ЗАВДАННЯmatphys.rpd.univ.kiev.ua/wp/wp-content/uploads/2016/12/I... · 2017. 4. 18. · Інтеграли завдання 3 обчислити за формулою Стокса

1

ЗАВДАННЯ

Індивідуальні завдання

самостійної роботи № 11

В а р і а н т 1

1. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) 1

K

dlI

x y

,

K – контур трикутника : (0; 1), (2;0), (0;1)ABC A B C ;

б) 2 2( 1)K

I x y dl , 2 2:K x y x ;

в)

K

I dl , 3 2: ( 9) (9 18)K y x x .

2. Обчислити криволінійні інтеграли безпосередньо і за форму-

лою Гріна:

а) 2( sin ) (2 cos )K

I y x dx xy x dy

K – контур трикутника : (0; 1), (2;0), (0;1)ABC A B C ;

б) 2

K

I y dx xdy

, 2 2:K x y x .

3. Обчислити криволінійні інтеграли по просторових кривих (орі-

єнтації контурів вибрати самостійно):

а) ( ) (3 )K

I ydx y z dy x z dz

1 В усіх варіантах n – орт орієнтації поверхні , { ; ; }r x y z , K – додатно

орієнтований (відносно множини, яку він обмежує) контур.

2

K – контур трикутника : (2;0;0), (0;2;0), (0;0;1)ABC A B C ;

б) ( ) 2 ( )K

I x y dx ydy x z dz

, 2 2 4,

:4.

x yK

x z

4. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) I xdydz zdxdy

, – частина площини 2 2,x y z

розміщена в першому октанті, ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, – повна поверхня конуса 2 2 1x y z

(безпосередньо і за формулою Гаусса–Остроградського).

5. Інтеграли завдання 3 обчислити за формулою Стокса.



а) 2

K

dlI

y x

,

K – контур трикутника : (0;0), (2;1), (2;4)OAB O A B ;

б) 2 2

K

I x y dl , 2 2: 2K x y y ;

в)

K

I dl , 2 3: 3 , 3 , 2 (0 1)K x t y t z t t .


лою Гріна:

а) 3 2 2 3( ) (3 )K

I y x dx xy y dy

K – контур трикутника : (0;0), (2;1), (2;4)OAB O A B ;

б) 2 2 3( 2 ) (2 )K

I x y dx xy y dy

, 2 2: 2K x y y .



а) 2( ) ( )K

I x y dx ydy y z dz

3


б) 2( )K

I ydx xdy z x dz

, 2 2 1,

:2.

x yK

x z


а) I xdydz zdxdz

, – частина площини 2 2 2,x y z

розміщена в першому октанті, ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, 2 2 2: 2x y z z (безпосередньо і за фо-

рмулою Гаусса–Остроградського).




а) 2

K

I x ydl , K – контур чотирикутника :OABC

(0;0), (3;1), (3;1), (0;2)O A B C ;

б) 2( )K

I x y dl , 2 2:K x y y ;

в)

K

I dl , : cos , sin , (0 )t t tK x e t y e t z e t .


лою Гріна:

а) 2( )K

I x y dx x dy

, K – контур чотирикутника :OABC

(0;0), (3;1), (3;1), (0;2)O A B C ;

б) 2(2 3) ( 3 )K

I xy dx x xy dy

, 2 2:K x y y .



а)

K

I xydx ydy xzdz

4


б) ( ) ( ) ( )K

I x y dx y z dy x z dz , 2 2 ,

:2 .

z x yK

z x


а) I xdydz zdxdy

, – частина поверхні 2 2 2 1x y z

( 0)z , ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, – замкнена поверхня, утворена за допомо-

гою поверхонь 2 24z x y і 0z (безпосередньо і за фо-





а) 2( )K

I x y y dl , K – контур чотирикутника :OABC

(0;0), (2;0), (2;2), (0;1)O A B C ;

б) 2

K

I x ydl , 2 2: 2K x y x ;

в)

K

I dl , 2 3 2 3: 1 (0 1)K x y x .


лою Гріна:

а) 2(3 2 ) ( 3 )K

I y x dx y x dy

, K – контур чотирикутника

:OABC (0;0), (2;0), (2;2), (0;1)O A B C ;

б) 3 2 3( 1) ( 3 )K

I y x dx x y dy

, 2 2: 2K x y x .



5

а) 3 2 2 2 32 3K

I xy zdx x y zdy x y dz


б) 3 ( )K

I ydx x y dy zdz , 2 2 4,

:3.

x yK

z


а) I zdydz xdzdx

, 2 2: 1z x y , ( , )n Oz – гострий

кут;

б) ( , )I r n d

, 2 2 2: 2x y z z (безпосередньо і за фо-





а) 2 3 5

K

dlI

y x

,

K – контур трикутника :OAB (0;0), (2;0), (0;3)O A B ;

б) 2 2( )K

I x x y dl , 2 2: 4K x y x ;

в)

K

I dl , : 5cos , 5sin , 5 (0 2 )K x t y t z t t .


лою Гріна:

а) 2( )K

I x y dx x dy

,

K – контур трикутника :OAB (0;0), (2;0), (0;3)O A B ;

б) 3 3( 2 ) ( 3 )K

I y y dx x x dy

, 2 2: 4K x y x .



