1

Министерство образования и науки Российской Федерации

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

имени И.М. ГУБКИНА

Кафедра высшей математики

И.Н. МЕЛЬНИКОВА, Н.О. ФАСТОВЕЦ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Конспект лекций для факультета АиВТ

Учебное пособие

Москва 2017

2

УДК 519.2(075)

М47

Рецензент:

доцент кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ)

имени И.М. Губкина, к.ф.-м.н. А.К. Тюлина

Мельникова И.Н., Фастовец Н.О.

Теория вероятностей: Конспект лекций для факультета

АиВТ. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ)

имени И.М. Губкина, 2017. – 99 с.

В достаточно компактном виде изложены основные вопросы тео-

рии вероятностей. Кроме необходимого теоретического материала

рассмотрено много примеров.

Пособие ориентировано на студентов всех специальностей, изу-

чающих теорию вероятностей, а также магистрантов и аспирантов.

Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и

газа имени И.М. Губкина.

Мельникова И.Н.,

Фастовец Н.О., 2017

РГУ нефти и газа (НИУ)

имени И.М. Губкина, 2017

3

Содержание

Введение ........................................................................................................ 4

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ .................................................... 9

2. СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ............................................ 15

3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ................................. 19 4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . 26 5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА . 31 6. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ .. 34 7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ................................................................ 40 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН . 47 9. ОСНОВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ........................ 53 10. ОСНОВНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .................. 59 11. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ .................................. 67 12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙ-

НЫХ ВЕЛИЧИН ......................................................................................... 76 13. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ................................. 86 14. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ .............................................................. 89 Таблицы ........................................................................................................ 94 Литература .................................................................................................... 99

4

Введение

Теория вероятностей по своей сути

есть не более чем здравый смысл, све-

дённый к исчислению: эта теория поз-

воляет нам оценить с точностью то, что

точные умы чувствуют своим инстинк-

том, который часто не осознают.

П. Лаплас

Ценность теории вероятностей ос-

нована на том факте, что случайные яв-

ления, рассмотренные совокупно и в

больших масштабах, создают неслу-

чайный порядок.

А.Н. Колмогоров

При исследовании различных задач (физических, техниче-

ских, экономических и т.п.) часто приходится встречаться с явле-

ниями особого типа, которые принято называть случайными.

Случайное явление отличается от детерминированного тем, что

при выполнении в точности всех условий проведения экспери-

мента невозможно добиться заранее определенного результата.

Теория вероятностей – это математическая дисциплина, кото-

рая занимается изучением закономерности в случайных явле-

ниях.

В создание теории вероятностей в той или иной мере внесли

вклад многие ученые. Первая печатная работа, посвященная слу-

чайности, «Книга об азартных играх» была написана итальян-

ским ученым Д. Кардано (1501−1576). В ней автор, в частности,

нашел вероятности появления определенного числа очков при

бросании игральных костей. Кардано первым начал присваивать

событию, исход которого неизвестен, число в интервале от 0 до 1,

принимая во внимание общее число исходов и число благоприят-

ных исходов. Любопытно, что книга начинается с поучений о

5

вреде азартных игр. Другой итальянский ученый Г. Галилей

(1564−1642) также посвятил вероятности трактат под названием

«Рассуждение об игре в кости».

И все же считается, что теория вероятностей родилась в пере-

писке между Б. Паскалем (1623−1662) и П. Ферма (1601−1665),

которые пытались решить задачи, предложенные Паскалю про-

фессиональным игроком в кости и карты шевалье де Мере

(1607−1684).

Ферма и Паскаль никогда лично не встречались (Ферма жил в

Тулузе, а Паскаль – в Париже), но благодаря их совместным уси-

лиям были заложены основы теории вероятностей. В результате

переписки двух гениев появился целый ряд работ. В частности,

был опубликован написанный Паскалем «Трактат об арифмети-

ческом треугольнике», один из важнейших трудов по комбинато-

рике.

Голландский ученый Х. Гюйгенс (1629−1695) развил идеи

Паскаля и Ферма в книге «О расчетах при азартных играх». В ней

он объясняет понятие «математического ожидания» на примере

переменной, принимающей конечное множество значений.

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с

работами Я. Бернулли (1654−1705). Его труд «Искусство пред-

положений» является продолжением работ Гюйгенса. Здесь Бер-

нулли доказывает закон больших чисел и вводит понятие довери-

тельного интервала. Еще один важный результат, полученный

Бернулли, касается многократных бросаний несимметричной мо-

неты (биномиальный закон распределения).

Выдающимся ученым, сделавшим большой вклад в развитие

теории вероятностей, был А. Муавр (16671754). Он родился во

Франции, но из-за религиозных преследований (Муавр был гуге-

нотом) вынужден был переехать в Англию, где подружился с

Ньютоном. Муавр развил идеи Гюйгенса и Бернулли, однако ис-

пользовал при этом методы анализа бесконечно малых, который

6

зарождался в то время. Муавр вывел важную формулу, которая

устанавливает связь биномиального распределения Бернулли с

нормальным распределением.

Французский математик П. Лаплас (1749−1827) впервые дал

стройное изложение основ теории вероятностей, ему принадле-

жит доказательство одной из форм центральной предельной тео-

ремы (теоремы Муавра−Лапласа). Лаплас развил ряд замечатель-

ных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в

частности, к анализу ошибок измерений.

Значительный вклад в развитие теории вероятностей внес-

ли К. Гаусс (1777−1855) и С. Пуассон (1781−1840). Гаусс дал

обоснование нормальному закону и разработал метод обработки

экспериментальных данных, известный под названием «метод

наименьших квадратов». Пуассон доказал более общую, чем у

Бернулли, формулировку закона больших чисел, впервые приме-

нил теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассо-

на связан один из законов распределения, играющий большую

роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Практически все основные идеи современной теории вероят-

ностей берут своё начало в нашей стране и связаны со знамени-

той Петербургской математической школой, трудами которой

теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и

математическую основу. Автором первого учебника по теории

вероятностей на русском языке является известный русский ма-

тематик В.Я. Буняковский (1804−1889). Он же создал первую

русскую терминологию в теории вероятностей. В.Я. Буняковско-

му принадлежат оригинальные исследования в области статисти-

ки и демографии.

Учеником В.Я. Буняковского был великий русский математик

П.Л. Чебышев (1821−1894). Его работы по теории вероятностей

являются базисом, на котором выросла русская школа теории ве-

роятностей, вначале состоявшая из его непосредственных учени-

7

ков. П.Л. Чебышев ввел в рассмотрение случайные величины и

создал новый прием доказательства предельных теорем теории

вероятностей – так называемый метод моментов.

Исследования П.Л. Чебышева были продолжены его ученика-

ми А.А. Марковым (1856-1922) и А.М. Ляпуновым (1857-1918).

А.А. Марков расширил область применения закона больших чи-

сел и центральной предельной теоремы. Он же заложил основы

совершенно новой ветви теории вероятностей – теории случай-

ных или «стохастических» процессов. А.М. Ляпунов, обобщая

исследования П.Л. Чебышева и А.А. Маркова, доказал централь-

ную предельную теорему при значительно более общих услови-

ях, чем его предшественники.

В 1850 году профессор А.Ю. Давыдов (1823-1886) прочитал

первый курс лекций по теории вероятностей в Московском уни-

верситете. А начало современного периода в развитии теории ве-

роятностей было положено исследованиями А.Я. Хинчина

(1894−1959), в частности, в области предельных теорем и так

называемых стационарных случайных процессов. А.Я. Хинчин

широко использовал методы и результаты теории вероятностей в

статистической физике. Им разработаны математические методы

теории массового обслуживания. В 1926 г. А.Я. Хинчин прочитал

специальный курс по теории вероятностей, слушателями которо-

го были А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов, В.И. Гливенко.

А.Н. Колмогоров (1903−1987) в 1933 году на основе теории

множеств и теории меры дал наиболее совершенное аксиомати-

ческое построение теории вероятностей. Он развил теорию ста-

ционарных процессов, ветвящихся процессов, внес важный вклад

в теорию информации. А.Н. Колмогорову принадлежат исследо-

вания по теории стрельбы, статистическим методам контроля

массовой продукции, применениям математических методов в

биологии, математической лингвистике.

8

Большой вклад в развитие современной теории вероятностей

внесли В.А. Гливенко, Б.В. Гнеденко, Е.Б. Дынкин, Я.Г. Синай,

французские математики Э. Борель, П. Леви, шведский матема-

тик Г. Крамер, австрийский математик Р. Мизес, американские

математики Н. Винер, В. Феллер и многие другие.

Два столетия назад Лаплас сказал: «Замечательно, что наука,

которая началась с рассмотрения азартных игр, стала важнейшим

объектом человеческого знания». И сегодня смысл этой фразы

стал еще очевиднее. На базе аппарата теории вероятностей по-

явились такие дисциплины, как математическая статистика, тео-

рия случайных процессов, теория массового обслуживания, тео-

рия надёжности, теория телетрафика и др. В них теория вероят-

ностей расширяется и применяется к различным моделям и ситу-

ациям.

9

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Правило умножения

Если первый объект можно выбрать n способами, а после

каждого такого выбора второй объект можно выбрать m способа-

ми, то оба объекта можно выбрать n m способами. Это правило

распространяется на любое конечное число объектов.

ПРИМЕР 1. Сколько существует наборов, состоящих из одной

буквы и одной цифры, если буква выбирается из множества

, , ,A B C D , а цифра − из множества 1,2,3 ?

Решение. Букву (первый объект) можно выбрать 4 способа-

ми, а после выбора буквы цифру (второй объект) можно выбрать

3 способами. По правилу умножения всего наборов 4 3 12

( 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3)A A A B B B C C C D D D .■

ПРИМЕР 2. Сколько существует четырехзначных чисел, крат-

ных пяти?

Решение. Так как первая цифра не может быть нулем, то ее

можно выбрать 9 способами. После выбора первой цифры, вто-

рую можно выбрать 10 способами, после выбора первых двух

цифр третью можно выбрать 10 способами, и, наконец, после вы-

бора первых трех цифр для четвертой имеем всего 2 возможности

(0 или 5). По правилу умножения получаем, что всего четырех-

значных чисел, кратных пяти, 9 10 10 2 1800 .■

ПРИМЕР 3. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими

способами можно подняться в гору и спуститься с нее (при усло-

вии, что подъем и спуск происходят по разным тропинкам)?

Решение. Для подъема на вершину можно выбрать любую из

пяти тропинок. После выбора тропинки в гору, для спуска оста-

10

ется всего четыре варианта (нельзя подниматься и спускаться по

одной и той же тропинке). Используя правило умножения, полу-

чаем: 5 4 20 способов.■

Правило сложения

Если первый объект можно выбрать n способами, а второй

объект − m способами, причем первые и вторые способы не пере-

секаются, то любой из объектов (первый или второй) можно вы-

брать n+m способами. Это правило можно распространить на

любое конечное число объектов.

ПРИМЕР 4. Сколько существует наборов, состоящих из одной

буквы или одной цифры, если буква выбирается из множества

, , ,A B C D , а цифра − из множества 1,2,3 ?

Решение. По правилу сложения всего наборов: 4 3 7

( , , , ,1,2,3)A B C D .■

Размещения без повторений

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Размещениями без повторений из n элементов по k элементов

будем называть упорядоченные наборы, состоящие из k различ-

ных элементов данного множества. Размещения отличаются друг

от друга или составом или порядком расположения элементов.

Число размещений без повторений из n элементов по k обо-

значается knA (от французского слова «arrangement», что означает

«размещение») и находится по формуле:

!( 1) ( 2) ( 1)

( )!

kn

nA n n n n k

n k

11

ПРИМЕР 5. Для множества , , ,A B C D найти число размеще-

ний без повторений по 2 элемента.

Решение. Всего размещений 24 4 3 12A . Запишем все

размещения: АВ, АС, АD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC.■

ПРИМЕР 6. Восемь гимнастов разыгрывают золотую, серебря-

ную и бронзовую медали. Сколькими способами эти медали мо-

гут быть распределены между спортсменами?

Решение. Пронумеруем гимнастов номерами от 1 до 8. Бу-

дем считать, что каждый спортсмен может завоевать не более од-

ной медали. Очевидно, «призовые тройки» могут отличаться со-

ставом и порядком следования номеров. Число всех способов

распределения медалей совпадает с числом размещений без по-

вторений из 8 элементов по 3, то есть 38 8 7 6 336A .

Можно было воспользоваться правилом умножения: золотую

медаль может получить любой из 8 гимнастов, серебряную – лю-

бой из оставшихся 7 гимнастов, бронзовую – любой из оставших-

ся 6 гимнастов. Всего способов: 8 7 6 336 .■

Перестановки

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановками называются упорядоченные наборы, в которые

входят все n элементов исходного множества. Перестановки от-

личаются друг от друга только порядком расположения элемен-

тов.

Число перестановок из n элементов обозначается nP (от фран-

цузского слова «permutation», что означает «перестановка») и

находится по формуле:

!nP n

12

Заметим, что перестановки – это частный случай размещений

без повторений, когда k n , то есть nn nP A .

ПРИМЕР 7. Для множества , ,A B C указать все перестановки.

Решение. АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА. Как видно, всего

перестановок: 3 3! 6P .■

Размещения с повторениями

Пусть дано n различных видов элементов. Размещениями с

повторениями из n видов элементов по k элементов будем

называть упорядоченные наборы, состоящие из k элементов, при

этом могут выбираться элементы одного и того же вида. Разме-

щения отличаются друг от друга или составом или порядком рас-

положения элементов.

Число размещений с повторениями из n видов элементов по k

элементов обозначается knA и находится по формуле

k knA n

ПРИМЕР 8. Даны два вида элементов А и В. Выписать все раз-

мещения по 3 элемента.

Решение. ААА, ААВ, АВА, ВАА, АВВ, ВАВ, ВВА, ВВВ. Всего

размещений: 3 32 2 8A .■

ПРИМЕР 9. Четыре человека вошли в лифт на первом этаже

семиэтажного дома. Сколькими способами они могут выйти из

лифта?

