль-ный поворот — движение второго рода. Винтовое движение. Винтовое движение — движение первого рода. Неподвиж-ные точки, неподвижные прямые, неподвижные плоскости скользящей симметрии, осевой симметрии, зеркального поворота, винтового движения. Решение задач.Взаимосвязь различных движений пространства.

Формулировать определение и доказывать свойства: параллель-ного переноса, скользящей симме-трии, поворота вокруг оси, зеркаль-ного поворота, винтового движения. Находить точки, прямые и плоско-сти, неподвижные при этих преоб-разованиях. Определять, какого рода движением является каждое из этих преобразований; представ-лять каждое из них в виде компози-ции плоскостных симметрий. Строить образы точек, прямых, плоскостей, многогранников при параллельном переносе, скользя-щей симметрии, повороте вокруг оси, зеркальном повороте, винтовом движении.Используя изображения и модели куба, правильного тетраэдра, правильных призм, решать задачи на доказательство, построение и вычисление, применяя при этом свойства параллельного переноса, скользящей симметрии, повороте вокруг оси, зеркального поворота, винтового движения и аргументиро-ванно обосновывая возникающие при этом утверждения


51


Композиции двух зер-кальных симметрий относительно параллель-ных и пересекающихся плоскостей. Семь различ-ных видов движений про-странства. Решение задач. (3 ч)

Гомотетия пространства. Формулы гомотетии пространства в координа-тах и ее свойства. Опреде-ление подобия простран-ства; разложение подо-бия в композицию гомотетии и движения. О подобии фигур в пространстве. Решение задач. (1 ч)

Формулировать определения гомотетии и подобия пространства; доказывать их свойства. Выводить формулы гомотетии в координатном виде и, пользуясь этими формула-ми, «находить» образы фигур, гомотетичных данным.Формулировать определение подоб-ных фигур на основании преобразо-вания подобия пространства.На изображениях многогранников, используя свойства гомотетии и подобия, решать задачи на постро-ение, доказательство и вычисление, логически обосновывая каждое утверждение

Повторение в задачах материала о преобразова-ниях пространства, используя координатный метод, тетраэдр, куб. (1 ч)

Формулировать определения и свойства всех преобразований пространства, иллюстрируя их на моделях и изображениях много-гранников. Решать задачи на построение, доказательство и вычисление, используя изображе-ния многогранников, выполняя при этом необходимые дополнительные построения и используя координат-ный метод. Обосновывать утвержде-ния при решении задач

Проекты1. Виды движений в пространстве.2. Применение методов геометрии в алгебре.



52


3. Применение движений в физике, химии, биоло-гии, филологии и других науках


По заданным координатам данных точек находить их образы при различных преобразованиях. Пользуясь формулами преобразова-ний, находить: образы прямых и плоскостей; неподвижные точки, прямые, плоскости преобразования. Находить симметрии, при компози-ции которых: один из двух равных данных многогранников отобража-ется на другой; происходит самосо-вмещение данного многогранника

Глава 2МНОГОГРАННИКИ (36 ч)

Определение многогран-ника и его элементов. (4 ч)Внутренние и граничные точки, внутренность и граница геометриче-ской фигуры. Выпуклая, связная, ограниченная геометрическая фигура. Пространственная область. Геометрическое тело, его внутренность и поверхность. Многогранник и его элементы: вершины, ребра, грани, плоские углы при вершине, двугранные углы при ребрах. Эйлерова харак-теристика многогранни-ка. Теорема Декарта—Эйлера для выпуклого многогранника (доказа-тельство будет осущест-влено в разделе «Пра-

Формулировать определения: выпуклой и связной геометрической фигуры; внутренней и граничной точек геометрической фигуры, ее внутренности и границы; связной и ограниченной геометри-ческой фигуры; геометрического тела и его поверхности; многогран-ника, выпуклого многогранника и его элементов — вершины, ребра, грани, диагонали, двугранные и трехгранные углы.Формулировать теорему Декарта—Эйлера (В – Р + Г = 2) для числа В вершин, числа Р ребер и числа Г граней любого выпуклого много-гранника; пользуясь этой теоремой, определять одно из чисел В, Р и Г, если в данном многограннике известны два из них.Формулировать и доказывать свойства выпуклых многогранни-ков.Строить развертки и сечения