6

а) ( ) ( )K

I y z dx x z dy zdz


б) ( )K

I x z dx zdy ydz , 2 2 2 4,

:1.

x y zK

z


а) 5I xdydz ydzdx z dxdy

, – площина трикутника

: (0;0;0), (1;1;0), (1;1;1)ABC A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, 2

2 2: 125z

x y (безпосередньо і за фор-

мулою Гаусса–Остроградського).




а) 3

K

dlI

x y

,

K – контур трикутника :ABC ( 1;0), (1;0), (0;2)A B C ;

б) 2 2( 2 )K

I x y y dl , 2 2: 2K x y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (3 ) ( 6 3)K y x x .


лою Гріна:

а) 2( ) (2 )K

I x y dx x y dy

,

K – контур трикутника :ABC ( 1;0), (1;0), (0;2)A B C ;

б) 3 3( ) ( )K

I y x dx x y dy

, 2 2: 2K x y x .



7

а) 22K

I ydx xdy z dz


б) ( )K

I x z dx zdy ydz , 2 2 2 1,

:1 2.

x y zK

x


а) I ydydz xdxdy

, – площина трикутника :ABC

(0;0;0), (1;2;0), (0;0;3)A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, 22

2: 19 4

yxz (безпосередньо і за фор-





а) 2 7

K

dlI

x y

,

K – контур трикутника :ABC (0;3), ( 2;0), (1;0)A B C ;

б) 2 2 1

K

dlI

x y

, 2 2: 2K x y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (7 ) ( 2 7)K y x x .


лою Гріна:

а) 2( ) (2 )K

I x y dx xy x dy

,

K – контур трикутника :ABC (0;3), ( 2;0), (1;0)A B C ;

б) 3 2 3 2( ) ( )K

I y x dx x y dy

, 2 2: 2K x y x .

8



а) ( 2 ) ( 2 ) ( )K

I x y dx y z dy x y dz


б) 2( )K

I x y dx xdy z dz , 2 2 ,

:4.

x y zK

z


а) I xdydz zdzdx ydxdy


(1;0;0), (0;2;0), (0;0;1)A B C , ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d

, 2 2 2: x y z z (безпосередньо і за фо-





а) 3 2 8

K

dlI

x y

,

K – контур трикутника :ABC (0;0), (2;1), (2;3)A B C ;

б) 2 2( )K

I xy x y dl , 2 2: 2K x y y ;

в)

K

I dl , 3 2: (4 ) ( 5 4)K y x x .


лою Гріна:

а) 2 2( ) ( )K

I x y dx x y dy

,

K – контур трикутника :ABC (0;0), (2;1), (2;3)A B C ;

б) 2 2

K

I x ydx y xdy

, 2 2: 2K x y y .

9



а) ( )K

I ydx xdy x y dz


б) 2

K

I y dx zdy ydz , 2 2 2

2 2

1,:

.

x y zK

z x y


а) 2 ( )I xdydz ydzdx x z dxdy

, – площина трикутника

: (0;0;0), (1;3;0), (1;3;1)ABC A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2 2 2 1 ( 0)x y z z (безпо-

середньо і за формулою Гаусса–Остроградського).




а) 2 9

K

dlI

x y

, K – контур чотирикутника :ABCD

(0;0),A (3;0),B (3;1),C (0;2)D ;

б) 2 2( )K

I x y dl , : cos , 2 2K r ;

в)

K

I dl , : cos , sin , ( 0)t t tK x e t y e t z e t .


лою Гріна:

а) 2(2 ) (2 4 )K

I x y y dx xy x dy

, K – контур чотирику-

тника :ABCD (0;0),A (3;0),B (3;1),C (0;2)D ;

10

б) 2 2( 2 )K

I xy dx x y x dy

, : cos , 2 2.K r



а) 2

K

I xdx y dy xydz , 2 2

2 2

4 ,:

;

z x yK

z x y

б) 2

K

I z dx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(1;0;0), (0;2;0), (0;0;5)A B C .


а) I xdydz zdzdx ydxdy



б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2 2 2 4 ( 0)x y z z (безпо-





а) 10

K

dlI

x y


(0;0),A (2;0),B (2;4),C (0;4)D ;

б) 2 2( )K

I x y x dl , 2 2 2 2 2: ( ) , 0K x y x y x ;

в)

K

I dl , : 2 , 0 2K r .


лою Гріна:

11

а) 2(2 2 ) ( 10 )K

I x xy dx x x dy

, K – контур чотирикут-

ника :ABCD (0;0),A (2;0),B (2;4),C (0;4)D ;

б) (2 3 ) (13 )K

I x y dx x y dy

,

2 2 2 2 2: ( ) , 0.K x y x y x



а) 2( ) ( ) ( )K

I x y dx x z dy x y dz , K – контур трикут-

ника :ABC (2;0;0), (0;2;0), (0;0;10)A B C ;

б)

K

I ydx xdy xzdz , 2 2

2 2

2 ,:

.

z x yK

z x y


а) I xdydz zdxdy


(2;0;0), (0;2;0), (0;0;10),A B C ( , )n Oz – гострий кут;

б) 3 3I I x dydz y dzdx zdxdy

, – замкнена поверхня,

утворена за допомогою поверхонь 2 2z x y і

2 22 ( 0)z x y z (безпосередньо і за формулою Гаусса–

Остроградського).