Решение. Каждый из четырех пассажиров может выйти на

любом из шести этажей (со второго по седьмой). Каждому вари-

анту выхода из лифта всех четырех пассажиров соответствует

13

строка длины 4, состоящая из номеров этажей (первый номер со-

ответствует этажу, на котором вышел первый пассажир, второй

номер – этажу, на котором вышел второй пассажир и т.д.). Так

как этажи могут повторяться, то мы имеем дело с размещениями

с повторениями из 6 видов элементов по 4 элемента. Всего спо-

собов: 4 46 6 1296A .■

Сочетания

Пусть имеется множество из n различных элементов. Соче-

таниями из n элементов по k называются подмножества, состо-

ящие из k различных элементов данного множества. Любые два

сочетания отличаются друг от друга только составом элементов

(порядок здесь не важен).

Число сочетаний из n элементов по k обозначается knC (от

французского слова «combinaison», что означает «сочетание») и

находится по формуле

!

!( )!

kn

nС

k n k

ПРИМЕР 10. Для множества 1;2;3;4 выписать все сочетания

по 3 элемента и определить их число.

Решение. Всего сочетаний из 4 элементов по 3: 34

4!4

3! 1!С

(123, 124, 134, 234).■

ПРИМЕР 11. В ящике 25 деталей, в том числе 5 бракованных.

Сколькими способами можно выбрать четыре детали? Сколькими

способами можно выбрать четыре детали так, чтобы среди них

было 2 бракованных?

14

Решение. В первом случае нас интересуют все «четверки»,

отличающиеся друг от друга только составом (порядок здесь не

важен). Всего деталей 25. Следовательно, общее число таких

«четверок»: 425

25!12650

4! 21!С

.

Во втором случае нам нужны все «четверки», состоящие из

двух качественных и двух бракованных деталей. Всего каче-

ственных деталей 20, выбрать из них 2 детали можно

220

20!190

2! 18!C

способами. Две бракованные детали из пяти

можно выбрать 25

5!10

2! 3!C

способами. По правилу умноже-

ния всего способов выбрать две бракованные и две качественные

детали: 190 10 1900 .■

ПРИМЕР 12. Сколькими способами можно рассадить 8 чело-

век в 2 автомобиля при условии, что в каждом автомобиле долж-

но быть не менее трех человек?

Решение. Возможны следующие варианты: либо в каждом

автомобиле по 4 человека, либо в первом автомобиле − 3 челове-

ка, а во втором – 5 (или в первом − 5, а во втором − 3). То есть

всего способов:

4 38 8

8! 8!2 2 182

4! 4! 3! 5!C С

.■

Замечание. Справедливы формулы:

k n kn nС С , 1 1n

n nС С n .

Замечание. Из любого неупорядоченного набора, состояще-

го из k различных элементов, можно сделать k! упорядоченных

наборов, то есть !k kn nА k C .

15

2. СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Будем считать фиксированным некоторый комплекс условий

S, при котором проводится эксперимент.

Случайным событием называется такой исход опыта, кото-

рый может произойти или не произойти при данном комплексе S.

События обозначаются А, В, С…

Событие называется достоверным, если оно всегда происхо-

дит при данном комплексе S. Обозначение .

Событие называется невозможным, если при данном ком-

плексе S оно не может наступить. Обозначение .

Событие А называется частным случаем В (событие А влечет

за собой событие В), если при наступлении события А наступает

и событие В. Обозначение А В .

События А и В называются равными, если А В и В А .

Обозначение А В .

Суммой событий А и В называется событие С А В (или

С А В ), которое происходит тогда и только тогда, когда про-

исходит хотя бы одно из событий А и В (или А, или В, или оба со-

бытия А и В).

Произведением событий А и В называется событие С АВ

(или С А В ), которое происходит тогда и только тогда, когда

происходят оба события А и В.

Разностью событий А и В называется событие С А В

(или \С А В ), которое происходит тогда и только тогда, когда

событие А происходит, а событие В не происходит.

Событие, которое происходит тогда, когда событие А не про-

исходит, называется событием, противоположным событию А.

Обозначение А .

16

События А и В называются несовместными, если появление

одного из них исключает появление другого, то есть АВ .

События 1 2, ,..., nА А А называются попарно-несовместными,

если любые два из них несовместны, то есть i jА А ( )i j .

События 1 2, ,..., nА А А образуют полную группу, если в резуль-

тате каждого эксперимента происходит хотя бы одно из них, то

есть 1 2 ... nА А А .

События 1 2, ,..., nА А А образуют полную группу попарно-

несовместных событий, если 1 2 ... nА А А и i jА А

( )i j .

ПРИМЕР 1. В урне 8 шаров, пронумерованных числами от 1 до

8. Наудачу вынимается один шар. Рассмотрим события: А – появ-

ление шара с номером 6, В – появление шара с четным номером,

С – появление шара с нечетным номером, D – появление шара с

номером, кратным трем, Н − появление шара с номером от 1 до 8,

К – появление шара с номером 10, F – появление шара с номе-

ром, являющимся положительной степенью двойки. Тогда для

указанных событий имеем:

Н − достоверное событие, то есть Н ;

К – невозможное событие, то есть К ;

А В (событие А является частным случаем события В);

А С ( ,А С − несовместные события);

В D А (событие В D − появление шара с четным номером,

кратным трем, то есть появление шара с номером 6 (это событие

А));

\D A C (событие \D A − появление шара с номером 3 −

частный случай события C);

С В (события С и В − противоположные);

17

С D F (события , ,С D F образуют полную группу со-

бытий, так как в результате эксперимента хотя бы одно из них

произойдет; заметим, что среди событий , ,С D F есть совмест-

ные);

А С F ( , ,A С F образуют полную группу попарно-

несовместных событий, то есть в результате любого эксперимен-

та произойдет ровно одно из этих событий).■

ПРИМЕР 2. Электрические цепи составлены по указанным

схемам. События iА − элемент с номером i вышел из строя

( 1,2,3)i . Событие В – разрыв цепи. В обоих случаях выразить

события В и В через события iА и iА .

Решение. 1. Для разрыва первой

цепи, достаточно, чтобы из строя вы-

шел хотя бы один из элементов, то

есть 1 2 3В А А А . Разрыва не бу-

дет, если все элементы будут рабо-

тать безотказно, таким образом

1 2 3В А А А .

2. Разрыв второй цепи произойдет, если из строя выйдут все

элементы, то есть 1 2 3В А А А . Разрыва не будет, если будет ра-

ботать хотя бы один элемент, значит 1 2 3В А А А .■

ПРИМЕР 3. У телефонного номера забыта последняя цифра и

набирается наугад. Событие iА − правильный набор цифры при i-

й попытке. Записать с помощью событий iА и iА события: А –

придется звонить пять раз, В – потребуется не более трех попы-

ток.

Решение. Для событий А и В имеем

1 2 3 4 5А A A A A А , 1 1 2 1 2 3В A A A A A A .■

1 2 3

1

2

3

18

Случайные события удобно изображать с помощью диаграмм

Эйлера-Венна. Прямоугольник соответствует достоверному со-

бытию , а круги – случайным событиям А и В.

Свойства операций над событиями

1. A B B A , A B B A .

2. ( )A B C AC BC .

3. ( ) ( )A B C A B C .

4. A A A , A A A .

5. A , A A .

6. A А , A А .

7. , , А А .

8. А В А В .

9. А В А В , А В А В (законы де Моргана).

А

ВВ

А

А В АВ

АВ

АВ

А

А В

А ВА В

ВА

В

А

В

А

19

3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

Аксиоматическое определение вероятности

Пространством элементарных событий будем называть

произвольное множество , элементы которого называются

элементарными событиями (исходами). Обозначение .

На практике пространство элементарных событий – это мно-

жество всех несовместных исходов эксперимента.

Пусть F – некоторое семейство подмножеств . Элементы F

будем называть случайными событиями.

Множество F называется алгеброй множеств, если выпол-

няются следующие условия:

1. F содержит само множество элементарных событий ,

называемое достоверным событием, и , называемое невоз-

можным событием.

2. Если А F и В F , то их объединение А В (или А В ),

пересечение А В (или АВ ) и разность \А В (или А В ) также

принадлежат F.

Отсюда следует, что, если А F , то \А А F .

Аксиомы:

I. Множество F является алгеброй множеств.

II. Каждому множеству (случайному событию) А из F ставит-

ся в соответствие неотрицательное число ( )Р А , которое называ-

ется вероятностью события А.

III. ( ) 1Р .

IV.

1 1

( )

n n

i i

i i

Р A P A

, если , ( )i i jА F i A A i j .

20

V. Если 1 2 ... ...nА А А и 1

n

n

A

, где nА F n , то

lim ( ) 0nn

P A

(аксиома непрерывности).

Полем вероятностей (вероятностным пространством)

будем называть совокупность объектов ( , ,F P ), удовлетворяю-

щую аксиомам I−V.

Из аксиом I−V следует, что

1. ( ) ( ) 1Р А Р А .

►Действительно, А А и АА , тогда по аксиомам III и

IV получаем 1 ( ) ( ) ( ) ( )Р Р А А Р А Р А .◄

2. ( ) 0Р .

3. 0 ( ) 1Р А для любого события А.

4. ( ) ( )Р А Р В , если А В .

►Так как А В , то В А АВ и ( ) ( ) ( )Р В Р А Р АВ . Но

( ) 0Р АВ , следовательно, ( ) ( )Р В Р А .◄

Классическое определение вероятности

События 1 2, ,..., nА А А называются равновозможными, если

при реализации комплекса условий S каждое них имеет равные

шансы наступить.

Пусть − конечное пространство попарно несовместных

равновозможных элементарных исходов (событий) 1 2, ,..., n .

Вероятностью (классическое определение) любого события

А называется отношение числа m элементарных исходов, благо-

приятствующих событию А, к общему их числу n

( )m

P An

21

Свойства классической вероятности:

1. ( ) 0P A для любого события А.

2. ( ) 1P , так как m n .

3. ( ) 0P , так как 0m .

4. Если А и В несовместны, то ( ) ( ) ( )P A B P A P B .

ПРИМЕР 1. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Найти вероят-

ность того, что наудачу извлеченный шар окажется белым (собы-

тие А).

Решение. Всего элементарных событий 8 (любой шар может

быть извлечен из урны). Событие А произойдет, если будет из-

влечен любой из трех белых шаров, то есть 3m . Итак,

3( )

8

mP A

n .■

ПРИМЕР 2. В урне 4 красных, 3 желтых и 2 зеленых шара.

Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятности того, что:

а). оба шара красного цвета (событие А);

б). один из шаров красный, другой – зеленый (событие В);

в). оба шара одного цвета (событие С).

Решение. Сначала найдем число всех элементарных событий

n . Всего шаров 9, а число способов выбрать 2 шара из 9 равно

29С , то есть 2

9

9!36

2! 7!n С

.

а). Число Am элементарных событий, благоприятствующих

событию А, равно числу способов выбрать 2 красных шара из 4

красных, то есть 24 6Am С . Итак,

6 1( )

36 6

AmP A

n .

б). Чтобы найти Bm воспользуемся правилом умножения: вы-

брать 1 красный шар можно 4 способами, а 1 зеленый – 2 спосо-

22

бами, тогда красный и зеленый шар можно выбрать 4 2 8 спо-

собами, то есть 8Bm . Следовательно, 8 2

( )36 9

BmP В

n .

в). Найдем Cm . Событие С произойдет, если оба шара будут

красного цвета, или оба желтого цвета, или оба зеленого. Вы-

брать 2 красных шара из 4 красных можно 24 6С способами, 2

желтых из 3 желтых − 23 3С способами, 2 зеленых из двух зеле-

ных – одним способом. По правилу сложения общее число эле-

ментарных событий, благоприятствующих событию С, равно

6 3 1 10Cm . Итак, 10 5

( )36 18

CmP С

n .■

ПРИМЕР 3. Семь карточек с буквами А, А, А, Б, Б, Р, Н, пере-

мешивают и выкладывают случайным образом. Найти вероят-

ность того, что получится слово «БАРАБАН» (событие С).

Решение. Пронумеруем повторяющиеся буквы: А1, А 2 , А 3 ,

Б1, Б 2 , Р, Н. Число всех элементарных событий (всех возможных

«слов») равно числу перестановок из семи элементов, то есть

7 7!n Р

Слово «БАРАБАН» можно получить несколькими способами,

которые отличаются друг от друга только порядком следования

букв А1,А 2 ,А 3 и Б1,Б 2 :

Б1А1РА 2 Б 2 А 3 Н, Б1А 2 РА1Б 2 А 3 Н, Б1А 3 РА1Б 2 А 2 Н, …

Так как буквы А1,А 2 ,А 3 можно переставить 3! способами, а

буквы Б1,Б 2 − 2! способами, то по правилу умножения переста-

вить буквы А и Б можно 3! 2! способами, то есть 12m .

Следовательно, 12 1

( )7! 420

mР С

n .■

23

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности основано на том, что

число всех возможных равновероятных исходов конечно.

Геометрическая вероятность – это

обобщение классического определения

вероятности на случай бесконечного

числа равновозможных исходов.

Пусть область g лежит в области G . В области G наудачу

выбирается точка. Вероятность того, что точка попадет в область

g , пропорциональна мере области g и не зависит от ее формы и

ее расположения. То есть для события A (попадание точки в об-

ласть g ) имеем

мера ( )

мера

gР А

G

Здесь «мера» означает либо длину, если G − часть прямой или

кривой линии, либо площадь, если G − часть плоскости, либо

объем, если G − часть пространства.

Геометрическая вероятность имеет те же свойства, что и клас-

сическая вероятность.

ПРИМЕР 4. В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероят-

ность того, что наудачу выбранная в круге точка окажется внутри

квадрата (событие А).

Решение. Искомая вероятность равна от-

ношению площади квадрата к площади круга:

2квадрата

2круга

2 2( )

S R

S RP A

.■

gG

24

ПРИМЕР 5. Какова вероятность того, что корни квадратного

уравнения 2 0x рx q будут действительными числами, если

коэффициенты p и q уравнения выбираются наудачу на отрезке

[0;1]?

Решение. Будем считать, что пара чисел ( , )p q − это коорди-

наты точки, принадлежащей квадрату с вершинами (0;0), (0;1),

(1;1), (1;0) (этот квадрат и есть множество G). Пусть событие А –

корни уравнения действительны. Тогда событие А произойдет,

если ( , )p q попадет в область g , для точек ко-

торой выполняется условие 2 4q p . То есть

1 2

13

0

0

4 1( )

1 12 12

g

G

pdp

S pP A

S

.■

Статистическое определение вероятности

Пусть некоторый эксперимент проведен в одних и тех же

условиях 1n раз, при этом некоторое событие А произошло 1m

раз. Отношение 1

1

m

n называется относительной частотой со-

бытия А в данной серии испытаний.

