Подготовка к ЕГЭ.

Решение задач группы С2

(стереометрия)

D

А В

С

А1

D1 С1

В1

11

11

11

Треугольник ACD1 – равносторонний.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до AD1.

К??

606000

.2

;2

;2

;11

;

:

2

222

222

AC

AC

AC

AC

BCABAC

ABCИз

22

AC

CK006sin

Из CKA

22

3 CK

2

6CK

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AB1 и BС1 .

Заменим одну из заданных прямых BC1 на параллельную прямую AD1 .

А В

С

С1

D1

А1В1

D

∆B₁AD₁ - равносторонний и, значит, угол B₁AD₁ равен 60°.

Угол между BC1 и АB₁ равен углу между параллельной прямой AD1 и АB₁.

А В

С

С1

D1

А1В1

D

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA1 и BD1 .

Рассмотрим ортогональную проекцию AD₁ прямой BD1 на плоскость ADD1 .

ADAD₁₁ DA DA₁₁ TTT DADA₁₁ BD BD₁₁

ADAD₁ ₁ DA DA₁₁

П-РП-Р

Н-я

П-я

Искомый угол между прямыми DA₁ и BD1 равен 90°.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и CA1 .

А В

С

С1

D1

А1

D

В1

Заменим одну из заданных прямых AB на параллельную прямую B₁A1 .

.2

;2

;2

;11

;

:

1

1

21

2221

221

21

1

CB

CB

CB

CB

CВBBCB

ВCBИз

2

Угол между AB и CА₁ равен углу между прямой C A1 и А₁B₁.

.

:1ACAИз

А В

С

С1D1

А1

D

В1

2

Если вы получите отрицательное значение косинуса, - это говорит о том, что угол тупой. Вспомним, что в стереометрии углом между прямыми называют острый. Перейти к острому углу просто.

!!

mcos

Решение.

В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.

D

В

С

A

E

M

В ∆DBC проведем через точку E прямую ME // BC

Точка М – середина ребра DB.

Угол AEM - искомый.

Его можно найти из равнобедренного треугольника MAE.

Из ∆ АВD :

1

0,5

Из ∆ СВD :

0,5

В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.

0,5M

D

В

С

A

Eα

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.

2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Чертеж и подсказка

Чертеж и подсказка

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.

E

A В

СD

S В ∆DBS проведем через точку E прямую ME // BS

M

Угол AEM - искомый.

Из ∆ SВD :

1

1

0,5

1

1

Из ∆ AВD :

Из ∆ AEM : Из ∆ ADS:

значит ∆ AEM прямоугольный

Ответ:

AA BB

CC

DDEE

BB11

CC11

DD11EE11

11

11

AA11

FF

FF11

2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.