а) 11

K

dlI

x y


(0;0),A (2;0),B (2;5),C (0;1)D ;

б)

K

I xdl , 22

: 19 4

yxK ;

12

в)

K

I dl , 3 2: (11 ) ( 5 11)K y x x .


лою Гріна:

а) 2 2(3 )K

I x y dx y dy

, K – контур чотирикутника

:ABCD (0;0),A (2;0),B (2;5),C (0;1)D ;

б) ( ) ( )K

I x y dx x y dy

, 22

: 19 4

yxK .



а) ( )K

I ydx x z dy ydz , K – контур трикутника :ABC

(1;0;0), (0;2;0), (0;0;2)A B C ;

б) ( )K

I ydx xdy x z dz , 2 2 4,

:4.

x yK

x z


а) I d

, – частина півсфери 2 2 2 4 ( 0)x y z z , ви-

різана циліндром 2 2 2x y x ;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 4x y , 0z і 4x z (безпосередньо і

за формулою Гаусса–Остроградського).




а) 2 3 12

K

dlI

x y

, K – контур трикутника :ABC ( 2;0),A

(0;1),B (0; 1)C ;

13

б) 2 2( 2 )K

I x y x dl , 2 2:K x y x ;

в)

K

I dl , : cos (0 4)K r .


лою Гріна:

а) 2 2( ) (3 )K

I y x dx xy y dy

, K – контур трикутника

:ABC ( 2;0),A (0;1),B (0; 1)C ;

б) 3 2 3 2(2 3 ) ( 2 )K

I y x dx x y dy

, 2 2:K x y x .



а) ( ) ( )K

I ydx z y dy x z dz , K – контур трикутника

:ABC (1;0;0), (0;3;0), (0;0;2)A B C ;

б) ( ) 2K

I x y dx ydy zdz , 2 2 1,

:2.

x yK

y z


а) 2I xdydz z dxdy



б) ( , )I r n d

, 2 2 2: 2 3x y z z (безпосередньо і за

формулою Гаусса–Остроградського).




а) 13

K

dlI

x y

, K – контур трикутника :ABC

( 1;0), (2;0), (0;2)A B C ;

14

б)

K

I xdl , K – контур, утворений за допомогою кривих

2y x і 22y x ;

в)

K

I dl , : (1 9)K y x x x .


лою Гріна:

а) ( ) ( 1)K

I x y dx xy dy

, K – контур трикутника :ABC

( 1;0), (2;0), (0;2)A B C ;

б) 2 2(3 ) (13 )K

I y x dx x y dy

, K – контур, утворений за

допомогою кривих 2y x і 22y x ;



а) 2 ( )K

I x ydx z x dy zdz , K – контур трикутника

:ABC (0;0;0), (2;3;0), (0;3;4)A B C ;

б)

K

I zdx ydy xdz , 2 2 2 4,

:1.

x y zK

y


а) 2 2 2( )I x y z d

, – частина поверхні конуса

2 2 2(2 ) 0z x y ( 2)z , вирізана параболоїдом

2 2z x y , ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 4x y , 1y z і 4y z (безпосеред-

ньо і за формулою Гаусса–Остроградського).


15



а) 14

K

xdlI

x y

, K контур трикутника :ABC (0; 2),A

(3;0),B (0;1)C ;

б)

K

I xydl , K – контур, утворений за допомогою кривих

2y x і 28y x ;

в)

K

I dl , K – контур, утворений за допомогою кривих

3 2(14 )y x , 5x і 0y .


лою Гріна:

а) ( 2 ) ( 1)K

I x y dx xy dy

, K контур трикутника

:ABC (0; 2), (3;0), (0;1)A B C ;

б) 2 2( 2 ) (3 )K

I x y dx x y dy


допомогою кривих 2y x і 28y x ;



а) (3 2 )K

I x y dx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(0;0;0), (2;1;0), (0;1;3)A B C ;

б) ( ) ( )K

I x y dx y z dz , 2 2 2 4,

:1.

x y zK

y


а) 2I y dydz xdzdx

, K – площина трикутника :ABC


16

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2 24 z x y (безпосередньо і





а) 2 15

K

dlI

x y


(0;0),B ( 1;1)C ;

б)

K

I xdl , K – контур, утворений за допомогою кривих

2y x і 2 2y x ;

в)

K

I dl , : cos ( 2 2).K r


лою Гріна:

а) 2(2 3 ) (3 2 )K

I x y dx x y dy


:ABC ( 3;0),A (0;0),B ( 1;1)C ;

б) 2 2( 2 ) (3 )K

I x y dx x y dy

,

: cos ( 2 2)K r .



