지도계획 - 2jong.daehane.com2jong.daehane.com/cd/03_4/2r4/data/g.pdf · 실제응용분야에서적분 ... 본문해설 지도상의

Ⅳ. 삼각함수 211

다시 알아보기

종합 문제

함께 하는 수학

중단원 소단원 교과서 쪽수 차시 학습 내용 용어와 기호 선수 학습

1.

삼

각

함

수

와

그

그

래

프

2.

삼

각

형

에

의

응

용

∙호의 길이와 부채꼴의 넓이

∙삼각비의 정의

∙일반각의 뜻

∙호도법의 뜻

∙육십분법과 호도법의 관계

∙부채꼴의 넓이와 호의 길이

∙삼각함수의 정의

∙삼각함수의 값의 부호

∙삼각함수 사이의 관계

∙여러 가지 각의 삼각함수

∙함수 y=sinx, y=cosx,

y=tanx의 그래프와 성질

∙간단한 삼각방정식과 삼각부등식

의 풀이

∙주기를 가지는 자연 현상

∙창의력문제 해결력

∙중단원 확인 학습 문제

∙사인법칙과 코사인법칙의

증명과 활용

∙삼각함수를 활용하여 삼각형의

넓이 구하기

∙창의력문제 해결력

∙중단원 확인 학습 문제

∙ 단원의 필수 학습 내용 요약

∙ 단원 확인 학습 문제

∙협력 학습 수행 과제

시초선, 동경

일반각,

라디안,

호도법

7-나

7-나

9-나

8-나

9-나

10-나

9-나

주기,

주기함수

삼각방정식,

삼각부등식

사인법칙,

코사인법칙

사인, 코사인,

탄젠트, sinΩcosΩ, tanΩ,코시컨트, 시컨

트, 코탄젠트,

cosecΩ, secΩ,cotΩ, 삼각함수

148~149

150~154

155~164

165~169

170~171

172~173

174

175~176

185

186~187

177~182

183~184

188

189~190

191

단원을 시작하며

§1. 일반각과 호도법

§2. 삼각함수와 그 성질

§1. 사인법칙과 코사인법칙

§2. 삼각형의 넓이

§3. 삼각함수의 그래프

§4. 삼각방정식과 삼각부등식

심화 과정

탐구하는 수학

연습 문제

탐구하는 수학

연습 문제

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

12 13

11

15

16

17

14

?????

@@@@@@e@@@@f@@@@@??@@g@Hg@?e?@@g@?f?J5?e?@@g@?f?7H?e?@@g@Lf?@f?@@g31f?@f?@@gN@fJ5f?@@g?@L?e7Hf?@@g?31?e@?f?@@g?N@L?J5?f?@@h31?7H?f?@@hN@?@g?@@h?@?@g?@@h?@@5g?@@h?3@Hg?

@@@@@@g?N@?g?@?g?

?????

??????????????????

?@@@f??@@@f??@@@f?

??????

???

?'@6X?f??V'@1?f?

@6X?fN@@?f?N@1?f?@@?f?J@5?f?@@?f?7@H?f?@@W26X??

?J@@g?@@@@@)???7@@=?f?@@?f?J@(R'6X?e?@@?f?

?O&(Y?V')Xe?@@?f??W2@0Ye?V'1e?@@?f??.M?gV'e?@@?f?

??@@@@@@@@@@?f??N@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?3@f?@@?f?V4@@@@@@@?f?

???

???

?'@6X?f??V'@1?f?N@@?f?

?'@@@@@@@?e?@@?f??V40M??W@?e?@@?f?

W&@?e?@@W26X??7@5?e?@@@@@)??

?J@(Y?e?@@?f?W&(Yf?@@?f?

?O&(Y?f?@@?f??O2@0Yg?@@?f?@0M?h?@@?f?

??

'@@@@@@@@@@?f?V40Mf?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

??

???

?@@@f?'@6X?f??N@@f?V'@1?f?@@?O)XeN@@?f?

?'@@@@@@@@@)e?@@?f??V40M?h?@@?f?

?@@W26X??W2@@@6X?e?@@@@@)??

?W&(M?I'1?e?@@?f??7@He?N@?e?@@?f??@@Le?J@?e?@@?f??@@)K?O&5?e?@@?f?I4@@@0Y?e?@@?f?

??

?@@@@@@@@@@?f??N@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?3@f?@@?f?V4@@@@@@@?f?

??

????

?@6Xhe??N@)he??J@Hhe??7@?he?J@@@6Kh?

?W&(MI4@6Kg?O&0Ye?I'@@?f?

O20MgV'@?f??@0Mh?V'=f?

V@6Xe??'@@@@@@@@@@@@@@@@@)e??V+Mg@?he?

@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?

????

지도계획

212 각론

1. 삼각함수의 역사

⑴ 삼각법의역사

삼각형의 6요소인 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 연구하는 삼각법을

어로 trigonometry라고 한다. 이 말은 그리스어의 trigon(삼각형)과 metria(측량)의 합성어이다.

삼각법은 고 이집트 시 에서 시작되어 그리스인, 아라비아인에 의하여 많은 연구

가 되었다. 삼각법의 창시자를 히파르코스(Hipparchos；190?`~125? B.C.) 라

고 하는 견해가 있으나, 삼각법이 어느 특정인의 공적이라고 보기는 어렵다. 삼각법

은 기하학의 경우와 마찬가지로 토지의 측량, 산의 높이의 측정, 항해와 그 밖의 상업

상의 필요로 많은 사람들에 의하여 자연히 발생된 것으로 보아야 할 것이다.

실제로, 고 이집트인들은 나일강의 농경지가 홍수의 범람으로 경계가 자주 변경되

는 일이 발생하여 토지의 재분배 문제를 해결할 필요성이 있었다. 따라서, 이들은 천

체의 운행에 깊은 관심이 많았으며 실질적인 토지의 측량술과 기하학이 발달하게 되

었다.

⑵ 삼각함수의역사

삼각함수에는 삼각법의 기초가 되는 삼각형의 세 변과 세 각 사이의 관계를 다루는

기하학적인 요소와 삼각함수의 성질을 다루는 해석학적인 요소가 있다. 역사적으로

는 삼각형의 풀이를 다루는 기하학적인 측면이 일찍부터 발달하여 천문학과 측량 등

에 이용되었다. 자연 현상에는 주기적으로 일어나는 현상(진동, 음향, 파동)이 많이

있으며 이러한 주기적인 현상을 표현하는 도구로써 삼각함수는 중요한 의미를 가진

다. 삼각함수의 해석학적인 요소는 미분∙적분학의 발달과 함께 주기함수로 연구되

기 시작하 으며 푸리에 급수 표현과 복소수 함수론의 응용 등에 크게 기여하 다.

삼각법을 체계적으로 연구한 사람은 그리스의 천문학자인 히파르코스이다. 그는 구

면 위의 삼각형의 변의 길이와 각의 크기 사이의 관계를 다루는 구면삼각법을 창시하

다. 프톨레마이오스(Ptolemaeos, K；85?`~`165?)는 그의 저서인 알마게스트

(Almagest)에서 0.5æ간격으로 원의 중심각에 한 현의 길이를 구하 다. 이는 오

늘날의 사인표에 해당한다. 그리스의 삼각법은 인도로 전하여져서 인도의 아리아바

타(Aryabhata；476?~`550?)는 원의 중심각에 한 반현을 계산하 는데, 사인

(sine)이란 말은 반현을 뜻하는 인도어가 아라비아어와 라틴어로 번역되는 과정에서

생긴 말이라고 한다. 코사인(cosine)은 사인의 여각(complement)을 뜻하는 말로

국의 군터(E. Gunter, 1581`~`1626)가 도입한 용어이다. 탄젠트(tangent)는 그

림자가 원의 접선 위에 오기 때문에 붙여진 이름이고, 코탄젠트(cotangent)는 탄젠

트의 여각으로 붙여졌다. 비에트(Viete, F.；1540`~`1603)는 삼각함수에 관한 여

러 가지 공식을 기호화하 다. 일반각에 한 삼각비를 생각하게 된 것은 17세기 이

후 뉴턴과 오일러에 의하여 삼각함수의 급수 전개가 알려진 후이다.

'

비에트(Viete, F.)'

단원의이론적배경


2. 삼각함수의 응용

실험에서 얻은 자료에서 변수 x와 그것에 응하는 값 f(x)의 관계를 조사하는

것은 그 관계가 식으로 나타내어지는 함수의 모양이면 매우 편리하다. 실제로 많

은 경우 변수 x에 한 함수값 f(x)는

f(x)= +ÎÇk=1

akcoskx+ÎÇk=1

aksinkx

와 같은 무한급수로 표현할 수 있다. 위 식의 우변을 푸리에 급수(Fourier series)라 하고, 위의 식을 함수 f(x)의 푸리에 전개(Fourier expansion)라 한다. 푸리

에 급수나 푸리에 변환 등을 사용하여 함수의 성질이나 응용을 연구하는 분야를

푸리에 해석학(Fourier analysis)이라 한다. 동 상압축, MP3 등의 신호 처리

에 많이 응용되고 있는 푸리에 변환(Fourier transform)은 적당한 조건을 만족

하는 함수 f(x)에 하여 다음과 같이 정의한다.

F(u)=¬-Î

Î f(x)e i2πuxdx

eiz=cosz+isinz이므로 위의 식은

F(u)=¬-Î

Îf(x)cos(2πux)dx+i¬

-Î

Îf(x)sin(2πux)dx

의 모양으로 표현할 수 있다.

실제 응용 분야에서 적분을 구하는 것이 복잡하므로 함수 f`에 한 푸리에 변환

F를 유한합으로 근사하여 구하는 경우가 있다.

그러나 이 경우에도 복소수를 사용해야 하는 불편이 있어 실제 산업 현장에서는

푸리에 변환의 근사식으로 이산코사인변환(Discrete Cosine Transform ;

DCT)을 가장 많이 사용하고 있다. 함수 f에 한 이산코사인변환 C는 다음과

같다.

C(u)=u U N-1Çk=0

f(k)cos” ’(2k+1)uπ2N

2N

a0

2

1. H. Eves, 이우 역‘수학사’, 경문사

2. 김용운 외 1인‘수학사 전’, 우성 문화사

3. R. C. Gonzalez and P. Wintz(1987), ‘Digital Image Processing 2nded.’, Addison`-Wesley Publishing Company

4. http://uniweb.unitel.co.kr/class/math/lesson/trigo/trigo10.html

참고 문헌

?????

@@@@@@e@@@@f@@@@@??@@g@Hg@?e?@@g@?f?J5?e?@@g@?f?7H?e?@@g@Lf?@f?@@g31f?@f?@@gN@fJ5f?@@g?@L?e7Hf?@@g?31?e@?f?@@g?N@L?J5?f?@@h31?7H?f?@@hN@?@g?@@h?@?@g?@@h?@@5g?@@h?3@Hg?

@@@@@@g?N@?g?@?g?

?????

??????????????????

?@@@f??@@@f??@@@f?

??????

???

?'@6X?f??V'@1?f?

@6X?fN@@?f?N@1?f?@@?f?J@5?f?@@?f?7@H?f?@@W26X??

?J@@g?@@@@@)???7@@=?f?@@?f?J@(R'6X?e?@@?f?



???

???

?'@6X?f??V'@1?f?N@@?f?

?'@@@@@@@?e?@@?f??V40M??W@?e?@@?f?

W&@?e?@@W26X??7@5?e?@@@@@)??

?J@(Y?e?@@?f?W&(Yf?@@?f?

?O&(Y?f?@@?f??O2@0Yg?@@?f?@0M?h?@@?f?

??

'@@@@@@@@@@?f?V40Mf?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

??

???

?@@@f?'@6X?f??N@@f?V'@1?f?@@?O)XeN@@?f?

?'@@@@@@@@@)e?@@?f??V40M?h?@@?f?

?@@W26X??W2@@@6X?e?@@@@@)??


??

?@@@@@@@@@@?f??N@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?3@f?@@?f?V4@@@@@@@?f?

??

????


?W&(MI4@6Kg?O&0Ye?I'@@?f?

O20MgV'@?f??@0Mh?V'=f?

V@6Xe??'@@@@@@@@@@@@@@@@@)e??V+Mg@?he?

@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?@?he?

????

214 각론

교과서

148∙149

1994

푸리에(Fourier, J. B. J ;

1768`~`1830)

푸리에 급수를 연구하 고, 삼

각법을 수학의 한 분야로 연구

하 다.

AD 1707

IMT2000(International

Mobile Telecommunicat-

ion 2000) 보급 준비

차세 멀티미디어 이동 통신

IMT2000용 단말기(로봇 모양의 마

네킹손에화상전화가들려있다.)

2000

삼각함수를 활용한 MP3가

보급되었다.

반지름의 길이가 5cm이고 중심각의 크기가 60æ인부채꼴에서 호의 길이와 넓이를 구하여라.

오른쪽 그림의 직각삼각형에서 삼각비 sinA,

cosA, tanA를 구하여라.

A B

C

‰3

1

60æO

5cm1

2

호의 길이와 부채꼴의 넓이

(7-나)

반지름의 길이가 r, 중심각의

크기가xæ인부채꼴에서

(호의길이)=2πr\

(부채꼴의넓이)

=πr2\

삼각비의 정의 (9-나)

sinA=

cosA=

tanA= B·C·‚A·B·

AB‚AC‚

BC‚AC‚

x360

x360

MP3 플레이어

BC 310

아리스타쿠스(Aristarchus ;

310~230 B.C.)

삼각비를 이용하여 지구에서

태양까지의 거리가 지구에서

달까지의 거리의 360배임을

구하 다. 그러나 실제는 약

400배이다.

탈레스(Thales; 640?

~ 546? B.C.)

닮음비를 이용하여 피라미

드의 높이를 계산하 다.

피타고라스(Pythagoras ;

572? ~ 492? B.C.)

피타고라스의 정리를 최초로

증명하 다.

피타고라스를

기념한동전

BC 560

멀티미디어는 음향, 동 상 등 여러 가지

형태의 정보를 효과적으로 결합하여

전달하는 방식으로 이 기술에 한

표준은 국제표준화기구(ISO;

International Organization for

Standardization)의 동 상 전문

가 그룹(MPEG ; Moving Pict-

ure Experts Group)에서 만들고

있다. MPEG`에서 정한 멀티미디어

압축∙전송 기술에 한 표준인 MP3에는

삼각함수가 응용되고 있다.

소리를 MP3`방식으로 기록한 파일은 다른 것에 비하여 압축 효율도 높고, 음

질도 깨끗하여 상당한 인기를 얻고 있다.

BC 640

인터넷에서 소리를 전송할 때에는 소리를 압축하

여 전송하고 받는 쪽에서 압축을 해제하여 듣는다.

MP3는 이 과정 중에서 소리의 압축(encoding)과 압축 해제(decoding) 단계에 적용되는 기술

을 국제 표준으로 정한 것이다.

ISO의 MPEG에서 정한 국제 표준은 소리뿐만

아니라 소리를 포함한 동 상 압축 표준을 제시

하 다.

이산코사인변환은 성능과 효율을 모두 고려할 때,

다른 변환 기술보다 적합하다고 알려져 있다.

인터넷에서 그림 파일은 많은 경우 확장자가 jpg인 JPEG이고 동 상 파일은 확장자가 mpg인

MPEG인데, 이들에 적용되는 변환 기술이 이산

코사인변환이다. 또, 고화질 텔레비전(HDTV)에

도 이 변환 기술이 적용되고 있다.

1 (호의 길이)=2\π\5\

= π(cm)

(부채꼴의 넓이)=π\52\

= π(cm2)

2 피타고라스의 정리로부터

AC ‚2=12+‰3 2=4이므로 AC‚=2이다.

Ú sinA= , cosA= , tanA= 1‰3

‰32

12

256

60360

53

60360


1. 일반각의 뜻을 알게 한다.

2. 주어진 각을 일반각으로 나타낼 수 있게 한다.

3. 호도법의 뜻을 알게 한다.

4. 육십분법으로 표시된 각을 호도법으로, 호도법

으로 표시된 각을 육십분법으로 바꿔 나타낼

수 있게 한다.

1. 동경의 위치가 같아도 그 동경이 나타내는 각

의 크기는 다를 수 있음을 유의시킨다.

2. 360æ\n+åæ에서 n은 동경이 회전한 횟수를

나타냄을 유의시킨다.

3. 180æ를 나타내는 π와 원주율 π를 다르게 생각

하지 않도록 지도한다.

중학교에서는 다각형의 내각이나, 부채꼴의 중심

각 등 평면도형의 각만을 주로 다루었기 때문에

0æ에서 360æ 사이의 각을 다루었다.

이제부터는 시초선과 동경의 개념을 도입하여 동

경이 회전한 양으로 각을 정의한다. 동경이 회전

한 양으로 정의되는 일반각의 크기는 크기와 방향

을 가진다는 것에 주의해야 한다.

물음1 360æ 물음2 2회전：360æ\2=720æ

3회전：360æ\3=1080æ

Ω=360æ\n+å를 나타내는 각을 그린다.

⑴ 1140æ=360æ\3+60æ Ú 360æ\n+60æ 60æ

⑵ 490æ=360æ+130æ Ú 360æ\n+130æ

⑶ -1035æ=360æ\(-3)+45æ Ú 360æ\n+45æ

⑷ -270æ=360æ\(-1)+90æ Ú 360æ\n+90æ

좌표평면에서 일반각은 꼭지점을 원점에, 시

초선을 x축의 양의 방향으로 잡고 주어진 각에

한 동경을 결정한다.

이 때, 동경이 놓인 위치에 따라 제 1, 제 2, 제 3,제 4 사분면의 각이라고 한다.

동경이 축과 겹치는 각, 즉 0æ, 90æ, 180æ, 270æ,

360æ는 어느 사분면에도 속하지 않는다.

90æ

45æ

130æ

§1. 일반각과호도법 1~2`차시

지도목표

본문해설

지도상의유의점

오른쪽 그림과 같은 »XOP`는 처음 OX‡의 위치에

서 점 O`를 중심으로 OP‡까지 회전하여 만들어진 도

형으로 볼 수 있다.

이 때, OX‡를 시초선, OP‡를 `동경이라 한다.

동경 OP`의 회전은 시계 바늘이 도는 방향인 음의

방향과 그 반 방향인 양의 방향이 있다. 각의 크기

는 동경의 회전 방향에 따라 양, 음의 부호를 붙여서

나타낸다. O X

P

양의 방향(+)

음의 방향(-)

O X

P

동경

시초선

§1. 일반각과 호도법

일반각의 뜻을 알고, 주어진 각을 일반각으로 나타낼 수 있다.