Пусть во второй серии испытаний относительная частота со-

бытия А − 2

2

m

n, в третьей − 3

3

m

n и т. д.

Для многих явлений относительные частоты появления рас-

сматриваемого события мало отличаются друг от друга, то есть

обладают устойчивостью:

31 2

1 2 3

...mm m

n n n ,

где 1n , 2n , 3n ,… − достаточно большие числа.

p

q

O 1

g1 4

1

25

Если, например, известно, что некоторое предприятие произ-

водит 95% высококачественных изделий, то это означает, что из

каждых 100 изделий в среднем 95 высокого качества. В отдель-

ных случаях изделий высокого качества может быть 93, 94 или 96

из 100, изредка существенно меньше или больше, чем 95, но в

среднем процент высококачественных изделий будет неизмен-

ным при сохранении условий производства.

Приведем ставшие классическими результаты экспериментов

с бросанием монеты:

Экспериментатор Число бросаний Число

выпадений герба

Относительная

частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 12000 6019 0,5046

Пирсон 24000 12012 0,5005

Как видно, относительные частоты появления герба мало от-

личаются друг от друга и группируются около 0,5.

Итак, если случайный эксперимент обладает статистической

устойчивостью, то относительные частоты события А мало от-

клоняются от некоторой постоянной величины, которая является

объективной количественной характеристикой случайности.

Статистическая вероятность события А при большом

числе испытаний приближенно равна относительной частоте по-

явления события А или величине, близкой к частоте, то есть

( )m

Р Аn

.

Статистическая вероятность имеет те же свойства, что и клас-

сическая вероятность.

26

4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема сложения вероятностей

Для произвольных случайных событий А и В справедлива

теорема сложения вероятностей

( ) ( ) ( ) ( )Р А В Р А Р В Р АВ

►Доказательство. Так как А В А АВ и В АВ АВ , а собы-

тия в правых частях обоих равенств несовместны, то

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )Р А В Р А Р АВ Р В Р АВ Р АВ ,

откуда

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Р А В Р А Р АВ Р А Р В Р АВ .◄

Для трех случайных событий А, В, С справедлива формула

( ) ( ) ( ) ( )Р А В С Р А Р В Р С

( ) ( ) ( ) ( ).Р АВ Р АС Р ВС Р АВС

Если события несовместны, то

( ) ( ) ( )Р А В Р А Р В , ( ) ( ) ( ) ( )Р А В С Р А Р В Р С .

ПРИМЕР 1. В группе 25 студентов, 15 из них знают англий-

ский язык, 10 – французский, а 5 студентов знают и английский и

французский. Найти вероятность того, что наудачу выбранный

студент знает хотя бы один из указанных языков.

Решение. Пусть событие А − студент знает английский язык,

событие В − студент знает французский язык, тогда

15 10 5

( ) 0,6; ( ) 0,4; ( ) 0,225 25 25

Р А Р В Р АВ ,

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 0,2 0,8Р А В Р А Р В Р АВ .■

27

Условная вероятность

Вероятность наступления события А при условии, что собы-

тие В произошло, называется условной вероятностью и нахо-

дится по формуле

( )( )

( )

Р АВР А В

Р В

ПРИМЕР 2. Бросаются две игральные кости. Найти вероят-

ность того, что на обеих костях выпадет равное число очков при

условии, что суммарное число очков меньше 5.

Решение. Пространство элементарных исходов состоит из 36

элементов: (1,1),(1,2),(1,3),..., (6,6) .

Рассмотрим события: А − на обеих костях выпало равное чис-

ло очков, В – суммарное число очков меньше 5. Запишем элемен-

тарные исходы, благоприятствующие событиям А, В, АВ, и

найдем соответствующие вероятности:

А={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},

В={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1)},

AB={(1,1),(2,2)},

2 1( )

36 18P AB ,

6 1( )

36 6P B ,

( ) 1( )

( ) 3

Р АВP А В

Р В .■

Теорема умножения вероятностей

Из формулы для условной вероятности следует теорема

умножения вероятностей

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Р АВ Р А Р В А Р В Р А В

Для n случайных событий 1A , 2A , …, nA имеем

1 2 1 2 1 11( ) ( ) ( ) ( )n n nР А A A Р А Р A А Р A А A .

28

Независимые события

События А и В называются независимыми, если появление

одного из них не влияет на вероятность появления второго, то

есть

( ) ( )Р А В Р А , ( ) ( )Р В А Р В

(условные вероятности совпадают с безусловными).

Таким образом, если события А и В независимы, то

( ) ( ) ( )Р АВ Р А Р В .

Верно и обратное утверждение: если ( ) ( ) ( )Р АВ Р А Р В , то

события А и В независимы.

События 1A , 2A , …, nA называются независимыми в сово-

купности, если вероятность каждого из них не зависит от осу-

ществления или неосуществления любого числа остальных собы-

тий.

Для независимых событий 1A , 2A , …, nA имеем

1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nР А A A Р А Р А Р А Р A .

ПРИМЕР 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из урны 3 раза

извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что все изъ-

ятые шары − белые. Рассмотреть два случая: а). шары извлекают-

ся без возвращения; б). с возвращением.

Решение. а). Рассмотрим случай, когда шары не возвраща-

ются в урну. Пусть события iА − i-й шар белый ( 1,2,3i ), собы-

тие А − все три шара белые. Тогда для события А имеем

1 2 3А А А А . Заметим, что события 1А , 2А , 3А зависимы, так как

наступление события 1А влияет на вероятность события 2А (по-

сле наступления события 1А в урне останется 5 шаров, из кото-

рых 3 белых), а наступление событий 1А и 2А влияет на вероят-

29

ность события 3А (после наступления событий 1А и 2А в урне

останется 4 шара, из которых 2 белых). Таким образом,

1 2 3 1 2 1 3 1 2

4 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,2

6 5 4Р А Р А А А Р А Р А А Р А А A .

б). В случае, когда каждый раз извлеченный шар возвращает-

ся в урну, события 1 2 3, ,А А А независимы. Поэтому

1 2 3 1 2 3

4 4 4 8( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 6 6 27Р А Р А А А Р А Р А Р А .■

ПРИМЕР 4. 9 карточек с буквами Р, Е, Г, Р, Е, С, С, И, Я пе-

ремешивают. Случайным образом извлекают 3 карточки (по од-

ной) и выкладывают их в порядке появления. Найти вероятность

того, что получится слово «РИС» (событие В).

Решение. Рассмотрим события: 1А − первой оказалась кар-

точка с буквой Р, 2А − второй появилась буква И, 3А − третьей

появилась буква С. Тогда для события В имеем

1 2 3В А А А (события 1 2 3, ,А А А − зависимы),

1 2 1 3 1 2

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )

9 8 7 126Р В Р А Р А А Р А А А .■

ПРИМЕР 5. Из колоды карт (36 штук) извлекают одну карту.

Зависимы ли события А и В, где событие А − извлечен туз, собы-

тие В − извлечена карта красной масти?

Решение. Так как в колоде всего 4 туза и 18 карт красной ма-

сти, то

4 1 18 1( ) , ( )

36 9 36 2Р А Р В .

Событию АВ (извлечен туз красной масти) благоприятствуют

2 элементарных исхода, так как всего два туза красной масти, по-

этому

30

2 1( )

36 18Р АВ .

Так как ( ) ( ) ( )Р АВ Р А Р В , то события А и В независимы.■

Замечание. При вычислении вероятности суммы событий

иногда удобно перейти к противоположному событию

1 2 1 2 1 2( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ... )n n nP A A A P A A A P A A A .

ПРИМЕР 6. Вероятность попадания в мишень для первого

стрелка равна 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Стрелки

делают по одному выстрелу. Найти вероятности событий: А – по-

падут ровно два стрелка, В − попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Рассмотрим события: iА − i-й стрелок попал

( 1,2,3i ), тогда

1 2 3 1 2 3 1 2 3А А А А А А А А А А .

Так как слагаемые являются несовместными событиями, а

множители в слагаемых независимы, то

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А

0,7 0,6 0,2 0,7 0,4 0,8 0,3 0,6 0,8 0,452.

Для события В имеем

1 2 3В А А А .

Здесь слагаемые являются совместными событиями, поэтому

удобно перейти к противоположному событию В (никто не по-

пал), для которого

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4 0,2 0,024В А А А Р В Р А Р А Р А .

Окончательно получаем

( ) 1 ( ) 1 0,024 0,976Р В Р В .■

31

5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Формула полной вероятности

Пусть события 1 2, ,..., nH H H образуют полную группу попар-

но несовместных событий 1

, ( )n

i i j

i

H H H i j

. И

пусть событие А может наступить только с одним из этих собы-

тий. Тогда справедлива формула полной вероятности

1

( ) ( ) ( )

n

i i

i

Р А P H P A H

1

( ) 1

n

i

i

P H

►Так как 1 2 1 2( ... ) ...n nА А А Н Н Н AH AH AH ,

то из несовместности событий, стоящих в правой части, и теоре-

мы умножения вероятностей получаем

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nР А Р Н А Р Н А Р Н A

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ).n nP H P A H P H P A H P H P A H ◄

События 1 2, ,..., nH H H называются гипотезами, а вероятно-

сти 1( ),..., ( )nP H P H называются априорными.

ПРИМЕР 1. В первой урне 4 белых и 3 черных шара, во вто-

рой – 2 белых и 3 черных. Из каждой урны случайным образом

удалили по одному шару, а оставшиеся шары переложили в тре-

тью пустую урну. Из третьей урны наудачу извлекают один шар.

Какова вероятность того, что он белый?

Решение. Пусть событие А − шар, извлеченный из третьей

урны, белый. Вероятность этого события зависит от того, какие

шары были удалены из урн.

32

Рассмотрим следующие гипотезы:

1Н − из обеих урн удалили по белому шару,

2Н − из обеих урн удалили по черному шару,

3Н − удалили 1 белый и 1 черный шар.

Найдем ( )iP H и ( )iP А H :

1 1

2 2

3 3

4 2 8 4( ) , ( ) ;

7 5 35 10

3 3 9 6( ) , ( ) ;

7 5 35 10

4 3 3 2 18 5( ) , ( ) .

7 5 7 5 35 10

P H P A H

P H P A H

P H P A H

Применяя формулу полной вероятности, получаем:

3

1

8 4 9 6 18 5 88( ) ( ) ( )

35 10 35 10 35 10 175i i

i

P A P H P A H

.■

Формула Байеса

Если событие А произошло, то априорные вероятности

( ) ( 1,2,... )iP H i n следует «переоценить». Найти вероятности

( ) ( 1,2,..., )iP H A i n , которые называются апостериорными,

можно по формуле Байеса

1

( ) ( )( )

( ) ( )

i ii n

i i

i

P H P A HP H A

P H P A H

1

( ) 1

n

i

i

P H A

Например, пусть 1 2, ,..., nH H H − возможные виды заболева-

ний в некотором регионе в определенное время года. Вероятно-

сти 1 2( ), ( ), ..., ( )nP H P H P H дают представление о частоте этих

заболеваний. И если к врачу приходит пациент с симптомами А,

33

то имеет смысл рассматривать вероятности 1( ),P H A 2( )P H A ,...

( )nP H A , которые дают представление о частоте заболеваний

при данных симптомах.

►Докажем формулу Байеса. Используя определение условной

вероятности, теорему умножения вероятностей и формулу пол-

ной вероятности, получаем

1

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

i i ii n

i i

i

P H A P H P A HP H A

P AP H P A H

.◄

ПРИМЕР 2. Известно, что 95% выпускаемой продукции удо-

влетворяет стандарту. Упрощенная схема проверки признает при-

годной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартная, и с

вероятностью 0,06, если она нестандартная. Найти вероятность

того, что изделие, прошедшее проверку, является стандартным.

Решение. Пусть событие А − изделие прошло проверку. Рас-

смотрим гипотезы: 1Н − изделие стандартное, 2Н − изделие не-

стандартное, тогда

1 1

2 2

( ) 0,95, ( ) 0,96,

( ) 0,05, ( ) 0,06.

P H P A H

P H P A H

По формуле полной вероятности:

2

1

( ) ( ) ( ) 0,95 0,96 0,05 0,06 0,915i i

i

P A P H P A H

.

По условию задачи требуется найти 1( )P H A . По формуле

Байеса:

1 11

( ) ( ) 0,95 0,96 0,912( ) 0,997

( ) 0,915 0,915

P H P A HP H A

P A

.■

34

6. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

Опыты называются независимыми, если вероятность любого

исхода любого опыта не зависит от исходов других опытов.

Испытаниями Бернулли называются независимые опыты с

двумя исходами (успех и неудача), причем вероятность успеха в

каждом опыте одна и та же p (вероятность неудачи 1q p ).

Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успех появит-

ся ровно k раз, находится по формуле Бернулли

( ) k k n kn nP k C p q

►Доказательство. Каждый результат проведения n испытаний

Бернулли может быть представлен набором символов У (успех) и

Н (неудача), например, УУНУ…Н. Всего таких наборов 2n (раз-

мещения с повторениями из 2 видов элементов по n элементов).

Нас будут интересовать все наборы, в которых буква У встреча-

ется k раз, а буква Н встречается n−k раз:

... ... , ... , ...

k n k

n n

УУУ У НН Н НУУ УНУ

Все эти наборы отличаются друг от друга порядком следова-

ния букв, а вероятность каждого из них в силу независимости ис-

пытаний равна k n kp q . Число таких наборов равно числу спосо-

бов выбрать k мест для буквы У из n возможных мест, то есть knC .

При этом разные наборы представляют собой попарно несов-

местные события, поэтому для искомой вероятности справедлива

формула

( ) ...

kn

k n k k n k k n k k k n kn n

С

P k p q p q p q C p q .◄

35

Вероятность того, что успех появится не менее 1k раз, но не

более 2k раз, находится по формуле

2 2

1 2

1 1

( ) ( )

k k

k k n kn n n

k k k k

P k k k P k C p q

.

Для вероятности появления хотя бы одного успеха имеем

( 1) 1 (0) 1 nn nP k P q .

ПРИМЕР 1. Вероятность попадания в мишень при каждом вы-

стреле равна 0,7. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятность

двух попаданий; поражения мишени (то есть вероятность хотя бы

одного попадания).

