СБОРНИК ТЕЗИСОВkromsh.info/files/abstracts/abstracts-2013-p2.pdf · 2017-12-05 · 6 Крымская Международная Математическая Конференция

Taurida National V. Vernadsky UniversityCrimea Scientific Center of Ukrainian NAS

Crimea Mathematical Foundation

Crimea Academy of Sciences

Международная конференция

International Conference

КММК-2013

(CIMC-2013)

Крымская Международная Математическая Конференция

Crimea International Mathematical Conference

СБОРНИК ТЕЗИСОВ

BOOK OF ABSTRACTS

Том 2 (Vol. 2)

Секция 5. Обыкновенные дифференциальные и

дифференциально-операторные уравнения

Секция 6. Дифференциальные уравнения в частных производныхСекция 7. Геометрия и топология

Судак, Украина, 22 сентября – 4 октябряSudak, Ukraine, September, 22 – October, 4

2013

Организационный комитет:

Копачевский Николай Дмитриевич (председатель),Орлов Игорь Владимирович (заместитель председателя),Муратов Мустафа Абдурешитович (заместитель председателя),

Рудницкий О.И., Старков П.А.,Анашкин О.В., Донской В.И., Чехов В.Н.,Белан Е.П., Марянин Б.Д., Пашкова Ю.С.,Смирнова С.И., Войтицкий В.И., Кисель О.С.

Секретари Оргкомитета:

1. Войтицкий Виктор Иванович (3, 5, 12 секция);2. Пашкова Юлия Сергеевна (2, 6, 9 секция);3. Ситшаева Зера Зекерьяевна (10, 11 секция);4. Смирнова Светлана Ивановна (1, 4, 8 секция);5. Старков Павел Александрович (7, 13 секция).

Редакционный совет:

Копачевский Н.Д., Орлов И.В. (главный редактор),Войтицкий В.И., Пашкова Ю.С., Ситшаева З.З., Смирнова С.И., Старков П.А.

Программный комитет:

Абламейко С.В. (Минск), Агранович М.С. (Москва), Азизов Т.Я. (Воронеж),Аминов Ю.А. (Харьков), Антоневич А.Б. (Минск), Бабенко В.Ф. (Днепропетровск),Банах Т.О. (Львов), Барняк М.Я. (Киев), Баскаков А.Г. (Воронеж), Бойчук А.А. (Киев),Борисенко А.А. (Сумы), Буренков В.И. (Москва, Падуя), Бурский В.П. (Донецк),Власов В.В. (Москва), Власов В.И. (Москва), Гандель Ю.В. (Харьков),Гликлих Ю.Е. (Воронеж), Гольдман М.Л. (Москва), Гончарова О.Н. (Симферополь),Горбачук М.Л. (Киев), Гузь А.Н. (Киев), Гупал А.М. (Киев), Дмитрук А.В. (Москва),Жаркынбаев С.Ж. (Алма-Аты), Жуковский В.И. (Москва), Журавлев Ю.И. (Москва),Зеликин М.И. (Москва), Зелинский Ю.Б. (Киев), Калябин Г.А. (Москва),Ковалевский А.А. (Донецк), Когут П.И. (Днепропетровск), Козлакова Г.А. (Киев),Кононов Ю.Н. (Донецк), Копачевский Н.Д. (Симферополь), Левенштам В.Б. (Ростов-на-Дону),Луковский И.А. (Киев), Маламуд М.М. (Донецк), Мельникова И.В. (Екатеринбург),Михайлец В.А. (Киев), Муратов М.А. (Симферополь), Никишов В.И. (Киев),Овчинников В.И. (Воронеж), Орлов И.В. (Симферополь), Островский В.Л. (Киев),Печенцов А.С. (Москва), Пивоваров А.Г. (Симферополь), Попов А.Ю. (Москва),Пташник Б.Й. (Львов), Романюк А.С. (Киев), Рудаков К.В. (Москва), Руткас А.Г. (Харьков),Самойленко А.М. (Киев), Самойленко Ю.С. (Киев), Сапоженко А.А. (Москва),Седлецкий А.М. (Москва), Сергиенко И.В. (Киев), Скубачевский А.Л. (Москва),Солдатов А.П. (Белгород), Сторож О.Г. (Львов), Суслина Т.А. (Санкт-Петербург),Тиман М.Ф. (Днепропетровск), Тригуб Р.М. (Донецк), Фурсиков А.В. (Москва),Хруслов Е.Я. (Харьков), Чуешов И.Д. (Харьков), Шарко В.В. (Киев),Шишков А.Е. (Донецк), Шульман В.С. (Вологда), Юнаковский А.Д. (Нижний Новгород).

Крымская Международная Математическая Конференция (КММК-2013).Crimea International Mathematical Conference (CIMC-2013).Крымская Международная Математическая Конференция. Тезисы докладов. Том 2. –Симферополь: издательство КНЦ НАНУ, 2013. – 88 с.

c© Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, 2013.

www.kromsh.info 3

Тематика работы:

Секция 1. Вещественный и комплексный анализ.

Руководители: Орлов И.В., Попов А.Ю., Тригуб Р.М.Секретарь: Смирнова С.И.

Секция 2. Общая теория операторов.

Руководители: Антоневич А.Б., Муратов М.А., Островский В.Л., Шульман В.С.Секретарь: Пашкова Ю.С.

Секция 3. Спектральная теория операторов.

Руководители: Баскаков А.Г., Копачевский Н.Д., Михайлец В.А.Секретарь: Войтицкий В.И.

Секция 4. Теория функциональных пространств.

Руководители: Бабенко В.Ф., Гольдман М.Л., Орлов И.В.Секретарь: Смирнова С.И.

Секция 5. Обыкновенные дифференциальные и

дифференциально-операторные уравнения.

Руководители: Белан Е.П., Печенцов А.С., Скубачевский А.Л., Юрко В.А.Секретарь: Войтицкий В.И.

Секция 6. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Руководители: Бурский В.П., Копачевский Н.Д., Левенштам В.Б., Солдатов А.П.,Суслина Т.А.Секретарь: Пашкова Ю.С.

Секция 7. Геометрия и топология.

Руководители: Борисенко А.А., Гликлих Ю.Е., Зелинский Ю.Б., Рудницкий О.И.Секретарь: Старков П.А.

Секция 8. Оптимальное управление и вариационное исчисление.

Руководители: Дмитрук А.В., Зеликин М.И., Когут П.И., Орлов И.В.Секретарь: Смирнова С.И.

Секция 9. Теория игр и экономическое поведение.

Руководители: Жаркынбаев С.Ж., Жуковский В.И., Муратов М.А.Секретарь: Пашкова Ю.С.

Секция 10. Дискретная математика и информатика.

Руководители: Гуров С.И., Донской В.И., Кузюрин Н.Н., Сапоженко А.А.Секретарь: Ситшаева З.З.

Секция 11. Математическое моделирование и приближенные методы.

Руководители: Конюхова Н.Б., Копачевский Н.Д., Кузнецов Е.Б.Секретарь: Ситшаева З.З.

Секция 12. Теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости.

Руководители: Зуев С.Л., Чехов В.Н.Секретарь: Войтицкий В.И.

Секция 13. Методика преподавания математики в высшей школе.

Руководители: Гончарова О.Н., Козлакова Г.А., Рудницкий О.И.Секретарь: Старков П.А.

4 Крымская Международная Математическая Конференция (КММК-2013)

Секция 5. Обыкновенные дифференциальные идифференциально-операторные уравнения

ПРО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ФУНКЦIЙ, ПОРОДЖЕНИХЦЕНТРАЛЬНИМИ ФАКТОРIАЛЬНИМИ СТЕПЕНЯМИ

Гой Т.П.

Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефаника(Україна, Iвано-Франкiвськ)

E-mail: [email protected]

Позначимо через nm, nm, n[m] (n,m ∈ N) вiдповiдно зростаючi, спаднi i центральнi фак-торiальнi степенi

nm = n(n+ 1) · . . . · (n+m− 1),

nm = n(n− 1) · . . . · (n−m+ 1),

n[m] = n(n+ m

2 − 1) (n+ m

2 − 2)· . . . ·

(n− m

2 + 1).

Зручно вважати, що n0 = n0 = n[0] = 1. Очевидно, що n! = 10 = nn.Класичнi трансцендентнi функцiї ex, sinx, cosx задаються як степеневi ряди iз звичайними

факторiалами, якi можна розглядати як спаднi факторiальнi степенi, тобто

ex =∞∑

n=0

xn

nn,

cosx =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)2n, sinx =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)2n+1 .

Замiнивши у цих степеневих розвиненнях спаднi факторiальнi степенi вiдповiдними централь-ними факторiальними степенями, одержуємо новi неелементарнi функцiї

E(x) =

∞∑

n=0

xn

n[n],

C(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)[2n], S(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)[2n+1],

основнi дослiдженi властивостi яких сформулюємо у виглядi теорем.

Теорема 1. Для всiх x справджуються спiввiдношення

E(x) = 1 +x2

4· 1F2

(1;

4

3,

5

3;x2

27

)+ x · 1F2

(1;

5

6,

7

6;x2

27

),

C(x) = 1 − x2

4· 1F2

(1;

4

3,

5

3; −x

2

27

),

S(x) = x · 1F2

(1;

5

6,

7

6; −x

2

27

),

де 1F2 (a1; b1, b2; z) – узагальнена гiпергеометрична функцiя:

1F2 (a1; b1, b2; z) =

∞∑

n=0

an1

bn1 bn2

· zn

n!,

an1 , bn1 , bn2 – зростаючi факторiальнi степенi.

www.kromsh.info 5

Теорема 2. Функцiї C(x), S(x) є розв’язками вiдповiдно таких задач Кошi для звичайнихлiнiйних диференцiальних рiвнянь третього порядку:

27x3y′′′ − 27x2y′′ + (4x3 + 51x)y′ − 48y + 48 = 0,

y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = − 12 ;

27x3y′′′ + (4x3 + 24x)y′ + (4x2 − 24)y = 0,

y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0.

ДЕЯКI СТРУКТУРИ РЕГУЛЯРНИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ

Кулик В. Л., Грод I. М.

Сiлезький технiчний унiверситет (Польща, Глiвiце),Тернопiльський нацiональний педагогiчний унiверситет (Україна, Тернопiль)


Як вiдомо, до класу важливих питань якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь належить за-дача знаходження умов збереження iнварiантних многовидiв при збуреннях [1]. Ця задача тiснозв’язана з властивостями певного виду систем лiнеаризованих по частинi змiнних. Такi системидиференцiальних рiвнянь в теперiшнiй час прийнято називати лiнiйним розширенням динамiчноїсистеми. Для вказаних систем важливим є вивчення питання iснування обмежених iнварiант-них многовидiв. Дослiдженню цього питання присвячено багато робiт, зокрема [1]-[3]. Важливимкроком у розвитку теорiї збурення iнварiантних многовидiв динамiчних систем стала роботаА.М.Самойленка, де вводиться поняття функцiї Грiна задачi про iнварiантнi тори [1].

Розглядаються системи диференцiальних рiвнянь виглядуdxdt = f (x) ,

dYdt = YM (x)Y +A (x)Y − Y B (x) + F (x).

де f(x)- вектор функцiя, неперервна i обмежена на Rm, локально задовольняє умовi Лiпшиця.Прямокутнi матрицi M (x) , A (x) , B (x) , F (x) неперервнi i обмеженi на Rm , Y - невiдома прямо-кутна матриця. Вивчається питання iснування обмеженого iнварiантного многовиду Y = U (x)записаної системи.

Видiлено класи систем, якi при деяких невироджених замiнах змiнних Y = L (x)ZQ (x) пере-ходять в наступнi системи

dx

dt= f (x) ,

dZ1

dt= A1 (x)Z1 − Z1B1 (x) + F1 (x) , (1)

dZ2

dt= Z1M0 (x)Z1 +M1 (x)Z1 + Z1M2 (x) +A2 (x)Z2 − Z2B2 (x) + F2 (x)

Одним iз основних результатiв роботи є наступне твердження.Теорема. Припустимо, що системi (1), матрицi A1 (x) , A2 (x) , B1 (x) , B2 (x) є такими, що

виконуються оцiнки

‖Ωot (x;A1) ·

∥∥Ωt0 (x;B1)

∥∥ ≤ K exp −γt ,t ≥ 0,

‖Ωot (x;A2)‖ ·

∥∥Ωt0 (x;B2)

∥∥ ≤ K exp γt , t ≤ 0 ,γ = const > 0,

тодi стверджуємо, що дана система має єдиний обмежений iнварiантний многовид для будь-яких фiксованих матриць M0 (x) ,M1 (x) ,M2 (x) , F1 (x) , F2 (x) з простору ∈ C

0 (Rm) i задаєть-ся вiн такими рiвностями

Z1 = Z1 (x) = −+∞∫

0

Ω0τ (x;A1) · F1 (x (τ ;x)) × Ωτ

0 (x;B1) dτ,


Z2 = Z2 (x) =

0∫

−∞

Ω0τ (x;A2) · F2 (x (τ ;x)) × Ωτ

0 (x;B2) dτ.

де F2 (x) = Z1 (x)M0 (x)Z1 (x) +M1 (x)Z1 (x) + Z1 (x)M2 (x) + F2 (x).

Список лiтератури

[1] Самойленко А.М. О сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Сер. матем., – 1970.–34, 6 . – С. 1219–1240.

[2] Yu. A. Mitropolsky, A. M. Samoilenko, V. L. Kulik Dichotomies and Stability in Nonautonomous Linear Systems.place CityTaylor & Francis Inc, placeCityLondon, 2004.

[3] Грод I.М., Кулик В.I. Регулярнiсть матрично-диференцiальних рiвнянь // Бук. мат. журн., – 2013. – 1, 1. –С. 48-52.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ В СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМ

ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Анашкин О.В., Митько О.В.

Таврический национальный университет (Украина, Симферополь)


Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (или, ко-роче, импульсные системы) возникают при моделировании развития процессов самой разнооб-разной природы, общей характеристикой которых является наличие кратковременных воздей-ствий, резко изменяющих состояние процесса так, что можно пренебречь временем перехода вновое состояние и считать, что этот переход мгновенным. Решения импульсных систем тради-ционно предполагаются непрерывными слева функциями с разрывами первого рода в моментыимпульсных воздействий, которые в простейшем случае могут быть заданными заранее (фик-сированными), а в общем случае зависят от состояния процесса, т.е. от фазовых координат.Описание импульсной системы состоит из двух составляющих, а именно, системы дифферен-циальных уравнений, описывающих динамику процесса вне поверхностей разрыва решений, иоператора, определяющего импульсные воздействия, заданного на поверхностях разрыва. В мо-нографии А. М. Самойленко и Н. А. Перестюка [1], посвященной импульсным системам расмат-риваемого в настоящем докладе типа, выделены три класса импульсных систем: (a) системыс разрывами на поверхностях; (b) системы с импульсным воздействием в заданные моментывремени и (c) разрывные динамические системы. Первый класс включает последние два каксобственные подмножества импульсных систем с важными с точки зрения приложений специфи-ческими свойствами. В разрывных динамических системах на плоскости естественным образомвозникают разрывные предельные циклы [1], для исследования которых удобно применять отоб-ражение Пуанкаре. Траектории импульсной системы типа (b) пересекаются даже в том случае,когда дифференциальное уравнение автономно, а оператор импульсного воздействия не зависитот момента воздействия. Множество решений не инвариантно относительно сдвига независимойпеременной.

Доклад посвящен предельному поведению решений систем вида (b) на плоскости

x = Ax+ g(x), t 6= τk, x(τk + 0) = Bkx(τk) + hk(x(τk)),

где x = (x1, x2), g(x) = o(‖x‖), hk(x) = o(‖x‖) при ‖x‖ → 0, det Bk 6= 0, k = 1, 2, . . . , множествоτk не имеет конечных точек сгущения. Пусть матрица A имеет пару комплексных собственныхзначений λ = α±iβ. Хорошо известно, что при определенных условиях в системе без импульсныхвоздействий наблюдается бифуркация рождения устойчивого предельного цикла при прохожде-нии величины α через нуль в сторону возрастания. В системе с импульсными воздействияминаблюдается аналогичное явление рождения разрывного “предельного цикла”. При этом крити-ческое состояние, вызывающее качественное изменение расположения траекторий, определяетсявзаимодействием матрицы A линеаризации поля скоростей f с линейной частью Bk оператораимпульсного воздействия. Поэтому устойчивый “предельный цикл” может возникать как приположительных, так и при отрицательных значениях α.

www.kromsh.info 7

В докладе приводятся результаты численных экспериментов с характерными модельными си-стемами x1 = αx1 −βx2 +ax3

1, x2 = αx2 +βx1 +ax32, t 6= τk, x(τk +0) = exp(αk−1θk−1)x(τk), где

τk = τk−1+θk−1. Последовательности θk и αk являются p-периодическими, p ≥ 2. При определен-ном выборе этих последовательностей в модельной системе можно наблюдать как устойчивые,так и неустойчивые разрывные “предельные циклы”. В общем случае движение, описываемоетакими предельными циклами, является почти периодическим. Аналогичное поведение траекто-рий наблюдается и у более сложных систем. Характер устойчивости возникающего предельногорежима устанавливается при помощи достаточных условий устойчивости из работы [2].

Список литературы

[1] Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вищашкола, 1987.

[2] Анашкин О.В., МитькоО.В. Достаточные условия устойчивости для нелинейных систем с импульснымвоздействием. Динамические системы, 1(29), 1 (2011), 5-14.

ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Архипов В.П., Глушак А.В.

Старооскольский технологический институт (Россия, Старый Оскол)Белгородский госуниверситет (Россия, Белгород)

E-mail: [email protected], [email protected]

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка

(a(t)u′(t))′ + b(t)u′(t) + (c(t) − λ)u(t) = f(t),

вырождающегося в точке t0 ∈ (0, d) (a(t0) = 0, a(t) 6= 0 при t 6= t0, b(t0) = b0 6= 0) в уравнениепервого порядка, где коэффициенты уравнения и f(t) — достаточно гладкие функции, установ-лены точные двусторонние асимптотики решений в окрестности особой точки, равномерные попараметру λ > λ0, а также общие свойства решений, такие как теоремы об осцилляции, аналогтеоремы Штурма и др.

Изучены двухточечные краевые задачи на отрезке [0, d] для рассматриваемого уравнения иустановлены спектральные свойства соответствующих операторов: дискретность спектра, оценкина резольвенту, ортогональность и полнота системы собственных функций в некоторых весовыхпространствах, осцилляционные свойства собственных функций.

Подобные уравнения изучались ранее Глушко В.П. в [1], [2], Розовым Н.Х., Сушко В.Г., Чу-довой Д.И. в [3] и др. В [1], [2] исследовались вопросы разрешимости двухточечных граничныхзадач, в [3] — возможности постановки и разрешимости задачи типа Коши, а также применениек нелинейным уравнениям. В работе [4] получены точные асимптотические формулы решений вдвусторонней окрестности точки вырождения t0.

Полученные результаты позволяют исследовать поведение решений общих вырождающихсяэллиптических уравнений второго порядка вблизи гиперплоскости вырождения.


[1] Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. II, III. Дифференц. уравнения. Т. 4. 11 (1968), т. 5, 3 (1969).

[2] Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та. 1972.

[3] Розов Н.Х., Сушко В.Г., Чудова Д.И., Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом пристаршей производной Фундаментальная и прикладная математика. Т. 4. 3 (1998). С. 1063 – 1095.

[4] Архипов В.П., Глушак А.В. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений вто-рого порядка около точки вырождения. Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 5(148). Вып.30 (2013). С. 5 – 18.


СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОЧКОЙПОВОРОТА II-ГО РОДА

Болилый В.А., Зеленская И.А.

Кировоградский государственный педагогический университет имени Владимира Винниченко(Украина, Кировоград)


Уравнению типа Орра-Зоммерфельда посвящено достаточно работ [1-4]. Однако, по сравне-нию с уравнением Лиувилля, есть еще много нерешенных вопросов. Одной из проблем являетсяпостроение равномерной асимптотики решения (РАР) системы дифференциальных уравнений,соответствующей скалярному дифференциальному уравнению

ε2y(4)(x, ε) + a(x)y(2)(x, ε) + b(x)y′(x, ε) + c(x)y(x, ε) = h(x).

В данной работе рассмотрена система вида:

εY ′(x, ε) −A(x, ε)Y (x, ε) = h(x), (1)

при ε → 0, x ∈ [0, l], Y (x, ε) = colon(y1(x, ε), y2(x, ε), y3(x, ε), y4(x, ε)) - искомая вектор-функция,h(x) = colon(0, 0, 0, h(x)) – заданная вектор-функция,

A(x, ε) = A0(x) + εA1(x) =

0 ε 0 00 0 ε 00 0 0 1

−c(x) −b(x) −a(x) 0

– известная матрица, элементы которой a(x) = xa(x), b(x), c(x) – бесконечно дифференцируемыевектор-функции на отрезке [0; l].

Для системы построена РАР методом фундаментальных функций ([1], стр.81). Главное усло-вие, предложенного метода для исследования поставленной задачи:

y(x, t, ε)|t=ε1−p·ϕ(x) ≡ y(x, ε).

Для определения расширенной функции y(x, t, ε) получим расширенное векторное уравнение:

Lεy(x, t, ε) ≡ ε1−pϕ′ ∂y(x, t, ε)

∂t+ ε

∂y(x, t, ε)

∂x−A(x, ε)y(x, t, ε) = h(x).

Асимптотику решения расширенного уравнения строим в виде ряда

y(x, t, ε) =

2∑

k=1

αk(x, ε)Uk(t) + εγU ′k(t) + f(x, ε)ψ(t) + εγg(x, ε)ψ′(t) + ω(x, ε), (2)

где Uk(t), U ′k(t) - функции Эйри-Дородницына, αkr(x, ε), βkr(x, ε), fr(x, ε), gr(x, ε), ωr(x), r = 1, 4

- искомые аналитические функции. Регуляризующая функция ϕ(x) определена как

ϕ(x) =

3

2

x∫

0

√xa(x)dx

23

.

Теорема. Пусть система (1) удовлетворяет таким условиям:1) a(x) ≡ xa(x), b(x), c(x), h(x) ∈C∞[0; l]; 2) a(x) > 0, b(x) < 0. Тогда на отрезке [0; l], предложенным методом, можно построитьасимптотику общего решения этой системы в виде асимптотического ряда (2), коэффициентыкоторого являются достаточно гладкими функциями.


[1] Бобочко В.М., Перестюк М.О. Асимптотичне iнтегрування рiвняння Лiувiлля з точками звороту. – Київ:Наукова думка. 2002. – 310 с.

[2] Болилый В.А. Асимптотика решения дифференциального уравнения типа Орра-Зоммерфельда с одной точ-кой поворота// – Труды международной конференции, Крымская осенняя математическая школа-симпозиум– С. 30-38.

[3] Lin C.C.@ Rabenstein, A.L.On the asymptotic theory of a class of ordinary differential equations of fourth order,II,Existense of solutions which are approximated by the formal solutions, Studies in Appl.Math. – 1969, -48. -P.311-340.

[4] Minoru Nakano and Toshihiko Nishimoto. On an asymptotic expansion of solutions of ORR-sommerfeld typeequation. //Lecture Notes in Mathematics – 1971. – V. 243. – Р. 315-319.

www.kromsh.info 9

О ДОСТИЖИМОСТИ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ МИНИМАЛЬНОГОСОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ЗАДАЧИ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ С

ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОТЕНЦИАЛ

Владимиров А.А., Карулина Е.С.

ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, Московский государственный университет экономики,статистики и информатики (Москва, Россия)


Рассматривается задача Штурма—Лиувилля

−y′′ + qy − λy = 0,

y′(0) − k20y(0) = y′(1) + k2

1y(1) = 0,

где k0, k1 ∈ R, а функция q принадлежит множеству Aγ = q ∈ L1[0, 1] : q(x) > 0,∫ 1

0qγ dx = 1,

где γ ∈ R \ 0. Доказана достижимость точной нижней грани минимальных собственных зна-чений λ1(q) этой задачи при некоторых значениях параметра γ:

Теорема. Пусть mγ = infq∈Aγ

λ1(q). Если γ ∈ [1/2, 1), то существует функция q∗ ∈ Aγ , удовле-

творяющая равенству λ1(q∗) = mγ .

Аналогичные результаты для некоторых других значений γ получены в работах одного издокладчиков (см., например, [4]). Подобные задачи рассматривались также в работах [1]–[3].

Работа первого автора поддержана РФФИ, проект 13-01-00705. Работа второго автора под-держана РФФИ, проект 11-01-00989.


[1] Ю. В. Егоров, В.А. Кондратьев. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма–Лиувилля// Успехи матем. наук. — 1996. — Т. 51 (3). — С. 73–144.

[2] В.А. Винокуров, В.А. Садовничий. О границах изменения собственного значения при изменении потенци-ала// Доклады РАН. — 2003. — Т. 392 (5). — С. 592–597.

[3] С.С. Ежак. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма–Лиувилля с интегральнымусловием// Соврем. матем. и её прилож. — 2007. — Т. 36. — С. 56–69.

[4] Е.С. Карулина. Оценки первого собственного значения задачи Штурма–Лиувилля с краевыми условиямитретьего типа// Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спек-трального анализа: науч. издание, под ред. Асташовой И.В. — 2012. — М.: ЮНИТИ-ДАНА — С. 560–607.

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ ПРОСТЕЙШЕГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

Гефтер С.Л.

Харьковский национальный университет имени В.Н.Каразина (Украина, Харьков)


Пусть A - замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве, область определениякоторого не обязательно является плотной. В докладе рассматриваются целые решения экспо-ненциального типа следущего простейшего дифференциально-разностного уравненияw′(z) = Aw(z − h) + f(z). В предположении ограниченной обратимости оператора A обсуждает-ся вопрос о корректности этого уравнения в специальном пространстве целых вектор-функцийэкспоненциального типа. Результаты получены совместно с Т.Е.Стуловой.



[1] Гефтер С.Л., Стулова Т.Е., О целых решениях экспоненциального типа одного неявного линейногодифференциально-разностного уравнения в банаховом пространстве, Записки научных семинаров ПОМИ,Исследования по линейным операторам и теории функций, Том 416 (2013), с. 91-97.

ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ЛАЗЕРА СЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ В НЕКОТОРЫХ

КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

Глазков Д.В.

Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова (РФ, Ярославль)


Рассматриваются математические модели динамики полупроводникового лазера, которые яв-ляются обобщениями известной системы уравнений Ланга-Кобаяши [1], описывающей поведениеодномодового лазера:

dE

dt= v(1+iα)EZ + γe−iω0hE(t−h),

dZ

dt= Q− Z − (1+Z) |E|2.

(1)

Здесь E(t) — комплексная амплитуда электрического поля, Z(t) — инверсия носителей; γ>0 и−ω0h — сила и фаза обратной связи, ω0 — оптическая частота генерации в отсутствие обратнойсвязи; Q — превышение током накачки первой пороговой величины; v есть отношение времензатухания инверсии носителей и фотонов в резонаторе; α — коэффициент уширения линии,отвечающий за нелинейное взаимодействие между амплитудой и фазой поля; h — время проходаизлучения по внешнему резонатору, нормированное в единицах времени затухания инверсии.

На основе методики исследования, представленной в [2, 3], был выполнен асимптотическийанализ решений (1), результаты которого, анонсированные в [4], изложены в [5, 6].

Такой же подход используется при изучении динамики нескольких моделей с запаздывающейобратной связью, предложенных в работах [7, 8, 9, 10].

Ставится задача математического исследования систем дифференциальных уравнений с за-паздыванием в предположении, что значения одного или нескольких параметров асимптотическивелики. Используется модификация метода нормальных форм, позволяющая сводить исходнуюзадачу к уравнениям специального вида – квазинормальным формам, имеющим более простуюструктуру. Выполняется исследование решений этих уравнений в зависимости от параметров.На его основе делаются выводы о динамике исходных моделей при рассматриваемых условиях.


[1] R. Lang External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties, IEEE J. Quantum Electron.,Vol. 16(1), 3 (1980), p. 347–355.

[2] Кащенко С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах, ИзвестияРАЕН, серия МММИУ, Т. 2, 4 (1998), с. 5–53.

[3] Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием, Диффе-ренциальные уравнения, Т. 35, 10 (1999), с. 1343–1355.

[4] Глазков Д.В. Об асимптотике решений уравнений Ланга-Кобаяши в некоторых критических случаях, Те-зисы докладов VIII крымской международной математической школы «Метод функций Ляпунова и его при-ложения», Симферополь: инф.-изд. отд. ТНУ (2006), с. 47.

[5] Глазков Д.В. Особенности динамики модели Ланга-Кобаяши в одном критическом случае, Моделированиеи анализ информационных систем, Т. 15, 2 (2008), с. 36–45.

[6] Глазков Д.В. Качественный анализ сингулярно возмущенных моделей одного класса оптико-электронныхсистем, Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, Т. 16, 4 (2008), с. 165–179.

[7] G. Kozyreff, A.G. Vladimirov, P. Mandel Dynamics of a semiconductor laser array with delayed global coupling,Phys. Rev. E., Vol. 64 (2001), 016613.

[8] M. Nizette, T. Erneux Stability of injection-locked CW-emitting external-cavity semiconductor lasers, IEEE J. Sel.Top. Quant. Electron., Vol. 10 (2004), p. 961–967.

[9] E.A. Vicktorov, P. Mandel Low frequency fluctuations in a multimode semiconductor laser with optical feedback,Phys. Rev. Lett, Vol. 85, 15 (2000), p. 3157–3160.

[10] Корюкин И.В. Динамика многомодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, Физикаи техника полупроводников, Т. 43, 3 (2009), с. 405–411.

www.kromsh.info 11

НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Журавлев В.Ф.

Житомирский национальный агроэкологический университет (Украина, Житомир)


В докладе рассматривается задача об условиях разрешимости и представлении решений кра-евой задачи для операторного уравнения

(Lz)(t) = f(t),ℓz(·) = α,

(1)

где L : l∞(I,B1) → l∞(I,B2)− линейный ограниченный обобщенно обратимый оператор [1]; ℓ =col(l1, l2, l3, . . .) : l∞(I,B1) → B− линейный ограниченный вектор-функционал; f(t) ∈ l∞(I,B2);α ∈ B; l∞(I,Bi), i = 1, 2− банаховы пространства ограниченных вектор-функций [2], опре-деленных на конечном промежутке I = [a, b] со значениями в банаховых пространствах Bi,соответственно, с равномерными нормами.

Обобщенная обратимость оператора L означает, что он нормально разрешим, его нуль-пространствоN(L) и ядро R(L) дополняемы в банаховых пространствах l∞(I,B1), l∞(I,B2), со-ответственно и к нему существует ограниченный обобщенно-обратный оператор L−. При этом су-ществуют [3] ограниченные проекторы PN(L) и PYL , которые разбивают пространства l∞(I,B1)и l∞(I,B2) в прямые суммы подпространств l∞(I,B1) = N(L) ⊕XL, l∞(I,B2) = YL ⊕R(L).

Пусть L = ℓPN(L) : l∞(I,B1) → B− обобщенно обратимый оператор, L−− обобщенно обрат-ный [4] к нему оператор, PN(L) : l∞(I,B1) → N(L) и PYL

: B → YL− ограниченные проекторы.Теорема. Пусть L и L− обобщенно обратимые операторы. Тогда соответствующая (1)

однородная краевая задача имеет семейство решений вида

z(t) = (PN(Λ)z)(t),

где PN(Λ) = PN(L)PN(L)− проектор банахова пространства l∞(I,B1) на нуль-пространствооператора Λ, z(t)− произвольный элемент банахова пространства l∞(I,B1).

Неоднородная краевая задача (1) разрешима для тех и только тех f(t) ∈ l∞(I,B2) и α ∈ B,которые удовлетворяют условиям

(PYLf)(t) = 0,PYL

α− ℓ(L−f)(·) = 0

и при этом ее общее решение имеет вид

z(t) = (PN(Λ)z)(t) + (Gf)(t) + (PN(L)(L−α))(t),

где (Gf)(t) = (L−f)(t) − PN(L)(L−ℓ(L−f)(·))(t)− обобщенный оператор Грина.С помощью доказанной теоремы установлены условия разрешимости и получена формула

общего решения линейной краевой задачи для интегрального уравнения Фредгольма с вырож-денным ядром

z(t) −M(t)b∫a

N(s)z(s)ds = f(t),

ℓz(·) = α,

где оператор-функции M(t) та N(t) действуют из банахового пространства B1 в себя, сильнонепрерывны с нормами |||M ||| = supt∈I ‖M(t)‖B1 < ∞ и |||N ||| = supt∈I ‖N(t)‖B1 < ∞, z(t)−вектор-функция, которая действует из отрезка I в действительное банахово пространство B1,z(t) ∈ C(I,B1)− банахово пространство непрерывных на I вектор-функций, которое являетсяподпространством пространства l∞(I,B1), f(t) ∈ C(I,B1).



[1] Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. – Ки-шинев: Штиинца, 1973. – 426 с.

[2] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004. – 552 с.[3] Кадец М.И., Митягин Б.С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // УМН. – 1973. –

28, вып. 6. – С. 77 – 94.[4] Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;

Boston: VSP, 2004. – 317 p.

О ЛИНЕЙНОМ ХАОТИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ ПРИ ВИХРЕВОМДВИЖЕНИИ

Задорожний В.Г.

ВГУ (Россия, Воронеж)


Рассматривается линейная математическая модель трехмерного вихревого движения в видеобыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайнымипроцессами, заданными характеристическими функционалами. Находится явная формула дляматематического ожидания угловой скорости движения. Получены условия, при которых уг-ловая скорость со временем неограничено возрастает (линейный хаотический резонанс). Рас-смотрены примеры разных случайных коэффициентов, приводящих к линейному хаотическомурезонансу.


[1] Задорожний В.Г. Линейный хаотический резонанс при вихревом движении/В.Г.Задорожний//Журнал вычислительной математики и математической физики, 2013, т. 53, 4, с. 639-655.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Кодлюк Т.И.

Институт математики НАН Украины (Украина, Киев)


Пусть числа m,n + 1, r ∈ N, j = 1, . . . , r, p ∈ [1,∞). Рассматривается параметризованноечислом ε ∈ [0, ε0] семейство линейных неоднородных краевых задач для системы дифференци-альных уравнений порядка r > 1:

z(r)(t; ε) + Pr−1(t; ε)z(r−1)(t; ε) + . . . ..+ P0(t; ε)z(t; ε) = f(t; ε), t ∈ (a, b), (1)

Uj,εz(·; ε) = cj,ε, (2)

где коэффициенты матрицы-функции Pj−1(·; ε) принадлежат пространству Соболева (Wnp )m×m

с нормой ‖ · ‖n,p, правые части уравнений f(·, ε) ∈ (Wnp )m, векторы cj,ε ∈ Cm, а линейные

непрерывные операторы

Uj,ε : (Wn+rp )m → C

m.

Таким образом выражения Uj,εz могут содержать производные z(k) порядка k 6 n+ r.Под решением задачи (1), (2) при n = 0 понимается вектор-функция z(·; ε) с пространства

W rp ([a, b]; Cm), которая удовлетворяет уравнение (1) почти всюду на интервале и краевые условия

(2).

www.kromsh.info 13

Теорема. Пусть однородная предельная краевая задача

z(r)(t; 0) + Pr−1(t; 0)z(r−1)(t; 0) + . . . ..+ P0(t; 0)z(t; 0) = 0,

Uj,0z(·; 0) = 0

имеет только тривиальное решение и при ε→ 0+ выполнены условия1) ‖Pj−1(·; ε) − Pj−1(·; 0)‖n,p → 0;2) ‖f(·; ε)− f(·; 0)‖n,p → 0;3) Uj,εz → Uj,0z, ∀z ∈ (Wn+r

p )m, cj,ε → cj,0.Тогда для достаточно малых ε решения y(·; ε) задач (1), (2) однозначно определены и удовле-творяют предельное соотношение

‖z(·; ε) − z(·; 0)‖n+r,p → 0, ε→ 0 + .

При r = 1 утверждение теоремы 1 доказано в [1].Результаты доклада получены совместно с В. А. Михайлецом.


[1] Tetiana Kodliuk, Vladimir Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter inSobolev spaces, Journal of Mathematical Sciences, V. 190 (2013), P. 589 — 599.

АСИМПТОТИКА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СИНУСА ПРИ k → 1

Красильников А.В.