호도법의 뜻을 알고, 도( æ)를 라디안으로, 라디안을 도( æ)로 나타낼 수 있다.

발레에서 사용되는 용어는 부분 프랑스어인데, 회전하는 동작을‘뚜르

네(tourner)’라 한다. 다음 물음에 답하여라.

1회전은 몇 도(æ) 회전한 것인가?

2회전, 3회전은 각각 몇 도(æ) 회전한 것인가?

시초선(始初線)

始 처음 시

初 처음 초

線 줄 선

동경(動徑)

動 움직일 동

徑 지름길 경

anFdmA 1

anFdmA 2

toDrkRgo qhQtlek

일반각의뜻

nfzufxmfznbjvf

ug ugydpg 교과서150쪽

1

toDrkRgo qhQtlek 일반각의 뜻

일반각의 표현

문제 1

마찬가지로 동경의 위치에 따라 제 2`사분면

의 각, 제 3`사분면의 각, 제 4`사분면의 각이라

한다.

한편, 0æ, 90æ, 180æ, 270æ, 360æ는 어느 사분

면에도 속하지 않는다.

다음 각은 제 몇 사분면의 각인가?

⑴ 390æ ⑵ 460æ⑶ -100æ ⑷ -675æ

오른쪽 그림과 같이 중심이 O`이고, 반지름의

길이가 r`인 원에서 길이가 r`인 호 AB`에 한

중심각 »AOB`의 크기를 `åæ라 하면, 호의 길이

는 중심각의 크기에 정비례하므로 다음이 성립

한다.

O A

B

r

r

åæ

y

xO X

P

åæ제`1`사분면

제`2`사분면

제`3`사분면 제`4`사분면

152 Ⅳ. 삼각함수

2뿌리

anSwp

다음은 반지름의 길이가 각각 다른 세 종류의 피자를 호의 길이와 반지름

의 길이가 같게 자른 것이다. 다음 물음에 답하여라.

세 도형의 공통점을 말하여라.

세 도형의 중심각의 크기를 비교하여라.

anFdmA 1

anFdmA 2

toDrkRgo qhQtlek

호도법의뜻

교과서151152

⑴ 390æ=360æ\1+30æÚ 제1`사분면의 각

⑵ 460æ=360æ\1+100æÚ 제2`사분면의 각

⑶ -100æ=360æ\(-1)+260æÚ 제3`사분면의 각

⑷ -675æ=360æ\(-2)+45æÚ 제1`사분면의 각

호도법에서 각의 크기를 나타내는 수는 실수임을

이해하도록 지도한다.

‘라디안’은 원둘레 위에서의 점 P`의 위치의 변화

량 l`을 반지름의 길이 r`로 나눈 것으로 정의된

Ω= 인 수이다.

육십분법과 호도법의 관계를 알도록 한다. 즉,

åæ=å\ 라디안,

Ω라디안=Ω\

의 관계를 알게 한다.

물음1 모양이 같다.

물음2 모두 같다.

⑴ 60æ\ =

⑵ 90æ\ = π2

π180

π3

π180

180æπ

π180

lr

216 각론

다음 그림과 같이 시초선 OX`에 하여 동경 OP`의 위치는 모두 같지만

동경 OP`가 양의 방향 또는 음의 방향으로 몇 바퀴를 돌아서 그 위치에 있는

지에 따라 각의 크기는 다르다.

일반적으로, »XOP`의 크기를 åæ라 할 때, 시초선 OX`와 동경 OP`가 이

루는 각의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

360æ\n+åæ (n`은 정수)

이것을 동경 ÒP`가 나타내는 일반각이라 한다.

참고åæ는 0¯å<360 범위의 값을 주로 사용한다.

-660æ=360æ\(-2)+60æ이므로 -660æ가 나타내는

동경 OP`는 오른쪽 그림과 같고, 그 동경이 나타내는

일반각은 다음과 같다.

360æ\n+60æ (n`은 정수)

다음 각의 동경의 위치를 그림으로 나타내고, 그 동경이 나타내는 일반각을 구하

여라.

⑴ 1140æ ⑵ 490æ⑶ -1035æ ⑷ -270æ

일반각 »XOP의 꼭지점 O를 좌표평면의 원점, 시초선 OX`를 x축의 양

의 방향으로 할 때, 동경 OP가 좌표평면의 제 1`사분면에 있으면 이 각을 제

1`사분면의 각이라 한다.

O X

P

60æ

O X

P

360æ\(-2)+30æ=-690æ

30æO X

P

360æ\2+30æ=750æ

30æO X

P

360æ+30æ=390æ

30æ

O X

P

-315æ

O X

P

45æ

1. 삼각함수와 그 그래프 151

1뿌리

anSwp

일반각의 동경문제 2

??????

@?hg?@?f@??@e?@e?@?f@??@e?@e?@?f@??@e?@e?@@@@@@@??@@@@@e?@?f@??@e?@e?@?e?J5??3=??@e?3=eO.Y??V4@@@e?V4@@0Yhe?

???

@@@@@@@@@@@?e??@h??@h??@h??@h??@h?

????

??????

?@@@@@@?h?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?

?O2@@@@?f@?e??W20M?h@?e??7<?he@?e??@hf@?e??@hf@?e??3=?hg??V4@@@@@he?

?????????

toDrkRgo qhQtlek 호도법의 뜻 육십분법의 각을 호도법의 각으로 나타내기

문제 3

⑶ 120æ\ = π

⑷ 135æ\ = π

⑴ π\ =150æ

⑵ \ =270æ

⑶ 2π\ =360æ

⑷ 3\ = æ

⑴ 2nπ+

⑵ π=2π\1+ π

Ú 2nπ+ π

⑶ 2nπ+ π

⑷ 2nπ+ π

호도법을 사용함으로써 부채꼴의 호의 길이와

넓이를 편리하게 나타낼 수 있음을 강조하고, 부

채꼴의 호의 길이와 넓이에 한 공식은 많이 응

용됨을 강조하여 지도한다.

부채꼴의 넓이 공식 S= rl을 삼각형의 넓이 공

식과 비교하여 지도하면 기억하기 편하다.

12

32

43

34

34

114

π8

540π

180æπ

180æπ

180æπ

3π2

180æπ

56

34

π180

23

π180


호도법의 각을 육십분법의 각으로 고치기문제 4

??????


???

@@@@@@@@@@@?e??@h??@h??@h??@h??@h?

????

??????

?@@@@@@?h?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?


?????????

일반각의 호도법 표현

- π=2π\(-2)+ 이므로 그 동경이 나타내

는 일반각은 2nπ+ (n`은 정수)이다.

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을` 2nπ+Ω 꼴로 나타내어라.

(단, n`은 정수이고, 0¯Ω<2π)

⑴ ⑵ π ⑶ π ⑷ π

반지름의 길이가 r`인 원에서 길이가 l`인 호에

한 중심각의 크기를 Ω`라디안이라 하면, 호의

길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

= Ú l=rΩ

이다. 또, 반지름의 길이가 r`인 원에서 중심각의 크기가 Ω`인 부채꼴의 넓이

를 `S`라 하면 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하므로

= Ú S= r2Ω

이다. 즉, 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 다음과 같음을 알 수 있다.

다음 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

⑴ 반지름의 길이 9cm,중심각의 크기

⑵ 반지름의 길이 8cm,중심각의 크기 135æ

π6

12

Ω2π

Sπr2

Ω2π

l2πr

O

r

lΩ S

32

43

114

π8

π6

O X

P

π-6

π6

236


5뿌리

anSwp

6줄기

anSwp

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r`인 원에서 중심각의 크기가 Ω`인 부채꼴의 호의 길이

를 l, 넓이를 S`라 하면

l=rΩ,S= r2Ω= rl12

12

l=rΩ, S= r2Ω에서

Ω`의 단위는 라디안이다.

12

π6

교과서153154

= Ú åæ=

따라서, 중심각의 크기 åæ는 원의 반지름의 길이에 관계없이 일정하다.

이 일정한 각의 크기를

1`라디안

이라 하고, 이것을 단위로 각의 크기를 나타내는

방법을 호도법이라 한다.

반지름의 길이가 r인 원에서 반원의 호의 길이

는 πr로 반지름의 길이의 π배이므로

180æ=π라디안

이다.

참고호도법에서 각의 단위 라디안은 부분 생략한다.

30æ는 30æ\ = `이다. 또, `는 \ =45æ이다.

다음 각을 호도법으로 나타내어라.

⑴ 60æ ⑵ 90æ ⑶ 120æ ⑷ 135æ

호도법으로 나타낸 다음 각의 크기는 몇 도( æ)인가?

⑴ `π ⑵ `π ⑶ 2π ⑷ 3

동경 OP`가 나타내는 한 각의 크기를 Ω라 할 때,

그 일반각을 호도법으로 나타내면

2nπ+Ω (n`은 정수)

이다. 이 때, Ω는 보통 0¯Ω<2π`범위의 각을 사용

한다.

O X

P

Ω

32

56

180æπ

π4

π4

π6

π180æ

O r

rr

1라디안

180æπ

r2πr

åæ360æ


1회전의 을 1æ라 하고,

이것을 단위로 각의 크기를

나타내는 방법을 육십분법

이라 한다.

1360

radian은‘radial angle’

에서 유래한 합성어이다.

도( æ)와 라디안의 관계

180æ=π`라디안이므로1라디안= ,1æ= `라디안π180

180æπ

3뿌리

anSwp

4뿌리

anSwp

문제 5

218 각론

반지름의 길이가 3, 중심각의 크기가 60æ인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하

여라.

답：호의 길이：π, 넓이： π

700æ는 몇 사분면의 각인가?

답：제4사분면

동경 OP`가 나타내는 한 각의 크기를 405æ라 하면, 동경 OP`가 나타내는 모든 각

의 크기를 호도법으로 나타내어라.

답：2nπ+ π4

32

형성 평가

2보충

3심화

1기본

각의 크기를 나타내는 방법에 각의 단위로 도(),분(′), 초(″)를 사용하는 육십분법과 라디안

(radian)을 사용하는 호도법이 있다.

호도법의 단위인 radian은 radial angle의 합성

어로 아일랜드의 톰슨(J. Thompson)교수가 시

험 감독을 하다가 생각해 냈다고 한다.

또, 1회전의 400분의 1을 각의 단위(1그레이드

grade)로 사용하는 방법이 있다.

이 방법에서는 직각이 100그레이드이다. 그러나

이렇게 하면 60도가 복잡한 소수가 되어 오히려

계산이 복잡해지므로 이 방법은 잘 쓰지 않는다.

참고 자료 각의단위

⑴ (호의 길이)=9\ = π(cm)

(넓이)= \9\ π= π(cm2)

⑵ 135æ=135æ\ = π이므로

(호의 길이)=8\ π=6π(cm)

(부채꼴의 넓이)= \8\6π

=24π(cm2)

12

34

34

π180æ

274

32

12

32

π6

부채꼴의 호의 길이와 넓이문제 6

1. 삼각함수의 뜻을 알게 한다.

2. 일반각의 삼각함수 값을 구할 수 있게 한다.

3. 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수

값을 구할 수 있게 한다.

1. 삼각함수의 값은 정의에서 사용한 원의 크기와

관계가 없음을 알게 한다.

2. 삼각함수의 정의역에 하여 주의하도록 지

도한다.

3. 동경의 위치에 따라 삼각함수의 값의 부호가

달라짐을 유의하도록 한다.

삼각함수의 값은 정의에서 사용한 원의 반지름의

크기와는 무관하다는 것을 강조한다. 그리고 일반

각에 한 삼각함수는 중학교에서 배운 삼각비의

개념의 확장이라는 것을 이해시킨다.

이 때, 삼각비는 직각삼각형의 변의 길이의 비로

정의했으나 여기서는 각의 크기를 변수로 하는 함

수임을 주의해야 한다.

또, 삼각함수의 정의역도 유의하여 지도한다.

sinΩ= , cosΩ= 에서 r>0이므로 모든 실

수 Ω에 하여 sinΩ, cosΩ의 값이 존재한다.

따라서, 함수 f(Ω)=sinΩ, f(Ω)=cosΩ의 정의

역은 모두 Ω|Ω는 실수이다.

f(Ω)=tanΩ의 정의역은

Ω|Ω는 Ω˜ +nπ인 실수, n은 정수

이다. 마찬가지로, 함수 f(Ω)=cosecΩ의 정의

역은

Ω|Ω는 Ωñπ인 실수, n은 정수

이고, 함수 f(Ω)=secΩ의 정의역은

Ω|Ω는 Ω˜ +nπ인 실수, n은 정수

이다. 또, 함수 f(Ω)=cotΩ의 정의역은

Ω|Ω는 Ωñπ인 실수, n은 정수

물음1 ◊OAB에서

O·A·=5, A·B·=3, O·B·=4

Ú sinO=

=

물음2 = ,

= =

따라서, 두 값이 서로 같다.

35

610

(Q의 y좌표)O·Q·

35

(P의 y좌표)O·P·

35

A·B·O·A·

π2

π2

xr

yr


§2. 삼각함수와그성질 3~6`차시

좌표평면에서 x축의 양의 방향이 시초선일

때, 동경 OP`가 나타내는 일반각의 크기를 Ω라 하자. 동경 OP 위의 한 점을 Q , 그 좌표

를 (x, y)`라 하고, 선분 OQ`의 길이를 r라

하면, 피타고라스의 정리에 의하여

r=Áx2+‚y2‚

이다. 이 때, Ω`의 크기가 정해지면 , , (x˜0)의 값이 각각 한 가지

로 결정된다. 따라서,

Ω› ,Ω› ,Ω› (x˜0)yx

xr

yr

yx

xr

yr

y

xO

Q(x, y)

Ω

y

x

r

r-r

-r

P


오른쪽 그림을 보고, 다음 물음에

답하여라.

◊OAB`에서 삼각비 sinÒ`

의 값을 구하여라.

두 점 `P와 `Q에 하여

,

의 값을 각각 구하고, 두 값을 비교하여라.

(Q`의 `y`좌표)

O·Q·

(P`의 `y`좌표)

O·P·

y

xO

P(-4, 3)

-5 5

5

Q(-8, 6)

A(4, 3)

B

§2. 삼각함수와 그 성질

삼각함수의 뜻을 알고, 일반각의 삼각함수 값을 구할 수 있다.

삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수 값을 구할 수 있다.

anFdmA 1

anFdmA 2

비의 값은 동경 OP 위의

점 Q`의 위치에 관계없이

일정하다.

toDrkRgo qhQtlek

삼각함수의뜻

155교과서

지도목표

본문해설


toDrkRgo qhQtlek 삼각함수의 뜻

다음 삼각함수의 값을 구하여라

⑴ sin π ⑵ cos π ⑶ tan330æ

각 Ω의 동경이 위치한 사분면에 따라 삼각함수의 부호는 다음과 같이 정

해진다.

sinΩ`의 부호 cosΩ`의 부호 tanΩ`의 부호

다음 조건을 만족하는 각 Ω`는 제 몇 사분면의 각인가?

⑴ sinΩ cosΩ<0 ⑵ cosΩtanΩ>0

y

xO

- +

+ -

y

xO

- +

- +

y

xO

+ +

- -

34

43


2

1

‰3π-3

1

1

‰2π-4

Ω= π`일 때, sinΩ, `cosΩ, tanΩ`의 값을 구하여라.

오른쪽 그림에서 OP‚=1인 동경이 나타내는 각의 크기가 π`이면

»POQ= `이므로 점 P`의 좌표는

- , 이다.

Ú sin` π= ,cos` π=- ,

tan` π=-

답 sin` π= ,cos` π=- ,tan` π=- 1‰3

56

‰32

56

12

56

1‰3

56

‰32

56

12

56

12

‰32

y

xO

5-6

1

1-1

-1

P

Q

π

π6

56

56

dPwp 2

풀이

2줄기

anSwp

3열매

anSwp

사분면

좌표

1234

x

+--+

y

++--

2 ‰3

1

‰31

1

교과서156157

⑴ x=‰3, y=1이므로

r=Á(‰·3 ·)2·+‚12‚ =2

Ú sinΩ= ,

cosΩ= , tanΩ=

⑵ x=-1, y=1이므로

r=Á(-1‚)2+‚12‚=‰2

Ú sinΩ= ,

cosΩ=- , tanΩ=-1

⑶ x=-‰3, y=-1이므로

r=Á(-‰‚3`)2‚+(‚-1‚)2‚=2

Ú sinΩ=- ,

cosΩ=- ,

tanΩ=

⑷ x=-1, y=-1이므로

r=Á(-1)‚2+(‚-1‚)2‚

=‰2

Ú sinΩ=- ,

cosΩ=- , tanΩ=1

⑴ O·P·=1인 동경이 나타내는 각의 크기가 π

이면»POQ= 이므로 점 P의 좌표는π3

43

1‰2

1‰2

y

xO

-1

-1

1‰3

‰32

y

xO

-1

-‰3

12

1‰2

1‰2

y

xO

1

-1

1‰3

‰32

12

y

xO

1

‰3

220 각론

와 같은 응은 함수이다. 이들을 각각 사인, 코사인, 탄젠트 함수라 하고,

다음과 같이 나타낸다.

sinΩ= , cosΩ= , tanΩ=

또, Ω› (y˜0),Ω› (x˜0),Ω› (y˜0)와 같은 응을 각각

코시컨트, 시컨트, 코탄젠트 함수라 하고 다음과 같이 나타낸다.

cosec Ω= ,sec Ω= ,cot Ω=

위의 여섯 가지 함수를 통틀어 일반각 Ω에 한 삼각함수라 한다.

각 `Ω의 동경이 다음 각 점을 지날 때, sinΩ, cosΩ, tanΩ`의 값을 구하여라.

⑴ (‰3, 1) ⑵ (-1, 1)⑶ (-‰3, -1) ⑷ (-1, -1)

xy

rx

ry

xy

rx

ry

yx

xr

yr


삼각함수의 정의

sin`Ω= , cos`Ω= , tan`Ω=

cosec`Ω= , sec`Ω= , cot`Ω=xy

rx

ry

yx

xr

yr

y

xO

P(x, y)

Ωx

yr

각 `Ω의 동경이 점 `(1, `-‰3)을 지날 때, `sinΩ, `cosΩ, `tanΩ의 값을 구하

여라.

x=1, y=-‰3`이므로

r=Á12+(‚-‰‚3)2‚=2이다. 따라서,

sinΩ=- , cosΩ= , tanΩ=-‰3

이다.

