الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية

1

الثاني الدراسي الفصل2012 – 2011

تجريبية نسخة

الحادي الصفعشر

التأسيسي

التعليم هيئةEDUCATION INSTITUTE

الرياضيات

2

3

الرياضيات التعليم هيئة

EDUCATION INSTITUTE

الحادي الصفعشر

الثاني التأسيسي الدراسي الفصل2012 – 2011

تجريبية نسخة

4

5

الوحدة الموضوع الصفحات

السادسة القياس الهندسة و 2 7 - 19

بعةالسا 2& 1اإلحصاء 21 - 58

ثامنةال القياس الهندسة و 4 59 – 80

تاسعةال الجبر و العدد 81 – 98العاشر

ةالقياس الهندسة و 3 99 – 119

الحادية عشرة 2الجبر 123 - 141

INDEX الفهرست

6

نظرية على تطبيقاتفيثاغورس

8

رقم الصفحة الرق درساسم ال

م

9 الدائرة معادلة1

11 بين نقطتينالمسافة 2

14 مع مستقيم تقاطعدائرة 3

o

( , )

9

األهداف:Objectives:

يكون أنقادرا الطالب

:أن على

معادلة يكونالدائرة

بمعلومية احداثيات

وطول مركزهاقطرها .نصف

نظرية ي ستخدمفي فيثاغورث

المسافة حسابفي نقطتين بين

المستوى اإلحداثي

المعايير: Standards:

6.6

المصGطلحات:Vocabulary :

Equation معادلة

Circle دائرة

Origin نقطة األصل

نقطة: مركزها التي الدائرة معادلة أوالاألصل:

النقطة ) مركزها التي الدائرة قطرها ( 0 , 0معادلة rونصفهي:

The equation of the circle with center at (0,0) and radius r is

x2 + y2 = r2

: 1مثال

النقطة ) مركزها التي الدائرة معادلة ونصف ( 0 , 0أوجد.4قطرها سم

: Solutionالحل :

6.1 الوحدة سادسةال

Equation of the Circleمعادلة الدائرة

ro

Find the equation of a circle with center (0,0) radius r = 4 cm

x 2 + y 2 = r 2

x 2 + y 2 = 16

النقطة: مركزها التي الدائرة معادلة , )ثانيا ) :

النقطة مركزها التي الدائرة قطرها ( , )معادلة rونصفهي:

The equation of the circle with center at ( , ) and radius r is

( x - ) 2 + ( y - ) 2 = r 2

∙

10

: 2مثال

النقطة ) مركزها التي الدائرة معادلة قطرها ( 2 , -3أوجد .7ونصف سم


( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 49

Find the equation of a circle with center ( 3 , -2 ) and radius 7 cm

( x - )2 + ( y - )2 = r2

( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 72

تدريب 1 :

النقطة مركزها التي الدائرة معادلة قطرها Mأوجد في rونصف: يلي مما كل

Find the equation of a circle with center M and radius r:

1) M ( 0 , 0 ) and r = 10 cm

3) M ( -5 , -1 ) and r = 6 cm

4) M ( -4 , 7 ) and r = cm

5) M ( 0 , -3 ) and r = 2.3 cm

6) M ( 1 , 0 ) and r = 9 cm

2) M ( 2 , 3 ) and r = 8 cm

Unit 6 الوحدة سادسةال

11

نقطتين بين المسافة طول إيجاد كيفية السابقة دراستك خالل من تعلمت: التالي القانون باستخدام اإلحداثي المستوى في

The distances between two points A(x1 , y1) and B( x2 , y2) denote by the rule

AB =

: 1مثال

: التاليتين النقطتين بين المسافة أوجدFind the distance between the two points:

Solution::الحل

AB =

=

=

= 10 units

بين المسافةنقطتين

The distance between two points

: 1تدريب

: يلي مما نقطتين كل بين المسافة أوجدFind the distance between each two points:

1)

2)


A = ( -4 , 3 ) , B = (2 , -5 )

A = ( 6 , -1 ) , B = ( 8 , 9 )

A = ( 4 , 3 ) , B = (7 , -2 )

12

في نقطتين بين المسافة طول إيجاد لكيفية أخرى طريقة سنتعلم اآلناإلحداثي المستوى

فيثاغورس نظرية باستخدام وهذه(( Pythagoras’ Theoremوذلكيتم الطريقة

: التالي المثال في مبين هو كما : 2مثال استخدامها

الشكل في المبينتين النقطتين بين المسافة أوجد فيثاغورس نظرية باستخRدامالتالي:

Using Pythagoras’ Theorem find the distance between the showing two points:

Solution::الحل

النقطتين بين المسافة هو وتره والذي الزاوية القائم المثلث بإكمال: التالي بالشكل هو كما

البعد أن نجد للنقطتين والرأسية األفقية اإلحداثيات مقارنة خالل ومن(xاألفقي )

الرأسي )15هو والبعد ، . 10هو( yوحدة نظرية باستخدام ثم وحداتفيثاغورث

: يلي كما المسافة نحسبD =

=

18 units


13

: 2تدريب

يلي مما نقطتين كل بين المسافة :أوجد فيثاغورس نظرية باستخRدامUsing Pythagoras’ Theorem find the distance between each two points:

1)

2)

A = ( 5 , -4 ) , B = ( -1 , -10 )

A = ( -3 , 6 ) , B = ( 2 , 7 )


التمارين ةداعمال

: التاليتين النقطتين بين المسافة أوجد مختلفتين بطريقتينBy two different methods find the distance between the following two points:

التمارين ةإضافيال

األصل( ) 1 نقطة مركزها التي الدائرة معادلة بالنقطة ( 0 , 0أوجد وتمر- (3 , 4.)

Find the equation of the circle with center ( 0 , 0 ) and passes through ( -3 , 4 )

النقطة( ) 2 مركزها التي الدائرة معادلة بالنقطة ( ) -5 , -3أوجد وتمر2 , 7.)

Find the equation of the circle with center ( 3 , -5 ) and passes through ( -2 , 7 )

( 3: يلي مما دائرة كل قطر ونصف مركز أوجد

A = ( 5 , 2 ) , B = (-1 , -6 )

Find the center and radius of the circle in each of the following a) X 2 + Y 2 = 4 b) ( X - 5 ) 2 + ( Y + 2 ) 2 = 36 c) (X – 4 ) 2 + Y 2 = 9

14

خط تقاطع نقاط إيجاد كيفية سنتعلم الدرس هذا فيإذا دائرة مع مستقيم

التعويض طريق عن جبريا وذلك ، منهما كل معادلة علمبمعادلة

من الناتجة المعادلة وحل الدائرة معادلة في المستقيمالتعويض هذا

األمثلة من يتبين كما الطريقة هذه خطوات وتجريالتالية:



:أن على

جبريا يعينتقاطع نقاطمع مستقيم

دائرة باستخدام

طريقة .التعويض


6.7

المصطلحات:Vocabulary :

Intersectionتقاطع

Substitutionتعويض

Algebraicallyجبريا

: 1مثال

: جبريا اآلتيتين المعادلتين حل

:Solution الحل:نحل ثم الدائرة معادلة في المستقيم بمعادلة بالتعويض نقوم

: يلي كما الناتجة المعادلة

بقيمتي المستقيم معادلة في حدة xوبالتعويض على كل: أن نجد

;

( ( : هما الدائرة و المستقيم تقاطع نقطتا تكون , 4وبذلك3-(,)4- , 3

مع مستقيم تقاطعدائرة

Intersection of Line and Circle

6.2. الوحدة سادسةال

Solve this system of equations algebraically: x2 + y2 = 25 (Equation of a circle center (0,0), radius 5) 4y = 3x (linear equation)

Substitute from the linear equation into the quadratic equation and solve. =25 = 25

16 + 9 = 400 25 = 400

= 16 Then

15

: 1تدريب

:) وجدت ) إن التاليين والدائرة المستقيم تقاطع نقاط جبريا أوجد

: 2مثال

: ) ( جبريا والدائرة المستقيم تقاطع نقاط وجدت إن أوجدFind the intersection points of the following Line and Circle algebraically:

:Solution الحل:الدائرة معادلة في المستقيم بمعادلة بالتعويض نقوم أيضا

: يلي كما الناتجة المعادلة نحل ثم

بقيمتي المستقيم معادلة في بالتعويض :xثم أن نجد حدة على كل;

( ( : هما الدائرة و المستقيم تقاطع نقطتا تكون , 1(,)1 , -5وبذلك-5

Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: x2 + y2 = 49 2y = 5x

x2 + y2 = 26 (Equation of a circle) x - y = 6 (linear equation)


16

: 2مثال

: ) ( جبريا اآلتيين والدائرة المستقيم تقاطع نقاط وجدت إن أوجدFind the intersection points of the following Line and Circle algebraically:

:Solution الحل:الدائرة معادلة في المستقيم بمعادلة بالتعويض

: يلي كما الناتجة المعادلة حل ثم

بقيمتي المستقيم معادلة في بالتعويض :xثم أن نجد حدة على كل

: هما الدائرة و المستقيم تقاطع نقطتا تكون وبذلك

(x - 9)2 + (y - 6)2 = 25

y = -2 x + 14

(x - 9)2 + ( - 2 x + 14 - 6)2 = 25 x 2 – 18x + 81 + ( - 2 x + 8 )2 = 25 x 2 – 18x + 81 + 4 x 2 – 32x + 64 – 25 = 0 5 x2 - 50 x + 120 = 0 x2 - 10 x + 24 = 0

( x – 4 ) ( x – 6 ) = 0

x = 4 or x = 6

Then y = 6 or y = 2

The intersection points are (6,2) ; (4,6)


17

: 3 مثال

: ) ( جبريا اآلتيين والدائرة المستقيم تقاطع نقاط وجدت إن أوجدFind the intersection points of the following Line and Circle algebraically:

:Solutionالحل: : الصورة على لتكون المستقيم معادلة بتعديل

لحلها العام للقانون فنلجأ بالتحليل حلها اليمكن التربيعية المعادلة وهذه: يلي كما

X = =

Then x = , x = بقيمتي المستقيم معادلة في بالتعويض :xثم أن نجد حدة على كل

y = - 0.4 + 2 = 1.6 , y = - 4.6 + 2 = - 2.6

-(: هما والدائرة المستقيم تقاطع نقطتا تكون ( , 2.6 , - 4.6وبذلك-(0.4 , 1.6 )

x 2 + y 2 + 4x + 2y - 4 = 0

x – y + 2 = 0

الدائرة ثم معادلة في يلي بالتعويض كما وتبسيطها

على )و (2بالقسمة


18


: يأتي مما كل في والمستقيم الدائرة تقاطع نقاط جبريا أوجد

1) and x + y = 7

2)

3) and y = 5 x

4) ( X + 2)2 + (Y - 1)2 = 25 and x + y = -2

5) (X - 4)2 + Y2 = 4 and 3y + 2x = 6

Find the points of intersection of The circle and line of each of the following:

(x - 3)2 + (y – 4)2 = 4

x 2 + y 2 = 25

x2 + y2 = 17 and y = –x – 3


( 1: جبريا يأتي مما كل في والمستقيم الدائرة تقاطع نقاط احسب

1) and y = - x + 1

2) and

3) and y = 5x

Calculate the points of intersection between The circle and line of:

x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0

x2 + y2 − 2x − 3 = 0 3x + y − 5 = 0

x2 + y2 − 2x - 4y − 60 = 0

بمقدار )صحيحان عددان ( 2 اآلخر أمثال ثالثة عن أحدهما ، (2يزيدكان فإذا

يساوي مربعيهما ؟ ، 68مجموع العددان فما


19

التكامل

حركة تنظم التي الدوارات من العديد قطر دولة في تنتشرالتي الطرق بين السيارات

. عن المعلومات بعض وهذه منها كل عند التصميم تتقاطعللدوار :الهندسي

األرض* مساحة فيها تتوافر التي الحاالت في الدوار تصميم يتمللدوار الالزمة

. أكثر أو أربعة المتقاطعة األفرع تكون أن ويفضلمروري* حجم حتى المرورية اإلشارات من أفضل الدوار يعتبر

إذا وخاصة معيناالعتبار في األخذ ويجب متساوية األفرع في المرور أحجام كانت

القطر يزيد أن ( مثال متقاطع طريق أكبر عرض عن للدوار الخارجي اإلجمالي

عرض طريقعرض 60 طريق مع متقاطع الخارجي 40م القطر يقل ال م

عن (.60للدوار م المستوى في يقع الدائرية الدوارات أحد مركز أن افترضنا فإذا

النقطة عند اإلحداثيالدوار ( 3 , 2) هذا قطر مستقيم 26وطول طريق يقطعه ، م

.5y = xمعادلته مع ) المستقيم الدوار مع الطريق هذا تقاطع نقاط فأوجد

الدائرة(.

المشروع

. والمستقيم الدائرة بين للعالقة الثالث الحاالت يبين التالي الشكل

: منها لكل التالية النقاط موضحا حدة على حالة كل ادرس 1. حالة( كل على عددي مثالالدائرة( 2 لمعادلتي الجبري الحل من حالة كل تمييز كيفية

والمستقيم. 3. حالة( كل في للدائرة بالنسبة المستقيم اسم


20

22

رقم الصفحة درساسم ال الرق

م

23 والعينات اإلحصائي المجتمعاإلحصائية

1

25 االستبيانات 2

27 النسبي التكرار مدرجاتالتراكمي التكرار وتوزيعات

3

29 التراكمي التكرار 4 جدول

32 اإلحصائية 5 المخططات

36 المركزية النزعة 6 مقاييس

23


الطالب يكون أنعلى :أنقادرا

كيفية يعرفاختيار

احصائية عينةجيدة.

العينة بين يميز متحيزةال

والعينة.زةيحتالم غير

.المعايير: Standards:

8.1 +8.2


Representative samples ممثلة عينات

Unbiased sampleمتحيزة عينة غير

Biased sampleم زةيحتعينة

اإلحصائي Statistical population المجتمع

الدراسة موضع المفردات جميع عن عبارة هو اإلحصائي المجتمعأو إنسان شكل على كانت سواء عنها حقائق معرفة في نرغب والتي . … Rالخ سفن أو مزارع أو منازل أو امتحRان درجات أو جماد أو حيوان

: من المجتمع يتكون وقدمحدود )1 ) ما( Finiteعدد مدينة أفراد عدد مثل المفردات من

. بها المنازل أوعددمحRدود )2 ) غير العربي( Infiniteعدد الخليج في األسماك عدد مثل

. النجوم أوعدد العملية هذه فتسمى المجRتمع مفردات لجميع البيانات جمع تم وإذا

. الشامل بالحصرمثل للمجتمع المفردات كل حصر من نتمكن ال الحاالت بعض وفى

مجتمعاتالبيانات على الحصول عملية تؤدي أن أو النباتات، أو األسماك

المجتمع لمفرداتإلى يؤدي كله المريض دم فحص ذلك مثال هالكها، أو إتالفها إلى

الشخRص، وفاةالمنتج هذا إتالف إلى يؤدي الثقاب أعواد جميع فحص وكذلك

..... وهكذا بالكاملتحتاج قد أو المفردات، كل من البيانات جمع يمكن ال وبالتالى

البيانات جمع عملية . هذا مثل وفى باهظة تكاليف أو Rكبير جهد أو طويل وقت إلى

يتم السابقة الحRاالتالمجتمع مفردات من فقط جزء عن البيانات من جمع

العينة sampleيسمىاإلحصائية Statistical sample العينة

ممثلة تكون بحيث اختيارها يتم المجتمع مفرRدات من جزء وهي . أخذ وأسلوب ككل إجراء العيناتللمجRتمع عند االستعمال شائع

يمكن وبواسطته أقل، تكاليفه ألن اإلحصائية والبحوث الدراساتالذي الشامل الحصر بأسلوب مقارنة سريعة، نتائج على الحRصول . على العينة وتمثل المجتمع مفردات كل من البيانات جمع فيه يتم

الطالب درجات من جزء أو معينة مدينة سكان من جزء المثال سبيل . أخذ بطرق خاص علم ويوجد وهكذا الدراسية المقررات ألحد

اإلحصائية العينات المعاينة .statistical samplingيسمى

على تعميمها يمكن نتائج إلى الوصول يتم اإلحصائية العينة ومن . اختيار يتم أن المهم ومن ككل الدراسة محل اإلحصائي المجتمع

( صحRيحا تمثيال اإلحصائي المجRتمع تمثل Representativeعيناتsamples ) فإن حقيقيا، تمثيال العينة تمثيل عدم احتمال حالة ففى

. ذلك عن الناتج الخRطأ قياس من الباحث يمكن اإلحصائي االستدالل: هما العينات من نوعين بين التمييز يجب وهنا

متحيزة عينة( 1 Unbiased sampleغيرنتائج وتعطي صحيحيا تمثيال اإلحصائي المجتمع تمثل التي وهي

جيدة.

biased sampleمتحيزة عينة( 2وتعطي صحيحيا تمثيال اإلحصائي المجRتمع التمثل التي وهي

. مضللة نتائج

7.1 Statistics اإلحصاء

اإلحصائي المجتمعاإلحصائية والعينات

http://www.maktoobblog.com/search?s=%D8%A7%D9%86%D9%88%D8%A7%D8%B9+%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%8A%D9%86%D8%A7%D8%AA+%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AD%D8%B5%D8%A7%D8%A6%D9%8A%D8%A9&button=&gsearch=2&utm_source=related-search-blog-2011-01-20&utm_medium=body-click&utm_campaign=related-search

http://www.maktoobblog.com/search?s=%D8%A7%D9%86%D9%88%D8%A7%D8%B9+%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%8A%D9%86%D8%A7%D8%AA+%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AD%D8%B5%D8%A7%D8%A6%D9%8A%D8%A9&button=&gsearch=2&utm_source=related-search-blog-2011-01-20&utm_medium=body-click&utm_campaign=related-search

24

: 1مثال

. مدينته سكان من عينة لدى المفضلة الرياضة حول رأي استطالع عمل سعيد أرادمن عددا وسأل ، الرياضية النوادي أحد في السباحة بركة من بالقرب فوقف

. المفضلة رياضتهم عن البركة لهذه المتجهينمتحيزة غير أم متحيزة سعيد اختارها التي العينة ؟(Biased or unbiased)هلجيدة؟ نتائج ليعطي استطالعه من يحسن أن لسعيد وكيف

الحل:متحيزة سعيد اختارها التي العينة :Biasedبالطبع لسببين وذلك

. : السباحة لرياضة متحيزة نتائج يعطي سعيد اختاره الذي المكان أوال. : جيدة نتائج يعطي ال وهذا فقط واحدا مكانا سعيد اختار ثانيا

: السابقتين النقطتين معالجة عليه استطالعه من سعيد يحسن ولكياختالف( 1 على الناس من الكثير منه يمر عام مكان في الوقوف عليه يجب

اهتماماتهم. 2. واحد( بمكان في يكتفي وال مختلفة أماكن عدة في الوقوف عليه يجب

بأن % الصحف إحدى في مقالة متأخرين 87إدعت يذهبون الموظفين من. يوميا دوامهم عن

أن % الصحافي عرف كيف تقل لم المقالة يذهبون 87ولكن الموظفين من. يوم كل دوامهم عن متأخرين

عن متأخرين يذهبون الذين الموظفين لعدد المئوية النسبة أن الطالب بعض يعتقدهي يوم كل دوامهم

من % بكثير واستخدموا 87أقل الموضوع هذا عن مسحية بدراسة القيام فقرروا ،: التالية الطرق

) لسؤال جابر خطط كل 10أ دوامهم عن متأخرين يذهبون كانوا إذا عما أشخاصيوم.

. جيدة بيانات يعطي ال قد جابر أسلوب أن يبينان سببين أعط . ) وتقف األربعاء يوم صباح في الشركات إحدى الى الذهاب عائشة قررت ب

الشركة أمام هناكالذين منهم الموظفين وعدد الشركة يدخلون الذين الموظفين عدد وتسجل

. متأخرين يأتون. جيدة بيانات يعطي ال قد عائشة أسلوب أن يبينان مخRتلفين سببين أعط

تدريب 1 :

في الطب دراسة ينوون الذين الطالب عدد كان إذا ما يستقصي أن يوسف أرادمن أكثر الجامعة مرحلة

. ينوون كانوا إذا ما صفه طالب جميع سؤال ينوي وهو الهندسة دراسة ينوون الذين . مسحه بها يحسن أن ليوسف يمكن التي الطرائق ناقش الهندسة أو الطب دراسة

اإلستطالعي.

تدريب 2 :

25


الطالب يكون أنعلى :أنقادرا

شروط يحدداستبيان ال عمل.الجيد

أمثلة ي عطيتصلح ألسئلة

استبيانا لتصميما.جيد


8.2


Questionnaire استبيان

Primary Dataأولية بيانات

Secondary dataثانوية بيانات

Definition of questionnaire :استبيانال تعريف

بموضوع المتعلقة البيانات لجمع أداة بأنه االستبيان تعريف يمكننامن مجموعة قبل من تعبئتها يجري استمارة طريق عن محدد بحث

األفراد. االستبيان Types of questionnaire: أنواع

أنواع : ثالثة إلى االستبيان تقسيم يمكن

تتطلب- : 1 مغلقة أسئلة للشخص توجه حيث المقيد االستبيانال أو بنعم اإلجابة

. لالستجابات محددة بدائل االستبيان لصاحب يقترح أو) / ( : ال نعم منزلي؟ واجب اليوم لديك هل مثال

مفتوحة- : 2 أسئلة للشخص توجه الحالة هذه في المفتوح االستبيانحرية له ويترك

هو وبألفاظه موقفه و رأيه من التلقائي الحRر بالتعبير اإلجابةنفسه.

: المدرسة تعطيها التي المنزلية الواجبات في رأيك ما مثال؟ Rللطالب

3 :) ( توجه- الحالة هذه في المفتوح المقيد أو المزدوج االستبيانأسئلة للشخص

و أحداها اختيار وعليه االستجابات بدائل تحRدد ثم ومغلقة محددة. اختياره يبرر

: مستوى رفع في يساعد المنزلي الواجب أن تعتقد هل مثالال ) / ( نعم الطالب؟

المناسب الواجبات عدد برأيك فكم بنعم اإلجابة كانت إذاأسبوعيا؟ .....