а) 2( )K

I zdx x z dy z dz , K – контур трикутника :ABC

(1;0;0), (0;2;0), (1;1;3)A B C ;

б)

K

I zdx xdy xdz , 2 2 1,

:2.

x yK

x z


17

а) 2I x dydz ydzdx xdxdy

, K – площина трикутника

:ABC (1;0;0), (0;2;0), (1;1;3)A B C , ( , )n Oz – гострий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2 2 2 2x y z ( 0)z (безпо-





а) 16

K

xdlI

x y


(0;4),B (1;0)C ;

б)

K


2 1y x і 2 7y x ;

в)

K

I dl , : sin (0 ).K r


лою Гріна:

а) 2( ) (3 )K

I x y dx x y dy


:ABC ( 1;2),A (0;4),B (1;0)C ;

б) 2 2( ) ( )K

I x y x dx y xy dy

, : sin (0 ).K r



а)

K

I xydx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(1;1;0), (0;2;0), (3;2;2)A B C ;

18

б) sinK

I ydx ydy dz , K – контур, утворений перетином

сфери 2 2 2 4x y z з координатними площинами

0, 0, 0x y z ( 0, 0, 0x y z ).


а) 2I y dzdx xdxdy



б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 2 2x y z z і 1 2z (0 1 2)z (без-

посередньо і за формулою Гаусса–Остроградського).




а) 2 9

K

dlI

x y


( 3;0),A (0; 2),B (3;0),C (0;2)D ;

б)

K


21y x і 1y x ;

в)

K

I dl , : sin ( 2 ).K r


лою Гріна:

а) 2 2(2 3 ) (3 )K

I x y dx x y y dy

, K – контур чотирикут-

ника :ABCD ( 3;0),A (0; 2),B (3;0),C (0;2)D ;

б) 3 3( 2 ) ( 3 )K

I y x dx x y dy

, : sin ( 2 ).K r

19



а) 2( )K

I y x dx x dy zdz , K – контур трикутника :ABC

(6;0;0), (0;3;0), (0;0;3)A B C ;

б)

K

I ydx xdy zdz , 2 2 ,

:2( ).

z x yK

z x y


а) ( )I x z dydz zdxdy



б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2( ) 1z x y (безпосередньо і





а) 2 9

K

xdlI

x y


(2;0),B (0; 3)C ;

б)

K


21y x і 3 3y x ;

в)

K

I dl , : cos ( 2 3 2).K r


лою Гріна:

а) 2(2 5 ) (3 )K

I x y dx x x dy


:ABC ( 3;0),A (2;0),B (0; 3)C ;

20

б) 2 2( 5 ) ( 6 )K

I x y dx y x dy


допомогою кривих 21y x і 3 3y x .



а) (2 3 ) ( 2 )K

I y x dx z y dy ydz , K – контур трикутника

:ABC (1;1;0), (0;1;0), (0;0;2)A B C ;

б) ( )K

I z y dx zdy ydz , 2 2 ,

:2 2 .

z x yK

z x y


а) (2 3 )I x z dydz xdzdx ydxdy

, K – площина трикут-

ника :ABC (1;1;0), (0;1;0), (0;0;2)A B C , ( , )n Oz – гострий

кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 1x y z (безпосередньо і за

формулою Гаусса–Остроградського).




а) 10

K

ydlI

x y


(2;0),B (0; 3)C ;

б)

K


21y x і 4 4y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (19 ) ( 6 19).K y x x

21


лою Гріна:

а) 2 2( ) ( )K

I x y dx x y dy


:ABC ( 3;0),A (2;0),B (0; 3)C ;

б) (2 ) (3 2 )K

I y x dx x y dy

, K – контур, утворений за до-

помогою кривих 21y x і 4 4y x .



а) (3 2 )K

I z x dx ydy xdz , K – контур трикутника :ABC

(4;0;0), (0;3;0), (0;0;3)A B C ;

б) ( )K

I z x dx zdy ydz , 2 2 ,

:2 2 .

z x yK

z y x


а) ( ) ( )I x y dydz x z dzdx xdxdy

, K – площина трику-

тника :ABC (4;0;0), (0;3;0), (0;0;3)A B C , ( , )n Oz – гострий

кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 2 1x y z , 1z і 1z (безпосередньо

і за формулою Гаусса–Остроградського).




а) 10

K

xdlI

x y

, K – контур трикутника :ABC (0;0),A

(3;0),B (0; 3)C ;

22

б)

K


21y x і 5 5y x ;

в)

K

I dl , 3 2: ( 10) (10 14).K y x x


лою Гріна:

а) 2(sin ) (2 )K

I x y dx xy x dy


:ABC (0;0),A (3;0),B (0; 3)C ;

б) 2(2 ) ( 5 )K

I yx y dx x y dy





а) ( )K

I x z dx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(2;2;0), (2;2;2), (0;0;0)A B C ;

б) ( )K

I x y dx xdy ydz , 2 2 ,

:2 .

z x yK

z x


а) ( )I y z dydz xdxdy


(2;2;0), (2;2;2), (0;0;0)A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2z x (безпосередньо і за фор-





23

а) 10

K

ydlI

x y


(0;0),B (0;4)C ;

б)

K


21y x і 3 3y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (2 1) (1 2 5 2).K y x x


лою Гріна:

а) 2( ) (2 )K

I x y dx xy y dy


:ABC ( 3;0),A (0;0),B (0;4)C ;

б) 2( ) ( 3 )K

I y x dx y x dy





а) 2

K

I x dx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(4;0;0), (0;3;0), (0;0;2)A B C ;

б) ( ) ( )K

I y z dx x z dy zdz , 2 2 ,

:2 .

z x yK

z y


а) ( )I x z dydz zdxdy



б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2z x y і 2z y (безпосередньо і за фор-



24



а) 12

K

xdlI

x y


(0;3),B (0; 3)C ;

б)

K


21y x і 4 4y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (2 1) (0 4).K y x x


лою Гріна:

а) 2( 2 ) ( 2 )K

I xy x dx x y dy


:ABC ( 2;0),A (0;3),B (0; 3)C ;

б) 2 3( 1) ( )K

I x y dx y x dy





а) 2

K

I z dx xdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(2;2;0), (0;2;0), (2;2;4)A B C ;

б) (2 3 ) 2K

I x z dx xdy zdz , 2 2 4,

:.

x yK

z x


а) ( 2 ) ( 2 )I x z dydz y x dxdy


:ABC (2;2;0), (0;2;0), (2;2;4)A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

25

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 4x y , 1x y z і 4x y z (без-





а) 12

K

xdlI

x y


(0;3),B (0; 3)C ;

б)

K


21y x і 4 4y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (2 1) (0 4).K y x x


лою Гріна:

а) 2( 2 ) ( 2 )K

I xy x dx x y dy


:ABC ( 2;0),A (0;3),B (0; 3)C ;

б) 2 3( 1) ( )K

I x y dx y x dy





а) 2

K

I z dx xdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(2;2;0), (0;2;0), (2;2;4)A B C ;

б) (2 3 ) 2K

I x z dx xdy zdz , 2 2 4,

:.

x yK

z x


26

а) ( 2 ) ( 2 )I x z dydz y x dxdy


:ABC (2;2;0), (0;2;0), (2;2;4)A B C , ( , )n Ox – гострий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 9x y , 2x y z і 3x y z (без-





а) 12

K

dlI

y


(0;0),B (1;1)C ;

б)

K


21y x і 5 5y x ;

в)

K

I dl , 3 2: (1 2 ) ( 3 2 1 2).K y x x


лою Гріна:

а) (5 2 ) (6 )K

I x y dx x y dy


:ABC ( 1;1),A (0;0),B (1;1)C ;

б) 2(5 ) (2 )K

I x y dx xy x dy





а) (2 3 )K

I x y dx zdy ydz , K – контур трикутника :ABC

(3;0;0), (0;2;0), (0;0;1)A B C ;

27

б) 2

K

I y dx xdy zdz , 2 2 2,

:2 .

x yK

z x


а) ( 2 ) (3 )I x z dydz z x dzdx zdxdy

, K – площина

трикутника :ABC (3;0;0), (0;2;0), (0;0;1)A B C , ( , )n Oz – го-

стрий кут;

б) ( , )I r n d


гою поверхонь 2 2 1x y , 2 4x y z і 2 1x y z

(безпосередньо і за формулою Гаусса–Остроградського).


Індивідуальні завдання

самостійної роботи № 21


1. Знайти похідну за напрямом l і градієнт скалярного поля u в

точці 0M , якщо 1

ur

, { 1;2;3}l , 0 (3;4;0)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotr r r

r x yr

; б) 3rot ( grad )re r x r ;

в) 2divgrad arctgy

zx

; г)

3graddiv

rxr

r

;

д) rot rot rot ( )xr y xr .

3. Перевірити, чи є поле F потенціальним. У випадку ствердної

відповіді знайти скалярний потенціал u поля F ( gradF u ):

1 В усіх варіантах { ; ; }r x y z , 2 2 2| |r r x y z .

28

2 2

2 2 2 2; 2 ;

xy xzF y z y

y z y z

.

4. Перевірити, чи є поле F соленоїдним. У випадку ствердної ві-

дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ):

{2 ; 0; 2 }F yz xy x .

5. Перевірити виконання рівностей:

а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;

б) div( ) rot rota b b a a b ;

в) div( ) rot graduF u F u F ;

г) rot( ) rot graduF u F u F ;

д) rot(rot ) graddivF F F ,

якщо

{ 1;2;3}c , x y

a rr

, b yr , 2 2u x y ,

2

.r

F rx




1u

r , {1; 2;3}l , 0 ( 3;0;4)M .

2. Знайти:

а) 2

div rot( )x

r xyrr

; б) rot ( grad )r re yr x e ;

в) 3

1divgrad

yxy z r

; г) graddiv

ryr

r ;

д) 2rot rot rot ( )yr x y r .



2 22 ; ;zx zxF y xe x e .

29


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 23 ; 3 ; 3{ }F y z z x x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо {1; 2;3}c , r

ax

, 2b y r , 1

ur

, 2

.x

F ry



точці 0M , якщо x

ur

, { 1;2; 3}l , 0 (3;0; 4)M .

2. Знайти:

а) 2

3div rot( )

y rr xzr

r r

; б) rot ( grad )re zr y r ;

в) 3

1 1divgrad sinxe y

r r

; г) graddivr

zrr ;

д) rot rot ( ) rot ( )x y r z yr .



