УДК 330.4:519.86

Г.Д. Хыдырова, А. Душкина, А.Г. Савина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ И ВОЗМОЖНОСТИ ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ПРИНЯТИИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

В статье рассмотрена математическая модель задачи о назначениях и приведены примеры ситуаций, в

которых использование математической модели задачи о назначениях позволяет осуществить предвари-тельный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решения той или иной проблемы по определенным критериям.

Ключевые слова: задача о назначениях, математическая модель

UDC 330.4:519.86

G.D.Hydyrova, A.Dushkina, A.G.Savina

MATHEMATICAL MODEL OF THE ASSIGNMENT PROBLEM AND POSSIBILITIES OF ITS USE AT ADMINISTRATIVE DECISIONS MAKING

In the article the mathematical model of the problem about appointments is considered and examples of situa-

tions in which the use of mathematical model of the problem about appointments allows carrying out a preliminary choice of solution variants of this or that problem according to certain criteria are presented.

Keywords: problem about appointments, mathematical model

В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора опти-

мальных решений в различных отраслях экономики. Это планирование и оперативное управление производ-ством, управление трудовыми ресурсами, руководство проектом и т.д. Исследование большинства экономиче-ских проблем, возникающих перед специалистами, целесообразно проводить на адекватных математических моделях, отражающих проблему в абстрактной форме и позволяющих увидеть и учесть подавляющее большин-ство разнообразных характеристик, оказывающих прямое или косвенное влияние на принятие определенного решения.

К примеру, задача о назначениях описывает такие операции, как назначение (расстановку) n работников на выполнение n различных работ, распределение n водителей по n автомобилям, прикрепление каждого из n автомобилей к одному из n маршрутов, распределения n университетских аудиторий по n группам студентов, распределение n научных тем по n исследовательским лабораториям и т.д.

Каждый назначаемый работник в задаче о назначениях характеризуется своей эффективностью, каче-ством и временем выполняемой работы, а каждая работа характеризуется уровнем сложности, срочностью и требуемой от работника квалификацией. Выполнение работы работником может характеризоваться также ма-териальными затратами. Поэтому расстановка работников по работам может быть проведена таким образом, чтобы обеспечить максимальное качество выполнения работ, или их максимальную эффективность, или - ми-нимальные материальные затраты. Точно также, распределение тех или иных водителей по тем или иным авто-мобилям определяется как опытом, квалификацией и возрастом каждого водителя, так и маркой автомобиля, его общим пробегом, техническим состояниям и т. п. Необходимость максимизации или минимизации целевой функции определяется тем, что понимается под эффективность выполнения работ в той или иной операции. Если эффективность выполнения работ измеряется временем их выполнения, то целевая функция будет пред-ставлять собой суммарное время выполнения всех работ, которое, конечно, необходимо минимизировать. Если под эффективностью подразумевается качество выполнения работы, за целевую функцию принимается общее качество выполнения работ и его необходимо максимизировать. В случае, когда оцениваются денежные затра-ты, за целевую функцию целесообразно принять общие затраты выполнения всех работ, которые следует ми-нимизировать. Задача о назначениях, в отличие от целочисленных задач, например, задачи формирования оп-тимального штата фирмы, имеет следующие особенности:

1. Количество назначаемых работников (водителей, аудиторий, научных тем и пр.) должно быть в точно-сти равно количеству выполняемых работ (автомобилей, маршрутов, студенческих групп, исследовательских лабораторий и пр.). Это означает, что на каждую работу назначается только один работник, и каждый работник может выполнять только одну работу. Другими словами работники неделимы между работами, а работы не де-лимы между работниками. Например, один работник не может выполнять сразу две работы, а одна работа не может выполняться двумя работниками одновременно. Данное требование становится очевидным и естествен-ным, если принять во внимание, что один водитель не может управлять сразу двумя автомобилями, а одна группа студентов - в одно и то же время сидеть в трех нескольких аудиториях.