الجيد االستبيان :مواصفاتالتفسيرات- 1 يتحمل ال الذي الواضح واألسلوب المفهومة اللغة

المتعددة.2 - – - – : شخRصية- طويلة منفية مركبة األسئلة تكون أال يجRب

محرجة.المبحوثين- 3 يمكن مما المطروحة الخيارات من كافي عدد إعطاء

. دقيقا تعبيرا المختلفة آرائهم عن التعبير منموضوع- 4 وبين بينها الترابط وكذلك االستبيان أسئلة بين الترابط

ومشكلته البحRثالمطلوبة- 5 والتوضيحRات التعليمات من بمجموعة المبحوثين تزويد

استخدام ومجRاالت االستبيان من الغرض وبيان اإلجابة في. الباحث عليها سيحصل التي المعلومات

ال بعض ألسئلة وإليك في التي أمثلة استخدامها يمكن:Gاالستبيان

أفضل .- 1 مستقبل تحقيق على الجامعية الدراسة تساعدبشدة( 1 أوافق( 2الأوافق أدرى( 3ال أوافق( 4البشدة( 5 أوافقالمفضلة - 2 رياضتك ؟ماهيعدد- 3 صفك كم في ؟ الطالب

7.2Statistics

اإلحصاء

االستبياناتQuestionnaires

26

تدريب 1 :

: التالية العينات من كل في توجد التي األخطاء بعض صفزحام( 1 عن لسؤالهم الصباحي القطار ركاب من عدد عشوائيا القطارات شركة اختارت

المدينة في المواصالت 2. النباتية( لألطعمة حبهم عن زبائنه لسؤال النباتية األكالت مطاعم أحد أمام حسن وقفبين( 3 االتصال واختارت قرائها لعدد استبيانا الهاتف طريق عن الصحف إحدى أجرت

والساعة 1الساعة م4ميخRططون( 4 هل مشتركيها اإلنترنت لخدمات شركة سألت اإللكتروني البرRيد طرRيق عن

Rكمبيوتر جهاز لشراء. القادمتين السنتين خالل المشروالتكامل جديد

ع اختيار خالل عشوائية من عينة

استبيانا أجري مدرستك طالب منلدراسة Rالطالب يفضلها لغة أي عن

أم الرياضيات اإلنجليزية اللغةهذا العربية من النتائج واستخRلص

موضحRا رأي االستبيان كل مبررات – Excelالكمبيوترية مج ابرالب استعن

.Accessأو النتائج وتمثيل لتسجيلمستوى سجل على االستبيان نتائج

مدرستك.في قارنه أجريت مماثلة باستبيانات

مدارس أخرى .

وبين الشخصى رايك سجل. البحث خالصة

الطبيعية ال- 1 :علومل استبيانا بين صمم العالقة مدى دراسة

األكالت مطاعم مرRتادي عدد تأثرهذه أضرار معرفة بعد السريعة

اإلنسان صحة على .الوجباتالمعلومات + - 2 تكنولوجيا

الرياضة:استبيانا العالقة صمم عن مدرستك في

الفرد يقضيها التي الساعات عدد بينالبدنية لياقته وبين الكمبيوتر .أمام

المواد - 3 :جميعبالصف لزمالئك استبيانا عن صمم

كل لدى دراسية مواد ثالث أفضل. تنازليا مرتبة طالب

Unit 7Statistics

: 1مثال

اإلحصاء

السبب : اذكر التالية األسئلة االستبيان يتضمن أن اليجبشخصي( ) ( 1 سؤال الشهري؟ دخلك يبلغ كم 2) محدد( ) غير مفتوح سؤال الحياة؟ في رأيك ماسؤال( ) 3 الماضي؟ العام من أقل العام هذا الطقس حرارة أن على توافق أال

) متحRيز منفيتظل( 4 فهل سيارتك فيه توقف مكانا تجRد لم و التجRارية المجRمعات أحد إلى ذهبت إذا

حتى المكRان في تدورآخر؟ ) مجمع إلى تذهب أم مكRانا إجابات تجد عدة من ومركب طويل سؤال

اإلجابة يوال حرية ( عطي

27

األهداف:Objectives:الطالب يكون أن

على :أن قادرا

كثافة يحسبالتكرار

جدول لفئات.تكراري

مدرج يرسم. التكرار كثافة

جدول ينشئالنسبي التكرار. تكراري لتوزيع

جدول يكونالتكرار

التراكمي.

منحنى يرسم التراكمي التكرار


8.4

المصطلحات: Vocabulary :

Frequency densityتكرارال كثافة

Relative frequency النسبي التكرار

Cumulative frequencyالتراكمي التكرار

Frequency density Histogram :التكراركثافة مدرج أوال: المناظرRة الفئة عرض على تكRرار كل بقسمة التكرRار كثافة تحسب

له.

ال بيانات التكراري أطوال التوزيع تمثل مجاور. األفراد من مجموعة

1. الفئات( من فئة لكل التكرار كثافة احسب 2. التوزيع( لهذا التكرار كثافة Rمدرج ارسمالحل:

التكرار( 1 كثافة نحRسبالفئات من فئة لكلالمجاور بالجدول كما

التكرار( 2 كثافة مدرج نرسمتمثيل يتم حيث مبين هو كمااألفقي المحور على الفئاتمناسب مقياس اختيار ويتم

على وتمثيلها التكرRار لكثافة. الراسي المحRور

7.3Statistics

: 1مثال

اإلحصاء

وتوزيعات النسبي التكرار مدرجاتالتراكمي التكرار

Class Frequency65 ≤h < 75 275 ≤h < 80 780 ≤h < 90 2190 ≤h < 105 15

105 ≤h < 110 12

class (height - h) cm

class width

frequency frequency density

65 ≤h < 75 10 2 2 ÷ 10 = 0.2 75 ≤h < 80 5 7 7 ÷ 5 = 1.4 80 ≤h < 90 10 21 21 ÷ 10 = 2.1 90 ≤h < 105 15 15 15 ÷ 15 = 1.0

105 ≤h < 110 5 12 12 ÷ 5 = 2.4

28

Unit 7Statistics

اإلحصاء

Relative Frequency Histogram :النسبي التكرار مدرجثانيا: ، التكرارات مجموع على تكرار كل بقسمة تكرارية لبيانات النسبي التكرار يحسب

صورة على أو عشري أو اعتيادي كسر صورة على النسبي التكرار كتابة ويمكنواحد يساوي جدول أي لبيانات النسبية التكرارات مجموع يكون ، مئوية نسبة

أو % 100صحيح

. المجاور التكراري التوزيع لبيانات النسبي التكرار جدول أنشئ. صورة من بأكثر قيمة لكل النسبي التكرار عن عبر

Construct the relative frequency table for the shown table Express the results with more than one form.

الحل:

التكرارات = مجموع أن 20حيثبالجدول قيمة لكل النسبي التكرار فإن

على قيمة كل قسمة من R20ينتجكسر صورة على الناتج كتابة ويمكن

مبين هو كما مئوية نسبة أو عشري. المجاور بالجدول

: 1مثال Data Value Frequency

2 33 54 35 66 27 1

Data Value Frequency Relative Frequency2 3 3 ÷ 20 = 0.15 or 15%3 5 5 ÷ 20 = 0.25 or 25%

4 3 3 ÷ 20 = 0.15 or 15%

5 6 6 ÷ 20 = 0.30 or 30%

6 2 2 ÷ 20 = 0.10 or 10%

7 1 1 ÷ 20 = 0.05 or 5%Total 20 1 Or 100%

(1دريب )ت

من مجموعة أطوال يبين Rالموضح التكراري المدرج: الغابات إحدى في األسود الكرز أشجار

1. البيانات( لهذه التكراري الجRدول كون 1) Construct the frequency table.

2. لها( النسبي التكرار جدول أنشئ 2) Construct the relative frequency table.

29

Unit 7 Statistics

طرفه إلى طرفيه أحد من التوالي على التكرارات فيه تتجمع الذي الجRدول يسمىالجRدول ) Rب الكلي التكرار إلى وصوال أو اآلخر Cumulative Frequency المتجRمعالتراكمي

Table: )شكلين على ويكون

اإلحصاء

التراكمي التكرار CumulativeجدولFrequency Table

أوزان تسجيل تم للمرضى عالجي برنامج بداية المشاركين في : المجاور بالجدول مبين هو كما النتائج وجاءت البرنامج في

التراكمي ونك (1 التكRرار Cumulative Frequency Table جدولالتراكمي (2 التكرار منحنى Cumulative Frequency graph .ارسم3) – : أ الرسم قيمة من .( median)الوسيط قدر األوزان لهذه

ا- عدد عن تالذين ألشخاصب أوزانهم .جك 83قلال - عدد RاصجRعن أشخ أوزانهم تزيد . جك 102الذين

اإلجابة :

الوسيط برتنوجد- أ3( التكرارات ) +ة مجموع : 2على( 1بقسمة = 30.5أي الرسم نجد ومن الرتبة لهذه المناظر الوزن هو نوجد الوسيط . 92أن تقريبا كم

أن ب – نجد أيضا الرسم ال من عن أشخRاصعدد أوزانهم يقل 9هو كم 83الذينأشخاص.

- Rا وح عن ألشخاصعدد أوزانهم تزيد 4 = 56 – 60أشخاص ( 4هو كم 102الذين.)

: 1مثال

التراكمي (1 التكراري التراكمي (2 جدول التكرار منحنى

30

درجات( 1 يبين تكراري جدول يلي .30فيما للرياضيات اختبار في طالبا The following frequency table shows the marks of 30 students in math test.

التراكمي إليجاد جدول ال أكمل أ ( Cumulative Frequency التكرRارالتراكمي (ب التكرار منحنى Cumulative Frequency graph .ارسم

) الرسم ج :من من لكل التقريبية القيمة أوجدا ( median)الوسيط - 1 لدرجات.لهذهالدرجة -2 من أقل درجة على حصل طالبا .77كمالدرجة- 3 من أعلى درجة على حصل طالبا .93كم

Score Frequency

71 - 75 476 - 80 1181 - 85 986 - 90 891 - 95 596 - 100 3

على( 2 أجري استبيان نتائج يوضح التالي التكراري سؤالهم 300المدرج تم شخصالذي الزمن عن

. الخور مدينة إلى الدوحة مدينة من الوصول في منهم واحد كل يستغرقهThe following frequency histogram shows the results of a survey of 300 people who were asked how long it took them to get from Doha City to Al-Khor City.