53


вильные многогранни-ки»). Понятие о разверт-ке многогранника. Свойства выпуклых многогранников. Реше-ние задач.О понятии объема тела. Свойства объемов тел. Равновеликие и равносо-ставленные тела. Объем прямоугольного паралле-лепипеда. Решение задач

многогранников, находить их площади.Формулировать понятие объема тела и понимать его сущность.Формулировать определение равно-великих тел.Выводить формулу объема прямо-угольного параллелепипеда, куба. Решать задачи на вычисление объемов этих многогранников. В параллельной проекции строить: а) изображения куба, прямого и наклонного параллелепипедов, правильной пирамиды (правильно-го тетраэдра); б) изображения прямых и плоскостей, параллель-ных и перпендикулярных ребрам и граням данного многогранника; в) строить сечения многогранников и вычислять их площади; г) на изображении многогранника выделять его невидимые элементы штриховыми линиями, определять («видеть») и вычислять углы между его ребрами и гранями, линейные углы двугранных углов между его гранями

ПРИЗМА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (6 ч)

Определение призмы и ее элементов. Количество вершин, ребер, граней, диагоналей у n-угольной призмы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Призматическая поверх-ность. Перпендикуляр-ное сечение призмы. Боковая и полная по-верхности призмы; формулы вычисления их

Формулировать определение при-змы и ее элементов.Формулировать определение и свойства прямой, наклонной, правильной призмы; доказывать эти свойства.Формулировать определение пер-пендикулярного сечения призмати-ческой поверхности (призматиче-ского тела); определение параллеле-пипеда: наклонного, прямого, прямоугольного; определение куба.Формулировать и доказывать


54


площадей. Формулы вычисления объемов прямой и наклонной призм. Построение сечений призмы различ-ными плоскостями; вычисление площадей этих сечений. Решение задач на вычисление: а) двугранных углов при ребрах призмы; б) площа-дей боковой, полной поверхностей и объема призмы. Определение параллеле-пипеда. Наклонный, прямой, прямоугольный параллелепипед. Куб. Свойства диагоналей параллелепипеда. Свой-ство прямоугольного параллелепипеда. Объем параллелепипеда. По-строение плоских сече-ний параллелепипедов различными методами. Вычисление площадей этих сечений. Решение задач на вычисление: а) двугранных углов при ребрах основания на-клонного параллелепипе-да; б) угла наклона бокового ребра к плоско-сти основания; б) площа-дей боковой, полной поверхностей и объема параллелепипеда

свойства диагоналей параллелепи-педа.Выводить формулы вычисления площадей боковой и полной поверх-ностей, объема призмы.Строить «просторные» и «краси-вые» изображения прямой и на-клонной призмы, прямого и наклон-ного параллелепипеда с последую-щими дополнительными построениями на этих изображени-ях, выделяя при этом их невидимые элементы штриховыми линиями.На изображениях призмы и парал-лелепипеда, используя условие задачи, «видеть» и вычислять углы между их ребрами и гранями, линейные углы двугранных углов между их гранями. Строить методом следов, методом внутреннего проектирования, комбинированным методом сечения призмы и параллелепипеда и вычис-лять площади этих сечений.Решать задачи на вычисление площади боковой и полной поверх-ности, объема призмы и параллеле-пипеда



55


ТРЕХГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ (2 ч)

Понятие о многогранном угле. Вершина, грани, ребра, плоские углы при вершине выпуклого многогранного угла. Многогранные углы при вершинах много-гранников. Трехгранный угол. Теорема о плоских углах трехгранного угла (неравенство трехгранно-го угла). Теорема о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла. Теорема синусов и теорема косинусов трехгранного угла. Решение задач

