Λύσεις Πανελληνίων Μαθηματικών Γενικής Παιδείας 2014

Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Απαντήσεις στα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων 2014

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 30



Α4. α. Σ

β. Λ

γ. Λ

δ. Λ

ε. Σ

ΘΕΜΑ Β

Β.1) Από το ιστόγραμμα συχνοτήτων προκύπτει ότι το πλήθος των πωλητών είναι:

12+8+14+6=40.

Β.2)

ΚΛΑΣΕΙΣ

Κεντρικές τιμές

ix

Συχνότητα

i

Σχετική συχνότητα

if

[2,4)

3

12

0,30

[4,6)

5

8

0,20

[6,8)

7

14

0,35

[8,10)

9

6

0,15

ΣΥΝΟΛΟ

40

1,00



Γνωρίζουμε ότι οι σχετικές συχνότητες προσδιορίζονται με τη βοήθεια του τύπου

iif (εδώ 4,3,2,1i ).

Αλλά ,40 ,121 ,82 143 και ,64 οπότε έχουμε:

30,040

121 f

20,040

82 f

35,040

143 f

15,040

64 f

Β.3) α) Για να βρούμε τη μέση τιμή x χρησιμοποιούμε τον τύπο

4

1

1

i

iixx

.

Επομένως, έχουμε: 44332211

1

xxxxx , οπότε έχουμε:

7,5691478512340

1x

β) Επειδή οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και επειδή

8 πωλητές έκαναν πωλήσεις από 4 χιλιάδες ευρώ έως 6 χιλιάδες ευρώ προκύπτει ότι 6

πωλητές έκαναν πωλήσεις από 4,5 χιλιάδες ευρώ έως 6 χιλιάδες ευρώ.

6366

8

5,4

6xx

x.

Επίσης 14 πωλητές έκαναν πωλήσεις από 6 χιλιάδες ευρώ έως 8 χιλιάδες ευρώ και 6

πωλητές έκαναν πωλήσεις από 8 χιλιάδες έως 10 χιλιάδες ευρώ. Επομένως το πλήθος

των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον 4,5 χιλιάδων ευρώ είναι:

6+14+6=26.

ΘΕΜΑ Γ

Γ.1) Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Έχουμε:

12

74 23 xxxxf , Rx , οπότε:

1712 2 xxxf



Επίσης,

0xf 01712 2 xx4

1x ή

3

1x

0xf 01712 2 xx4

1x ή

3

1x

Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και τα τοπικά

ακρότατα.

x

4

1

3

1

xf

_

xf

Επειδή 21 xx έχουμε 4

11 x και

3

12 x , οπότε

4

1P και

3

1P .

Επίσης επειδή τα ενδεχόμενα Κ, Α και Π είναι ασυμβίβαστα και επειδή

UU έχουμε:

PPPUUP ή PPPP . Άρα,

P3

1

4

11

12

5P

Γ.2) Έχουμε: 12

7

3

1

4

1 PPUPP

12

5

12

711

UPUPP

12

7 UPP

Γ.3) Προφανώς έχουμε: 4

4

4

PP

Άρα,

Τ. Μ. Τ. Ε.



4

3

1

12

5

12

14 48

Επομένως το δοχείο έχει 48 μπάλες.

ΘΕΜΑ Δ

Δ.1)

Η περίμετρος της βάσεως του κουτιού είναι dm20 οπότε η ημιπερίμετρος είναι

dm10 . Έστω y η άλλη πλευρά της βάσεως. Τότε έχουμε:

dmxyyx 1010

Η βάση του κουτιού έχει εμβαδόν 222

1 1010 dmxxdmxxE

Η καθεμία από τις δύο παράπλευρες επιφάνειες με βάση xdm έχει εμβαδό 2

2 5xdmE , ενώ η καθεμία από τις δύο παράπλευρες επιφάνειες με βάση dmx10

έχει εμβαδό 2

3 505105 dmxxE .

Επειδή το κουτί είναι ανοικτό από πάνω, η συνολική παράπλευρη επιφάνεια του

κουτιού είναι:

2222

321 100105052521022 dmxxdmxxxxEEEE

Επομένως η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του x είναι:

100102 xxxE , 10,0x

Επίσης,

102 xxE

501020 xxxE

501020 xxxE

10x dm



Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τα διαστήματα μονοτονίας και το (ολικό) μέγιστο της

συνάρτησης E .

x

0 5 10

xE

_

xE

Επομένως, το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια όταν 5x .

Δ.2) α) Έχουμε 20252 2 sss ή 2

1s .

Γνωρίζουμε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο

συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.

Αν 2s και επειδή 8x παίρνουμε %2525,08

2

x

sCV

Αν 2

1s και επειδή 8x παίρνουμε %25,60625,0

16

1

8

2

1

x

sCV

Επειδή το τμήμα των τετμημένων ix , 15,....,2,1i δεν είναι ομοιογενές παίρνουμε

2s .

β) Έστω 2x η μέση τιμή των 2

ix , 15,....,2,1i .

Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι:

1

2

122 1

i

i

i

i

x

xs

2

1

1

22 1

i

i

i

i

x

xs

ΜΕΓ.

Ε(5)=125



Για 15 παίρνουμε:

215

115

1

22

1515

1

i

i

i

i

x

xs

Και επειδή 815

15

1 x

xi

i

και 215

1

2

15

1xx

i

i

έχουμε 222 82 x 682 x

Δ.3) Από υπόθεση έχουμε ότι: 9...5 1521 xxx

Και επειδή η συνάρτηση E είναι γνησίως φθίνουσα στο )10,5[ έχουμε

1521 .... xExExE

Αλλά

12510051055 2

1 ExE

και

10910091099 2

15 ExE

Επομένως, το εύρος R είναι 1610912595 EER

Επίσης έχουμε:

100102 iiii xxxEy και

194 Rxy ii 11694100102

iii xxx 045142

ii xx

045142

ii xx 95 ix

Επομένως, το ενδεχόμενο Β θα έχει ως στοιχεία τα σημεία 222 , yxA , 333 , yxA ,…,

141414 , yxA δηλαδή:

141414333222 ,,...,,,, yxAyxAyxAB

Προφανώς ο δειγματικός χώρος είναι:

151515141414222111 ,,,,...,,,, yxAyxAyxAyxA

Οπότε έχουμε:

15

13

P

Documents

Λύσεις Πανελληνίων Μαθηματικών Γενικής Παιδείας 2014