답 sinΩ=- ,cosΩ= ,tanΩ=-‰312

‰32

12

‰32

y

xO

Ω

-‰3

1

(1, -‰3)

dPwp 1

풀이

1뿌리

anSwp

삼각함수의 정의문제 1

??????


???

@@@@@@@@@@@?e??@h??@h??@h??@h??@h?

????

??????

?@@@@@@?h?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?


?????????

삼각함수의 값

문제 2

- , - 이다.

Ú sin π=-

⑵ 오른쪽 그림에서 O·P·=1인 동경이 나타내는 각의

크기가 π이면

»POQ= 이므로

점 P의 좌표는 - , Ú cos π=-

⑶ 오른쪽 그림에서 O·P·=1인 동경이 나타내는 각의

크기가 330æ이면

»POQ=30æ이므로 점

P의 좌표는

, - Ú tan330æ=-

삼각함수의 값은 원점이 아닌 동경 위의 점의

좌표에 의하여 결정된다. 따라서, 동경의 위치에

따라 삼각함수의 값의 부호가 달라짐에 유의해야

한다.

⑴ sinΩcosΩ<0이면

(i) sinΩ>0이고 cosΩ<0이거나

(ii) sinΩ<0이고 cosΩ>0일 때이므로 Ω는 제`2`사분면의 각 또는 제`4`사분면의 각이다.

⑵ cosΩ tanΩ>0`이면

(i) cosΩ>0이고, tanΩ>0이거나

(ii) cosΩ<0이고, tanΩ<0일 때이므로 제`1`사분면의 각 또는 제`2`사분면의

각이다.

예각의 삼각함수 사이의 관계는 중학교에서

삼각비를 통하여 다루었으므로 여기서는 일반각

의 삼각함수 사이의 관계를 다루도록 한다.

1+tan2Ω=1+ 2

=

=

=sec2Ω

1cos2Ω

cos2Ω+sin2Ωcos2Ω

sinΩcosΩ

1‰3

12

‰32

y

xOQ330æ

P

1‰2

34

1‰2

1‰2

π4

34

y

xO

3-4Q

πP

‰32

43

y

xO

4-3Qπ

P

‰32

12


삼각함수의 부호

삼각함수의 정의로부터

= = \ =

이고, tanΩ= `이므로 tanΩ= 이다.

이와 같이, 삼각함수의 정의로부터 삼각함수 사이의 여러 관계를 찾을 수

있다.

오른쪽 그림과 같은 단위원

x2+y2=1위의 점 P(x, y)에서

x=cosΩ, y=sinΩ이므로

cos2Ω+sin2Ω=1`이다.

일반적으로, 삼각함수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

참고(cosΩ)2, (sinΩ)2, (tanΩ)2 등을 각각 cos2Ω, sin2Ω, tan2Ω로 쓴다.

1+tan2Ω=sec2Ω임을 증명하여라.

y

xO

P(x, y)

Ω

cos`Ω

1

1-1

-1

sin`Ω

sinΩcosΩ

yx

yx

rx

yr

yrxr

sinΩcosΩ


반지름의 길이가 1`인 원을

단위원이라 한다.

삼각함수 사이의 관계 ⑴

cosecΩ= ,secΩ= ,cotΩ=

tanΩ= ,cotΩ= cosΩsinΩ

sinΩcosΩ

1tanΩ

1cosΩ

1sinΩ

2

1

삼각함수 사이의 관계 ⑵

sin`2 Ω+cos`2 Ω=1

1+tan`2 Ω=sec`2 Ω,1+cot`2 Ω=cosec`2 Ω2

1

4줄기

anSwp

삼각함수사이의관계

158교과서

삼각함수 사이의 관계

문제 3문제 4

cos2Ω=1-sin2Ω=1- 2= 2

그런데, <Ω<π이므로 cosΩ<0이다.

Ú cosΩ=-

Ú tanΩ= = =-

⑴ +

=

=

= =

⑵ -

=

=

= =-

직각삼각형의 합동을 이용하여 단위원에서 각

-Ω, π+Ω, +Ω를 나타내는 동경이 원과 만나

는 점의 좌표와 각 Ω를 나타내는 동경이 원과 만

나는 점의 좌표의 관계를 생각할 수 있도록 지도

한다.

물음1 ◊AOP와◊BOP에서

O·A·=O·B·, O·P·는 공통,

»OPA=»OPB=90æ이므로

◊AOP≠◊BOP따라서, 점 B의 좌표는 (x, -y)

물음2 ◊AOP와◊BOQ에서

O·A·=O·B·, »OPA=»OQB=90æ,

»AOP=»BOQ=Ω이므로

◊AOP≠◊BOQ따라서, 점 B의 좌표는 (-x, -y)

물음3 ◊AOP와◊BOQ에서

O·A·=O·B·, »OPA=»OQB=90æ,

»AOP=»BOQ=Ω이므로

◊AOP≠◊BOQ따라서,점 B의 좌표는 (-y, x)

각 Ω와 2nπ+Ω의 동경이 일치하므로 그 삼각

함수 값이 같음을 알게 한다.

π2

1sinΩ

-(1-cosΩ)sinΩ(1-cosΩ)

cosΩ-(cos2Ω+sin2Ω)sinΩ(1-cosΩ)

cosΩ(1-cosΩ)-sin2ΩsinΩ(1-cosΩ)

sinΩ1-cosΩ

cosΩsinΩ

2cosΩ

2(1+sinΩ)cosΩ(1+sinΩ)

1+2sinΩ+sin2Ω+cos2ΩcosΩ(1+sinΩ)

(1+sinΩ)2+cos2ΩcosΩ(1+sinΩ)

cosΩ1+sinΩ

1+sinΩcosΩ

512

513

-1213

sinΩcosΩ

1213

π2

1213

513

222 각론

sinΩ= <Ω<π일 때, cosΩ, tanΩ의 값을 구하여라.

다음 식을 간단히 하여라.

⑴ +

⑵ - sinΩ1-cosΩ

cosΩsinΩ

cosΩ1+sinΩ

1+sinΩcosΩ

π2

513


cosΩ=- <Ω<π일 때, sinΩ의 값을

구하여라.

sin2Ω=1-cos2Ω

=1- =

그런데 <Ω<π이므로 sinΩ>0이다.

Ú sinΩ= 답45

45

π2

1625

925

y

xO

Ω

-

1

1-1

-1

4-5

3-5

π2

35

dPwp 3

풀이

5줄기

anSwp

6줄기

anSwp


(sinΩ+cosΩ)2+(sinΩ-cosΩ)2

(sinΩ+cosΩ)2+(sinΩ-cosΩ)2

=sin2`Ω+2sin`Ω`cos`Ω+cos2Ω+sin2Ω-2sin`Ω`cosΩ+cos2Ω

=2(sin2Ω+cos2Ω)=2

답 2

dPwp 4

풀이

159교과서

삼각함수 사이의 관계

toDrkRgo qhQtlek 여러 가지 각의 삼각함수

삼각함수의 계산

문제 5

문제 6

⑴ cos π=cos2π\1+ π=cos π=-

⑵ sin π=sin2π\1+ =sin =

⑶ tan405æ=tan(360æ\1+45æ)=tan45æ=1

⑷ sin π=sin2π\1+ =sin =

각 Ω의 동경과 -Ω의 동경은 x축에 하여

칭이므로 단위원이 각각의 동경과 만난 점의 좌표

를 생각하면 x좌표는 같고, y좌표는 부호가 서로

반 가 됨을 알게 한다.

⑴ cos- =cos =

⑵ sin- =-sin =-

⑶ tan- =-tan =-

각 Ω의 동경과 π+Ω의 동경은 원점에 하여

칭이므로 단위원이 각각의 동경과 만난 점의 좌

표를 생각하면 x좌표와 y좌표 모두 부호가 서로

반 가된다. 이를이용하여두각의삼각함수사이

의 관계를 알게 한다. 각 π-Ω는 π-Ω=π+(-Ω)와-Ω의 삼각함수를 이용하여 구한다.

1‰3

π6

π6

1‰2

π4

π4

12

π3

π3

12

π6

π6

136

‰32

π3

π3

73

1‰2

34

34

114


다음 삼각함수의 값을 구하여라.

⑴ cos π ⑵ sin π ⑶ tan405æ ⑷ sin π

오른쪽 그림에서 일반각 Ω를 나타내는 동경

OP`와 -Ω를 나타내는 동경 OP '은 x축에

하여 칭이므로

x'=x, y'=-y이다. 따라서, -Ω의 삼각함수를 `Ω의 삼각함

수로 나타내면 다음과 같다.

sin(-Ω)=y'=-y=-sinΩ

cos(-Ω)=x'=x=cosΩ

tan(-Ω)= =- =-tanΩ

sin- =-sin` =-


⑴ cos- ⑵ sin- ⑶ tan-

오른쪽 그림에서 일반각 Ω를 나타내는

동경 OP`와 π+Ω를 나타내는 동경 OP '은 원점에 하여 칭이므로

x'=-x, y'=-y이다. 따라서, π+Ω의 삼각함수를 Ω의

삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

sin(π+Ω)=y'=-y=-sinΩ

cos(π+Ω)=x'=-x=-cosΩ

tan(π+Ω)= = =tanΩyx

y'x'

y

xO

P(x, y)

Ω

1

1-1

-1

P'(x', y')

π+Ω

π6

π4

π3

‰32

π3

π3

yx

y'x'

y

xO

P(x, y)

Ω

1

1-1

-1

-Ω

P'(x', y')

136

73

114


-Ω의 삼각함수

sin(-Ω)=-sinΩ,cos(-Ω)=cosΩ,tan(-Ω)=-tanΩ

8줄기

anSwp

7줄기

anSwp

교과서160161

임의의 정수 n에 하여 일반각 2nπ+Ω와 각 Ω의 동경은 일치하므로 두

각의 삼각함수의 값은 같다.

cos π=cos2π\3+ =cos =‰22

π4

π4

254


2nπ+Ω의의 삼삼각각함함수수

sin(2nπ+Ω)=sinΩ,cos(2nπ+Ω)=cosΩ,

tan(2nπ+Ω)=tanΩ (단, n`은 정수)

다음 물음에 답하여라.

오른쪽 그림에서 ◊AOP와 ◊BOP는

어떤 관계가 있는가? 또, 점 A의 좌표가

(x, y)일 때, 점 B의 좌표를 말하여라.

오른쪽 그림에서 ◊AOP와 ◊BOQ는 어

떤 관계가 있는가? 또, 점 A의 좌표가


오른쪽 그림에서 ◊AOP와 ◊BOQ`는 어

떤 관계가 있는가? 또, 점 A의 좌표가


anFdmA 1

anFdmA 2

anFdmA 3

빗변의 길이가 같고, 한 예

각의 크기가 같은 두 직각

삼각형은 합동이다.

y

xOΩ

1

1-1

-1

-Ω P

A

B

y

xOΩ

1

1

-1

P

A

B

π+ΩQ

-1

y

xOΩ

1

1-1

-1

P

AB +Ωπ-2Q

여러가지각의삼각함수

toDrkRgo qhQtlek

2nπ+Ω의 삼각함수문제 7

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

음각의 삼각함수

문제 8

위 식의 Ω에 -Ω를 입하여 -Ω의 삼각함수를 Ω의 삼각함수로 나타

내면 다음과 같다.

sin -Ω=cos(-Ω)=cosΩ

cos -Ω=-sin(-Ω)=sinΩ

tan -Ω=-cot(-Ω)=cotΩ

sin =sin - =cos

다음 삼각함수를` 0에서 ` 사이의 각의 삼각함수로 나타내어라.

⑴ cos π ⑵ sin π

⑶ tan π ⑷ cot π712

25

23

1536

π4

π6

π6

π2

π3

π2

π2

y

xO

P'(x', y')

P(x, y)

1

1

-1

-1Ω

π-2-Ω

π2

π2


+Ω, -Ω의 삼각함수π2

π2

sin +Ω=cosΩ sin -Ω=cosΩ

cos +Ω=-sinΩ cos -Ω=sinΩ

tan +Ω=-cotΩ tan -Ω=cotΩπ2

π2

π2

π2

π2

π2

10anSwp줄기

교과서162163

앞의 식의 Ω에 -Ω를 입하여 π-Ω의 삼각함수를 Ω의 삼각함수로 나타

내면 다음과 같다.

sin(π-Ω)=-sin(-Ω)=sinΩ

cos(π-Ω)=-cos(-Ω)=-cosΩ

tan(π-Ω)=tan(-Ω)=-tanΩ

tan π=tanπ- =-tan =-1


⑴ cos π ⑵ sin π

⑶ sin π ⑷ tan π

오른쪽 그림에서 일반각 Ω를 나타내는 동

경OP`와 +Ω를 나타내는 동경 OP'에서

x'=-y, y'=x

이다. 따라서, +Ω의 삼각함수를 Ω의 삼

각함수로 나타내면 다음과 같다.

sin +Ω=y'=x=cosΩ

cos +Ω=x'=-y=-sinΩ

tan +Ω= =- =-cotΩxy

y'x'

π2

π2

π2

π2

π2

y

xO

P(x, y)

Ω

1

1-1

-1

P'(x', y')

+Ωπ-2

56

23

76

43

π4

π4

34


π+Ω, π-Ω`의 삼각함수

sin(π+Ω)=-sinΩ sin(π-Ω)=sinΩ

cos(π+Ω)=-cosΩ cos(π-Ω)=-cosΩ

tan(π+Ω)=tanΩ tan(π-Ω)=-tanΩ

9뿌리

anSwp줄기

⑴ cos π=cosπ+ =-cos =-

⑵ sin π=sinπ+ =-sin =-

⑶ sin π=sinπ- =sin =

⑷ tan π=tanπ- =-tan =-

각 +Ω의 동경은 Ω의 동경을 원점을 중심

으로 90æ회전한 것임을 알게 하고, 이를 이용하여

+Ω의 삼각함수 값을 Ω의 삼각함수 값으로 나

타내게 한다. 각 -Ω= +(-Ω)와 -Ω의

삼각함수를 이용하여 구한다.

π2

π2

π2

π2

1‰3

π6

π6

56

‰32

π3

π3

23

12

π6

π6

76

12

π3

π3

43 ⑴ cos π=cos - =sin

⑵ sin π=sin + =cos

⑶ tan π=tan - =cot

⑷ cot π=cot + =-tan

삼각함수표와 삼각함수의 관계를 이용하여

삼각함수의 값을 구할 수 있도록 한다.

⑴ cos15æ=0.9659 ⑵ sin68æ=0.9272⑶ tan164æ=tan(180æ-16æ)

=-tan16æ=-0.2867

π12

π12

π2

712

π10

π10

π2

25

π6

π6

π2

23

π12

π12

π2

1536

224 각론

π+Ω, π-Ω의 삼각함수문제 9

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

+Ω, -Ω의 삼각함수π2

π2

삼각함수의 값 구하기문제11

문제10


계산기를 이용하여 삼각함수의 값에 한 근사값을 구할 수도 있다. 이 때, 다음 사항에 유의

한다.

호도법의 각인 경우에는 계산기를 호도법용으로 맞춘다.

육십분법의 각인 경우에는 계산기를 육십분법용으로 맞춘다.

cosecΩ= , secΩ= , cotΩ= 이므로

cosecΩ, secΩ, cotΩ의 값은

, , 키와 의

키를 이용하여 구한다.

1tanΩ

1cosΩ

1sinΩ

삼각함수에 한 앞의 성질들을

이용하면 임의의 각의 삼각함수를

0æ에서 90æ 사이의 각에 한 삼각함

수로 나타낼 수 있다.

따라서, 0æ에서 90æ 사이의 각에

한 삼각함수의 값을 알면 임의의

각에 한 삼각함수의 값을 구할 수

있다.

이 책의 부록(222쪽 참조)에 있는 삼각함수표에는 0æ에서 90æ 사이의 각

에 한 삼각함수의 값을 소수점 아래 넷째 자리까지의 근사값으로 나타내

었다.

cos250æ=cos(180æ+70æ)=-cos70æ=-0.3420

다음 삼각함수의 값을 삼각함수표를 이용하여 구하여라.

⑴ cos15æ ⑵ sin 68æ ⑶ tan164æ

0æ1æ2æ

¸¸68æ69æ70æ71æ¸¸

각

0.00000.01750.0349

라디안

0.00000.01750.0349

sin cos

0.00000.01750.0349

¸¸

2.47512.60512.74752.9042

¸¸

tan

1.00000.99980.9994

¸¸

1.18681.20431.22171.2392

¸¸

¸¸

0.92720.93360.93970.9455

¸¸

¸¸

0.37460.35840.34200.3256

¸¸


11anSwp줄기

sin cos tan 1 x

1

2

3

계산기를이용한삼각함수값구하기

164교과서

cosΩ= π<Ω<2π일 때, sinΩ의 값을 구하여라.

답：-

sin- 의 값을 구하여라.

답：-1

+ 를 간단히 하여라.

답：2

sinx

sinx1-cosx

sinx1+cosx

π2

35

32

45

형성 평가

2보충

1

3심화

기본

공학용계산기를이용하면삼각함수의값을간편하게

계산할수있다. 그러나계산기마다사용법이다를수

있으므로 주의해야 한다. 특히, MODE라고 표시된

계산 형태가 각도(DEG), 라디안(RAD), 그레이드

(GRAD) 중어느것인지를확인하여야한다.

또, cosecΩ, secΩ, cotΩ의 값은 각각 sinΩ, cosΩ,

tanΩ의역수로구한다.

sin68æ

cos2.5

tan π12

0.927183855

0.801143616

0.267949192

참고 자료 삼각함수의값구하기

형태(MODE)

각도(DEG)라디안(RAD)

라디안(RAD)

입력 순서 값 1

cosec15æ

sec15æ

cot15æ

3.863703307

1.03527618

3.732050808

형태(MODE)

각도(DEG)

각도(DEG)

각도(DEG)

입력 순서 값 2

SINCOS

TAN

62

( π

. 58

SIN

x-1

1 5

1 2 )

=

=

=

=

=

COS

x-1

1 5 =

=

TAN

x-1

1 5 =

=

÷

1. 삼각함수의그래프를그릴수있게한다.

2. 주기함수의 뜻을 이해하고, 삼각함수가 주기함

수임을 알게 한다.