2. Каждый работник обязательно должен получить работу, а каждая работа обязательно должна быть вы-полнена.

3. Любой из n работников может выполнять любую работу. Но качество и эффективность выполнения разными работниками одной и той же работы различаются между собой. Предполагается, что эффективность выполнения каждой работы каждым претендентом можно каким-либо образом оценить количественно.

4. Управляемые факторы в задаче о назначениях представляют собой различные назначения работников на работы, и среди различных назначений существует наилучшее, при котором целевая функция принимает максимальное (или минимальное) значение. Поскольку работник i либо назначается на работу j, либо не назна-чается на эту работу, переменная модели, , описывающая факт назначения или не назначения, должна при-нимать только два значения: 0 (работник i не назначен на работу j) или 1 (работник i назначен на работу j).

Отметим, что требование равенства количества работников количеству работ не ограничивает общности задачи о назначениях, поскольку всегда можно ввести в модель фиктивные работы или фиктивных работников. Рассмотрим общую математическую модель задачи о назначениях

Необходимо назначить n работников на п работ таким образом, чтобы суммарная эффективность выпол-нения всеми работниками всех работ была максимальной, при условии, что одна работа выполняется только одним работником и один работник может выполнять только одну работу. Эффективности а у выполнения каждым i-м работником (i = 1, 2, ..., n) каждой j-й работы (j= 1,2, ...,n) известны и заданы в табл. 1

Таблица 1 - Эффективности выполнения каждым работником каждой работы

Работники Работы

1 2 . . . п 1 . . . 2 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . N . . .

Математическая модель. Факт назначения i-гo работника на работу с номером j описывается двоичной

переменной которая может принимать только два значения i ,j=1,2,…,n.

Целевая функция. В задаче о назначениях целевая функция (F) представляет собой суммарную эффек-тивность выполнения всеми работниками всех работ. Составим целевую функцию.

Эффективность выполнения работы j работником i равна и если этот работник назначен на работу ( =1) то эффективность войдет в целевую функцию, если же не назначен ( =0) — эффективность в целевой функции будет отсутствовать, поэтому условие вхождения эффективности в целевую функцию за-пишется . Поскольку до получения оптимального решения задачи мы не знаем, на какую работу будет назначен работник i, то в целевой функции должна быть предусмотрена возможность назначения работника i на любую из должностей j = 1,2, …, n, что выражается суммой . Так как количество работников рав-но n, то суммарная эффективность выполнения всех работ всеми работниками будет равна сумме

и целевая функция будет иметь вид: В некоторых задачах о назначениях требует находить минимум целевой функции. Это происходит в

тех случаях, когда под эффективностью выполнения работ понимается время выполнения работ, стоимость (за-траты) выполнения работ или другое понятие, которое по смыслу операции необходимо минимизировать.

Ограничения отражают два вида условий: (1) каждая работа может выполняться только одним работни-ком и (2) один работник может выполнять только одну работу.

Ограничение 1 вида. Факт выполнения работы j только одним работником из п выражается равенством x1j + + ... + xnj = 1. Действительно, если, например, на работу j будет назначен 2-й работник то для него x2j = 1 и для удовлетворения равенства x1j + + ... + xnj = 1. все остальные переменные , , ..., xnj должны быть равны нулю. Значит только один работник (в данном случае — 2-й) будет поставлен на работу j. Равенство x1j + + ... + xnj = 1гарантирует также, что кто-нибудь из работников обязательно будет назначен на выполнение работы j, в противном случае, все переменные в равенстве будут нулевыми и их сумма не будет равна 1. Таким образом 1-й вид ограничений приводит к системе равенств:

Ограничение 2 вида. Условие выполнения i-м работником только одной из п работ выражается равен-

ством xi1 + + ... + xin = 1, которое требует, чтобы только одна из переменных (либо хi1, либо хi2, …, либо xin ), входящих в данное равенство, равнялась единице, а остальные — нулю. Если работник i будет выполнять еще одну работу, то в приведенном равенстве слева появится еще одна единица и равенство будет нарушено. Это же