Решение. В нашем случае 5, 0,7, 0,3n p q . Тогда

2 2 3 2 35 5

5!( 2) 0,7 0,3 0,7 0,3 0,1323

2! 3!P k C

,

55 5( 1) 1 ( 0) 1 0,3 0,99757P k P k .■

Формула Пуассона

Непосредственное использование формулы Бернулли при

больших значениях n вызывает затруднения, поскольку требуют-

ся громоздкие вычисления.

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность

успеха р достаточно мала ( 50, 0,1, 10n p np ), то вероят-

ность ( )nP k может быть приближенно найдена по формуле Пуас-

сона

( ) ,!

k a

n

a eP k a np

k

36

►Доказательство. Так как a np , то , 1a a

p qn n

. Тогда

!( ) 1

!( )!

k n k

k k n kn n

n a aP k C p q

k n k n n

( 1) ... ( 1)1

!

n kk

k

a n n n k a

k nn

.

Так как k фиксированное, то

( 1) ... ( 1) 1 (1 1 ) ... (1 ( 1) )lim lim 1

1kn n

n n n k n k n

n

,

( )( ) lim

lim 1 lim 1

n a a n kn k n ka n ann

n n

a ae e

n n

.

Итак, окончательно ( )!

k a

nn

a eP k

k

.◄

ПРИМЕР 2. Вероятность повреждения каждого изделия при

транспортировке с завода равна 0,0005. Найти вероятность того,

что при транспортировке 4000 изделий будет повреждено более

двух изделий.

Решение. Транспортировку каждого изделия можно рас-

сматривать как независимое испытание. Поскольку число испы-

таний велико ( 4000n ), а вероятность успеха мала ( 0,0005р ),

то по формуле Пуассона ( 4000 0,0005 2a np )

4000 4000 4000 4000 4000( 2) 1 ( 2) 1 (0) (1) (2)P k P k P P P

0 2 1 2 2 22 2 21 0,32

0! 1! 2!

e e e

(см. таблицу 3).■

37

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть число испытаний n велико, и выполняется условие

10npq , где р – вероятность наступления события А в каждом

эксперименте, 1q p . Тогда вероятность того, что событие А

наступит ровно k раз, может быть приближенно найдена с помо-

щью локальной теоремы Муавра-Лапласа

1( ) ( ),n

k npP k x x

npq npq

где

2

21

( )2

x

х e

− функция Гаусса, для которой составлены

таблицы значений (см. таблицу 1). При использовании таблицы

следует учитывать, что ( ) ( )х х , и при 4х можно считать,

что ( ) 0х .

Локальная теорема Муавра-Лапласа следует из того, что

2

2

(1 )lim 1

1 1

2

k k n kn

n x

C p p

enpq

.

ПРИМЕР 3. Найти вероятность того, что в 243 испытаниях со-

бытие А наступит ровно 70 раз, если вероятность появления со-

бытия в каждом опыте 0,25р .

Решение. По условию задачи 243, 0,25, 0,75,n p q

70k . Тогда по локальной теореме Муавра−Лапласа имеем

1 70 243 0,25 (1,37)(70) 0,023

6,75243 0,25 0,75 243 0,25 0,75P

.■

38

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность того, что при n испытаниях Бернулли событие А

наступит не менее 1k раз и не более 2k раз, может быть прибли-

женно найдена с помощью интегральной теоремы Муавра-

Лапласа

1 21 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ), ,n

k np k npP k k k x x x x

npq npq

где

2

2

0

1( )

2

tx

х e dt

− функция Лапласа, для которой также

составлены таблицы значений (см. таблицу 2). При использова-

нии таблицы нужно учитывать, что ( ) ( )х х , и при 5х

можно считать, что ( ) 0,5х .

ПРИМЕР 4. Фабрика выпускает 80% изделий первого сорта.

Какова вероятность того, что из 100 изделий число изделий пер-

вого сорта не менее 70?

Решение. По условию 100, 0,8, 0,2n p q , 1 70k ,

2 100k . По интегральной теореме Муавра−Лапласа:

100 100 0,8 70 100 0,8(70 100)

100 0,8 0,2 100 0,8 0,2P k

(5) ( 2,5) (5) (2,5) 0,5 0,4938 0,9938 .■

Замечание. Пусть k

n − относительная частота появления со-

бытия А в n испытаниях Бернулли, р – вероятность наступления

события А в одном опыте. Тогда используя интегральную теоре-

му Муавра−Лапласа, имеем

39

{ }k

P p P np n k np nn

2 2n n n n

pqnpq npq npq

,

то есть при достаточно больших n вероятность отклонения отно-

сительной частоты от вероятности р не более чем на 0 нахо-

дится по формуле

2k n

P pn pq

ПРИМЕР 5. Опыт состоит в бросании игральной кости 500 раз.

Оценить вероятность того, что относительная частота выпадения

шестерки отклонится от вероятности выпадения шестерки в од-

ном бросании менее чем на 0,02?

Решение. Так как вероятность выпадения шестерки при од-

ном бросании 1

6р , то

5

6q и

1 5000,02 2 0,02 2 (1,2) 0,7698

500 6 1 6 5 6

kP

.■

ПРИМЕР 6. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с

вероятностью 0,9 относительная частота появления герба отлича-

лась от вероятности выпадения герба при одном бросании менее

чем на 0,01?

Решение. Из условия задачи следует, что

10,01 2 0,01 0,9

2 0,5 0,5

k nP

n

,

откуда (0,02 ) 0,45 0,02 1,65 6806n n n .■

40

7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной называется числовая функция, опреде-

ленная на пространстве элементарных событий :

( ), .

Любое соотношение (таблица, функция, график), позволяю-

щее установить связь между возможными значениями случайной

величины и их вероятностями, называется законом распределе-

ния случайной величины. Универсальным способом задания за-

кона распределения случайной величины является функция рас-

пределения.

Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины называется

функция ( )F x , которая для каждого действительно значения х

равна вероятности того, что случайная величина примет значе-

ние меньше чем х, то есть

( ) { }F x P x

Свойства функции распределения:

1. 0 ( ) 1,F x x .

2. 1 2( ) ( )F x F x при 1 2x x ( ( )F x − неубывающая функция).

3. ( ) { } 0F P , ( ) { } 1F P .

4. { } ( ) ( )P a b F b F a .

►Доказательство. Пусть { }, { }, { }A b B a C a b ,

тогда А В С , при этом события В и С несовместны. Тогда

{ } { } { } ( ) ( ) { }P b P a P a b F b F a P a b ,

откуда следует свойство 4, а также свойство 2.◄

41

5. ( )F x непрерывна слева, то есть 0 0( ) ( 0)F x F x

0 ( ; )х , где 0

00

( 0) lim ( )x x

F x F x

.

Очевидно, что 0 0 0{ } ( 0) ( 0)P х F x F x , причем, если

0х – точка непрерывности функции ( )F x , то 0{ } 0P х , а если

0х – точка разрыва функции ( )F x , то вероятность 0{ }P х рав-

на скачку функции ( )F x в этой точке.

Дискретные случайные величины

Случайная величина, принимающая конечное или счетное

множество значений, называется дискретной.

Закон распределения дискретной случайной величины можно

задать таблицей, называемой рядом распределения

1х 2х 3х … kх …

P 1p 2p 3p … kp …

В первой строке указываются все значения случайной вели-

чины, а во второй – соответствующие им вероятности 1i

i

p

.

Графически ряд распределения изображают в виде много-

угольника распределения. Для построения многоугольника рас-

пределения в прямоугольной де-

картовой системе координат от-

мечают точки ( , )i ix p и последо-

вательно соединяют их отрезка-

ми прямых.

1х 2х 3х nх x

1p 3pnp

у

... ...

42

Функция распределения дискретной случайной величины

имеет вид:

:

( ) i

i x xi

F x p

где сумма берется по всем i, для которых ix x .

ПРИМЕР 1. В урне 3 черных и 2 белых шара. Из урны наугад

извлекают 3 шара. Случайная величина − число черных шаров

в выборке. Составить ряд распределения случайной величины ,

найти функцию распределения ( )F x и построить ее график.

Решение. Очевидно, случайная величина принимает зна-

чения 1 2 31, 2, 3х х х . Найдем ip :

1 23 2

1 35

( 1) 0,3C C

р PC

;

2 13 2

2 35

( 2) 0,6C C

р PC

;

33

3 35

( 3) 0,1C

р PC

.

Ряд распределения случайной величины имеет вид

ix 1 2 3

ip 0,3 0,6 0,1

Найдем ее функцию распределения ( )F x :

если 1х , то ( ) 0F x ;

если 1 2х , то 1( ) 0,3F x р ;

если 2 3х , то 1 2( ) 0,3 0,6 0,9F x р р ;

если 3х , то 1 2 3( ) 0,3 0,6 0,1 1.F x p p p

43

Следовательно,

0, 1;

0,3, 1 2;( )

0,9, 2 3;

1, 3.

x

xF x

x

x

Легко заметить, что функция распределения дискретной слу-

чайной величины имеет ступенчатый вид со скачками, равными

iр , в точках iх .■

Непрерывные случайные величины

Случайная величина называется непрерывной, если она

принимает все значения из некоторого промежутка числовой оси,

и если существует неотрицательная функция ( )f x такая, что

( ; )x

( ) { } ( )

x

F x P x f t dt

Функция ( )f x называется плотностью распределения веро-

ятностей случайной величины .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. ( ) 0 ( ; )f x x .

2. ( ) ( )f x F x . Таким образом, функция распределения ( )F x

непрерывной случайной величины непрерывна х .

Используя определение производной, имеем

0 0

( ) ( ) { }( ) ( ) lim lim

x x

F x x F x P x x xf x F x

x x

,

то есть плотность распределения есть предел отношения вероят-

x1 2

0,3

0,91

( )F x

3

44

ности попадания случайной величины в промежуток [ , )x x x к

его длине x при 0х . Следовательно,

{ } ( ) ( )P x x x f x x f x dx .

Выражение ( )f x dx называется элементом вероятности.

3. { } ( )

b

a

P a b f x dx .

Геометрически указанная вероятность равна площади S фигу-

ры, ограниченной кривой распределения ( )y f x , прямыми

x a , x b и осью Ox.

Отметим, что для непрерывной случайной величины веро-

ятность того, что она примет определенное значение а, равна ну-

лю (парадокс нулевой вероятности), то есть

( ) 0P a .

Следовательно,

{ } { } { } { }P a b P a b P a b P a b .

4. ( ) 1f x dx

(условие нормировки).

Геометрически условие нормировки означает, что площадь

фигуры, заключенной между кривой ( )y f x и осью Ox, равна

единице.

хО a b

( )f x

S

45

ПРИМЕР 2. Дана функция распределения

2

0, 1;

( ) ( 1) , 1 2;

1, 2,

x

F x c x x

x

непрерывной случайной величины . Найти с, ( )f x ,

(0 1,5)P . Построить графики ( )f x и ( )F x .

Решение. Так как случайная величина непрерывна, то ее

функция распределения ( )F x должна быть непрерывной. В точке

1х непрерывность очевидна, а в точке 2х функция ( )F x бу-

дет непрерывна, если 2(2 1) 1с , откуда 1с .

Таким образом, функция распределения имеет вид

2

0, 1;

( ) ( 1) , 1 2;

1, 2.

x

F x x x

x

Так как ( ) ( )f x F x , то

0, 1;

( ) 2( 1), 1 2;

0, 2.

x

f x x x

x

Найдем вероятность (0 1,5)P :

1,5 1,51,5

2

1

0 1

(0 1,5) ( ) 2( 1) ( 2 ) 0,25P f x dx x dx x x .

Эту же вероятность можно найти, используя функцию ( )F x ,

(0 1,5) (1,5) (0) 0,25 0 0,25P F F .■

( )F x

х1 2O

1

х1 2O

2

( )f x

46

ПРИМЕР 3. Дана плотность распределения

0, 0, 2;( )

sin 2 , 0 2,

x xf x

c x x

непрерывной случайной величины . Найти с, ( )F x . Построить

графики ( )f x и ( )F x .

Решение. Для нахождения константы с воспользуемся усло-

вием нормировки:

2 2

00

1 ( ) sin 2 cos 2 12

cf x dx c xdx x c с

.

Таким образом

0, 0, 2;

( )sin 2 , 0 2.

x xf x

x x

Найдем ( )F x :

( ;0) ( ) ( ) 0 0

x x

x F x f t dt dt

;

0

0

1 cos 2[0; 2] ( ) ( ) 0 sin 2

2

x xx

x F x f t dt dt tdt

;

20

0 2

( 2; ) ( ) ( ) 0 sin 2 0 1

x x

x F x f t dt dt tdt dt

.

Итак, для функции распределения имеем:

0, 0;

1 cos 2( ) , 0 2;

2

1, 2.

x

xF x x

x

х2O

( )f x

1

х2O

( )F x

1

47

8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание

Математическим ожиданием случайной величины назы-

вается число, которое обозначается M и находится по формуле

(для дискретной случайной величины);

( ) (для непрерывной случайной величины).

i i

i

х р

M

xf x dx

Математическое ожидание характеризует среднее значение

случайной величины .

Свойства математического ожидания:

1. Если С , то M С .

2. [ ]M С С M .

3. [ ]M M M .

4. [ ]M M M , если и − независимые случайные

величины (понятие независимых случайных величин будет дано

позже).

5. Пусть − случайная величина, а ( )х − числовая функция,

тогда для математического ожидания случайной величины

( ) имеет место формула

( ) ;

( )

( ) ( ) .

i i

i

х р

M М

x f x dx

В частности, [ ]M a b aM b .

48

Дисперсия

Дисперсией случайной величины называется число, которое

обозначается D и находится по формуле

2

2

2

( ) ;

( )

( ) ( ) .

i i

i

х М р

D M M

x М f x dx

Дисперсия является математическим ожиданием квадрата от-

клонения случайной величины от ее математического ожидания,

то есть дисперсия − средний квадрат отклонения. Из определения

дисперсии следует, что 0D .

Свойства дисперсии:

1. Если С , то 0D .

2. [ ]D С D .

3. 2[ ]D С С D .

4. [ ]D D D , если и − независимые случайные

величины. В частности, 2[ ]D a b a D .

5. 2 2[ ] ( )D M M .