3. 삼각함수의 그래프를 그리고, 그 주기를 말할

수 있게 한다.

1. 삼각함수의 그래프는 사인, 코사인, 탄젠트에

해서만 다룬다.

2. 삼각함수의 값을 구할 때 단위원에서 삼각비를

이용하면 편리하다.

3. 삼각함수의 그래프를 그릴 때 좌표축을 잡는

방법에 하여 충분히 설명한다.

사인함수 y=sinx의 그래프는 각각의 실수 x의

값에 응하는 y의 값을 구하여 점 (x, y)를 좌표

평면에 나타낸 것이다. 이것을 기하학적인 측면에

서 사인함수의 정의에 따라 쉽게 작도하기 위하여

단위원을 이용하여, 변수인 각을 Ω로 나타내고,

그 함수값을 sinΩ로 나타내어 점 (Ω, sinΩ)를 좌

표평면에 나타낸다.

f(Ω)=sinΩ와 f(Ω)=cosΩ의 그래프를 그릴 때

좌표축을 잡는 방법에 하여 혼란을 일으킬 염려

가 있으므로 충분한 설명을 한다.

주기에 한 개념의 이해를 쉽게 하기 위하여 함

수 y=sinΩ와 y=cosΩ의 그래프가 2π마다 같

은 모양이 반복됨을 알게 한다.

모든 x에 하여 f(x+p)=f(x)가 되는 최소

의 양수 p를 그 함수의 주기라고 한다.

함수 f(x)의 주기가 p일 때, f(ax)(a˜0)의 주

기는 이다.p|a|

사인함수와 코사인함수의 그래프의 칭성을 앞

에서 배운‘삼각함수의 성질’을 이용하여 설명하

도록 한다.

물음1 0¯Ω¯ 에서

y는 0에서 1로 증가

¯Ω¯ π에서

y는 1에서 -1로 감소

π¯Ω¯2π에서

y는 -1에서 0으로 증가

물음2 물음1에서 y=sinΩ이므로 sinΩ의 값의 변

화는 점 P의 y좌표의 값의 변화와 같다.

32

32

π2

π2

226 각론

각 Ω의 동경과 단위원과의 교점의 좌표를 P(x, y)`라 하면

y=sinΩ, x=cosΩ이다. 따라서, 각 Ω를 변화시키면서 교점 P`의 y`좌표와 x`좌표의 값을 구하

여 좌표평면에 나타내면 사인함수와 코사인함수의 그래프를 그릴 수 있다.

함수 f(Ω)=sinΩ의 그래프

y

xO

1

1

-1

-1Ω

f(Ω)

ΩO

1

-1

π-2-π-2

π

3-2π

2π+Ω2π

Ω


원점 O`를 중심으로 하는 단위원 위를 움직

이는 점 P`가 있다. 동경 OP`가 나타내는

각을 Ω라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

Ω가 점점 커지면 점 P의 y`좌표는

어떻게 변하는가?

로부터 Ω의 값이 점점 커지면서 sin`Ω의 값이 어떻게 변하는지

말하여 보아라.

y

xO

P(x, y)

Ω

1

1-1

-1

§3. 삼각함수의 그래프

삼각함수의 그래프를 그릴 수 있다.

삼각함수의 주기를 말할 수 있다.

anFdmA 1

anFdmA 2 anFdmA 1

1

toDrkRgo qhQtlek

y=sinx`와 y=cosx`의그래프

165교과서

§3. 삼각함수의그래프 7~8`차시

지도목표


본문해설

toDrkRgo qhQtlek y=sinx의 그래프



y=sinx`와 y=cosx`의 성질

두 함수 모두 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은

y|-1¯y¯1이다.

두 함수 모두 주기가 2π`인 주기함수이다.

y=sin`x`의 그래프는 원점에 하여 칭이고, y=cos`x`의 그래프

는 y`축에 하여 칭이다.

2

3

1y=cosx`의 그래프는

y=sinx`의 그래프를 x`축

방향으로 - 만큼 평행이

동한 것이다.

π2

다음 삼각함수의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그려라.

⑴ y=sin 2x ⑵ y=2cosx

⑴ -1¯sin2x¯1이므로 `치역은 y|-1¯y¯1이다. 또,

sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)

이므로 주기는 π`이다. 따라서, `y=sin2x`의 그래프는 y=sinx`의 그래

프를 `x`축 방향으로 ` `배 축소한 것이다.

⑵-1¯cosx¯1이므로-2¯2cosx¯2이다. 따라서, 치역은

y|-2¯y¯2이다. 또, 2cosx=2cos(x+2π)이므로 주기는 2π이다.

따라서, y=2cosx의 그래프는 y=cosx의 그래프를 y축 방향으로 2배

확 한 것이다.

y

x

2

-

-2

-1

O

1 y=2cos`xy=cos`x

π 2π-π

π-2π-2

π 3-2

y

x

1

-1

Oπ-2-

π-2π 3-2

π 2π

y=sin`x y=sin`2x

12

dPwp 1

풀이

교과서166167

함수 f(Ω)=cosΩ의 그래프

지금부터는 사인함수와 코사인함수에서 `Ω`를 `x , f(Ω)`를 `y`로 나타내기

로 하자.

앞의 사인함수와 코사인함수의 그래프를 살펴보면 함수 y=sinx와

y=cosx`의 최 값은 `1이고, 최소값은 `-1이다. 즉,

- 1¯sinx¯1, -1¯cosx¯1

이다. 또, 임의의 실수 x에 하여

sin(x+2nπ)=sinx

cos(x+2nπ)=cosx (n은 정수)

임을 알 수 있다.

일반적으로, 함수 y=f(x)에서 임의의 x에 하여

f(x+p)=f(x)`인 0이 아닌 상수 p가 있을 때, 그 중에서 가장 작은 양수를 그 함수의 주기

라 하고 주기를 가지는 함수 f(x)를 주기함수라 한다.

y=sinx`와 y=cosx`는 모두 주기가 2π`인 주기함수이다.

한편, sin(-x)=-sinx이므로 y=sinx의 x, y에 -x, -y를 각각

입하면

-y=sin(-x)=-sinx y=sinx이다. 따라서, y=sinx의 그래프는 원점에 하여 칭이다.

또, cos(-x)=cosx이므로 y=cosx의 x에 -x를 입하면

y=cos(-x) y=cosx이다. 따라서, y=cosx의 그래프는 y축에 하여 칭이다.


2

주기는 어로

period이다.

y

xO

(x, y)

(-x, -y)

y

xO

(x, y)(-x, -y)

x

y

1

1

-1

-1

Ω

f(Ω)

ΩO

1

-1

π-2-π

π 2π+Ω2πΩ π-23-2

O

⑴ A4용지에 오른쪽

과 같이 그린다.

이 때, 원의 지름의

길이와 띠의 길이를

같게한다.

⑵ 0æ부터 360æ까지 15æ마다 다른 용지에 각

을 표시하고 그 높이

를 띠에 표시하여 색

칠한다.

⑶ ②에서 만든 25장의 용지를 아래 그림과 같이 붙이면 사인함수의 그래프의 모양을 알 수 있다.

참고 자료 사인함수그리기 준비물：각도기, 자, 컴퍼스, 풀, A4용지25장

30

75604530150 16515013512010590 255240225210195180 345 360 sin360 =0330315300285270

-1

1

45-1

1

-1

1

함수 f(Ω)=tanΩ에서 `Ω를 `x, f(Ω)를 `y로 나타내면 y=tanx`의 그래프

에는 다음과 같은 성질이 있다.

다음 함수의 주기를 구하고, 그래프를 그려라.

⑴ y=tan3x ⑵ y=tanx-

y=|tan`x|의 그래프를 그리고, 주기를 구하여라.

π4


y=tanx`의 성질

정의역은 x=nπ+ (n`은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합이고,

치역은 실수 전체의 집합이다.

주기 π`인 주기함수이다.

그래프는 원점에 하여 칭이다.

점근선은 직선 x=nπ+ (n`은 정수)이다.π2

π2

2

3

4

1

y=tan2x`의 주기를 구하고, 그래프를 그려라.

tan2x=tan(2x+π)

=tan2x+ 이므로 주기는 `이다. 또, 주기가

`이므로 점근선은

x= nπ+ = n+ (n`은 정수)

이다. 따라서, 그래프는 위의 그림과 같다.

답 주기： , 그래프：그림 참조π2

π4

π2

π2

12

π2

π2

π2

y

O x

- 3-4π

π-4-

-π

y=tan`2x

y=tan`x

π

π-23-4π - π-4

π-2

dPwp 2

풀이

2줄기

anSwp

3열매

anSwp

교과서168169

228 각론

다음 함수의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그려라.

⑴ y=cos2x ⑵ y=2sinx⑶ y=3cos2x ⑷ y=sin4x+1

오른쪽 그림과 같이 각 Ω의 동경 OP`의

연장선과 직선 x=1과의 교점을 T(1, t)`라

하면 ◊OPH는 ◊OTA와 닮음꼴이므로

tanΩ= = =t

이다. 따라서, 각 Ω의 크기를 변화시키면서

점 `T의 y좌표값 t를 구하여 좌표평면에

나타내면 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.

함수 f(Ω)=tanΩ`의 그래프

위의 원에서 Ω가 nπ+ (n은 정수)일 때, 점 P의 x좌표는 0이므로

tanΩ는 정의되지 않는다.

따라서, 직선 Ω=nπ+ (n은 정수)는 f(Ω)=tanΩ의 점근선이다.

한편,

tan(Ω+π)=tanΩ,tan(-Ω)=-tanΩ이므로 탄젠트 함수는 주기가 π인 주기함수이고, 그 그래프는 원점에 하

여 칭이다.

π2

π2

y

x

1

1

-1

-1Ω

f(Ω)

ΩO

1

-1

-

ππ

2π+Ω2π

Ω π+ΩO π-2π-2

3-2

t1

yx

y

O

1

-1

-1 A x1

HΩ

T(1, t)

P(x, y)

x=1


3

1줄기

anSwp

y

xO

(x, y)

(-x, -y)

y=tanx`의그래프

⑴ y=cos2x에서-1¯cos2x¯1이므로

치역은 y|-1¯y¯1,

cos2x=cos(2x+2π)=cos2(x+π)이므로 주기는 π이다.

또한, y=cos2x의 그래프는 y=cosx의 그

래프를 x축 방향으로 배 축소한 것이다.

⑵ y=2sinx에서 -2¯2sinx¯2이므로

치역은 y|-2¯y¯2이고,

2sinx=2sin(x+2π)이므로 주기는 2π이다.

또한, y=2sinx의 그래프는 y=sinx의 그래

프를 y축 방향으로 2배 확 한 것이므로 그래

프는 다음과 같다.

⑶ y=3cos2x에서 -3¯3cos2x¯3이므로

치역은 y|-3¯y¯3이고,

3cos2x=3cos(2x+2π)=3cos2(x+π)

이므로 주기는 π이다.

또한, y=3cos2x의 그래프는 y=cosx의 그

래프를 x축 방향으로 배 축소하고, y축 방

향으로 3배 확 한 것이므로 그래프는 다음과

같다.

12

y

xO π-2

3-2ππ

π-2-

-2

2

2π

y

xO π-4π-2

3-2ππ

π-2-

-1

1

12

삼각함수의 그래프문제 1

⑷ y=sin4x+1-1¯sin4x¯1, 0¯sin4x+1¯2

따라서, 치역은 y|0¯y¯2이고,

sin4x+1=sin(4x+2π)+1

=sin4x+ +1

에서 주기는 이다.

또한, y=sin4x+1의 그래프는 y=sin4x의

그래프를 y축 방향으로 1만큼 평행이동한 것

이므로 그래프는 다음과 같다.

⑴ y=tan3x에서

tan3x=tan(3x+π)

=tan3x+

따라서, 주기는 이고,

점근선은 x= nπ+ = n+ (n은 정수)

⑵ y=tanx- 의그래프는 y=tanx의 그래프를 x축 방

향으로 만큼 평

행이동한 것이다.

따라서, 그래프는 위의 그림과 같고 주기는 π이다.

y=|tanx|의 그래

프는 y=tanx의 그

래프를 그린 다음, x축 아래에 있는 부분

을 x축에 하여

칭이동시킨 것이다.

따라서, 주기는 π이고, 그래프는 위의 그림과

같다.

y

xOπ-2- π-2π

π4

y

xOπ-4- π-43-4 π

5-4 π

π4

π6

π3

π2

13

π3

π3

y

xO π-43-8π

2

π-8-

1

π-2π-8

π2

π2

x

y

O

3

-3

4

2 4 43

2


y=tanx의 성질

y

xO π-6π-3

π-6-

π-3-

절 값이 있는 경우의 그래프

함수 y=2sinx-1의 주기, 최 값과 최소값을 구하여라.

답：주기：2π, 최 값：1, 최소값：-3

함수 y=cos x의 주기를 구하여라.

답：4

0¯x¯2π일 때, 함수 y=2sin +1의 최 값과 최소값을 구하여라.

답：최 값：3, 최소값：-1

x4

π2

형성 평가

2보충

1

3심화

기본

문제 2

문제 3

230 각론

탐구 활동지 ( )반 ( )번 이름( )

탐구주제 삼각함수의 성질 학습형태 모둠 학습

학습목표 y=asin(bx+c)+d의 상수 a, b, c, d가 그래의 모양에 주는 향을 알아본다.

물음1 y=sinx와 y=2sinx의 그래프를 비교하여 보자.

y=asinx에서상수 a의 값이 달라지면 그래프의 무엇이 달라지

는가?

물음2 y=sinx와 y=sin2x의 그래프를 비교하여 보자.

y=sinbx에서상수 b의 값이 달라지면 그래프의 무엇이 달라지

는가?

물음3 y=sinx와 y=sin(x+π)의 그래프를 비교하여 보자.

y=sin(x+c)에서 상수 c의 값이 달라지면 그래프의 무엇이 달

라지는가?

물음4 y=sinx와 y=sinx+1의 그래프를 비교하여 보자.

y=sinx+d에서 상수 d의 값이 달라지면 그래프의 무엇이 달라

지는가?

물음5 y=asin(bx+c)+d와 a, b, c, d중에서 함수의 주기에 향을주는 상수는 어느 것인가?

또, 함수의 최 값, 최소값에 향을주는 것은 어느 것인가?

2x

y

O

1

-1

y=sinx

2x

y

O

1

-1

y=sinx

2x

y

O

1

-1

y=sinx

2x

y

O

1

-1

y=sinx


1. 간단한 삼각방정식을 풀 수 있게 한다.

2. 간단한 삼각부등식을 풀 수 있게 한다.

1. 삼각방정식과 삼각부등식의 일반해는 다루지

않는다.

삼각방정식 sinx= 의 해를 0¯x<2π에서 구

하면 x= , π이고, 모든 실수에서 구하면

함수 y=sinx 의 주기가 2π이므로

x=2nπ+ , 2nπ+ π, (n은 정수)

이다. 이것을 일반해라고 한다. 그러나 에

서 일반해는 다루지 않는다.

삼각방정식과 삼각부등식의 해를 구할 때, 삼각함

수의 그래프를 이용하도록 지도한다.

물음1 시속 100km는 1시간에 100km를 움직이

는것을말하므로

= ¿27.8m/초

따라서, 시속 100km는약초속 27.8m이다.

물음2 tanΩ= =

= =1.002¿1

Ú Ω¿45æ

(27.8)29.8\78.7

(27.8m/s)29.8m/sec2\78.7m

v2

gR

100000m3600초

100km1시간

56

π6

56

π6

12

⑴ ‰2`sinx-1=0 Ú sinx=

오른쪽그래프에서

sinx= 인x의

값은 x= , π

이다.

⑵ sin2x의 주기는

π이므로이 그래

프와직선y=

이 만나는 점의

x좌표가구하는근이다.

Ú x= , π, π, π1712

1312

512

π12

12

x

y

O 2

1

312

2

125

1213

1217

43

23

34

π4

1‰2

x

y

O

-1

2

1

43

21

24 23

1‰2

§4. 삼각방정식과삼각부등식 9~10`차시

지도목표


본문해설

삼각방정식문제 1

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

toDrkRgo qhQtlek 삼각방정식

10-나


모터사이클 경기를 보면 곡선 주로를 달릴

때에는 모터사이클이 옆으로 기울어지는 것

을 볼 수 있다. 반지름의 길이가 R인 원 모

양의 길을 달리는 물체가 지면에 수직인 선

과 이루는 각 Ω 사이에는 다음과 같은 관계

식이 성립한다.

tanΩ=

(단, v：달리는속도m/s, R：원의반지름의길이m, g：중력가속도 9.8m/s2)

이 때, R=78.7m인 주로를 시속 100km의 속도로 달리는 모터사이클이

지면에 수직인 선과 이루는 각도를 구하려고 한다. 다음 물음에 답하여라.

시속 100km`는 초속 몇 m인가?

Ω의 값을 구하여라.

v2

gR

Ω

§4. 삼각방정식과 삼각부등식

간단한 삼각방정식과 삼각부등식을 풀 수 있다.

anFdmA 1

anFdmA 2

sinx= , cosx> 와 같이 각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함하

는 방정식과 부등식을 각각 삼각방정식과 삼각부등식이라 한다. 삼각함수의

성질을 이용하면 삼각방정식과 삼각부등식을 풀 수 있다.

‰32

12

toDrkRgo qhQtlek

삼각방정식과삼각부등식

170교과서

232 각론

다음 삼각방정식을 풀어라`(단, 0¯x<2π).

⑴ ‰2`sinx-1=0 ⑵ sin2x= ⑶ tanx-‰3=0

10km 상공을 비행하는 비행기가 191km 떨어진 활주로에 착륙하기 위해 하강

하려고 한다. 비행기는 수평에서 몇 도(æ) 아래로 기울어져 하강하여야 하는지

삼각함수표를 이용하여 구하여라.

다음 삼각부등식을 풀어라`(단, 0¯x<2π).

⑴ 2cosx>1 ⑵ 2sinx-1<0 ⑶ tanx<1

10km

191km

12


삼각방정식 sinx= 을 풀어라`(단, 0¯x<2π).

삼각함수 y=sinx`의 그래프에

서 sinx= 인x의값을구하면

x= , π56

π6

12

y

O x5-6ππ-6

1-2 π

1

-1

π-2

2π3-2π

y=sin`x

12

dPwp 1

풀이

1줄기

anSwp

2열매

anSwp

삼각부등식 cosx> 를 풀어라`(단, 0¯x<2π).