Челябинский Государственный Университет (Россия, Челябинск)


Была поставлена задача о нахождении асимптотики эллиптического синуса при k → 1. Эл-липтический синус является обращением эллиптического интеграла

u(z; k) =

z∫

0

dt√1 − t2

√1 − k2t2

, (1)

и, кроме того, является однолистной функцией, которая отображает прямоугольник на ком-плексную плоскость с разрезом, поэтому можно применить известную формулу обращения [1],и выразить эллиптический синус через эллиптический интеграл (1):

sn(u; k) =1

2πi

∫

γ

ζ

1√1−ζ2

√1−k2ζ2

ζ∫0

dt√1−t2

√1−k2t2

−z∫0

dt√1−t2

√1−k2t2

dζ, (2)

где контур γ = ζ ∈ C : |ζ − z| = ρ0, а ρ0 — постоянная порядка 1 - |z|.Используя асимптотическое представление эллиптического интеграла по степеням 1−k2 = ε с

точностью до O(ε2), можно найти представление и для эллиптического синуса. В данной работепредставлены два первых члена асимптотического представления для эллиптического синуса

sn(u; k) = tanhu+ε

4

(tanhu− u

cosh2 u

)+O(ε2), (3)

которое является равномерным для всех z ∈ (−1, 1).


[1] А. И. Маркушевич, Теория аналитических функциий, том 1 (1967), с. 456-459.


ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭКИВАЛЕНТНОСТИ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙЖИДКОСТИ В ЛАГРАНЖЕВЫХ КООРДИНАТАХ

Краснова Д.А.

Институт вычислительного моделирования СО РАН (Россия, Красноярск)


Рассматривается система уравнений движения идеальной жидкости со свободной границей впеременных Лагранжа (ξ, η, ζ) [1]

xt = (yηzζ − zηyζ)(ϕξ − u0) + (−yξzζ + zξyζ)(ϕη − v0) + (yξzη − zξyη)(ϕζ − w0), (1)

yt = (−xηzζ + zηxζ)(ϕξ − u0) + (xξzζ − zξxζ)(ϕη − v0) + (−xξzη + zξxη)(ϕζ − w0), (2)

zt = (xηyζ − yηxζ)(ϕξ − u0) + (−xξyζ + yξxζ)(ϕη − v0) + (xξyη − yξxη)(ϕζ − w0), (3)

xξ(yηzζ − yζzη) + xη(−yξzζ + yζzξ) + xζ(yξzη − yηzξ) = 1, (4)

где (x, y, z) = x(ξ, t) – координаты частиц жидкости, ϕ((ξ, t)) – искомая функция, возникающаяпри преобразованиях уравнений движения, u0(ξ, η, ζ), v0(ξ, η, ζ), w0(ξ, η, ζ) – компоненты вектораскорости частиц при t = 0. Преобразование уравнений движения к переменным x, ϕ впервыебыло найдено Г. Вебером [2]. Уравнение (4) представляет собой уравнение сохранения объема,detM = 1, где M = ∂(x)/∂(ξ) – матрица Якоби.

Показано, что переход к произвольным лагранжевым координатам (α, β, γ) = α(ξ), сохраняю-щий объем (detJ = 1, где J = ∂(α, β, γ)/∂(ξ, η, ζ) – матрица Якоби), является преобразованиемэквивалентности для уравнений (1)–(4). Структура уравнений (1)–(4) не меняется при таких пре-образованиях, изменяются только компоненты начального распределения вектора скорости поформулам

U0 = (βηγζ − βζγη)u10 − (βξγζ − γξβζ)v

10 + (βξγη − βηγξ)w

10 ,

V0 = (γηαζ − γζαη)u10 − (γξαζ − αξγζ)v

10 + (γξαη − γηαξ)w

10 ,

W0 = (αηβζ − αζβη)u10 − (αξβζ − βξαζ)v

10 + (αξβη − αηβξ)w

10 ,

где (u10, v

10 , w

10) = u0 (ξ(α, β, γ))

В частном случае показано, что преобразование поворта лагранжевых координат являетсяпреобразованием эквивалентности.


[1] Андреев В. К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей, Новосибирск,Наука, 1992, 136 с.

[2] Серрин Д. Математические основы классической механики жидкости, М., Изд-во иностр. лит., 1963, 256 с.

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО ПОРЯДКА, НЕРАЗРЕШЁННЫХ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Сёмкина Е.В.

Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского (Украина, Симферополь)


Рассмотрим в гильбертовом пространстве H задачу Коши для вольтеррова интегродиффе-ренциального уравнения второго порядка следующего вида:

Ad2u

dt2+ (F + iG)

du

dt+Bu+

m∑

k=1

t∫

0

Gk(t, s)Cku(s)ds = f(t), u(0) = u0, u′(0) = u1. (1)

Такие уравнения описывают, в частности, эволюцию динамических систем с бесконечным числомстепеней свободы, причём учитываются эффекты релаксации. Изучается случай, когда A —

www.kromsh.info 15

ограниченный оператор (A ∈ L(H)), а коэффициенты F , G, B, Ck — неограниченные и, вообщеговоря, некоммутирующие операторы, заданные на своих областях определения, плотных в H.При этом считается, что эти операторы сравнимы по своим областям определения. Именно,выделяются такие классы уравнений, для которых один из операторов можно назвать главным;он имеет область определения, наиболее узкую по сравнению с областями определения другихоператорных коэффициентов.

Полученные результаты основаны на подходах, изложенных в [1] и отвечающих случаю A = I,где I — единичный оператор. Стоит отметить также монографию [2], где изучаются задачиКоши для интегродифференциальных и функциональных уравнений, а также сопутствующиеспектральные задачи, в случае когда один из коэффициентов является главным, а остальные —степени этого главного оператора.


[1] Копачевский Н.Д., Интегродифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве: Специ-альный курс лекций., – Симферополь:ФЛП ”Бондаренко О.А.”, 2012. – 152 с.

[2] Власов В.В., Медведев Д. А., Раутиан Н. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствахСоболева и их спектральный анализ/Под редакцией В. А. Садовничего // Современные проблемы математикии механики. – Математика. – 2011. – Т. VIII., вып.1. – С.8-306.

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПАС ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Скворцова М.А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск)


Настоящая работа посвящена исследованию асимптотической устойчивости нулевого решениясистемы дифференциальных уравнений нейтрального типа

d

dt(y(t) +Dy(t− τ(t))) = Ay(t) +By(t− τ(t)) + F (t, y(t), y(t− τ(t))), t > 0. (1)

Здесь A, B, D — вещественные постоянные (n×n)-матрицы, τ(t) ∈ C1(R+), τ(t) > 0, F (t, u, v) ∈C(R2n+1

+ ) — вещественнозначная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица по u иоценке

‖F (t, u, v)‖ ≤ q1‖u‖1+ω1 + q2‖v‖1+ω2 , q1, q2, ω1, ω2 ≥ 0.

В случае, когда τ(t) ≡ τ = const, F (t, u, v) ≡ 0, условия асимптотической устойчивости хорошоизвестны (см., например, [1, 2]). Результаты формулируются в терминах принадлежности корнейквазимногочленов левой полуплоскости или в виде матричных неравенств. Последний подходоснован на использовании функционалов Ляпунова – Красовского, однако, используя данныефункционалы, далеко не всегда удается получить оценки скорости убывания решений.

В последние 10 лет были предложены методы получения оценок экспоненциального убыва-ния решений некоторых классов систем дифференциальных уравнений с запаздывающим ар-гументом (см., например, [3–8]). Методы основаны на использовании различных модификацийфункционалов Ляпунова – Красовского.

В настоящей работе, используя аналог функционала, рассмотренного в [8], указаны доста-точные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1), получены оценкиобластей притяжения нулевого решения и оценки решений, характеризующие скорость убыванияна бесконечности. Результаты работы частично изложены в [9].

Автор выражает благодарность профессору Г.В. Демиденко за постановку задачи и полезныезамечания.

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инноваци-онной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355), Российского фонда фундамен-тальных исследований (проекты 12-01-31030, 13-01-00329) и Сибирского отделения Россий-ской академии наук (междисциплинарный проект 80).



[1] Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-том. М.: Наука, 1971.

[2] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.[3] Kharitonov V.L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Syst. Control Lett. 2004. V. 53,

N 5. P. 395–405.[4] Хусаинов Д.Я., Иванов А.Ф., Кожаметов А.Т. Оценки сходимости решений линейных стационарных си-

стем дифференциально-разностных уравнений с постоянным запаздыванием // Дифференц. уравнения.2005. Т. 41, 8. С. 1137–1140.

[5] Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с за-паздывающим аргументом // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 3.С. 20–28.

[6] Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающимаргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, 5.С. 1025–1040.

[7] Melchor-Aguilar D., Niculescu S.I. Estimates of the attraction region for a class of nonlinear time-delay systems //IMA J. Math. Control Inform. 2007. V. 24, N 4. P. 523–550.

[8] Demidenko G.V. Stability of solutions to linear differential equations of neutral type // J. Anal. Appl. 2009. V. 7,N 3. P. 119–130.

[9] Скворцова М.А. Асимптотические свойства решений систем уравнений нейтрального типа с переменнымзапаздыванием // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика (в печати).

АВТОНОМНЫЕ НЕТЕРОВЫ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

ЧАСТНОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

Старкова О.В., Чуйко Ан.С.

Донбасский государственный педагогический университет (Украина, Славянск)


Исследована задача о нахождения решения нетеровой (m 6= n) краевой задачи

dz/dt = Az + f + εZ(z, ε), ℓz(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), ε), α ∈ Rm, (1)

при ε = 0 обращающегося в решение z0(t) ∈ C1[a, b∗] порождающей задачи

dz0/dt = Az0 + f, ℓz0(·) = α, b∗ = b(0), A ∈ Rn×n, f ∈ R

n. (2)

Обозначим (m× 1)-мерную матрицу B0 = PQ∗α− ℓK[Az0(τ, c∗0) + f ](·).

Теорема. В критическом случае (PQ∗ 6= 0) для корня c∗ = col (c∗0, β∗) ∈ Rr+1 уравнения

F (c∗) = PQ∗ϕ0(c∗) − ℓK[f0(s, c

∗)](·) = 0,

ϕ0(c∗) = αβ∗ + J(z0(·, c∗0), 0), f0(t, c

∗) = β∗[Az0(t, c∗0) + f ] + Z(z0, 0)

при условиях F ′β(c∗) 6= 0, PB∗

0PQ∗ = 0, PB∗

0: R

r+1 → N(B∗0) задача (1) имеет по меньшей мере

одно решение z(t, ε) ∈ C1[a, b(ε)], C[0, ε0], при ε = 0 обращающееся в решение z0(t, c∗0) порожда-ющей задачи (2).

Здесь Q = ℓX(·) — (m × n)-матрица, rank Q = n − r, PQ∗ — ортопроектор: Rm → N(Q∗),X(t) — нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы(2), K[f ](t)− оператор Грина задачи Коши [1].

Для нахождения решения автономной краевой задачи (1) предложена итерационная схема,построенная по аналогии с методом наименьших квадратов [2]; в качестве примера построенопериодическое решение уравнения Дюффинга.

www.kromsh.info 17


[1] Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, Utrecht;Boston: VSP (2004), 317 p.

[2] Чуйко С.М., Старкова О.В. О приближенном решении автономных краевых задач методом наименьшихквадратов, Нелiнiйнi коливання, 12, 4 (2009), С. 556 — 573.

[3] Чуйко С.М., Старкова О.В. Модифицированная двухшаговая итерационная техника для построения функ-ций Матье, Комп. исследов. и моделирование, 4, 1 (2012), С. 31 — 43.

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ,ЗАДАННЫХ С ОШИБКАМИ

Терновский В.В., Хапаев М.М.

МГУ им. М.В. Ломоносова (Россия, Москва)


Цель эксперимента — получить функциональную зависимость в виде таблицы. Как правило,известны ошибки каждого измерения. Однако, при этом возникают задачи

(1) дифференцирования функции, заданной таблично;(2) задача сглаживания табличных данных;(3) задача интегрирования табличной функции.

Первым двум задачам посвящено много работ. Известно, что они являются некорректными.Задаче интегрирования табличной функции посвящен настоящий доклад. Такое интегрирова-ние ранее выполнялось с использованием предварительно сглаженной функции. Имеющаяся ин-формация об ошибках измерения не использовалась. Кроме того, легко видеть, что так можнополучить результат с большой ошибкой.

Предлагается новый вариационный подход в численном интегрировании, учитывающий апри-орную информацию об ошибках. Задача интегрирования сводится к минимизации остаточногочлена квадратурной формулы методами некорректных задач. Приведены примеры, показываю-щие высокую эффективность предлагаемого метода, для реализации которого достаточно знатьлишь значение ошибки задания функции.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХЗАДАЧАХ

Чеханова Г. А.



Пусть заданы числа m,n ∈ N. Рассмотрим на конечном интервале (a, b) семейство линейныхнеоднородных краевых задач, параметризованных числом ε ∈ [0, ε0] :

y′(t; ε) = A(t; ε)y(t; ε) + f(t; ε), t ∈ (a, b), (1)

Uεy(·; ε) = cε. (2)

Здесь матрицы-функции A(·; ε) принадлежат банаховому пространству (C(n−1))m×m :=:= C(n−1)([a, b],Cm×m) с нормой ‖·‖(n−1), вектор-функции f(·; ε) ∈ (C(n−1))m := Cn−1([a, b],Cm),векторы cε ∈ Cm, а линейные непрерывные операторы

Uε : (C(n))m → Cm.

Каждый из операторов Uε допускает однозначное представление вида

Uεy =

n−1∑

j=0

αj(ε)y(j)(t) +

b∫

a

dΦε(t) · y(n)(t), y ∈ (C(n))m,


где αj(ε) — квадратные (m ×m)–матрицы, а матрицы-функции Φε(t) имеют ограниченное из-менение на отрезке [a, b].

Справедлива

Теорема. Пусть предельная однородная краевая задача

y′(t; 0) = A(t; 0)y(t; 0),

U0y(·; 0) = 0

имеет лишь тривиальное решение и при ε→ 0+ выполнены условия:1) ‖A(·; ε) −A(·; 0)‖(n−1) → 0;2) ‖f(·; ε)− f(·; 0)‖(n−1) → 0;

3) Uεy → U0y ∀y ∈ (C(n))m; cε → c0.Тогда при достаточно малых ε задачи (1) – (2) имеют единственное решение и справедливопредельное соотношение

‖y(·; ε) − y(·; 0)‖(n) → 0, ε→ 0 + .

Для соболевской шкалы функциональных пространств Wnp , n ∈ N, t ∈ [1,∞) аналогичная

теорема установлена в [1].Результаты доклада получены совместно с В. А. Михайлецом.


[1] Tetiana Kodliuk, Vladimir Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter inSobolev spaces, Journal of Mathematical Sciences, V. 190 (2013), P. 589 – 599.

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Чуйко С.М., Чуйко Е.В.

Славянский государственный педагогический университет (Украина, Славянск)


Предположим T -периодическую задачу для системы z′ = A(t)z + f(t) некорректно постав-ленной в классе функций z(t) ∈ C1[0, T ]. Нами исследованы условия регуляризации краевойзадачи

z′ = A(t)z + f(t), ℓz(·) := z(0) − z(T ) = 0, ∆z(τ) = Sz(τ − 0) (1)

в классе функций z(t) ∈ C1[0, T ]\τI.ПустьX0(t) нормальная (X0(τ) = In) фундаментальная

матрица [1] однородной части дифференциальной системы (1),

K[f(s)

](t) := −X0(t)

τ∫

t

X−10 (s)f(s)ds, t ∈ [0, τ [,

K[f(s)

](t) := X0(t)

t∫

τ

X−10 (s)f(s)ds, t ∈ [τ, T ]

— обобщенный оператор Грина задачи Коши z(τ) = 0 для дифференциальной системы (1) иX(t) нормальную фундаментальную матрицу однородной части системы с импульсом (1):

X(t) = X0(t), t ∈ [0, τ [; X(t) = X0(t)(In + S), t ∈ [τ, T ].

Теорема. Если задача о нахождении T -периодических решений z(t) ∈ C1[0, T ] дифференци-альной системы (1) некорректно поставлена, то для любого корня S уравнения

(Q+Q1S

)(Q+Q1S

)+

= In, Q := ℓX0(·), Q := ℓX(·) ∈ Rn×n

www.kromsh.info 19

и для произвольной непрерывной функции f(t) в пространстве z(t) ∈ C1[0, T ] \ τI суще-

ствует не менее одного решения z(t) = G[f(s)](t) краевой задачи (1), где

G[f(s)

](t) := K

[f(s)

](t) −X(t)Q+ℓK

[f(s)

](·)

— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации периодической краевой задачи припомощи импульсного воздействия (1).

В зависимости от матрицы S ∈ Rn×n импульсное воздействие (1) при условии

det

(In + S

)6= 0

— невырождено [1], или же — вырождено [2, 3]:

det

(In + S

)= 0.

Отметим, что построенная нами матрица S, а следовательно, и условие регуляризации PQ∗ = 0линейной периодической краевой задачи с импульсным воздействием (1) не зависят от выборапроизвольной непрерывной функции f(t), в отличие от схемы, предложенной в монографии[1]. Обобщением линейной периодической краевой задачи с импульсным воздействием вида (1)является линейная нетерова краевая задача, исследованная в статье [3].


[1] Бойчук А.А., Перестюк Н.А., Самойленко А.М. Периодические решения импульсных дифференциальных си-стем в критических случаях, Дифференц. уравнения, 27, 9 (1991), С. 1516 — 1521 .

[2] Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием, Докл. НАНУкраины, No 6, (1999), С. 43 — 47.

[3] Чуйко С.М. О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсноговоздействия // Нелинейные колебания, 16, 1 (2013), C. 133 — 145.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЮСОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ-4 СБЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПОЛЮСОВ

Щелконогов А.А.

ЧелГУ (Россия, Челябинск)


В работе исследуется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка Пенлеве-4:

u′′ =(u′)2

2u+

3

2u3 + 4xu2 + 2(x2 − α)u +

β

2u. (1)

Ранее было исследовано поведение полюсов рациональных решений Пенлеве-4. Теперь осуществ-лен предельный переход к решениям с бесконечным числом полюсов. Для этого был использованметод скейлингового предела. Таким образом решение уравнения Пенлеве-4 сводится к некото-рой эллиптической функции r(t), являющейся решением уравнения:

(r′)2 = r4 + 4t0r3 + 2(t20 − 4)r2 + Cr, (2)

где t0 и C - константы. В итоге полюса решений в предельном случае совпадают с полюсамиr(t).


УСРЕДНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С КРАЕВЫМИУСЛОВИЯМИ

Шубин П.Е.

Южный Федеральный Университет (Россия, Ростов-на-Дону)


Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметроми краевыми условиями на временном отрезке и на полуоси обоснован метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского.

Метод усреднения (см. например [1],[2]), который обычно связывают с именами Н. М. Крыло-ва, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, является одним из важнейших асимптотическихметодов. В данной работе он обоснован для нормальных систем обыкновенных дифференци-альных уравнений с высокочастотной нелинейной частью и краевыми условиями. В работе рас-смотрена задача на конечном временном отрезке, а также на положительной временной полуоси.В работе имеется жесткое ограничение: матрица Якоби нелинейной части усредненной задачианнулируется на решении последней. В следующей работе мы надеемся снять это ограничение.


[1] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: На-ука, 1974.

[2] Боголюбов H.H., О некоторых статистических методах в математической физике. — К.: Изд-во АН УССР,1945.

[3] Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. — Новосибирск:Изд-во Новосиб. ун-та, 1994.

[4] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.[5] Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений. — Мат.сб.1970.

Т.81,N1. С.53-61.

THE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS SOLVING BY THEOPERATOR IDENTITIES METHOD

Elena Arshava

Kharkiv National University of Civil Engineering and Architecture (Ukraine, Kharkiv)


The problem of some classes of integral operators inversing on the finite interval has been studiedby the operator identities method, which L.A. Sakhnovich [1] used for studying the equations withthe difference kernel of the following kind:

Sf =d

dx

ω∫

0

S(x− t)f(t)dt = ϕ(x).

The basic idea of the said method lies in the proof of the finite-dimensional corresponding integraloperator. In this case the operator, inverse to the given integral operator, shall be made by means ofthe functions which define the degeneration of the commutation operator.

The purpose of the research under consideration is studying the problem of the operator inversionof the following kind:

Sf = Lx(α)

ω∫

0

S(x, t)f(t)dt,

with the kernel S(x, t) that meets the differential equation in the particular of a hyperbolic type

(Lx(α) − Lt(α))S(x, t) = 0, Lx(α) =∂2

∂x2+ α

∂

∂x, α = α 6= 0.

We have proved the finite-dimensionality of the corresponding commutation operator and thestructure of the inverse operator is researched.

www.kromsh.info 21

The received results are applied to the case of the generalized functions of the following kind:

f(x) = γδ(x) + βδ(ω − x) + g(x), g(x) ∈ L2(0, ω),

δ(x) - Dirac delta- function.As an example we have considered the problem of filtrating and predicting non-stationary stochastic

processes and signals.

References

[1] Sakhnovich L.A., St. Petersburg Mathematical Journal, (Translation of Algebra and Analysis, in Russian), v. 5:1(1994), p. 1–64.

ON BEHAVIOR AT INFINITY OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIALEQUATIONS IN A BANACH SPACE

Valentyna Gorbachuk

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine (Ukraine, Kyiv)


Consider the equation

y′(t) +Ay(t) = 0, t ∈ [0,∞), (1)

where A is a closed densily defined linear operator in a Banach space B with norm ‖ · ‖. A B-valuedvector function y(t) : [0,∞) 7→ D(A) (D(A) is the domain of A) is called a strong solution of equation(1) if it is continuously differentiable on [0,∞) and satisfies (1) there. By a weak solution of thisequation on (0,∞) we understand a B-valued vector function y(t) : (0,∞) 7→ B such that,

y(t) ∈ C((0,∞),B), ∀s, t ∈ (0,∞) :

t∫

s

y(τ) dτ ∈ D(A), and y(t) − y(s) = −At∫

s

y(τ) dτ.

If the operator A is bounded, then every weak solution for (1) is its strong one. But this is, generally,not the case when A is unbounded. In this situation, a weak solution y(t) is strong if and only ify(t) ∈ C1([0,∞),B).

We say that equation (1) is:1) asymptotically stable if for any its weak solution y(t)

limt→∞

y(t) = 0;

2) exponentially stable, if

∃ω > 0 : limt→∞

eωty(t) = 0

for all weak solutions y(t) of this equation.

If dimB <∞, both the definitions are equivalent, but this is, in general, not the case if dimB = ∞.Since no conditions on the behavior of a weak solution y(t) near 0 are imposed, it is possible for

such a solution to have a singularity when approaching to 0 (limt→0

y(t) = ∞); moreover, the order of

growth of y(t) as t→ 0 may be arbitrary.It is shown that if the Cauchy problem for equation (1) is well-posed (−A is the generating operator

of a C0-semigroup (this semigroup is usually denoted bye−tA

t≥0

), then in order equation (1) beasymptotically (exponentially) stable, it is necessary that 0 ∈ σc(A)

⋃ρ(A) (0 ∈ ρ(A)) (σc(A) and

ρ(A) are the continuous spectrum and the resolvent set of A respectively). In the case where thesemigroup

e−tA

t≥0

is analytic, this condition is sufficient, too.Now let γ(t) > 0 be a continuous function on [0,∞), and γ(t) → 0 as t → ∞. Suppose that for

each continuous at 0 weak solution y(t) of equation (1),

∃c = c(y) > 0 : ‖y(t‖ ≤ cγ(t). (2)


We prove that then this equation is exponentially stable. It is also established the following test ofexponential stability: equation (1) is exponentially stable if and only if for any its weak solution y(t)from C([0,∞),B) (y(0) = lim

t→0y(t) ∈ B),

∃p = p(y) > 0 :

∞∫

1

‖y(t)‖p dt <∞. (3)

If A generates an infinitely differentiable C0-semigroup in B, then it is sufficient in (2) to restrict

oneself to the weak solutions y(t) for which y(0) ∈∞⋂

n=0D(An). Moreover, if the semigroup

e−tA

t≥0

is analytic, then it is sufficient for (2) and (3) to be fulfilled only for the weak solutions y(t) such thaty(0) is an analytic vector for the operator A.

ON THE DIRICHLET PROBLEM FOR SECOND-ORDER DIFFERENTIALEQUATIONS OF ELLIPTIC TYPE IN A BANACH SPACE

Volodymyr Gorbachuk

National Technical University "KPI"(Ukraine, Kyiv)


We consider the problemy′′(t) −Ay(t) = 0, t ∈ (0,∞), (1)

y(0) = f, f ∈ B, (2)

where A is a positive linear operator in a Banach space B with norm ‖ · ‖.It is established that the set of all solutions of the homogeneous problem (1)-(2) (f = 0) forms an

infinite-dimensional space, and every solution from this space admits extension to an entire B-valuedvector function. We show also that in the class of B-valued vector functions satisfying the condition

‖y(t)‖ ≤ ceωt, t ∈ [0,∞), (3)

where c = c(y) = const, ω < −ω(B), B = A1/2, ω(B) is the type of the semigroupe−Bt

t≥0

, thisproblem has only a trivial solution.

As for the inhomogeneous problem (1)-(2), it is proved that in the class of vector-valued functionssatisfying (3) this problem is uniquely solvable for any f ∈ B, and its solution y(t) may be representedin the form

y(t) = e−Btf, t ∈ [0,∞).

ON ESTIMATION OF SOLUTIONS OF CERTAIN CLASS OF NEUTRALTYPE SYSTEMS

Grigory Sklyar, Piotr Polak

University of Szczecin (Poland, Szczecin)


We consider some class of delay equations of neutral type of the form

z(t) = A−1z(t− 1) +

0∫

−1

A2(θ)z(t+ θ)dθ +

0∫

−1

A3(θ)z(t+ θ)dθ,

where A−1 is a n × n invertible complex matrix, A2 and A3 are n × n matrices which elements arefunctions from L2. This equation can be rewritten in to the operator form

x = Axin some Hilbert space. It is known that the equation can be stable even in the case when the eigenvaluestends to the imaginary axis. In general case we give sharp estimations of speed of growth of stronglycontinuous semigroup generated by the operator A and characterize the asymptotic behavior of

www.kromsh.info 23

individual solutions of the system. We introduce the concept of maximal asymptotic and find thecondition under which the system can not posses any maximal asymptotics, what means that itdoesn’t have the fastest growing solution. We also consider the problem of asymptotic behavior ofsolutions on some non-closed, dense, linear sets D(Ak).

We give some applications of obtained results to the control theory. In particular we study theimpact of feedback control to asymptotic behavior of the solutions. We describe also the asymptoticbehavior of the diameter of the set of null-reachable states.

References

[1] G.M. Sklyar, P. Polak Asymptotic growth of solutions of neutral type systems, Applied Math. Opti. 67 (2013),453–477.

[2] G.M. Sklyar, On the maximal asymptotics for linear differential equations in Banach spaces, Taiwanese J. Math.14 (2010), 2203–2217.

[3] R. Rabah, G.M. Sklyar, A.V Rezounenko, Stability analysis of neutral type systems in Hilbert space, J. DifferentialEquations 214 (2005) 391–428.

ON ALMOST PERIODIC SOLUTIONS OF IMPULSIVE SYSTEMS WITHDELAY

Y. M. Myslo, V. I. Tkachenko

Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine (Ukraine, Kiev)


We investigate the existence and attractivity properties of piece-wise continuous almost periodicsolutions for the system of differential equations with delay and impulsive action

dx(t)

dt= f(t, x(t), x(t − h)), t 6= tk, (1)

x(tk + 0) = x(tk) + Ik(x(tk)), k ∈ Z, (2)

where x ∈ Rn, h = const > 0. We assume that1) sequence of real numbers tk has uniformly almost periodic differences;2) function f(t, x, y) is W-almost periodic in t and Lipschitz in x and y uniformly for x, y from

compact sets, the sequence of discontinuities of f is the sequence tk;3) the sequence Ik(x) is almost periodic uniformly with respect to x from compact sets. Functions

Ik(x) are Lipschitz in x.

Definition 1. [1] Piece-wise continuous function ϕ(t) is said to be W-almost periodic ifi) the sequence tk of discontinuities of ϕ(t) has uniformly almost periodic differences;ii) for any ε > 0 there exists a positive number δ = δ(ε) such that if the points t′ and t′′ belong to

the same interval of continuity and |t′ − t′′| < δ then ‖ϕ(t′) − ϕ(t′′)‖ < ε (‖.‖ is usual norm in Rn);iii) for any ε > 0 there exists a relatively dense set of ε-almost periods τ such that ‖ϕ(t+τ)−ϕ(t)‖ <

ε for all t ∈ R which satisfy the condition |t− tk| ≥ ε, k ∈ Z.

Definition 2. The piece-wise continuous function a(t) is W-asymptotically almost periodic if it is asum of W-almost periodic function p(t) and piece-wise continuous function q(t) such that q(t) → 0 ast→ ∞.

Theorem 1. Let bounded solution ξ(t) of the system (1), (2) is uniformly asymptotically stable fort ≥ 0. Then ξ(t) is W-asymptotically almost periodic and system (1), (2) has W-almost periodicsolution which is uniformly asymptotically stable for t ≥ 0.

We apply these results to study almost periodic single species model with stage structure andimpulses and Mackey–Glass equation with almost periodic coefficients and impulsive action.

References

[1] Samoilenko A.M., Perestyuk N.A., Impulsive differential equations, World Scientific, Singapore, 1995.[2] Myslo Y.M., Tkachenko V.I., Global attractivity in almost periodic single species models, Functional Differential

Equations, 18 (2011), no. 3—4, 269—278.[3] Myslo Y.M., Tkachenko V.I., Almost periodic solutions of Mackey–Glass equations with pulse action, Nonlinear

Oscillations, 14 (2012), no 4, 537–546.


Секция 6. Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных

ОДНОРIДНА ЗАДАЧА ТИПУ ДIРIХЛЕ ДЛЯ ЛIНIЙНОГОДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ

Волянська I.I., Iлькiв В.С.

Нацiональний унiверситет”Львiвська полiтехнiка“ (Україна, Львiв)


В областi Q = [0, T ] × [0, π] розглянуто задачу типу Дiрiхле для лiнiйного диференцiальногорiвняння

Lu =∑

s0+s1≤n

as0,s1

∂2s0+2s1u

∂t2s0∂x2s1= 0, (1)

де as0,s1 ∈ C, an,0 = 1, n ≥ 1, t ∈ [0, T ], x ∈ [0, π], u = u(t, x) — шукана функцiя, яка повинназадовольняти умови

∂2lu

∂t2l

∣∣∣t=0

= ϕl,∂2lu

∂t2l

∣∣∣t=T

= ϕn+l, l = 0, 1, . . . , n− 1, (2)

∂2mu

∂x2m

∣∣∣x=0

=∂2mu

∂x2m

∣∣∣x=π

= 0, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3)

для довiльних заданих функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕ2n−1.Розв’язнiсть задачi дослiджується у банахових просторах H

2nq (Q), q ∈ R, функцiй u(t, x),

похiднi яких∂ru(t, x)

∂tr, r = 0, 1, . . . , 2n, для кожного t ∈ [0, T ] належать до просторiв Hq−r[0, π]

вiдповiдно i неперервнi за змiнною t у цих просторах. Квадрат норми функцiї u у просторi Hnq (Q)

обчислюється за формулою ‖u‖2Hn

q (Q) =2n∑

r=0max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2

Hq−r [0,π]. Простiр Hq[0, π] є гiльберто-

вим простором функцiй γ = γ(x) =∑k∈N

γk sin kx з нормою ‖γ‖Hq[0,π] =(∑

k∈N

(1 + k2)q|γk|2)1/2

, де

γk — комплекснi числа.Пiд розв’язком задачi (1)–(3) розумiємо таку функцiю u = u(t, x), яка задовольняє рiвняння

(1) i умови (2), (3) та належить до простору H2nq (Q).

Для iснування розв’язку задачi (1)–(3) необхiдно, щоб функцiї ϕl та ϕn+l належали до про-сторiв Hq−2l[0, π] при l = 0, 1, . . . , n− 1 вiдповiдно.

Розв’язок задачi (1)–(3) шукається у виглядi ряду: u(t, x) =∑k∈N

uk(t) sin kx, де коефiцiєнти

uk = uk(t) — невiдомi функцiї. Єдинiсть розв’язку у просторi C2n[0, T ] вiдповiдної задачi для

звичайного диференцiального рiвняння

d2nuk

dt2n+

n∑

j=1

bj(k)d2(n−j)uk

dt2(n−j)= 0, (4)

u(2l)k (0) = ϕlk, u

(2l)k (T ) = ϕn+l,k, l = 0, 1, . . . , n− 1, (5)

де bj(k) =j∑

s1=0(−1)s1an−j,s1k

2s1 — многочлени степеня не вище j, ϕlm — коефiцiєнти Фур’є функ-

цiї ϕl, а ϕn+l,m — коефiцiєнти Фур’є функцiї ϕn+l за системою sinmxm∈N на [0, π], для всiхk ∈ N є необхiдною i достатньою умовою єдиностi розв’язку задачi (1)–(3) у просторi H

2nq (Q)

для довiльного q∈R. Саме тому, якщо для якогось k iснує нетривiальний розв’язок uk = uk(t)однорiдної задачi (4), (5), то однорiдна задача (1)–(3) має нетривiальний розв’язок u = u(t, x),який визначається формулою u(t, x) = uk(t) sin kx i розв’язок задачi (1)–(3) не може бути єдиним.

У роботi побудовано розв’язок задачi та встановлено достатнi умови iснування i необхiднi тадостатнi умови єдиностi розв’язку задачi (1)–(3) i бiєктивнiсть оператора цiєї задачi зi шкалипросторiв Hn

q (Q)q∈R у шкалу Hq[0, π]q∈R. Показано, що на вiдмiну вiд задачi з багатьмапросторовими змiнними (вивчена у гiперболiчному випадку, див. Пташник Б. Й. Некорректныеграничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. – К: Наук.

www.kromsh.info 25

думка, 1984), яка є некоректною за Адамаром, оскiльки її розв’язнiсть пов’язана з проблемоюмалих знаменникiв, задача з однiєю змiнною є коректною за Адамаром, вiдповiднi вирази непороджують проблему малих знаменникiв i оцiнюються знизу константами.

ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ ДРОБОВОГО ПОРЯДКУ В ПРОСТОРАХ

УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ТИПУ УЛЬТРАРОЗПОДIЛIВ

Городецький В. В., Дрiнь Я. М.

Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича (Україна, Чернiвцi)Буковинський державний фiнансово-економiчний унiверситет (Україна, Чернiвцi)


1. У працях [1, 2, 3] здiйснено дослiдження задачi Кошi для рiвнянь типу фарктальної ди-фузiї, якi мiстить регуляризовану дробову похiдну за часовою змiнною та похiднi до другогопорядку за просторовими змiнними. В [1] доведена теорема iснування та єдиностi розв’язку аб-страктної задачi Кошi для рiвняння Dα

t u(t) = Au(t), де A – замкнений лiнiйний оператор убанаховому просторi, Dα

t – регуляризована дробова похiдна Рiмана-Лiувiлля порядку α ∈ (0, 1).На пiдставi цього в [2] доведено єдинiсть розв’язку задачi Кошi для рiвняння Dα

t u(t, x) = Lu(t, x)у класi обмежених та експоненцiально зростаючих з порядком зростання 2/(2−α) функцiй (L –елiптичний диференцiальний оператор 2-го порядку з неперервними та обмеженими дiйснимикоефiцiєнтами). У працi [3] за допомогою методу параметрикса встановлено розв’язнiсть зада-чi Кошi для рiвнянь Dα

t u(t, x) = Lu(t, x) у класi функцiй, що зростають як expc|x|2/(2−α).Двоточкова за часом задача для рiвняння дифузiї дробового порядку дослiджена в [4]. За допо-могою методу перетворення Фур’є знайдено iнтегральне зображення розв’язку за граничнимифункцiями iз класу Дiнi. Рядом авторiв дослiджувалася також задача типу Кошi для звичайнихдиференцiальних рiвнянь з дробовими похiдними Рiмана-Лiувiлля (див. [5]).