Формулировать определение много-гранного угла и его элементов: вершины, грани, ребра, плоского угла при его вершине.Формулировать и доказывать свойства трехгранного угла, теорему косинусов и теорему синусов. Решать задачи на нахождение расстояния от вершины угла до точки, расположенной внутри данного угла и равноудаленнной на данное расстояние: а) от его граней; б) от его ребер.Решать задачи на нахождение величины угла, который образует: а) с плоскостью грани трехгранного угла луч с началом в его вершине, лежащий внутри этого угла и составляющий со всеми его гранями равные углы; б) с ребром многогран-ного угла луч с началом в его верши-не угла, лежащий внутри этого угла и составляющий со всеми его ребрами равные углы

ПИРАМИДА (8 ч)

Определение пирамиды и ее элементов. Количе-ство вершин, ребер и граней у n-угольной пирамиды. Некоторые частные виды пирамид: пирамида, все боковые ребра которой равны между собой (все боковые ребра пирамиды образу-ют равные углы с плоско-стью ее основания); пирамида, все двугран-ные углы которой при ребрах основания равны между собой; пирамида,

Формулировать определение: а) пирамиды, усеченной пирамиды и их элементов; б) правильной пирамиды, доказывать ее свойства; в) двугранного угла при ребре пирамиды.Выводить формулы вычисления площадей боковой и полной поверх-ностей, объема пирамиды и усечен-ной пирамиды.Доказывать свойства параллельных сечений пирамиды.Доказывать свойства правильной пирамиды: все боковые ребра равны, а все боковые грани — рав-ные равнобедренные треугольники;


56


ровно одна боковая грань которой перпендикуляр-на плоскости ее основа-ния; пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикуляр-ны плоскости ее основа-ния; пирамида, две несоседние боковые грани которой перпенди-кулярны плоскости ее основания; пирамида, боковое ребро которой образует равные углы с ребрами основания, выходящими из одной вершины. Формулы вычисления площадей боковой и полной поверх-ностей пирамиды. Решение задач на все виды пирамид.Правильная пирамида и ее свойства. Апофема правильной пирамиды. Формулы вычисления площадей боковой и полной поверхностей правильной пирамиды. Повторение материала о пирамидах в задачах на доказательство, построение и вычисле - ние

все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.Доказывать признаки правильной пирамиды: а) все ее боковые ребра равны; б) все ее боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все ее боковые грани — равные треугольники.Решать задачи на: а) вычисление площади боковой и полной поверх-ности, объема пирамиды и усечен-ной пирамиды; б) построение сечений пирамид и вычисление их площадей.Используя частные виды пирамид, решать задачи: на нахождение площади их боковой и полной поверхности; на вычисление их объемов; величин углов между ребрами и гранями, между сечением и гранью.Со всеми видами пирамид решать задачи на построение, доказатель-ство и вычисление, сопровождая решение каждой задачи корректной аргументацией


При заданных условиях находить углы, которые образует с ребрами и гранями данного многогранного угла прямая, расположенная внутри этого угла и проходящая через его вершину.Для данного трехгранного угла находить: а) величины двугранных углов при его ребрах;


57


б) величины углов наклона ребра к плоскости грани угла. Решать задачи на нахождение высоты, длин сторон, плоских углов при вершине пирамиды, величин двугранных углов при боковых ее ребрах и ребрах основания. Нахо-дить площадь боковой и полной поверхности пирамиды.Строить сечение пирамиды, нахо-дить его площадь и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды

Свойства параллельных сечений пирамиды. Усеченная пирамида, формулы вычисления ее боковой и полной поверх-ностей. Формулы вычис-ления площадей боковой и полной поверхностей правильной усеченной пирамиды. Объем пира-миды и формулы его вычисления. Формула вычисления объема усеченной пирамиды. Решение задач.Тетраэдры. Об объеме тетраэдра. Возможность выбора основания у тетраэдра. Свойство отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с цен-троидами противополож-ных граней. Правильный тетраэдр. Ортоцентриче-ский тетраэдр. Равно-гранный тетраэдр (те-траэдр, все грани которо-го равны). Тетраэдр, все боковые грани которого образуют равные дву-