3 2 1 2 1 2 21; ;

2y z y z y zF x e x ze x z e .



3 21; 0;

2yz xyF ze x xe .

30


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 1;2;3}c , r

ay

, r

br

, 3

1u

r ,

2.

yF r

z



точці 0M , якщо y

ur

, {3; 1;2}l , 0 ( 3;0;4)M .

2. Знайти:

а) 23

div rot( )z r

r x rr r

; б) 1rot grad

rz

x r ;

в) 2 22 3

1divgrad ln ( )

xz x y

r r

;

г) 22

graddiv gradr z

z rxyr

; д) rot rot rot ( )

ry zr

x y

.



2 2

3 3 3; ;

xyr x xzF

r r r

.



0; 0; sin cos{ }F y xy x xy .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;


31




якщо {2; 1;3}c , 2

ra

x ,

2

rb

y ,

2

1u

r ,

2.

xF r

y r



точці 0M , якщо z

ur

, { 3;1;2}l , 0 (3;0; 4)M .

2. Знайти:

а) 2

23

div rot( )z r

r y rr r

; б) 1

rot gradzr xyzr

;

в) 3

1divgrad sinxy

ze yrr

;

г) 23

1graddiv grad

ry r

rr

; д) rot rot rotr r

zxr z

.



2 2

3 3 3; ;

xy r y yzF

r r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 2; ;{ }F y z x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;




32


якщо

{3; 1;2}c , y

a rz

, x

b rz

, 4

1u

r ,

2

.y r

Fx r



точці 0M , якщо 2x

ur

, {3;1; 2}l , 0 (3;0; 4)M .

2. Знайти:

а) 2

23

div rot( )x r

r z rr r

; б)

2

1rot grad

rx

z r

;

в) 2

1divgrad coszy

e xr r

;

г) 3

graddiv grad( )r r

xyzr y

; д) 2rot rot rot

r rz

yr z

.



2 2

3 43 3

2 3; ;

2

x x xF

z y z yy z

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2; ; 0{ }xy zy xz xyF xze y e x e zye .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





33

якщо {3;1; 2}c , r

a xr

, r

b yr

, x

ur

, .xr

Fz



точці 0M , якщо 2y

ur

, {1;3; 2}l , 0 ( 3;0;4)M .

2. Знайти:

а) 2

3div rot

y r rr

r yr

; б)

2

1rot grad

ry

rz

;

в) 2 1

divgrad arctgz zr r x

;

г) 2 3

graddiv gradr r z

xyr r

; д) rot rot rot

r rx

zr y

.



3 2 2 2 2

3 3 3

2 ( ); ;

x x y z x y x zF

r r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 2 2 2 2

3 3 3; ;

z r xy x r yz y r xzF

r r r

.


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





34

якщо {3;1; 2}c , z

a ry

, y

b rz

, y

ur

, 2

.x r

Fzr




ur

, {3; 1;2}l , 0 (3; 4;0)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotz r r

rr zr

; б) 3 3

1rot grad

ry

z r

;

в) 1divgrad

x rr x r ;

г) 3

graddiv gradr r

r rx r

; д) rot rot rotr r

zx r .



2 2

3 3 3; ;

xy yzx zF

r r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2

3 3 3; ;

xz zy xz yz y xF

r r r

.


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо {3; 1;2}c , y

a rz

, x

b rz

, z

ur

, .xyr

Fr

35



точці 0M , якщо 2z

ur

, { 3;1; 2}l , 0 (0; 3;4)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotxy r r

rr x yr

; б) 3

1rot grad

rz

rx

;

в) 1

divgrady rr x r

;

г) 3

1graddiv grad

r rr

y rr

; д) rot rot rot

r rr

y x

.



2 2 2 2

3 3 3

( ) ( ); ;

z y z xyz x y zF

r r r

.



{ ; ; }F z x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 3;1; 2}c , x

a rz

, y

b rz

, z

ur

, .xz

F ryr

36




ur

, { 2;1;3}l , 0 ( 3;0;4)M .

2. Знайти:

а) 2

3 3div rot

z r rr

r r z

; б)

1 1rot grad

rxy x r

;

в) 1

divgrad arctgxy xr r y

;

г) 3

1graddiv grad

r rr rr

; д) 2 5

rot rot grad .xyr rzx r



2 2 2 2

3 3 3

( ) ( ); ;

xyz z x z y x yF

r r r

.