У цiй роботi для еволюцiйного рiвняння

Dαt u(t, x) + P (D)u(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0, T ] × R ≡ Ω,

де Dαt , 0 < α < 1, – регуляризований оператор дробового диференцiювання Рiмана-Лiувiлля,

D = id/dx, P (σ), σ ∈ R, – полiном степеня 2b, b ∈ N, над полем дiйсних чисел, який задоволь-няє умову ∃c > 0 ∀x ∈ R : P (x) ≥ cx2b, встановлено такi факти: 1) наведено структуру тавластивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з операторомдробового диференцiювання Рiмана-Лiувiлля за часовою змiнною та диференцiальним опера-тором довiльного порядку зi сталими коефiцiєнтами; 2) встановлено розв’язнiсть задачi Кошiу випадку, коли початкова умова належить до певного класу узагальнених функцiй. Така по-становка задачi є природною, оскiльки початкова функцiя може мати особливостi в однiй абодекiлькох точках i допускає регуляризацiю у тому чи iншому просторi узагальнених функцiй(розподiлiв, ультрарозподiлiв, гiперфункцiй тощо); 3) знайдено клас (Sp

1−p)′, p = α/(2b) [6] уза-

гальнених початкових функцiй, для яких розв’язок u(t, ·) задачi Кошi зображається у виглядiзгортки початкової функцiї з фундаментальним розв’язком цiєї задачi (який є елементом про-стору Sp

1−p основних функцiй); при цьому u(t, ·) ∈ C∞(R) при кожному t > 0, а вiдповiднупочаткову умову u(t, ·) задовольняє в просторi (Sp

1−p)′; 5) розв’язок володiє властивiстю локалi-

зацiї (властивiстю локального покращення збiжностi): якщо узагальнена початкова функцiя fзбiгається на вiдкритiй множинi Q ⊂ R з неперервною функцiєю g, то на довiльному компактiK ⊂ Q розв’язок задачi Кошi u(t, ·) збiгається до g при t→ +0 рiвномiрно вiдносно x.


[1] Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка / А.Н. Кочубей / Дифференц.уравнения. – 1989. – Т. 25, 8. – С. 1359–1368.

[2] Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка / А.Н. Кочубей / Дифференц. уравнения. – 1990. – Т. 26, 4. –С. 485–492.

[3] Кочубей А.Н. Уравнения одномерной фрактальной диффузии / А.Н. Кочубей, С.Д. Эйдельман / Доп. НАНУкраины. – 2003. – 12. – С. 11–16.

[4] Матiйчук М.I. Параболiчнi та елiптичнi задачi у просторах Дiнi / М.I. Матiйчук. – Чернiвцi: Чернiвецькийнац. ун-т, 2010. – 248 с.


[5] Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А.Килбас, О.И. Маричев. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

[6] Гельфанд И.М. Пространства основных и обобщенных функций / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. – М.: Физ-матгиз, 1958. – 307 с.

НЕЛОКАЛЬНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМИДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ

ПОХIДНИМИ У БАГАТОВИМIРНIЙ КОМПЛЕКСНIЙ ОБЛАСТI

Iлькiв В.С., Страп Н.I.



Нехай S — однозв’язна область проколотої у нулi комплексної площини, тобто S ⊂ C \ 0, аDp — цилiндрична область [0, T ]× Sp, де T > 0, p ≥ 2.

Введено шкали просторiв Hq(Sp)q∈R, Hnq (Dp)q∈R, Hq(Sp)q∈R i Hn

q (Dp)q∈R. Зокрема,Hq(Sp), q ∈ R, — гiльбертiв простiр функцiй ψ = ψ(z) =

∑k∈Zp

ψkzk зi заданим в ньому скаляр-

ним добутком (ψ, ϕ)Hq(Sp) =∑

k∈Zp

k2qψkϕk, причому ‖ψ‖2Hq(Sp) = (ψ, ψ)Hq(Sp), а H

nq (Dp), q ∈ R,

n∈Z+, — банахiв простiр функцiй u = u(t, z) таких, що похiднi∂ru(t, z)

∂tr=∑

k∈Zp

u(r)k (t)zk для всiх

r = 0, 1, . . . , n i t ∈ [0, T ] належать до просторiв Hq−r(Sp) вiдповiдно i неперервнi за t у цих

просторах, де k =√

1 + k21 + . . .+ k2

p. Квадрат норми у просторi Hnq (Dp) дає формула

‖u‖2Hn

q (Dp) =

n∑

r=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2

Hq−r(Sp).

Простiр Hq(Sp), q∈R, складається з вектор-функцiй v = col (v1, . . . , vm), де vj = vj(z) ∈ Hq(Sp)

для j = 1, . . . ,m, i споряджений нормою ‖v‖Hq(Sp) =( m∑

j=1

‖vj‖Hq(Sp)

)1/2, а простiр H

nq (Dp), q ∈ R,

n ∈ Z+, складають вектор-функцiї u = col (u1(t, z), . . . , um(t, z)), де uj = uj(t, z) ∈ Hnq (Dp) для

j = 1, . . . ,m, з нормою ‖u‖Hnq (Dp) =

( m∑j=1

‖uj‖Hnq (Dp)

)1/2.

Розглянуто систему диференцiально-операторних рiвнянь порядку n ≥ 1 з частинними похiд-ними i сталими коефiцiєнтами

∑

s0+|s|≤n

As0,sBs ∂

s0u

∂ts0= 0, (1)

де s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . .+ sp, As0,s — квадратнi матрицi розмiру m, An,0,...,0 = Im —

одинична матриця; u = u(t, z) = col (u1(t, z), . . . , um(t, z)) — вектор розмiру m ≥ 2. ОператорB=(B1, B2, . . . , Bp) i його степенi Bs складено з операторiв узагальненого диференцiювання

Bj≡zj∂

∂zj. Степенями даних операторiв є B0

ju ≡ u, Blju = Bj(B

l−1j u), де j = 1, . . . , p, l = 1, . . . , n,

зокрема Blju = kl

ju для u = zk = zk11 · · · zkp

p i k ∈ Zp.Знайдено умови iснування та єдиностi i побудовано розв’язок u ∈ H

nq (Dp) системи (1), що

задовольняє нелокальнi умови

µ∂ju

∂tj

∣∣∣∣t=0

− ∂ju

∂tj

∣∣∣∣t=T

= ϕj , j = 0, 1, . . . ,m− 1, (2)

де µ ∈ C\0— числовий параметр, ϕj = ϕj(z) = col (ϕj1(z), . . . , ϕjm(z)) — заданi вектор-функцiїзi шкали просторiв Hq(Sp)q∈R.

Розглядувана задача є некоректною за Адамаром, зокрема, у парi шкал просторiв(Hn

q (Dp)q∈R, Hq(Sp)q∈R

), а її розв’язнiсть залежить вiд малих знаменникiв, якi виникають

при побудовi розв’язку. Доведено метричнi теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв для

www.kromsh.info 27

всiх (за винятком множини нульової або малої мiри) векторiв, складених з компонент коефiцiєн-тiв As0,s системи та параметра µ. На основi цих теорем встановлено достатнi умови iснуваннярозв’язку задачi у просторi Hn

q (Dp). Знайдено необхiднi та достатнi умови його єдиностi.

ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА-ҐРЕДА ДЛЯ МАРГIНАЛЬНИХСПОСТЕРЕЖУВАНИХ СИСТЕМИ ПРУЖНИХ КУЛЬ

Корнiєнко А.Г.

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка (Україна, Київ)


Доповiдь присвячена проблемi строгого обґрунтування еволюцiйних рiвнянь, якими опису-ються колективнi нерiвноважнi властивостi системи багатьох пружних куль в скейлiнґовiй гра-ницi Больцмана–Ґреда.

На вiдмiну вiд традицiйного пiдходу до виведення кiнетичного рiвняння Больцмана [1], якийґрунтується на побудовi скейлiнґової границi Больцмана–Ґреда розв’язку задачi Кошi для iєрар-хiї рiвнянь ББҐКI (Боголюбов–Борн–Ґрiн–Кiрквуд–Iвон) для маргiнальних функцiй розподiлу,розвинуто пiдхiд до опису кiнетичної еволюцiї системи пружних куль в термiнах еволюцiї мар-гiнальних спостережуваних. Доведено, що асимптотична границя Больцмана–Ґреда розв’язкузадачi Кошi для дуальної iєрархiї рiвнянь ББҐКI для маргiнальних спостережуваних системипружних куль описується розв’язком задачi Кошi для дуальної iєрархiї рекурентних рiвняньБольцмана. Для початкових станiв, якi описуються в термiнах одночастинкової функцiї роз-подiлу, встановлено, що для адитивного типу маргiнальних спостережуваних, розв’язок дуальноїiєрархiї рiвнянь Больцмана описує кiнетичну еволюцiю системи в спосiб еквiвалентний до кiне-тичного рiвняння Больцмана для одночастинкової функцiї розподiлу. В загальному випадку дляk-арного типу маргiнальних спостережуваних кiнетична еволюцiя, яка описується за допомо-гою розв’язку дуальної iєрархiї рiвнянь Больцмана для пружних куль, еквiвалентна стану, якийописується добутком k одночастинкових маргiнальних функцiй розподiлу, а саме, розв’язкомвiдповiдної задачi Кошi для кiнетичного рiвняння Больцмана (властивiсть станiв вiдома, яквластивiсть розповсюдження початкового хаосу).

Зауважимо, що одна з переваг пiдходу до опису кiнетичної еволюцiї в термiнах спостере-жуваних полягає у можливостi побудови кiнетичних рiвнянь в скейлiнговiй границi у випадкунаявностi кореляцiй частинок в початковий момент часу, якими, зокрема, характеризуютьсяконденсованi стани систем багатьох частинок.


[1] Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D. Ya. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. Kluwer Acad.Publ., 1997.


СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫВ ЛИПШИЦЕВЫХ ОБЛАСТЯХ И ПРОБЛЕМА КАТО

Агранович М.С.

Московский институт электроники и математики Национального исследовательскогоуниверситета «Высшая школа экономики» (Россия, Москва)


Селицкий А.М.

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН (Россия, Москва)

Российский университет дружбы народов (Россия, Москва)


Пусть Ω — ограниченная липшицева область в Rn (n > 1), и пусть в ней задан матричный силь-но эллиптический оператор в частных производных 2-го порядка, записанный в дивергентнойформе. Обширная литература посвящена изучению дробных степеней такого оператора с одно-родными условиями Дирихле, Неймана и смешанными граничными условиями. Исследованиябыли направлены на решение многочисленных вариантов известной проблемы Като. Рассмат-ривались также системы высших порядков.

Мы предлагаем новый абстрактный подход к этой проблематике (см. [1]), позволяющийсущественно проще получить основные результаты и охватить новые операторы — классиче-ские граничные операторы на липшицевой границе Γ области Ω или ее части Γ1, а такжедифференциально-разностные операторы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 11-01-00277, 12-01-00524-а,13-01-00923).


[1] М. С. Агранович, А. М. Селицкий, Дробные степени операторов, отвечающих коэрцитивным задачам влипшицевых областях, Функц. анализ и его прил. 47:2 (2013), 2–17.

ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХВ ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЕННОЙ ГЛАДКОСТИ

Аноп А.В., Мурач А.А.



Доклад посвящен применению некоторых пространств обобщенной гладкости к эллипти-ческим краевым задачам. Рассматриваются гильбертовы пространства Л. Хермандера

Hϕ :=

w ∈ S′(Rn) : ‖w‖2

ϕ :=

∫

Rn

ϕ2(〈ξ〉) |w(ξ)|2dξ <∞, ϕ ∈ RO. (1)

Здесь 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2, а w — преобразование Фурье распределения w. Для них показателемгладкости служит измеримый функциональный параметр ϕ : [1,∞) → (0,∞), RO-меняющийсяна ∞ по В. Авакумовичу. Последнее означает, что c−1 ≤ ϕ(λt)/ϕ(t) ≤ c для произвольных t ≥ 1и λ ∈ [1, a] и некоторых постоянных a > 1 и c ≥ 1 (a и c не зависят от t и λ, но могут зависетьот ϕ). В случае степенной функции ϕ(t) = ts имеем пространство Соболева Hϕ =: H(s) порядкаs ∈ R.

Пространства (1) образуют расширенную соболевскую шкалу (р.с.ш.). Она состоит из всехгильбертовых пространств, интерполяционных относительно соболевской шкалы H(s) : s ∈ R.Р.с.ш. на евклидовых областях и гладких компактных многообразиях определяется стандартнымобразом по шкале (1).

www.kromsh.info 29

Пусть Ω — ограниченная область в Rn (n ≥ 2) с границей Γ ∈ C∞. Рассмотрим эллиптическуюкраевую задачу (э.к.з.)

Au = f в Ω, Bju = gj на Γ, j = 1, . . . , q. (2)

Здесь A = A(x,D), x ∈ Ω, и все Bj = Bj(x,D), x ∈ Γ, есть линейные дифференциальныевыражения. Их коэффициенты бесконечно гладкие, а порядки ordA = 2q, где q ∈ N, и ordBj =mj ≤ 2q − 1.

Задача (2) имеет следующие свойства в р.с.ш. Пусть B := (B1, . . . , Bq) и ρ(t) := t при t ≥ 1.

Теорема 1. Для любых ϕ ∈ RO, σ0(ϕ) > −1/2, отображение u → (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω),продолжается по непрерывности до нетеревого ограниченного оператора

(A,B) : Hϕρ2q

(Ω) → Hϕ(Ω) ⊕q⊕

j=1

Hϕρ2q−mj−1/2

(Γ) =: Hϕ(Ω,Γ).

Его ядро и индекс не зависят от ϕ.

Пусть V ⊂ Rn — произвольное открытое множество, Ω0 := Ω∩V 6= ∅ и Γ0 := Γ∩V . Обозначим

через Hϕρ2q

loc (Ω0,Γ0) пространство всех распределений u ∈ D′(Ω) таких, что χu ∈ Hϕρ2q

(Ω) длялюбой функции χ ∈ C∞(Ω) с suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0. Обозначим через Hϕ

loc(Ω0,Γ0) пространство всехвектор-функций F := (f, g1, . . . , gq) ∈ D′(Ω) × (D′(Γ))q таких, что χF ∈ Hϕ(Ω,Γ) для любойфункции χ, указанной выше.

Теорема 2. Предположим, что функция u ∈ ⋃s>−1/2H(s+2q)(Ω) является решением э.к.з.

(A,B)u = F , где F ∈ Hϕloc(Ω0,Γ0) для некоторого ϕ ∈ RO, σ0(ϕ) > −1/2. Тогда u ∈ Hϕρ2q

loc (Ω0,Γ0).

Теорема 3. Пусть выполняется условие теоремы 2, и для некоторого целого m ≥ 0 верно∫ ∞

1

t2m−4q+n−1ϕ−2(t)dt <∞.

Тогда u ∈ Cm(Ω0 ∪ Γ0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ СРЕДЫ ПРИМНОГОКРАТНОМ ЗОНДИРОВАНИИ

Балакина Е.Ю.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск),Новосибирский государственный университет (Россия, Новосибирск)


Рассматривается процесс переноса частиц (в частности фотонов). В качестве математическоймодели взято линейное дифференциальное уравнение переноса:

ω · ∇rf(r, ω,E) + µ(r, E)f(r, ω,E) = J(r, ω,E).

Здесь r ∈ G ⊂ R3; G — выпуклая ограниченная область; ω ∈ Ω = ω ∈ R3 : |ω| = 1; E ∈ I =[Emin, Emax].

В этом уравнении f(r, ω,E) — плотность потока частиц в точке r с энергией E, летящих внаправлении ω. Функции µ и J характеризуют среду G.

Среда G — неоднородная. Для характеристики этой неоднородности введем в рассмотрениеподмножество G0 области G. Множество G0 предполагается открытым в R3, плотным в G (G0 =G) и является объединением счётного числа областей. Области Gi можно интерпретироватькак части неоднородной среды G, заполненные i-ым веществом. Функции µ(r, E) и J(r, ω,E)по пространственной переменной r принадлежат классу C2 в каждом Gi и могут претерпеватьскачок на ∂G0.

Рассмотрим задачу, соответствующую многократному зондированию среды.Задача. Найти поверхность ∂G0 из уравнений

ω · ∇rfq(r, ω,E) + µ(r, E)fq(r, ω,E) = J(r, ω,E),


и краевых условий

fq(ξ, ω,E) = hq(ξ, ω,E), (ξ, ω,E) ∈ Γ− × Ω × I,

E2∫

E1

fq(η, ω,E)dE = Hq(η, ω), (η, ω) ∈ Γ+ × Ω,

где известными являются поверхность ∂G и функции Hq(η, ω), q = 1, . . . ,K.Здесь Γ+ и Γ− — некоторые подмножества ∂G, функции hq(ξ, ω,E) интерпретируются как

плотности входящих потоков, заданных по ξ на Γ+, Hq(η, ω) — плотности выходящих потоков,заданных по η на Γ−, q = 1, ...,K.

Для решения задачи определим функцию Ind∗(r) следующим образом:

Ind∗(r) =

K∑

q=1

∣∣∣∣ ∇∫

Ω∗

βq(r, ω)Hq(r, ω)dω

∣∣∣∣ .

Здесь функции Hq(r, ω) однозначно определяются по Hq(η, ω), т.е. заданы, функции βq(r, ω),также считаются заданными и являются вспомогательными, q = 1, ...,K.

Используя ограничения, близкие к [2, 3], и результат работы [1], показывается, что введённаяфункция Ind∗(r) может быть неограниченной только вблизи искомой поверхности.

Доказывается теорема единственности решения при довольно общих предположениях. Про-ведены численные эксперименты.

Работа выполнена при поддержке ФЦП ”Научные и научно-педагогические кадры инновационной

России” (соглашение 14.В37.21.0355), РФФИ 13-01-00275 А.


[1] Аниконов Д. С., Балакина Е.Ю. Полихроматический индикатор неоднородности неизвестной среды для за-дачи рентгеновской томографии // Сибирский математический журнал, 2012. Т. 53, 4. С. 721—740.

[2] Аниконов Д.С., Ковтанюк А. Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос,2000.

[3] Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. МИАН СССР, 1961.Вып. 61. С. 3–158.

ГАЛЁРКИНСКИЕ АППРОКСИМАЦИИ МЕТАУСТОЙЧИВЫХСТРУКТУР В КАНОНИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ

Белан Е.П., Плышевская С.П.

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)


Рассматривается скалярное параболичекое уравнение

ut = µ2uxx + u− u3, 0 < x < π, t > 0,ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0.

(1)

Это уравнение порождает динамическую систему в пространстве0

H1(0, π) с глобальным аттрак-тором Aµ. Множество стационарных решений Eµ уравнения (1), т.е. решений краевой задачи

µ2uxx + u− u3 = 0, ux(0) = ux(π) = 0, (2)

зависит от параметра µ > 0. Пространственно-однородное решение ϕ∞ = 0 неустойчиво, аϕ0 = 1, ϕ0 = −1 - устойчивы. Пусть (k + 1)−1 < µ < k−1. Тогда Eµ содержит ровно k-парпространственно-неоднородных стационарных решений ϕi, ϕi = −ϕi, 1 ≤ i ≤ k, ϕi(0) < 0. Ре-шения ϕi, ϕi бифурцируют из нулевого решения и имеют на (0, π) ровно i нулей. Стационарныерешения ϕi, ϕi неустойчивы, размерность их неустойчивых многообразий равна i.

Итак, при t → ∞ типичные решения приближаются к одному из двух устойчивых решенийϕ0, ϕ0. Однако время этого перехода при малых µ оказывается, как правило, предельно долгим.Для любого целого n и достаточно малых µ уравнение (1) имеет n-параметрическое семейство

www.kromsh.info 31

медленно меняющихся решений [1, 2]. Каждый элемент семейства есть функция близкая к сту-пенчатой со значениями 1,−1 и медленно меняющимися n точками перехода. Эти решения прификсированном t являются приближенными решениями (2) типа внутреннего переходного слоя с

n точками перехода. Указанное семейство решений в пространстве0

H1(0, π) определяет n-мерноемногообразие медленно меняющихся решений. Процесс медленной эволюции решений переходитдля каждого выделенного решения в этап значительно более быстрого изменения по сравнениюс предыдущим этапом и завершается, как правило, переходом в стадию медленной эволюциирешений указанного выше типа с n − k, k = 1, 2 точками перехода. Медленно меняющиеся ре-шения называются метаустойчивами структурами. Исследование метаустойчивых структур придостаточно малых µ в фундаментальных работах [1, 2] проведено методом инвариантных мно-гообразий.

Для построения и исследовании динамики метаустойчивых структур при средних значенияхпараметра µ нами строится иерархия упрощенных моделей уравнения (1) - градиентные си-стемы обыкновенных дифференциальных уравнений "средних"( от 15 до 30) размерностей. Этисистемы обладают богатой динамикой. В частности, в указанных системах реализуется широкийспектр седло-узловых бифуркаций. В докладе приводятся характерные особенности поведенияветвей стационарных точек, возникающих при седло-узловых бифуркациях. Используя указан-ный метод, построены приближенно гладкие многообразия медленных движений размерностей1 и 2.


[1] Carr J., Pego R.L. Metastable Patterns in Solution of ut = µ2uxx − f(u), Communications on Pure and AppliedMathematics, Vol.XLII, (1989), P.523-576.

[2] Fusco G., Hale J.K. Slow-Motion Manifolds, Dormant Instability, and Singulary Perturbations, Journal of Dynamicsand Differential Equations, Vol.I, No.1, (1989), P.75-94.

МЕТАУСТОЙЧИВЫЕ СТРУКТУРЫ ЗАДАЧИ ЧЭФИ-ИНФАНТЕ

Белан Е.П.

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)


Рассматривается каноническая форма задачи Чэфи-Инфанте [1] — параболическое уравнение

ut = µ2uxx + u− u3, 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0, u(π, t) = 0.

(1)

Это уравнение порождает динамическую систему в пространстве H10 (0, π) с глобальным аттрак-

тором Aµ. Множество стационарных решений Eµ уравнения (1), т.е. решений краевой задачи

µ2uxx + u− u3 = 0, u(0) = u(π) = 0, (2)

зависит от параметра µ > 0. Если (k + 1)−1 < µ < k−1, то тогда существует ровно k-парпространственно-неоднородных стационарных решений ϕi, ϕi = −ϕi, 1 ≤ i ≤ k, ϕ′

i(0) > 0.Решения ϕi, ϕi бифурцируют из нулевого решения и имеют ровно i − 1 нулей на (0, π). Еслиµ < 1, то нулевое решение неустойчиво, как и все прочие стационарные решения, за исключениемдвух ϕ1(x) > 0 > ϕ1(x) для 0 < x < π. Размерность неустойчивых многообразий стационарныхрешений ϕi, ϕi для i > 1 равна i− 1.

Итак, при t → ∞ типичные решения приближаются к одному из двух устойчивых решенийϕ1, ϕ1. Однако время этого перехода при малых µ оказывается, как правило, предельно долгим.Численными экспериментами установлено, что уравнение (1) имеет при малых µ медленно ме-няющиеся решения. При фиксированном целом n (n = 1, 2, 3) наблюдались решения, близкие кступенчатым функциям со значениями 1,−1 и имеющие на (0, π) n медленно меняющихся точекперехода. Эти решения на этапе медленной эволюции являются приближенными решениями за-дачи (2) типа внутреннего переходного слоя с n точками перехода. Процесс медленной эволюцииуказанных решений переходит для каждого выделенного решения в этап быстрого изменения,


который по времени значительно меньше предыдущего этапа, и завершается, как правило, пере-ходом в стадию медленной эволюции решения указанного выше типа с n−k, k = 1, 2, как правило,точками перехода. Медленно меняющиеся решения называются метаустойчивами структурами.

Фундаментальные результаты по исследованию метаустойчивых структур для скалярных па-раболических уравнений с условиями Неймана и достаточно малых µ получены в работах [2, 3].Эти результаты распространяются и на исходную задачу.

В докладе приводятся результаты анализа метаустойчивых структур уравнения (1) в случаеодной, двух точек перехода при средних значениях параметра µ, полученные в результате анали-за упрощенных моделей уравнения (1)— градиентных системах обыкновенных дифференциаль-ных уравнений средних 20-35 размерностей. Указанные системы обладают богатой динамикой.В частности, в указанных системах реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций.Обсуждаются вопросы соответствия стационарных и квазистационарных точек уравнения (1)стационарным точкам её упрощенных моделей.


[1] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, М.: Мир, (1985), 376 с.[2] Carr J., Pego R.L. Metastable Patterns in Solution of ut = µ2uxx − f(u), Communications on Pure and Applied

Mathematics, Vol.XLII, (1989), P.523-576.[3] Fusco G., Hale J.K. Slow-Motion Manifolds, Dormant Instability, and Singulary Perturbations, Journal of Dynamics

and Differential Equations, Vol.I, No.1, (1989), P.75-94.

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГРЭДА –ШАФРАНОВА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Безродных С.И., Власов В.И.

ВЦ РАН, ГАИШ МГУ (Россия, Москва)


Расчет магнитного поля в токамаке сводится согласно известной модели [1] к решению уравне-ния Грэда — Шафранова ∆u(x) = au(x) + b, x ∈ G, с однородным условием Дирихле на границеΓ = ∂G. Здесь жорданова область G с кусочно C3,α гладкой границей Γ представляет собойпоперечное сечение торообразного потока плазмы в токамаке, u(x) — ортогональная этому се-чению компонента магнитного потенциала (остальные компоненты тождественно равны нулю).Основная трудность этой модели заключается в том, что параметры a и b уравнения заранеенеизвестны, в связи с чем и возникает задача об их отыскании, называемая обратной задачейдля рассматриваемого уравнения. В [2] постановка этой задачи была дополнена нелокальнымусловием

∫Γ∂νu(x) ds = 1, где ds — элемент длины дуги Γ, а ∂ν — производная по внешней

нормали к Γ. Это условие, физически означающее задание величины полного тока, связываетпараметры a и b явно выписываемой зависимостью b = b(a) и, тем самым, сводит рассматрива-емую задачу к нахождению лишь параметра a.

В настоящей работе предложена модифицированная формулировка обратной задачи для урав-нения Грэда — Шафранова с нелокальным условием. Она заключается в нахождении параметраa по считающемуся заданным значению нормальной производной ∂νu(x) в любой точке x изспециального подмножества Γ границы Γ.

Для обратной задачи в такой формулировке установлены необходимые и достаточные условияоднозначной разрешимости. Кроме того, разработан эффективный аналитико–численный методее решения, включающий алгоритм построения множества Γ. После нахождения параметров aи b указанная выше задача Дирихле для уравнения Грэда — Шафранова вполне определена, иее решение может быть найдено при помощи метода мультиполей [3], обеспечивающего высоко-точное вычисление как самого решения u(x), так и его нормальной производной на границе Γ.Эти результаты основаны на применении метода мультиполей и на использовании асимптотик[4] при a→ ∞ для величин ∂νu(x) и d

da ∂νu(x), x ∈ Γ.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00923), Программы

ОМН РАН ”Современные проблемы теоретической математики“, проект ”Оптимальные алгорит-мы решения задач математической физики“ и Программы 3 фундаментальных исследованийОМН РАН.

www.kromsh.info 33


[1] M.Vogelius, An inverse problem for the equation ∆u = −cu−d, Ann. Inst. Fourier. 1994. Vol. 44. 4. P. 1181–1204.[2] A.Demidov, On the inverse problem for the Grad — Shafranov equation with affine right–hand side, 2nd Conference

on Inverse Proplems, Control and Shape Optimization. Carthage, Tunisie, April 10-12, 2002. Abstracts, P. 93–94.[3] В.И.Власов, Краевые задачи в областях с криволинейной границей, М.: ВЦ АН СССР, 1987.[4] A.S.Demidov, M.Moussaoui, An inverse problem originating from magnetohydrodynamics, Inverse Problems. 2004.

Vol. 20. P. 137–154.

О РАЗРЕШИМОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫСПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Бондарь Л.Н.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск)


Данная работа продолжает исследования [1, 2, 3, 4] по разрешимости краевых задач в полу-пространстве для квазиэллиптических и эллиптических уравнений и систем. Рассматриваетсяпервая краевая задача в полупространстве Rn

+ = x = (x′, xn) : x′ ∈ Rn−1, xn > 0 для однойэллиптической системы с младшими членами:

L(Dx)U = F (x), x ∈ Rn

+,U∣∣xn=0

= 0,(1)

гдеL(Dx) = L0(Dx) + εL1(Dx), ε > 0.

Сформулируем условия на матричный дифференциальный оператор L(Dx). Обозначим черезaj,r(iη) = a0,j,r(iη)+εa1,j,r(iη) элементы матрицы L(iη), являющейся символом матричного диф-ференциального оператора.

Условие 1. Пусть матрица L(iη) имеет размер m ×m и ее элементы удовлетворяют равен-ствам:

aj,r(c14l iη) = c a0,j,r(iη) + c

12l εa1,j,r(iη), j, r = 1, . . . ,m, c > 0, l ∈ N.

Условие 2. Равенства detL(iη) = 0, detL0(iη) = 0, detL1(iη) = 0, η ∈ Rn, имеют место тогдаи только тогда, когда η = 0.

Условие 3. Краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинского.В работе исследуется разрешимость краевой задачи (1) в соболевском пространстве W 4l

p (Rn+),

1 < p < ∞. Указаны ограничения на показатель суммируемости p, при которых краевая за-дача (1) будет разрешима в W 4l

p (Rn+) без дополнительных условий на правую часть системы.

Доказательство проводится с помощью метода, предложенного в статье [1].Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной

России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355), Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний (проект 12-01-31030) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80).


[1] Демиденко Г. В., Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическими уравнениями. II, Сиб. мат.журн. Т. 35, 1 (1994), с. 41–65.

[2] Бондарь Л.Н., Демиденко Г. В., Краевые задачи для квазиэллиптических систем, Сиб. мат. журн. Т. 49, 2(2008), с. 256–273.

[3] Бондарь Л. Н., Разрешимость краевых задач для квазиэллиптических систем в весовых соболевских про-странствах, Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. Т. 10, вып. 1 (2010), с. 3–17.

[4] Бондарь Л.Н., О разрешимости одного эллиптического уравнения в полупространстве, Сиб. электрон. мат.изв. Т. 9 (2012), с. 618–638.


КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ФЛУКТУАЦИЙ В ОГРАНИЧЕННЫХСИСТЕМАХ

Вальков А. Ю.

Санкт-Петербургский государственный торгово-экономический университет,Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)


Тепловые флуктуации различных физических величин весьма важны в физике, во-первых,в силу того, что многие явления (например, рассеяние света) существуют только благодаряфлуктуациям, а во-вторых, потому, что они оказывают влияние на измеряемые в экспериментахпараметры физических систем, особенно вблизи точек фазовых переходов [1]. С физической точ-ки зрения изучение флуктуаций — это задача, сочетающая теорию упругости, электродинамику,статистическую физику и теорию поля, а с математической — теорию вероятностей, уравненияв частных производных и континуальные интегралы.

Пусть флуктуирующая величина ϕ = ϕ(r) (скаляр, вектор или тензор, в зависимости отфизической природы объекта), r ∈ V — точка пространства, V — объем, занятый системой.Обычно ϕ определяют так, что 〈ϕ〉 = 0, и тогда простейший нетривиальный объект — парнаякорреляционная функция (имеющая удвоенную тензорную размерность по сравнению к φ)

G(r, r′) = 〈ϕ(r) ⊗ ϕ(r′)〉 ,

где ⊗ — знак тензорного произведения, 〈. . . 〉 обозначает усреднение с плотностью распределения— Гиббсовской экспонентой, зависящей от распределения ϕ в пространстве, ϕ ≡ ϕ(r)r∈V :

ρ (ϕ) = (Z (ϕ))−1 exp[− Ftot (ϕ) /kBT

],

где Z — нормировочный множитель, kB — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.Полная энергия Ftot = Fb+Fs, где Fb — объемная, а Fs — поверхностная энергии. Ограничимся

локальным случаем, когда можно ввести понятия плотностей энергии fb,s,

Fb (ϕ) =

∫

V

fb d3r, Fs (ϕ) =

∫

S

fs d2r,

где S = ∂V — граница системы, и будем считать, что fs зависит только от флуктуирующегопараметра ϕ, а fb — еще и от пространственных производных ∇ϕ ≡ ∂φ/∂r. Тогда справедлива

Теорема. Парная корреляционная функция G(r, r′) является функцией Грина дифференциаль-ного оператора

A(f) =∂f

∂φ−∑

α

∇α

(∂f

∂(∇αφ)

); f = f(ϕ(r),∇ϕ(r)), r ∈ V,

c краевыми условиями(∂f∂φ

+∑

α

∂f

∂(∇αφ)Nα

)∣∣∣r∈S

= 0,

где N — вектор внешней нормали к граничной поверхности S.

Доказательство основано на разделении пространственных и поверхностных степеней свободыи использует технику континуального интегрирования и функционального дифференцирования.

Мы иллюстрируем этот результат, находя G в явном виде для модели

fb(ϕ(r)) = ϕ(r)Bϕ(r) + ϕ(r)C∇ϕ(r) + ∇ϕ(r)C′ϕ(r) + ∇ϕ(r)K∇ϕ(r), fs(ϕ(r)) = ϕ(r)W (r)ϕ(r),

(оператор A с краевыми условиями — линейный самосопряженный) и объема V — неограни-ченного плоского слоя. Ответ сравнивается с известными решениями для неограниченных (фор-мулы Орнштейна-Цернике [1] в теории фазовых переходов и Де Жена [2] для смектических инематических жидких кристаллов) и ограниченных (жидкие кристаллы в слое [3]) систем.

www.kromsh.info 35


[1] Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов, М.: Наука, 1981.[2] De Gennes P. G., Prost J. The Physics of Liquid Crystals, Oxford, Oxford University Press, 1995.[3] Вальков А. Ю., Романов В. П., Романов М. В. Флуктуации в ограниченных ячейках жидких кристаллов во

внешнем поле, ЖЭТФ 120 (2001), 389–408.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МНОГОМЕРНОМ КОНУСЕ

Васильев В.Б.

Липецкий государственный технический университет (Россия, Липецк)


1. Уравнения

Мы рассматриваем псевлодифференциальное уравнение вида

(Au)(x) = v(x), x ∈ Ca+, (1)

в многомерном конусе Ca+ = x ∈ R

m : xm > a|x′|, x = (x′, xm), x′ = (x1, ..., xm−1), a > 0 впространствах Соболева – Слободецкого Hs(Ca

+)[1].Символ псевдодифференциального оператора A в (1) обозначим A(ξ) и потребуем выполнения

условия (сильная эллиптичность)

c1 ≤ |A(ξ)(1 + |ξ|)−α| ≤ c2, α ∈ R; (2)

кроме того, предполагается, что символ A(ξ) должен допускать волновую факторизацию [2, 3]относительно конуса Ca

+, m ≥ 3, с индексом æ, |æ − s| = n+ δ, n ∈ N, |δ| < 1/2.Уравнение (1) – типичное модельное уравнение при исследовании разрешимости псевдодиф-

ференциальных уравнений на многообразиях, граница которых содержит конические точи. Си-туация с гладкой границей подробно описана в [1].

2. Разрешимость

Для изучения разрешимости уравнения (1) автор предложил концепцию волновой фактори-зации символа эллиптического псевдодифференциального оператора [2, 3], и при ее наличии далполное описание картины разрешимости уравнения (1) в двумерном случае. Как выясняется, вмногомерном случае тоже возможны содержательные результаты.В частности, можно описатьструктуру общего решения уравнения (1) следующим образом.

Обозначим Va псевдодифференциальный оператор с символом exp(ia|ξ′|), ξ′ = (ξ1, ..., ξm−1),A6=(ξ), A=(ξ) – элементы волновой факторизации символа A(ξ), u, Fu – преобразование Фурьефункции u. Справедлива следующая

Теорема. Общее решение уравнения (1) в образах Фурье выражается формулой

u(ξ) = A−16= (ξ)Q−1(ξ)GmQ(ξ)A−1

= (ξ)lv(ξ) +A−16= (ξ)Q(ξ)V−aF

(n∑

k=1

ck(ξ′)δ(k−1)(ξm)

),

где ck(x′) ∈ Hsk(Rm−1) – произвольные функции, sk = s − æ + k − 1/2, k = 1, 2, ..., n, lv –произвольное продолжение v на Hs−α(Rm), δ(ξm) – дельта-функция Дирака одной переменной,Gm – интегральный оператор вида

limτ→0+

∫

Rm

u(y′, ym)dy

(|x′ − y′|2 − a2(xm − ym + iτ)2)m/2,

Q(ξ) – произвольный многочлен, удовлетворяющий условию (2) с показателем α = n.Основываясь на этой теореме, можно предложить различные постановки корректных краевых

задач для уравнения (1).