삼각함수 y=cosx`의 그래프가

직선 y= `보다 위에 있는 x

값의 범위를 구하면

0¯x<` , π<x<2π 116

π6

‰32

y

O xπ-6

‰3--2 π

1

-1

π-22π

3-2π

y=cos`x

11--6π

‰32

dPwp 2

3줄기

anSwp

171교과서

⑶ tanx=‰3`이므로

y=tanx의 그래

프와 y=‰3`이 만

나는 점의 x좌표

가구하는근이다.

Ú x= , π

비행기가 수평에서 기울어진 각을 Ω라고 하면

tanΩ= =0.052 Ú Ω¿3æ

따라서, 약 3æ`기울어져 하강하여야 한다.

⑴ 2cosx>1, cosx> 이므로 y=cosx의12

10191

43

π3

x

y

O2 4

3

3

2

그래프가 y=

보다 위에있는x의범위는

0¯x< ,

π<x<2π

⑵ 2sinx-1<0, sinx< 이므로 y=sinx의

그래프가 y= 보

다 밑에 있는 x의범위는

0¯x< ,

π<x<2π

⑶ tanx<1이므로

y=tanx의 그래

프가 직선 y=1보다 아래에 있는

x의 범위는

0¯x< , <x< π, π<x<2π

태양 고도의 변화, 해안가 수심의 변화, 심전

도, 사람의 호흡 수, 바이오리듬 등 생활 주변에서

주기를 가지는 현상을 찾고, 그 주기를 알아보게

한다.

오른쪽 그림에서

y=1+H·P·이고,

H·P·=O·P·-O·H·=12-12cosΩ

Ú y=13-12cosΩ그런데 놀이 기구가 한 바퀴 도는 데는 15초가

걸리므로 주기는 π초이다.215

1m

O

HP

Ω

ym

12m

32

54

π2

π4

x

y

O45

23

4 22

1

56

π6

x

y

O65

232

1

6 22

1

12

12

53

π3

x

y

O35

21

32

12

삼각방정식의 응용

nrzmvf uvvflta

삼각부등식문제 3

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

삼각함수의 그래프문제 1문제 2


Ú y=13-12cos πx

x=0이면 y=1,

x= 이면 y=25

이므로 그래프는 오

른쪽 그림과 같다.

⑴ y=1000+250sin πx의그래프는

주기가 4이고, 치역

이 y|750¯y¯1250이다.

⑵ 최소값은

sin πx=-1

즉, x=3일때 750

12

x

y

1855 1856 1858750800850900950

100010501100115012001250

12

152

x

y

0 2

510152025

4 6 8 10121416

215

이고, 최 값은 sin πx=1 즉, x=1일 때

1250이다. 따라서, 최 가되는해는 1856년,

최소가 되는 해는 1858년이다.

12

삼각함수의 최 , 최소값 구하기문제 2

교과서172173


우리의 주변에 있는 기계와 기구 중에

는 회전 운동을 직선 왕복 운동으로 바꾸

거나 그 반 의 경우로 작동하는 것이 많

이 있다. 자동차 엔진은 직선 왕복 운동

을 회전 운동으로 바꾸어 주는 표적인

예로서 이와 같은 기구를 크랭크 기구라

한다. 회전 운동을 왕복 운동으로 바꾸어

주는 기구 또는 그 반 의 역할을 하는 기구로는 크랭크 기구 외에도 래크

와 피니언, 캠, 링크 등이 있다. 위의 그림은 크랭크 기구의 원리를 설명한

그림이다.

래크와 피니언 캠 링크

슬라이드

커넥팅

로드

크랭크회전 운동

직선

왕복 운동

nrzmvf uvvflta 주기를 가지는 자연 현상을 삼각함수와 관련시킬 수 있다.

풀이

오른쪽 그림은 위의 크랭크 기구의 작동 원리를 설명한 것이

다. 크랭크의 반지름 OX의 길이를 r, 크랭크의 회전각

XOP의 크기를 Ω, AB‚ `의 길이를 `y`라 할 때, Ω와 y 사이의 관계식을 구하여라.

AB‚=`CX‚이고, CX‚=ÒX‚-ÒC‚ `이다. 그런데

OX‚=r, OC‚=`rcosΩ이므로

y=r-rcosΩ이다. 이 때, -1¯cosΩ¯1이므로 0¯y¯2r이다.

O

CX

P

Q

B

A

Ω

dP wp 1


정선이와 희주는 오른쪽 사진과 같은 놀이 기구를

타려고 한다. 이 놀이 기구가 한 바퀴 도는 데는

15`초가 걸린다. 또, 놀이 기구가 가장 아랫부분에

있을 때에는 지상에서의 높이가 1`m이고, 안내원

이‘`우리 놀이 기구를 타면 지상 25`m 높이까지 올

라갈 수 있습니다.’라고 방송하는 것을 들으니 이

놀이 기구의 지름의 길이가 24`m라는 것을 알 수

있었다. x`축을 시간으로 하고, `y축을 높이로 하여

시간에 따라 변하는 높이를 그래프로 나타내어라.

생태계에서는 피식자의 개체 수와 포식자의 개체 수의 변

화가 주기를 가지는 경우가 있다. 포식자가 스라소니인

어느 지역에서 1855년부터 x`년 후의 토끼의 개체 수 `y는 아래의 식과 같다고 한다. 다음 물음에 답하여라.

y=1000+250sin πx

⑴ 토끼의 개체 수의 변화를 그래프로 나타내어라.

⑵ 토끼의 수가 처음으로 최 가 되는 해는 언제인가?

또, 처음으로 최소가 되는 해는 언제인가?

12

nrzmvf uvvflta

anSwp 1

anSwp 2

삼각부등식 ‰2cosx-1<0을 풀어라

(단, 0¯x<2π). 답： <x< π

sinx= 을 만족하는 x의 값을 구

하여라단, 0¯x< . 답：

삼각부등식 sinx>0와 ‰2cosx-1<0을 동시에 만족하는 x의 범위를

구하여라 (단, 0¯x<2π).

답： <x<ππ4

π6

π2

12

74

π4

형성 평가

2보충

1

3심화

기본

234 각론

⑴ ◊DPCÅ◊DBGÅ◊EBFÅ◊BPA

⑵ 산봉우리의 높이를 x라 하면 다음 그림에서

x=a+h이다.

◊DPC에서

a=P·C· tan∫ …… ①

이고, ◊ECD에서

tanå= …… ②

또, E·P·=2E·A·(Ò ◊EBA≠◊PBA)이고

E·A·= 이므로

E··P·= …… ③

이다. ①, ②, ③`으로부터

tanå=

=

Ú a=

⑶ 산봉우리의 높이 x는

x=h+a=h+

= ¸htan∫+tanåtan∫-tanå

2htanåtan∫-tanå

2htanåtan∫-tanå

atan∫2h+a

a2h + a

tan∫ tan∫

2htan∫

htan∫

aE·P·+P·C·

B

E A C

D

hh

å

∫

∫∫

P x

a

GF∫

∫

오른쪽 그림에서 눈의

높이와 상품의 높이의

차 h는

h=90tan15æ이다. 따라서, 진열한

상품의 높이 H는

150-90tan15æ¯H¯170-90tan15æ125.8…¯H¯145.88…따라서, 진열한 상품의 높이는 최 145.9cm,

최소 125.9cm이다.

150cm170cm

h15æ

15æ

90cm

상품

상품

'fzubmfhgs nbmfx ibslc mduewyex m6anfajgw jbrmfs uvflc


높이가 h인 언덕에서 호수 건너편 봉우리를 올려본 각이 å이고, 호수의

수면에 비친 산봉우리의 끝을 내려본 각이 `∫이다. 다음 물음에 답하여라.

⑴ 위의 그림에서 닮은 삼각형을 찾아라.

⑵ ⑴`을 이용하여 à`를 구하여라.

⑶ 산의 높이를 `h, å, ∫`로 나타내어라.

å∫

h

언덕

호수면

산봉우리

a

A

B G

C

F

E

D

1 소비자의 시선에 맞추어 상품을 적절히 진열하면 그 상품의 판매량이

증가한다고 한다. 다음의 조건에 맞게 어떤 상품을 진열하 을 때, 그 높

이의 최 값과 최소값을 구하여라(단, 소수 둘째 자리에서 반올림한다).

2

부분의 소비자는 진열 에서 90`cm 정도 떨어져서 상품을

살펴본다.

손님의 눈의 높이는 150`cm 이상 170`cm 이하이다.

상품을 바라보는 시선의 방향은 수평보다 15æ 아래이다

whrjS 1

whrjS 2

whrjS 3

ckDdmlfuR∙anSwp goruFfuR


éì∏ã¢Öô§ . Üûßåò íîÄô´Öô§1 삼각함수의 성질 활용하기

éì∏ã¢Öô§ . Üûßåò íîÄô´Öô§

2 닮음 삼각형을 이용하여 삼각함수의 성질 활용하기

교과서174쪽

Üûßåò íîÄôÖô§ íï∏âì∏ã° ãü£íìß Äúìåò


3 삼각함수 그래프의 주기, 최 값, 최소값

⑴ y=2cosx+1 주기：2π,

최 값3, 최소값-1

⑵ y=sin2x-1

주기： =π

최 값 0,최소값-2

⑶ y=tan3x

주기： ,

치역이 실수 전체의

집합이므로 최 값,

최소값은 없다.

4 삼각방정식의 풀이

⑴ cosx=-

Ú x= π, π

⑵ 2sin2x-sinx=0sinx(2sinx-1)=0Ú sinx=0 또는

sinx=

Ú x=0, π, , π

5 삼각부등식의 풀이

오른쪽 그래프에서

¯x< ,

π<x¯ π

6 y=asinbx의 그래프

주기가 π이므로

asinb(x+π)=asin(bx+bπ)가

116

53

π3

π6

x

y

O-1

23

35

211

611

236

2

56

π6

12

54

34

y

xO

-1

π3-41--‰2

-

π5-4

1

π-2 π3-22π

1‰2

π3

y

xO π-6π-3

π-6-

2π2

y

xO

-1

π3-4

-2

π-2π-4 π

y

xO

3

-12π

π

1 삼각함수의 값

⑴ cos- =cos =

⑵ sin225æ=sin(180æ+45æ)=-sin45æ=-

⑶ tan π=tanπ- =-tan =-

2 -Ω의 삼각함수

⑴ cos(-Ω)=cosΩ ⑵ sin(2nπ+Ω)=sinΩ

⑶ sin(π+Ω)=-sinΩ ⑷ cos -Ω=sinΩ

따라서, sin(-Ω)=-sinΩ와같은것은 `⑶이다.

π2

1‰3

π6

π6

56

1‰2

‰32

π6

π6


cos 의 값은 얼마인가?π6

다음 함수의 값을 구하여라.

⑴ cos- ⑵ sin225æ ⑶ tan` π56

π6

1뿌리

sin- 와 -sin `의

값은얼마인가?

π6

π6

다음 중 sin(-Ω)와 같은 것은 어느 것인가?

⑴ cos(-Ω) ⑵ sin(2nπ+Ω)

⑶ sin(π+Ω) ⑷ cos -Ωπ2

2줄기

y=sinx의 주기는 얼마인

가? 또, 최 값과 최소값

은각각얼마인가?

다음 삼각함수의 그래프를 그리고, 주기와 최 값, 최소값을 구하여

라.

⑴ y=2cosx+1 ⑵ y=sin2x-1 ⑶ y=tan3x

3줄기

cosx= 을 만족하는

x의값을구하면?

1‰2

0¯x<2π일 때, 다음 삼각방정식을 풀어라.

⑴ ‰2cosx+1=0 ⑵ 2sin2x-sinx=04줄기

y=sin2x의 주기는 얼마

인가?

오른쪽 그림은 y=asinbx의 그래프이

다. 양수 a, b`의 값을 구하여라.

6열매

y=cosx의그래프에서

<cosx¯

인부분을찾아보자.

‰32

12

0¯x<2π일 때, 삼각부등식 <cosx¯ 을 풀어라.‰32

125줄기

y

O xπ-2π

2

-2

jesng1 ibslc

ãôßâ°¥ Üûßåò

x

y

O21

2

1

56

23

6 2 56

교과서

175

236 각론

asin(bx+2π)와 같아야 하므로 b=2이다.

y=asinbx의 최 값이 2, 최소값이-2이므

로 a=2이다.

Ú a=2, b=2

1 일반각과 호도법

⑴ 45æ= ⑵ 240æ= π

⑶ π=120æ ⑷ π=135æ

2 여러 가지 각의 삼각함수

⑴ sin(-Ω)=-sinΩ ⑵ sin(π-Ω)=sinΩ

⑶ sin +Ω=cosΩ ⑷ sin(2nπ+Ω)=sinΩ

따라서, 옳은 것은 ⑶이다.

3 삼각함수의 그래프

y=cos4x=cos(4x+2π)

=cos4x+ 4 삼각함수 사이의 관계

(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx

Ú sinxcosx=

sin3x+cos3x=(sinx+cosx)3-3sinxcosx(sinx+cosx)

=a3-3¸ ¸a=

5 삼각함수 그래프의 주기, 최 값, 최소값

-a+c¯acosbx+c¯a+c이므로

최 값은 a+c=4, 최소값은 -a+c=-2또, 주기가 π이므로 b=2이다.

Ú a=3, b=2, c=1

-a3+3a2

a2-12

a2-12

π2

π2

34

23

43

π4


다음 각을 육십분법은 호도법으로, 호도법은 육십분법으로 바꾸어 나타내

어라.

⑴ 45æ ⑵ 240æ ⑶ π ⑷ π

다음 중 옳은 것을 골라라.

⑴ sin(-Ω)=sinΩ ⑵ sin(π-Ω)=-sinΩ

⑶ sin +Ω=cosΩ ⑷ sin(2nπ+Ω)=cosΩ

y=cos4x의 그래프를 그려라.

π2

34

23

1

2

3

sinx+cosx=a일 때, sin3x+cos3x를 a로 나타내어라.

y=acosbx+c의 최 값이 4, 최소값이 -2이고 주기가 π일 때 a, b, c`의

값을 구하여라(단, a>0, b>0).

오른쪽 그림과 같은 단위원 위의 점 A, B`에

서의 접선과 O·Pfl의 교점을 각각 T, S`라 하

고, 점 P`에서 O·Afl에 내린 수선의 발을 Q`라

할 때, »AOP`의 삼각함수 값을 각각 선분

의 길이로 나타내어라.

y

xOΩQ A

TPS1B

-1

-1 1

4

5

6

jesng1 ibslc


6 삼각함수의 정의

»OAT=»OQT=»OBS=»AOB=90æ

»AOP=Ω라 하면 O·A·ÂB·S·이므로

»BSO=»AOP=Ω

Ú cosΩ= =O·Q·

sinΩ= =P·Q·

tanΩ= =A·T·, secΩ= =O·T·

cosecΩ= =O·S·, cotΩ= =B·S·B·S·O·B·

O·S·O·B·

O·T·O·A·

A·T·O·A·

P·Q·O·P·

O·Q·O·P·

y

xO

-1

π-83-8π

1π-4

π-2

AQ

P TSB 1

1-1

-1

x

y

O

교과서

176


1. 사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있게

한다.

2. 코사인법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있게

한다.

1. 사인법칙을 설명할 때 삼각형의 외접원과 외심

의 뜻을 설명한다.

2. 사인법칙과 코사인법칙이 삼각형의 모양에 관

계없이 성립함을 이해하게 한다.

삼각형의 6요소(세 변의 길이, 세 내각의 크기)

중 적당한 것이 주어지면 삼각형이 하나로 정하여

질 때가 있다. 이를 삼각형의 결정조건이라 하는

데, 다음의 세 가지가 있다.

(ì`) 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

(ii) 두 각의 크기와 한 변의 길이가 주어질 때

(iii) 세 변의 길이가 주어질 때

삼각형이 결정되었을 때, 주어지지 않은 나머지

변의 길이나 각의 크기를 구하는 것을‘삼각형을

푼다’고 한다. 삼각형을 풀 때, 사인법칙이나 코사

인법칙을 활용할 수 있다.

특히, 사인법칙은 삼각형의 풀이에서 두 각의 크

기와 한 변의 길이를 알 때, 또는 한 각의 크기와

두 변의 길이를 알 때 이용한다.

사인법칙은 다음과 같이 증명할 수도 있다.

◊ABC의 꼭지점 A에서 변 BC 또는 그 연장

선에 그은 수선의 발을 D라고 하면, ◊ABD와

◊ACD가 직각삼각형이므로

A·D·=csinB=bsinC

Ú = csinC

bsinB

물음1 sinA= Ú =2

sinB= Ú =2

sinC=1 Ú =2

물음2 ◊ABC가 직각삼각형이므로◊ABC의 외

접원의 반지름은 A·B·이다. 따라서,

(◊ABC의 외접원의 반지름의 길이)

= \2=1

= = =2

이므로 이것은 외접원의 반지름의 길이의

2배와 같다.

2sinC

1sinB

‰3sinA

12

12

2sinC

1sinB

12

‰3sinA

‰32

§1. 사인법칙과코사인법칙 12~14`차시

지도목표

본문해설


◊ABC`에서 »A, »B, »C`의 크기가 각각

À, B, C`이고 그 변의 길이가 각각 a, b, c`일

때, 세 각의 크기 À, B, C`와 세 변의 길이 a,

b, c 중에서 세 변의 길이 또는 두 변의 길이와

그 끼인각의 크기와 같이, 삼각형의 적당한 세

값이 주어지면 하나의 삼각형이 결정된다.

삼각형이 결정되었을 때, 주어지지 않은 나머지 변의 길이나 각의 크기는

삼각함수를 이용하여 구할 수 있다.

B C

A

a

bc

B C

A

§1. 사인법칙과 코사인법칙

삼각형에 한 사인법칙과 코사인법칙을 알고, 이를 활용할 수 있다.

오른쪽 그림을 보고, 다음 물음에 답하여라.

, , 의 값을 구하

여라.

◊ABC의 외접원의 반지름의 길이를 구하고, 의 값과 비교

하여라.