) التراكمي ونك أ التكرار جدول Cumulative Frequency Table

التراكمي (ب التكرار منحRنى .ارسم Cumulative Frequency graph

) ال ج :من من كل قيمة البيانات لهذه قدر منحنى(.median)الوسيط - 1 األول -2 Q1 First quartileالربيع

Q3 Third quartile- الربيع الثالث 3

IQR Interquartile- المدى الربيعي 4

اإلحصاء

التمارين اإلضافية

Unit 7Statistics

31

لمعرفة - 1 استيبان المدارس في إحدى طالب يقضيه الي الزمن الواجبات يوميا إلنجاز: Rالنتائج كانتت المنزلية

) التراكمي ونك أ التكرار Cumulative Frequency Table جدول

التراكمي (ب التكرار منحنى Cumulative Frequency histogram ارسم) ال ج :من من كل قيمة البيانات لهذه قدر منحنى

(.median)الوسيط - 1 األول -2 Q1 First quartileالربيع

Q3 Third quartile- الربيع الثالث 3

IQR Interquartile- المدى الربيعي 4

Unit 7Statistics


15 70

Time (min)

Number of students

0 < x ≤ 20 20 < x ≤ 40

55

40 < x ≤ 60 60 < x ≤ 80

40

80 <x ≤ 100

10

اإلحصاء

المشروالتكامل ع

: الطبيعية العلومعلى 25لمدة الجليد تساقط يوما

طبقة قيست و الجبال أحد سفحسنتيمتر ألقرب يوميا الجليد

: كالتالي النتائج فجاءت242 ,228 ,217 ,209 ,253 ,239 ,266 ,242 ,251 ,240 ,223 ,219 ,246 ,260 ,258 ,225 ,234 ,230 ,249 ,245 ,254 ,

243 ,235 ,231 ,257.لهذه التراكمي التكرار جدول كونمنحنى ارسم ثم ومن ، القياسات

استنتج الرسم ومن التراكمي التكرار. البيانات لهذه الربيعي والمدى الوسيط

السم( ) (.1 و بالمتر للطول مقياسا أحضر2. صفك( طالب زمالئك أطوال بقياس قمإلى( 3 األطوال مقسما جدول في نتائجك سجل

. مناسبة فئاتالتراكمي (4 التكرار منحنى ارسم

Cumulative Frequency histogram ) ال د كل من قيمة البيانات لهذه قدر منحنى

من:األول( median)الوسيط الربيع ،Q1 First

quartile

المدى الربيعي ،Q3 Third quartileالربيع الثالث IQR

32



:أن على

يرسم مخطط

ساقالة قوروال

لبيانات احصائية.

دمRيستخمخطط

العلبة والشعرتين

بيانات لتمثيل

. احصائية

المعايير: Standards: 8.5


Stem-and-leaf diagram

و المخطط ساقالورقة

Box-and-whisker plot

العلبة مخططوالشعرتين

Range المدى

Minimum valueالصغرى القيمة

Maximum value العظمى القيمة

median الوسيط

The lower quartile

الرب األ ي دنىع

The upper quartile.

الرب ال ي أعلىع

: التالية البيانات لدينا كانت إذا41 ,46 ,47 ,49 ,54 ,63 ,64 ,66 ,68 ,68 ,72 ,72 ,75 ,76 ,81 ,84 ,88

هذه 1( ب نظم مخطط البيانات Stem and .ةقوروال ساقال استخRدامleaf diagram

البيانات لهذ (range)المدى احسب2( .هالوسيط 3( (Median. )أوجد

الحل: 1. المبين( المخطط في كما البيانات تنظيم يتمقيمة = – (2 أصغر قيمة أكبر المدى

Range = max value – min value 47 = 41 – 88 =

الوسيط( 3 9هو = ( median)ترتيبالوسيط 68 : 6|3=6key= ( median)إذن

Stem-and-leaf Diagrams (Box Plots) :الورقة و الساق مخطط أوال

رقم إلى العدد بتجزئة فيها نقوم البيانات لتنظيم احصائية طريقة هيأول كقسم اآلحاد

فالعدد الصحيح العدد حالة ففي ثاني، كقسم األرقام 13وباقي مثالاآلحاد رقم 3نجعل

) ( ) بالعشرات ) الخRاص والعدد الساق عمودي خط يمين على ورقةالخط يسار على

بالصورة . 1│3العمودياألعداد تمثل 9 3بالصورة 19، 13، 21وعليه

2│1

: 1مثال

7.4Statistics

تدريب 1 :

اإلحصاء

اإلحصائية Statistical المخططاتDiagrams

Stem Leaf4 1 6 7 95 46 3 4 6 8 87 2 2 5 68 1 4 8

.البيانات يوليو شهر خالل الدوحة في المسجلة الحرارة درجات تمثل39 ،35 ،27 ،31 ،25 ،46 ،24 ،31 ،28 ،42 ،37

27 ،24 ،33 ،35 ،36 ،29 ،47 ،50 ،43 ،32 25 ،36 ،38 ،49 ،23 ،46 ،28 ،38 ،34 ،9 1

مخطط 1( لتنظيم ( Stem and leaf diagram)ة قوروال ساقال استخدام. البيانات هذه

الدرجات هذ (range)مدى احسب2( .هتمثل أوجد 3( التي الحرارة (.Median )الوسيطدرجة

33

Unit 7Statistics

: الشعرتين: و العلبة مخطط ثانياقيم الخمس تحديد خالل من يمثل بشكل اإلحصائية البيانات لتمثيل مناسبة طريقة هي

: للبيانات التالية)1. الصغرى The minimum value. (Min) القيمة)2 . العظمى The maximum value. (Max)القيمةالرب 3( األ ي The lower quartile. ( Q1 ) .دنىع(. الوسيط 4( الثاني ) The median ( Q2 )الربيعالرب 5( ال ي The upper quartile. ( Q3 ) .أعلىع

Box-and-whisker plots (Box Plots)

: 1مثال

اإلحصاء

صيد من ناصر تمكن األسماك لصيد رحلة فكانت 13في أطوالها بقياس وقام سمكةكالتالي:

12 , 13 , 5 , 8 , 9 , 20 , 16 , 14 , 14 , 6 , 9 , 12 , 12

والشعرتين العلبة مخطط لرسم الالزمة الخمس القيم ارسم Box-and-whisker Plotأوجد ثمالمخطط.

:الحل ت أوال: ال يرتبعد ا تصاعديا أطوالب الصغرى تكون العظمى Min= 5 لقيمة والقيمة

Max = 20 : الوسيط ترتيب السابعة الوسيطفيكون = 7ثانيا القيمة هو

median = 12 األدنى: الربيع ترتيب : أي = 3.5 ثالثا والرابعة الثالثة القيمتين متوسط هو

Q1= 8.5 : األعلى الربيع ترتيب : )( 3= 10.5 رابعا عشرة والحادية العاشرة القيمتين متوسط أي

Q3 = 14 : : يلي كما المطلوب المخطط نرسم وبالتالي الخمس القيم أماكن نحدد خامسا

تدريب 1 :

درجات تمثل التالية :14البيانات االختبارات أحد في طالبا85 ,100 ,97 ,84 ,73 ,89 ,73 ,65 ,50 ,83 ,79 ,92 ,78 ,10

. الدرجات هذه يمثل الذي والشعرتين العلبة مخطط أنشئCreate a box and whisker plot to represent this data.

34

درجات بياناال- 1 تمثل التالية في ت الطالب :اختبارأحد الرياضيات ات73 ,42 ,67 ,78 ,99 ,84 ,91 ,82 ,86 ,94

الورقة )ارسمأ( و الساق بيانات.ال هلهذ ( Stem-and-Leaf Diagramمخططالوسيط( ) هو ما الدرجات( medianب .لهذه

درجات- 2 تمثل التالية في 20 الدرجات العظمى اختبار طالبا .50 نهايته

) الورقة )ارسمأ و الساق بيانات.ال هلهذ ( Stem-and-Leaf Diagramمخطط ) تبلغ ب على كم الحاصلين الطالب لعدد المئوية أكثر 40النسبة أو ؟درجة

Rمن تبلغ كم (ح أقل على الحاصلين الطالب لعدد المئوية ؟درجة 30النسبة

أطوال - 3 تمثل التالية من القيم لفريقين كرة العبي عدد :السلة السلة كرة دوري في

التوزيع قرووال ساقال مخططأكمل أ( لهذا .ة

الفريقين .ب( من لكل المدى أوجدالفريقين .ج( من لكل الوسيط أوجد ) الالعبين د لعدد المئوية النسبة أوجدتعد طولهم الذين .ى المترين

Unit 7Statistics


اإلحصاء

Bالفريق 179, 201, 187, 189, 205, 202, 196, 194, 180, 188

Aالفريق 177, 203, 188, 181, 204, 178, 195, 190, 178, 180

35

(4 . الرياضيات في اإلمتحان نفس للبنات واألخرى للبنين إحداهما مدرستان عقدت: يلي كما كانت البنات درجات

97, 98, 57, 45, 63, 75, 87, 34, 56, 28, 67, 89, 45, 61,53, 49, 81, 32, 23, 45, 47, 72, 34, 54, 23, 100, 76, 47

: يلي كما فكانت البنين درجات أما67, 87, 83, 92, 34, 31, 23, 25, 29, 39, 89, 91, 54,

47, 41, 50, 77, 18, 89, 100, 26, 62, 39, 14, 90

(( “ “ ) متعاقبة والورقة الساق مخRططات ارسم لبيان stem-and-leaf, back-to-backأ. الدرجات هذه

. ) ونواتجها اتبعتها التي الطرائق شرح مع والبنات، البنين أداء قارن ب . ) الوسيط ماهو البنين لعالمات تراكمي تكراري مخطط لرسم البيانات هذه استخRدم ج

(median. الدرجات( لهذهالربيعي ) المدى هو الدرجات؟ ( Interquartile IQRما لتوزيع

( ‘ ’ ) والشعرتين العلبة مخطط ارسم .box-and-whisker plotsد البنات( درجات لتمثيل. البيانات لهذه نسبي تكرار مدرج ارسم

اإلحصاء Unit 7Statistics

3 -. المعطاة للبيانات الشعرتين و العلبة « مخطط أنشئConstruct a box–and–whisker plot for the given data.

56 ,32 ,54 ,34 ,23 ,67 ,23 ,45 ,12 ,32 ,34 ,24 ,36 ,47 ,19 ,43

المشروالتكامل ع

الكيمياء:الذري العدد تحوي قائمة احضر

التي الكيميائية العناصر من لكل. العام هذا تدرسها

لرسم الالزمة الخمس القيم أوجدوالشعرتين العلبة -Box-andمخطط

whisker Plot . المخطط ارسم ثم

: االجتماعية العلومالمحتملة الحRرارة درجات حدد

الدوحة في السنة أشهر أحد خاللالعلبة مخطط ارسم ثم

. الدرجات لهذه والشعرتين

بالمدارس( ) 1 متوفر األوزان لقياس ميزانا أحضر.)2. صفك( طالب زمالئك بوزن قمإلى( 3 األوزان مقسما جدول في نتائجك سجل

. مناسبة فئاتالورقة ) 4 و الساق مخطط أنشئ( Stem-and-Leaf Diagram ) بيانات.ال هلهذالوسيط( )5 األوزان( medianأوجد .لهذهالمدى( )6 .The Rangeأوجد األوزان( لهذهواستنتج( 7 زمالءك أوزان على مالحظاتك سجل

يمثل قد ما؟ الطبيعى المستوى في هي وهل بينها عالقة

8. زمالئك( لبعض بنصائحك ابعث

36



:أن على

يحسب الوسط

وسيط الولمنوال وا

لبيانات احصائية. مفردة

يحسب الوسط

وسيط الولمنوال وا

لبيانات احصائية. تكرارية

المعايير: Standards: 8.38.69.1


Meanالوسط

الحسابي

Medianالوسيط

Modeالمنوال

المركزية النزعة تستخدم مقاييس عددية مقاييس هي . ظاهرة أي بيانات أن إذ البيانات تجمع أو تركز موضع لقياس

هذه . معينة قيم حول والتجمع التركز إلى الغالب في تنزعومقاييس . المركزية النزعة بمقاييس يسمى ما هي القيم

تعتبر أنها إذ عدديا البيانات لتلخيص تستخدم المركزية النزعة . المقاييس هذه أن كما للبيانات مثالية أو نموذجية قيم

مجموعة لوصف تستخدم . المختلفة البيانات مجموعات لمقارنة وكذلك البيانات

المقاييس : هذه أهم ومنالحسابي ) والوسيط( )Meanالوسط ،Median )والمنوال ،

(Mode.)