[1] Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений.—Москва: Наука, 1973.[2] Васильев В. Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факто-

ризация, краевые задачи.—Москва: КомКнига, 2-е изд., 2010.[3] Vasilyev V. B. Elliptic equations and boundary value problems in non-smooth domains // Pseudo Differential

Operators: Analysis, Applications and Computations. Eds. Rodino L., Wong M.W., Zhu H. Operator Theory:Advances and Applications.— 2011.— V.213.— Birkhauser, Basel.—P.105-121.

РАЗВИТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ТРЕФФЦА–КУФАРЕВАДЛЯ НЕКОТОРЫХ СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Власов В.И., Скороходов С.Л.

ВЦ РАН (Россия, Москва)


В работах [1], [2] для решения задачи Дирихле на многоугольниках G с кусочно–полиномиальными краевыми условиями был предложен аналитический метод, сводящийся кпостроению конформного отображения исходного многоугольникаG на некоторую (заранее неиз-вестную) полигональную неоднолистную область D. Для нахождения этой области и построениярешения ψ(x, y) рассматриваемой задачи формулируется система функциональных уравненийразмерности MN − 2 + K/2, где N — число сторон многоугольника G, M — наибольшая сте-пень граничного полинома, K — число вершин многоугольника G, в которых происходит сменатипа граничных условий. Несмотря на теоретическую и прикладную важность метода [3], [4],он оказался технически весьма сложным, что в ряде случаев привело к существенным ошибкам[5], [6], [7]. В работе создан эффективный способ решения указанной системы функциональныхуравнений, а также предложено обобщение этого метода на случай смешанной краевой задачис условиями Дирихле — Неймана. Установлено, что M–я производная Ψ(M)(z) аналитическойфункции Ψ(z) = ψ∗(x, y) + iψ(x, y) конформно отображает G на D и, следовательно, можетбыть представлена в виде суперпозиции Ψ(M)(z) = f2 f−1

1 (z), где f1(ζ) и f2(ζ) отображаютполуплоскость H соответственно на G и D и могут быть представлены в виде

f1(ζ) = C1

ζ∫

ζ0

N∏

n=1

(t− ζn)βn−1 d t + E1 , (1)

f2(ζ) = C2

ζ∫

ζ0

RP (t)K∏

k=1

(t− ζk)−12−Mβk

N−K∏

j=1

(t− ζj)−Mβj d t + E2 . (2)

В (1) через βn обозначены деленные на π величины углов многоугольника G, а через ζn —прообразы соответствующих вершин; в (2) через ζk и ζj обозначены прообразы, в которых типкраевых условий соответственно меняется или нет; C1, E1, C2, E2 — некоторые константы; RP (t)— полином степени P = MN − 2M − 2 +K/2 с вещественными коэффициентами.

Построив функцию Ψ(M)(z) и отыскав ее первообразную порядка M , получаем решение Ψ(z)в виде явного интегрального представления.

Развитый метод был применен к задачам Дирихле и Дирихле — Неймана в L, T –образной идругих областях, включая его эффективную численную реализацию и получение качественных,в том числе асимптотических зависимостей характеристик решения от параметров задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13–01–00923) и Программы 3 ОМН РАН.


[1] Trefftz E. Uber die Torsion prismatischer Stabe von polygonalem Querschnitt, Math. Ann. 1921. B. 82, 1/2. S.97–112.

[2] Куфарев П. П. К вопросу о кручении и изгибе стрержней полигонального сечения, ПММ. 1937. Т. 1, 1. С.43–76.

[3] Арутюнян Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел, М.: Физматгиз, 1963.[4] Новацкий В. Теория упругости, М.: Мир, 1975.

www.kromsh.info 37

[5] Schmieden С. Uber die Torsion von Walzeisen-Profilen, Zeitschr. Angew. Math. und Mech. 1930. B. 10, 3. S.251–266.

[6] Seth B. R. Torsion of beams of T - and L-cross-sections, Proc. Cambr. Philosoph. Soc. 1934. V. 30, Part 4. P.392–403.

[7] Бабакова О. И. О кручении стержня с Z-образным сечением, Доклады академии наук УССР. 1954, 5. С.319–323.

МЕТОД ВИШИКА-ЛЮСТЕРНИКА И ДВЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙГИДРОДИНАМИКИ О ПЛАЗМЕ В ТОКАМАКЕ

Демидов А.С.

МГУ (Россия, Москва)


Будут изложены основные идеи метода Вишика–Люстерника построения асимптотики ре-шений сингулярно возмущенных эллиптических уравнений и применение этого метода к двумзадачам магнитной гидродинамики. Одна из них относится к так называемой обратной задачеравновесия плазмы в токамаке. В ней рассматривается важный для управления термоядернойреакции вопрос, а именно: вопрос о распределении протекающего по плазме тока по даннымизмерения магнитного поля на кожухе токамака, т.е. на металлической оболочке, ограничива-ющей тороидальную камеру токамака. Другая задача связана с исследованием неустойчивостиплазменного разряда с учетом резистивности кожуха токамака.

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ

ИСТОЧНИКАМИ

Гольдман Н.Л.

МГУ им. М.В.Ломоносова (Россия, Москва)


Исследуются достаточные условия, обеспечивающие однозначность нахождения неизвестныхкоэффициентов при младших членах в квазилинейном параболическом уравнении в области сфазовым переходом, в качестве дополнительной информации рассматривается финальное пере-определение. До сих пор вопросы единственности решения были изучены только для граничныхобратных задач Стефана при условии переопределения на границе области. Такой вопрос длякоэффициентных обратных задач Стефана c финальным наблюдением оставался открытым нетолько для квазилинейных, но даже для линейных моделей.

Соответствующая прямая постановка представляет собой однофазную квазилинейную задачуСтефана — найти функцию u(x, t) в области Q = 0 ≤ x ≤ ξ(t), 0 ≤ t ≤ T и фазовый фронт ξ(t)при 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющие условиям

c(x, t, u)ut − Lu = 0, (x, t) ∈ Q, (1)

u|x=0 = v(t), u|x=ξ(t) = u∗(t), 0 < t ≤ T, (2)

u|t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l0, ξ|t=0 = l0, l0 > 0, (3)

a(x, t, u)ux + χ(x, t, u)|x=ξ(t) = −γ(x, t, u)|x=ξ(t)ξt(t), 0 < t ≤ T, (4)

с равномерно эллиптическим оператором Lu ≡ (a(x, t, u)ux)x − b(x, t, u)ux − f(x, t, u),a ≥ amin > 0, b, c ≥ cmin > 0, f , v, u∗, γ ≥ γmin > 0, χ и ϕ — известные функции.

Предполагается, что коэффициент f имеет структуру f(x, t, u) = p d(x, t, u), в которой функ-ция d(x, t, u) задана, а p — неизвестный коэффициент вида p(x), p(u) либо p(x, u).

Под решением соответствующей коэффициентной обратной задачи Стефана понимается со-вокупность функций u(x, t), ξ(t), p(x), u(x, t), ξ(t), p(u) либо u(x, t), ξ(t), p(x, u)

u(x, t) ∈ H2+λ,1+λ/2(Q), ξ(t) ∈ H1+λ/2(0, T ], 0 < β0 ≤ ξ(t) ≤ β1,


p(x) ∈ C1[0, β1], p(u) ∈ C1[−M0,M0], p(x, u) ∈ C1,1(Ω),

β0, β1,M0 = const > 0, Ω = [0, β1] × [−M0,M0],

удовлетворяющих соотношениям (1)–(4) и дополнительному условию в конечный момент време-ни u|t=T = g(x), 0 ≤ x ≤ l, ξ|t=T = l, g(x) и l заданы, l = const > l0 > 0.

Доказательство единственности решения обратной задачи Стефана (в случае его существова-ния) основано на предлагаемом использовании принципа двойственности, что позволяет связатьпроблему единственности со свойством плотности решений соответствующих сопряженных за-дач и со свойством так называемой обратной единственности для линейных параболическихоператоров.

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГООПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО

ТИПА С НЕГЛАДКОЙ ЛИНИЕЙ ВЫРОЖДЕНИЯ

Зарубин А.Н.

Орловский государственный университет (Россия, Орел)


1. Уравнение

Uxx(x, y) + sgn y(2h− y) Uyy(x, y) = H((2h− y)(y − h))U(x, y − h)+

+H(y(h− y))U(x, y + h) +H(y(y − 2h))U(x, 2h− y), (1)

0 < τ, h ≡ const; H(ξ) – функция Хевисайда; рассмотрим в области D = D+⋃D−⋃ I0

⋃I1, где

D+ = (x, y) : 0 < x < τ, 0 < y < 2h = D+0

⋃D+

1

⋃I и D− = D−

0

⋃D−

1 – эллиптическая игиперболическая части области D, причемD+

k = (x, y) : 0 < x < τ, kh < y < (k + 1)h(k = 0, 1),

D−k = (x, y) : (−1)k(2kh− y) < x < (−1)k(y− 2kh) + τ,−2kh− τ/2 < (−1)ky < −2kh(k = 0, 1), а

I = (x, y) : 0 < x < τ, y = h, Ik = (x, y) : 0 < x < τ, y = 2kh(k = 0, 1).Пусть Dk = D+

k

⋃D−

k

⋃Ik (k = 0, 1).

Задача T. Найти в области D функцию U(x, y) ∈ C(D)⋂C1(D\I)⋂C2(D\(I⋃ I0

⋃I1)),

удовлетворяющую уравнению (1), краевым условиям

U(0, y) = U(τ, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2h;

U(x, 2kh− (−1)kx) = ψk(x), 0 ≤ x ≤ τ/2 (k = 0, 1);

условиям сопряжения

U(x, 2kh+) = U(x, 2kh−) = ωk(x), 0 ≤ x ≤ τ(k = 0, 1),

Uy(x, 2kh+) = Uy(x, 2kh−) = νk(x), 0 < x < τ(k = 0, 1),

где ψk(x) – заданные непрерывные достаточно гладкие функции.Теорема. Если функции ψk(x) ∈ C[0, τ/2]

⋂C2(0, τ/2), абсолютно интегрируемы на [0, τ/2],

ψ′k(x) при x → 0 допускает интегрируемую особенность, то существует единственное при h ≤ 1

решение U(x, y) задачи T.2. Единственность решения задачи T доказана с помощью интегралов энергии.3. Решение задачи Т в областях D±

k найдены из общих решений

U±k (x, y) =

z±

k∫

0

φ±1k(t)J0(i√z±k (z±k − t))dt+

z±

k∫

0

φ±2k(t)J0(i√z±k (z±k − t))dt, (x, y) ∈ D±

k (k = 0, 1),

где φ±1k(t), φ±2k(t) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции;J0(s) - функция Бесселя первого рода нулевого порялка; i =

√−1; z+

k = x+ i(y − kh),

z+k = x− i(y − kh), z−k = x− (2kh− y)(−1)k, z−k = x+ (2kh− y)(−1)k.

4. Вопрос существования решения задачи Т в области D0 сведен к разрешимости разностногоуравнения (1 −Rih

x )(1 − iRihx )q(x) = γ(x), 0 < x < τ, где q(x) = ν(x) +

∫ x

0ν(t) ∂

∂xI0(i√t(x − t))dt;

www.kromsh.info 39

Rθx – оператор сдвига по х: Rθ

xq(x) = q(x − θ); I0(s) - модифицированная функция Бесселянулевого поряка, а γ(x) ∈ C[0, τ ]

⋂C1(0, τ) и зависит от ψ0(x).

АТТРАКТОРЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯПОЛИМЕРОВ С РЕОЛОГИЧЕСКИМ СООТНОШЕНИЕМ,УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМ ПРИНЦИПУ ОБЪЕКТИВНОСТИ

Звягин А.В.1

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)


Рассматривается следующая начально–краевая задача, описывающая модель движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров с регуляризованной объективной производнойЯуманна в реологическом соотношении:

∂v

∂t− ν∆v +

n∑

i=1

vi∂v

∂xi− κ

∂∆v

∂t+ gradp− 2κ Div

(n∑

i=1

vi∂E(v)

∂xi

)−

− 2κ Div(E(v)Wρ(v) −Wρ(v)E(v)

)= f, (x, t) ∈ Ω × (0,+∞), (1)

div v = 0, (x, t) ∈ Ω × (0,+∞), (2)

v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0,+∞), (3)

v(x, 0) = a, x ∈ Ω. (4)

Определение. Функцию v ∈ W loc1 (R+) ∩ L∞(R+;V 1) будем называть траекторией задачи (1)–

(4), если она является слабым решением этой задачи с некоторым начальным условием a ∈ V 1

и удовлетворяет для почти всех t > 0 оценке ‖v(t)‖1 + ‖v′(t)‖−1 6 R(1 + ‖v‖2

L∞(R+,V 1)e−αt), где

R > 0 – константа.Множество траекторий данной задачи будем называть её пространством траекторий и обо-

значать H+.

Теорема 1. Пусть система (1)–(4) автономна и f ∈ L2(Ω)n, 0 < δ < 1. Тогда существуетминимальный траекторный аттрактор U пространства траекторий H+. Аттрактор огра-ничен в L∞(R+;V 1), компактен в C(R+;V 1−δ); он притягивает в топологии пространстваC(R+;V 1−δ) семейства траекторий, ограниченные в L∞(R+;V 1).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует глобальный аттракторA пространства траекторий H+. Аттрактор ограничен в V 1, компактен в V 1−δ; он притя-гивает в топологии пространства V 1−δ семейства траекторий, ограниченные в L∞(R+;V 1).

Замечание. Классическая теория аттракторов динамических систем выросла из теории устой-чивости и применялась первоначально к исследованию обыкновенных дифференциальных урав-нений. Значительное время потребовалось для того, чтобы модифицировать эту теорию, такчтобы она стала применимой к уравнениям с частными производными. В конце концов это былосделано в работах О. А. Ладыженской, А. В. Бабина и М. И. Вишика, Р. Темама и др. матема-тиков. Во многих задачах ньютоновской и неньютоновской гидродинамики классический подходнеприменим. Дело в том, что корректное определение оператора сдвига требует существованиеи единственность решения уравнения, выходящего из каждой точки фазового пространства иопределенного на всей неотрицальной полуоси. В то же время уже для трехмерной системыНавье–Стокса не установлено ни существование глобального сильного решения, ни единствен-ность слабого, так что построить динамическую систему не удается. В обход указанных трудно-стей возникла теория траекторных аттракторов, позволяющая строить глобальные аттракторыдля ряда эволюционных уравнений. Эта теория была предложена российскими учеными М. И.Вишиком и В. В. Чепыжовым и независимо американским ученым G. Sell, а впоследствии былаусовершенствована с целью применения в задачах неньютоновской гидродинамики в работах В.Г.Звягина и Д.А. Воротникова (см. [1]). Использование последнего подхода и позволило получитьизложенные выше результаты.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проектов 12–01–31188 и 13–01–00041.



[1] Zvyagin V.G., Vorotnikov D.A., Topological Approximation Methods for Evolutionary Problems of NonlinearHydrodynamics, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications (12), Walter de Gruyter, Berlin-NewYork (2008), 230 p.

РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ С РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ

ОБЪЕКТИВНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ЯУМАННА1

Звягин В.Г., Орлов В.П.



Пусть Ω ⊂ Rn, n = 2, 3, ограниченная область с границей ∂Ω ⊂ C2. В QT = [0, T ] × Ωрассматривается задача A:

∂v/∂t+ vi∂v/∂xi + ∇p+ ∇θ = Div σ + f(t, x), (t, x) ∈ QT ;

div v = 0, (t, x) ∈ QT ;

σ + λ1(∂σ/∂t+ vi∂σ/∂xi + σWρ(v) −Wρ(v)σ) = 2η(E + λ2(∂E(v)/∂t+

vi∂E(v)/∂xi + E(v)Wρ(v) −Wρ(v)E(v)));

∂θ/∂t+ vi∂θ/∂xi − χ∆θ=σ : E(v)+ ω(t, x), (t, x) ∈ QT ;

θ(0, x) = θ0(x), x∈Ω; θ|∂Ω =0;

v(0, x) = v0(x), x ∈ Ω; v|∂Ω = 0; σ(0, x) = σ0(x), x ∈ Ω.

Здесь v(t, x) = (v1, . . . , vn), p(t, x), θ(t, x) и σ(t, x) неизвестные скорость, давление, температу-ра, и девиатор тензора напряжений соответственно; f(t, x), ω(t, x), v0(x), θ0(x), σ0(x) заданы;обозначения E(v), Wρ(v), V , H см. в [1], η > 0, 0 < λ2 < λ1.

Теорема 1. Пусть f ∈ L2(0, T ;V ′), v0 ∈ H, σ0 ∈ W−12 (Ω), σ0 − 2η λ2

λ1E(v0) ∈ L2(Ω). Пусть

ω ∈ L1(0, T ;H−2(1−1/p)p (Ω)), θ0 ∈ Lp(Ω). Тогда при p∈(1, 4/3) для n=2 и для p∈(1, 5/4) при n=3

существует слабое решение (v, σ, θ) задачи A, и справедливы оценки

‖v‖L2(0,T ;V ) + sup0≤t≤T

‖v(t, x)‖H + ‖σ‖L2(QT ) ≤M(‖f‖L2(0,T ;V ′) + |σ0|0+

+‖v0‖H) ≡M0; ‖∂θ/∂t‖L1(0,T ;W−1p (Ω)) + ‖θ‖L1(0,T ;W 1

p (Ω))+

supt

‖θ(t, x)‖Lp(Ω) ≤M(‖ω‖L1(0,T ;H

−2(1−1/p)p (Ω))

+ ‖θ0‖Lp(Ω) +M0).

Слабое решение задачи удовлетворяет уравнениям A в интегральном смысле, аналогично [1].


[1] Звягин В.Г., Турбин М.В., Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред, М.: Красанд (2012),412 c.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта 13–01–00041.

www.kromsh.info 41

ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМАХВ РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ

Зинченко Т.Н.



Доклад посвящен эллиптическим системам дифференциальных уравнений в классах про-странств обобщенной гладкости. Для этих пространств показателем гладкости служит не чис-ловой, а достаточно общий функциональный параметр.

Пусть Γ — бесконечно гладкое замкнутое (т.е. компактное и без края) многообразие размерно-сти n ≥ 1. На Γ рассматривается эллиптическая по Дуглису-Ниренбергу система p ≥ 2 линейныхдифференциальных уравнений

p∑

k=1

Aj,kuk = fj, j = 1, . . . , p, ⇔ Au = f. (1)

Здесь Aj,k — скалярные линейные дифференциальные операторы на Γ с коэффициентами классаC∞(Γ); ordAj,k ≤ lj +mk, где l1, . . . , lp и m1, . . . ,mp — числа Дуглиса-Ниренберга.

Система (1) исследуется в расширенной соболевской шкале Hϕ(Γ) : ϕ ∈ RO. Здесь RO —множество всех измеримых по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), для которых существуютчисла α > 1 и c ≥ 1 такие, что c−1 ≤ ϕ(λt)/ϕ(t) ≤ c для любых t ≥ 1 и λ ∈ [1, α] (постоянные αи c зависят от ϕ ∈ RO). Гильбертово пространство Hϕ(Γ) состоит из всех распределений на Γ,которые в локальных координатах принадлежат пространству Хермандера

Hϕ(Rn) :=w ∈ S′(Rn) : ‖w‖2

Hϕ(Rn) :=

∫

Rn

ϕ2(〈ξ〉) |(Fw)(ξ)|2 dξ <∞.

Здесь 〈ξ〉 := (1+ |ξ|2)1/2, а Fw — преобразование Фурье распределения w. Расширенная соболев-ская шкала содержит гильбертову шкалу пространств Соболева и состоит из всех гильбертовыхпространств, интерполяционных относительно последней шкалы.

Системе (1) соответствует линейный ограниченный оператор

A :

p⊕

k=1

Hϕρmk(Γ) →

p⊕

j=1

Hϕρ−lj(Γ) для каждого ϕ ∈ RO. (2)

Здесь ρ(t) ≡ t.

Для системы (1) и оператора (2) установлены следующие результаты [1]:

• теорема о нетеровости оператора (2) и независимости его индекса от ϕ;• априорная оценка решения системы (1);• теорема о локальной регулярности решения;• достаточное условие непрерывности обобщенных производных решения.

В расширенной соболевской шкале исследованы также равномерно эллиптические системыи эллиптические операторы с параметром. Соответствующие результаты получены совместно сА. А. Мурачем [2–4].


[1] Зинченко Т. Н., Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале, Доп. НАН України (2013), 3,14–20.

[2] Зинченко Т. Н., Мурач А. А., Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы в пространствах Хермандера,Укр. мат. журн 64 (2012), 11, 1477–1491. (arXiv:1202.6156)

[3] Зинченко Т. Н., Мурач А. А., Эллиптические системы с параметром в расширенной соболевской шкале, Зб.праць Iн-ту математики НАН України 9 (2012), 2, 180–202.

[4] Murach A. A., Zinchenko T., Parameter–elliptic operators on the extended Sobolev scale, Methods Funct. Anal.Topology 19 (2013), 1, 29–39. (arXiv:1212.0759)


О РЕШЕНИИ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯB–ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ПОТЕНЦИАЛОВ

Ибрагимова Н.А., Мухлисов Ф.Г.

Казанский государственный энергетический университет,Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, Казань)


Работа посвящена решению внешних краевых задач Дирихле и Неймана для многомернойB–эллиптической системы уравнений

∆Bu+ Cu = 0, (1)

где u =

u1u2

...um

— искомая вектор–функция, C — вещественная симметрическая матрица поряд-

ка m, ∆B = ∆x′ +Bxp , ∆x′ =p−1∑l=1

∂2

∂x2l

— лапласиан, Bxp = ∂2

∂x2p+ k

xp

∂∂xp

— оператор Бесселя, k > 0,

x′ = (x1, x2, . . . , xp−1). Ранее в статье [1] авторами был рассмотрен случай для положительноопределенной матрицы C. В данной работе рассматривается случай, когда C — отрицательноопределенная матрица.

Пусть E+p — полупространство p — мерного евклидова пространства, где xp > 0. Обозначим

через D — конечную область в E+p , ограниченную открытой частью Γ0 гиперплоскости xp = 0

и гиперповерхностью Γ . Пусть C2B(D) — множество вектор–функций, дважды непрерывно диф-

ференцируемых в D и четных по xp.Внешняя краевая задача Дирихле. Требуется найти в области De решение системы (1),

удовлетворяющее условиям

u(x) ∈ C2B(De) ∩C(De) ∩ C1(De ∪ Γ0),

u|Γ = f(ξ), f(ξ) ∈ C(Γ ).

и в бесконечности условию

u(x) = O(e−r).

Внешняя краевая задача Неймана. Требуется найти в области De решение системы (1),удовлетворяющее условиям

u(x) ∈ C2B(De) ∩ C1(De),

∂u(ξ)

∂n

∣∣∣∣Γ

= g(ξ), g(ξ) ∈ C(Γ ).

и в бесконечности условию

u(x) = O(e−r),

Теорема 1. Если Γ — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямойугол, то внешняя краевая задача Дирихле однозначно разрешима при любых граничных данныхиз C(Γ ) и ее решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 2. Пусть Γ — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 пря-мой угол, тогда внешняя краевая задача Неймана однозначно разрешима при любых граничныхданных из C(Γ ) и ее решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Единственность решения краевых задач доказана с помощью формул Грина, а существованиерешения — методом потенциалов.

www.kromsh.info 43


[1] Ибрагимова Н. А., Мухлисов Ф. Г., Исследование краевых задач для одной B–эллиптической системы урав-нений методом потенциалов, Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, Вып.3(2011), с.31–41.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВТОРОГО РОДА ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯБЕЛЬТРАМИ

Климентов С.Б.

ЮФУ, ЮМИ ВНЦ РАН (Россия, Ростов-на-Дону)


Рассмотрим в единичном круге D равномерно эллиптическую систему Бельтрами в ком-плексной записи ∂zw − q(z)∂zw = 0, где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплекснаяфункция, ∂z = 1/2(∂/∂x + i∂/∂y), ∂z = 1/2(∂/∂x − i∂/∂y),— производные в смысле Соболева,|q(z)| ≤ const < 1.

Для классов Харди Hp(q) решений этой системы [1] имеет место

Теорема 1. Если в q(z) ∈ Ckα(D), k ≥ 0, 0 < α < 1, |q(z)| ≤ const(1 − |ζ(z)|)2ε, 0 < ε < 1, и

решение этого уравнения w(z) ∈ Hp(q), p > 1, то имеет место соотношение

w(z) − T [q(z)∂zw] = Φ(z) ∈ Hp, (1)

где

Tϕ(z) = − 1

π

∫∫

D

ϕ(t)

t− zdxdy, t = x+ iy,

Φ(z) =1

2πi

∫

Γ

w(t)dt

t− z, (2)

w(t) — некасательные предельные значения на Γ функции w(z).Обратно, если задана голоморфная функция Φ(z) ∈ Hp, p > 1, соотношением (1) однознач-

но определяется решение уравнения Бельтрами w(z) ∈ Hp(q), удовлетворяющее (2), причёмотображение w → w − T (q∂zw) ≡ (I − P1)w осуществляет линейный изоморфизм банаховыхпространств Hp(q) и Hp.

Отметим, что без дополнительных условий на коэффициент уравнения q(z) представление (1)не имеет места, поскольку имеются примеры решений уравнений Бельтрами даже с постояннымкоэффициентом, для которых функция q(z)∂zw(z) /∈ L1(D).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-ской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторови уравнений в них» и внутреннего гранта ЮФУ 213.01–24/2013–66.


[1] Каляниченко С.И., Климентов С.Б. Классы Харди решений уравнения Бельтрами, Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008, 1. С. 7–10.


ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА-ЗИГМУНДА

ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА

Кряквин В. Д.

Южный федеральный университет (Россия, Ростов-на-Дону)


В докладе рассматриваются пространства Zs(·)(Rn), состоящие из распределений u ∈ S(Rn),для которых конечна норма

‖u‖s(·) = supk∈N∪0

‖2ks(·)λk(D)u‖L∞(Rn).

Здесь функции λk(ξ) образуют разбиение единицы Литтлвуда-Пэли. Предполагается, что непре-рывная вещественнозначная функция s удовлетворяет условиям:

1) для любого x ∈ Rn

−∞ < s− ≤ s(x) ≤ s+ <∞;

2) существовует константа B > 0 такая, что для любого x ∈ Rn и любого 0 < |y| < 1

|s(x+ y) − s(x)| ≤ B∣∣log2 |y|∣∣ .

Если, кроме того, 0 < s(x) < 1, то эквивалентную норму можно задать по формуле

‖u‖L∞+ sup

0<|h|<1

supx∈Rn

|u(x+ h) − u(x)||h|s(x)

,

а в случае 0 < s(x) < 2 — по формуле

‖u‖L∞+ sup

0<|h|<1

supx∈Rn

|u(x+ 2h) − 2u(x+ h) + u(x)||h|s(x)

.

Теорема. Пусть 0 ≤ δ < 1, m ∈ R и символ a(x, ξ) принадлежит классу Л.ХермандераSm

1,δ. Тогда псевдодифференциальный оператор a(x,D) является ограниченным из простран-ства Zs(·)(Rn) в пространство Zs(·)−m(Rn), и существуют не зависящие от a положитель-ная константа C и неотрицательные челые числа p и q такие, что для операторной нормысправедлива оценка

‖a(x,D)‖ ≤ C|a|mp,q,

где|a|mp,q := max

|β|≤p,|α|≤qsup

(x,ξ)∈Rn

|∂βx∂

αξ a(x, ξ)|(1 + |ξ|)|α|−δ|β|−m.

О РЕШЕНИЯХ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВБЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ

Лепшин Е. М., Матевосян О. А.

Высшая Школа Науки, НИЛ «Фундаментальная и Прикладная Математика»,Московский Финансово-Юридический Университет (Россия, Москва)

E-mail: [email protected]; [email protected]

В области Ω рассматривается краевая задача:

∆mu(x) = 0, x ∈ Ω, (1)

u|∂Ω =∂m−1u

∂νm−1

∣∣∣∣∂Ω

= 0, (2)

где ν — направление внешней нормали к ∂Ω.

Решение u(x) задачи (1),(2) рассматривается в классеW

m

loc (Ω) и понимается в смысле теорииобобщенных функций.

www.kromsh.info 45

Изучаются вопросы единственности решений краевой задачи (1), (2) для полигармоническогоуравнения в бесконечных областях. Условие, характеризующее поведение решения на бесконеч-ности, является конечность интеграла Дирихле с весом |x|a:Da(u(x),Ω):=

∫Ω

|x|a ∑|α|=m

|∂αu(x)|2dx <∞, a ∈ R1, |x| =√x2

1 + · · · + x2n.

В зависимости от значений параметра a, используя неравенства типа Харди в весовых про-странствах [1], [2], получен критерий единственности (неединственности), а также найдены точ-ные формулы для вычисления размерности пространства решений рассматриваемой задачи дляполигармонического уравнения во внешности компакта и в полупространстве. Для построениярешения используется вариационный метод [3], [4], т.е. минимизируется соответствующий функ-ционал в классе допустимых функций.

Краевая задача во внешности компакта. Пусть Ω = Rn \G с границей ∂Ω ∈ C1, где G —ограниченная односвязная область в Rn (n > 4), 0 ∈ G.

Теорема 1. Краевая задача (1),(2) с условием Da(u(x),Ω) <∞ имеет:i)(n+m−1

n

)линейно независимых решений, если −n ≤ a < n− 2m;

ii)(n+m−2

n−1

)линейно независимых решений, если n− 2m ≤ a < n− 2m+ 2;

iii) лишь тривиальное решение, если n−m ≤ a <∞;iv) k(r, n) линейно независимых решений, если −2r − n+ 2m− 2 ≤ a < −2r − n+ 2m, r > 1, где

k(r, n) = (r+n)!n!r! − (r+n−2m)!

n!(r−2m)! .

Здесь(

nm

)— число сочетаний из n по m,

(nm

)=0, если m > n.

Краевая задача в полупространстве. Пусть Ω ≡ Rn+ = x = (x′, xn) ∈ R

n : x′ ∈ Rn−1, xn >

1 с границей ∂Ω = x = (x′, xn) ∈ Rn : xn = 1, n ≥ 2.Теорема 2. Краевая задача (1),(2) с условием Da(u(x),Ω) <∞ имеет:

i) тривиальное решение, если −n ≤ a <∞;ii) k(r, n) линейно независимых решений, если −2r − n+ 2m− 2 ≤ a < −2r − n+ 2m, r ≥ 2, где

k(r, n) = (r+n)!n!r! − (r+n−2m)!

n!(r−2m)! − (r+n−1)!(n−1)!r! − (r+n−m)!

(n−1)!(r−m+1)! .

Результаты задачи Дирихле для полигармонического уравнения (1), с условием конечностивесового интеграла Дирихле были представлены на международной конференции, посвященной105-летию со дня рождения С. Л. Соболева [5].


[1] Egorov Yu. V., Kondratiev V. A. On Spectral Theory of Elliptic Operators. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1996.[2] Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для систем теории упругости в неограниченных областях.

Неравенства Корна. УМН. 1988. Т. 43. 5. С. 55-98.[3] Соболев С. Л. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. Матем. сборник, 2(44):3 (1937),

465-499.[4] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.[5] Матевосян О. А. Задача Дирихле для полигармонического уравнения в неограниченных областях. Междуна-

родная конференция”Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений“,

посвященной 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, Россия, 18-24 августа 2013 г. С. 192.

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕАСИМПТОТИКИ

Левенштам В.Б.

Южный федеральный университет (Россия, Ростов-на-Дону)


Рассматривается задача о периодических по времени решениях для эволюционной системыдифференциальных в частных производных, зависящей от бльшого параметра и обобщающейизвестную задачу о тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости в высокочастотном сило-вом поле (например, при высокочастотных вибрациях сосуда). Для указанной задачи обоснованметод усреднения и построена и обоснована полная асимптотика решения. Данный результатполучен совместно с Н.С. Ивлевой.

В лекции будут изложены и другие результаты об асимптотическом интегрировании эволю-ционных задач с большим параметром, полученные докладчиком с учениками.


ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И СЛАБО КОЭРЦИТИВНЫЕ СИСТЕМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ

СОБОЛЕВА

Лиманский Д.В.

Донецкий национальный университет (Украина, Донецк)


Известно, что эллиптическая система Pj(x,D)N1 порядка l слабо коэрцитивна в

o

W l∞(Rn),

т. е. оценивает в L∞-норме все дифференциальные мономы порядка ≤ l − 1 на функциях изC∞

0 (Rn). Найдены условия, при которых справедливо обратное утверждение, а также изученыдругие свойства слабо коэрцитивных систем.

Получен аналог теоремы де Лю и Миркила для операторов с переменными коэффициентами:показано, что оператор P (x,D) от n ≥ 3 переменных и с постоянной главной частью слабо

коэрцитивен вo

W l∞(Rn) в точности тогда, когда он эллиптичен. Аналогичный результат получен

для систем Pj(D)N1 с постоянными коэффициентами при условии n ≥ 2N + 1 и некоторых

ограничениях на символы Pj(ξ).

Дано полное описание слабо коэрцитивных вo

W l∞(R2) дифференциальных полиномов от двух

переменных. Построены широкие классы слабо коэрцитивных вo

W l∞(Rn), но не эллиптических

систем с постоянными коэффициентами.


[1] Лиманский Д.В., Маламуд М.М., Эллиптические и слабо коэрцитивные системы дифференциальных опера-торов в пространствах Соболева, Мат. сборник, т. 199, 11, с. 75-112.

О ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХВ УТОЧНЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ

Лось В.Н.

Черниговский государственный технологический университет (Украина, Чернигов)


В докладе рассмотрены применения функциональных пространств обобщенной гладкости кпараболическим уравнениям. Показателями гладкости для этих пространств служат пара дей-ствительных числовых параметров s и s/(2b), где b ∈ N фиксировано, и произвольная непре-рывная функция ϕ : [1,∞) → (0,∞), медленно меняющаяся на +∞ по Й. Карамата. Последнееозначает, что ϕ(λt)/ϕ(t) → 1 при t → +∞. Гильбертово пространство Hs,s/(2b),ϕ(Rn+1), n ∈ N,состоит из всех медленно растущих распределений w ∈ S′(Rn+1) таких, что

∫

Rn+1

(1 + |ξ|2 + |η|1/b

)sϕ2((1 + |ξ|2 + |η|1/b)1/2

)|w(ξ, η)|2 dξdη <∞, ξ ∈ R

n, η ∈ R. (1)

Здесь w — преобразование Фурье распределения w. Квадратный корень из левой части нера-венства (1) определяет гильбертову норму в этом пространстве. Пространства Hs,s/(2b),ϕ(Rn+1)образуют уточненную анизотропную соболевскую шкалу. Она содержит в себе анизотропныепространства Соболева Hs,s/(2b)(Rn+1) = Hs,s/(2b),1(Rn+1). Эта шкала имеет важное свойство:каждое пространствоHs,s/(2b),ϕ(Rn+1) является результатом интерполяции с подходящим функ-циональным параметром пары пространств Соболева Hs0,s0/(2b)(Rn+1) и Hs1,s1/(2b)(Rn+1), гдеs0 < s < s1.

Пусть G - ограниченная область в Rn, n ≥ 2, с бесконечно гладкой границей Γ, и фиксированочисло τ > 0. Рассмотрим в цилиндре Ω = G× (0, τ), где S = Γ× (0, τ) — его боковая поверхность,параболическую краевую задачу с нулевыми начальными даными:

A(x, t,Dx, ∂t)u(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Ω, (2)

Bj(x, t,Dx, ∂t)u(x, t)∣∣S

= gj(x′, t), (x′, t) ∈ S, j = 1, . . . ,m, (3)

www.kromsh.info 47

∂ku(x, t)

∂tk

∣∣∣∣t=0

= 0, x ∈ G, k = 0, . . . ,m

b− 1. (4)

Здесь A := A(x, t,Dx, ∂t) — параболический линейный дифференциальный оператор четногопорядка 2m ≥ 2, число b — параболический вес этого оператора, Bj := Bj(x, t,Dx, ∂t) — гра-ничные линейные дифференциальные операторы порядков mj ≤ 2m − 1. Комплекснозначныекоэффициенты операторов A и Bj принадлежат пространствам C∞(Ω) и C∞(S) соответственно.