2sinC

1sinB

‰3sinA

B C

A

‰3

12

anFdmA 1

anFdmA 2 anFdmA 1

toDrkRgo qhQtlek

사인법칙과그활용

nfzufxmeajcjgr jgaj3a

교과서177쪽2

toDrkRgo qhQtlek 사인법칙

238 각론

사인법칙에 의하여

=

sinB= \‰6\sin

= \‰6\ = Ú B=

A+B+C=π이므로

A=π\ = , B=π\ = , C=π\ =

따라서, = = =k라 하면

= = =k

a= , b= k, c=k

Ú a：b：c= ： k：k=1：‰3：2

◊ABC에서 세 내각의 크

기를 각각 A, B, C, 그

변의 길이를 a, b, c, 외접

원의 반지름의 길이를 R라하자.

COA'

B

2R

A

abc

‰32

k2

‰32

k2

c1

b‰32

a12

c

sin π2

b

sin π3

a

sin π6

π2

36

π3

26

π6

16

π3

‰32

‰22

12

π4

12

‰6sinB

2

sin π4

오른쪽 그림과 같은 ◊ABC`에서 »B`의 크기를

구하여라.

◊ABC`에서 À：B：C=1：2：3일 때, a：b：c`를 구하여라.

◊ABC`에서 À> 일 때, 사인법칙이 성립함을 증명하여라.

◊ABC`에서 asinA=bsinB=csinC`일 때, ◊ABC는 어떤 삼각형인가?

오른쪽 그림과 같이 »C`가 예각인 ◊ABC의 꼭

지점 A에서 변 BC 위에 내린 수선의 발을 D라

하면

a=`CD‚ +`BD‚ `=bcosC+ccosB이다.

C

A

BD

a

bc

π2

A

B C

π-4

2 ‰6

2. 삼각형에의 응용 179

다음 그림을 보고, 물음에 답하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑴, ⑵, ⑶`의 삼각형에서 a2+b2과 c2`의 크기를 비교하여라.

의 결과를 피타고라스의 정리와 비교하여라.

C

A

B 4

36

B C

A

4

34

B C

A

4

35

anFdmA 1

anFdmA 2

1뿌리

anSwp

2줄기

anSwp

3열매

anSwp

4열매

anSwp

anFdmA 1

bc

aB C

A

toDrkRgo qhQtlek

코사인법칙과그활용

교과서178179

오른쪽 그림의 ◊ABC에서 세 각의 크기를

A, B, C, 그 변의 길이를 a, b, c, 외접원의 반지

름의 길이를 R라 하자.

A< 일 때, 지름 CA'을 그으면 호 BC에

한 원주각의 크기는 일정하므로 A=A'이고, sinA=sinA'이다.

◊A'BC에서 sinA'= 이므로 =2R 이다. 즉, =2R이

고, 마찬가지 방법으로 =2R, =2R`이다. 따라서,

= = =2R

이다. 이것을 사인법칙이라 한다.

참고위에서A= , A> 인 경우에도 사인법칙은 성립한다.π2

π2

csinC

bsinB

asinA

csinC

bsinB

asinA

asinA'

a2R

π2

2R

b a

cA

C

B

A'

O


사인법칙

◊ABC`에서 외접원의 반지름의 길이를 R`라 하면

= = =2RcsinC

bsinB

asinA

◊ABC`에서 À=45æ, B=75æ, c=8일 때, a`를 구하여라.

C=180æ-(45æ+75æ)=60æ이므로 사인법칙에

의하여 = `이다.

Ú a=8\ =8\ \ =

답 a= 8‰63

8‰63

2‰3

‰22

sin45æsin60æ

8sin60æ

asin45æ

A B

C

845æ 75æ

60æ

a

dPwp 1

풀이

사인법칙문제 1

??????


???

@@@@@@@@@@@?e??@h??@h??@h??@h??@h?

????

??????

?@@@@@@?h?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?@?f@?e?


?????????

사인법칙과 그 활용문제 2

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

사인법칙의 증명

문제 3


◊ABC에서A> 일때,

지름 BA'을 그으면 사각형 ABA'C가 원에 내접

하므로

A+A'=180æ, A=180æ-A'이다.

◊A'BC에서 sinA'= 이므로

sinA=sin(180æ-A')

=sinA'=

Ú =2R

마찬가지 방법으로 = =2R이다.

Ú = = =2RcsinC

bsinB

asinA

csinC

bsinB

asinA

a2R

a2R

π2

사인법칙에서

= = =2R

sinA= , sinB= , sinC=

따라서, 주어진 식에서

a¸ =b¸ =ç ,

a2=b2=c2

a>0, b>0, c>0이므로 a=b=c즉, ◊ABC는 정삼각형이다.

물음1 ⑴의 삼각형에서

a2+b2=42+32=25, c2=25

Ú a2+b2=c2

⑵의 삼각형에서

a2+b2=42+32=25, c2=16

Ú a2+b2>c2

⑶의 삼각형에서

a2+b2=42+32=25, c2=36

Ú a2+b2<c2

물음2 물음1에서 ⑴ 의 삼각형은 a2+b2=c2이므

로 피타고라스의 정리에 의하여 직각삼각형

임을 알 수 있다.

⑵`의삼각형은a2+b2>c2이므로C<90æ⑶`의삼각형은a2+b2<c2이므로C>90æ

교과서 본문에서는 제1코사인법칙을 삼각형

을 이용하여 직접 증명하고, 제2코사인법칙은 제

1코사인법칙에서 유도하 다.

제2코사인법칙은 두 변의 길이와 그 사이에 끼인

각의 크기 또는 세 변의 길이가 주어진 삼각형을

풀 때 이용한다.

c2R

b2R

a2R

c2R

b2R

a2R

csinC

bsinB

asinA

꼭지점 B, C에 하여도 마찬가지 방법으로

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA임을 알 수 있다. 이를 제`1`코사인법칙이라 한다.

참고제1`코사인법칙은 둔각삼각형, 직각삼각형에서도 성립한다.

a=B·D·-`C·D· a=ccosB, cosC=cos =0

=ccosB-bcos(π-C) a=ccosB+bcosC

=ccosB+bcosC

제`1`코사인법칙의 각 식의 양변에 차례로 a, b, c`를 곱하면

a2=abcosC+accosB ……`①

b2=bccosA+bacosC ……`②

c2=accosB+bccosA ……`③

이다. 이 때, ②, ③ 식을 변끼리 더하면

b2+c2=bacosC+accosB+2bccosA

=a2+2bccosA

이므로 a2=b2+c2-2bccosA이다. 다음 두 식도 마찬가지 방법으로 구할 수 있다.

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosC이를 제`2`코사인법칙이라 한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

π2

bc

aB C

A

bc

aB C

A

D


코사인법칙

제1`코사인법칙

a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA

제2`코사인법칙

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC

180교과서

toDrkRgo qhQtlek 코사인법칙

사인법칙의 활용문제 4

240 각론

⑴ 제2`코사인 법칙을 적용하면

a2=b2+c2-2bccosA=42+52-2¸4¸5¸cos60æ=21Ú a=‰21·

⑵ 제2`코사인법칙 a2=b2+c2-2bccosA`로부터

cosA=

=

=

=

이 때, 0æ<A<180æ이므로 A=60æ이다.

Ú A=60æ

오른쪽 그림에서 P·S·의

길이를 구하면, 제2`코사

인법칙에 의하여

P·S·2=22+(2.5)2-2\

2\2.5\cos60æ

=4+6.25-10\ =5.25

Ú PS‚=‰5.25‚ ¿2.3(km)

⑴ ◊ABC의 외접원의 반지름을 `R라 할 때,

제2`코사인법칙과 사인법칙에서

sinA= , sinC= ,c2R

a2R

12

집 H

학교S

우체국P

2.5km

2km60

x

12

2(‰3+1)4(‰3+1)

22+(‰3+1)2-(‰6)22\2\(‰3+1)

b2+c2-a2

2bc

코사인법칙의 활용문제 6

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

삼각형 구하기

학교에서 집까지의 거리는 2`km이고, 집에서 우

체국까지의 거리는 2.5`km이다. 집에서 학교와

우체국을 바라본 각의 크기가 60æ일 때, 학교에서

우체국까지의 거리를 구하여라`(단, 소수 둘째 자

리에서 반올림한다).

◊ABC에서 다음 식이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가?

⑴ 2sinAcosB=sinC⑵ acosA+bcosB=ccosC

60æ

2.5km

2km

우체국

학교

집


6줄기

anSwp

◊ABC에서 다음 식이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가?

acosA=bcosB

제 2 코사인법칙에서

cosA=

cosB=

이므로 주어진 식에 입하여 정리하면

=

a2(b2+c2-a2)=b2(c2+a2-b2)

이다. c에 하여 정리하면

(a2-b2)c2-(a4-b4)=0

(a2-b2)c2-(a2+b2)(a2-b2)=0

(a2-b2)(c2-a2-b2)=0

이므로 à2=b2 또는 c2=a2+b2`이다.

a2=b2`이면 a>0, b>0이므로 a=b이고 ◊ABC는 이등변삼각형이다.

또, c2=a2+b2`이면 피타고라스의 정리에 의하여 ◊ABC는 직각삼각형이다.

즉, ◊ABC는 이등변삼각형이거나 직각삼각형이다.

답 이등변삼각형 또는 직각삼각형

b(c2+a2-b2)2ca

a(b2+c2-a2)2bc

c2+a2-b2

2ca

b2+c2-a2

2bc

dPwp 4

풀이

7열매

anSwp

교과서181182

◊ABC에서 다음을 구하여라.

⑴ A=60æ, b=4, c=5일 때, a`의 값

⑵ a=‰6, b=2, c=‰3+1일 때, A`의 값


◊ABC`에서 a=13, b=8, c=7일 때, A`를 구하여라.

제`2`코사인법칙

a2=b2+c2-2bccosA

로부터

cosA=

= =-

이다. 이 때, 0æ<A<180æ이므로 A=120æ이다.

답 A=120æ

12

82+72-132

2\8\7

b2+c2-a2

2bc

C

A

B13

87

dPwp 2

풀이

풀이

병원에서 35`km 떨어진 지점에서 사고가

발생했다는 신고가 접수되었다.

구조 본부에서 구조 헬기를 출발시켜 환

자를 병원으로 옮기려고 하는데, 구조 본

부에서 병원까지의 거리는 45`km이고, 병

원에서 구조 본부와 사고 지점을 바라본

각의 크기는 120æ이다. 구조 본부에서 사

고 지점까지의 거리를 구하여라`(단, 소수 둘째 자리에서 반올림한다).

오른쪽 그림에서 AC ‚의 길이를 구한다.

제`2`코사인법칙에 의하여

AC ‚ 2=c2+a2-2accosB

=452+352-2\35\45cos120æ

=4825

Ú AC‚=‰4825‚¿69.5(km)답 약 69.5km

120æ

45

35

A

B

C

120æ

45km

35km

사고 지점

병원

구조 본부dPwp 3

5줄기

anSwp

제2코사인 법칙문제 5

문제 7


cosB=


2\ \ =

=c,

a2+c2-b2=c2

Ú a2=b2

그런데 a>0, b>0이므로 a=b따라서, ◊ABC는»A=»B인 이등변삼각형

이다.

⑵ 제2`코사인법칙에서

cosA= , cosB= ,

cosC=


a\ +b\

=c\

이 식을 정리하면

+

=

양변에 2abc를 곱하여 정리하면

a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)

=c2(a2+b2-c2)

a4-2a2b2+b4-c4=0

(a2-b2)2-(c2)2=0

(a2-b2+c2)(a2-b2-c2)=0이므로 a2+c2=b2 또는 a2=b2+c2`이다.

따라서, ◊ABC는 A=90æ 또는 B=90æ인 직

각삼각형이다.

c(a2+b2-c2)2ab

b(a2+c2-b2)2ac

a(b2+c2-a2)2bc

a2+b2-c22ab

a2+c2-b2

2acb2+c2-a2

2bc

a2+b2-c22ab

a2+c2-b2

2acb2+c2-a2

2bc

a2+c2-b2

c

c2R

a2+c2-b2

2aca2R

a2+c2-b2

2ac

세 변의 길이가 7, 8, 13인◊ABC에서 최 각의 크기를 구하여라.

답：120æ

◊ABC에서 A= , B= , a=3일 때, b의 값을 구하여라.

답：‰6

◊ABC에서 cosA：cosB=a：b가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말

하여라.

답：a=b인 이등변삼각형

π4

π3

형성 평가

2

1

보충

3심화

기본

242 각론

1. 삼각함수를 활용하여 삼각형의 넓이를 구할 수

있게 한다.

2. 삼각함수를 활용하여 간단한 다각형의 넓이를

구할 수 있게 한다.

두 변과 그 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이를 구하

는 공식을 끼인각이 예각, 둔각, 직각의 경우로 나

누어서 증명한다.

물음1 오른쪽 그림의 점 A에서 변에 내린 수

선의 발을 H라 하

면,

◊ABH에서

sin60æ=

Ú h=5\sin60æ=

물음2 ◊ABC= \6\h

= \6\ =

⑴ 오른쪽 그림에서

◊ABC

= \6\4\sin30æ

=6⑵ 오른쪽 그림에서

◊ABC

= \6\6\sin120æ

= \6\6\ =9‰3‰32

12

12

6 6A

CB120æ

12

C

A

B 30æ4

6

15‰32

5‰32

12

12

5‰32

h5

C

A

B

5 h

60æ H6

오른쪽 그림에서O·A·=p

O·B·=r, O·C·=q,

O·D·=s로 놓으면

a=r+s, b=p+q이다.

◊AOB= prsinΩ

◊COD= qssinΩ

◊BOC= rqsin(180æ-Ω)= rqsinΩ

◊AOD= pssin(180æ-Ω)= pssinΩ

따라서, 사각형ABCD의 넓이는

◊AOB+◊BOC+◊COD+◊AOD

= (pr+rq+qs+ps)sinΩ12

12

12

12

12

12

12

ΩA

D

CBqr

ps

O

오른쪽 그림과 같이 ◊ABC의 꼭지점 A에서

변에 내린 수선의 길이를 h라 하면

h=csinB이다. 따라서, ◊ABC의 넓이 S는 다음과 같다.

S= ah= acsinB

또, 오른쪽 그림과 같이 `»B`가 둔각인 ◊ABC의 높이를 h`라 하면

h=csin(180æ-B)

=csinB이다. 따라서, ◊ABC의 넓이 `S는 다음과 같다.

S= ah= acsinB12

12

c

aB C

A

H

h

12

12

C

A

B a

bhc


오른쪽 그림의 삼각형을 보고, 다음 물음에

답하여라.

삼각형의 높이 h를 삼각함수를 이용

하여 나타내어라.

삼각형의 넓이를 구하여라.

C

A

B6

5 h

60æ

§2. 삼각형의 넓이

삼각함수를 활용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

anFdmA 1

anFdmA 2

toDrkRgo qhQtlek

삼각형의넓이

183교과서

§2. 삼각형의넓이 15`차시

지도목표

본문해설

삼각형의 넓이 구하기문제 1

?????

?@@@@@h?W@h?7@=?g?

?J(R46X?f??7H??I/?f??@he?

??@@@@@@@@@f?

?@h??@h??@h?

?@@@@@6X?f?

?B1?f?@?f?

?J5?f?O.Y?f?

W2@@@@0Yg?7<hf?@?hf?@?hf?@@@@@?h?

?

??????????

@?e?@?e?

?@@@@@g@?e??@g@?e??@g@?e??@g@?e??@he?

???????????

사각형의 넓이 공식 유도문제 2

??????

?@e?C5e?

?W26X?e?@@@@He?W.MB1?g@?e?7H?J5?g@?e?3=O.Y?e?@@@@?e?V40Yg?I@?e?

???

?@@@@@@?f?@?f?@?f?

?C5?f??W2@@0Y?f??7<?h??@he??3=?h??V4@@?g?

???

?????????

?@e?@?e?@e?

@@@@@?e@?e?@e?@?e@?e@?e?@e?@?e@?e@@@@@@e?@?e@?e@?e?@e?@?e@?e@?e?@e?@@@@@?e@?e?@e?@Mg@?g?

??????????

toDrkRgo qhQtlek 삼각형의 넓이


◊ABC`에서 a=6, c=5, B=45æ이면 그 넓이 S`는

S= acsinB= \6\5\sin45æ= ‰2

다음 ◊ABC의 넓이를 구하여라.

⑴ a=6, b=4, C=30æ ⑵ b=6, c=6, A=120æ

두 각선의 길이가 a, b이고, 이들이 이루는 각

의 크기가 Ω인 사각형의 넓이 S는 다음과 같음

을 증명하여라.

S= absinΩ


⑴ a=13, b=14, c=15 ⑵ a=5, b=7, c=9

12

ba

ΩA

D

CB

152

12

12


1줄기

anSwp

2열매

anSwp

3줄기

anSwp

◊ABC에서 a=3, b=5, c=6일 때, 그 넓이를 구하여라.

제`2`코사인법칙에서

cosA= = =

이므로 sinA=‰1-‚co‚s 2‚A‚=u1-UU U2U= ‰14·

따라서, 삼각형의 넓이 S`는

S= bcsinA= \5\6\ ‰14·=2‰14·

답 2‰14·

215

12

12

215

1315

1315

52+62-322\5\6

b2+c2-a2

2bc

dPwp 1

◊ABC`의 넓이S

S= absinC= bcsinA= acsinB12

12

12

184교과서

= (p+q)(r+s)sinΩ= absinΩ12

12

⑴ 제2`코사인법칙에서

cosA=

= =

이므로

sinA=‰1-c‚os2A‚=u1- 2U=따라서, ◊ABC의 넓이 S는

S= bcsinA= \15\14\ =84

⑵ 제2`코사인법칙에서

cosA= = =

Ú sinA=‰1-c‚os2A‚

=u1- 2U=따라서, ◊ABC의 넓이 S는

S= bcsinA= \7\9\

= 21‰11·4

‰11·6

12

12

‰11·6

56

56

72+92-52

2\7\9b2+c2-a2

2bc

45

12

12

45

35

35

142+152-132

2\14\15

b2+c2-a2

2bc

◊ABC에서 a=5, b=6, c=7일 때, 그 넓이를 구하여라.

답：6‰6

◊ABC에서 a=2, b=2, C= 일 때, 그 넓이를 구하여라.

답：‰3

두 변의 길이의 합이 8인 ◊ABC의 최 넓이를 구하여라.

답：8

π3

형성 평가

2

1

보충

3심화

기본

삼각형의 넓이문제 3

=‰3+ =

⑷ A·D·와 평행하고

꼭지점 C를 지

나는 직선을 그

어 사각형의 넓

이를 구한다. 위의 그림에서

˛ABCD=◊BEC+˛AECD이고

˛AECD는 사다리꼴이다.