7.5Statistics

اإلحصاء

المركزية النزعة Measures ofمقاييسCentral Tendency

: أوال الحسابي الوسط Calculating the: حسابmean

النزعة مقاييس وأفضل أهم من الحسابي الوسط يعتبرالتحليل في واستخداما شيوعا أكثرها ومن المركزية

إحصائية وصفات خصائص من به يتمتع لما وذلك اإلحصائيبين. نفرق أن فيجب للبيانات الحسابي الوسط وإليجاد جيدة

المفردة ) أو المنفصلة والبيانات( discrete dataالبياناتالمجموعات ) ذات أو الممثلة() continuous dataالمتصلة

.) تكراري جدول فيمفردة ( 1 لبيانات الحسابي الوسط :حساب

Calculating the mean for discrete dataالحسابي ) الوسط أو( Meanيحسب منفصلة بيانات لعدة

. عددها على البيانات هذه مجموع بقسمة مفردةThe mean of a numeric variable is calculated by dividing the sum of the values of all observations in a data set by the number of observations in the set.

Mean =

البيانات عدد كان هي nفإذا المشاهدات أو القيم وكانتالحسابي ) الوسط هو( Meanفإن بالرمز له ويرمز

37

: 1تدريب

(.البيانات بالسنتيمتر ) الطالب من مجموعة أطوال تمثلThe following data show the heights of a group of students (cm)

39 ،35 ،31 ،31 ،28 ،42 ،37 . األطوال لهذه الحسابي الوسط Find the mean for thisأوجد

heights .

األشخاص من مجموعة أوزان عن عبارة التالية البيانات) بالكيلوجرام)

The following data show the weights of a group of people (Kg)

25 ,30 ,40 ,45 ,35 ,55 ,50 . األوزان لهذه الحسابي الوسط . Find the mean for this weightsأوجد

الحل:عددها = ÷ القيم مجموع الحسابي الوسط

Then:

: 1مثال

Mean = sum of all the data values ÷ number of data

التالية للبيانات الحسابي الوسط Find the mean of the: احسبfollowing data :

: 2 مثال

3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 :الحل

The sum of these numbers is 330 هو األعداد هذه مجموعThere are fifteen number هو األعداد هذه 15وعدد

The mean: هو الحسابي الوسط :إذن

38

الحوادث في قتلوا الذين األشخاص عدد يبين التالي الجRدولمن ألكثر ماهو , 10المرورية ، الفترة هذه خالل سنوات

عام؟ خالل ماتول الذين األشخاص عدد متوسطالحوادث في الواحد اليوم في ماتوا الذين األشخاص عدد وكم

الفترة؟ هذه خالل المرورية

الحل:ما يكون المفردة أو المنفصلة بالبيانات الخاصة الصيغة باستخدام

يلي:

: 3مثال

The following table lists the number of people killed in traffic accidents over a 10 year period. During this time period, what was the average number of people killed per year? How many people died each day on average in traffic accidents during this time period?

Number of fatalities in traffic accidents Year Fatalities

1 9592 1,0373 9604 7975 6636 6527 5608 6199 623

10 583

Using the formula to calculate the mean for discrete variables, you can see that:

: 2تدريب

من ال عدد اختبارات في الطالب أحد درجات يبين التالي جدول: الدراسية المواد

The following table showing the marks of a student in some subjects:

. األطوال لهذه الحسابي الوسط Find the mean for thisأوجدheights .

Social English science Math Islamic Arabic Subject44 38 40 41 49 47 Mark

39

جداول ( 2 في ممثلة لبيانات الحسابي الوسط حسابتكرارية:

Calculating the mean for frequency table data:

مجموعة أي في تقع التي المشاهدات بعدد قائمة التكرارية الجداول تمثل . أو بسيطة جداول إما نوعان التكرارية الجداول وهذه معطاة بيانات

. الفعلية األعمار وضع أردت إذا ، المثال سبيل فعلى مجموعات ذات جداولالتكراري الجدول استخدام فيمكنك تكراري جدول في األشخاص لبعض

) الفئات ) ذي التكراري الجدول استخدام كذلك ويمكنك فئات بدون البسيط . مناسبة عمرية فئات إلى األعمار بتقسيم

A frequency table lists the number of observations that lie in any given data set. It can be used with grouped or ungrouped variables.For example, to provide a frequency table of the age of people in a data set, you can produce a table using the exact age (ungrouped), or you can group the ages (grouped).

: بسيط( تكراري لجدول الحسابي الوسط حساب أThe mean of an ungrouped data:

عمليات نواتج جمع ثم لها المناظر بالتكرار درجة كل بضرب ذلك ويتموقسمتها الضرب

: التالية الصيغة باستخدام أي التكرارات مجموع على

. التالي المثال خالل من الطريقة هذه سجلت وسنناقش التي األهداف عدد يبين المقابل الجدول . القدم كرة لعبة في المباريات من عدد في

The showing table shown the number of goals scored in some football matches

. المباريات هذه في األهداف لعدد الحسابي الوسط احسب Calculate the mean of this numbers of goals.

: 4 مثال

Number of goals Frequency

1 13 14 15 47 28 1

Total 10

40

الحل:للجدول ثالث عمود بإضافة نقوم

عدد كل ضرب حواصل لكتابةجمعها ثم له المناظر التكرار في

المجاور بالجدول مبين هو كماالحسابي الوسط ايجاد وبالتالي

ذكرها السابق الصيغة باستخدام: يلي كما

إحدى في الموظفين من عدد غياب أيام عدد يبين التالي الجدولالشركات

The following table shows the number of absent’ days against to the number of employees in a company.

. الغياب أيام لعدد الحسابي الوسط . Find the mean for this absent’ daysأوجد

تدريب 3 :

Number of goals (x)

Frequency (f)

Total number of goals (xf)

1 1 13 1 34 1 45 4 207 2 148 1 8

Total 10 50

درجات هي المبينة : 100الدرجات االختبارات أحد في طالب

. الدرجات لهذه الحسابي الوسط . Find the mean for this marksأوجد

تدريب 4 :

The marks obtained by 100 students in a test were as follows

Mark x 5 6 7 8 9Frequency (f) 9 25 28 27 11

41

: فئات( ذي تكراري لجدول الحسابي الوسط حساب بThe mean of a grouped data:

التكرار ذات البيانات مع المستخدمة السابقة الطريقة نفس نتبعالدرجات استبدال مع البسيط

أن أي الفئات التكرار xfبمراكز في الفئة مركز ضرب حاصل ستكون. الفئة لهذه المناظر

The calculation is the same as that used in the previous example, except that the xf is now the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval.

. التالي المثال خالل من الطريقة هذه وسنوضحمكونة مجموعة أطوال يعرض المبين الجدول

طالب 50من من عشوائيا اختيرت طالبا . عشر الحادي الصف

المجموعة هذه ألطوال الحسابي الوسط ماهوالطالب؟ من

الحل:من فئة كل مركز فيه نحدد الفئات عمود يلي عمود للجدول نضيف

نضيف ثم الفئاتفئة كل مركز ضرب حاصل فيه نكتب التكرار عمود يلي آخر عمودا

التكرار فيأي لها . xfالمناظر مجموعها إيجاد وبالتالي

: 5 مثال

The showing table shows the heights of 50 randomly selected from Grade 11 students. What is the mean height of the students?

Height (cm) Frequency (f)

150 <– 155 4155 <– 160 7160 <– 165 18165 <– 170 11170 <– 175 6175 <– 180 4

Total 50

Determine the midpoint of each class interval for a variable, add a column after first column to write the midpoints of sets, and another column after the frequency column to write the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval, and find the sum of (xf).

http://www.statcan.gc.ca/edu/power-pouvoir/glossary-glossaire/5214842-eng.htm#classinter

42

: التالي الجدول خالل من الحل خطوات وتتضحTo illustrate the solution steps look at the following table:

الحسابي الوسط ايجاد يمكن الجدول من األخيرين العمودين مجموع وباستخRدام : يلي كما

لمدة النبات من نوع أطوال تسجيل تم سنتيمتر، بعد 6ألقرب أشهرزراعته.

. األطوال لهذه الحسابي الوسط RاحسبCalculate the mean of this heights .

تدريب 5 :

Height (cm) Midpoint x

Frequency f

Midpoint Frequencyx f

150 <– 155 152.5 4 610155 <– 160 157.5 7 1102.5160 <– 165 162.5 18 2925165 <– 170 167.5 11 1842.5170 <– 175 172.5 6 1035175 <– 180 177.5 4 710

Total ----- 50 8225

The heights to the nearest centimeter of a type of plant were recorded 6 months after planting.

Height 3 - 5 6 - 8 9- 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20

Frequency (f) 5 8 22 12 8 5

43

الوسيط : ثانيا Calculating the median: حساب . الوسيط ويعرف ة المشهور ية المركز النزعة مقاييس أحد هو الوسيط

ترتيبها عند البيانات تتوسط التي القيمة تلك أنه على البيانات من لمجموعةإلى ) ( ترتيبها بعد البيانات تقسم التي القيمة تلك أنه أي تنازليا أو تصاعديا

تساوى أو عن تقل األول الجزء في البيانات فتكون متساويين جزأينأن . أي الوسيط تساوى أو عن تزيد الثاني الجزء في والبيانات الوسيط

و% 50 الوسيط عن تقل أو تساوي البيانات تساوي% 50من البيانات منالوسيط . عن تزيد مفردة ( 1أو بيانات لعدة الوسيط :حساب

Calculating the median for discrete dataهو العينة بيانات عدد كان هي nإذا العينة قيم وكان

الوسيط ) : Medianفإن هما( إليجاده حالتان لهالعينة: حجم كان إذا : nأوال فإن فرديا عددا

القيمة= الوسيط وهي ترتيبها بعد البيانات منتصف في التي القيمةالترتيب ذات

* For an odd number of values: The median is the middle observation in the ordered list. The median is the ()th item, where n is the number of values

: المثال سبيل : For exampleعلى

: التالية المشاهدات لمجموعة الوسيط To calculate the medianلحسابfor the

following set of observations: 3 , 5 , 2 , 12 , 9 , 8 , 7

: يلي كما القيم بترتيب : Start by sorting the valuesنبدأ 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 12

الوسيط ) القائمة) 7 هو( medianفيكون منتصف في التي القيمةللقيم ( المرتبة

Then, the median is 7 (the middle observation in the ordered list)

العينة: حجم كان إذا : nثانيا فإن زوجيا عدداترتيبها = الوسيط بعد البيانات منتصف في اللتين القيمتين متوسط

و + الترتيب ذاتا المرتبتان القيمتان 1وهما

44

** For an even number of values: the median is the arithmetic mean of the two middle observations in the ordered list. The median is the arithmetic mean of the ()th and (+1)th item, where n is the number of values.