2 ; 3 ; 4{ }F z x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 2;1;3}c , x

a ry

, z

b ry

, xy

ur

, .xy

F rr

37



точці 0M , якщо yz

ur

, { 1; 2;1}l , 0 ( 4;0;3)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotyz r

r xyrr r

; б) rot grad

r xyz

yz r

;

в) 2

1divgrad

x rr ry

;

г) 3

1graddiv grad

xyr rr

z rr

; д) rot rot rot .

r zrr

r x



2

2; ;

r x x xr xzF

y yr r yry

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2; ; 3{ }F z x xy xz .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо {0;2; 3}c , xz

a ry

, r

br

, 2z

ur

, .xr

Fr

38



точці 0M , якщо xyz

ur

, {4; 1;3}l , 0 ( 3;0; 4)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotxy r r

rr xzr

; б)

1rot grad

sin

yrr y r

;

в) 21divgrad

xzr

r r ; г)

3graddiv

xyr rr rr

;

д) 3

rot rot grad .cos

x yxr rr rr



2

2; ;

zyz zr r zF

r xr x xrx

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 22 ; ; 2{ }F yz x x y xz x z .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 3;4;1}c , a rr , r

bxr

, 2x

ur

, .yr

Fr

39



точці 0M , якщо r

uxy

, { 2;1;2}l , 0 (0;3;4)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotr r rr

rx xr

; б) 1

rot gradr

rxy r

;

в) 43

1divgrad

rr

x r

; г) 3

1graddiv grad ;

r rr

xy rr

д) 5

1rot rot rot .

yrrr zr



2

2; ;

xyr x x xrF

z zy zr r z

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 22 ; 2 ;{ }F xyz y xyz zy xz .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 1;1;4}c , z

a rr

, 3

rb

r ,

3

zu

r ,

3.

zrF

r

40




xu

r , { 4;2;3}l , 0 (1;4;8)M .

2. Знайти:

а) 3 3 3

div rotxr r xr

r r r

; б) 3

1rot grad

xrz

rr

;

в) 3

1divgrad

xr

rr

; г) 5 3

1graddiv grad ;

r rr

rr r

д) 3 3 3

rot rot grad .xr r x

r r r



2 2

3 3 3; ;

y x y y x xyzxF

r rr r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 3 3 21; 2 2 ; 1{ }F zx x yz xyz x z .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 5;3;1}c , 1

a rxz

, b rr , 3

xu

r ,

3.

xyrF

r

41




yu

r , {2; 4;3}l , 0 ( 1;4;8)M .

2. Знайти:

а) 3 3 3

div rotyr yrr

r r r

; б)

3

1rot grad

yrr

rr

;

в) 23

divgrad lny

r rr

; г)

3 3

1graddiv grad ;

yrrr

xr r

д) 3

rot rot grad .ryr xye r

zr



2 2

3 3 3; ;

xyzz x z x xzF

r rr r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 22 ; ; 2{ }F y z x z x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 2;1;3}c , 3

xa r

r , b xrr ,

3

xu

r ,

3.

xyrF

r

42




xyu

r , {2; 4;3}l , 0 (1; 4;8)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotxyr xyrrr rr

; б) rot gradrxyr xy

e rr r

;

в) 23

1divgrad

xyr

rr

; г) 2

3

1graddiv grad ;

rrr r

rr

д) rot rot sin grad .xyr xyz

r rr r



2

3 3 2 3

1; ;

xyx x xF

rz zr zr z r zr

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 3 3 2 2 3; ;{ }F y z y x z x x y y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 2;3;4}c , xy

a rr

, y

b rr

, 3

xyu

r ,

3.

xzF r

r

43




zu

r , { 3;2;4}l , 0 (1;4; 8)M .

2. Знайти:

а) 3 3 3

div rotzr r xzr

r r r

; б) 3 3

rot ln gradr xz

r rr r

;

в) 43

1divgrad

zr

rr

; г) 33

1 1graddiv grad ;

rr r

x rr

д) 23

sinrot rot grad .rzr r

rerr



2 2 2

3 3 3; ;

yz x yz xy z xy xyzxzF

r r rr r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 3 2 2 3 2 2 33 2 ; 3 2 ; 3 2{ }F x y z x yz xy z xy z x yz xyz .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо {4; 3;5}c , 3

za r

r , r

br

, 3

zu

r ,

3.

zF r

r

44




xzu

r , {2;0; 3}l , 0 ( 1;4; 8)M .

2. Знайти:

а) 3 3 3

div rotxzr r xzr

r r r

; б) 5 3

rot gradr xz

rxrr r

;

в) 3

1divgrad ln

xzr

rr

; г) 3

1 1graddiv grad ;

rrr

y rr

д) 3 2 3rot rot grad( ) .xzr

r r x yzr



3 2 2 222 ; ;

x y x y x yzF xyr x r

r r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 3 3 2 2 3 3 2 2; ;{ }F xz x y x y yz x y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 2;4;1}c , xza r

r , b xrr ,

3

xzu

r ,

3.

xzF r

r

45




ur

, { 3;1; 2}l , 0 ( 1;4; 8)M .

2. Знайти:

а) 2 2

3 3div rot

x r r x rr r r

; б)

2

rot gradsin

r xyrr

r r

;

в) 2

21divgrad div( )

xr r

r r

;

г) 23

1graddiv grad ;

rr r r

zr

д) 2

2 3rot rot ln grad( ) .x r

r r xy zr



2 2 2

2 4 2 4 2 4

2 2 2; ;


r r r r r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 2 2 3; ;{ }F xz yx xy yz y .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 4; 2;1}c , 2x

a rr

, y

b rr

, 2x

ur

, 2

.x

F rr

46




ur

, { 1; 4; 3}l , 0 (8; 4;1)M .