► 2 2 2( ) 2 ( )D M M M M M

2 2 2 2[ ] 2 ( ) [ ] ( )M M M M M M .◄

Дисперсия случайной величины является мерой рассеива-

ния значений этой величины. Но дисперсия не всегда удобна, так

как она имеет размерность квадрата случайной величины. Поэто-

му в качестве меры рассеивания применяют D .

49

Величина D называется стандартным или средним квад-

ратическим отклонением и обозначается , то есть

D .

ПРИМЕР 1. Дан ряд распределения

ix −2 −1 0 2 4

ip 0,1 0,2 0,35 0,25 0,1

дискретной случайной величины . Найти , ,M D .

Решение. 5

1

( 2) 0,1 ( 1) 0,2 0 0,35 2 0,25 4 0,1 0,5i i

i

M x p

;

5

2 2 2 2

1

( ) ( 2) 0,1 ( 1) 0,2i i

i

D x p M

2 2 2 20 0,35 2 0,25 4 0,1 0,5 2,95 .

Следовательно, 1,72D .■

ПРИМЕР 2. Дана плотность распределения

0, 0, 2,( )

2, 0 2,

x xf x

x x

непрерывной случайной величины . Найти , ,M D .

Решение. 2

2

0

1 4( )

2 3M xf x dx x dx

;

2

2 2 3

0

1 16 2( ) ( )

2 9 9D x f x dx M x dx

;

0,16D .■

50

Случайная величина называется нормированной, если ее ма-

тематическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1.

Например, если − произвольная случайная величина, то

случайная величина M

является нормированной, так как

0, 1M M

M M D D

.

Начальные и центральные моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины

называется число, которое обозначается k и находится по фор-

муле

(для дискретн. случайной величины);

[ ]

( ) (для непрер. случайной величины).

ki i

ik

kk

х р

M

x f x dx

Очевидно, что 1 M .

Центральным моментом порядка k случайной величины

называется число, которое обозначается k и находится по фор-

муле

( ) ;

( )

( ) ( ) .

ki i

ik

kk

х р

M M

x f x dx

Заметим, что всегда 1 0 , так как 1 ( ) 0M , а

2 D .

51

Коэффициент асимметрии и эксцесс

Центральный момент 3-го порядка 3 характеризует степень

симметричности распределения относительно среднего значения.

Если распределение симметрично, то 3 0 .

Так как 3 имеет размерность куба случайной величины, то

рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии

3

3kS

Если 0kS , то говорят о положительной асимметрии, если

0kS − об отрицательной.

Эксцессом случайной величины называется величина

4

43xЕ

Эксцесс вводится для непре-

рывных случайных величин и ха-

рактеризует вершину графика

плотности распределения. Если

0xE , то вершина графика плот-

ности более острая, а если 0xE −

более плоская, чем у графика плотности нормально распределен-

ной случайной величины. Для нормального распределения

0xE . (Нормальное распределение будет рассмотрено позже.)

х

( )f x

О

0kS 0kS

х

( )f x

О

( )f x

хO

0xE

0xE

0xE

52

Мода и медиана

Мода Mо случайной величины − это наиболее вероятное

значение этой случайной величины.

Предположим, что возможные значения дискретной случай-

ной расположены в порядке возрастания, тогда модой Mо этой

случайной величины является такое ее значение kx , для которого

1{ } { },k kP x P x 1{ } { }.k kP x P x

Для непрерывной случайной величины мода Mо − точка

локального максимума плотности распределения ( )f x .

Если мода единственна, то распределение случайной величи-

ны называется унимодальным, в противном случае – полимо-

дальным.

Квантиль уровня р (0 1p ) слу-

чайной величины − это такое значе-

ние pх x , для которого выполняется

равенство

( )pF x p , то есть { }pР x p .

Медианой Mе случайной величины называется квантиль

0,5x . Медиана Mе удовлетворяет условию

{ } { } 0,5P Mе P Mе .

В случае непрерывной случайной величины это условие

означает, что прямая x Mе делит площадь под кривой плотно-

сти ( )f x пополам.

х

( )F x

О

p

px

53

9. ОСНОВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Биномиальное распределение

Пусть случайная величина − число успехов в серии из n ис-

пытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании p,

тогда принимает значения 0,1,...,n с вероятностями

{ } , 0,1,..., , 0 1, 1k k n knP k C p q k n p q p

Такое распределение называется биномиальным, так как вы-

ражения k k n knC p q являются слагаемыми в разложении ( )np q

по формуле бинома Ньютона

1 2 2 2( ) ... ...n n n n k k n k nn np q p np q C p q C p q q .

Биномиальное распределение задается двумя параметрами n и р.

Так как 1p q , то

0 0

{ } 1

n n

k k n kn

k k

P k C p q

.

Числовые характеристики биномиального распределения:

, ,M np D npq npq

► Действительно, пусть случайная величина i ( 1,2,...,i n ) –

число успехов в i-м испытании Бернулли, тогда для i имеем

i 0 1 0 1 ,iM q p p

Р q p 2 2 20 1 (1 ) .iD q p p p p pq

Так как 1

n

i

i

, а случайные величины i независимы, то

1 1 1 1

;

n n n n

i i i i

i i i i

M M M np D D D npq

.◄

54

Найдем наивероятнейшее значение (моду) 0k случайной ве-

личины . Так как

1 1 1{ 1}

{ } 1

k k n kn

k k n kn

C p qP k p n k

P k q kC p q

,

то справедлива рекуррентная формула

{ 1} { }1

p n kP k P k

q k

.

Поскольку для моды 0k справедливы неравенства:

0 0{ } { 1},P k P k 0 0{ } { 1}P k P k

то, используя первое из них и рекуррентную формулу, получаем

00 0 0

0

{ } { 1} { }1

n kpP k P k P k

q k

,

откуда

00

0

11

n kpk pn q

q k

.

Аналогично, используя второе неравенство и рекуррентную

формулу, можно показать, что 0k pn p .

Итак, наивероятнейшее значение 0k случайной величины

удовлетворяет неравенству

0pn q k pn p

ПРИМЕР 1. Проводятся 15 испытаний Бернулли с вероятно-

стью успеха в каждом испытании 0,3p . Найти наивероятней-

шее число успехов.

Решение. В нашем случае 15, 0,3, 0,7n p q . Неравен-

ству 04,5 0,7 4,5 0,3k удовлетворяет 0 4k .■

55

Распределение Пуассона

Случайная величина имеет распределение Пуассона с па-

раметром а, если она принимает счетное число значений

0,1,2,…,n,… c вероятностями

{ } , 0,1,2,..., ,...!

k aa eP k k n

k

Распределение Пуассона определяется одним параметром а.

Для распределения Пуассона имеем:

0 0 0 0

{ } 1! ! !

k a k ka x a a

k k k k

a e a xP k e e e e

k k k

.

Числовые характеристики распределения Пуассона:

,M a D a

►Действительно:

1

0 0 1

{ }! ( 1)!

k a ka a a

k k k

a e aM k P k k ae ae e a

k k

;

2 2

0 0

[ ] ( ( 1) )! !

k a k a

k k

a e a eM k k k k

k k

22 2

0 0 2

( 1) ;! ! ( 2)!

k a k a ka

k k k

a e a e ak k k a e a a a

k k k

2 2 2 2[ ] ( )D M M a a a a .◄

56

Простейший поток событий

Потоком событий называется последовательность событий,

наступающих в случайные моменты времени.

Поток событий называется простейшим (пуассоновским),

если выполняются следующие условия:

за малый промежуток времени появление более одного собы-

тия практически невозможно (ординарность);

появление событий на произвольном временном промежутке

1 2[ , ]t t не зависит от поведения потока до момента времени 1t (от-

сутствие последствия);

появление того или иного числа событий на произвольном

временном промежутке 1 2[ , ]t t зависит только от длины этого

промежутка и не зависит от его начала (стационарность).

Интенсивностью потока называется среднее число собы-

тий в единицу времени.

Вероятность появления k событий простейшего потока за

время Т находится по формуле

( ) , 0,1,2,..., ,...,!

k aa eP k k n a T

k

.

ПРИМЕР 2. За год в среднем происходит 3 сбоя аппаратуры.

Какова вероятность того, что за 2 года будет не более 4 сбоев?

Решение. Так как 3(1 год) и 2Т года, то

3 2 6а Т . Тогда для искомой вероятности имеем:

4 4 6

0 0

6{0 4}

! !

k a k

k k

a e eP k

k k

0,0025 0,0149 0,0446 0,0892 0,1339 0,2851. ■

57

Геометрическое распределение

Случайная величина имеет геометрическое распределение,

если она принимает счетное число значений: 0,1,2,…,n,… c веро-

ятностями

{ } , 0,1,2,..., ,..., 1kP k q p k n q p

Ряд распределения имеет вид

ix 0 1 2 … n …

ip p qp 2q p … nq p …

Легко видеть, что указанные вероятности являются членами

геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q .

Геометрическое распределение определяется одним парамет-

ром р.

Геометрическое распределение имеет, например, случайная

величина , равная числу испытаний в схеме Бернулли, прове-

денных до первого успеха, с вероятностью успеха в каждом ис-

пытании р.

Для геометрического распределения справедливо:

0 0 0

1{ } 0 1 1

1

k k

k k k

P k q р р q q рq

.

Числовые характеристики геометрического распределения:

2,

q qM D

p p

58

►Действительно:

1

2 2

0 0 1

1

(1 )

k kk

k k k

pq qM kp kq p pq kq pq

pq p

;

2 2

0 1 1

[ ] ( ( 1) ) ( 1)k k k

k k k

M k q p k k k q p k k q p

22 2 2

3 2

0 2

2 2( 1) ;

(1 )

k k

k k

q q q qkq p pq k k q pq

p p pq p

2 2 22 2

2 2 2 2 2

2 ( )[ ] ( )

q q q q pq q q p qD M M

pp p p p p

.

Ряды 1

21

1

(1 )

k

k

kxx

и 2

32

2( 1)

(1 )

k

k

k k xx

получены

при почленном дифференцировании ряда 0

1, 1

1

k

k

x xx

.◄

ПРИМЕР 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле

0,2p . Найти среднее число выстрелов до первого попадания.

Решение. Среднее число выстрелов до первого попадания

есть математическое ожидание случайной величины, имеющей

геометрический закон распределения с параметром 0,2p , то

есть

1 0,2 0,84

0,2 0,2

qM

p

.■

59

10. ОСНОВНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное рас-

пределение на отрезке [ , ]a b , если ее плотность распределения

постоянна на этом отрезке, то есть

, [ , ];

( )0, [ , ].

с x a bf x

x a b

Из условия нормировки получаем

11 ( ) ( )

b

a

f x dx cdx c b a сb a

.

Найдем функцию распределения случайной величины :

[ ; ] ( ) ( )

x x x

aa

dt t x ax a b F x f t dt

b a b a b a

.

Таким образом,

0, ;

( ) , ;

1, .

x a

x aF x a x b

b a

x b

2( ),

2 12

a b b aM D

Равномерный закон определяется двумя параметрами а и b.

Равномерный закон распределения имеют, например, случай-

ные величины: время ожидания транспорта, курсирующего с

фиксированным интервалом; ошибки округления и т.п.

( )f x

хa bO

c

( )F x

хa bO

1

60

Показательное (экспоненциальное) распределение

Случайная величина имеет показательное распределение с

параметром ( 0) , если ее плотность распределения вероят-

ностей имеет вид

, 0;

( )0, 0.

xe xf x

x

Так как при 0x

0

0

0

( ) ( ) 0 1

x xx

t t xF x f t dt dt e dt e e

,

то

1 , 0;

( )0, 0.

xe xF x

x

Числовые характеристики показательного распределения:

2

1 1,M D

►Действительно:

0 0

0 00

1 1x x x xM x e dx xe e dx e

;

2 2 2

20

0 00

2 2[ ] x x xM x e dx x e x e dx

;

2 2

2 2 2

2 1 1[ ] ( )D M M

.◄

Показательное распределение определяется одним парамет-

ром .

( )f x

хO

( )F x

хO

1

61

Показательный закон распределения имеют следующие слу-

чайные величины: длительность безотказной работы прибора,

время обслуживания или ремонта, время ожидания и т.п.

Пусть случайная величина – время безотказной работы при-

бора. Функцией надежности ( )R t будем называть вероятность

безотказной работы за время t, то есть

( ) { } 1 ( ) 1 (1 )t tR t P t F t e e .

Замечание. Между показательным распределением и рас-

пределением Пуассона есть связь. Если среднее время безотказ-

ной работы 1

M

, то 1

M

− среднее число отказов в еди-

ницу времени.

ПРИМЕР 1. Время безотказной работы прибора (измеряется в

часах) подчинено показательному закону распределения с плот-

ностью

0,60,6 , 0;( )

0, 0.

xe xf x

x

Найти среднее время безотказной работы и вероятность того,

что за 5 часов будет не более одного отказа.

Решение. Пусть – время безотказной работы прибора. Так

как 0,6 , то среднее время безотказной работы

1 11,67

0,6M

.

Пусть – число отказов за время t , тогда ( )!

k aa eP k

k

,

где a t . В нашем случае 5, 0,6 5 3t a t , тогда

0 3 1 3

3

3 3 4( 1) 0,1991

0! 1!

е еP

e

.■

62

Нормальное распределение

Случайная величина имеет нормальное распределение с

параметрами , 0 (обозначение 2( , )N ), если ее плот-

ность распределения имеет вид

2( )

221

( )2

x

f x e

где x .

Функция распределения:

2( )

221

( )2

tx

F x e dt

Числовые характеристики нормального распределения:

2, , 0, 0k xM Mо Mе D S E

►Докажем, что

2

2 2

x

J e dx

(интеграл Пуассона):

2 2 22

2 2 2 2

y x yx

J J J e dx e dy dx e dy

22

2 22

00 0

в полярной2 2

системе коорд.d e d e

.

Тогда для математического ожидания имеем

2 2( )

22 21

( )2 2

x tx

M xe dx t t e dt

( )f x

хO

1

2

хО

1

( )F x

0,5

63

2 2

2 2

02

2 2

t t

e dt te dt

.

Аналогично можно показать, что 2D .◄

Коэффициент асимметрии 3

3kS

нормально распределен-

ной случайной величины равен нулю в силу симметрии распре-

деления.

Эксцесс 4

4

[( ) ]3x

M MЕ

также равен нулю.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется

нормальное распределение с параметрами 0, 1 .