: المثال سبيل For exampleفعلى

: التالية المشاهدات لمجموعة الوسيط To calculate the medianلحسابfor the

following set of observations: 9 , 6 , 13 , 1 , 10 , 4

: يلي كما القيم بترتيب : Start by sorting the valuesنبدأ 1 , 4 , 6 , 9 , 10 , 13

الوسيط ) الحسابي هو( medianفيكون 9 , 6للقيمتين الوسط Then, the median is the arithmetic mean of the two values 6 , 9

= = هو الوسيط أن 7.5أي

ل( 1 المحالت أحد من المشتراه المجالت لعدد الوسيط من 7احسبالزبائن.

في( 2 القصيرة التطبيقات في أحمد حصل ، األول الدراسي الفصل خاللعلى الرياضيات

التطبيق . 98, 87, 97, 88, 95, 88, 93, 92, 90الدرجات درجة ماهيالوسيط .

2)

أعمار( 3 . 10سجلت األعمار كانت إذا الوسيط أوجد الجامعة طالب من: هي المسجلة

18 ,24 ,20 ,35 ,19 ,23 ,26 ,23 ,19 ,20 3)

اتتدريب :

1) Find the median number of magazines purchased in a store by 7customers. 1, 7, 9 , 7 , 3, 6 , 4

During the first semester of the study year, Ahmed's math quiz scores were 90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, and 98. What was the median quiz score?

The ages of 10 college students are listed below. Find the median. 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20

45

2 ): تكرارية جداول في ممثلة لبيانات الوسيط حسابCalculating the median for frequency table data:

: بسيط( تكراري لجدول الوسيط حساب أThe median of an ungrouped data:

حسابه طريقة بنفس الوسيط نوجد البسيطة التكرارية الجداول فيالمفردة للبيانات بالنسبة

. الجدول في مفرة لكل المناظر التكرار االعتبار في األخذ

المثال خالل من بسيط تكراري لجدول الوسيط إيجاد طريقة تتضح والتالي.

على يجلسون الذين األشخاص عدد تبين التالي الجدول في التي البيانات. . البيانات لهذه الوسيط أوجد المطاعم أحد في طاولة كل

The data in the table below shows the number of people on each table at restaurant. Find the median of this data.

Solution الحلأي التكرارات مجموع هو البيانات من المجموعة هذه لقيم الكلي العدد

أن: The total number of data values is the number of tables in the restaurant. It is the sum of the frequencies, which is

الترتيب فيكون 19.5 = ذات القيمة الوسيط أن وحيث رقمي القيمتين متوسط هو الوسيط أن القيم 20و 19أي ترتيب في

The median is the average of the 19th and 20th data values.

:1 مثال

Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12

Frequency 1 0 3 9 12 7 4 2

46

Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12Frequency 1 0 3 9 12 7 4 2

: الجدول على مبين هو وكما

رقم من البيانات 13 إلى 14البيانات قيم منالقيمة 25رقم تساوي 9كلها أو من 8أقل

13 data values of 8 or less The 14th to the 25th are all 9s

الوسيط : فيكون

من( لعدد إحصاؤها تم التي اإلرسال ضربات عدد يبين التالي الجدول أ . ) المباريات ) إحدى في لهم مجموعة أول في التنس المضرب كرة العبي

. الضربات من العدد لهذا الوسيط أوجدA) The table below shows the number of aces served by tennis players in their first set of a tournament. Find the median number of aces for these sets.

هذا( سجل قد بمدرستك السلة كرة فريق أن تصور بفي المدى البعيدة الضربات من .10العدد مباريات

الوسيط؟ سيكون فكم

تدريب 1 :

Number of aces 1 2 3 4 5 6

Frequency 4 11 18 13 7 2

B) Imagine that your school basketball team scores the following number of home runs in 10 games. what would the median be?

Number of home runs Frequency 4 15 26 07 28 49 1

47

: فئات( ذي تكراري لجدول الوسيط حساب بThe median of a grouped data:

تكراري جدول في مسجلة البيانات من لمجموعة الوسيط لحساب يلزمتحديد فئات ذي

التكرارات لجمع للجدول عمود إضافة كذلك ، لفئات الفعلية الحدودويسمى متتالية بصورة

المتجمع ) تحديد( Cumulative Frequencyبالتكرار خالله من يتم والذيالتي الفئة

ثم ومن الوسيط لفئة السابق التكرارالمتجمع وكذلك الوسيط تحويالتالية الصيغة استخدام

: الوسيط لحساب

للفئة – السابقة للفئة المتجمع التكرار الوسيط ترتيبالوسيطية

الوسيطية = + للفئة األدنى الحد الوسيطRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR × الفئة طول

الوسيطية الفئة تكرار

: من كل يرمز حيث

الوسيطية - للفئة الفعلي األدنى الحدالوسيط - ترتيب

الوسيطية - للفئة السابق المتجمع التكرارالوسيطية - الفئة تكرارالفئة - طول

من المجموعات ذي التكراري للجدول الوسيط حساب طريقة وسنتناول. التالي المثال خالل

ifkcf

n

kTmed

12Median

kT

2n

1kcf

medf

i

48

The table below shows the ages of 30 patients of a hospital at one day . Find the median age of these patients.

solution الحل:للفئات الفعلية الحدود فيه نحدد الفئات عمود يلي عمود للجدول نضيف

عليها) ونحصلوجمع 0.5بطرح فئة لكل األدنى الحد لكل 0.5من األعلى الحد على

نضيف ( ثم فئةالمتجمع ) التكرار فيه نوجد التكرار عمود يلي آخر عمودا ( cfكذلك

من ينتج وهوالذي: التالي بالجدول مبين هو كما للتكرارات المتتالي الجمع

: التالية الخطوات نتبع ثم

: 2 مثال

أعمار بيانات يبين اآلتي التكراري مراجعي 30الجدول من مريض. . المرضى لهؤالء الوسيط العمر احسب األيام أحد في المستشفى

Interval 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 24 – 26 27 – 29 Total

Frequency 8 4 7 6 2 3 30

Sets Actual boundaries of sets Frequency ( f ) Cumulative

Frequency ( cf )

12 – 14 11.5 – 14.5 8 815 – 17 14.5 – 17.5 4 1218 – 20 17.5 – 20.5 7 1921 – 23 20.5 – 23.5 6 25

24 – 26 23.5 – 26.5 2 2727 – 29 26.5 – 29.5 3 30

Total - 30 -

15

49

على( 1 التكرارات مجموع بقسمة الوسيط ترتيب :2نوجد 15= أي =

إليجاد( 2 المتجمع التكرار عمود في القيم بين الوسيط مكان نحددالسابق المتجمع التكرار

: أن أي الوسيط لفئة

3: هو( الوسيطية الفئة تكرار

الفئة( 4 وطول

5: هو( الوسيطية للفئة الفعلي األدنى الحد

الوسيط : يكون الصيغة وباستخدام

121 kcf

7medf

35.115.14 i

5.17kT

أطوال المدارس 50قيست إحدى في طالباالمقابل الجدول في النتائج وسجلت

. البيانات لهذه الوسيط الطول احسب A) The table at left shows the heights of 50 students in a school. Calculate the median height of this data set.

تدريب 2 :

Height (cm) Frequency

150 to < 155 4155 to < 160 7160 to < 165 18165 to < 170 11170 to < 175 6175 to < 180 4

50

المنوال : ثالثا Calculating the mode: حسابمن( Modeالمنوال ) أكثر تتكرر التي القيمة هي القيم من لمجموعة

هو أو ، غيرها . لها يوجد قد وأيضا منوال للقيم يكون ال وقد شيوعا األكثر القيمة

(Bimodalمنواالن )ثالثة ) المنوال( )tri modalأو متعددة حالة(. Multimodalأو وفي

الجدول بياناتألكبر المقابلة الفئة هي المنوالية الفئة تكون الفئات ذي التكراري

تكرار.مجموعة = بين تكرارا األكثر القيمة المنوال

القيم.In a set of data, the mode is the most frequently observed data value. There may be no mode if no value appears more than any other. There may also be two modes (bimodal), three modes (tri modal), or four or more modes (multimodal). In the case of grouped frequency distributions, the modal class is the class with the largest frequency.

Mode = the most frequently observed data value

مفردة ( 1 بيانات لعدة المنوال :حسابCalculating the mode for discrete data ، القيم بين تكرارا األكثر القيمة ببساطة هو مفردة بيانات لعدة المنوال

يلزم ال والمنوال. حسابية عمليات أي إجراء إلى يحتاج ال و القيم ترتيب The mode for discrete data is simply the most observed value. To work out theلتعيينه

mode, observations do not have to be placed in order, although for ease of calculation it is advisable to do so.

: التالية القيم لمجموعة المنوال For the following data set, findأوجدthe mode

الحل:هي القيم بين تكررت قيمة أكثر أن المنوال 0حيث يكون لذلك

Mode = 0

:1 مثال

0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,2 ,3 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,1 ,0

51


الحل:القيمتان أن هذه 7، 4حيث فإن تكرارا القيم كأكثر العدد بنفس تكررتا

القيم من المجموعة

This data set has two modes (Bimodal) = 4 & 7

:2 مثال

7 , 3 , 4 , 9 , 4 , 7 , 5 , 2 , 7 , 5 , 4

وهما منواالن منوالين 4, 7لها ذات مجموعة وتسمىBimodal


11 , 13 , 5 , 15 , 14الحل:

فإن لذا غيرها من أكثر تكررت قيمة القيم بين توجد ال أنه حيثالقيم من المجموعة منوال هذه لها ليس

:3 مثال

Since each value occurs only once in the data set, there is no mode for this set of data.

: التالية القيم مجموعة لكل المنوال For each of the following data set, findأوجدthe mode

تدريب 1 :

1) 14, 14, 15, 16, 14, 16, 16, 18, 14, 16, 16

2) 22 , 7 , 9 , 12 , 9 , 10 , 2 , 11 ,10 , 9 , 2

3) 2.7 , 3.5 , 4.9 , 5.1 , 8.3

4) -21 , 0 , +2 , -15 , 0 , +5 , -18 , +7 , 0 , -32 , +21

52

2 ): تكرارية جداول في ممثلة لبيانات المنوال حسابCalculating the mode for frequency table data:

: بسيط( تكراري لجدول المنوال حساب أThe mode of an ungrouped data:

المنوال يكون البسيطة التكرارية الجداول التي Modeفي القيمة هوتكرار أكبر تقابل

. التالي المثال من يتضح كما

على يجلسون الذين األشخاص عدد تبين التالي الجدول في التي البيانات. . البيانات لهذه المنوال أوجد المطاعم أحد في طاولة كل

The data in the table below shows the number of people on each table at restaurant. Find the mode of this data.