Теорема. Отображение u 7→ (Au,B1u, . . . , Bmu), где u ∈ C∞(Ω) и ∂kt u(x, 0) ≡ 0 для всех

k ∈ N ∪ 0, продолжается по непрерывности до изоморфизма

Hs,s/(2b),ϕ+ (Ω) ↔ H

s−2m,(s−2m)/(2b),ϕ+ (Ω) ⊕

m⊕

j=1

Hs−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ+ (S) при s > 2m.

Здесь Hs,s/(2b),ϕ+ (Ω) — гильбертово пространство, состоящее из сужений в Ω всех распределе-

ний w ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Rn+1) с suppw ⊂ Rn×[0,∞). Подобным же образом определяется гильбертовопространство Hs,s/(2b)ϕ

+ (S) на S.Из этой теоремы вытекает утверждение о повышении локальной гладкости решения задачи

(2)–(4) в уточненной шкале. Последнюю удобно использовать при исследовании решения и егообобщенных производных на непрерывность в предельном случае s = 2bq + b + n/2, где целоеq ≥ 0. Если

∫∞1t−1ϕ−2(t) dt < ∞, то решение u ∈ H

s,s/(2b),ϕ+ (Ω) и его обобщенные частные

производные Dαx∂

βt u(x, t) при |α|+ 2bβ ≤ 2bq непрерывны на Ω. Для соболевской шкалы (ϕ ≡ 1)

такое заключение верно тогда и только тогда, когда s > 2bq + b+ n/2.Эти результаты получены совместно с А. А. Мурачем [1].


[1] Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter, Methods Funct. Anal.Topology, vol.19, no. 2 (2013), pp. 146-160.

НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПАУРЫСОНА

Лукьяненко В.А.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)


Рассматриваемый класс интегральных или функциональных уравнений возникает в задачахдистанционного зондирования поверхности [1-3]. Системы таких уравнений моделируют процесссканирования поверхности антенными устройствами, характер сигнала и его отражение от ска-нируемой поверхности. Такие уравнения являются нелинейными интегро-дифференциальнымиуравнениями типа Урысона 1 рода. Априорная информация об искомой функции, а именно моно-тонность, выпуклость, неотрицательность, гладкость неизвестной функции, точки экстремумови др. определяет характер возникающих задач. Учет дельта-образности ядер, асимптотики ин-тегральных операторов позволяют находить характерные точки решения и получить с учетомаприорной информации эффективные регуляризирующие алгоритмы. Для нелинейного инте-грального уравнения первого рода типа Урысона

b∫

a

a(s)n(t− z(s))ds = u(t), c ≤ t ≤ d

исследуются случаи, в которых допускается сведение к линейным интегральным уравнениям,обыкновенным дифференциальным уравнениям или уравнениям в частных производных. Рас-сматриваются общие подходы решения этого уравнения, а также возможность построения устой-чивых алгоритмов приближенного решения таких уравнений с учетом априорной информации орешении и специфики ядра интегрального уравнения. Алгоритм решения зависит от спецификиуравнения, от вида ядра и подынтегральной функции. Например, в случае класса монотонныхфункций справедливо утверждение. Пусть z(s) принадлежит классу монотонно возрастающих


функций, функция ψ (τ) = α(ϕ(τ))z′(ϕ(τ)) ∈ W 1

2 , где τ = z (s). При заданных уровнях погрешности опе-ратора h и правой части δ (η = (h, δ)) найдется такое значение параметра регуляризации α(η), чтоприближенное решение zα

η находится из решения обыкновенного дифференциального уравнения1-го порядка z′(s)ψ(z(s)) = a(s), a ≤ s ≤ b, где функция ψ(z) является решением уравнения Эйле-ра для функционала А.Н. Тихонова: Mα = α‖ψ‖2

W 12+‖Bhψ−uδ‖2

L2, где Bψ = n∗ψ. Учет дельта-

образности ядра позволяет применить для вычисления интегралов асимптотические методы,методы разложения по малому параметру, характеризующему ширину ядра. Асимптотическоеразложение, при дополнительной информации на искомую функцию (априорной информации),использовано в качестве приближенного оператора для решения уравнений и задачи восстановле-ния критических точек. Применение преобразования Фурье и вейвлет-преобразования позволяетиспользовать априорную информацию в частотной области и применять методы решения типаПрони. Рассмотренные задачи используются: для решения реальных задач; в алгоритмах заме-ны исходного уравнения близким; для построения итерационных алгоритмов поиска решения, атакже являются частью системы, предназначенной для моделирования.


[1] Лукьяненко В.А., Хазова Ю.А. Восстановление решения нелинейных систем интегро-дифференциальныхуравнений типа Урысона, Системный анализ, управление и навигация: 16-я международная научная конфе-ренция (50-летию полета Ю. А. Гагарина посвящается) Крым, Евпатория, 3-10 июля 2011г: тезисы докл. - М.:Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 139-140..

[2] Лукьяненко В.А. Приближенное решение задач для уравнений типа свертки, Интегральные уравнения. -2009. - Integral equations. - 2009: сб. тезисов конф., 26-29 января 2009, Киев. - Киев: ИПНЭ им. Пухова НАНУкраины, 2009. - 164 с.

[3] Лукьяненко В.А. Нелиненые интегральные уравнения 1 рода, Моделирование, управление и устойчивость(MCS-2012): межд. конф.; Севастополь, 10-14 сентября 2012 г. / отв. ред. О.В. Анашкин; Таврический нац.ун-т имени В.И. Вернадского. - Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. - 201 с.

О РЕШЕНИЯХ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫУРАВНЕНИЙ СТОКСА В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМПАКТНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Матевосян О. А.

Высшая Школа Науки, НИЛ «Фундаментальная и Прикладная Математика»,Московский Финансово - Юридический Университет (Россия, Москва)


Изучены свойства обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений (бигар-моническое уравнение):

∆2u(x) = 0, x ∈ Ω

с граничными условиями u(x) = ∂nu(x) = 0 (Дирихле), u(x) = ∆u(x) = 0 (Рикье), ∂nu(x) =∂n∆u(x) = 0, ∆u(x) = ∂n∆u(x) = 0 (Нейман) на ∂Ω и систем (система уравнений Стокса):

−∆u(x) + ∇p = 0, div u(x) = 0, x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈ ∂Ω;

где Ω – область с некомпактной границей ∂Ω.Предполагается, что обобщенные решения этих задач обладают конечным весовым интегра-

лом Дирихле (энергии) с весом |x|a:

Da(u(x),Ω) ≡∫

Ω

|x|a∑

|α|=2

|∂au(x)|2dx <∞, a ∈ R1.

В зависимости от значения параметра a получен критерий единственности (неединственности),а также найдены точные формулы для вычисления размерности пространства решений краевыхзадач для бигармонического уравнения и системы уравнений Стокса.

www.kromsh.info 49

УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ УЧЁТЕ КОРРЕКТОРА

Мешкова Ю. М.

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)


Доклад относится к теории усреднений периодических дифференциальных операторов (ДО).Пусть Bε, 0 < ε 6 1, — матричный эллиптический ДО второго порядка, действующийв L2(R

d; Cn). Старшая часть оператора задана в факторизованной форме b(D)∗g(ε−1x)b(D).Здесь матрица-функция g ограничена и положительно определена; b(D) — матричный однород-ный ДО первого порядка, символ которого имеет максимальный ранг. Оператор Bε включаетмладшие члены с неограниченными коэффициентами и имеет вид

Bε = b(D)∗g(ε−1x)b(D) +

d∑

j=1

(aj(ε−1x)Dj +Djaj(ε

−1x)∗) +Q(ε−1x) + λI.

Параметр λ выбирается так, чтобы оператор Bε был положительно определён. Коэффициентыg, aj, Q предполагаются периодическими относительно некоторой решётки в Rd.

Изучается усреднение в пределе малого периода задачи Коши для параболической системы

ρ(ε−1x)∂tuε(x, t) = −Bεuε(x, t), ρ(ε−1x)uε(x, 0) = φ(x). (1)

Здесь uε(x, t) — функция от x ∈ Rd и t > 0 со значениями в Cn; φ ∈ L2(Rd; Cn). Измеримая

(n×n)-матрица-функция ρ предполагается периодической, ограниченной и равномерно положи-тельно определённой.

Цель работы — получить аппроксимацию при ε → 0 решений задачи (1). Аппроксимацияв L2(R

d; Cn) строится в терминах решения”усреднённой“ задачи. Аппроксимация в классе Со-

болева H1(Rd; Cn) требует учёта корректора.Усреднённая задача имеет вид

ρ ∂tu0(x, t) = −B0u0(x, t), ρu0(x, 0) = φ(x). (2)

Здесь ρ — среднее значение матрицы ρ по ячейке периодов; B0 — эффективный оператор с по-стоянными коэффициентами.

Теорема. Пусть uε — решение задачи (1), пусть u0 — решение задачи (2). Справедливы оценки

‖uε(·, t) − u0(·, t)‖L2(Rd;Cn) 6 C1εt−1/2e−C2t‖φ‖L2(Rd;Cn), t > 0, (3)

‖uε(·, t) − u0(·, t) − εvε(·, t)‖H1(Rd;Cn) 6 C3εt−1e−C2t‖φ‖L2(Rd;Cn), 0 < ε 6 t1/2. (4)

Здесь vε — корректор. Он содержит быстро осциллирующие множители и потому зависитот ε. Постоянные C1, C2, C3 контролируются явно через данные задачи.

Оценки (3), (4) точны по порядку относительно ε при фиксированном t и допускают записьв операторных терминах. Результаты подобного сорта принято называть

”операторными оценка-

ми погрешности“ в теории усреднений. Исследование опирается на спектральный подход к зада-чам гомогенизации, развитый применительно к эллиптическим системам в [1, 4]. Метод основанна применении масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории воз-мущений.

Параболические задачи усреднения для оператора b(D)∗g(ε−1x)b(D) изучались в работах [2,3]. Оценки (3), (4) представляют собой обобщение результатов [2, 3] на более широкий классоператоров.


[1] Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговыесвойства и усреднения, Алгебра и анализ, 15:5 (2003), 1-108.

[2] Suslina T. A., Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem, Amer. Math. Soc. Transl. (2), Vol. 220(2007), 201-233.

[3] Suslina T. A., Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space H1(Rd), Math. Model.Nat. Phenom., 5:4 (2010), 390-447.

[4] Суслина Т. А., Усреднение в классе Соболева H1(Rd) для периодических дифференциальных операторов вто-рого порядка при включении членов первого порядка, Алгебра и анализ, 22:1 (2010), 108-222.


РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

Орлов В.П., Паршин М.И.



В QT = [0, T ] × Ω, где Ω ∈ R2 – ограниченная область с границей ∂Ω ∈ C2 рассматриваетсяначально-граничная задача

∂v/∂t+ vi∂v/∂xi − Div TH + ∇p = f, div v = 0 на QT ; (1)

∂θ/∂t+ vi∂θ/∂xi + χ θ = TH : D(v) + g на QT ; (2)

v|t=0 = v0, θ|t=0 = θ0на Ω; θ|∂Ω = 0, v|∂Ω = 0 на (0, T ); (3)

Здесь TH=(µ0 + µ1(θ))D(v) +∫ t

0 µ2(θ(s, x))D(v)(s, z(s, t, x))ds, D(v) = 12 (∇v + ∇vT ),

а z - решение задачи Коши

z(τ ; t, x) = x+

τ∫

t

v(s, z(s; t, x)) ds, τ, t ∈ [0, T ], x ∈ Ω. (4)

Регуляризация v поля v задается как v = Rδv, Rδ = (I + δA)−k, δ > 0, k > 3, где A - дей-ствующий в H оператор Au = −P∆u с областью определения D(A) = W 2

2,0(Ω)⋂H , P является

ортопроектором на подпространство соленоидальных функций H в L2(Ω).Предполагается, что µ0, χ > 0, µ1(s), µ2(s) ∈ C2(0,∞), µi(s) ≥ 0. Пара (v, θ)

v ∈ L2(0, T ;V ) ∩ Cw(0, T ;H),dv

dt∈ L1(0, T ;V

′

); (5)

θ ∈ L1(0, T ;W

1

p (Ω)) ∩W 11 (0, T ;W−1

p (Ω)) ∩ Cw(0, T ;W 1−2/pp (Ω)), 1 < p < +∞, (6)

называется слабым решением задачи (1)-(3), если выполняются соотношения

d

dt(v, ϕ) + (TH , D(ϕ)) −

n∑

i=1

(viv,∂ϕ

∂xi) =< f, ϕ >; (7)

для любых ϕ ∈ Υ = u : u ∈ C∞0 (Ω), div u = 0 ,

d

dt(θ, φ) −

n∑

i=1

(viθ,∂φ

∂xi) + χ

n∑

i=1

(∂θ

∂xi,∂φ

∂xi) =< g, φ > +(TH : D(v), φ) (8)

в смысле распределений на (0, T ) для любых φ ∈ C∞0 (Ω) и условия (3).

Выше (u,w) =∫Ωu(x)w(x) dx, Cw(0, T ;E) обозначает пространство слабо непрерывных функ-

ций со значениями в банаховом пространстве E, H и V являются замыканием Υ по норме L2(Ω)и W 1

2 (Ω) соответственно, ′ обозначает сопряжение пространства.

Теорема. Пусть f ∈ L2(0, T ;V′

), g ∈ L1(0, T ;W−1p (Ω)), v0 ∈ H, θ0 ∈ Lp(Ω), 1 < p < 4/3. Тогда

существует слабое решение задачи (1) − (4).


[1] В. П. Орлов, Известия ВУЗов. Математика, 8 (2010), с.51-59.[2] J.-L. Lious, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, Dunod Gauthiers-Villar, Paris

(1969).

www.kromsh.info 51

О СИЛЬНОЙ ПРЕДКОМПАКТНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙПРИБЛИЖЕННЫХ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Панов Е.Ю.

Новгородский государственный университет (Россия, Великий Новгород)


В области Ω ⊂ Rn рассмотрим следующее нелинейное эллиптико-гиперболическое уравнениевторого порядка

divϕ(x, u) +D2 ·B(x, u) = 0, u = u(x), x ∈ Ω, (1)

в котором ϕ(x, u) ∈ L2loc(Ω, C(R,Rn)) – вектор Каратеодори, компоненты матрицы диффузии

B(x, u) = bij(x, u)ni,j=1 также являются функциями Каратеодори: bij(x, u) ∈ L2

loc(Ω, C(R)). В

(1) мы используем обозначение D2 ·B(x, u) =n∑

i,j=1

∂2xixj

bij(x, u).

Условие эллиптичности означает монотонность B(x, u) по переменной u: матрицаB(x, u2) −B(x, u1) ≥ 0 (неотрицательно определена) ∀u1, u2 ∈ R, u2 > u1.

При дополнительном условии, что при любом p ∈ R распределениеµp = divxϕ(x, p) +D2

x ·B(x, p) является локально-конечной борелевской мерой на Ω,(µp ∈ Mloc(Ω)) в [1, 2] введено понятие энтропийного решения (э.р.) уравнения (1), совпа-дающее в случае квазилинейного уравнения первого порядка (когда B ≡ 0) с известнымпонятием обобщенного решения в смысле С.Н. Кружкова [3]. Отметим (см. [1, 2]), что любоеэ.р. является и квазирешением уравнения (1), то есть ∀a, b ∈ R, a ≤ b

divϕ(x, sa,b(u)) +D2 · B(x, sa,b(u)) = µa,b ∈Mloc(Ω) в D′(Ω), (2)

где sa,b(u) = max(a,min(b, u)) – срезающие функции.

Определение. Будем называть уравнение (1) невырожденным, если для почти всех x ∈ Ω длявсех ξ ∈ Rn, ξ 6= 0 функции λ → ξ · ϕ(x, λ), λ → B(x, λ)ξ · ξ одновременно не постоянны наневырожденных интервалах.

Рассмотрим последовательность uk = uk(x), k ∈ N измеримых функций, такую что для всехa, b ∈ R, a ≤ b последовательности распределений

lka,b = ϕ(x, sa,b(uk)) +D2 · B(x, sa,b(uk))

предкомпактны в соболевском пространстве W−1d,loc(Ω) с некоторым показателем d > 1. Заметим,

что это условие всегда выполнено для ограниченных последовательностей э.р. и, более обще, дляпоследовательностей квазирешений (при условии ограниченности последовательности мер lka,b).Основной результат работы сформулирован в следующей теореме:

Теорема 1. Пусть уравнение (1) невырождено и пространства ker(B(x, u2) −B(x, u1)) не за-висят от x. Тогда существует подпоследовательность ur = ukr и измеримая функция u(x)такие, что ur(x) → u(x) почти всюду на Ω (свойство сильной предкомпактности).

Заметим, что условие невырожденности в Теореме 1 является и необходимым, при его наруше-нии свойство сильной предкомпактности неверно. Для доказательства Теоремы 1 используетсяаппарат ультрапараболических H-мер с “непрерывными” индексами, развитый в статье [1]. Вслучае, когда матрица диффузии не зависит от пространственных переменных (B(x, u) = B(u))утверждение Теоремы 1 доказано в [2].

Работа поддержана РФФИ, грант 12-01-00230-a.


[1] E.Yu. Panov, Ultra-parabolic equations with rough coefficients. Entropy solutions and strong precompactnessproperty, Journal of Mathematical Sciences 159 (2009), 180–228.

[2] H. Holden, K.H. Karlsen, D. Mitrovic, E.Yu. Panov, Strong compactness of approximate solutions to degenerateelliptic-hyperbolic equations with discontinuous flux function, Acta Mathematica Scientia 29B (2009), 1573–1612.

[3] С.Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными, Матем.сб. 81 (1970), 228–255.


АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙМАКСВЕЛЛА С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Перель М.В., Сидоренко М.С.



Мы решаем уравнения систему уравнений Максвелла

curlE = ikµH, curlH = −ikǫE, k = ω/c,

ε(z) = ε(z + b), µ = 1, 0 ≤ z <∞, (x, y) ∈ R2,

где E и H электрическое и магнитное поле соответственно, ω - частота, c - скорость света в ва-кууме, зависящий от времени множитель exp −iωt опущен. Диэлектрическая проницаемость εявляется кусочно-постоянной функцией. На границе среды ставятся условия, содержащие малыйпараметр χ≪ 1:

Ey|z=0 = f(ξ, η), Hy|z=0 = g(ξ, η), ξ = χx, η = χy,

где f и g - гладкие финитные функции. Предполагаем, что энергия уходит на бесконечность:∫

ΣR

(S,n)dσ > 0, R → ∞, S = ℜ [E∗,H],

где ΣR - полусфера радиуса R, dσ - элемент площади поверхности, n - вектор внешней нормалик поверхности, S - вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, усредненный попериоду, верхний индекс * означает комплексное сопряжение.

Такая постановка мотивирована задачей о падении лазерного пучка на периодическую слои-стую структуру, при этом ширина пучка значительно превышает период структуры.

Построено формальное асимптотическое разложение решения задачи по параметру χ приусловии

1/kb ∼√ε.

Предполагается, что частота излучения соответствует седловой точке дисперсионной поверхно-сти ω = ω(kx, ky, p), где p - квазиимпульс поперечной периодической задачи, которая получаетсяпосле отделения множителя exp i(kxx+ kyy) .

Мы применяем метод двухмасштабных разложений и выбираем анзац в виде:(

E

H

)= exp

ikx0ξ + ky0η + p0ζ

χ

∞∑

j=0

χj

(E(j)

H(j)

)(z, ξ, η, ζ),

где kx0, ky0, p0 - координаты седловой точки, то есть ω0 = ω(kx0, ky0, p0).

Показано, что полученная рекуррентная система для определения E(j), H

(j) разрешима. Вглавном порядке решение имеет вил

(E(z, ξ, η, ζ)H(z, ξ, η, ζ)

)= αH(ξ, η, ζ)

(EH(z)HH(z)

)+ iαE(ξ, η, ζ)

(EE(z)HE(z)

),

где ζ = χz, а (EH(z),HH(z)), (EE(z),HE(z)) - решения Флоке-Блоха TM и TE типа, соответ-ствующие седловой точке дисперсионной поверхности. Здесь для краткости записи взята точкаkx0 = ky0 = p0 = 0. Медленно меняющиеся огибающие αH и αE являются решениями задачиКоши для гиперболическим уравнений

σ2x

∂2αH

∂ξ2+ σ2

y

∂2αH

∂η2− ∂2αH

∂ζ2= σTM

xy

∂2αE

∂ξ∂η,

σ2y

∂2αE

∂ξ2+ σ2

x

∂2αE

∂η2− ∂2αE

∂ζ2= σTE

xy

∂2αH

∂ξ∂η,

где вещественные постоянные σx, σy, σTMxy , σTE

xy зависят только от свойств среды и от ω. Выборначальных данных обсуждается для частных случаев.

www.kromsh.info 53

О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СОСЛАБОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Пикулин С.В.

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН (Россия, Москва)


Пусть Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве Rn. Рассмотрим краевую задачуДирихле:

n∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

)− a(x) |u|σ−1 u = f в Ω,

u = ϕ на ∂Ω,

(1)

ϕ — некоторая функция, продолженная в Ω до функции класса W 12 (Ω), σ > 1, f ∈ L2(Ω), a(x) —

неотрицательная измеримая функция в Ω, aij ≡ aji — ограниченные измеримые функции вΩ, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности: для некоторого λ ≥ 1 и ∀ξ ∈ R

n

справедливы неравенства

λ−1 |ξ|2 ≤n∑

i,j=1

aij(x) ξi ξj ≤ λ |ξ|2.

Перфорированные области Ωε = Ω\Bε получаются исключением из Ω объединения Bε конеч-ного числа m = m(ε) шаров одинакового радиуса ε, причем ε→ 0. Отметим, что периодичностьрасположения шаров внутри Ω не требуется. В каждой из областей Ωε рассматривается задачавида (1) с краевым условием Дирихле uε = ϕε на ∂Ωε, где ϕε = ϕ на ∂Ω, fε = f в Ω. Приопределенных ограничениях на скорость роста числа полостей m по отношению к параметру εрешения задач Дирихле uε в перфорированных областях сходятся к решению u в неперфориро-ванной области. В работах [2, 3] на основе техники, развитой в [1], были получены необходимыеусловия сходимости решений при f = 0 и выполнении неравенства a(x) ≥ a0 |x|s, где s ≥ 0. Од-нако требования к коэффициенту a(x) можно ослабить: допустимо, чтобы функция a(x) имеланесколько нулей порядка s, либо обращалась в нуль вдоль отрезка прямой или на открытомподмножестве в Ω, отделенном от полостей положительным расстоянием.

Определение. Симметрической неубывающей перестановкой измеримой функции a(x) ≥ 0 вограниченном открытом множестве Q называется измеримая функция a∗(x) ≥ 0 в шаре Q∗ ≡B(0, ρ), mes Q∗ = mes Q, такая, что mes x ∈ Q : a(x) < t = mes x ∈ Q∗ : a∗(x) < t, иa∗(x) = θ(|x|) для неубывающей функции θ : (0, ρ) → R+.

Теорема. Пусть Ω1 ⋐ Ω′1 ⊂ Ω — открытые подмножества, такие, что Bε ⊂ Ω1 для всех ε, и

существует такое ρ0 > 0, что для всех шаров B ⊂ Ω′1 радиуса ρ < ρ0 справедливо неравенство

(a(x)|B)∗ ≥ a0 |x|s для некоторых a0 > 0, s ≥ 0. Пусть σ > (n+ s)/(n− 2) > 1, в этом случае

α0 :=(n− 2)σ − (n+ s)

σ − 1> 0.

Зафиксируем числа α, ν > 0 и 0 ≤ q < 1 такие, что α + ν + (n − 2) q = α0, и последователь-ность dε ∼ d0 ε

q. Положим bε := supΩε(dε) |uε − u|, где Ωε(dε) — множество, получаемое из Ωε

исключением окрестности размера dε множества Bε.Тогда если m = O(ε−α) при ε→ 0, то bε = o(εν) при ε→ 0.


[1] В.А. Кондратьев, Е.М.Ландис, О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второгопорядка, Мат. сборник. Т. 135(177) (1988). 3. C. 346–360.

[2] О. А. Матевосян, С. В. Пикулин, Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированныхобластях, Матем. сборник, Т. 193 (2002), N. 3, С. 101–114.

[3] S. V.Pikulin, Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary, RussianJ. Math. Physics. V. 19 (2012), N. 3, P. 401–404.


АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩАЯ ТРЕТЬИМ

КРАЕВЫМ УСЛОВИЯМ НА ГРАНИЦАХ МАЛЫХ ОТВЕРСТИЙ

Постникова Е.Ю.

Челябинский государственный университет (Россия, Челябинск)


Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения в области с малыми отвер-стиями. На границах отверстий задаются третьи краевые условия. Методом согласования асимп-тотических разложений построена полная равномерная асимптотика по малому параметру, ха-рактеризующему размер этих отверстий.

РЕГУЛЯРНОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕГЛАДКИХОБЛАСТЯХ

Прохоров А.О.



Под негладкой областью мы будем понимать липшицевую область, удовлетворяющую условиювнешнего шара.

Определение. Липшицевая область Ω в R3 удовлетворяет условию внешнего шара, если

∃R > 0 : ∀x ∈ ∂Ω ∃p(x) : B(R(Ω), p(x)) ⊂ R3\Ω, x ∈ ∂B(R(Ω), p(x)). Здесь B(R(Ω), p(x)) – шаррадиуса R(Ω) с центром в точке p(x).

Выпуклая область и область класса C2 удовлетворяют условию внешнего шара.Пусть s(x) – вещественная (3 × 3) матрица, такая что

c0I ≤ s(x) ≤ c1I, 0 < c0 ≤ c1 <∞, x ∈ Ω. (1)

При изучении электромагнитных полей в области Ω вводят гильбертово пространство

F (Ω) = u ∈ L2(Ω,C3), rotu ∈ L2(Ω,C

3), div(su) ∈ L2(Ω)со скалярным произведением

〈u, v〉F = 〈su, v〉L2 + 〈rotu, rot v〉L2 + 〈div(su), div(sv)〉L2 .

Матрица s здесь играет роль диэлектрической проницаемости или магнитной восприимчивос-ти. Далее в F (Ω) выделяют подпространства

F (Ω, τ) = u ∈ F (Ω), uτ |∂Ω = 0, F (Ω, ν) = u ∈ F (Ω), (su)ν |∂Ω = 0.Здесь τ и ν обозначают касательную и нормальную составляющую. Граничные условия пони-

маются в обобщенном смысле и отвечают идеально проводящей границе. F (Ω, τ) соответствуетэлектрическим полям, а F (Ω, ν) – магнитным. Введем также соответствующие подпространствадля пространств Соболева

W 12 (Ω, τ) = u ∈W 1

2 (Ω,C3), uτ |∂Ω = 0, W 12 (Ω, ν) = u ∈W 1

2 (Ω,C3), (su)ν |∂Ω = 0.

Теорема 1. Пусть Ω – ограниченная область в R3 с липшицевой границей, удовлетворяющаяусловию внешнего шара, s удовлетворяет (1) и липшицева. Тогда F (Ω, τ) и F (Ω, ν) совпадаютс W 1

2 (Ω, τ) и W 12 (Ω, ν) соответственно, при этом выполнено неравенство

‖u‖H1 ≤ c(Ω, s)‖u‖F .

В случае s = I это доказано в [2]. Также стоит упомянуть результаты с матричным s в областикласса C2 в [1] и в выпуклой области для электрического случая в [3].

www.kromsh.info 55


[1] М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, L2-теория оператора Максвелла в произвольных областях, Усп. матем. наук42, 6 (1987), 61-76.

[2] M. Mitrea, Dirichlet integrals and Gaffney-Friedrichs inequalities in convex domain, Forum Math., Vol.13 (2001),531-567.

[3] J. Saranen, On an inequality of Friedriechs, Math. Scand. 51 (1982), 310-322.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИНЕОГРАНИЧЕННОМ ВОЗРАСТАНИИ ВРЕМЕНИ

Репьевский С.В.

Челябинский государственный университет (Россия, Челябинск)


Рассматривается краевая задача для линейного параболического уравнения на полупрямой:

∂u

∂t=∂2u

∂x2− c(x)u,

u(0, t) = 1, u(x, 0) = φ(x), φ(0) = 1, (1)

где φ(x) – финитная функция.Скорость убывания коэффициенты c(x) на бесконечности играет большую роль при постро-

ении асимптотики, как было показано в работах Леликовой Е.Ф. [1, 2]. Так, выделяется трислучая: коэффициент убывает быстрее x−2, медленнее x−2 и также, как x−2. Первый случайбыл рассмотрен в работе [3], а эта работа посвещена второму.

Для простоты, рассмотрим частный случай уравнения:

∂u

∂t=∂2u

∂x2− 1

xu. (2)

Построен формальный асимптотический ряд для решения задачи (2), (1). Доказана един-ственность решения.


[1] Леликова Е.Ф. Асимптотика фундаментального решения параболического уравнения при t → ∞, Матем.сб. Том 132 (1987), 322–344.

[2] Леликова Е.Ф. Об асимптотике фундаментального решения параболического уравнения в критическом слу-чае, Матем. сб. Том 180 (1989), 1119–1131.

[3] Дегтярев Д.О., Ильин А.М. Асимптотика решения параболического уравнения при неограниченном возрас-тании времени, Матем. сб. Том 203 (2012), 1589–1610.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯБУШМАНА–ЭРДЕЙИ

Ситник С.М.

Воронежский институт МВД России (Россия, Воронеж)


Теория операторов преобразования составляет самостоятельный раздел современной матема-тики, имеющий многочисленные приложения [1-2]. Важным классом операторов преобразованияявляются операторы Бушмана–Эрдейи. Название "операторы Бушмана–Эрдейи" было предло-жено автором, в последнее время оно стало общепринятым.

Изучение разрешимости и обратимости данных операторов было начато в 1960–х годах вработах Р. Бушмана и А. Эрдейи. Операторы Бушмана–Эрдейи или их аналоги изучались такжев работах T.P. Higgins, Ta Li, E.R. Love, G.M. Habibullah, K.N. Srivastava, Динь Хоанг Ань,В.И. Смирнова, Н.А. Вирченко, И. Федотовой, А.А. Килбаса, О.В. Скоромник и ряде другихработ. При этом изучались задачи о решении интегральных уравнений с этими операторами, ихфакторизации и обращения.


Важность операторов Бушмана–Эрдейи во многом обусловлена их многочисленными прило-жениями [1–8]. Например, они встречаются в следующих вопросах теории уравнений с част-ными производными: при решении задачи Дирихле для уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу вчетверти плоскости и установлении соотношений между значениями решений уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу на многообразии начальных данных и характеристике, теории преобразованияРадона, так как в силу результатов Людвига действие преобразования Радона при разложениипо сферическим гармоникам сводится как раз к операторам Бушмана–Эрдейи по радиальнойпеременной, при исследовании краевых задач для различных уравнений с существенными осо-бенностями. Автором было впервые показано [8], что операторы Бушмана–Эрдейи являютсяоператорами преобразования для дифференциального выражения Бесселя и изучены их специ-альные свойства именно как операторов преобразования.

В докладе рассматриваются приложения операторов преобразования Бушмана–Эрдейи раз-личных классов к вложению пространств И.А. Киприянова в весовые пространства С.Л. Соболе-ва, формулам для решений уравнений с частными производными с операторами Бесселя, урав-нениям Эйлера–Пуассона–Дарбу, включая лемму Копсона, построению операторов обобщeнногосдвига, операторам Дункла, преобразованию Радона, построению обобщeнных сферических гар-моник и B–гармонических полиномов, а также доказательству унитарности в пространстве Ле-бега обобщений классических операторов Харди. Приведeн обзор результатов В.В. Катрахова поприложению операторов преобразования Бушмана–Эрдейи к построению нового класса псевдо-дифференциальных операторов и изучению введeнного им класса краевых задач с K—следом ссущественными особенностями в решениях.


[1] Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications, Analytic Methods Of Analysis AndDifferential Equations: AMADE 2012 ( Edited by M.V.Dubatovskaya, S.V.Rogosin), Cambridge Scientific Publishers,Cottenham, 2013, 33 P. (arXiv version 1304.2114).

[2] Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения, Исследования по современному анализу и мате-матическому моделированию. (Ред. Ю.Ф. Коробейник, А.Г. Кусраев). Владикавказ (2008), C. 226–293. (arXivupdated version 1012.3741 (2012), 141 P.)

[3] Ситник С.М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина–Пуассона, Науч-ные ведомости Белгородского государственного университета (2010), Вып. 18, 5 (76), С. 135–153.

[4] Sitnik S.M. Some problems in the modern theory of transmutations, Spectral theory and differential equations.International conference in honor of Vladimir A. Marchenko’s 90th birthday. Kharkiv (2012), P. 101–102.

[5] Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений,Вестник Самарского Государственного Университета (СамГУ)—Естественнонаучная серия, T. 67, (2008), 8/1, С. 237–248.

[6] Катрахов В.В., Ситник С.М. Оценки решений Йоста для одномерного уравнения Шрёдингера с сингулярнымпотенциалом, Доклады РАН (1995), т. 340, N 1, С. 18-20.

[7] Катрахов В.В., Ситник С.М. Композиционный метод построения В–эллиптических, В–параболических иВ–гиперболических операторов преобразования, Доклады РАН (1994), т. 337, N 3, С. 307-311.

[8] Ситник С.М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана–Эрдейи, Доклады Академии Наук СССР (1991), т. 320, N 6, С. 1326–1330.

О НЕЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХФУНКЦИОНАЛЬНО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Солонуха О.В.

Центральный экономико–математический интитут РАН (Росия, Москва)


В работе исследуется существование обобщенных решений квазилинейных и существеннонелинейных функционально–дифференциальных уравнений эллиптического типа в ограничен-ной области Q ⊂ Rn c достаточно гладкой границей. Для исследования применяются теория опе-раторов монотонного типа (см., например, [1]) и теория линейных дифференциально–разностныхуравнений (см. [2]). Изучаются случай, когда дифференциальное уравнение связано с нелокаль-ной задачей, а также случай, когда дифференциальное уравнение связано с вариационной зада-чей. При этом наиболее сложной является ситуация, когда функционально–дифференциальному

www.kromsh.info 57

уравнению с существенно нелинейным оператором нельзя поставить в соответствие некую вари-ационную задачу. В этом случае возмущение существенно нелинейного сильно эллиптическогооператора самосопряженным положительно определенным линейным разностным операторомможет привести к потере эллиптичности.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 12-01-00524, 13-01-00422.


[1] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.[2] Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. Birkhauser, Basel–Boston–Berlin.

1997.

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯВТОРОГО ПОРЯДКА В ОБЛАСТИ С ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

Сыбиль Ю.Н.

ЛНУ им.Ив.Франко (Украина, Львов)


Тонкие включения, а также трещины, тонкие экраны и т.д., которые встречаются в различных при-кладных задачах, удобно моделировать с помощью разомкнутых поверхностей. В этом случае возни-кает необходимость рассматривать как сами искомые функции, так и дифференциальные операторы иоператоры следа в определённых функциональных пространствах, которые учитывают существеннуюнерегулярность полученной области [1, 2].

Рассмотрим ограниченную односвязную липшицевую область Ω+ ⊂ R3 с границей Σ. Пусть S явля-

ется разомкнутой двусторонней липшицевой поверхностью с краем Γ и S = S ∪ Γ, S ⊂ Ω+. ОбозначимΩ = Ω+ \ S. В Ω+ зададим эллиптический оператор второго порядка и билинейную форму

Lu = −3∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij

∂u

∂xj

)+ a0u, a(u, v) =

∫

Ω

3∑

i,j=1

aij∂v

∂xi

∂u

∂xj+ a0uvdx,

где aij , a0 ∈ C1(Ω+) - действительные функции, a0(x) > 0, x ∈ Ω+.Рассмотрим следующую задачу Неймана (задача N): найти функцию u ∈ H1(Ω, L) = u ∈ H1(Ω) :

Lu ∈ L2(Ω) такую, что

Lu = f, γ±1,Su = g±, γ+

1,Σu = g,

где f ∈ L2(Ω), g± ∈ H−1/2(S), g+ − g− ∈ H−1/200 (S), g ∈ H−1/2(Σ).