равенство гарантирует, что работник i обязательно получит какую- нибудь (но только одну) работу. Таким об-разом 2-й вид условий выражается системой следующих равенств:

Итак получена общая оптимизационная математическая модель задачи о назначениях

Предположим, что производственная фирма набирает в свой штат сотрудников на пять вакантных

должностей — менеджера по логистике, менеджера по производству, менеджера по маркетингу, менеджера по персоналу и менеджера по качеству. Все пять претендентов (Л-ий, П-ан, М-ко, К-ов и Ш-ев) имеют одинаковый уровень образования и опыт работы на различных должностях.

Директор фирмы по персоналу находится в затруднении - кого из претендентов и на какую работу при-нять. После некоторого размышления, он решил провести среди претендентов тест, задав каждому из них один вопрос: какой зарплатой они оценивают ту или иную должность. Результаты опроса приведены в таблице 2. Понятно, что названные претендентами размеры зарплаты могут не соответствовать реальным зарплатам, вы-плачиваемым на фирме, поскольку отражают скорее ожидаемые и желаемые им значения, чем реальные.

Таблица 2 - Оценка претендентами величины зарплаты, соответствующей различным должностям Претенденты на занятие вакантной должности

Величина зарплаты при занятии вакантной должности, ден. ед.

менеджер по ло-гистике

менеджер по про-изводству

менеджер по маркетингу

менеджер по пер-соналу

менеджер по ка-честву

1 2 3 4 5 1 JI-ий 5000 3500 2800 3200 4300 2 Ф-ан 4300 4300 3300 3600 4100 3 М-ко 6200 5800 7300 2200 2500 4 К-ов 3700 4300 4500 3400 4400 5 Ш-ев 7000 3200 2900 4700 5000

Директор по персоналу полагает, что наибольший размер зарплаты претенденты приписывают наиболее

значимой для них должности. Следовательно, на данной должности наиболее эффективным будет тот претен-дент (а значит принесет и наибольшую пользу фирме), для которого эта должность наиболее значима.

Директору по персоналу необходимо решить, на какую должность принять того или иного претендента, чтобы общая эффективность выполняемых всеми претендентами работ была максимальной. Директор по персо-налу трактует проведенный тест как экспертную оценку значимости каждой должности, данную каждым претен-дентом. По существу, эта оценка представляет собой рейтинг должности в глазах претендента. Директор делает и более далеко идущие выводы: этот рейтинг пусть и косвенно, но связан с эффективностью выполнения работ пре-тендентами, окажись они на той или иной должности. А именно, чем выше рейтинг, тем выше будет и эффектив-ность (отдача) работника на данной должности. Поэтому в качестве целевой функции была принята суммарная эффективность выполнения всех работ всеми претендентами, которую необходимо максимизировать.

Управлять операцией в данном случае возможно путем назначения того или иного работника на ту или иную должность. Так как каждый из пяти претендентов «пробуется» на пять должностей, то управляемых фак-торов будет 25. Факт назначения или не назначения претендента i на должность j описывается управляемым фактором (переменной модели) принимающим два значения:

Совокупность всех управляемых факторов xtj представляет собой решение задачи о назначениях. Казалось бы, что исходя из логики директора, необходимо каждого претендента поставить именно на ту

должность, для которой он указал наибольший уровень зарплаты (или рейтинг). Но, как следует из табл. 2, должность «менеджер по логистике» получила наивысший рейтинг сразу у трех претендентов (Л-ий, Ф-ан и Ш-ев), причем претендент Ф-ан такой же рейтинг присвоил и должности «менеджер по производству». «Мене-джер по маркетингу» получил высшую оценку у двух претендентов (М-ко и К-ов). Поэтому однозначного вы-вода о том, кого и на какую должность принять, сделать нельзя.