Solution الحلهو تكرار أكبر أن :12حيث أن أي له المناظرة القيمة هو المنوال فإن

Mode = 9

:4 مثال

Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12

Frequency 1 0 3 9 12 7 4 2

: التالي التكراري للتوزيع المنوال For of the following table, find أوجدthe mode

تدريب 1 :

Wages of workers 3800 4100 4400 4900 5200 5500 6000

Number of workers 12 13 25 17 15 12 6

53

: فئات( ذي تكراري لجدول المنوال حساب بThe mode of a grouped data:

الرياضية * المراجع بعض تكتفي الفئات ذات التكرارية الجداول فيالمنوالية الفئة بتعيين

( Modal Class. التكراري( الجدول في تكرار أكبر تناظر التي الفئة وهي. التالي المثال خالل من ذلك سنوضح كما

من مكونة مجموعة أطوال يعرض المبين الجدول 100 . عشر الحادي الصف طالب من طالب

. األطوال لهذه المنوالية الفئة حدد

الحل:

هو تكرار أكبر أن الجدول قراءة من المنوالية 33يتبين الفئة فإن لذاهي

: 5 مثال

The showing table shows the heights of 100 Grade 11 ‘ students. Determine the modal class for this heights.

Height (cm) Frequency (f)150 <– 155 14155 <– 160 27160 <– 165 33165 <– 170 31170 <– 175 26175 <– 180 19

Total 100

The modal-class interval is 160 –< 165 cm

: التالي التكراري للتوزيع المنوالية الفئة Determine the modelحددclass :

تدريب 2 :

set 4 - 7 8 - 11 12- 15 16 - 19 20 - 23 24 - 27

Frequency 11 14 21 26 19 9

54

من ** المنوال لحساب تستخدم األخرى الرياضية المراجع بعض وفيالتكرارية الجداول

: التالية الصيغة الفئات ذات Mode =

حيثالوسيطية = للفئة الحقيقي األدنى الحد

المنوالية = قبل الفئة تكرار عن المنوالية الفئة تكرار زيادةالمنوالية = بعد الفئة تكرار عن المنوالية الفئة تكرار زيادة

المنوالية = الفئة Cطول. التالي المثال سنناقش الطريقة هذه ولتطبيق

الحل:

في والمتضمنة المنوال لحساب الالزمة المعلومات الجدول من نستخرج: وهي الصيغة

= 34 , , , C = 2

: على نحصل القيم بهذه وبالتعويض

: 5 مثال

The opposite table shows the temperature degrees recorded in one month of a year.Calculate the mode for this degrees.

Temperature Frequency 30- 232- 634- 1136- 8

38 - 40 3Total 30

لدرجات بيان هو المقابل الجدول . السنة أشهر أحد في المسجلة الحرارة

. الدرجات لهذه المنوال احسب

55

: التالي التكراري للتوزيع المنوال احسب Calculate the mode for the following frequency distribution.

تدريب 3 :

set 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 – 24 25 - 29

Frequency 11 14 21 26 19

: ) التالية القيم لمجموعة والمنوال الوسيط و الحسابي الوسط أوجد أ


Find the mean, median, and mode for the following list of values:

1) 1, 2, 4, 7

2) 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13

3) 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 13, 12

4) 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20

: ) التالي التكراري للتوزيع والمنوال الوسيط و الحسابي الوسط أوجد بB) Find the mean, median, and mode for the following table of values:

Mark 0 1 2 3 4

Frequency 4 19 25 29 23

56

Mass (m) kg Frequency 30 ≤m < 40 7 40 ≤m < 50 6 50 ≤m < 60 8 60 ≤m < 70 4

Total 7

. باستخدام( الصفوف أحد في األطفال من مجRموعة أوزان يبين المجاور الجدول ج: المعلومات هذه

This table shows the weights of children in a class. Using this information:

الحسابي( 1 الوسط يمثل الذي الوزن احسب 1 )Calculate the mean weight.

المنوالية( 2 الفئة أوجد 2) Find the modal class

الوسيط (3 الوزن احسب 3) Calculate the median weight.

األوزان( 4 لهذه المنوال احسب 4) Calculate the mode for this weights.

اإلحصاء Unit 7Statistics

القيم( 1 مجموعات من لكل والمنوال الوسيط و الحسابي الوسط أوجدالتالية:

1) Find the mean, median, and mode.

1) 239, 230, 500, 120

2) 32, 54, 87, 12, 30, 72, 13, 49, 80, 72

3) 34.9, 23.5, 83.7, 65.8, 34.9, 20

4) 73.3, 48.61, 45.4, 37.8, 210

5) 29.80, 27.39, 12.73, 49.80, 27, 310.92, 37.01

6) 0.4, 0.03, 0.2, 0.043, 0.015, 0.04, 0.08, 0.075

في( 7 الحضور عدد الكليات بإحدى القدم كرة فريق مباريات 7سجلفكانت:

7) A college football team recorded attendance for its 7 home games.24,329 - 76,875 - 65,312 - 78,698 - 43,243 - 23,416 - 58,704

والمنوال الوسيط و الحسابي الوسط من كل احسبFind the mean, median, and mode.


57

التالية( 2 الدرجات على اختباراته في الطالب أحد , 76 , 95 , 87حصلهذا 88 ويريد ،

درجة على الحصول . 85الطالب عليه يجب درجة أقل هي ما أكثر أوعليها يحصل أن

يريده؟ الذي المعدل ليحقق اختبار آخر في 2) A student has gotten the following grades on his tests: 87, 95, 76, and 88. He wants an 85 or better overall. What is the minimum grade he must get on the last test in order to achieve that average? 3 )وعدد الخياطين أحد لدى المصنعة القمصان مقاسات يلي فيما

: منها المطلوب3) The size of shirts manufactured by a tailor are as follows:

. المقاسات لهذه والمنوال الوسيط و الحسابي الوسط أوجد

1) Find the mean, median, and mode for these sizes.

Size of shirts 32 33 35 36 37 39 42

Number of shirts 2 3 1 4 1 2 1

4 : أوجد( التالي التكراري للتوزيع 4) For the following frequency distribution, find.

) الحسابي الوسط A) The meanأ ) الوسيط B) The medianب

) المنوالية الفئة C) Modal Classج ) المنوال D) The modeد

3 7

Class interval

Frequency

5 ≤ x < 10 10 ≤ x < 15

5

15 ≤ x < 20

20 ≤ x < 25

2

25 ≤ x < 30

4

58

أحجام و مساحاتالهندسية األشكال

و : ةثامنال الوحدة الهندسة4القياس

60

رقم الصفحة الرقم درساسم ال

61 القطاع الدائريطول القوس ومساحة 1

67 األشكال وأحجام مساحاتالهندسية 2

73 الشمال ال عن انحراف 3

76 المركبة 4 المقاييس

61


الطالب يكون أنعلى :أن قادرا

طول حسبيومساحة القوسالدائري القطاع

القياس باستخدامالستيني

طول حسبيومساحة القوس

القطاع باستخدام الدائري

الدائري القياس


6.13


Centre مركز

radius قطر نصف

Diameterقطر

Circumferenceالدائرة محيط

arc length طول القوس

sector دائري قطاع

: الدائري القطاع تعريفبقوس محدود الدائرة من جزء هو الدائري القطاع

. الدائرة في قطر ونصفي A sector of a circle is a pie-shaped region bounded by an arc and two radii.

8.1 الوحدة الثامنة

Arc Length and Area of Sector

طول القوس ومساحة القطاع الدائري

الدائري القطاع ومساحة القوس :طولالقطاع: ومساحة القوس طول حساب أوال

الستيني بالقياس الدائريقياس ) فيه يكون الذي هو الستيني القياس

:) بالدرجات الزاوية• calculate the arc length and area of a sector by degrees measure.

( 1 : الستيني بالقياس القوس طول

Arc Length:

(2 : الستيني بالقياس الدائري القطاع مساحة

Sector Area:

62

:1مثال التي أوجد الدائرة في الدائري القطاع ومساحة القوس طول

قطرها المركزية 15نصف زاويته وقياس ° .60سمFind the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 15 cm and central angle 60°.


طول: قانون باستخدام أوال القوس

بقيم rو Ѳوبالتعويض

نحصل الحاسبة وباستخدام:على

الدائري: القطاع مساحة قانون باستخدام ثانيا


نحصل الحاسبة وباستخدام:على

تدريب الدائرة أوجد : 1 في الدائري القطاع ومساحة القوس طول

قطرها نصف المركزية 7التي زاويته وقياس ° 120سم.

Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 7 cm and central angle 120°.

الوحدة الثامنة

63

الدائري القطاع ومساحة القوس :طولبالقياس: الدائري القطاع ومساحة القوس طول حساب ثانيا

الدائري Calculation of the arc length and area of a sector by radian measure.

( 1 : الدائري بالقياس القوس طول

Arc Length: s = r Ѳ

(2 : الدائري بالقياس الدائري القطاع مساحة

Sector Area:

: الدائري القياس تعريفالمركزية للزاوية الدائري بين Ѳالقياس النسبة بأنه يعرف لدائرة

الزاوية هذه قوس الدائرة s طول قطر نصف على rمقسوما The radian measure of a central angle Ѳ of a circle is defined as the ratio of the length of the arc of the angle subtends, s, divided by the radius of the circle, r.

: أي

64

:2مثال التي أوجد الدائرة في الدائري القطاع ومساحة القوس طول

قطرها المركزية 7نصف زاويته وقياس راديان .2.5سمFind the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 7 cm and central angle 2.5 radians.

:Solutionالحل :

: القوس طول للزاوية sأوال الدائري القياس : Ѳمن s = r Ѳهو

بقيم r = 7 × 2.5و Ѳوبالتعويض

= 17.5 cm

: الدائري القطاع مساحة : Aثانيا


تدريب الدائرة أوجد : 2 في الدائري القطاع ومساحة القوس طول

قطرها نصف المركزية 4التي زاويته وقياس سمراديان.5.1

Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 4 cm and central angle 5.1 radian.


65


التمارين ةداعمال كان 1) إذا المبينة الدائرة r = 8 cmفي

القوس طول من كال ABفأوجدالدائري القطاع ABOومساحة

1) If r = 8 cm, find the length of arc AB and the area of the sector ABO.

المركزية 2) الزاوية قياس عليها مبين أمامك التي AOBالدائرةالدائري ABللقوس بالتقدير

قطرها نصف r = 5 cmوطولالقوس طول من كال ABفأوجد

الدائري القطاع AOBومساحة For the circle shown, calculate: i) The length of the arc AB ii) The area of the sector AOB.

التمارين ةإضافيال (1. أطوالها حسب تصاعديا ترتيبا التالي الشكل في التي األقواس رتب

Arrange the arcs in the figure in the ascending order of its lengths.