Формулировать определение усе-ченной пирамиды, ее элементов; доказывать ее свойства.Формулировать и доказывать теорему: а) о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды; б) об объеме пирамиды (усеченной пирамиды).Формулировать определения ортоцентрического и равногранного тетраэдров.Выводить формулу

V = 16

a•b•r(a; b)•sin j вычисления

объема тетраэдра, где а и b — длины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, j — угол между прямы-ми, содержащими эти ребра, r(a, b) — расстояние между этими прямыми.Доказывать теорему об отношении объемов двух тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы.Решать задачи на доказательство, построение и вычисление площади поверхности и объема различных видов пирамид и усеченных пира-мид, аргументированно обосновы-вая возникающие утверждения


58


гранные углы с плоско-стью его основания.

Формула V = 16

a•b•r(a;

b)•sin j вычисления объема тетраэдра, где а и b — длины двух скре-щивающихся ребер тетраэдра, j — угол между прямыми, содер-жащими эти ребра, r(a, b) — расстояние между этими прямыми. Отноше-ние объемов двух тетраэ-дров, имеющих равные трехгранные углы. (5 ч)

Повторение материала о пирамидах в задачах на доказательство, построе-ние и вычисление. (2 ч)

Формулировать определения пирамиды, усеченной пирамиды, правильной пирамиды, правильно-го тетраэдра. Формулировать и доказывать их свойства. Выводить формулы вычисления поверхностей и объемов пирамиды и усеченной пирамиды. Решать задачи на доказательство, вычисле-ние, на построение сечения пирами-ды и вычисление его площади; на вычисление объемов различного вида тетраэдров и многоугольных пирамид, аргументированно обосно-вывая свои утверждения

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (4 ч)

Доказательство теоремы Декарт—Эйлера для выпуклого многогранни-ка. Виды, элементы и свойства правильных многогранников. Вычис-ление площадей поверх-ностей и объемов пра-вильных многогранни-ков. Решение задач на

Доказывать теорему Декарта—Эйле-ра для выпуклых многогранников.Формулировать определение пра-вильного многогранника.Доказывать теорему о существова-нии пяти типов правильных много-гранников; свойства правильных многогранников.Верно и наглядно изображать правильные многогранники,


59


все виды правильных многогранников

строить их развертки и склеивать модели.Строить сечения правильных многогранников различными методами и находить площади полученных сечений, аргументиро-ванно объясняя каждый «шаг решения».Используя изображения правиль-ных многогранников, решать задачи на вычисление: расстояний между элементами многогранника; углов между прямыми и плоско-стями.Находить площади боковой и полной поверхностей, объем различных правильных многогран-ников, корректно аргументируя каждый «шаг решения»

Проекты1. Жизнь и творчество великого ученого Леонар-да Эйлера.2. Правильные много-гранники. Формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов правильных многогран-ников.3. Многогранники в архитектуре



Для частных видов пирамид нахо-дить: площадь боковой и полной поверхности; объем; углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания; расстояния от вершин до ребер и граней пирамиды


60


Глава 3ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ (24 ч)

ЦИЛИНДР И КОНУС (6 ч)

Поверхность и тело вращения. Цилиндр. Основания, образующие, ось, высота цилиндра. Цилиндрическая поверх-ность вращения. Сечения цилиндра плоскостью. Изображение цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру. Развертка цилиндра. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей цилиндра. Призма, вписанная в цилиндр и описанная около цилиндра. Вычисление объема цилиндра.Конус вращения. Верши-на, основание, образую-щие, ось, высота, боковая и полная поверхности конуса. Сечения конуса плоскостью. Равносто-ронний конус. Касатель-ная плоскость к конусу. Изображение конуса. Развертка. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей конуса. Свойства парал-лельных сечений конуса. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды. Цилиндр, вписанный в конус. Усеченный конус: осно-вания, образующие, высота, боковая и полная