Плотность и функция распределения имеют вид

2

21

( )2

x

x e

2

20

1( )

2

x t

F x e dt

.

Для 0 ( )F x справедливы формулы:

0 0( ) 1 ( )F x F x ;

0( ) 0,5 ( )F x x .

Напомним, что ( )x − функция Гаусса, а ( )x − функция

Лапласа, для которых составлены таблицы значений.

х

( )x

О

хО

0,5

0,5

( )x

64

Пусть 2( , )N . Найдем вероятность попадания случайной

величины в промежуток [ , ]a b :

2( )

221

{ }2

xb

a

xP a b e dx t

2 2 2

2 2 21 1 1

2 2 2

b b a

t t t

a

e dt e dt e dt

0 0 .b a b a

F F

Итак, для нормально распределенной случайной величины 2( , )N имеем

0 0{ }b a b a

P a b F F

ПРИМЕР 2. Дальномер имеет систематическую ошибку 0,1 м и

среднюю квадратическую ошибку 0,4 м. Полагая, что ошибки

измерений подчиняются нормальному закону распределения,

найти вероятность того, что ошибка измерения не превысит 0,5 м.

Решение. Ошибка измерения имеет нормальный закон

распределения с параметрами 0,1 и 0,4 . Тогда

0,5 0,1 0,5 0,1

0,5 { 0,5 0,5}0,4 0,4

P P

(1) ( 1,5) (1) (1,5) 0,3413 0,4332 0,7745 .■

65

Для вероятности попадания в интервал, симметричный отно-

сительно математического ожидания, имеем

{ }P l P l l

2l l l l l

.

Итак,

2l

P l

Полагая в последней формуле l , 2l и 3l , получим

2 (1) 0,6827P ,

2 2 (2) 0,9545P ,

3 2 (3) 0,9973P .

Мы нашли вероятности попадания случайной величины в

интервалы ( , ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) .

Можно сделать вывод о том, что случайная величина 2( , )N принимает свои значения в трехсигмовом интервале

( 3 , 3 ) практически достоверно («правило трех сигм»).

Таким образом, «правило трех сигм» позволяет с вероятностью,

близкой к единице, определить реальный интервал изменения

случайной величины (теоретически x ).

ПРИМЕР 3. Дано: (4,9)N . Определить симметричный отно-

сительно математического ожидания интервал, в который с веро-

ятностью 0,8 попадает .

Решение. Так как 4, 3 , то

4 2 0,83

lP l

,

66

0,4 1,28 3,843 3

l ll

.

Итак, искомый интервал (0,16;7,84) .■

ПРИМЕР 4. Автомат штампует детали. Контролируется длина

детали , которая распределена по нормальному закону с мате-

матическим ожиданием (проектная длина) 50 мм. Фактически

длина изготовленных деталей находится в пределах от 47 мм до

53 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали

не менее 48 мм и не более 50 мм.

Решение. Из условия задачи следует, что (47;53) − это трех-

сигмовый интервал, то есть 1 . Таким образом, (50;1)N и

50 50 48 50{48 50} (0) (2) 0,4772

1 1P

.■

Нормальный закон играет очень важную роль в теории веро-

ятностей. Он является предельным законом, к которому при

определенных условиях приближаются другие распределения.

Нормальный закон используется при анализе и прогнозировании

различных экономических, социальных, демографических явле-

ний. Нормальное распределение имеют, например, ошибки изме-

рений, рост человека, ошибки стрельбы, величина износа деталей

в механизмах и т.п.

67

11. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Упорядоченная пара ( , ) двух случайных величин и

называется двумерной случайной величиной.

Функцией распределения двумерной случайной величины

( , ) называется функция ( , )F x у , которая для любых х и у рав-

на вероятности совместного наступления событий

{ } и { }x y , то есть

( , ) { , }F x у P x y

(геометрически ( , )F x у − это вероятность

попадания в бесконечную область, ука-

занную на рисунке).

Свойства функции распределения:

1. 0 ( , ) 1F x y .

2. ( , )F x у не убывает по каждому аргументу при фиксирован-

ном другом аргументе, то есть

1 2( , ) ( , )F x y F x y , если 1 2x x ;

1 2( , ) ( , )F x y F x y , если 1 2у у .

3. ( , ) ( , ) ( , ) 0F x F y F .

4. ( , ) 1F .

5. ( , ) ( ), ( , ) ( )F x F х F у F у ,

где ( ), ( )F x F у − функции распределения случайных величин

и .

6. ( , )F x у непрерывна слева по каждому аргументу, то есть

0 0

0 00 0

lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , )x x y y

F x y F x y F x y F x y

.

x

y( , )x y

О

68

С помощью функции распределения

( , )F x у можно найти вероятность попа-

дания случайной величины ( , ) в пря-

моугольник D со сторонами параллель-

ными координатным осям:

{ , } ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P a b c d F b d F b c F a d F a c .

Случайные величины и называются независимыми, если

закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз-

можные значения приняла другая случайная величина.

Критерий независимости случайных величин. Для не-

зависимости случайных величин и необходимо и достаточно,

чтобы

( , ) ( ) ( )F x y F x F y .

Двумерные дискретные случайные величины

Двумерная случайная величина ( , ) называется дискретной,

если одномерные случайные величины и − дискретные.

Пусть случайная величина принимает значения 1 2, ,..., nx x x ,

a принимает значения 1 2, ,..., mу у у . Закон распределения дву-

мерной случайной величины ( , ) можно задать с помощью таб-

лицы

1y 2y my

1х 11p 12p … 1mp

2х 21p 22p … 2mp

... … … …

nх 1np 2np … nmp

где { , }ij i jp P x y , причем 1 1

1n m

ij

i j

p

.

х

у

О a b

d

cD

69

Имея закон распределения двумерной случайной величины

( , ) , можно получить законы распределения каждой из компо-

нент.

Для событий { }ix и { }jy имеем

1 2{ } { , } { , } ... { , }i i i i mx x y x y x y ,

1 2{ } { , } { , } ... { , }j j j n jy x y x y x y ,

и поскольку события в правых частях равенств несовместны, то

1 1

{ } , { }

m n

i ij j ij

j i

P x p P у p

.

Критерий независимости дискретных случайных ве-

личин. Для независимости дискретных случайных величин и

необходимо и достаточно, чтобы

{ , } { } { } ,i j i jP x y P x P y i j .

ПРИМЕР 1. Дан закон распределения двумерной случайной

величины ( , ) . Найти законы распределения одномерных слу-

чайных величин и . Проверить, зависимы они или нет.

0 2 4

1 0,1 0,2 0,1

2 0,2 0,3 0,1

Решение. Случайная величина принимает значения 1 и 2.

Найдем соответствующие вероятности: 3

1

1

{ 1} 0,1 0,2 0,1 0,4j

j

P p

;

3

2

1

{ 2} 0,2 0,3 0,1 0,6j

j

P p

.

70

Точно так же можно найти вероятности событий { 0} ,

{ 2} , { 4} . Таким образом, законы распределения одномер-

ных случайных величин и имеют вид

ix 1 2 jy 0 2 4

iр 0,4 0,6 jq 0,3 0,5 0,2

Заметим, что 2 3

1 1

1, 1i j

i j

р q

.

Проверим, зависимы ли случайные величины и . Для неза-

висимости дискретных случайных величин необходимо и доста-

точно, чтобы выполнялись условия

{ , } { } { } ,i j i jP x y P x P y i j .

Если это соотношение не выполняется хотя бы для одной па-

ры значений i и j, то случайные величины и зависимы.

В нашем случае случайные величины и зависимы, по-

скольку при 1, 1i j соотношение не выполняется:

0,1 0,4 0,3

{ 1, 0} { 1} { 0}P P P

.■

Замечание. По закону распределения двумерной случайной

величины ( , ) всегда можно найти законы распределения одно-

мерных случайных величин и . Обратное утверждение, вооб-

ще говоря, неверно. По распределениям случайных величин и

можно построить двумерное распределение только в случае их

независимости.

Условным законом распределения одной из случайных вели-

чин, входящих в пару ( , ) , называется ее распределение при

условии, что другая случайная величина приняла определенное

значение.

71

ПРИМЕР 2. Для двумерной случайной величины ( , ) из при-

мера 1 найти условный закон распределения случайной величины

при условии, что 1 .

Решение. Для получения условного закона распределения

случайной величины при условии, что 1 , найдем следую-

щие условные вероятности

{ 0, 1} 0,1{ 0 1} 0,25

{ 1} 0,4

PP

P

;

{ 2, 1} 0,2

{ 2 1} 0,5{ 1} 0,4

PP

P

;

{ 4, 1} 0,1{ 4 1} 0,25

{ 1} 0,4

PP

P

.

При нахождении условных вероятностей была использована

формула ( )

( )( )

P ABP A B

P B .

Таким образом, условный закон распределения случайной ве-

личины при условии, что 1 , имеет вид

{ 1}iу 0 2 4

jq 0,25 0,5 0,25

Легко заметить, что 3

1

1j

i

q

.

Так как условный и безусловный (см. пример 1) законы рас-

пределения случайной величины не совпадают, то это означает

зависимость и .■

72

Двумерные непрерывные случайные величины

Двумерная случайная величина ( , ) называется непрерыв-

ной, если ее функция распределения является непрерывной и

имеет вторую смешанную производную ( , )xyF x y , которая назы-

вается плотностью распределения вероятностей этой случай-

ной величины, то есть

2 ( , )( , )

F x уf x у

х у

Плотность распределения ( , )f x у

есть предел отношения вероятности

попадания случайной величины

( , ) в прямоугольник со сторонами

,x у , примыкающий к точке ( , )х у ,

к площади этого прямоугольника, когда 0 и 0x у . То есть

2

00

( , ) ( , )lim ( , )xу

P x x x y y y F x yf x y

x y x y

.

Отсюда следует, что

( , ) ( , ) ( , )P x x x y y y f x y x y f x y dxdy .

Выражение ( , )f x y dxdy называется элементом вероятности

двумерной случайной величины ( , ) .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. ( , ) 0f x y .

2. {( , ) } ( , )

D

P D f x y dxdy ,

где D – произвольная область плоскости Оху.

х

у

О х х x

у у

у

73

3. ( , ) 1f x y dxdy

(условие нормировки).

4. ( , ) ( , )

yx

F x y f u v dudv

.

5. ( ) ( , ) , ( ) ( , )f x f x y dy f y f x y dx

,

где ( ), ( )f x f y − плотности распределения одномерных слу-

чайных величин и .

Критерий независимости непрерывных случайных

величин. Для независимости непрерывных случайных величин

и необходимо и достаточно, чтобы

( , ) ( ) ( )f x y f x f y .

Условные плотности находятся по формулам

( , ) ( , )( ) , ( )

( ) ( )

f x y f x yf y x f x y

f x f y

.

ПРИМЕР 3. Двумерная случайная величина ( , ) равномерно

распределена в треугольнике D со сторонами 0,5 1y x , 0x ,

0y . Найти ( , ), ( ), ( )f x y f x f y , ( ),f x y ( )f y x , ( 1)f у х .

Определить, зависимы ли и ?

Решение. Плотность распределения

случайной величины ( , ) , равномерно

распределенной в области D, имеет вид

, ( , ) ;

( , )0, ( , ) .

C x y Df x y

x y D

хО

у

1

21

1 0,5у х 0,5

74

Найдем коэффициент С из условия нормировки:

1 0,52

0 0

1 ( , ) 1

x

f x y dxdy dx Cdy C С

.

Следовательно,

1, ( , ) ;( , )

0, ( , ) .

x y Df x y

x y D

Найдем плотности распределения одномерных случайных ве-

личин и :

1 0,5

0

1 1 0,5 , [0;2];( ) ( , )

0, [0;2].

x

dy x xf x f x y dy

x

2 2

0

1 2 2 , [0;1];( ) ( , )

0, [0;1].

y

dx y yf у f x y dx

y

Нетрудно заметить, что одномерные случайные величины и

имеют распределения, отличные от равномерного.

Для условных плотностей имеем

1, ( , ) ;( , )

2 2( )( )

0, ( , ) .

x y Df x yyf x y

f yx y D

О Ох у

( )f х ( )f у

1

12

2

75

1, ( , ) ;( , )

( ) 1 0,5( )

0, ( , ) .

x y Df x yf y x x

f xx y D

Так как ( ) ( )f x y f x , ( ) ( )f у х f у , то есть условные

плотности не совпадают с безусловными, то случайные величины

и зависимы. Зависимость случайных величин и следует

также из того, что ( , ) ( ) ( )f x y f x f y .

Найдем ( 1)f у х . Если 1х , то

[0;0,5]y (см. область D), тогда

2, [0;0,5];

( 1)0, [0;0,5].

yf у х

y

Мы получили равномерное условное распределение.■

О у

2

0,5

( 1)f y x

76

12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Начальным моментом порядка k+l двумерной случайной

величины ( , ) называется число

1 1

,

(дискретный случай);

( , ) (непрерывн. случай).

n mk li j ij

i jk lk l

k l

х y р

M

x y f x y dxdy

Центральным моментом порядка k+l двумерной случайной

величины ( , ) называется число

1 1

,

( ) ( ) ;

( ) ( ) ( , ) .

n mk l

i i ij

i j

k l

k l

х M y M р

x M y M f x y dxdy

Очевидно, начальные моменты 1-го порядка ( 1,0 0,1, ) − это

математические ожидания случайных величин и .

В случае дискретной случайной величины ( , ) :

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

{ },

{ },

n m n m n

i ij i ij i i

i j i j i

n m m n m

j ij j ij j j

i j j i j

M x p x p x P x

M y p y p y P y

в случае непрерывной случайной величины ( , ) :

( , ) , ( , )M x f x y dxdy M y f x y dxdy

.

77

ПРИМЕР 1. Дан закон распределения двумерной дискретной

случайной величины ( , ) . Найти ,М М .

0 2 4

1 0,1 0,2 0,1

2 0,2 0,3 0,1

Решение. Для случайных величин и имеем:

2 3

1 1

1 (0,1 0,2 0,1) 2 (0,2 0,3 0,1) 1,6i ij

i j

M x p

;

3 2

1 1

0 (0,1 0,2) 2 (0,2 0,3)j ij

j i

M y p

4 (0,1 0,1) 1,8 .■

ПРИМЕР 2. Двумерная случайная величина ( , ) равномерно

распределена в треугольнике D со сторонами 0,5 1y x , 0x ,

0y . Найти ,М М .