Целевая функция представляет собой общую эффективность выполнения работ, которую желательно об-ратить в максимум. Поскольку оптимальное назначение претендентов на должности заранее неизвестно, то це-левая функция должна включать в себя все возможные назначения и равняться полной сумме эффективностей выполнения работ на всех должностях всеми претендентами

F = {эффективность выполнения всех работ претендентом Л-им) + + {эффективность выполнения всех работ претендентом Ф-м} + + {эффективность выполнения всех работ претендентом М-ко} + + {эффективность выполнения всех работ претендентом К-м} + + {эффективность выполнения всех работ претендентом Ш-м}

Или F = 5000 + 3500 х12 + 2800 + 3200 x14 + 4300 x15 + 4300 x21+ 4300 х22 + 3300 x23 + 3600 х24 + 4100 x25 + 6200 x31, + 5800 x32 + 7300 x33 + 2200 x34 + 2500 x35 + 3700 x41, + 4300 х42 + 4500 х43 + 3400 х44 + 4400 х45 + 7000 х51 + 3200 х52 + 2900 x53 + 4700 x54 + 5000 х55 →max.

Ограничения. Здесь необходимо составить два вида ограничений-условий: (1) на каждую должность может быть назначен только один претендент и (2) один претендент может быть назначен только на одну должность.

1. На каждую должность может быть назначен только один претендент. Допустим, что на 3-ю должность назначен 2-й претендент. Факт этого назначения математически запи-

сывается так: х23=1. При этом все остальные претенденты (1-й, 3-й, 4-й и 5-й) на эту должность назначены быть не могут, то есть = 0, x33 = 0, х43 = 0 и х53 = 0. Но нам еще неизвестно будет ли назначен именно 2-й претен-дент на 3-ю должность, это станет известно только после решения математической модели. Чтобы выразить условие, по которому на 3-ю должность будет назначен один и только один претендент из пяти, сложим все переменные описывающие факт этого назначения (или не назначения) и приравняем получившуюся сумму единице: + x43 + x53 = 1. Это условие, во-первых, гарантирует, что на 3-ю должность будет назна-чен один и только один претендент. Действительно, данное условие исключает назначение двух и более пре-тендентов, потому что в противном случае сумма переменных была бы больше 1. И, во-вторых, данное условие обеспечивает обязательное назначение одного из претендентов на 3-ю должность, поскольку если никто не бу-дет назначен на 3-ю должность, то все пять переменных будут нулевыми и их сумма не будет равна 1.

Записывая аналогичные условия-равенства для каждой из пяти должностей, получим следующие огра-ничения:

для 1-й должности для 2-й должности для 3-й должности для 4-й должности для 5-й должности

2. Один претендент может быть назначен только на одну должность. Предположим, что 2-й претендент назначен на 3-ю должность, то есть х23=1. Тогда 2-й претендент уже

не может быть назначен на 1-ю, 2-ю, 4-ю и 5-ю должности, что записывается как x21=0, х22=0, х24 = 0 и х25 = 0. Приравняв сумму переменных, показывающих назначение (или не назначение) 2-го претендента на любую из пяти должностей единице получим условие х21 + х22 + х23+ х24 + х25=1. Это условие гарантирует, что 2-й пре-тендент будет назначен только на одну из пяти должностей (если он будет назначен на две и более должности одновременно, то сумма переменных превысит 1) и, кроме того, он обязательно будет назначен на какую-нибудь должность (в противном случае соответствующие переменные будут нулевыми и их сумма также будет равна нулю).