2. Знайти:

а) 23

3div rot

x yrx r rr rr

;

б) 3

7rot grad( )zr x

r xyerr

; в)

3 1divgrad ln

xr

r r

;

г) 3

3

1graddiv grad ;

x rr

r rr

д) 3

2 3rot rot grad( ) .x r

rr xy zr



2 2 2

3 3 3; ;


r r rr r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 3 2 3 2 3 23 ; 3 ; 3{ }F x z xyz xy x yz yz xy z .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо { 2;3;5}c , 3x

a rr

, y

b rr

, 3x

ur

, 3

.x

F rr

47




ur

, { 4; 2; 3}l , 0 ( 8; 4; 1)M .

2. Знайти:

а) 3 3

3div rot

y r y rrr rr

;

б) 2 5rot div grad( )r re r r x yz

r ;

в) 3

2 21divgrad ln ( )

yx y

r r

;

г) 3

3

1graddiv grad ;

y rr

r rr

д) 3

2 2

1rot rot grad .

y r xyzr

r r r



3 2 2 2 2 22

3 3 3

2; ;

xyz x yz x y z x y x yzx zF

r r rr r r

.



2 2; ;

yz xyz x z xF

x y y zx z

.


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;




48


якщо { 3;4;5}c , 3y

a rr

, rb

y ,

3yu

r ,

3

.z

F rr




ur

, {2; 1; 4}l , 0 (8; 4;1)M .

2. Знайти:

а) 3 3

3div rot

z r r z rr rr

; б)

33rot grad

x yrz r

zr

;

в) 3 1

divgrad divz rr r r

;

г) 3

5graddiv grad ;

y rr r

r r

д)

3

3rot rot .

z r r xr

r rr



2 3 2 2 2 3 2 2

3 3 3

2 2; ;

xy x y x y x y x y zF

r rr r r

.


дповіді знайти векторний потенціал A поля F ( rotF A ): 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 33 ; 3 ; 3{ }F xy z x y x yz y z x y z x z .


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





49

якщо { 5; 3; 1}c , 3z

a rr

, rb

x ,

3zu

r ,

3

.z

F rr



точці 0M , якщо 2x y

ur

, { 3; 2; 1}l , 0 (4; 8;1)M .

2. Знайти:

а) 2

3div rot ( )

x yr rzr

r r

; б)

3

3rot grad

r xzzr

yr

;

в) 2

1divgrad div

x y rr r r

;

г) 2

1graddiv grad ;

xy rr

r rr

д)

5rot rot grad .

xr rr

r r



2 22 3 2 2 2 3

3 3 3

2 2; ;

x yzxz x z x z x zF

r rr r r

.



2 2; ;

y y yzx x xzF

z x y z y x

.


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





50

якщо { 5; 6; 3}c , 2x y

a rr

, rb

y ,

2x yu

r , .

rF

xy




uxr

, { 3; 1; 2}l , 0 (8; 4; 1)M .

2. Знайти:

а) 3

div rotr r rxr rr

; б) 3 1rot grad

cosr

y rr xr ;

в) 1 1divgrad div

rxr r r

; г) 3 1

graddiv grad ;z r

rr r r

д) 2rot rot grad .ryrre r

xr



2

3 2 3 3

2; ;

y xyx r z xzF

r xr xrr x r r

.



; ;y yx x z z

Fz y x z y x

.


а) 2 2grad | | 2 | | ( , )( )c r c r c r c ;





якщо {2; 3; 6}c , ra

xr , r

br

, 1

uxr

, .r

Fxr

51

Додаткові завдання

Знайти гармонічну функцію u ( divgrad 0u u ) для випад-

ків:

а) ( )u u x в ПДСК,

б) ( )u u r в ССК ( | |r r ),

в) ( )u u r в ЦСК або ПСК ( 2 2r x y ),

г) ( )u u в ССК,

ґ) ( )u u в ССК,

якщо:

1) 1, 2, 3, 4a b ; 2) 2, 3, 4, 5;a b

3) 3, 4, 5, 6a b ; 4) 2, 1, 4, 3a b ;

5) 3, 2, 5, 4a b ; 6) 4, 3, 6, 5a b ;

7) 4, 5, 5, 6a b ; 8) 4, 5, 5, 6a b ;

9) 6, 7, 6, 7a b ; 10) 6, 5, 5, 4a b ;

11) 7, 6, 8, 9a b ; 12) 7, 8, 6, 5a b ;

13) 8, 7, 5, 6a b ; 14) 9, 10, 5, 6a b ;

15) 9, 10, 6, 5a b ; 16) 9, 10, 7, 6a b ;

17) 10, 9, 8, 7a b ; 18) 10, 9, 1, 2a b ;

19) 11, 12, 2, 6a b ; 20) 12, 11, 4, 7;a b

21) 12, 10, 5, 6a b ; 22) 8, 4, 3, 6a b ;

23) 10, 4, 8, 6a b ; 24) 4, 6, 3, 5a b .

Documents

ЗАВДАННЯmatphys.rpd.univ.kiev.ua/wp/wp-content/uploads/2016/12/I... · 2017. 4. 18. · Інтеграли завдання 3 обчислити за формулою Стокса