Решение. Плотность равномерно

распределенной случайной величины

( , ) имеет вид

1, ( , ) ;

( , )0, ( , ) .

x y Df x y

x y D

Для одномерных случайных величин и имеем:

1 0,52 2

0 0 0

21 1 (1 0,5 )

3

x

D

M x dxdy xdx dy x x dx

;

2 21 1

0 0 0

11 1 (2 2 )

3

y

D

M y dxdy ydy dx y y dy

.■

хО

у

11 0,5у х

D

2

78

Центральные моменты 2-го порядка ( 2,0 0,2, ) – это диспер-

сии одномерных случайных величин и .

Для дискретной случайной величины ( , ) имеем:

2 2

1 1 1 1

( ) , ( )

n m n m

i ij j ij

i j i j

D x M p D y M p

,

для непрерывной случайной величины ( , ) :

2 2( ) ( , ) , ( ) ( , ) .D x M f x y dxdy D y M f x y dxdy

ПРИМЕР 3. Случайные величины и независимы, причем

1, 2D D . Найти дисперсию случайной величины

2 2 .

Решение. Используя свойства дисперсии (см. п. 8), имеем

2 2[2 2] 2 ( 1) 4 2 6D D D D .■

Ковариация

Смешанный центральный момент 2-го порядка 1,1 называется

корреляционным моментом или ковариацией и обозначается

cov( , ) или K, то есть

[( )( )]K M M M .

Корреляционный момент удобно вычислять по формуле

[ ]K M M M .

►Действительно:

[( )( )] [ ]K M M M M M M M M

[ ] [ ]M M M M M M M M M M .◄

79

Если ( , ) − дискретная случайная величина, то

1 1

n m

i j ij

i j

K x y p M M

,

если ( , ) − непрерывная, то

( , )K xyf x y dxdy M M

.

Свойства ковариации:

1. K K .

2. ,K D K D .

3. Если случайные величины и независимы, то 0K .

►Из независимости случайных величин и следует независи-

мость случайных величин M и М . Следовательно, ис-

пользуя свойства математического ожидания, получаем

0 0

[( )( )] [ ] [ ] 0K M M M M M M M

.◄

4. [ ] 2D D D K .

►Доказательство. 2[ ] [(( ) ( )) ]D M M M

2 2[(( ) ( )) ] [( ) ]M M M M M

22 [( )( )] [( ) ] 2M M M M M D K D .◄

В частности, если и независимы, то [ ]D D D .

Замечание. Ковариация характеризует зависимость между

случайными величинами и . Если и независимы, то

0K . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

80

Например, пусть непрерывная слу-

чайная величина имеет плотность

распределения ( )f x (см. рисунок), и

пусть 2 .

Так как плотность распределения

симметрична относительно оси Oy, то 0M , 3[ ] 0M . Тогда

3 2[( 0)( )] [ ] [ ] [ ] 0K M M M M M M M .

То есть 0K , но и функционально зависимы ( 2 ).

Коэффициент корреляции

Если 0K , то это признак наличия зависимости между

случайными величинами и . Однако K − размерная величи-

на, поэтому используют безразмерную характеристику зависимо-

сти случайных величин − коэффициент корреляции:

Kr

.

Очевидно, что r K , где ,

M M

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. 1 1r .

►

1 1

[ ] 2 2 2 0 1 1D D K D r r

.◄

2. Если и независимы, то 0r .

3. 1r тогда и только тогда, когда случайные величины и

связаны линейной функциональной зависимостью, то есть

a b , где а и b – константы.

хО 11

( )f x

1

81

►Пусть a b , тогда M aM b , 2D a D , a и

[( )( )] [( )( [ ])]K M M M M M a b M a b

2 2[( )( )] [( ) ]M M a b aM b aM M aD a .

Следовательно,

21, 0;

1, 0.

aK aar

aа a

◄

Если 0r , то случайные величины и называются не-

коррелированными. Если 0r , то случайные величины и

называются коррелированными.

Если случайные величины и независимы, то они являют-

ся некоррелированными.

Если 1r , то случайные величины и связаны линей-

ной функциональной зависимостью. Чем ближе r к единице,

тем ближе зависимость между и к линейной функциональ-

ной.

Если 0r , то говорят, что случайные величины и свя-

заны положительной корреляцией, если 0r , то и связаны

отрицательной корреляцией.

ПРИМЕР 4. Случайные величины 1 и 2 независимы, причем

1 2 0M M , 1 2 1D D . Пусть 1 1 22 3 2 1 22 .

Найти коэффициент корреляции между 1 2 и .

Решение. Для случайных величин 1 2 и имеем:

1 1 2[2 3 ] 2 0 3 0 0M M ;

2 1 2[ 2 ] 0 2 0 0M M ;

2 21 1 2 1 2[2 3 ] 2 3 4 1 9 1 13D D D D ;

82

22 1 2 1 2[ 2 ] ( 2) 1 4 1 5D D D D ;

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ ] [(2 3 )( 2 )]K M M M M

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2[2 4 3 6 ] 2 [ ] 6 [ ]M M M

(здесь 1 2 1 2[ ] 0 0 0M M М в силу независимости слу-

чайных величин 1 и 2 ).

Используя формулу 2 2[ ] ( )D M M , получаем

2 21 1 1[ ] ( ) 1 0 1M D M ; 2 2

2 2 2[ ] ( ) 1 0 1M D M .

Следовательно,

1 2

2 21 22 [ ] 6 [ ] 4K M M ;

1 2

1 2

1 2

40,496

13 5

Kr

.

Между 1 2 и отрицательная корреляция.■

Условное математическое ожидание (регрессия)

Важной характеристикой двумерной случайной величины яв-

ляется условное математическое ожидание, которое определя-

ется по формуле

1

{ };

[ ]

( ) .

m

j j

j

y p y x

M x

yf y x dy

Условное математическое ожидание дает среднее значение

одной случайной величины (например, ) при условии, что вто-

рая случайная величина приняла конкретное значение ( х ).

83

В общем случае [ ]M x является функцией от х, то есть

1[ ] ( )M x х .

Функция 1( )х называется регрессией на х. График функ-

ции 1( )y х называется линией регрессии на х.

Точно так же определяется регрессия на у:

2[ ] ( )M у у .

Замечание. Регрессионная зависимость – это всегда зависи-

мость в среднем, то есть определяется среднее значение одной

случайной величины при условии, что вторая случайная величина

принимает конкретное значение.

Если случайные величины и независимы, то

1 2( ) , ( )х M у M .

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина ( , ) имеет нормальный за-

кон распределения c пятью параметрами 1 M , 2 M ,

21 D , 2

2 D , r r , если ее плотность ( , )f x у имеет вид

2 21 1 2 2

2 2 21 1 2 2

( ) 2 ( )( ) ( )1

2(1 )

21 2

1( , )

2 1

x r x y y

rf x у e

r

Обозначение: 2 21 2 1 2( , ) ( , , , , )N r .

Если 0r , то 2 2

1 2

2 21 2

( ) ( )1

2

1 2

1( , )

2

x y

f x у e

84

2 21 2

2 21 2

1 2

( ) ( )

2 21 2

1 2

( ) ( )

1 1( ) ( )

2 2

x у

f x f у

e e f x f у

,

где 1 2( ), ( )f х f у − плотности распределения и соответственно.

Замечание. Для двумерной случайной величины ( , ) , рас-

пределенной нормально, из некоррелированности случайных ве-

личин и вытекает их независимость.

Пусть 2 21 2 1 2( , ) ( , , , , )N r , тогда для условной плотно-

сти имеем: 2

22 1

1

2 22

( )

2 (1 )

21 2

( , ) 1( )

( ) 2 1

y r x

rf x yf y x e

f x r

.

Как видно, условное распределение при условии, что х ,

является нормальным с параметрами

2 2 222 1 2

1

( ), (1 )r x r

,

то есть

22 1

1

[ ] ( )M x r x

.

Аналогично можно получить

11 2

2

[ ] ( )M y r y

.

Таким образом, в случае двумерного нормального распреде-

ления обе регрессии являются линейными. Линиями регрессии

являются прямые, уравнения которых

2 12 1 1 2

1 2

( ), ( )y r x х r y

.

85

Заметим, что чем уже «ножни-

цы», образованные этими прямыми

(см. рисунок), тем ближе зависи-

мость между случайными величи-

нами и к линейной функцио-

нальной.

Если и независимы, то урав-

нения регрессии имеют вид:

2 1,y x .

Коэффициенты 2 1

1 2

,r r

называются коэффициентами ре-

грессии. Для них справедливы формулы

22 1

2 21 1 2 1 21 2

,K K K

r r

.

ПРИМЕР 5. Цену на нефть и индекс нефтяных компаний мож-

но рассматривать как двумерную случайную величину ( , ) ,

распределенную нормально с параметрами 1 12,25 (ден. ед.),

2 1,7 (усл. ед.), 1 0,85 , 2 0,18 , 0,94r . Как в среднем

зависит индекс нефтяной компании от цены на нефть?

Решение. По условию задачи требуется найти среднее значе-

ние индекса нефтяной компании () при условии, что цена на

нефть приняла конкретное значение ( х ):

22 1

1

0,18[ ] ( ) 1,7 0,94 ( 12,25)

0,85M х r x х

0,18 0,181,7 0,94 12,25 0,94 0,74 0,2 .

0,85 0,85x x

Уравнение линии регрессии имеет вид

0,2 0,74y x .■

х

у ( )у х

( )х у2

О 1

х

у

1

2

О

2y

1х

86

13. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

В настоящее время существует несколько вариантов цен-

тральной предельной теоремы. Один из них был доказан в 1912

году А.М. Ляпуновым.

Теорема Ляпунова. Если независимые случайные величи-

ны 1 2, , ..., , ...n имеют конечные математические ожидания

( 1,2,...)k k , конечные дисперсии 2 ( 1,2,...)k k , абсолютные

центральные моменты 3-го порядка 3

k k kС M

( 1,2,...)k , и выполняется условие Ляпунова

1 2

3 22 2 21 2

...0

...

n

n

n

C C C

,

то

2

1 1 2

2

1

1.

2

n n

xk k t

k k

nn

k

k

P x e dt

Замечание. Из условия Ляпунова следует, что

2

2 2 21 2

0...

k

nn

,

то есть дисперсия каждой случайной величины мала по сравне-

нию с суммой дисперсий.

Замечание. Из центральной предельной теоремы следует,

что 1

n

k

k

при большом n приближенно распределена по нор-

мальному закону, то есть

87

2

1 1 1

,

n n n

k k k

k k k

N

или 1 1

2

1

n n

k k

k k

n

k

k

(0;1)N .

В частности, если случайные величины одинаково распреде-

лены и , ( 1,2,..., )k k k n , то

2

1

( , )

n

k

k

N n n

или 1

2(0;1)

n

k

k

n

Nn

.

ПРИМЕР 1. Поезда в метро идут с интервалами 2 минуты.

Каждый из 75 пассажиров независимо от других приходит на

платформу в случайный момент времени. Какова вероятность то-

го, что суммарное время ожидания поезда всеми пассажирами

превысит 1 час?

Решение. Пусть случайная величина k − время ожидания k-

го пассажира ( 1,2,...,75k ). Очевидно, k имеет равномерный

закон распределения на отрезке [0;2] с математическим ожида-

нием 1kM и дисперсией 1 3kD ( 1,2,...,75k ). В силу цен-

тральной предельной теоремы суммарное время ожидания

75

1

k

k

имеет закон распределения, близкий к нормальному с

параметрами

75 75

1 1

75k k

k k

M M M

,

75 75

1 1

175 25

3k k

k k

D D D

.

Максимальное суммарное время ожидания поезда – 150 ми-

нут, поэтому для искомой вероятности имеем

88

150 75 60 75

{60 150} 0,99865 5

P

.■

Частными случаями центральной предельной теоремы явля-

ются локальная и интегральная теоремы Муавра−Лапласа.

Пусть случайная величина – число успехов в серии из n ис-

пытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р.

И пусть k − число успехов в k-м испытании. Случайные величи-

ны 1 2, ,..., n − являются независимыми и одинаково распреде-

ленными с математическим ожиданием p и дисперсией

2 pq . Так как 1 2 ... n , то по центральной предель-

ной теореме

(0,1)np

Nnpq

.

Локальная теорема Муавра−Лапласа. Если число испы-

таний n велико, а р не слишком мала и не слишком близка к еди-

нице, то вероятность { }P k можно приближенно найти по

формуле

1{ } ,

k npP k

npq npq

где ( )x − функция Гаусса.

Интегральная теорема Муавра−Лапласа. При тех же

условиях вероятность 1 2{ }P k k можно приближенно найти

по формуле

2 11 2{ }

k np k npP k k

npq npq

,

где ( )x − функция Лапласа.

89

14. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины

, имеющей конечное математическое ожидание M и конечную

дисперсию D, и для любого 0 выполняется неравенство

2

DP M

.

►Докажем неравенство для дискретной случайной величины .

Так как 2

1

( )n

i i

i

D x M p

, и все слагаемые положительные, то

при отбрасывании части слагаемых сумма уменьшится:

2 2 2

1 : :

( ) ( )

i i i i

n

i i i i i

i x x M x x M

D x M p x M p p

2 2

:i i

i

x x M

p P M

,

откуда получаем неравенство 2

DP M

.◄

Замечание. Неравенство Чебышева дает достаточно грубую

оценку верхней границы вероятности события, так как не исполь-

зует информацию о законе распределения случайной величины.

Например, пусть 2( , )N . Тогда по «правилу трех сигм»

3 0,0027P ,

а по неравенству Чебышева

2

2

13 0,1

99P

.

Неравенство Чебышева имеет смысл использовать для оценки

вероятностей событий, когда не известен закон распределения

случайной величины.

90

Неравенство Чебышева можно записать в другой форме

2

1D

P M

.

Здесь мы имеем нижнюю границу вероятности события.

Сходимость по вероятности

Случайные величины 1 2, , ..., , ...n сходятся по вероят-

ности к случайной величине , если для любого 0

lim 1nn

P

или lim 0nn

P

.

В частности, если а ( не является случайной величиной),

то имеет место утверждение

lim 1nn

P а

или lim 0nn

P а

.