˛AECD의 높이 h=‰2`sin45æ=1이다.

한편, ◊AEF에서

EF‚= = , AE‚= =

Ú EC‚= +(‰3-1)+1=

BE‚=2-AE‚=2- =

Ú ˛ABCD=◊BEC+◊AECD

= ¸BE‚ EC‚ sin120æ+ ¸(AD‚+EC‚)¸h

= +

=

방법1 교과서의 풀이와 같이 삼각함수를 이용하

여 구할 수 있다.

방법2 직선의 방정식을 이용하여 구할 수 있다.

방법3 헤론의 공식을 유도하고, 이를 이용하여

구할 수 있다.

방법4 네 점 (0, 0), (7, 0), (7, 8), (0, 8)을꼭지점으로 하는 직사각형에서 세 개의 삼

각형의 넓이를 빼서 구할 수 있다.

3+‰32

7‰3-36

6-2‰33

12

12

6-2‰33

2‰3

4‰33

1‰3

2‰3

1sin60æ

1‰3

AF‚tan60æ

120æ 135æ‰3-1

2‰2

AD

B C

E 60æ45æF G

h

3+‰32

3-‰32

⑴ B·D· 2=22+(‰3`-1)2-2\2\(‰3-1)cos120æ

=6 Ú B·D·=‰6

⑵ »ADB=Ω라 하면

cosΩ=

= Ú Ω=45æ

⑶ »BDC=135æ-45æ=90æ이므로

˛ABCD=◊BCD+◊ABD

= ‰6¸‰2¸sin90æ+ ¸2¸(‰3-1)¸sin120æ12

12

1‰2

‰6 2+(‰3-1)2-22

2¸‰6¸(‰3-1)

'fzubmfhgs nbmfx

다음 그림과 같은 사각형의 넓이를 구하려고 한다. 물음에 답하여라.

⑴ 제`2`코사인법칙을 이용하여 B·D·의 길이를 구하여라.

⑵ 제`2`코사인법칙을 이용하여 »ADB`의 크기를 구하

여라.

⑶ 사각형의 넓이를 구하여라.

⑷ 위와 다른 방법으로 사각형의 넓이를 구하여라.

120æ135æ

‰3-1

2‰2

AD

B C

1

ibslc mduewyex m6anfajgw jbrmfs uvflc

세 꼭지점의 좌표가

(0, 0), (4, 8), (7, 1)인 삼각형의 넓이를 두 가지 이상의 방법으로 구하여라.

y

xO

3

8

4 7

2




éì∏ã¢Öô§ . Üûßåò íîÄô´Öô§1 사각형의 넓이

éì∏ã¢Öô§ . Üûßåò íîÄô´Öô§

2 삼각형의 넓이

244 각론

교과서185쪽

'@6XgV'@1g

?O26X??N@@g@@@@@@@@@@)?e@@gN@@?he@@g?@@?he@@W26Xe?@@?e?O)Xf@@@@@)e?@@@@@@@@)f@@g?@@?he@@g?@@?he@@g?3@?e?O2@@@e@@g?V4@@@@@0Mf@@g

@@g

?@@@@@@@@@@@g?N@@g@@g@@g@@g@@g@@g@@g@@g@@g@@g3@g@@gV4@@@@@@@@g

?'@@@@@@@@@@@@g?V40M?g@@g

@5g?J@Hg?75?gJ@H?g75h(Yh?O26X?e

?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@)?e?V+Mg@@hf

@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf

'@6Xg@@@?fV'@1gN@@?f?N@@g?@@??O26X?@@g

?'@@@@@@@@@@@@)?@@g?V40M?he@@g

@@g?O2@@6K?f@@W26Xe@@0MI4@@f@@@@@)e

?J@?f?@L?e@@g?7@?f?@1?e@@g?3@?f?@5?e@@g?N@?f?@H?e@@g@@6KO2@@f@@g?I4@@0M?f@@g

@@g@@g@@g@@g@@g

@@@@@@@@@@@@3@gO26XgV4@@@@@@@@@)g

?O26X?e?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@)?e?V+M

?@@@?N@@@@@@@@3@gO26XgV4@@@@@@@@@)g

?@@6X?he?N@@)?he?J@@H?he?7@@=?heJ@(R'6K?h

?W&(Y?V4@6K?gO&0YfI'@@g

O20Mg?V'@g?@0MheV'g

?O26X?e?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@)?e?V+Mg@@hf

@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf@@hf

?@@@g'@6Xg?N@@gV'@1g@@?O26X??N@@g

?'@@@@@@@@@@)?e@@g?V40M?he@@g

@@W26XeW2@@@6X?f@@@@@)e

?W&(M?I')Xf@@g?7@He?N@1f@@g?@@?f@@f@@g?3@Le?J@5f@@g?V')K?O&(Yf@@gV4@@@0Y?f@@g

'@@@@@@@@@@@gV40Mg@@g

@@g@@g@@g@@g@@g

16`차시 Üûßåò íîÄôÖô§ íï∏âì∏ã° ãü£íìß Äúìåò


= =

Ú C=30æ

3 사인법칙의 활용

사인법칙에서

sinA= , sinB= , sinC=

이므로

sin2A+sin2B=sin2C

2+ 2= 2

Ú a2+b2=c2

따라서, C=90æ인 직각삼각형이다.


⑴ ◊ABC의 넓이= \4\5\sin60æ

= \4\5\ =5‰3

⑵ ◊ABC의 넓이= \2‰2\3\sin135æ

= \2‰2\3\ =3

5 호의 길이와 중심각의 비

호의 길이의 비가 3：4：5이면 중심각도 3：4：5로분할된다.

Ú (◊ABC의넓이)

= \20\20\sin90æ+ \20\20\sin120æ+ \20\20\sin150æ=200+100‰3+100=300+100‰3(cm2)

12

12

12

C

A

B120æ

90æ150æ

‰22

12

12

‰32

12

12

c2R

b2R

a2R

c2R

b2R

a2R

‰32

4+(4+2‰3)-24(‰3+1)


사인법칙에서

=

Ú b= ‰6

= \ \‰6=2

2 제2코사인법칙

제2`코사인법칙에서

cosC= = 22+(‰3+1)2-(‰2)22¸2¸(‰3+1)

a2+b2-c22ab

2‰3

1‰2

sin45æsin60æ

‰6sin60æ

bsin45æ

C

A

B‰6

b

45æ

60æ


◊ABC`에서 `를

A를이용하여나타내면?

bsin45æ

오른쪽 그림의 ◊ABC에서 b의 길이를

구하여라.

C

A

B‰6

b

45æ

60æ

1줄기

◊ABC`에서 sinA는 외접

원의 반지름의 길이 R와

어떤관계가있는가?

다음 등식이 성립하는 ◊ABC는 어떤 삼각형인가?

sin2A+sin2B=sin2C

3열매

C

A

B a

c bR

cosC`를 a, b, c`로 나타내

면?◊ABC에서 à=2, b=‰3`+1, c=‰2`일 때, C`를 구하여라.2줄기

다음 그림의 삼각형에서

높이는?


⑴ A=60æ, b=4, c=5⑵ a=2‰2 , b=3, C=135æ

4뿌리

4

60æ

호의 길이의 비가 3：4：5일 때, 중심각의 비는?

반지름의 길이가 20cm`인 원주를 3：4：5`로 분할하는 점을 각각 A,

B, C`라 할 때, ◊ABC의 넓이를 구하여라.

5열매

jesng1 ibslc


교과서

186

246 각론

⑵ \4\6\sin150æ=6(cm2)

4 사인법칙과 코사인법칙의 활용

⑴ a：b：c=7：5：3이므

로 a=7k, b=5k,

c=3k(k˜0)이라 하면

cosA=

= =-

Ú A=120æ

Ú sinA=sin120æ=

⑵ =2R=2\2에서

a=4sinA=4\ =2‰3

⑶ a=7k=2‰3 Ú k=

b=5k=5\ = ‰3

c=3k=3\ = ‰3

Ú (◊ABC의 넓이)

= bcsinA

= \ ‰3`\ ‰3\ = ‰3

5 사인법칙을 이용하여 삼각형의 넓이 구하기

사인법칙에서 =2R이므로

S= bcsinA= bç = abc4R

a2R

12

12

asinA

4549

‰32

67

107

12

12

67

2‰37

107

2‰37

2‰37

‰32

asinA

‰32

12

(5k)2+(3k)2-(7k)22¸5k¸3k

b2+c2-a2

2bc

CB

A

abc

12


=2R이므로 =2\2

sinA= = Ú A=60æ, 120æ

2 제2코사인법칙

a2=32+42-2¸3¸4¸cos60æ=13Ú a=‰13°


⑴ \6\10\sin30æ=15(cm2)12

‰32

2‰34

2‰3sinA

asinA

◊ABC에서 a=2‰3`, 외접원의 반지름의 길이가 2`일 때, A`를 구하여라.

◊ABC에서 A=60æ, b=3, c=4일 때, a의

값을 구하여라.

다음 도형의 넓이를 구하여라.

⑴ ⑵

B C

A

10cm

6cm

30æ

CB

60æ

A

4

a

3

1

2

3

반지름의 길이가 2인 원이 내접하는 ◊ABC에서

세 변의 비가 다음과 같다.

a：b：c=7：5：3⑴ cosA와 sinA의 값을 각각 구하여라.

⑵ a`의 길이를 구하여라.

⑶ ABC`의 넓이를 구하여라.

◊ABC의 넓이를 S, 외접원의 반지름의 길이를 R`라 할 때, 다음 식이 성립

함을 증명하여라.

S= abc4R

CB

A

a

bc

4

5


B C

A

4cm

6cm150æ

jesng1 ibslc


교과서

187


⑶ tan75æ=tan(90æ-15æ)=cot15æ

=

=2+‰3

2 ⑴ Ω가 제2`사분면의 각이므로

sinΩ>0, tanΩ<0

sinΩ=‰1-c‚os2Ω‚=u1--U 2U=u U=

tanΩ= = =- 34

35

`- 45

sinΩcosΩ

35

925

45

1tan15æ1 ⑴ 다음 그림의 ◊ABC에서 피타고라스의 정

리를 이용하면

AB‚=Á8+4‚‰3 ‚=Á8+2‚‰12· ‚

=‰6`+‰2

Ú sin15æ=

⑵ cos15æ= 2+‰3‰6+‰2

1‰6+‰2

1

32

A

BD C

15

3015

kfnr jfwjf;vur


sin`Ω= , cos`Ω= , tan`Ω=

cosec`Ω= , sec`Ω= , cot`Ω=xy

rx

ry

yx

xr

yr

삼각함수의정의

= = =2R (R는 외접원의 반지름의 길이)c

sinCb

sinBa

sinA사인법칙

S= absinC= bcsinA= acsinB12

12

12

삼각형의넓이

제1`코사인법칙 제2`코사인법칙

a=bcosC+ccosB a2=b2+c2-2bccosA

b=ccosA+acosC b2=a2+c2-2accosB

c=acosB+bcosA c2=a2+b2-2abcosC

코사인법칙

반지름의 길이가 `r`인 원에서 중심각의 크기가 `Ω`인 부채꼴의 호의 길이

를 l, 넓이를 `S`라 하면

l=rΩ, S= r2Ω= rl12

12

부채꼴의호의

길이와넓이

y

xO

P(x, y)

Ωx

yr

y

xO

π-2π

3-2π

π-2-

y

xO-1

1

π-2

π3-2π

2π

y

xO-1

1

π-2π

3-2π2π

삼각함수의그래프

y=sinx

실수 전체

-1¯y¯1

2π

1, -1원점 칭

y=cosx

실수 전체

-1¯y¯1

2π

1, -1

y`축 칭

y=tanx

nπ+ (n`은 정수)를

제외한 실수 전체

실수 전체

π

없다.

원점 칭

π2정의역

치역

주기

최 ∙최소

칭성

lvamf1 ibslc A

오른쪽 그림을 이용하여 다음 값을 구하여라.

⑴ sin15æ ⑵ cos15æ⑶ tan75æ

다음 값을 구하여라.

⑴ Ω가 제`2`사분면의 각이고 cosΩ=- 일 때, sinΩ와 tanΩ`의 값

⑵ π<Ω< π이고 tanΩ=2일 때, cosΩ와 sinΩ의 값


cos2Ω+cos2Ω+ +cos2(Ω+π)+cos2Ω+ π

다음 함수의 그래프를 그려라.

⑴ y= cosx ⑵ y=sin2x+1

다음 방정식과 부등식을 풀어라.(단, 0¯x<2π)

⑴ ‰2sinx+1=0 ⑵ 2cosx¯‰3

오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 AD‚의 길이를 구하여라.

A

B

C

D

60æ

5 2

3

12

32

π2

32

45

15æ30æ

1

15æ

2 ‰3

1줄기

2뿌리

3줄기

4줄기

5뿌리

6열매


lvamf1 ibslc

?'@@@@@@@@@@h?V40M?eW@@5h

?O&@0Yh?W2@@?heO&@@@=he

O2@0M?I4@@6XgO2@0M?fI4@)X?f

?@0Me?@@@fI4)?f?N@@hf@@hf@@gO26Xe

?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)e?V+M

?W2@@@@6X?hW&(MeI')Xh7@H?e?N@1h@@g@@h@@g@@h3@L?e?J@5hV4)KeO&0YhI4@@0Mhe

?@@@g'@6Xg?N@@gV'@1g@@?O26X??N@@g

?'@@@@@@@@@@)?e@@g?V40M?he@@g

@@W26XeW2@@@6X?f@@@@@)e

?W&(M?I')Xf@@g?7@He?N@1f@@g?@@?f@@f@@g?3@Le?J@5f@@g?V')K?O&(Yf@@gV4@@@0Y?f@@g

?@@@f?@@@g?N@@f?N@@g@@g@@g@@@@@@@@@@g@@g@@g@@g@@g@@g@@g3@g@@gV4@@@@@@@@g

?@@@@@@@@@@@@?g?N@@g?@@?g@@g?@@?g@@g?@@?g@@g?@@?g3@g?@@?gV4@@@@@@@@@?g

?O26X?e?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@)?e?V+Mg?@@?he

?@@?he?@@?he

?@@@e?@@?he?N@@e?@@?he@@e?@@?he@@3@gO26XgV4@@@@@@@@@)g

?'@6X?f?'@6XV'@1?f?V'@1?N@@?fN@@??@@?f

'@@@@@@@@??@@??@@?fV+M?e@@5??@@??@@?f

?J@@H??@@??@@?f?7@@e?@@??@@?fJ@@@@@@@@??@@?f

?W&@@T(M?@@??@@?fW&(MB@U??@@??@@?f

?W&(Y??3)X?@@??@@?fO&0Ye?N@1?@@??@@?f

?@0Mg@@?@@??@@?f?@@??@@?f?@@??@@?f?@@??@@?f?@@??@@?f?@@??@@?f

?@@?f 17`차시교과서

188189

248 각론

5 ⑴ ‰2sinx+1=0 Ú sinx=-

위의 그래프에서

x= π, π

⑵ 2cosx¯‰3 Ú cosx¯

위의 그래프에서

¯x¯ π

6 ◊ABC에서

AC‚2

=52+32-2¸5¸3¸cos60æ

=25+9-30\

=19이 때, AD‚=x라 하면◊ACD에서

(‰19°)2=x2+22-2¸2¸x¸cos120æ

19=x2+4-4x- x2+2x-15=0,

(x+5)(x-3)=0그런데, x>0이므로 x=3

Ú AD‚=3

12

12

603

A

BC

D2

5x

116

π6

x

y

O

23

61126

2

-1

1

‰32

74

54

x

y

O 2-1

145

47

2

21

1‰2

⑵ π<Ω< π이므로 Ω는 제`3`사분면의 각

이다. 따라서, sinΩ<0, cosΩ<0이다.

tanΩ=2이므로 오른쪽

그림에서

cosΩ=- ,

sinΩ=-

3 cos2Ω+cos2Ω+ +cos2(Ω+π)

+cos2Ω+ π=cos2Ω+(-sinΩ)2+(-cosΩ)2+(sinΩ)2

=cos2Ω+sin2Ω+cos2Ω+sin2Ω=2

4 ⑴ y= cosx는 치역이 ”yL- ¯y¯ ’,주기가 2π이므로 그래프는 다음과 같다.

⑵ y=sin2x+1의 그래프는 y=sin2x의 그

래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨

것이다.

y

xO

1

3-4 ππ

2

1-4 π1-2 π

x

y

O23

21

21 2

2

12

12

12

32

π2

2‰5

1‰5

y

xO-1

-2‰5

Ω

32

교과서

189


3 a2=‰32+12-2¸‰3¸1¸cos30æ

=3+1-2‰3\ =1

Ú a=1

◊ABC의 넓이= bcsinA

= \‰3\1\sin30æ

=

4 ◊OAB= absin120æ= ab

◊OAC= acsin60æ= ac

◊OBC= bcsin60æ= bc

◊OAB=◊OAC+◊OBC이므로

ab= ac+ bc

Ú = +

5 Ω는 위도이므로 0æ¯Ω¯90æ

사인법칙에서

=

sinP= sin6.5æ

¿0.7529삼각함수표에서 P¿131.2æ

Ú Ω¿180æ-131.2æ-6.5æ=42.3æ

즉, P지점의 위도는 약 42.3æ이다.

423706370

42370sinP

6370sin6.5æ

1a

1b

1c

‰34

‰34

‰34

‰34

12

‰34

12

‰34

12

‰34

12

12

‰32

1 오른쪽 그림에서

OP‚=‰42+32‚=5이므로

sinΩ= , cosΩ=- ,

tanΩ=-

2 y=3sinx의 주기

는 y=sinx의 주

기와 같으므로 2π이며 그래프는 오

른쪽 그림과 같다.

x

y

O

-3

3

23

22

43

35

45 x

y

O-3

4

5

P


lvamf1 ibslc B

원점 O와 `점 P(-3, 4)을 `잇는 ÒP‚를 `동경으로

하는 각을 Ω라 할 때, sinΩ, cosΩ, tanΩ의 값을

구하여라.

y=3sinx`의 주기를 구하고, 그래프를 그려라.

◊ABC`에서 A=30æ, b=1, c=‰3`일 때, a`의 값과 삼각형의 넓이를 구하

여라.

y

xO-3

4P

Ω

1

2

3

오른쪽 그림과 같이 크기가 120æ인 »XOY의 이등

분선을 OZ‡ 라 한다. 직선 l이 OX‡, OY‡, OZ‡와 만

나는 점을 각각 A, B, C라 할 때, 다음 식을 증명

하여라.