Здесь γ±1,S и γ+

1,Σu - операторы следа, которые для гладких функций совпадают с граничным значе-

нием оператора конормальной производной ∂∂nx

=∑3i,j=1 cos(~nx, ~xi)aij

∂∂xj

. Символом ” ± ” обозначены

значения с разных сторон S. Пусть [γi,S] = γ+i,S − γ−

i,S, i = 0, 1.

С задачей N связана следующая вариационная задача (задача V N): найти функцию u ∈ H1(Ω)такую, что a(u, v) = l(v) для произвольной v ∈ H1(Ω). Здесь

l(v) = (g, v)L2(Ω) + 〈g+, [γ0,S ]v〉 + 〈g+ − g−, γ−0 v〉 + 〈g, γ+

0,Σv〉,

〈·, ·〉 - соотношения двойственности между H−1/2(S) и H1/200 (S), H

−1/200 (S) и H1/2(S), H−1/2(Σ) и H1/2(Σ)

соответственно.

Теорема 1. Задачи N и V N эквивалентные.

Теорема 2. Задачи N и V N имеют единственное решение для произвольных f ∈ L2(Ω), g± ∈H−1/2(S), g+ − g− ∈ H

−1/200 (S), g ∈ H−1/2(Σ).

Аналогично рассмотрены задача с граничным условием Дирихле на разомкнутой поверхности S изадача со смешанными граничными условиями.

Задача Дирихле (задача D) : найти функцию u ∈ H1(Ω, L) такую, что

Lu = f, γ±0,Su = g±, γ+

0,Σu = g,

где f ∈ L2(Ω), g± ∈ H1/2(S), g+ − g− ∈ H1/200 (S), g ∈ H1/2(Σ).

Задача со смешанными граничными условиями (задача M): найти функцию u ∈ H1(Ω, L) такую, что

Lu = f, γ−0,Su = g−, γ+

1,Su = g+, γ+1,Σu = g,

где f ∈ L2(Ω), g− ∈ H1/2(S), g+ ∈ H−1/2(S), g ∈ H−1/2(Σ).



[1] М.С.Агранович, Сильно эллиптические системы 2-го порядка с граничными условиями на незамкнутойлипшицевой поверхности, Функциональный анализ и его приложения. Т. 45. Вып. 1. (2011), с. 1-15.

[2] Yu.Sybil, Three-dimensional elliptic boundary value problems for an open Lipschitz surface, Математичнi Студiї.Т. 8. 1. (1997), с. 79-96.

ДИНАМИКА СТАЦИОНАРНЫХ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙЗАДАЧЕ С ОТРАЖЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Хазова Ю.А.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)


Среди нелинейных оптических систем одной из самых популярных является система, состоящая изтонкого слоя нелинейной среды керровского типа и различным образом организованного контура дву-мерной обратной связи[1]. Параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразо-ванием аргументов искомой функции, используемые для моделирования оптических систем с двумернойобратной связью, представляют собой новый класс уравнений для исследования феномена структуро-образования.

Математической моделью этих систем в случае тонкого кругового кольца и преобразованием отра-жения является краевая задача

ut + u = Duϕϕ +K(1 + γ cos u(π − ϕ, t)), t > 0, (1)

u(ϕ+ 2π, t) = u(ϕ, t). (2)

Задача (1)-(2) моделирует динамику фазовой модуляции u(ϕ, t), ϕ ∈ (0, 2π), t > 0, световой волны. ЗдесьD — коэффициент диффузии нелинейной среды, K > 0 пропорционален интенсивности входного поля,γ — видность (контрастность) интерференционной картины, 0 < γ < 1.

В качестве бифуркационного параметра примем D. Задача по исследованию стационарных струк-тур (1)-(2) приводит при некоторых условиях к

vt + v = Dvϕϕ + ΛQv − Λ

6Qv3, (3)

v(ϕ, t) = v(ϕ+ 2π, t),

где Λ—постоянная, Λ < −1, параметры K = 4, γ = 0.7, оператор действует по правилу Qv(ϕ, t) =v(π − ϕ, t). В пространстве Соболева H1

0 (0, 2π) 2π-периодичных решений уравнение (3) определят дина-мическую систему.

Нулевое решение (3) устойчиво. Для каждого D1(k+1)2

< D < D1k2, k = 1, 2 . . . , D1 = −(1+Λ) существует

ровно k пар пространственно-неоднородных решений ±v1,±v2, . . . ,±vk уравнения (3), которые бифур-цируют из нулевого решения. Если D < D1, то нулевое решение неустойчиво, как и все остальные, кроме±v1.

Для любого натурального m и малых D уравнение (3) имеет m-параметрическое семейство медленноменяющихся решений[3].

Указанное семейство решений в пространстве H10 (0, 2π) определяет m-мерное многообразие медленно

меняющихся решений. Медленно меняющиеся решения называются метаустойчивыми структурами.Для исследования динамики метаустойчивых структур при средних значениях D строится иерархия

упрощенных моделей уравнения (3)—градиентные системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний(размерности от 15 до 25). Эти системы обладают богатой динамикой. В частности, реализуетсяширокий спектр седло-узловых бифуркаций.


[1] Разгулин А.В. Нелинейные модели оптической синергетики, М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, МАКСПресс(2008), 203c.

[2] Белан Е.П. Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением пространственнойпеременнойКибернетика и системный анализ, Т.46, 5 (2010), c.95-111.

[3] Fusco G., Hale J.K. Slow-Motion Manifolds, Dormant Instability, and Singular PerturbationsJournal of Dynamicsand Differential Equations, Vol.1, 1 (1989), P.75-94.

www.kromsh.info 59

ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА СОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ И

ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ ОТКЛОНЕНИЕМ

Чаплыгина Е.В.

Орловский государственный университет (Россия, г. Орел)


Уравнение

L(U(x, y)) ≡ Uxx(x, y) + sgny Uyy(x, y) = A(U(x, y)), (1)

A = (RτxH(x) + R−τx H(2τ − x) − 1)(∂/∂x + 1

2), 0 < τ ≡ const, Rθx - оператор сдвига по x : Rθxq(x) =

q(x− θ), H(ξ) – функция Хевисайда, рассмотрим в области D = D+⋃D−⋃ I , гдеD+ = (x, y) : 0 < x < 2τ, 0 < y < h = D+

0

⋃D+

1

⋃J(0 < h ≡ const) и

D− =⋃1k=0D

−k (D−

k = D−k,k

⋃D−k,k+1) – эллиптическая и гиперболическая части области D, причем

D+k = (x, y) : kτ < x < (k + 1)τ, 0 < y < h,

D−k,k = (x, y) : kτ − y < x < y + xk,−xk−kτ

2< y < 0,

D−k,k+1 = (x, y) : xk − y < x < (k + 1)τ + y,− (k+1)τ−xk

2< y < 0, kτ < xk < (k + 1)τ (k = 0, 1),

I = (x, y) : 0 < x < 2τ, y = 0 =⋃1k=0 Ik,

J = (x, y) : x = τ, 0 < y < h.Пусть Dk = D+

k

⋃D−k

⋃Ik, где Ik = (x, y) : kτ < x < (k + 1)τ, y = 0(k = 0, 1).

Задача G. Найти в области D функцию U(x, y) ∈ C(D)⋂C1(D\J ⋂C2(D\(J

⋃I)), удовлетворяю-

щую уравнению (1), краевым условиямU(0, y) = U(2τ, y) = 0, 0 ≤ y ≤ h,U(x, h) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 2τ,

U(x, x− xk) = ψk(x), kτ+xk2

≤ x ≤ xk(k = 0, 1),

U(x, xk − x) = ρk(x), xk ≤ x ≤ xk+(k+1)τ2

(k = 0, 1),условиям сопряженияU(x,−0) = U(x,+0) = ω(x), 0 ≤ x ≤ 2τ,Uy(x,−0) = Uy(x,+0) = ν(x), 0 < x < 2τ, x 6= τ,условиям согласования ϕ(0) = ϕ(2τ ) = 0, ψk(xk) = ρk(xk)(k = 0, 1),где ϕ(x), ψk(x), ρk(x)(k = 0, 1) – заданные непрерывные достаточно гладкие функции.

Теорема. Если функции ϕ(x) ∈ C[0, 2τ ]⋂C2(0, 2τ ),

ψk(x) ∈ C[kτ+xk2

, xk]⋂C2( kτ+xk

2, xk), ρk(x) ∈ C[xk,

xk+(k+1)τ2

]⋂C2(xk,

xk+(k+1)τ2

) (k = 0, 1), абсолютно

интегрируемы на своих промежутках, ϕ(0) = ϕ(2τ ) = 0, ψk(xk) = ρk(xk) и ψ‘k(x), ρ‘

k(x) при x → xk(k =

0, 1), допускают интегрируемую особенность, то существует единственное при τ ≤√

2 решение U(x, y)задачи G.

Единственность решения задачи G доказывается с помощью энергетических неравенств.

Вопрос существования задачи G сводится к разрешимости разностного уравнения ν(x)

1+(−1)ke−(x−kτ) +

i sgn(x− xk)R2ihx ( ν(x)

1+(−1)ke−(x−kτ) ) = g(x), kτ < x < (k + 1)τ, x 6= xk, где g(x) ∈ C1(kτ, (k + 1)τ ) и зависит

от ϕ(x), ψk(x), ρk(x)(k = 0, 1).

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЮСОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ-4 СБЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПОЛЮСОВ

Щелконогов А.А.

ЧелГУ (Россия, Челябинск)


В работе исследуется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка Пенлеве-4:

u′′ =(u′)2

2u+

3

2u3 + 4xu2 + 2(x2 − α)u +

β

2u. (1)

Ранее было исследовано поведение полюсов рациональных решений Пенлеве-4. Теперь осуществлен пре-дельный переход к решениям с бесконечным числом полюсов. Для этого был использован метод скей-лингового предела. Таким образом решение уравнения Пенлеве-4 сводится к некоторой эллиптическойфункции r(t), являющейся решением уравнения:

(r′)2 = r4 + 4t0r3 + 2(t20 − 4)r2 +Cr, (2)

где t0 и C - константы. В итоге полюса решений в предельном случае совпадают с полюсами r(t).


ON SOLVABILITY OF THE NEUMANN BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR NON-HOMOGENEOUS POLYHARMONIC EQUATION IN A BALL

Ashurov R. R.

National University of Uzbekistan (Uzbekistan, Tashkent)


In this joint work with professor Batirkhan Kh Turmetov (Kazakh - Turkish University, Turkestan,Kazakhistan) we investigate the Neumann boundary value problem in the unit ball for a non-homogeneouspolyharmonic equation. It is well known, that even for the Poisson equation this problem does not have asolution for arbitrary smooth right hand side and boundary functions; these given functions should satisfy acondition called the solvability condition. In case of the Poisson equation the necessary and sufficient solvabilitycondition easily follows from the Green formula. In the present paper these solvability conditions are found inan explicit form for the general non-homogeneous polyharmonic equation. The method used is new for thesetype of problems. We first reduce this problem to the Dirichlet problem, then use the Green function of theDirichlet problem recently found by T. Sh. Kal’menov and D. Suragan.

GENERALIZED SOLUTIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FORSOME GENERAL CLASS OF PDEs

Burskii V.P.

Institute of Applied Mathematics and Mechanics NASU (Ukraine, Donetsk)


Let Ω ⊂ Rn be an arbitrary domain with a boundary ∂Ω, L =

∑|α|≤m aα(x)Dα be some differential

operation with smooth complex j × k−matrix coefficients aα(x), L+ be the formally adjoint differentialoperation. Let L0, L

+0 be the minimal operators. M.Vishik introduced the conditions:

the operator L0 : D(L0) → Lj2(Ω) has a continuous left-inverse, (1)

the operator L+0 : D(L+

0 ) → Lj2(Ω) has a continuous left-inverse (2)and proved that this conditions are necessary and suffucient for the existence of a solvable expansion LB :D(LB) → Lj2(Ω)(i.e.D(L0) ⊂ D(LB), ∃L−1

B : Lj2(Ω) → D(LB)). L.Hormander proved this conditions for anyscalar operator with constant coefficients; for the case of scalar operators of the real principal type

L(x,D) = P 0(D) +∑i Ci(x)P i(D), Ci ∈ C∞(Ω), P i ∈ C[ξ] (3)

with ord P i ≤ m − 1, |∇P 0(ξ)| 6= 0 if ξ 6= 0 and also for the case of operators of the constant strenght of theform (3) with P i ≺ P 0 and analytical Ci the conditions (1),(2) flow out from results of G.Gudmundsdottir.

We consider the equationL+Lu = f. (4)

The function u ∈ D(L0) satisfying the integral identity < L0 u, Lv >=< f, v > for each function v ∈(C∞

0 (Ω))k will be called a generalized solution of the Dirichlet problem in the domain Ω for the equation (4)with f ∈ D′(L0). This is equivalent to the equation L′

0L0u = f. The Dirichlet problem will be called well-posedif there exists a continuous inverse operator M : D′(L0) → D(L0) to the operator L′

0L0.Statement . The generalized Dirichlet problem for the equation (4) is well-posed if and only if the condition

(1) is fulfilled.

Example 1. If L = grad,L+ = −div, D(L) = H1(Ω), D(L0) =0

H1 (Ω) then we have the Poisson equation−∆u = f. The condition (1) has the form of the Fridrich’s inequality: ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω), ‖∇ϕ‖L2(Ω) ≥ C‖ϕ‖L2(Ω)

and the Dirichlet problem is well-posed in that domains which are assumed with such inequality, in particular,it is well-posed in any bounded domain.

Example 2. Let L = ∂2/∂x1∂x2, the condition (1) is fulfilled in each bounded domain with smoothboundary and the Dirichlet problem for the equation

2u = f is well-posed in such domains. If the boundarydoes not contain segments of characteristics then the belonging u ∈ D(L0) means u|∂Ω = u′

ν |∂Ω = 0 almosteverywhere on ∂Ω.

The setting of other boundary value problems are analogous. This way allows to obtain a criterion ofFredholm’s property for general linear differential boundary value problem to arbitrary improperly ellipticequation.

www.kromsh.info 61

ON RESOLVENT ESTIMATES FOR HOMOGENISATION PROBLEMSWITH HIGH CONTRAST

Cherednichenko K.

School of Mathematics Cardiff University (UK,Cardiff)


I will discuss the asymptotic behaviour of the resolvents (Aε + I)−1 of elliptic second-order differentialoperators Aε in R

d with periodic rapidly oscillating coefficients, as the period of oscillations ε goes to zero.The class of operators covered by our results includes both the “classical” case of uniformly elliptic families(where the ellipticity constant does not depend on ε) and the “double-porosity” case of coefficients that takecontrasting values of order one and of order ε2 in different parts of the period cell. The error estimates weprove imply, in particular, the O(ε)-closeness of the spectra of the original operators and the spectra of the“approximating” operators. A way of calculating the latter is provided by the asymptotic procedure we propose.This is joint work with S. Cooper (Fresnel Institute, Marseille).

NEW GENERALIZATIONS OF THE K-CONSTRAINED KP HIERARCHIES

Oleksandr Chvartatskyi1,2, Yuriy Sydorenko2

1Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization2Ivan Franko National University of Lviv


We investigate a new bidirectional generalization of the (2+1)-dimensional k-cKP hierarchy ((2+1)-BDk-cKP hierarchy). This new hierarchy is an essential extension of (2+1)-dimensional k-cKP hierarchy that wasintroduced in [1, 2] and investigated in [3, 4]. (2+1)-BDk-cKP hierarchy also extends matrix hierarchies thatwere considered recently [6, 5, 7]. In particular, in contradistinction to (2+1)-dimensional k-cKP hierarchy, inscalar case the (2+1)-BDk-cKP hierarchy includes the Davey-Stewartson system (DS-I)

iut2 = uxx + uyy + Su, Sxy = −2(|u|2)xx − 2(|u|2)yy, (1)

with scalar functions u = u(x, y, t2), S = S(x, y, t2); new (2+1)-dimensional extensions of the modified KdVand other equations that generalize their analogues from (2+1) dimensional k-cKP hierarchy (see [8, 9]). Wealso propose dressing methods via Binary Darboux Transformations for the (2+1)-BDk-cKP hierarchy. Inparticular, we elaborate dressing methods for the (2+1)-dimensional modified KdV equation that (2+1)-BDk-cKP hierarchy contains.

References

[1] Yu.O. Mytropolsky, V.H. Samoilenko and Yu.M. Sidorenko, Spatially two-dimensional generalization ofKadomtsev–Petviashvili hierarchy with nonlocal constraints, Proceedings of NSA of Ukraine, 8, 19, (1999)

[2] A.M. Samoilenko, V.G. Samoilenko and Yu.M. Sidorenko, Hierarchy of the Kadomtsev–Petviashvili equations undernonlocal constraints: Many–dimensional generalizations and exact solutions of reduced systems, Ukr. Math. Journ.51 (1), 86 (1999)

[3] X.J. Liu, Y.B. Zeng and R. Lin, A new extended KP hierarchy, Phys. Lett. 372, 3819 (2008)[4] X.J. Liu, R. Lin, B. Jin and Y.B. Zeng, A generalized dressing approach for solving the extended KP and the extended

mKP hierarchy, J. Math. Phys. 50, 053506 (2009)[5] Y. Huang, X. Liu, Y. Yao and Y. Zeng, A new extended matrix KP hierarchy and its solutions, Theor. Math. Phys.

167 (2), 590 (2011)[6] W.-X. Ma, Commutativity of the extended KP flows, Sci. Num. Simulat. 16, 722 (2011)[7] Y.-H. Huang, Y.Q. Yao and Y.B. Zeng, A New (γA, σB)-Matrix KP Hierarchy and Its Solutions, Commun. Theor.

Phys. 57 (4), 515 (2012)[8] O.I. Chvartatskyi and Yu.M. Sydorenko, Matrix generalizations of integrable systems with Lax integro-differential

representations, J. Phys.: Conf. Ser. 411 , 012010 (2013),http://arxiv.org/abs/1212.3444

[9] O.I. Chvartatskyi and Yu.M. Sydorenko, A new bidirectional generalization of (2+1)-dimensional matrix k-constrained KP hierarchy, submitted to J. Math. Phys.http://arxiv.org/abs/1303.6510


SPECTRAL ANALYSIS OF ONE-DIMENSIONAL HIGH CONTRASTELLIPTIC PROBLEMS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

Shane Cooper

Fresnel Institute (France, Marseille)


The description of the effective behaviour of high-contrast periodic composites (“high-contrasthomogenisation”) has been of recent interest in the analysis and applied communities, particularly in thestudy of spectral behaviour of the related partial differential operators (PDO).

The analysis of high-contrast periodic PDO was first carried out in [1], where it was shown that theassociated spectra converge, as the period goes to zero, to the spectrum of a two-scale “homogenised operator”,whose form had been proposed earlier in [2]. A key component of the analysis of [1] is that the “matrix”component of the composite (where the coefficients of the PDO take higher values) forms a connected set.

I shall discuss a case where neither component of the composite forms a connected set. In particular,we analyse the behaviour of the spectrum of a family of one-dimensional high-contrast periodic differentialoperators, as the period goes to zero. The resolvent behaviour of such operators in the vanishing period limitalso differs notably from that of multi-dimensional models mentioned above.

References

[1] Zhikov, V. V., On an extension of the method of two-scale convergence and its applications, Sb. Math., 191(7)(2000), pp. 973–1014.

[2] Allaire, G., Homogenization and two-scale convergence, SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), pp. 1482–1518.

FREE BOUNDARY PROBLEM OF MAGNETOHYDRODYNAMICS

Elena Frolova

Electrotechnical University (Russia, St.Petersburg)


We consider the free boundary problem governing the motion of a finite isolated mass of a viscousincompressible electrically conducting capillary liquid. It is assumed that the liquid is contained in a boundedvariable domain Ω1t whose boundary consists of two disjoint components: the free boundary Γt and the fixedsurface Σ that ia also a boundary of the fixed domain D. The domain D ∪ Ω1t is surrounded by a boundedvacuum region Ω2t; Ω2t is bounded by Σ and the exterior surface S. It is assumed that S and Σ are independentof time, perfectly conducting closed surfaces such that Γt ∩ S = ∅, Γt ∩ Σ = ∅ . The problem consists ofdetermination of the variable domains Ωit, i = 1, 2, together with the velocity vector field v(x, t), the pressurep(x, t), x ∈ Ω1t, and the magnetic field H(x, t), x ∈ Ω1t ∪ Ω2t, from the following system:

vt + (v · ∇)v −∇ · T (v, p) −∇ · TM (H) = 0, ∇ · v = 0,

µ1Ht + α−1rotrotH − µ1rot(v ×H) = 0, ∇ ·H = 0, x ∈ Ω1t, t > 0,

rotvH = 0, ∇ ·H = 0, x ∈ Ω2t, t > 0,

v = 0, x ∈ Σ, t > 0,(T (vv, p) + [TM (H)]

)n = σnH, Vn = v · n,

[µH · n] = 0, [Hτ ] = 0, x ∈ Γt, t > 0,

H · n = 0, x ∈ S, t > 0,

H · n = 0, rotτH = 0, x ∈ Σ, t > 0,

v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω10, H(x, 0) = H0(x), x ∈ Ω10 ∪ Ω20,

where H is the doubled mean curvature of Γt, T (v, p) is the viscous stress tensor, TM (H) is the magneticstress tensor, Vn is the velocity of evolution of the surface Γt in the direction of the exterior normal n to Γt.

We assume that initial position of a free boundary is close to a sphere. Under the smallness assumptionson initial data, we prove solvability of this problem in an infinite time interval. We show that if t → ∞, thenthe solution tends to zero exponentially and the free boundary tends to a sphere of the same radius, but, in

general, of a different center. The solution is obtained in Sobolev-Slobodetskii spaces W2+l,1+l/22 , 1/2 < l < 1.

www.kromsh.info 63

References

[1] V.A. Solonnikov, E.V. Frolova Solvability of a free boundary problem of magnetohydrodynamics in an infinite timeinterval, Zap nauchn. sem. POMI 410(2013), 131-167.

NONLINEAR KINETIC EQUATIONS AND THE SCALING ASYMPTOTICBEHAVIOR OF THE EVOLUTION EQUATIONS FOR MARGINAL

OBSERVABLES

Viktor Gerasimenko

Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine


In the talk we consider an approach to the description of the kinetic evolution of many-particle systemswithin the framework of the marginal observables governed by the dual BBGKY hierarchy. Such approachgives an alternative description of the kinetic evolution of many-particle systems. The relationship of theevolution of marginal observables and the evolution of states described in terms of a one-particle marginaldistribution function (a one-particle marginal density operator in quantum case) governed by the nonlinearkinetic equation is established.

In particular, the mean field scaling asymptotics of a nonperturbative solution of initial-value problem ofthe dual quantum BBGKY hierarchy for marginal observables is constructed [1].

Moreover, the Boltzmann–Grad asymptotics [2] of a solution of the Cauchy problem of the dual BBGKYhierarchy with hard sphere collisions is constructed. We prove that the mean value functional of the constructedlimit additive-type marginal observables is equivalent to the mean value functional determined by a one-particlemarginal distribution function governed by the Boltzmann equation. In the general case of the limit k-ary-typemarginal observables the corresponding mean value functionals are equivalent to the mean value functionalsdetermined by the k times product of a one-particle marginal distribution function, i.e. the property of thepropagation of initial chaos takes place.

References

[1] V.I. Gerasimenko. Heisenberg picture of quantum kinetic evolution in mean-field limit. Kinet. Relat. Models, v.4,No.1, (2011), pp. 385–399.

[2] V.I. Gerasimenko. On the approaches to the derivation of the Boltzmann equation with hard sphere collisions. Proc.Inst. Math. NASU, v.10, No.2, (2013), pp. 71—95.

ASYMTOTIC BEHAVIOR AND ATTRACTORS FOR SYSTEMSDESCRIBING 2D VISCOELASTIC FLOWS

Natalia Karazeeva


Consider equations of motion of viscoelastic fluids of the type

∂

∂tv + v · ∇v − µ∆v −

t∫

0

K(t− τ )∆v(x, τ ) dτ + grad p = f(x, t) (1)

div v = 0 (2)

The kernel K is presented as exponential series

K(τ ) =

∞∑

s=1

βse−αsτ , αs, βs > 0. (3)

The system is considered in the bounded domain Ω ⊂ R2 with boundary ∂Ω ∈ C.

Consider initial boundary value problem

v(0) = v0; v(x, t)|x∈∂Ω = 0. (4)

Suppose that coefficients αs, βs satisfy conditions

∞∑

s=1

βs <∞, (5)


∞∑

s=1

βsαs <∞ (6)

Then initial boundary value problem (1), (2), (4) has unique solution v such that v, vt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)),moreover vx, vxt ∈ L2(QT )

The solution v satisfies the following estimate

‖v(t)‖22,Ω ≤ ‖v0‖2

2,Ωe−µ⋆t + C‖f‖2

2,Ω1

µ⋆. (7)

The semigroup of resolving operators Vt(v0) = v(x, t) is the semigroup of compact operators. This semigrouphas a compact attractor. This attractor is a connected set and it has finite Hausdorff dimension.

EVOLUTION EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER

Anatoly N. Kochubei

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine


Evolution equations with the Caputo-Dzhrbashyan fractional derivatives and their generalizations arewidely used in physics of disordered systems for the description of anomalous diffusion in media of fractalnature, for which the average square displacement of a diffusive particle grows, for large time, slower thanusual. The mathematical theory of such equations (see, in particular, [1-5]) is a modern extension of theclassical theory of parabolic partial differential equations. Our survey talk will include fractional analogs ofthe heat equation, fractional-parabolic and fractional-hyperbolic systems, equations with the distributed orderderivatives and their generalizations.

References

[1] S. D. Eidelman, A. N. Kochubei, Cauchy problem for fractional diffusion equations. J. Diff. Equat. 199 (2004),211–255.

[2] A. N. Kochubei, Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion, J. Math. Anal. Appl. 340 (2008),252–281.

[3] A. N. Kochubei, General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes, Integral Equat. Oper.Theory 71 (2011), 583–600.

[4] A. N. Kochubei, Fractional-parabolic systems, Potential Anal. 37 (2012), 1–30.[5] A. N. Kochubei, Fractional-hyperbolic systems, Fract. Calc. Appl. Anal. (to appear); ArXiv: 1209.3983.

MULTIPLICITY OF SOLUTIONS TO THE DIRICHLET PROBLEM FOR ANSUPERCRITICAL EQUATION WITH P -LAPLACIAN

Sergey Kolonitskii

Saint-Petersburg State University (Russia, Saint-Petersburg)


Consider a boundary problem

−∆pu = uq−1 in ΩR; u > 0 in ΩR; u = 0 on ∂ΩR, (1)

where ΩR = x ∈ Rn|R < |x| < R + 1, ∆pu = div

(|∇u|p−2∇u

)is a p-laplacian. Let p∗n be a critical Sobolev

embedding exponent, i.e. 1p∗n

=(

1p− 1

n

)

+.

Multiplicity effect for solution of problem (1) was considered in many articles, starting with [1]. The mostcomplete results are obtained in case p = 2. It was proved in [3, 2, 4] that for arbitrary 1 < p < ∞ andp < q < p∗n for any natural K there exists R0 = R0(n, p, q,K) such that for all R > R0 problem (1) has atleast K solutions that are nonequivalent up to rotations.

We prove the multiplicity of solutions to problem (1) for n > 4, n 6= 5 , 1 < p <∞ and p∗n 6 q < p∗n−1.

www.kromsh.info 65

References

[1] C.V.Coffman. A non-linear boundary value problem with many positive solutions // J. of Diff. Eq. V.54 (1984), P.429-437.

[2] A.I. Nazarov. The one-dimensional character of an extremum point of the Friedrichs inequality in spherical and planelayers. Probl. Math. Anal. 20 (2000), 171-190 (Russian). English transl. J. Math. Sci. 102 (2000), N5, 4473-4486.

[3] A.I. Nazarov. On solutions of the Dirichlet problem for an equation involving the p-Laplacian in a spherical layer.Proc. St.Petersburg Math. Soc. 10 (2004), 33-62 (Russian); English transl.: AMS Transl. Series 2. 214 (2005), 29-57.

[4] S.B. Kolonitskii. Multiplicity of solutions of the Dirichlet problem for an equation involving p-laplacian in a three-dimensonal annulus // Algebra and calculus, V.22, (2010) (Russian).

PARAMETRICES FOR THE MODIFIED KORTEWEG – DE VRIESEQUATION IN A MODULATED ELLIPTIC WAVE REGION

Minakov A.A.

Czech Technical University in Prague (Czech, Prague)


We consider the Cauchy problem for the modified Korteweg – de Vries equation on the line. The initial functionis a step-like function, that is it tends to some constants as x → ±∞. We study the asymptotical behaviorof the solution as t → ∞. Earlier in [1] we got the formula for the main term of the asymptotics in theregion of a modulated elliptic wave (−6c2 + ε)t < x < (4c2 − ε)t. It was obtained from the model Riemann– Hilbert problem, which was explicitly solved in terms of elliptic functions. Here we justify the transitionfrom the original Riemann – Hilbert problem to the model one. It is done due to the analysis of the so-calledparametrices, which are constructed explicitly in terms of the Airy function and its derivative.

References

[1] Kotlyarov V.P., Minakov A.A., Riemann–Hilbert problem to the modified Korteveg–de Vries equation: Long-timedynamics of the steplike initial data, J. Math. Phys. 51, 093506 (2010).

[2] Minakov A.A. Parametrices in long-time asymptotic analysis of step-like initial value problem for the modifiedKorteweg – de Vries equation, in preparation.

ON GLOBAL ATTRACTORS FOR AUTONOMOUS WAVE EQUATIONWITH DISCONTINUOUS NONLINEARITY

Paliichuk L.S.

Educational and scientific complex "Institute for applied system analysis"of National Technical University ofUkraine "Kyiv Polytechnic Institute"of NAS of Ukraine and MES of Ukraine (Ukraine, Kyiv)


We study the asymptotic behavior as time t tends to +∞ of the solutions of autonomous damped waveequation with discontinuous nonlinearity in a bounded domain Ω. Such object with continuous interactionfunction was considered by Ball [2]. In the nonautonomous case, results for the wave equation with non-smooth nonlinearity was obtained by Melnik, Kapustyan, Iovane [5]. In the case, when extension of interactionfunction allows the representation as maximum monotonous graph, such equations were studied by Zgurovsky,Kasyanov [11]. These investigations are based on the abstract theory of global attractors: its foundations werecreated by Ladyzhenskaya, Babin, Hale, Vishik, Temam and other well-known mathematicians [1], [4], [6], [8],[9]. Application the theory of global attractor to controlled process is presented in [11].

Consider the problem

utt + βut −u+ f(u) = 0,u|∂Ω = 0,

where β > 0 is a constant, u(x, t) is unknown state

function defined on Ω×R+. Interaction function f : R → R satisfies the standard growth and sign conditions;continuity of the interaction function is not required. For simplicity, we consider the scalar case of the problem.The conditions on the parameters of the investigated problem do not guarantee uniqueness of solution of thecorresponding Cauchy problem. We consider the case, when the discontinuous interaction function f canbe represented by a difference of monotone mappings; this is caused by the practical application such ascontrolled piezoelectric fields [7]. The global solvability of the Cauchy problem is obtained. On the basis of[10], the existence of analogues of a Lyapunov function for all weak solutions of the problem is proved. A prioriestimates for all weak solutions of the problem is deduced. Using the abstract theory of global attractors weprove the existence of an invariant compact global attractor for multivalued semiflow generated by all weak


solutions of the studied problem. Also the basic structural properties of attractor, such as behavior of thesolutions on this object, are investigated.

The report based on the results of joint work "On Global Attractors for Autonomous Damped WaveEquation with Discontinuous Nonlinearity"with N.V. Gorban, O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov [3]. Theresearch was partially supported by Grant of the President of Ukraine GP/F44/076 and Grant of NAS ofUkraine 2273/13 (0113U002978).

References

[1] Babin A.V., Vishik M.I., Attractors of Evolution Equations [in Russian], Moscow Nauka (1989), 293 p.[2] Ball J.M., Global attractors for damped semilinear wave equations, DCDS Vol. 10 (2004), pp. 31–52.[3] Gorban N.V., Kapustyan O.V., Kasyanov P.O., Paliichuk L.S., On Global Attractors for Autonomous Damped

Wave Equation with Discontinuous Nonlinearity, Continuous and Distributed Systems: Theory and Applications.Selected Works of Open Seminar Series of Lomonosov Moscow State University and National Technical Universityof Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute” Berlin Springer-Verlag (2013), pp. 183–196.

[4] Hale J.K., Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Math. Surveys Monogr., Amer.Math. Soc. Providence RIVol. 25 (1988), 198 p.

[5] Kapustyan A.V., Iovane G., Global Attractor for Non-Autonomous Wave Equation without Uniqueness of Solution,System Research and Information Technologies no 2 (2006), pp. 107–120.

[6] Ladyzhenskaya O., Attractors for Semigroups and Evolution Equations, Lezioni Lincee Cambridge Univ. PressCambridge (1991), 74 p.

[7] Liu Zh., Migorski S., Noncoercive Damping in Dynamic Hemivariational Inequality with Application to Problemof Piezoelectricity, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. B Vol. 9 no 1 (2008), pp. 129—143.

[8] Sell G.R., You Yu., Dynamics of Evolutionary Equations, New York Springer-Verlag (2002), 670 p.[9] Temam R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Appl. Math. Sci. New York

Springer-Verlag Vol. 68 (1988), xvi+500 p.[10] Zgurovsky M.Z., Kasyanov P.O., Zadoianchuk N.V., Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic

hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem, Applied Mathematics Letters Vol. 25 Iss. 10(2012), pp. 1569–1574.

[11] Zgurovsky M.Z., Kasyanov P.O., Kapustyan O.V., Valero J., Zadoianchuk N.V., Evolution Inclusions and VariationInequalities for Earth Data Processing III., Berlin Springer-Verlag (2012), 330 p.

HOMOGENIZATION OF SOME HYDRODYNAMICS PROBLEM

Gennadiy Sandrakov

Kyiv National Taras Shevchenko University (Ukraine, Kyiv)


Initial boundary value problems for nonstationary linearized equations of hydrodynamics and Navier-Stokesequations with periodic data rapidly oscillating with respect to the spatial variables are considered, when theoscillations are zero in mean. The problems are stated in bounded domains that are three-dimensional, forexample. The period of data oscillations is specified by a positive small parameter ε and a viscosity coefficientν in equations of the problems can be also considered as a positive parameter. We present estimates of solutionsof the problems, which are dependent on relations of certain powers of the parameters ε and ν. In generalcase, the presented estimates for velocity fields are actual whenever the viscosity coefficient ν is not too smallin comparison with ε2. If the condition is fulfilled, then the relevant solutions are small asymptotically in anenergy norm and it characterizes a "smoothing" property for these solutions. In the case, when the viscositycoefficient has order ε2, the suitable estimates are derived under assumption that a nonlinearity in equationsof the problems is "small" sufficiently. If the condition is fulfilled, then an asymptotics for velocity fields cancontain rapidly oscillating terms.

As an example, we remark a precise result. Let ε be a small positive parameter and (u, p) be a weaksolution of the initial-boundary value problem for nonstationary Navier-Stokes equations

u′t − ν∆u + u ·∇u + ∇p = Fε in Ω × (0, T ),

divu = 0 in Ω × (0, T ), (1)

u∣∣t=0

= 0 in Ω, u = 0 on ∂Ω × (0, T ),

where Fε = F (t, x, x/ε), F (t, x, y) ∈ L2(0, T ;L2(Ω;L∞per(Y )/R )n), Ω ⊂ Rn is a bounded domain with a

smooth boundary, T is a positive number, and 2 ≤ n ≤ 4. Here, a subscript per means 1-periodicity withrespect to y ∈ Rn and Y = [0, 1]n is a periodicity cell. Thus, by definition F (t, x, y) is 1-periodic in y,∫YF (t, x, y) dy = 0 for a. e. (t, x) ∈ (0, T ) × Ω, and the restriction of F (t, x, y) to Y is an element of

L2(0, T ;L2(Ω;L∞(Y ))n). Therefore, Fε is a rapidly oscillating vector function.

www.kromsh.info 67

Theorem. Let ∇x F ∈ L1(0, T ;L2(Ω;L∞per(Y )/R)n×n) and (u, p) is a solution of problem (1) (in accordance

with [1] and [2]). Then, there are positive ε0 and ν0 such that

‖ u ‖2L∞( 0,T ;L2(Ω)n) + ν ‖∇u ‖2

L2( 0,T ;L2(Ω)n×n) ≤ C ( ε2 + ε2 ν−1 ),

and

‖ p ‖W−1,∞(0,T ;L2(Ω)/R) ≤ C ( ε + ε2 ν−1−n/4 ),

where C is independent of ε and ν whenever 0 < ε ≤ ε0 and 0 < ν ≤ ν0.