Формулировать определение по-верхности и тела вращения.Формулировать определение цилин-дра и конуса вращения, их элемен-тов; основания, высоты, оси, обра-зующей, радиуса основания; пер-пендикулярного сечения; боковой и полной поверхностей. Строить изображения: цилиндра и конуса; правильных призм и пирамид, вписанных в цилиндр и конус.Доказывать свойства сечений цилиндра и конуса вращения плоскостью: а) содержащей ось цилиндра (конуса); б) перпендику-лярной оси цилиндра (конуса).Выводить формулы вычисления площади боковой и полной поверх-ностей, объема цилиндра и конуса.Корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения задачи на комбинацию многогранников с цилиндрами и конусами


61


поверхности. Вычисле-ние площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса. Вычисление объемов конуса и усеченного конуса

Повторение материала о цилиндрах, конусах, их комбинациях с впи-санными и описанными многогранниками в задачах на доказатель-ство, построение и вычисление. (2 ч)

Решать задачи различного уровня сложности на: а) вычисление площади боковой и полной поверх-ностей, объема цилиндра и конуса (усеченного конуса); б) изображение комбинаций многогранников с цилиндром и конусом (усеченным конусом); в) построение сечений цилиндра и конуса (усеченного конуса) и вычисление их площади.Обосновывать утверждения, возни-кающие по ходу решения каждой задачи


Находить площади поверхностей и объемы конуса (усеченного кону-са), цилиндра. Решать задачи на комбинации многогранников с цилиндром и конусом (усеченным конусом), корректно аргументируя утверждения, возникающие по ходу решения каждой задачи

СФЕРА И ШАР (10 ч)

Шар и сфера. Хорда, диаметр, радиус сферы и шара. Изображение сферы. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Пересечение шара и сферы с плоскостью. Плоскость, касательная к сфере и шару. Теоремы о касательной плоскости. (Урок-лекция).

Формулировать определение сферы и шара, их радиуса и диаметра, касательной плоскости к сфере.Верно и наглядно изображать сферу.Выводить уравнение сферы и неравенство шара.Выводить формулы вычисления площади поверхности и объема шара.Формулировать определение сферы, вписанной в двугранный и много-гранный угол; сферы и шара,


62


Решение задач на: а) сферу, проходящую через вершины данного треугольника; б) сферу, касающуюся сторон данного треугольника; в) взаимное положение сферы и двух параллель-ных плоскостей; г) сферу и двугранный угол; д) пересекающиеся сферу и куб; е) пересекающиеся сферу и призму; ж) пере- секающиеся сферу и пирамиду.Шары и сферы, вписан-ные в цилиндр, конус, многогранник и описан-ные около них. Шары и сферы, вписанные в двугранный угол и многогранный угол. Шары и сферы, вписан-ные в правильные много-гранники и описанные около них. (Урок-лек-ция).Решение задач на: а) комбинации сферы (шара) и цилиндра; б) комбинации сферы (шара) и конуса; в) сферу и шар, описанные около куба и вписанные в него; г) сферу и шар, описанные около призмы и впи сан-ные в нее; д) сферу и шар, вписанные в правильный тетраэдр и описанные около него; е) сферу и шар, описанные около пирамиды и вписанные в нее; ж) комбинации двух сфер (шаров) и куба;

вписанных в многогранник и описанных около него.Верно и наглядно изображать сферу в комбинации с многогранниками, цилиндром и конусом и другими сферами.Решать задачи: а) на взаимное расположение сферы и плоскости; сферы и двух плоскостей; сферы и двугранного угла; б) на комбина-ции сферы с пересекающими ее многогранниками; в) на комбина-ции сфер с вписанными в нее, и описанными около нее много-гранниками и фигурами вра- щения.Корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения задачи на комбинацию сферы (шара) с многогранниками, цилиндром, конусом и другими сферами (шарами). Формулировать определение: шарового сегмента, его основания и высоты; сегментной поверхности; шарового слоя, его основания и высоты; шарового пояса; шарово-го сектора и его поверхности.Выводить формулы для вычисле-ния: а) площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса, поверхности шарового сектора; б) объемов шара, шарового сегмен-та, шарового сектора, шарового слоя.Решать задачи на вычисление: а) площади сферы, сегментной поверхности, шарового пояса, поверхности шарового сектора; б) объема шара, шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя, аргументируя возникающие утверждения.