= +

적도 상공 36000`km 의 높이에서 기상 위성이 6.5æ의 각으로 지구 북반구 P지점에서 태풍의 눈을 관측하 다. 지구의 반지름의 길이를 6370`km라 할

때, P`지점의 위도를 구하여라.

P

지구

36000km6370km

6.5æ

1b

1a

1c

a

b

cO

Z

A

B

Xl

Y

C

4

5S`지점의 위도는 Ω`이다.

Ω

S

O

A

CB

30æ‰31

A

B

C

O

Z

Y

c

a

b

l

6370km

6370km

P

36000km6.5

lvamf1 ibslc

교과서

190

250 각론

1. 태양의흑점수의주기변화

태양의 흑점의 수를 관측한 것은 매일의 값은

1818년부터, 월평균값은 1749년부터, 연평균

값은 1700년부터라고 알려져 있다. 태양 흑점

의 수는 평균 11.2년을 주기로 증감한다. 그러

나 흑점의 자성(磁性)은 그 방향이 태양의 북

반구와 남반구에서 서로 반 이다. 그리고 다

음 주기에서는 이 방향이 서로 바뀐다. 따라

서, 태양 흑점의 주기는 정확히는 11.2년의 2배인 22.4년으로 보아야 한다.

2. 심전도

심장의 박동은

교 로 일어나

는 심방과 심실

의 수축과 이완

으로 설명할 수

있다. 이 때, 활

동 전류가 흐르

는 원리를 이용해서 우리 몸밖의 두 곳에서 전

류의 흐름을 기록하면 심전도를 얻을 수 있다.

심전도는 심방의 수축에 의한 P파와 심실의 수

축에 의한 Q, R, S, T파의 변화로 나타난다.

심전도는 전극을 어느 곳에 붙이는지에 따라

달라지며, 오른쪽 팔과 왼쪽 다리에 전극을 붙

여 기록할 때 가장 큰 변화가 기록된다. 심장의

기능에 이상이 있을 경우에는 심전도의 파형이

달라지므로 심전도는 심장병의 진단에 요긴하

게 활용된다.

3. 해수면의높이

바닷가에 나가 보면 바닷물이 한시도 쉬지 않

고 계속 움직이는 것을 볼 수 있다. 때로는 잔

잔하게 움직이다가도 어떤 때는 모든 것을 집

어삼킬 듯이 거세게 몰아치기도 한다. 해수면의

주기적인 변화는 태양과 달의 인력 때문에 발생

한다.

4. 기타

자연 현상에서 볼 수 있는 주기 변화는 사막의 지

상 온도, 태양의 고도, 사람의 호흡량 등의 예가

있다.

mfz7c mfhgs nbmfx

오른쪽 사진과 같은 놀이 기구는 진자의 주기

운동을 이용한 것이다.

진자의 추가 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간을

주기라 하며, 주기 T`는 다음과 같은 식으로 구

할 수 있다.

T=2πu U(단, l：줄의 길이`m, g：중력 가속도 9.8m/s2)

위의 식에서 알 수 있듯이 진자의 주기는 추의 무게와 진자의 운동의 폭에

관계 없이 일정하다. 다음 물음에 답하여라.

⑴ 줄의 길이가 2.45`m`의 진자의 주기를 구하여라.

⑵ 아래 그림과 같이 줄의 길이를 l, 수직선과 줄이 이루는 각의 크기를

Ω`라 할 때, 추의 높이 h`를 l과 `Ω를 이용하여 나타내어라.

⑶ 우리의 생활 주변에서 위의 놀이 기구와 같이 진자 운동을 활용한 예

를 찾아보고, 그 주기를 구하여라.

Ωl

h

lg

1

me1yex mfxng1 nbmda uvflc


진자

줄에 추를 매달아 왕복

운동을 하도록 한 장치

åìãôß âõ§ã¢ åûÄ£ íôßâì∏

<심장의 떨림과 맥박>

http：//www.sunspotcycle.com/http：//www.3jeong.com/astrohttp：//www.physmed.snu.ac.kr/

lecture.ch8/topic8.htm/

`참고`

교과서 191쪽

íô¥Öô§ íì§â°¥ âûíî∏ Äúìåò


∙진자의 주기를 이해하고, 이를 구할 수 있는지를 평가한다.

∙진자의 위치를 각에 한 삼각함수로 나타낼 수 있는지를 평가한다.

∙진자 운동을 활용한 예를 찾고, 그 주기를 구할 수 있는지를 평가한다.

⑴ 진자의 주기 T `는

T=2πu U=2πu =π(sec)

⑵ 오른쪽 그림에서 h=OH‚-OP‚이고, OP‚=lcosΩ이므로

h=l-lcosΩ

⑶ 진자 운동을 활용한 표적인 기구로는 그네가 있다. 그네의 주기는 예를 들어 그네 줄

의 길이가 14.7m라 하면

T=2πu U=2πu =π‰6`(sec)32

14.79.8

Ω

hP

O

H

l

14

2.459.8

성취기준

모범답안

채점기준요소 역 채점 요소 배점

문제 이해

및

해결 과정

총점 10점

진자의 주기를 구할 수 있다.

추의 높이 h를 l과 Ω를 이용하여 나타낼 수 있다.

진자 운동을 활용한 예를 찾을 수 있다.

진자 운동을 활용한 기구의 주기를 구할 수 있다.

2점3점2점3점

진자의주기운동에 하여알아보고, 이를응용한생활기구를찾아본다.

íô¥Öô§ íì§â°¥ âûíî∏ Äúìåò

252 각론

평가 기준 여러 가지 각의 삼각함수를 알고 있는지 평가한다.

다음 중 cos(-Ω)와 같은 것은 어느 것인가?

① sin(-Ω) ② sin(2nπ+Ω)

③ sin -Ω ④ sin(π+Ω)

평가 기준 삼각함수의 주기와 최 값, 최소값의 뜻을 알고 있는지 평가한다.

삼각함수 y= cos(-3x)+1의 주기와 최 값, 최소값을 구하여라.

평가 기준 삼각부등식을 풀 수 있는지 평가한다.

0¯x<2π일 때, 삼각부등식 ‰2`cosx- +1¯0을 풀어라.

평가 기준 삼각함수의 뜻과 성질의 관계를 알고 있는지 평가한다.

Ω가 제2`사분면이 각이고 tanΩ=a일 때, cosΩ, sinΩ의 값을 구하여라.

평가 기준 삼각함수의 관계를 활용할 수 있는지 평가한다.

tanå, tan∫는 x2-px+q=0의 두 근이고 cotå, cot∫는 x2-rx+s=0의 두 근이라고

할 때, rs를 p, q로 나타내어라.

평가 기준 사인법칙과 코사인법칙을 알고 있는지 평가한다.

◊ABC에서 = = 일 때, cosA의 값을 구하여라.3sinC

5sinB

7sinA

π4

12

π2

1

2

3

4

5

6


cos(-Ω)=cosΩ이다. …… 2점

① sin(-Ω)=-sinΩ② sin(2nπ+Ω)=sinΩ

③ sin -Ω=cosΩ

④ sin(π+Ω)=-sinΩ

이므로 cos(-Ω)=sin -Ω …… 3점

주기는 π이다. …… 2점

또, -1¯cos(-3x)¯1이므로

- ¯ cos(-3x)¯

Ú ¯ cos(-3x)+1¯ …… 3점

따라서, 최 값은 이고, 최소값은 이다.

주어진 부등식은 cosx- ¯- 이므로

…… 1점

π¯x- ¯ π이다. …… 3점

Ú π¯x¯ π …… 1점

Ω가 제2`사분면의 각이므로 cosΩ<0, sinΩ>0,

tanΩ=a<0 …… ①

cos2Ω= = =

Ú cosΩ=- …… ②

sinΩ=cosΩ¸tanΩ=- …… ③

채점 기준

근과 계수의 관계로부터

tanå+tan∫=p, tanå¸tan∫=qcotå+cot∫=r, cotå¸cot∫=s …… ①이다.

r= + = ,

s= ¸ = …… ②

Ú rs= …… ③

채점 기준

= = = (k˜0)라 하면

사인법칙으로부터 a=7k, b=5k, c=3k이다.

…… 2점

cosA= =

=- …… 2점

sinA=‰1-c‚os2A‚

=u1- U= …… 1점‰32

14

12

(5k)2+(3k)2-(7k)22¸5k¸3k

b2+c2-a2

2bc

2Rk

3sinC

5sinB

7sinA

pq2

1q

1tan∫

1tanå

pq

1tan∫

1tanå

aÁ(1+‚a2‚

1Á1+a2‚

11+a2

11+tan2Ω

1sec2Ω

32

54

π4

34

1‰2

π4

12

32

32

12

12

12

12

12

23

π2

π2

1

2

6

5

3

4

역요소

배점채점 요소

문제 이해

및

해결 과정

1점3점1점

5점총점

삼각함수의 부호 결정 ……`①삼각함수 사이의 관계 활용 ……`②삼각함수 사이의 관계 활용 ……`③

역요소

배점채점 요소

2점2점1점

3점총점

근과 계수의 관계 ……`①삼각함수의 관계의 활용 ……`②

……`③

문제 이해 및

해결 과정

답 구하기

254 각론

삼각함수 cos- π의 값을 구하여라.

0¯x<2π일 때, cosx= 을 만족시키는 x의 값을 구하여라.

◊ABC에서 A=150æ, b=10, c=12일 때, 그 넓이를 구하여라.

12

43

함수 y=asinbx+c에서 최 값이 5, 최소값이 -1, 주기가 π일 때, 양수 a, b, c의 값

을 구하여라.

오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변의 길이를 2배로 늘이고, 다

른 한 변의 길이를 반으로 줄여서 새로운 삼각형의 넓이는 처음

삼각형의 넓이의 몇 배인지 구하여라.

수학 지도서 지 추가

x

b

c

1

2

3

4

5


cos- π=cos π=cosπ+ =-cos =-

다음 그림과 같이 y=cosx의 그래프에서

cosx=

인 x의 값을 구하면

x= , π

sin150æ=sin(180æ-30æ)=sin30æ= 이므로

◊ABC의 넓이 S는

S= bcsinA

= ¸10¸12¸sin150æ

=30

12

12

12

53

π3

12

12

π3

π3

43

43

????

@@@?f?@@@g?N@@?f?N@@g??@@?g@@g??@@?g@@g??@@@@@@@@@@@g??@@?g@@g??@@?g@@g??@@?g@@g??3@?g@@g??V4@@@@@@@@@g?

@?he?@?he?@?fO26Xe?

?'@@@@@@@@@@@@@@@@@)e??V+M ?

????????

???

?@@?he??N@?he?@?he?

?'@@@@@@@@@?g??V40M??W@@5?g?

W&@0Y?g??O&@he?

?O2@@@@@6Kg??O2@0Me?I4@@@f?

O2@@Y?h@@f??'@@@@@@@@@@@@@@@@@@e??V+Mg@?he?

@?he?@?he?

?W2@@@6Xh?W&(M?I')X?g?7@H?eN@1?g?@@f?@@?g?@@f?@@?g?3@L?eJ@5?g?V4)K?O&0Y?g?I4@0M?h?

??

???

?@@@f?'@6X?f??N@@f?V'@1?f?@@?O)XeN@@?f?

?'@@@@@@@@@)e?@@?f??V40M?h?@@?f?

?@@W26X??W2@@@6X?e?@@@@@)??


???

'@@@@@@@@@@?f?V40Mf?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

??

???


?W&(MI4@6Kg?O&(Ye?I'@6Xf?

W2@0Y?fV'@,f?&0M?g?V'Yf?

??'@@@@@@@@@@@@@@@@@@@???V+M ?

??

?@@@f?@@@g??N@@f?N@@g?@@g@@g?@@@@@@@@@@g?@@g@@g?@@g@@g?3@g@@g?V4@@@@@@@@g?

??

???

?'@6X?f??V'@1?f?

@6X?fN@@?f?N@1?f?@@?f?J@5?f?@@?f?7@H?f?@@?f?

?J@@g?@@?f??7@@=?f?@@?f?J@(R'6X?e?@@?f?



???

???

@@@?e?'@6X?f?N@@?e?V'@1?f??@@W)XeN@@?f?

'@@@@@@@@)e?@@?f?V4@Xh?@@?f?S@@@@6X?e?@@?f?

?W&(M?I'1?e?@@?f??7@He?N@?e?@@W26X???@@?f@?e?@@@@@)???3@?f@?e?@@?f??V4@@@@@@?e?@@?f?

?@@?f?@@?f??@@@@@@??@@?f?

?'@@@@@@0Mf?@@?f??V4@0Mh?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

?????

???

?@@@f?'@6X?f??N@@f?V'@1?f?@@?O)XeN@@?f?

?'@@@@@@@@@)e?@@?f??V40M?h?@@?f?

?@@W26X??W2@@@6X?e?@@@@@)??


???

'@@@@@@@@@@?f?V40Mf?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

??

???


?W&(MI4@6Kg?O&(Ye?I'@6Xf?

W2@0Y?fV'@,f?&0M?g?V'Yf?

??'@@@@@@@@@@@@@@@@@@@???V+M ?

??

?@@@f?@@@g??N@@f?N@@g?@@g@@g?@@@@@@@@@@g?@@g@@g?@@g@@g?3@g@@g?V4@@@@@@@@g?

??

11 44

55

22

33

a, b, c는 양수이고, 주기가 π이므로

=π Ú b=2

-1¯sin2x¯1이므로-a¯asin2x¯a이고,

-a+c¯asin2x+c¯a+c이다.

최 값이 5, 최소값이 -1이므로

-a+c=-1, a+c=5Ú a=3, c=2

처음 삼각형의 넓이를 S= bcsinx라 하면 새

로운 삼각형의 넓이 S'은

S'= ¸2b¸ csinx= bcsinx=S

이다.

즉, 새로운 삼각형의 넓이는 처음 삼각형의 넓이

의 1배이다.

12

12

12

12

2πb

???

O26Xg??@@@@@@@@@@)g??@@?e@@h??@@?e@@h??@@?e@@h??@@?e@@h??@@?e@@h?

'@@@@@@@@@@@@?f?V40Mhg?

??'@@@@@@@@@@@@@@@@@@e??V+Mg@?he?

@?he?@?he?

?'@@@@@@@@@@g??V40M?f@@g?

@@g??@@@@@@@@@@@g??N@@hg?@@hg?3@f?O26X?f?V4@@@@@@@@)?f?

??

???

?'@6X?f??V'@1?f?N@@?f?

@@g?@@?f?@@g?@@?f?

?W2@@@@6X?e?@@?f?W&(MeI'1?e?@@?f?7@H?e?N@?e?@@?f?@@g@?e?@@?f?@@L?e?J@?e?@@?f?@@)KeO&5?e?@@?f??I4@@@@0Y?e?@@?f?

?@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f??@@?f?

?????

???

?'@6X?f??V'@1?f?

?O@?eN@@?f?@@@@@@@@@?e?@@?f?N@@?f@?e?@@?f??@@?f@?e?@@?f??@@?f@?e?@@?f??@@?f@?e?@@?f??@@?f@?e?@@?f??3@?f@?e?@@?f??V4@@@@@@Le?@@?f?

@1e?@@?f?@@he?@@eO26Xf?

?'@@@@@@@@@@@)f??V40M?@@he?

@@L?h??J@@)Kh?W&(?4@6Kg?

?W&(Y??I'@6Xf?O&0YfV'@1f?

?@0Mg?V4@f???

???

?'@6X?f??V'@1?f?N@@?f?

'@@@@@@@@?e?@@?f?V40MeW@5?e?@@?f?

7@Y?e?@@?f??J@@@@@@@@@?f?W&@XI40M?@@?f?

?W&(R/X?e?@@?f?O&(Y?N)Xe?@@?f?

?W2@@0Y?e@)e?@@?f??.M?he?@@?f?

??

?W2@@6K?g?W&(MI4@6X?f?7@H?e?@1?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?3@L?eJ@5?f?V')K?O&(Y?f??V4@@@0Yg?

??

???

?'@6X?f??V'@1?f?

O2@?eN@@?f?@@@@@@@@@?e?@@?f?N@@?h?@@?f??@@?h?@@W26X???@@?h?@@@@@)???@@?h?@@?f??@@?h?@@?f??3@?e?O2(e?@@?f??V4@@@@@0Ye?@@?f?

?@@?f??

?@@@f@@@?f??N@@fN@@?f?@@f?@@?f?@@@@@@@@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?@@f?@@?f?3@f?@@?f?V4@@@@@@@?f?

??

x

y

O

-1

1

23 3

521

256 각론

탐구 활동지 ( )반 ( )번 이름( )

탐구주제 삼각형에의 응용 학습형태 모둠 학습

학습목표 사인법칙을 이용하여 삼각형을 풀고 이를 실생활에 활용할 수 있다.

물음1 다음은 오른쪽 그림의 삼각형에서 h`의 길이를 x , y , l`로 나타낸 것

이다. `안에 알맞은 식을 써 넣어라.

◊ABC`에서 »BAC=y-x`이고, 사인법칙을 이용하면

=

이다. 따라서,

AC‚= l

이다. 또, ◊ADC에서 h=AC‚siny이므로

h= l¸siny= l

물음2 다음은 오른쪽 그림의 삼각형에서 h`의 길이를 x, y, z, l`로 나타낸

것이다. `안에 알맞은 식을 써넣어라.

단, »ABC=x , »ACB=y, »ACD=z , BC‚=l이다.

◊ABC`에서 »BAC=π- 이고 사인법칙을 이용하면

= - =

이다. 따라서,

AC‚= l

이다. 또, ◊ADC에서 h=AC‚sinz이므로

h= l¸sinz= l

물음3 위의 물음1또는 물음2를 이용하여 학교 근처의 건물이나 나무 등의 높이를 측정하여 보아라.

sinxsinzsin

sinxsin

sinxsin

lsin

lsinπ

AC‚sinx

A

C

B D

l

h

x

y z

sinxsinysin

sinxsin

sinxsin

lsin

AC‚sinx

A

BC Dl

x y

h

Documents

지도계획 - 2jong.daehane.com2jong.daehane.com/cd/03_4/2r4/data/g.pdf · 실제응용분야에서적분 ... 본문해설 지도상의