Thus, if the viscosity is not too small, then the solutions are small and smooth in the example. Asymptoticand homogenization methods are used to prove of the theorem. Similar theorems for cases of linearizedequations of hydrodynamics and Navier-Stokes equations were proved in [3] and [4]. In particular, the resultsare applicable to some Kolmogorov flows.

References

[1] Temam R. Navier-Stokes equations, North-Holland, Amsterdam 1979; Russian transl., Mir, Moscow 1981.[2] Simon J. On the existence of the pressure for solution of the variational Navier-Stokes equations, J. Math. Fluid

Mechanics 1 (1999) 225-234.[3] Sandrakov G. V. The influence of viscosity on oscillations in some linearized problems of hydrodynamics, Izvestiya:

Math. 71 (2007), 97–148.[4] Sandrakov G. V. On some properties of solutions of Navier-Stokes equations with oscillating data, J. Math. Sciences

143 (2007), 3377–3385.

THE VLASOV–POISSON EQUATIONS AND CONTROLLED PLASMA

Alexander Skubachevskii

Peoples’ Friendship University of Russia, (Russia,Moscow)


We consider the first mixed problem for the Vlasov-Poisson equations in infinite cylinder, describingevolution of densities for ions and electrons in rarefied plasma with external magnetic field. We constructa stationary solution with densities of charged particles in interior cylinder. In a neighborhood of stationarysolution it is proved existence and uniqueness of classical solution with supports of densities of charged particleslocating at some positive distance from cylindrical boundary.

This work was supported by the RFBR (grant No. 12-01-00524).

HOMOGENIZATION OF ELLIPTIC SYSTEMS WITH RAPIDLYOSCILLATING COEFFICIENTS IN A BOUNDED DOMAIN

Tatiana Suslina

St. Petersburg State University (Russia, St. Petersburg)


Let O ⊂ Rd be a bounded domain of class C1,1. We consider an elliptic system

b(D)∗g(x/ε)b(D)uε − λuε = F

in O with the Dirichlet or Neumann boundary condition. Here F ∈ L2(O; Cn). An (m × m)-matrix-valued

function g(x) is bounded, uniformly positive definite and periodic with respect to some lattice Γ. Next,

b(D) =∑dj=1 bjDj is an (m × n)-matrix first order differential operator (bj are constant matrices). It is

assumed that m ≥ n and the symbol b(ξ) =∑dj=1 bjξj has maximal rank: rank b(ξ) = n for 0 6= ξ ∈ C

d.

It turns out that uε converges in L2(O; Cn) to u0, as ε→ 0. Here u0 is the solution of the "homogenized"

system

b(D)∗g0b(D)u0 − λu0 = F

in O with the boundary condition of the same type as in the initial problem. The effective matrix g0 is a constantpositive (m × m)-matrix defined as follows. Denote by Λ(x) the (n ×m)-matrix-valued periodic solution ofthe equation b(D)∗g(x)(b(D)Λ(x) + 1m) = 0 such that

∫Ω

Λ(x) dx = 0. Then g0 = |Ω|−1∫Ωg(x)(b(D)Λ(x) +

1m) dx. Here Ω is the elementary cell of the lattice Γ.

Theorem 1. We have the following sharp order error estimate:

‖uε − u0‖L2(O;Cn) ≤ Cε‖F‖L2(O;Cn). (1)


Now we give approximation of uε in the Sobolev space H1(O; Cn). For this, the first order corrector must

be taken into account.

Theorem 2. 1) Denote Λε(x) = Λ(ε−1x). If Λ ∈ L∞, then

‖uε − u0 − εΛεb(D)u0‖H1(O;Cn) ≤ Cε1/2‖F‖L2(O;Cn). (2)

2) In the general case, we have

‖uε − u0 − εΛεb(D)(Sεu0)‖H1(O;Cn) ≤ Cε1/2‖F‖L2(O;Cn). (3)

Here u0 = POu0 and PO : H2(O; Cn) → H2(Rd; C

n) is a continuous extension operator, Sε is the Steklovsmoothing operator defined by (Sεu)(x) = |Ω|−1

∫Ω

u(x − εz) dz.

We use the results of M. Birman and T. Suslina for homogenization problem in Rd: the analogs of estimates

(2), (3) in Rd are of sharp order ε. The problem is reduced to estimation of the "boundary layer correction

term" wε, which is the solution of the homogeneous equation b(D)∗g(x/ε)b(D)wε−λwε = 0 with appropriate

boundary condition. We show that the norm of wε in H1 satisfies estimate of order ε1/2. This leads to (2),(3). At the same time, the norm of wε in L2 is of order ε, this allows us to prove sharp order estimate (1).

Theorem 1 was proved in [2] for the Dirichlet problem and in [3] for the Neumann problem. Theorem 2 wasobtained in [1] for the Dirichlet problem and in [3] for the Neumann problem.

References

[1] M. A. Pakhnin and T. A. Suslina, Operator error estimates for homogenization of the elliptic Dirichlet problem ina bounded domain, Algebra i Analiz, 24 (2012), no. 6, 139–177; English transl., St. Petersburg Math. J., 24 (2013),no. 6, to appear.

[2] T. A. Suslina, Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: L2-operator error estimates,Mathematika 59 (2013), no. 2, 463–476.

[3] T. A. Suslina, Homogenization of the Neumann problem for elliptic systems with periodic coefficients, submitted toSIAM J. Math. Anal. Preprint (2012) available at http://arxiv.org/abs/1212.1148

www.kromsh.info 69

Секция 7. Геометрия и топология

СЛОЕНИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

Болотов Д. В.

ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАНУ (Украина, Харьков)


Пусть F – слоение коразмерности один класса C2 на замкнутом римановом многообразии Mn. Ска-жем, что F является слоением неотрицательной кривизны (неотрицательной кривизны Риччи), есливсе слои имеют неотрицательную секционную кривизну (неотрицательную кривизну Риччи) в индуциро-ванной метрике. В [1] описывается топологическая структура таких слоений. В частности, доказывается,что слоения неотрицательной кривизны Риччи являются слоениями почти без голономии.

Следующая теорема является слоеным аналогом теоремы Чигера – Громолла о том, что замкну-тое многообразие неотрицательной кривизны Риччи является плоским тогда и только тогда, когда оноявляется асферическим (см. [2]).

Теорема 1. Пусть F является C2 - слоением коразмерности один неотрицательной кривизны Риччина замкнутом римановом многообразии Mn . Тогда слоение F является плоским тогда и только тогда,когда Mn асферично.

Основная идея доказательства заключается в исследовании топологии блоков, на которые разбивает-ся многообразие конечным числом компактных слоев. В частности, оказывается, что фундаментальнаягруппа блоков должна быть виртуально абелевой, а фундаментальная группа самого многообразия –виртуально полициклической. При этом удается показать, что асимптотическая размерность фундамен-тальной группы многообразия максимальна тогда и только тогда, когда само многообразие асферично,а слоение является плоским.

В [3] Г. Штак сформулировал следующий вопрос : допускает ли сфера S2n+1 слоение коразмерностиодин неотрицательной кривизны?

Известно, что слоение Риба на стандартной сфере S3 является является слоением неотрицательнойкривизны. В [1] нами было показано, что для S5 ответ на данный вопрос отрицательный. Следующаятеорема полностью отвечает на вопрос Г. Штака.

Теорема 2. Многообразие гомеоморфное S2n+1 (n > 1) не допускает C2 - слоения коразмерности одиннеотрицательной кривизны .

В доказательстве существенно используется топология некомпактных слоев, описанная в [2], а также топологическая структура блоков, исследованная автором.

Автор выражает благодарность профессору А. А Борисенко за плодотворные обсуждения и вниманиек работе.


[1] Д. В. Болотов, Топология слоений коразмерности 1 неотрицательной кривизны, Матем. сб., 204:5 (2013),3–24.

[2] J. Cheeger, D. Gromol, On structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Ann. Math, 96 (1972), 413–443.[3] G. Stuck, Un analogoue feuillete du theoreme de Cartan-Hadamard, C.R. Acad. Sci. Paris, 313:8 (1991), 519–522.


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ СПРОИЗВОДНЫМИ В СРЕДНЕМ

Гликлих Ю.Е.



Понятие проиводной в среднем было введено Э. Нельсоном в 60-х годах ХХ века для нужд такназываемой стохастической механики (вариант квантовой механики). Позже было найдено много другихприложений уравнений и включений с производными в среднем в других разделах математическойфизики и в других науках. Включения с производными в среднем возникают в задачах с управлениемили в случае движения в сложных средах.

Классические производные в среднем по Нельсону (справа, слева, симметрические и т.д.) дают инфор-мацию о сносе стохастического процесса, если это диффузионный процесс или процесс диффузионноготипа. Позже, на основании некоторорой модификации одной из идей Нельсона, нами была введена новаяпроизводная в среднем, названная квадратичной, которая отвечает за коэффициент диффузии процессав тех же случаях. После этого стало в принципе возможно найти процесс по заданным производным всреднем (например, по производной справа и квадратичной производной). При этом не предполагается,что указанный процесс является диффузионным процессом или процессом диффузионного типа. Такимобразом, решения уравнений и включений с производными в среднем ищутся в более широком классепроцессов, по сравнению с решениями обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений.

Отметим, что естественным аналогом физической скорости детерминированного процесса являетсятак называемая текущая скорость (симметрическая производная в среднем). Также следует отметить,что в математической физикие задействованиы различные варианты вторых производных в среднем.

В лекции дается краткое введение в теорию уравнений и включений с производными в среднем иследующие их приложения:

• Механические системы со случайными возмущениями и с управлением.• Описание движения неслучайной вязкой жидкости посредством уравнений с производными в сред-

нем на группах диффеоморфизмов.• Существование решений для уравнений стохастической механики (вариант квантовой механики)

в линейных пространствах, на римановых многообразиях и на пространствах-временах теории относи-тельности.

• Описание движения квантовой частицы в классическом калибровочном поле на языке стохастиче-ской механики.

• Существование решений уравнений и включений с текущими скоростями.• Описание измерения динамически искаженных сигналов с помехами.• Существование оптимальных решений для некоторых классов включений с производными в среднем

и некоторых функционалов качества.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00183).

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯГРАДИЕНТНО-ПОДОБНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ НА

3-МНОГООБРАЗИЯХ

Гринес В.З.

Нижегородский государственный университет (Россия, Нижний Новгород)


Следуя идеям А. М. Ляпунова, К. Конли ввел в 1978 году понятие функции Ляпунова для динами-ческой системы.

Функцией Ляпунова для динамической системы f t (f), заданной на многообразии Mn называетсянепрерывная функция ϕ : Mn → R такая, что

(1) ϕ(f t(x)) < ϕ(x) (ϕ(f(x)) < ϕ(x)) для любой точки x вне цепно рекуррентного множества илюбого t > 0;

(2) ϕ является константой cj на каждой цепной компоненте Kj и ci 6= cj , если i 6= j;(3)

⋃j∈J

cj — компактное нигде не плотное подмножество R.

www.kromsh.info 71

К. Конли доказал существование непрерывной функции Ляпунова у любой динамической системы иэтот результат получил название фундаментальной теоремы динамических систем.

Если динамическая система является структурно устойчивой, то множество ее цепно рекуррент-ных точек совпадает с неблуждающим множеством. Если при этом неблуждающее множество потокасостоит лишь из неподвижных точек и периодических траекторий (такой поток называется потокомМорса-Смейла), то согласно С. Смейлу (1961) и К. Мейеру (1968) для него существует так называемаяэнергетическая функция, то есть функция Ляпунова, являющаяся функцией Морса-Ботта, множествокритических точек которой совпадает с неблуждающим множеством потока. Для дискретной динамиче-ской системы, этот результат, вообще говоря, не имеет места. В 1977 году Д. Пикстон предъявил примерструктурно устойчивого диффеоморфизма трехмерной сферы, не обладающего энергетической функци-ей. При этом неблуждающее множество рассматриваемого диффеоморфизма состоит из четырех точек:двух стоков одного источника седловой неподвижной точки. Обнаруженный феномен связан с дикимвложением инвариантных многообразий седловой неподвижной точки.

Напомним, что множество градиентно-подобных диффеомофизмов на 3-многообразиях совпадает смножеством диффеоморфизмов Морса-Смейла, для которых двумерные и одномерные инвариантныемногообразия различных седловых периодических точек не имеют пересечений.

Настоящий доклад посвящен формулировке необходимых и достаточных условий существованиясамоиндексирующейся энергетической функции для градиентно-подобных диффеоморфизмов на 3-многообразиях. Одним из требований, в частности, является отсутствие дико вложенных сепаратрисседловых периодических точек.

Сформулированные результаты были получены сравнительно недавно автором доклада совместно сО.В. Починкой и Ф. Лауденбахом. Сопутствующая информация и подробное изложение содержится вкниге [1] и статьях [2], [3].

Одним из приложений существования энергетической функции является обнаружение взаимосвязимежду динамикой исходного диффеоморфизма и структурой многообразия, на котором он задан.

Пусть градиентно-подобный диффеоморфизм заданый на замкнутом гладком ориентируемом 3-

многообразии M3 обладает самоиндексирующейся энергетической функцией. Положим gf =rf−lf+2

2,

где rf (lf ) число седловых (узловых) периодических точек диффеоморфизма f . Тогда многообразие M3

допускает разложение Хегора рода gf .Исследования частично поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты

12-01-00672-а, и 13-01-12452-офи-м).


[1] В.З. Гринес, О.В. Починка. Введение в топологическую классфикацию каскадов на многообразиях размерно-сти два и три. Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2011, 424 с.

[2] В.З. Гринес, Ф. Лауденбах, О.В. Починка. Динамически упорядоченная энергетическая функция для диф-феоморфизмов Морса–Смейла на 3-многообразиях. Тр. МИАН, 2012, том 278, 34–48.

[3] В.З. Гринес, О.В. Починка. Каскады Морса–Смейла на 3-многообразиях. УМН, 2013, том 68, выпуск 1(409),129–188.

ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИНА ПЛОСКОМ N-МЕРНОМ ТОРЕ В ТЕРМИНАХ ПРОИЗВОДНЫХ В

СРЕДНЕМ

Залыгаева М.Е.



В рамках лагранжева подхода к гидродинамике нами исследуется анизотропная вязкая жидкость. За-метим, что данный подход был предложен В.И. Арнольдом, Д. Эбином и Дж.Марсденом (см. [1]) и былреализован в последующих работах Ю.Е. Гликлиха (см. [2]). Здесь мы обобщим некоторые полученныев них результаты. Используя аппарат производных в среднем по Нельсону, мы предложим специальноестохастическое описание движения вязкой несжимаемой жидкости на плоском n-мерном торе Tn, у ко-

торой вязкий член имеет вид дифференциального оператора второго порядка B = 12Bij ∂2

∂xi∂xj , причемон будет зависеть от временной переменной t. Через Ds

µ(Tn) мы обозначим группу соболевских Hs-диффеоморфизмов тора Tn, где s > n

2+ 1. Пусть g(t) - геодезическая связности Леви-Чивита слабой

римановой метрики на Dsµ(Tn). Введем в рассмотрение векторное поле uω(t), удовлетворяющее соотно-

шению gω(t) = uω(t, gω(t)) и построим векторное поле U(t,m) = E(uω(t,m−Bw(t))).Теорема 1. Векторное поле U(t,m) удовлетворяет следующему аналогу уравнения Навье-Стокса

∂U(t,m)

∂t+ (U(t,m) · ∇)U(t,m) − BV (t,m) − gradp = 0.



[1] Ebin D.G., Marsden J., Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid, Annals of Math., 92,No. 1, (1970), 102-163.

[2] Gliklikh Yu.E., Solutions of Burgers, Reynolds, and Navier-Stokes equations via stochastic perturbations of inviscidflows, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, vol. 17, No. Supplementary Issue 1, (2010), 15-29.

ОБОБЩЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Зелинский Ю. Б.

Институт математики НАНУ (Украина, Киев)


1. Гомологические характеристики обобщенно выпуклых множеств. Известны точные оценки сверхуразмерности ненулевых групп обобщённо выпуклых множеств. Неизвестны примеры линейно выпуклыхмножеств, для которых промежуточные группы равны нулю. В частности интересен давно стоящийвопрос: можно ли гомеоморфно и линейно выпукло вложить двумерную сферу в двумерное комплексноепространство?

2. Вопросы аппроксимации линейно выпуклых множеств множествами такого же класса, но с глад-кими или почти гладкими границами.

3. Описание сильно линейно выпуклых компактов через их экстремальные и обозримые точки гра-ницы.

4. Задача о тени. Какое минимальное число попарно непересекающихся шаров с центрами на сфереSn−1 достаточно чтобы любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекала хотя бы один из этихшаров?

5. Описание свойств кривых и поверхностей по некоторым характеристикам их пересечений с алгеб-раическими кривыми и поверхностями фиксированного порядка.

6. Строение гиперпространства линейно выпуклых множеств и плотных в нем подмножеств. Здесьжелательны результаты, похожие на исследования Л. Базилевич [3], но трудность комплексного случая,в отличие от вещественного анализа, в нелинейной структуре таких гиперпространств.


[1] Зелинский, Ю.Б., Многозначные отображения в анализе, Наукова думка, Киев (1993), 264c.[2] Зелинский, Ю.Б., Выпуклость. Избранные главы, Труды института математики НАНУ, т.92, Киев (2012),

280c.[3] Базилевич, Л.Е., Топология гиперпространства выпуклых тел постоянной ширины, Матем. заметки, 62,

6 (1997), С.813—819.

УПЛОЩАЮЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛНОГО ЛИФТАИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО КОНЦИРКУЛЯРНОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОТНОСИТЕЛЬНО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЛИФТААФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

Зубрилин К.М.

ФПИ НУК им. адм. Макарова (Украина, Феодосия)


Изучение лифтов инфинитезимальных преобразований восходит к работам K. Yano и S. Ishihara ([1],[2]). В работах С. Г. Лейко геометрическая природа полного лифта инфинитезимального преобразова-ния была освещена в рамках теории уплощенных отображений. А именно, С. Г. Лейко рассматриваетуплощенные инфинитезимальные преобразования (так называемые r-г.и.п.). С этой точки зрения имполучено полное описание уплощающих свойств полного лифта инфинитезимального конциркулярногопреобразования, относительно связности полного лифта, для касательного расслоения первого порядка([3]). Случай касательного расслоения второго порядка рассмотрен в работе [4].

Данная работа посвящена изучению уплощающих свойств полного лифта инфинитезимального кон-циркулярного преобразования. Касательное расслоение рассматривается как аффинно-связное про-странство со связностью горизонтального лифта. Ввиду того, что горизонтальный лифт аффинной связ-ности представляет собой аффинную связность на касательном расслоении с нетривиальным кручением,

www.kromsh.info 73

потребовалось распространить понятие Е-лифта, введенное в работе [5] для тензорного поля типа (1,1),на случай тензора произвольного типа. Роль, которую играет Е-лифт в ковариантном дифференциро-вании относительно связности горизонтального лифта, иллюстрируют полученные свойства.

Теорема 1. Пусть X – инфинитезимальное конциркулярное преобразование, описываемое уравнения-ми LXg = ag и ∇2a = ϕg. Тогда полный лифт XC , относительно связности горизонтального лифта∇H , обладает следующими уплощающими свойствами

(1) XC является 1-каноническим 2-г.и.п. тогда и только тогда, когда φ = 0.(2) XC является 2-каноническим 3-г.и.п. тогда и только тогда, когда φ = const 6= 0.(3) XC является 3-каноническим 4-г.и.п. тогда и только тогда, когда φ = eψ, где функция ψ

удовлетворяет условию

S(2∇2ψ ⊗∇2ψ −∇ψ ⊗∇3ψ

)= 0.

(4) В общем случае, XC является 4-каноническим 5-г.и.п.


[1] K. Yano, S. Ishihara, Tangent and cotangent bundles. Differential geometry, New York: Marcel Dekker (1973), 434p.[2] K. Yano, S. Ishihara, Differential geometry of tangent bundles of order 2, Kodai Math. Semin. Repts. Vol. 20, No.

3 (1968.), P. 318-354.[3] С. Г. Лейко, Р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные кон-

циркулярными преобразованиями базисного многообразия, Известия вузов.Математика. 6 (1998), C. 35-45..[4] К. М. Зубрилин, Р - геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях второго порядка,

индуцированные конциркулярными преобразованиями баз, Український математичний журнал Т. 61, 3(2009), C. 346-364.

[5] К. М. Зубрiлiн, Р-геодезичнi дифеоморфiзми дотичних розшарувань iз зв’язнiстю горизонтального лiфта,iндукованi геодезичними (проективними) дифеоморфiзмами баз, Прикладнi проблеми механiки i математикиВип. 6 (2008), C. 48-60.

ГЕЛИКОИДЫ ДИНИ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Костин А.В.

ЕФ КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева (Россия, Елабуга)


В работе рассматриваются различные аналоги геликоида Дини в трёхмерном псевдоевклидовом про-странстве.

Приведём один из примеров. В трёхмерном пространстве Минковского с метрикой

ds2 = dx2 + dy2 − dz2

рассмотрим поверхность

x =a(sinhu− arctan (sinhu)) + b · vy =a coshu sinhv

z =a coshu coshv

Эта поверхность получена гиперболическим винтовым движением, то есть гиперболическим враще-нием с осью Ox и переносом вдоль этой оси одной из псевдоевклидовых трактрис.

При b = 0 имеем чистое вращение. В этом случае на поверхности индуцируется индефинитная мет-

рика постоянной положительной кривизны1

a2[1], [2]. В общем случае ситуация будет аналогичной,

отличающейся лишь величиной кривизны.Первая квадратичная форма поверхности имеет вид:

I = −a2 tanh2u du2 + 2ab tanhu sinhu dudv + (a2 cosh2u+ b2) dv2.

Поверхность допускает однопараметрическую группу изометрий и может быть изометрично отображенана поверхность вращения, параллелями которой будут орбиты однопараметрической группы.

Найдя вторую квадратичную форму поверхности, убедимся, что кривизна поверхности постоянна.Действительно,

II =a2 tanhu√a2 + b2

(du)2 − 2ab sinhu√a2 + b2

dudv − a2 sinhu coshv√a2 + b2

(dv)2.

Отсюда, учитывая выражение гауссовой кривизны поверхности с индефинитной метрикой через дис-криминанты первой и второй квадратичных форм, получим:

K =h

g=

1

a2 + b2


Таким образом, на винтовой поверхности также индуцируется метрика плоскости де Ситтера, или мет-рика идеальной области плоскости Лобачевского.

Ребро поверхности будет эквидистантой эллиптической прямой плоскости де Ситтера. Оно удале-

но от эллиптической прямой на расстояние i√a2 + b2 · arctanh

a√a2 + b2

. Следует отметить, что самой

эллиптической прямой среди винтовых орбит нет.


[1] Костин А.В., Поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве, Движения вобобщённых пространствах, Пенза(2002), с.111-126.

[2] Костин А.В., Регулярность асимптотических линий на псевдосферах де Ситтера, Тезисы Международнойконференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвящённой 100-летию со дня рождения академикаА.Д. Александрова, Новосибирск(2012), с.48-49

О ПЕДАЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ В ДВУМЕРНЫХПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Костина Н.Н., Костин А.В., Матвеев С.Н.

ЕФ КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Россия, Елабуга), НИСПТР (Россия, Набережные Челны)

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Педальным треугольником точки M относительно треугольника ABC называется треугольник, об-разованный проекциями точки M на стороны треугольника ABC. На евклидовой плоскости педальныйтреугольник точки M относительно треугольника ABC вырожден тогда и только тогда, когда точка Mпринадлежит описанной окружности треугольника ABC [1]. В [2] доказывается аналогичная теоремадля треугольников на плоскости Минковского. Для треугольников на эллиптической и гиперболическойплоскостях это утверждение уже не имеет места. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно рассмот-реть вписанный равнобедренный треугольник ABC с углом A, опирающимся на диаметр. Пусть точкаO является центром описанной окружности, и луч AO пересекает окружность в точке D. Тогда на от-крытом луче AO в обеих геометриях найдётся единственная точка M , педальный треугольник которойотносительно треугольника ABC вырожден (в сферической геометрии этим свойством будут обладатьдве диаметрально противоположные точки). На эллиптической плоскости эта точка будет лежать внут-ри отрезка OD, так как угол ACD – тупой, на плоскости Лобачевского – вне отрезка OD, так как уголACD в этом случае будет острым. Нетрудно доказать следующее утверждение:

Теорема 1. На гиперболической плоскости линия γ, для точек которой педальный треугольник от-носительно треугольника ABC вырождается, является линией третьего порядка, проходящей черезвершины треугольника ABC (порядок кривой на гиперболической плоскости определяется в проектив-ной модели).

Этот вопрос, как впрочем и другие «педальные» свойства гиперболических многоугольников, целесо-образно изучать на расширенной гиперболической плоскости. В данной задаче это мотивируется ещё итем, что кривая γ может содержать бесконечно удаленные и идеальные точки и в том случае, когда тре-угольник ABC содержит только собственные точки. При рассмотрении треугольников на расширеннойплоскости Лобачевского порядок кривой γ можно определить эвристическими рассуждениями.

Утверждение, аналогичное теореме 1, будет иметь место и для треугольников на эллиптической плос-кости.


[1] Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией, М. Наука (1978).[2] Костина Н.Н., Вырождение педального треугольника на плоскости Минковского, Дни геометрии в Новоси-

бирске 2013, Тезисы Международной конференции. Новосибирск: Институт математики им. С.Л. СоболеваСО РАН (2013), с.53-54.

www.kromsh.info 75

НОВАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ТЕКУЩИМИ

СКОРОСТЯМИ

Макарова А.В.



Рассмотрим случайный процесс ξ(t) на вероятностном пространстве (Ω,F ,P) со значениями в Tn-

плоском n-мерном торе. Tn локально изометричен R

n. Обозначим через Eξt условное математическоеожидание относительно σ-подалгебры σ-алгебры F , порождённой прообразам борелевских множествпри отображении ξ(t) : Ω → T

n. Введём следующие понятия: Пустьv, α –многозначные отображенияиз [0, T ] × T

n в Rn и во множество симметрических неотрицательно определённых квадратных матриц

размера n× n. Дифференциальным включением с текущими скоростями назовем систему вида:DSξ(t) ∈ v(t, ξ(t)),D2ξ(t) ∈ α(t, ξ(t)).

(1)

Подробное описание имеется в [1]. В [2] и в [3] можно посмотреть подробное описание всех техниче-ских конструкций, используемых далее. Обозначим T−(n) – множество нижнетреугольных матриц по-рядка n, с нулями на диагонали. Пусть L0(n) – линейное пространство в R

n состоящее из векторовX = (X1, . . . ,Xn) таких, что X1 + · · ·+Xn = 0. Обозначим через SLC множество симметрических поло-жительно определенных матриц с постоянным (C > 0) определителем. Введём гладкое отображение LC :

SLC → L0, которое переводит симметрическую матрицу α ∈ SLC в LC(α) = (log√δ1√C, . . . , log

√δn√C

) ∈ L0(n)

. Заметим, что T−(n) и L0(n) линейные пространства, т.е. понятие выпуклого множества корректно вних.

Условия 1. (i)Многозначное (2, 0) – тензорное поле α на Tn принимает значения в SLC ;оно автоном-

но и полунепрерывно снизу.(ii)Значения α являются замкнутыми и равномерно ограниченными.(iii)Для любого m ∈ T

n множество T (α(m)) (смотри[3]) выпукло в T−(n) и множество L(α(m)) (смотри[3]) выпукло в L0(n) Справедливо следующее утверждение:Теорема 1. Пусть v(t,m) – многозначное векторное поле на T

n, t ∈ [0;T ], у которого существуетгладкое сечение, и α(m) – многозначное (2, 0) – тензорное поле, которое удовлетворяет Условию 1.Пусть также ξ0 – случайный элемент со значениями в T

n, плотность вероятности ρ0 которого от-носительно евклидовой формы объёма ΛE гладкая и нигде не обращается в нуль. Тогда для начальногоусловия ξ(0) = ξ0 включение (1) имеет решение на всём интервале t ∈ [0; T ].


[1] Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics London: Springer-Verlag,2011.- 460 p.

[2] Azarina S.V., Gliklikh Yu.E. Diferential inclusions with mean derivatives, Dynamic Systems and Applications Vol.16, No. 1 (2007) 49-71

[3] Гликлих Ю.Е., Макарова А.В. Теорема существования решений для стохастических дифференциальныхвключений с текущими скоростями Научные ведомости Белгородского государственного университета. Ма-тематика Физика. Т. 17(136).- Вып. 28 (2012) 5-15

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА НАРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Машков Е.Ю.

Курский государственный университет (Россия, Курск)


Пусть на евклидовом пространстве Rn заданы матрицы L(x) и M(x) определенного класса гладко-

сти, где x ∈ Rn, detM(x) 6= 0, detL(x) = 0, L(x) имеет постоянный ранг и размерность образа R

n

при действии на нем L(x) постоянна. Рассмотрим пучок λ L(x) + M(x), где λ скалярный параметр [1].Зафиксируем на R

n винеровский процесс w(t).Рассмотрим уравнение

L(ξ(t))ξ(t) =

t∫

0

M(ξ(s))ξ(s)ds+ w(t) (1)


которое является обобщением стохастического уравнения леонтьевского типа [2], t ∈ (0;T ] и ξ(0) = 0.Пусть степень многочлена Q(x, λ) = det(λ L(x) + M(x)) = ad(x)λd + ... + a1(x)λ + a0(x) постоянна.

Тогда в достаточно малой окрестности каждой точки x ∈ Rn (т. е. в касательном пространстве в каждой

точке x ) существуют невырожденные матрицы P (x) и Q(x) ([1]) такие, что

P (x)(λ L(x) +M(x))Q(x) = λ

(Ed 00 N(x)

)+

(J(x) 0

0 En−d

).

При таком преобразовании всего пространства Rn винеровский процесс w(t) перейдет в процесс

P (x)w(t) в касательном пространстве в каждой точке x. Рассмотрим автономное гладкое поле невы-рожденных линейных операторов P (x) : R

n −→ Rn, x ∈ R

n. Введем на Rn новую риманову метрику,

задаваемую полем матриц (P (x)P ∗(x))−1. В новой метрике процесс P (x)w(t) во всех касательных про-странствах будет винеровским ([2]) и уравнение (1) примет вид

(Ed 00 N(ξ(t))

)ξ(t) =

t∫

0

(J(ξ(s)) 0

0 En−d

)ξ(s)ds+w(t). (2)

Теорема 1. На отрезке (0; T ] уравнение (2) имеет единственное решение.


[1] Чистяков В. Ф., Щеглова А. А., Избранные главы алгебро-дифференциальных систем, Новосибирск "Нау-ка"(2003), 320 с.

[2] Гликлих Ю. Е., Машков Е. Ю., Стохастические уравнения леонтьевского типа и производные в среднемслучайных процессов, Вестник ЮУрГУ Том 6, 2 (2013), с.25-40.

ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ, ТИПА НЕША-МОЗЕРА, ВПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ

Покутный А.А.



Доклад посвящен изучению нелинейного уравнения в пространствах Фреше

F(x, h) = 0, (1)

в предположении, что его можно привести к виду

Bx = R(x, h), R(0, 0) = 0, Rx(0, 0) = 0, (2)

где B = −Fx(0, 0) имеет нетривиальное подпространство нулей N(B), то есть не выполняются условиятеоремы про неявную функцию [1, 2, 3]. Задача состоит в нахождении такого решения x = x(h), которое,при h = 0, совпадает с одним из решений порождающего уравнения Bx = 0, определенного и непре-рывного в окрестности этого порождающего решения. Эта задача может быть решена с использованиемуравнения для порождающих элементов

F (c) = PN(B∗)R(PN(B)c, 0) = 0, (3)

и оператора B0 = PN(B∗)lPN(B), где l = Rx(PN(B)c, 0); PN(B), PN(B∗) - проекторы на ядро оператора Bи его сопряженного B∗. Основной результат доклада можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Пусть выполнены условия:1. B0 - обобщенно-обратимый оператор [4];2. PN(B∗

0 )PN(B∗) = 0.

Тогда, для произвольного элемента c = c0, удовлетворяющего уравнению (3), существует непрерыв-ное решение x(h) уравнения (2). Это решение можно найти при помощи итерационного процесса

yk+1(h) = PN(B)ck(h) + yk(h),

ck+1(h) = −B−0 PN(B∗)R(yk(h), h) + lyk(h),

yk+1(h) = G[yk(h)],

R(yk(h), h) = R(PN(B)c0 + yk(h), h) −R(PN(B)c0, 0) − lyk(h),

xk(h) = PN(B)c0 + yk(h), x(h) = limk→∞

xk(h),

G[yk(h)] = B−R(PN(B)c0 + yk(h), h),

F (c0) = PN(B∗)R(PN(B)c0, 0) = 0,

который сходится для произвольных начальных значений y0(h), c0(h), y0(h); здесь B−, B+0 – обобщенно-

обратные операторы к B,B0 соответственно [4].

www.kromsh.info 77

Устанавливается связь между уравнением (3) и условиями 1, 2 теоремы.


[1] Nash J. The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. Math., 63 (1956), 20 – 63 p.[2] Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci.

USA, 47 (1961), 1824 – 1831 p.[3] Hamilton R.S. The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 7 (1982), 65–222

p.[4] Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized Inverse Operators and Fredholm Boundary-Value Problems, VSP,

Utrecht–Boston, (2004), 317 p.

КОМБИНАТОРНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И РАЗБИЕНИЯ ГРУПП

Протасов И.В.

КНУ (Украина, Киев)


Речь пойдет о Задаче 13.44 из [1], поставленной автором в 1995 году.Для любого разбиения произвольной группы G на конечное число подмножеств G = A1 ∪ . . . ∪ An

найдется такое подмножество разбиения Ai и такое конечное подмножество F ⊆ G, что G = FAiA−1i

[2]. Всегда ли можно выбрать F и Ai так, что G = FAiA−1i и F ≤ n?


[1] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Новосибирск, 1995.[2] И.В. Протасов. Ультрафильтры и топологии на группах, Сиб. Мат. ж., 34, 5 (1993), 163–180.

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЕМОВ В ПРОСТРАНСТВАХПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Сабитов И. Х.

МГУ им. М.В.Ломоносова (Россия, Москва)


Целью доклада является перенесение в сферическое и гиперболическое пространства известной вевклидовом случае формулы объема VD тела D

∫

∂D

∫xdy ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy = 3VD,

где x, y, z – компоненты радиус-вектора точек на границе тела.Мы рассматриваем представления n-мерных пространств постоянной кривизны моделью Пуанкаре c

метрикой

ds2 =1

(1 + ar2)2(dx2

1 + ...+ dx2n),

где r2 = x21 + ... + x2

n и коэффициент a является некоторой постоянной. Значения a = 0, a > 0 и a < 0дают соответственно евклидово, сферическое и гиперболическое пространства с кривизной K = 4a;область определения B этой метрики соответственно - все пространство R

n, расширенное пространствоR

n и открытый шар r2 < R2 = −1a

. Рассмотрим в B произвольное компактное тело D, ограниченноекусочно-гладкой поверхностью ∂D. Тогда

VD =

∫

∂D

n∑

i=1

((−1)i−1xiFn(r)

rn

)dx1 ∧ ...dxi... ∧ dxn,

где функция Fn(r) определяется интегралом Fn(r) =

r∫

0

tn−1

(1 + at2)ndt, а запись dxi означает, что диффе-

ренциал dxi пропускается.В модели Пуанкаре n-мерного пространства Лобачевского в верхнем полупространстве xn > 0 с

метрикой

ds2 =dx2

1 + ...+ dx2n

−Kx2n


для объема тела верна более простая формула

VD =1

(−K)n/2

∫

D

dx1 ∧ ... ∧ dxnxnn

=1

(n− 1)(−K)n/2

∫

∂D

(−1)ndx1 ∧ ... ∧ dxn−1

xn−1n

.