Аналогичные условия составляются для каждого из пяти претендентов: для 1-го претендента для 2-го претендента для 3-го претендента для 4-го претендента для 5-го претендента

Таблица 3 -Оптимальное решение задачи о назначениях

Претенденты на занятие вакантной должности

Оптимальное назначение претендентов на должности (1 — назначен, 0 — не назначен)

менеджер по логистике

менеджер по производству

менеджер по маркетингу

менеджер по персоналу

менеджер по качест-ву

1 2 3 4 5 1 JI-ий 0 0 0 0 1 2 Ф-ан 0 0 0 1 0 3 М-ко 0 0 1 0 0 4 К-ов 0 1 0 0 0 5 Ш-ев 1 0 0 0 0

Оптимальное решение математической модели для задачи о назначениях показывает (см. табл. 2), что

максимальная эффективность (Fmax = 26 500) получается, если =1, x24 =1, x33 =1, x42= 1, x51=1, а остальные переменные равны нулю. Это означает, что наибольшая эффективность выполнения работ будет достигнута

если 1-го претендента (Л-ий) назначить на 5-ю должность (менеджер по качеству), 2-го претендента (Ф-ан) — на 4-ю должность (менеджер по персоналу), 3-го претендента (М-ко) — на 3-ю должность (менеджер по марке-тингу), 4-го претендента (К-ов) — на 2-ю должность (менеджер по производству) и 5-го претендента (Ш-ев) — на 1-ю должность (менеджер по логистике).

Рассмотрим еще один пример, достаточно актуальный в настоящее время. Предположим, институт полу-чил гранты на выполнение четырех исследовательских проектов. Выходные результаты первого проекта явля-ются входными данными для второго проекта, выходные результаты второго проекта - это входные данные для третьего проекта, результаты третьего проекта используются для работы над четвертым проектом. В качестве научных руководителей проектов рассматриваются кандидатуры четырех ученых, обладающих различным опытом и способностями. Каждый ученый оценил время, необходимое ему для реализации проекта. Матрица

времен имеет вид:

8379827454428573

T . В i-той строке и j-том столбце матрицы стоит время на выполнение i-тым

ученым j-того проекта, причем продолжительность времени задана в месяцах. Требуется выбрать научного ру-ководителя для выполнения каждого проекта так, чтобы суммарное время выполнения всех проектов было ми-нимальным. Рассматривая исследовательские проекты в качестве работ, а ученых, претендующих на роль руко-водителей, в качестве кандидатов, имеем, что данная задача является задачей о назначениях.

Введём переменные xij.

случаепротивномв

проектатогоjльруководитеученыйтыйiеслиxij 0

,,1

Целевая функция задачи имеет вид : F = 3х11+7х12+5x13 +8x14+2x21+4x22+4x23+5x24+4x31+7x32+2x33+8x34+9x41+7x42+3x43+8x44 →min Решение задачи (к примеру, венгерским методом) позволяет получить оптимальное назначение (иногда не-сколько), которому будет соответствовать минимальное время выполнения, и в соответствии с этим назначить научных руководителей. В частности, при заданных условиях будет получено два оптимальных решения (назначения): Первый ученый назначается научным руководителем первого проекта, второй – второго, третий – третьего, а четвертый четвертого проекта соответственно; или второй вариант: первый ученый руководит пер-вым проектом, второй – четвертым, третий – третьим проектом, и соответственно, четвертый – руководит вто-рым проектом. При этом время на выполнение проектов в обоих случаях не изменится и составит 17 месяцев.

Рассмотренные примеры иллюстрируют целесообразность использования математического моделирова-ния (в частности, задачи о назначениях) для количественного обоснования принимаемых решений по организа-ции управления.

Список литературы: 1. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике [Текст]: учебн. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997, 407с. 2. Хазанова, Л.Э. Математическое моделирование в экономике [Текст]: учебное пособие. – М.: Изда-

тельство БЕК, 2011. – 141 с.

Хыдырова Гулалек Довлетмырадовна студентка 1 курса финансово – экономического факультета

Орловского государственного института и торговли е-mail: gulalek.93.93@mail.ru

Душкина Анжелика Юрьевна

студентка 1 курса факультета управления Орловского государственного института и торговли

е-mail: 555dushka555@mail.ru

Савина Анна Геннадьевна к.п.н., ст. преподаватель кафедры математики, анализа и статистики

Орловского государственного института и торговли е-mail: angen1976@mail.ru