63


з) комбинации трех сфер и тетраэдра. Шаровой сегмент, его основание и высота; сегментная поверхность. Шаровой слой, его основания и высота; шаровой пояс. Шаровой сектор и его поверхность. Формулы для вычисле-ния площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса, поверх-ности шарового сектора. Формулы для вычисле-ния объемов шара, шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя. Решение задач на: а) вычисление площадей поверхностей шара и его частей; б) вычисление объема шара и его частей

Решать задачи на: а) комбинации сферы (шара) и цилиндра; б) комби-нации сферы (шара) и конуса; в) сферу и шар, описанные около куба и вписанные в него; г) сферу и шар, описанные около призмы и вписанные в нее; д) сферу и шар, вписанные в правильный тетраэдр и описанные около него; е) сферу и шар, описанные около пирамиды и вписанные в нее; ж) комбинации двух сфер (шаров) и куба; з) комби-нации трех сфер и тетраэдра.Векторно-координатным методом решать задачи на комбинации сферы с многогранниками.Корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения задачи на комбинацию сферы (шара) с многогранниками, цилиндром, конусом и другими сферами (шарами)

Повторение в задачах материала о комбинациях сфер, шаров и многогранников. (2 ч)


Решать задачи на комбинации двух сфер: а) пересекающихся; б) вписан-ных в трехгранный угол.Решать задачи на комбинацию многогранника и сферы: а) касаю-щейся всех его ребер; б) пересекаю-щей его поверхность.Решать задачи на комбинации цилиндра (конуса) и двух сфер, расположенных внутри цилиндра и касающихся его поверхности. Верно и наглядно изображать сферу в комбинации с многогранниками, цилиндром, конусом и другими сферами.


64


Аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения каждой задачи

Повторение теории, практикум по решению задач стереометрии, проведение 2-часовых обобщающих контрольных работ № 7 и № 8, изучение избранных тем «Дополнения». (32 ч)

Проекты1. Шары и сферы, впи-санные в цилиндр и конус. Шары и сферы, описанные около цилин-дра и конуса.2. Комбинации геометри-ческих фигур в архитек-туре и окружающем нас мире.3. Точные и приближен-ные методы нахождения геометрических величин (площадей и объемов).4. Применение методов математического анализа в геометрии


Окончание табл.

65

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Рабочая программаПотоскуев Е. В. Математика: алгебра и начала математи-

ческого анализа, геометрия. Геометрия. Углубленный уро-вень. 10—11 классы. Рабочая программа к линии УМК Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича.

УчебникиПотоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-

чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 10 класс. Учебник.

Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 11 класс. Учебник.

ЗадачникиПотоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-

чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 10 класс. Задачник.

Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 11 класс. Задачник.

Методические пособия для учителяПотоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-

чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 10 класс. Методическое пособие.

Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Математика: алгебра и на-чала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углуб-ленный уровень. 11 класс. Методическое пособие.

66

СОДЕРЖАНИЕПояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Планируемые результаты освоения учебного предмета . . . . . . 7 Личностные результаты освоения учебного предмета . . . . . 8 Метапредметные результаты освоения учебного предмета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Предметные результаты освоения учебного предмета . . . . . 13Содержание учебного предмета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Учебно-методическое обеспечение образовательной деятельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Documents

УДК 373.3.016:514 · ное развитие личности. Уместно вспомнить слова А. С. Пуш-кина: «Вдохновение нужно в поэзии,