Будут даны и некоторые приложения этих формул.Работа поддержана грантом Правительства РФ 11.G 34.31.0053.

О МНОГОГРАННИКАХ С СИММЕТРИЧНЫМИ ИНЕСИММЕТРИЧНЫМИ ГРАНЯМИ

Субботин В.И.

ЮРГТУ(НПИ) (Россия, Новочеркасск)


Будем говорить, что ось симметрии замкнутого выпуклого многогранника в трёхмерном евклидовомпространстве проходит через грань многогранника, если она перпендикулярна этой грани. Грань, черезкоторую проходит ось симметрии многогранника будем называть симметричной; в противном случае —несимметричной. Симметричную грань F многогранника будем называть изолированной, если все грани,входящие в звезду F , т.е.соседние с F по ребру, несимметричны. Если в многограннике каждая симмет-ричная грань изолирована, то будем говорить, что замкнутый выпуклый многогранник в трёхмерномевклидовом пространстве является многогранником с изолированными симметричными гранями Ранее[1] автором были рассмотрены многогранники с изолированными несимметричными гранями. Доказа-на седующая теорема:

Каждый выпуклый многогранник без главной оси симметрии с изолированными симметричными гра-нями не может иметь в качестве несимметричной грани (см. определение) правильную или равноугольнополуправильную грань.


[1] Симметричные многогранники с изолированными несимметричными гранями // Труды участников между-народной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.—Ростов-на-Дону: Издательство,2008.—С. 74–75.

RICCI-FLOW OF GENERALIZED SCHWARZSCHILD METRICS

Valery Dryuma

Institute of Mathematics and Informatics, AS RM (Moldova, Kishinev)

E-mail : [email protected]; [email protected]

Solutions of the system of equations

∂gik(τ )

∂τ+ 2Rik(τ ) = 0, (1)

which describe properties of the Ricci-flow on four-dimensional space with metrics gik(τ ) dependent onparameter τ

ds2 = ef(r,τ)dt2 − eH(r,τ)

dr2 − r2dθ2 − r2 (sin(θ))2 dφ2 (2)

are studied.The metric (2) is general form of spherical-symmetric 4D-space and it is reduced to the metric of

classical Schwarzschild space-time ds2 = (1 − 2M/r) dt

2 − dr2 (1 − 2M/r)−1 − r2dθ2 − r2 sin(θ)2dφ2 when

the conditions Rik = 0 on the Ricci-tensor hold.The metric (2) has six components of tensor Riemann and four components of the tensor Ricci Rik.The system of equations (1) in considered case has the form

−2

(∂

∂τf(r, τ )

)r + e−H(r,τ)

(∂

∂rf(r, τ )

)(∂

∂rH(r, τ )

)r − 2 e−H(r,τ)

(∂2

∂r2f(r, τ )

)r−

−e−H(r,τ)

(∂

∂rf(r, τ )

)2

r − 4 e−H(r,τ) ∂

∂rf(r, τ ) = 0,

−2

(∂

∂τH(r, τ )

)eH(r,τ)r − 2

(∂2

∂r2f(r, τ )

)r −

(∂

∂rf(r, τ )

)2

r +

(∂

∂rf(r, τ )

)(∂

∂rH(r, τ )

)r+

+4∂

∂rH(r, τ ) = 0,

www.kromsh.info 79

−(∂

∂rf(r, τ )

)r + r

∂

∂rH(r, τ ) + 2 eH(r,τ) − 2 = 0.

In particular case f(r, τ ) = K(r) from this system we obtain the solutions

K1(r) =r2

r2 + C1

, K2(r) =r

r + C1

,

and corresponding expressions to the function H(r, τ ) = h(r). The first solution correspond to the metric (2)with condition Rik 6= 0 and the the second one corresponds to the Schwarzschild space for which the metric(2) is the Ricci-flat Rik = 0.

In general case from the system of equations we get the first order p.d.e. with respect to the functionN(r, τ ) = eH(r,τ)

−8 (N(r, τ ))3 + 4 (N(r, τ ))4 + 4 (N(r, τ ))2 + 2

(∂

∂τN(r, τ )

)r2 (N(r, τ ))2 + 6 r

(∂

∂rN(r, τ )

)(N(r, τ ))2 −

−(∂

∂τN(r, τ )

)r2 (N(r, τ ))3 + 2

(∂

∂rN(r, τ )

)2

r2 − 6 r

(∂

∂rN(r, τ )

)N(r, τ ) = 0. (3)

The function f(r, τ ) is constructed with a help of solutions of the equation (3).

The equation (3) after substitution N(r, τ ) = E( r2

τ) is reduced to an implicit algebraic the first order ODE

−8E(η)3 + 4E(η)4 + 4E(η)2 − 2 D(E)(η)η2E(η)2 + 12 ηD(E)(η)E(η)2+

+D(E)(η)η2E(η)3 + 8 (D(E)(η))2 η2 − 12 ηD(E)(η)E(η) = 0, (4)

where η = r2

τ. To obtain solutions of the equation (3) the properties of associated algebraic curve −8T 3 +

4T 4 + 4 T 2 − 2Sη2T 2 + 12 η ST 2 + Sη2T 3 + 8S2η2 − 12 η ST = 0 in the variables D(E)(η) = S, E(η) = Twith genus g = 1 are used. To construct more general solutions can be apply method developed by author,see article [1].

References

[1] Dryuma, V. On the equations determining the Ricci-flow on manifolds, International Journal of Geometric Methodsin Modern Physics, v.10, No.4 (2013) 1320003 (9 pages), World Scientific Publishing Company, Singapore.

SOME PROPERTIES OF MULTIVALUED MAPPINGS IN EUCLIDEANSPACE

Bogdan Klishchuk

Institute of Mathematics of NASU (Ukraine, Kyiv)


We consider n-dimensional Euclidean space En (real or complex). Let x, y be some points of En, A, B be

some subsets of En, conv A be a convex hull of A and ∠xOy = arccos Re〈x,y〉√〈x,x〉

√〈y,y〉

.

K.N. Soltanov in his papers [1—3] proposed a method of finding of fixed points for noncontinuous mappings.Other approaches to the proof of the existence of fixed points can be found in [4].

Our purpose is to study of some properties of multivalued mappings in Euclidean space. We will formulatetheorems on a fixed point for multivalued mappings (including single-valued and discontinuous mappings)whose restrictions to some subset in the closure of a domain of Euclidean space satisfy “the ε-specified conditionof an acute angle”.

Definition 1. Let X and Y be some topological spaces. The mapping F : X → Y is called a multivaluedmapping iff the set F (x) ⊂ Y is the image of the point x ∈ X.

Definition 2. Let F1, F2 : X → Y be two multivalued mappings. The mapping F1 is the restriction of F2

iff F2(x) ⊃ F1(x) 6= ∅ for all points x ∈ X.

Definition 3. The restriction of function f : A→ B to the subset C ⊂ A, i. e.

f |C (x) =

f(x) , x ∈ C,

∅, x /∈ C.

is called the limitation f to C.

Let G = Id− F be a multivalued mapping G : X → X such that the set G(x) = x − y|y ∈ F (x) is theimage of the point x ∈ X.


Definition 4. The set A is a radian ε-net if for any ray, emanating from the origin, there exists a ray thatforms the angle less than ε with the first ray and the second ray intersects A.

Definition 5. The mapping F satisfies “the ε-specified condition of an acute angle"on the set A iff X = Yand for any point x ∈ A there exists y ∈ F (x) such that ∠xOy < π

2− ε.

Theorem Let D be a domain in Euclidean space En containing the origin 0. Let K ⊂ D be a subset ofthe closure of this domain and K is a radian ε-net. Suppose that the limitation F |K of multivalued mapping

F : D → En to K satisfies “the ε-specified condition of an acute angle". If conv F (K) ⊂ F (D) then 0 ∈ F (D).

Corollary Let K ⊂ D be a subset of the domain D and K is a radian ε-net. Suppose that the limitationG |K of multivalued mapping G = Id−F : D → En to K has the restriction G1 6= ∅ satisfying “the ε-specified

condition of an acute angle". If conv G1(K) ⊂ G(D) then the mapping F has the fixed point x ∈ F (x).

References

[1] Soltanov, K.N., Nonlinear mappings and the solvability of nonlinear equations., Dokl. Akad. Nauk SSSR, 289,No. 6, (1986), P. 1318—1323.

[2] Soltanov, K.N., Remarks on Separation of Convex Sets, Fixed-Point Theorem and Applications in Theory of LinearOperators, Fixed Point Theory and Applications (2007), 14 p.

[3] Soltanov, K.N., On semi-continuous mappings, equations and inclusions in the Banach space, Hacettepe J. Math.Statist., 37, (2008), P. 9—24.

[4] Zelinski, Yu.B., Multivalued mappings in analysis, Kiev: Naukova dumka (1993), 264 p.[5] Zelinski, Yu.B., Klishchuk, B.A., Tkachuk, M.V., Theorems on a fixed point for multivalued mappings, Zbirnyk

Prats Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 9, No. 2, (2012), P. 175—179.

THE ANALYTICAL PROPERTIES OF GENERALIZED LINEAR CONVEXDOMAINS IN HYPERCOMPLEX SPACES

Yurii Zelinskii, Tatiana Osipchuk, Maxim Tkachuk

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine,Department of Complex Analysis and Potential Theory (Ukraine, Kyiv)


We consider finite-dimensional vector space Clmp,q that is a cartesian product of Clifford algebras Clp,q. The

notion of linear convexity of multidimensional complex space Cn is generalized on the space Cl

mp,q ([3]). We

consider domain Ω = z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Clmp,q : ρ(z) < 0 with boundary ∂Ω = z : ρ(z) = 0, where

ρ ∈ C2 and gradρ 6= 0 everywhere on the boundary ∂Ω. Let

ω1ρ(w, s) =

m∑

i,j=1

r−1∑

k,l=0

∂2ρ(w)

∂zki ∂zlj

sljski ,

ω2ρ(w, s) =

m∑

i,j=1

r−1∑

k,l=0

ski∂2ρ(w)

∂zki ∂zlj

slj ,

ω3ρ(w, s) =

m∑

i,j=1

r−1∑

k,l=0

sljski∂2ρ(w)

∂zki ∂zlj

,

where slj , ski ∈ Clp,q and

∂2ρ(w)

∂zki ∂zlj

be the formal derivatives.

Theorem 1. If domain Ω is left locally linearly convex, then for every boundary point w = (w1, w2, . . . , wn) ∈∂Ω and for all vectors s = (s1, s2, . . . , sm) ∈ Cℓmp,q \ 0 for which

m∑

i=1

∂ρ(w)

∂zisi = 0,

the following equivalent inequalities are true

ωgρ(w, s) ≥ 0 ∀w ∈ ∂Ω, g = 1, 2, 3,

If for every boundary point w ∈ ∂Ω and for the same vectors s

ωgρ(w, s) > 0 ∀w ∈ ∂Ω ∀ g, g = 1, 2, 3,

then domain Ω is left locally linearly convex.

www.kromsh.info 81

Since the algebra Cl0,1 is isomorphic to the algebra of complex numbers C, these conditions are naturalcounterparts of analytical conditions of local linear convexity of domains with smooth boundary in C

n proposedby B. Zinoviev in 1971.

Similar result is obtained for the case of the algebra of generalized quaternions ([5]).We recall that the algebra Cl0,2 is isomorphic to the algebra of the real quaternions H. For some class of

bounded domains of the vector space H2 which are the analogs of Hartogs domains the criterion of the left

linear convexity in the terms of non-negativity of the forms ωgρ(w, s) is obtained ([4]).

References

[1] Zinoviev B.S. Analitic conditions and some questions of approximation of linear convex domains with smoothboundaries in the space Cn // Izv. vuzov, Math., 1971, No 6, P. 61 - 69.

[2] Osipchuk T.M. Analitic conditions of local linear convexity in Hn // Zb. prats of the Inst. of Math. of NASU, 2006,3, No 3, P. 244 - 254 (in Ukrainian).

[3] Osipchuk T.M., Zelinskii Yu.B., Tkachuk M.V. Analytical conditions of locally general convexity in Cmp,q // Zb.prats of the Inst. of Math. of NASU, 2010, 7, No 2, P. 393 - 401 (in Ukrainian).

[4] Osipchuk T.M., Tkachuk M.V. The analytic criterion of linear convexity of the Hartogs domains with smoothboundary in H2 // Ukr. Math. J., 2011, 63, No 2, pp. 226-236 (in Ukrainian).

[5] Osipchuk T.M. Analytical conditions of local linear convexity in the space Hnα,β // Zb. prats of the Inst. of Math.of NASU, 2013, 10, No 4–5, P. 301 - 305.

RIEMANNIAN GEOMETRY OF SECTIONS OF SPHERE BUNDLES

A. Yampolsky

Kharkiv National University (Ukraine, Kharkiv)


Let (E , π,B) be a smooth real vector bundle of rank p over a smooth manifold B of dimension n. A smoothsection is a smooth mapping s : B → E such that π s = idB. By definition, s(q) ∈ Fq, where Fq is afiber over q ∈ B and the fiber Fq is a real p-dimensional vector space. Then, for any ξ ∈ TuB, we have adecomposition ξ = ξα sα(u). The parameters (u1, . . . , un; ξ1, . . . , ξp) form a natural local coordinate system inU × F ≈ U × R

p. Any smooth local section ξ : U → E can be given by ξ = ξα(u) sα(u). The mail goal is tostudy some geometrical properties of the locally given submanifold ξ(U) in the case when E is endowed withthe Sasaki-type metric and the section ξ is of unit length.

Let π : E → B be a smooth vector bundle over the Riemannian manifold (B, gB) with a fiber-wise metric

gF compatible with the bundle connection ∇F . Let X, Y be smooth vector fields on E . The Sasaki-type metricgE on E is defined by the following scalar product

gE(X, Y ) = gB(π∗X, π∗Y ) + gF (KX,KY ).

where π∗ is the bundle projection differential and K : T(q,ξ)E → Fq is the connection map acting by K(X) =

(Xn+α + γαβkξβXk)sα.

Denote by E1 ⊂ E a subbundle defined by the equation gF(ξ, ξ) = 1. Let (E1, gE) be a unit vector bundle

with the Sasaki type metric. A unit section ξ : B → (E1, gE) is called minimal (totally geodesic) if ξ(B) is a

minimal (totally geodesic) submanifold.Define a point-wise linear operator Aξ : TuB → Fu and its conjugate Atξ : Fu → TuB by AξX =

−∇FXξ, g

B(Atξη,X) = gF (AξX, η). Then the tangent and normal vector fields on ξ(B) can be describedin terms of horizontal lifts of vector fields on B and vertical lifts of sections as follows:

X ∈ Tξ(B) iff X = ξ∗X = Xh − (AξX)v; N ∈ T⊥ξ(B) iff N = (Atξη)h + ηv (η ⊥ ξ).

Lemma. Let ξ be a smooth unit section of a smooth unit vector bundle E1 with the Sasaki-type metric gE .Denote by ΩN the second fundamental form of ξ(B) ⊂ E1(B) with respect to the normal vector field N =

(Atξη)h + ηv (η ⊥ ξ). Then for any X,Y ∈ X(B),

ΩN (ξ∗X, ξ∗Y ) = −1

2gF((∇F

XAξ)Y + (∇FYAξ)X + Aξ

(RF (ξ,AξX)Y + RF (ξ,AξY )X

), η)

where (∇FXAξ)Y = ∇F

X(AξY ) − Aξ(∇BXY ).

A section ξ is totally geodesic, if ΩN (ξ∗X, ξ∗Y ) = 0. The latter equation represents over-definite system ofPDEs with respect to the section ξ and involves the bundle connection of E and the Riemannian connection ofTB. Does the system could have a solution? We give a positive answer to this question in simplest non-trivialcase.


Theorem. Let π : E1 → B be a unit circle bundle with the Sasaki-type metric over a surface. Suppose thebundle connection of π : E → B is non-flat. Then E1 admits a local totally geodesic unit section if and only ifB is locally isometric to

(M2, ds2 = du2 + sin2 α(u)dv2)

and the bi-sectional curvature of E satisfies κ = α(u).

The Veronese surface V 2(r) ⊂ S4(R) ⊂ E5 is a surface of constant Gaussian curvature K = 3r4

and

constant Gaussian torsion κΓ = 6r4

= 2K. A unit normal vector field ξ maps V 2 into N1V2. The condition

of the Theorem is fulfilled when r = 4√

12. In this case K = 14, κΓ = 1

2. By passing to spherical coordinates

the first fundamental form of the Veronese surface (for r = 4√

12) takes the form ds2 = du2 + sin2(u/2) dv2.

Evidently, α(u) = u2

and exactly αu = κΓ = 12. Remark that T⊥

1 (V 2( 4√

12) is of constant sectional curvature116

.

References

[1] Yampolsky A. Minimal and totally geodesic unit sections of the unit sphere bundles. Вiсник ХНУ, сер. Мат. Прикл.Мат i мех., 1030 (2012), 54 - 70.

83

Содержание

Секция 5. Обыкновенные дифференциальные идифференциально-операторные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Гой Тарас Петрович Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефа-ника (Україна, Iвано-Франкiвськ)

Про диференцiальнi рiвняння функцiй, породжених центральними факторiальни-ми степенями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Кулик В.Л., Грод I.М. Сiлезький технiчний унiверситет (Польща, Глiвiце), Терно-пiльський нацiональний педагогiчний унiверситет (Україна, Тернопiль)

Деякi структури регулярних лiнiйних розширень динамiчних систем . . . . . . . . . . . . . . 5

Анашкин Олег Васильевич, Митько Ольга Владимировна

Таврический национальный университет (Украина, Симферополь)Предельные циклы в системе обыкновенных дифференциальных уравнений с им-

пульсным воздействием второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Архипов Виктор Петрович, Глушак Александр Васильевич,Старооскольский технологический институт (Россия, Старый Оскол), Белгородский госу-ниверситет (Россия, Белгород)

Точные асимптотики и общие свойства решений вырождающихся дифференци-альных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Болилый Василий Александрович, Зеленская Ирина Александровна

Кировоградский государственный педагогический университет имени Владимира Винниченко(Украина, Кировоград)

Система уравнений с дифференциальной точкой поворота II-го рода . . . . . . . . . . . . . . 8

Владимиров Антон Алексеевич, Карулина Елена Сергеевна

ВЦ им. А.А. Дородницына РАН, Московский государственный университет экономики, ста-тистики и информатики (Москва, Россия)

О достижимости нижней оценки для минимального собственного значения за-дачи Штурма–Лиувилля с ограничениями на потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Гефтер Сергей Леонидович

Харьковский национальный университет имени В.Н.Каразина (Украина, Харьков)О целых решениях простейшего линейного дифференциально-разностного урав-

нения в банаховом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Глазков Дмитрий Владимирович

Ярославский Государственный Университет (РФ, Ярославль)Об асимптотике решений моделей динамики лазера с запаздывающей обратной

связью в некоторых критических случаях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Журавлев Валерий Филиппович

Житомирский национальный агроэкологический университет (Украина, Житомир)Нормально разрешимые краевые задачи для операторных уравнений в банаховых

пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Задорожний Владимир Григорьевич ВГУ (Россия, Воронеж)О линейном хаотическом резонансе при вихревом движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Кодлюк Татьяна Ивановна Институт математики НАН Украины (Украина, Киев)Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений высо-

кого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Красильников Александр Владимирович

Челябинский Государственный Университет (Россия, Челябинск)Асимптотика эллиптического синуса при k → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Краснова Дарья Александровна

Институт вычислительного моделирования СО РАН (Россия, Красноярск)Преобразование эквивалентности уравнений идеальной жидкости в лагранже-

вых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Сёмкина Екатерина Владимировна

Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского (Украина, Симферополь)О некоторых классах интегродифференциальных уравнений Вольтерра второго

порядка, неразрешённых относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

84

Скворцова Мария Александровна

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск)Оценки решений уравнений нейтрального типа с переменным запаздыванием . . . 15

Старкова Ольга Владимировна, Чуйко Антон Сергеевич

Донбасский государственный педагогический университет (Украина, Славянск)Автономные нетеровы краевые задачи для систем обыкновенных дифференци-

альных уравнений в частном критическом случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Терновский В.В., Хапаев М.М. МГУ им. М.В. Ломоносова (Россия, Москва)Вариационный метод интегрирования функций, заданных с ошибками . . . . . . . . . . . . 17

Чеханова Ганна Алексеевна Институт математики НАН Украины (Украина, Киев)Предельный переход в одномерных линейных краевых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ЧуйкоСергей Михайлович, ЧуйкоЕлена Викторовна

Славянский государственный педагогический университет (Украина, Славянск)О регуляризации периодической краевой задачи с импульсным воздействием . . . 18

Щелконогов Алексей Александрович ЧелГУ (Россия, Челябинск)Распределение полюсов решений уравнения Пенлеве-4 с бесконечным числом

полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Шубин Павел Евгеньевич

Южный Федеральный Университет (Россия, Ростов-на-Дону)Усреднение эволюционной системы с краевыми условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Arshava Elena

Kharkiv National University of Civil Engineering and Architecture (Ukraine, Kharkiv)The integro-differential equations solving by the operator identities method . . . . . 20

Gorbachuk Valentyna

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine (Ukraine, Kyiv)On behavior at infinity of solutions of differential equations in a Banach space . . 21

Gorbachuk Volodymyr National Technical University “KPI” (Ukraine, Kyiv)On the Dirichlet problem for second-order differential equations of elliptic type

in a Banach space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Sklyar Grigory, Polak Piotr University of Szczecin (Poland, Szczecin)On estimation of solutions of neutral type systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Myslo Y.M., Tkachenko V.I.

Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine (Ukraine, Kiev)On almost periodic solutions of impulsive systems with delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Секция 6. Общая теория операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Волянська Iрина Iгорiвна, Iлькiв Володимир Степанович


Однорiдна задача типу Дiрiхле для лiнiйного диференцiального рiвняння з ча-стинними похiдними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Городецький Василь Васильович, Дрiнь Ярослав Михайлович

Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича (Україна, Чернiвцi)Чернiвецький нацiональний унiверситет (Україна, Чернiвцi)

Дослiдження задачi Кошi для одного класу еволюцiйних рiвнянь дробового по-рядку в просторах узагальнених функцiй типу ультрарозподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Iлькiв Володимир Степанович, Страп Наталiя Iгорiвна


Нелокальна крайова задача для системи диференцiально-операторних рiвнянь зчастинними похiдними у багатовимiрнiй комплекснiй областi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Корнiєнко Анна Геннадiївна

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка (Україна, Київ)Гранична теорема Больцмана-Ґреда для маргiнальних спостережуваних системи

пружних куль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Агранович М.С., Селицкий А.М. Московский институт электроники и математи-ки Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики», Вычисли-тельный центр им. А.А. Дородницына РАН (Россия, Москва)

Сильно эллиптические системы в липшицевых областях и проблема Като . . . . . . . 28

85

Аноп Анна Викторовна, Мурач Александр Александрович

Институт математики НАН Украины (Украина, Киев)Об эллиптических краевых задачах в пространствах обобщенной гладкости . . . . 28

Балакина Екатерина Юрьевна

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск)Определение внутреннего строения среды при многократном зондировании . . . . . 29

Белан Евгений Петрович, Плышевская Светлана Петровна

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)Галеркинские аппроксимации метаустойчивых структур в канонической парабо-

лической задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Белан Евгений Петрович

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)Метаустойчивые структуры задачи Чэфи-Инфанте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Безродных Сергей Игоревич, Власов Владимир Иванович

ВЦ РАН, ГАИШ МГУ (Россия, Москва)Решение обратной задачи для уравнения Грэда — Шафранова с нелокальным

условием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Бондарь Лина Николаевна

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Россия, Новосибирск)О разрешимости эллиптической системы специального вида в полупространстве 33

Вальков Алексей Юрьевич

Санкт-Петербургский государственный торгово-экономический университет, Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)

Корреляционная функция флуктуаций в ограниченных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Васильев Владимир Борисович

Липецкий государственный технический университет (Россия, Липецк)Краевые задачи в многомерном конусе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Власов Владимир Иванович, Скороходов Сергей Леонидович

ВЦ РАН (Россия, Москва)Развитие аналитического метода Треффца–Куфарева для некоторых смешанных

краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Демидов Александр Сергеевич МГУ (Россия, Москва)Метод Вишика–Люстерника и две задачи магнитной гидродинамики о плазме в

токамаке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Гольдман Наталия Львовна МГУ им. М.В.Ломоносова (Россия, Москва)Обратные задачи Стефана для квазилинейного параболического уравнения с

неизвестными источниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Зарубин А.Н. Орловский государственный университет (Россия, г. Орел)Задача Трикоми для дифференциально-разностного опережающе-

запаздывающего уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. . . 38

Звягин Андрей Викторович

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)Аттракторы для математической модели движения полимеров с реологическим

соотношением, удовлетворяющем принципу объективности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Звягин Виктор Григорьевич

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)Разрешимость одной модели динамики термовязкоупругой среды с регуляризо-

ванной объективной производной Яуманна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Зинченко Татьяна Николаевна Институт математики НАНУ (Украина, Киев)Об эллиптических по Дуглису – Ниренбергу системах в расширенной соболев-

ской шкале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ибрагимова Наиля Анасовна, Мухлисов Фоат Габдуллович

Казанский государственный энергетический университет, Казанский (Приволжский) феде-ральный университет (Россия, Казань)

О решении внешних краевых задач для B–эллиптической системы уравненийметодом потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Климентов Сергей Борисович ЮФУ, ЮМИ ВНЦ РАН (Россия, Ростов-на-Дону)Представления второго рода для решений уравнения Бельтрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

86

Кряквин Вадим Донатович Южный федеральный университет (РФ, Ростов-на-Дону)Об ограниченности псевдодифференциальных операторов в пространствах

Гельдера-Зигмунда переменного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Лепшин Евгений Максимович, Матевосян Овик Амаякович

Высшая Школа Науки, НИЛ «Фундаментальная и Прикладная Математика»,Московский Финансово-Юридический Университет (Россия, Москва)

О решениях полигармонического уравнения в бесконечных областях . . . . . . . . . . . . . 44

Левенштам Валерий Борисович

Южный федеральный университет (Россия, Ростов-на-Дону)Эволюционные задачи и высокочастотные асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Лиманский Дмитрий Владимирович

Донецкий национальный университет (Украина, Донецк)Эллиптические и слабо коэрцитивные системы дифференциальных операторов в

пространствах Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Лось Валерий Николаевич

Черниговский государственный технологический университет (Украина, Чернигов)О параболических смешанных задачах в уточненной соболевской шкале . . . . . . . . 46

Лукьяненко Владимир Андреевич ТНУ им. В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)Некоторые алгоритмы решения уравнений типа Урысона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Матевосян Овик Амаякович

Высшая Школа Науки, НИЛ «Фундаментальная и Прикладная Математика»,Московский Финансово-Юридический Университет, (Россия, Москва)

О решениях бигармонического уравнения и системы уравнений Стокса в обла-стях с некомпактной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Мешкова Юлия Михайловна

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)Усреднение параболических систем с периодическими коэффициентами при учё-

те корректора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Орлов Владимир Петрович, Паршин Максим Игоревич ВГУ (Россия, Воронеж)Разрешимость одной регуляризованной задачи термовязкоупругости . . . . . . . . . . . . . 50

Панов Евгений Юрьевич

Новгородский государственный университет (Россия, Великий Новгород)О сильной предкомпактности последовательностей приближенных энтропийных

решений нелинейных эллиптико-гиперболических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Перель Мария Владимировна

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)Асимптотика решений краевой задачи для уравнений Максвелла с быстро ос-

циллирующими коэффициентами в полупространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Пикулин Сергей Владимирович

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН (Россия, Москва)О сходимости решений эллиптических уравнений со слабой нелинейностью . . . . 52

Постникова Елена Юрьевна

Челябинский государственный университет (Россия, Челябинск)Асимптотика решения краевой задачи для эллиптического уравнения, удовле-

творяющая третьим краевым условиям на границах малых отверстий . . . . . . . . . . . . . . 53

Прохоров Андрей Олегович

Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, Санкт-Петербург)Регулярность электромагнитных полей в негладких областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Репьевский Сергей Владимирович

Челябинский государственный университет (Россия, Челябинск)Асимптотика решения параболического уравнения при неограниченном возрас-

тании времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Ситник Сергей Михайлович Институт МВД (Россия, Воронеж)Приложения операторов преобразования Бушмана–Эрдейи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Солонуха Олеся Владимировна

Центральный экономико-математический институт РАН (Россия, Москва)О нелинейных и квазилинейных функционально–дифференциальных уравнениях

эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

87

Сыбиль Юрий Николаевич ЛНУ им. Ивана Франко (Украина, Львов)Граничные задачи для эллиптического уравнения второго порядка в области с

тонким включением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Хазова Юлия Александровна

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского (Украина, Симферополь)Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением про-

странственной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Чаплыгина Е.В. Орловский государственный университет (Россия, г. Орел)Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с оператором

Лаврентьева-Бицадзе в главной части и опережающе-запаздывающим от-клонением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Щелконогов Алексей Александрович ЧелГУ (Россия, Челябинск)Распределение полюсов решений уравнения Пенлеве-4 с бесконечным числом

полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Ashurov Ravshan National University of Uzbekistan (Uzbekistan, Tashkent)On solvability of the neumann boundary value problem for non-homogeneous

polyharmonic equation in a ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Burskii Vladimir Petrovich

Institute of Applied Mathematics and Mechanics NASU (Ukraine, Donetsk)Generalized solutions of boundary value problems for some general class of PDEs 60

Cherednichenko Kirill School of Mathematics Cardiff University (UK,Cardiff)On resolvent estimates for homogenisation problems with high contrast . . . . . . . . . . . 61

Chvartatskyi Oleksandr, Sydorenko Yuriy Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization, Ivan Franko National University of Lviv

New generalizations of the K-constrained KP hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Cooper Shane Fresnel Institute (France, Marseille)Spectral analysis of one-dimensional high contrast elliptic problems with periodic

coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Frolova Elena Electrotechnical University (Russia, St.Petersburg)Free boundary problem of magnetohydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Gerasimenko Viktor Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine (Ukraine, Kyiv)Nonlinear kinetic equations and the scaling asymptotic behavior of the evolution

equations for marginal observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Karazeeva Natalia

Steklov Mathematical Institute,S.-Petersburg Department (Sankt-Petersburg, Russia)Asymptotic behavior and attractors for systems describing 2D viscoelastic flows 63

Kochubei A. N. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of UkraineEvolution equations of fractional order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kolonitskii Sergey Saint-Petersburg State University (Russia, Saint-Petersburg)Multiplicity of solutions to the Dirichlet problem for an supercritical equation

with p-laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Minakov Alexander Czech Technical University in Prague (Czech, Prague)Parametrices for the modified Korteweg – de Vries equation in a modulated elliptic

wave region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Paliichuk Liliia Sergiivna Educational and scientific complex "Institute for applied systemanalysis"of National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute"of NAS of Ukraineand MES of Ukraine (Ukraine, Kyiv)

On Global Attractors for Autonomous Wave Equation with Discontinuous

Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Sandrakov Gennadiy Kyiv National Taras Shevchenko University (Ukraine, Kyiv)Homogenization of some hydrodinamics problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Skubachevskii Alexander Peoples’ Friendship University of Russia, (Russia,Moscow)The Vlasov-Poisson equations and controlled plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

88

Suslina Tatiana St. Petersburg State University (Russia, St. Petersburg)Homogenization of elliptic systems with rapidly oscillating coefficients in a

bounded domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Секция 7. Геометрия и топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Болотов Дмитрий Валерьевич ФТИНТ им. Б.И. Веркина НАНУ (Украина, Харьков)Слоения неотрицательной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Гликлих Юрий Евгеньевич

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем . . . . . . . . . . . 70

Гринес Вячеслав Зигмундович Нижегородский государственный университет им.Н.И. Лобачевского (Россия, Нижний Новгород)Условия существования энергетической функции для градиентно-подобных диф-

феоморфизмов на 3-многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Залыгаева Марина Евгеньевна

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)Описание движения вязкой несжимаемой жидкости на плоском n-мерном торе

в терминах производных в среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Зелинский Юрий Борисович

Институт математики НАНУ(Украина, Киев)Обобщенно выпуклые множества и их применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Зубрилин Константин Михайлович Феодосийский политехнический институт наци-онального университета кораблестроения им. адм. Макарова (Украина, Феодосия)

Уплощающие свойства полного лифта инфинитезимального конциркулярногопреобразования, относительно горизонтального лифта аффинной связности. . . . . . . 72

Костин Андрей Викторович ЕФ КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева (Россия, Елабуга)Геликоиды Дини в псевдоевклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Костина Наталья Николаевна, Костин Андрей Викторович, Матвеев Семен Нико-

лаевич ЕФ КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева (Россия, Елабуга), НИСПТР (Россия, Набе-режные Челны)О педальных многоугольниках в двумерных пространствах постоянной кривизны 74

Макарова Алла Викторовна

Воронежский государственный университет (Россия, Воронеж)Новая теорема существования решений для дифференциальных включений с те-

кущими скоростями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Машков Евгений Юрьевич Курский государственный университет (Россия, Курск)Стохастические уравнения леонтьевского типа на римановых пространствах . . . 75

Покутный Александр Алексеевич

Институт математики НАН Украины (Украина, Киев)Теорема о неявной функции, типа Неша-Мозера, в пространствах Фреше . . . . . . . . 76

Протасов Игорь Владимирович КНУ (Украина, Киев)Комбинаторная производная и разбиения групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Сабитов Иджад Хакович МГУ им. М.В.Ломоносова (Россия, Москва)Об одном методе вычисления объемов в пространствах постоянной кривизны . . 77

Субботин Владимир Иванович ЮРГТУ(НПИ) (Россия, Новочеркасск)О многогранниках с симметричными и несимметричными гранями . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Dryuma Valery Institute of Mathematics and Informatics, AS RM (Moldova, Kishinev)Ricci-flow of generalized schwarzschild metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Klishchuk Bogdan Institute of Mathematics of NASU (Ukraine, Kyiv)Some properties of multivalued mappings in Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Zelinskii Yurii, Osipchuk Tatiana, Tkachuk Maxim

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, (Ukraine, Kyiv)The analytical properties of generalized linear convex domains in hypercomplex

spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Yampolsky Alexander Kharkiv National University (Ukraine, Kharkiv)Riemannian Geometry Of Sections Of Sphere Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Оргкомитет КММК-2013

Председатель оргкомитета:

Копачевский Николай Дмитриевич — заведующий кафедрой математического

анализа ТНУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Заместители председателя:

Орлов Игорь Владимирович — заведующий кафедрой алгебры и функционального

анализа ТНУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Муратов Мустафа Абдурешитович — доктор физ.-мат. наук, профессор кафед-

ры математического анализа ТНУ, е-mail: [email protected]

Члены оргкомитета:

Рудницкий Олег Иванович — декан факультета математики и информатики ТНУ,

кандидат физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Старков Павел Александрович — заместитель декана факультета математики и

информатики ТНУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Анашкин Олег Васильевич — заведующий кафедрой дифференциальных уравне-

ний и геометрии ТНУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Донской Владимир Иосифович — заведующий кафедрой информатики ТНУ, док-

тор физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Чехов Валерий Николаевич — заведующий кафедрой прикладной математики

ТНУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Белан Евгений Петрович — доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры диффе-

ренциальных уравнений и геометрии ТНУ, e-mail: [email protected]

Марянин Борис Давидович — кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры матема-

тического анализа ТНУ, e-mail: [email protected]

Пашкова Юлия Сергеевна — кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математи-

ческого анализа ТНУ, e-mail: [email protected]

Смирнова Светлана Ивановна — кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ма-

тематического анализа ТНУ, e-mail: [email protected]

Войтицкий Виктор Иванович — кандидат физ.-мат. наук, старший преподава-

тель кафедры математического анализа ТНУ, e-mail: [email protected]

Кисель Ольга Сергеевна — магистр кафедры математического анализа ТНУ,

e-mail: [email protected]

Documents

СБОРНИК ТЕЗИСОВkromsh.info/files/abstracts/abstracts-2013-p2.pdf · 2017-12-05 · 6 Крымская Международная Математическая Конференция