Закон больших чисел в форме Чебышева. Если слу-

чайные величины 1 2, ,..., ,...n независимы, имеют конечные

математические ожидания i iM , и существует такое С, что

( 1,2,...)iD C i , то для любого 0

1 1

1 1lim 0

n n

i in

i i

Pn n

,

то есть среднее арифметическое случайных величин сходится по

вероятности к среднему арифметическому их математических

ожиданий.

►Доказательство. Пусть 1

1 n

n i

in

, тогда

2 2

1 1

1 1,

n n

n i n i

i i

nC CM D D

n nn n

.

91

Применяя к случайной величине n неравенство Чебышева,

получаем

2 20n

n n n

D СP M

n

,

то есть

1 1

1 10

n n

i i n

i i

Pn n

.◄

Следствие. Если случайные величины имеют одинаковые

математические ожидания, то есть ( 1,2,...)i i , то для лю-

бого 0

1

10

n

i n

i

Pn

.

Теорема Бернулли. Если вероятность успеха в одном ис-

пытании Бернулли равна р, а k

n − это относительная частота

успеха в n испытаниях, то

0n

kP p

n

.

►Рассмотрим случайные величины 1 2, ,..., ,...n , где i − число

успехов в i-м испытании Бернулли. Так как

2

2 1 1 1, ( 1,2,...)

4 2 4i iM p D pq p p p i

,

то можно применить следствие из закона больших чисел, то есть

1

10

n

i n

i

P рn

.

Поскольку 1

1 n

i

i

k

n n

, то окончательно получаем

0n

kP p

n

или 1

n

kP p

n

.◄

92

ПРИМЕР 1. Количество газа, потребляемое некоторым горо-

дом в течение суток, можно считать случайной величиной. Собы-

тие А, состоящее в том, что потребление газа превысит величину

3(м сут.)Q , наступает с вероятностью 0,02р . На протяжении

двух лет (730 суток) проводились измерения потребления газа.

Считая результаты измерений независимыми, найти границы, в

которых с вероятностью 0,95 лежит относительная частота

наступления события А.

Решение. Из неравенства Чебышева

2

1 0,95D k nk

P pn

, где

2

k npq pqD

n nn

,

следует, что

2

2

0,02 0,980,05 0,023

730 0,05

pq

n

.

Тогда для относительной частоты наступления события А

имеем:

0 0,043k

n .

Можно получить более точную оценку. Так как число опытов

достаточно велико, то можно считать, что относительная частота

имеет приближенно нормальное распределение, то есть

2 0,95k n

P pn pq

,

откуда

по таблице значенийфункции Лапласа

730 7300,475 1,96 0,01

0,02 0,98 0,02 0,98

.

93

Для относительной частоты наступления события А получаем

интервал

0,01 0,03k

n .

Как видно, дополнительная информация о законе распределе-

ния позволяет сузить интервал для относительной частоты

наступления события А, то есть дать более точную оценку.■

94

1. Таблица значений функции 2 21

( )2

xx e

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

0,3989

0,3970

0,3910

0,3814

0,3683

0,3521

0,3332

0,3123

0,2897

0,2661

0,2420

0,2179

0,1942

0,1714

0,1497

0,1295

0,1109

0,0940

0,0790

0,0656

0,0540

0,0440

0,0355

0,0283

0,0224

0,0175

0,0136

0,0104

0,0079

0,0060

0,0044

0,0033

0,0024

0,0017

0,0012

0,0009

0,0006

0,0004

0,0003

0,0002

3989

3965

3902

3802

3668

3503

3312

3110

2874

2637

2396

2155

1919

1691

1476

1276

1092

0925

0775

0644

0529

0431

0347

0277

0219

0171

0132

0101

0077

0058

0043

0032

0023

0017

0012

0008

0006

0004

0003

0002

3989

3961

3894

3790

3653

3485

3292

3079

2850

2613

2371

2131

1895

1669

1456

1257

1074

0909

0761

0632

0519

0422

0339

0270

0213

0167

0129

0099

0075

0056

0042

0031

0022

0016

0012

0008

0006

0004

0003

0002

3988

3956

3885

3778

3637

3467

3271

3056

2827

2589

2347

2107

1872

1647

1435

1238

1057

0893

0748

0620

0508

0413

0332

0264

0208

0163

0126

0096

0073

0055

0040

0030

0022

0016

0011

0008

0005

0004

0003

0002

3986

3951

3876

3765

3621

3448

3251

3034

2803

2565

2323

2083

1849

1626

1415

1219

1040

0878

0734

0608

0498

0404

0325

0258

0203

0158

0122

0093

0071

0053

0039

0029

0021

0015

0011

0008

0005

0004

0003

0002

3984

3945

3867

3752

3605

3429

3230

3011

2780

2541

2299

2059

1826

1604

1394

1200

1023

0863

0721

0596

0488

0396

0317

0252

0198

0154

0119

0091

0069

0051

0038

0028

0020

0015

0010

0007

0005

0004

0002

0002

3982

3939

3857

3739

3589

3410

3209

2989

2756

2516

2275

2036

1804

1582

1374

1182

1006

0848

0707

0584

0478

0387

0310

0246

0194

0151

0116

0088

0067

0050

0037

0027

0020

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

3980

3932

3847

3726

3572

3391

3187

2966

2732

2492

2251

2012

1781

1561

1354

1163

0989

0833

0694

0573

0468

0379

0303

0241

0189

0147

0113

0086

0065

0048

0036

0026

0019

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

3977

3925

3836

3712

3555

3372

3166

2943

2709

2468

2227

1989

1758

1539

1334

1145

0973

0818

0681

0562

0459

0371

0297

0235

0184

0143

0110

0084

0063

0047

0035

0025

0018

0013

0009

0007

0005

0003

0002

0001

3973

3918

3825

3697

3538

3352

3144

2920

2685

2444

2203

1965

1736

1518

1315

1127

0957

0804

0669

0551

0449

0363

0290

0229

0180

0139

0107

0081

0061

0046

0034

0025

0018

0013

0009

0006

0004

0003

0002

0001

95

2. Таблица значений функции

2

2

0

1( )

2

tx

x e dt

x Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,1480

0,1517

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,2734

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3998

0,4015

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

0,4332

0,4345

96

x Ф(x) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

1,80

1,81

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

0,4641

0,4649

1,82

1,83

1,84

1,85

1,86

1,87

1,88

1,89

1,90

1,91

1,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,02

2,04

2,06

2,08

2,10

2,12

2,14

2,16

2,18

2,20

2,22

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

0,4772

0,4783

0,4793

0,4803

0,4812

0,4821

0,4830

0,4838

0,4846

0,4854

0,4861

0,4868

2,24

2,26

2,28

2,30

2,32

2,34

2,36

2,38

2,40

2,42

2,44

2,46

2,48

2,50

2,52

2,54

2,56

2,58

2,60

2,62

2,64

2,66

2,68

2,70

2,72

2,74

2,76

2,78

2,80

2,82

0,4875

0,4881

0,4887

0,4893

0,4898

0,4904

0,4908

0,4913

0,4918

0,4922

0,4927

0,4931

0,4934

0,4938

0,4941

0,4945

0,4948

0,4951

0,4953

0,4956

0,4959

0,4961

0,4963

0,4965

0,4967

0,4969

0,4971

0,4973

0,4974

0,4976

2,84

2,86

2,88

2,90

2,92

2,94

2,96

2,98

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80

4,00

4,50

5,00

0,4977

0,4979

0,4980

0,4981

0,4982

0,4984

0,4985

0,4986

0,49865

0,49931

0,49966

0,499841

0,499928

0,499968

0,499997

0,499999

97

3. Таблица значений функции ,x xe e

x xe xe x

xe xe x xe xe

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

1,0000

1,0050

1,0202

1,0305

1,0408

1,0513

1,0618

1,0725

1,0833

1,0942

1,1052

1,1163

1,1275

1,1388

1,1503

1,1618

1,1735

1,1853

1,1972

1,2092

1,2214

1,2337

1,2461

1,2586

1,2712

1,2840

1,2969

1,3100

1,3231

1,3364

1,3499

1,3634

1,3771

1,3910

1,4049

1,4191

1,4333

1,4477

1,4623

1,0000

0,9900

0,9802

0,9704

0,9608

0,9512

0,9418

0,9324

0,9231

0,9139

0,9048

0,8958

0,8869

0,8781

0,8694

0,8601

0,8521

0,8437

0,8353

0,8270

0,8187

0,8106

0,8025

0,7943

0,7866

0,7788

0,7711

0,7634

0,7558

0,7483

0,7408

0,7334

0,7261

0,7189

0,7118

0,7047

0,6977

0,6907

0,6839

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

1,4770

1,4918

1,5068

1,5220

1,5379

1,5527

1,5683

1,5841

1,6000

1,6161

1,6323

1,6487

1,6653

1,6820

1,6989

1,7160

1,7333

1,7507

1,7683

1,7860

1,8040

1,8221

1,8404

1,8589

1,8776

1,8965

1,9155

1,9348

1,9542

1,9739

1,9937

2,0138

2,0400

2,0544

2,0751

2,0959

2,1170

2,1383

2,1598

0,6771

0,6703

0,6637

0,6570

0,6505

0,6440

0,6376

0,6313

0,6250

0,6188

0,6126

0,6065

0,6005

0,5945

0,5836

0,5827

0,5769

0,5712

0,5655

0,5599

0,5543

0,5488

0,5434

0,5379

0,5326

0,5273

0,5220

0,5169

0,5117

0,5066

0,5016

0,4966

0,4916

0,4868

0,4819

0,4771

0,4724

0,4677

0,4630

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

2,1815

2,2034

2,2255

2,2479

2,2705

2,2933

2,3164

2,3396

2,3632

2,3869

2,4109

2,4351

2,4596

2,4843

2,5093

2,5345

2,5600

2,5857

2,6117

2,6379

2,6645

2,6912

2,7183

2,7456

2,7732

2,8011

2,8292

2,8577

2,8864

2,9154

2,9447

2,9743

3,0042

3,0344

3,0649

3,0957

3,1268

3,1582

3,1899

0,4584

0,4538

0,4493

0,4449

0,4404

0,4360

0,4317

0,4274

0,4232

0,4190

0,4148

0,4107

0,4066

0,4025

0,3985

0,3946

0,3906

0,3867

0,3829

0,3791

0,3753

0,3716

0,3697

0,3642

0,3606

0,3570

0,3535

0,3499

0,3465

0,3430

0,3396

0,3362

0,3329

0,3296

0,3263

0,3230

0,3198

0,3166

0,3185

98

x xe

xe x xe

xe x xe

xe

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

3,2220

3,2544

3,2871

3,3201

3,3535

3,3872

3,4212

3,4556

3,4903

3,5254

3,5609

3,5966

3,6328

3,6693

3,7062

3,7434

3,7810

3,8190

3,8574

3,8962

3,9354

3,9749

4,0149

4,0552

4,0960

4,1371

4,1787

4,2207

4,2631

4,3060

4,3492

4,3929

4,4371

4,4817

4,5267

0,3140

0,3073

0,3042

0,3012

0,2982

0,2952

0,2923

0,2894

0,2865

0,2837

0,2808

0,2780

0,2753

0,2725

0,2698

0,2671

0,2645

0,2618

0,2592

0,2567

0,2541

0,2516

0,2490

0,2466

0,2441

0,2417

0,2393

0,2369

0,2346

0,2322

0,2299

0,2276

0,2254

0,2231

0,2209

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

2,10

2,15

2,20

2,25

2,30

2,35

2,40

2,45

2,50

2,55

2,60

2,65

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

4,5722

4,6182

4,6646

4,7115

4,7588

4,8066

4,8550

4,9037

4,9530

5,2070

5,4739

5,7546

6,0496

6,3598

6,6859

7,0287

7,3891

7,7679

8,1662

8,5849

9,0250

9,4877

9,9742

10,486

11,023

11,588

12,182

12,807

13,464

14,154

14,880

15,643

16,445

17,288

18,174

0,2187

0,2165

0,2144

0,2122

0,2101

0,2080

0,2060

0,2039

0,2019

0,1920

0,1827

0,1738

0,1653

0,1572

0,1496

0,1423

0,1353

0,1287

0,1226

0,1165

0,1108

0,1054

0,10026

0,09537

0,09072

0,08629

0,08208

0,07808

0,07427

0,07065

0,06721

0,06393

0,06081

0,05784

0,05502

2,95

3,00

3,05

3,10

3,15

3,20

3,25

3,30

3,35

3,40

3,45

3,50

3,55

3,60

3,65

3,70

3,75

3,80

3,85

3,90

3,95

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

8,50

9,00

9,50

10,00

19,106

20,086

21,115

22,198

23,336

24,533

25,790

27,113

28,503

29,964

31,500

33,115

34,813

36,598

38,475

40,447

42,521

44,701

46,993

49,402

51,935

54,598

90,017

148,410

244,690

403,430

665,140

1096,6

1808,0

2981,0

4914,8

8103,1

13360,0

22026,0

0,05234

0,04979

0,04736

0,04505

0,04285

0,04076

0,03877

0,03688

0,03508

0,03337

0,03175

0,03020

0,02872

0,02732

0,02599

0,02472

0,02352

0,02237

0,02128

0,02024

0,01925

0,01832

0,01111

0,00674

0,00409

0,002479

0,001503

0,000912

0,000558

0,000335

0,000203

0,000123

0,000075

0,000045

99

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. − М.: Высшая школа, 1999. −

576 c.

2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Из-

дательство «Наука», 1974. – 119 с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. –

М.: «Юнити-Дана», 2006. – 573 с.

4. Хургин Я.И. Популярная теория вероятностей. – М.: Издательство

«Техника», 2001. – 112 с.

5. Фастовец Н.О. Элементы теории вероятностей и математической

статистики. – М.: Московский институт нефти и газа имени И.М. Губкина,

1991. – 110 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, мате-

матической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2007. –

288 с.

7. Калинин В.В., Фастовец Н.О. Вероятность в примерах и задачах

для нефтегазового дела. – М.: РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2014.

– 136 с.

100

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МЕЛЬНИКОВА Инна Николаевна

ФАСТОВЕЦ Нинэль Олеговна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Конспект лекций для факультета АиВТ

Редактор Л.А. Суаридзе

Компьютерная верстка И.В. Севалкина

Подписано в печать 27.12.2017. Формат 6084 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».

Усл. п.л. 6,2. Тираж 50 экз. Заказ № 709

Издательский центр

РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина

119331, Москва, Ленинский проспект, дом 65

тел./факс: 8(499)507-82-12