66

قطره 3 ) نصف طول دائري المركزية 1.875قطاع زاويته قياس و سم165.58 . °

؟ الدائري القطاع هذا محيط هو ما

3) A circular sector with radius 1.875 cm and central angle 165.58°. What is the perimeter of this sector?

طوله 2) للري أنبوب لدينا كان . 450إذا متر دورانه بعد ريها يمكن التي المساحة هي فما

الدائري بالقياس مقدرها بزاوية 2) If the irrigation pipe is 450 m in length, what is the area that can be irrigated

after a rotation of radians?

قطره 4 ) نصف طول دائري قطاع شكل على للمشاة رصيف من جزءقياس 1.25 و متر

المركزية الرصيف؟ . 50.6زاويته من الجزء هذا مساحة هي ما °

4) A section of side walk is a circular sector of radius 1.25 m and central angle 50.6°. What is the area of this section of sidewalk?

هو 5 ) هوائية دراجة عجلة قطر نصف طول كان . 50إذا عدد فكم سمتدورها التي الدورات

لمسافة الهوائية الدراجة سارت إذا العجلة ؟ 270هذه متر

5) The radius of a bicycle wheel is 50 cm. How many revolutions does the wheel make when the bicycle travels 270 m?

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Applications_of_Radian_Measure_Example_4.svg

67

: أن تذكر



:أن على

حسبي مساحات

أشكال وأحجامهندسية متنوعة.


7.1


areaمساحة

Volumeحجم

Geometrical shape

هندسي شكل

وأحجام مساحاتالهندسية األشكال

Areas and Volumes of Geometrical Shapes


Shapes Formula

Rectangle:A = lw

P = 2l + 2w

ParallelogramArea = Base X Height

A = b.hP = 2a + 2b

b

TriangleArea = 1/2 of the base X height

A = 1/2 bhPerimeter = a + b + c

Trapezium

Area

Perimeter = a + b1 + b2 + c

Circle Circumference c = pd = 2 pr

Area A = pr2

68

Shapes Formula

Rectangular SolidVolume = Length X Width X Height

V = lwhSurface = 2lw + 2lh + 2wh

PrismsVolume = Base X Height

v = B hSurface area = 2B + Ph

(B is the area of the base and P is the perimeter of the base)

CylinderVolume V = pr2 h

Surface area = 2prh + 2pr2

PyramidV = 1/3 Bh

(B is the area of the base)

ConesVolume V= 1/3 pr2h

Surface area = pr2 + prs

SphereVolume V = 4/3 pr3 Surface Area = 4pr2

69

: 1مثال المبين الشكل مساحة :احسب

Calculate the area of the shown shape

:Solution الحل:

Area of rectangle = 4 × 8 = 32 m²

Radius of semicircle = 4 ÷ 2 = 2 m

Area of semicircle = 1/2 × π × 2² ≈ 6.23 m²

Total area = 32 + 6.23 ≈ 38.3 m²


: 1تدريب

: التالية األشكال من شكل كل مساحة احسبCalculate the area of each of the following shapes:

70

: 2مثال قصها تم دائرية لبطاقة هي المظللة غير المنطقة أن يبين التالي الشكل

. األضالع متوازي من. المظللة المنطقة مساحة احسب

The diagram shows a piece of card in the shape of a parallelogram, that had a circular hole cut in it. Calculate the area of the shaded part.

:Solution الحل:

Area of parallelogram = 11 × 6 = 66 cm²

Radius of circle = 4 ÷ 2 = 2 cm

Area of circle = π × 2² = 12.6 cm²

Area of shape = 66 – 12.6 ≈ 53.4 cm²


تدريب 2: . قطع أربع قطع تم الشكل مستطيل معدني طبق يبين التالي الشكل

منها كل قطر .8دائرية مم . المعدن من المتبقي الجزء مساحة احسب

A rectangular metal plate as shown in the diagram.Four holes of diameter 8 mm are drilled in the plate. Calculate the area of the remaining metal

71

: 3مثال باستخدام مصمم الشكل .3هذا دوائر أنصاف

This shape is designed using 3 semi-circles.

هي الدوائر ألنصاف األقطار .3a , 2a , aأنصاف الشكل . هذا مساحة احسبThe radii of the semi-circles are 3a, 2a and a. Find the area of this shape>

:Solution الحل:

Area first semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (3a)² = 4.5 π a²

Area second semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (2a)² = 2 π a²

Area third semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (a)² = 0.5 π a²

Total area = 4.5 π a² + 2 π a² - 0.5 π a² = 6 π a²


تدريب المبين :2 الشكل مساحة احسب

دوائر ) ( أنصاف هي منحنيات تمثل التي األجزاء Calculate the area of the shown shape. Each of the curved parts is a semicircle.

72

:1مثال . القطع المنازل أحد سطح على للتركيب مجهز حوض يبين التالي الشكل

قطرها طول دائرة نصف عن عبارة للحوض . 20العرضي لترا فكم سمالحوض؟ هذا يسع الماء من

The diagram shows a gutter which is to be fitted to the roof of a house. The gutter has a cross-section which is a semi-circle with diameter 20 cm. How many litres of water can the gutter hold?

:Solution الحل:حجم هي يسعها التي الماء وكمية اسطوانة نصف عن عبارة الحوض

االسطوانة نصف

V = ⅟2 pr2 h

= ⅟2 p × 102 × 1000 ( 10 m = 1000 cm )

= 157079.6 cm3 ≈ 157 litres


تدريب المبين؟ :3 الزجاجي الحوض في الموجود الماء حجم هو ما

What is the volume of water in the rectangular tank?

73

(:1مثال )


Earth’s surface. الكرة على القياساتاألرضية

Bearing الشمال : ال عن انحراف

The great-circle distance is the shortest distance between any

two points on the surface of a sphere measured along a path

on the surface of the sphere

يمكن نقطتين بين مسافة أقصر هي دائرة أكبر مسافة. الكرة سطح على قياسها

Because the Earth is nearly spherical equations for great-circle

distance can be used to roughly calculate the shortest distance

between points (cities) on the surface of the Earth and so have

applications in navigation.

حساب فيمكن كروية شبه األرضية الكرة أن وباعتبارسطح ) ( على تقع التي المدن النقاط بين المسافات

أهم تعتبر والتي الدائرة حسابات هي كما األرضية الكرة.) البحرية ) أو الجوية المالحة تطبيقات


أن يكون الطالب قادرا

:أنعلى

يستخدماالنحراف

عن الشمال وخطوط

Gالعرضوالطول

وخط االستواء

إليجاد المسافة والموقع

على سطح الكرة

األرضية.

المعايير:Standards:

7.2

المصطلحات

VocabularyBearingsاالنحراف عن

الشمالLongitudeخطوط الطول

Latitudeخطوط العرضgreat circle

أكبر دائرةHemisphere

نصف الكرة األرضية

Equatorخط االستواء

Nautical mileالميل اليحري )وحدة قياس

الطول(

74


An equator is the intersection of a Sphere’s surface with the plane perpendicular to

the sphere's axis of rotation and containing the sphere's center of mass.

The Equator refers to the earth’s equator and is an imaginary line on the Earth's

surface equidistant from the North Pole and South Pole , dividing the Earth into the

Northern Hemisphere and Southern Hemisphere.

المقامة : األعمدة Rسطح مع األرضية الكرة سطح تقاطع يمثل وهمي خط هو االستواء خطالقطب من متساو بعد على وهو ، األرضية للكرة الدوران ومحاور األرض كتلة مركز من

الكرة من الشمالي النصف إلى األرضية الكرة يقسم أي الجنوبي والقطب الشمالي ) ( . الشكل انظر الجنوبي والنصف األرضية

Activity : Modelling the EarthUse an orange to make a model to represent the Earth. Use an atlas to mark on the North and South Poles and the locations of Bahrain and Tokyo. Use a string to find the shortest distance between the two locations. Cut the orange along the line of greatest distance and demonstrate that this splits the orange into two hemispheres. ( as shown in figure )

والجنوبي الشمالي القطب عليها وبين ، األرضية الكرة لتمثيل برتقاله استخدم ، والبحرين طوكيو مدينة موقع حدد الخريطة وباستخدام االستواء وخط

مارا البرتقالة بقطع قم ثم البرتقالة على المدينتين لتحديد خيطا أحضر ثم) ( . بالرسم Rموضح هو كما متساويين نصفين إلى البرتقالة تقطع دائرة بأكبر

الكرة : تمثيل Gنشاطاألرضية

75


From the map shown below, represent the longitude and latitude to identify

places on a globe for the following cities: Q , P1 , E1

Solution:

Q is 60°2′ N, 10°21′ W

P1 is 55°3′ N, 5° 5′ E

E1 is 0° N, 40°2′ E

From the map shown above, represent the longitude and latitude to identify

places on a globe for the following cities: P2 , E2 , P3 , Es

On the map above plot the following cities :

1- Cairo is 30° 2′ N, 31° 5′ E.

2- Jakarta is 6° 5′ S, 106°48′ E.

3- Ankara 39° 5′ N, 32° 55′ E?

المدن السابقة الخRريطة على حددالتالية :

(:1تدريب )

(:1مثال )

:مرين ت

والعرض الطول خطوط حدد األسفل في المرسومة الخريطة منالتالية : المدن وأماكن

وأماكن والعرض الطول خطوط حدد أعاله المرسومة الخريطة منالتالية المدن

76



أن يكون الطالب

قادرا على :أن يميز

المقاييس المركبة

يحلمسائل لفظية تتضمن



7.3المصطلحا

تVocabularycompound measure


Density الكثافة

Speedالسرعة

Accelerationالعجلة

Rateمعدل

average speedمتوسط السرعة

population density

الكثافة السكانية

What do you mean by Compound Measure ?

؟ المركبة بالمقاييس المقصود ماA compound measure is made up of two (or more) other measures.

وحدتي : من تتكون قياس وحدة هي المركبة المقاييس. أكثر أو قياس

For example : Speed is a compound measure made up from a

measure of length (kilometers) and a measure of time (hours).

من مركبة قياس وحدة هي السرعة قياس وحدة تعتبرالساعة ) ( ) (. الزمن قياس ووحدة كيلومتر الطول وحدة

What is the compound measures for each of the following

giving an example for each:

1- Speed 2- acceleration.

3- Density 4- Population density

Solution:

1- Speed = Distance / time ( km/h or km h-1 , m/s or m s-1 )

2- acceleration = Distance / time2 ( m/s2 or m s-2 )

3- Density = mass/volume ( kg/cm3 or kg cm-3 )

4- Population density = number of people/ area

( people/km2 )

Compound measures. المقاييس المركبة

مثال :

77


تدريب 1 :

A train is travelling between two stations in 1.5 hours where the distance between

them is 12km. What was the average speed of the train?

بينهما المسافة وكانت ونصف ساعة في مدينتين بين المسافة القطار يقطعمتر .12 كيلو

للقطار؟ المتوسطة السرعة هي ما

1- A cleaning solution uses 5 grams of powder to every 10 liters of water.

a) What is the compound unit?

b) How much powder would be needed for 6 liters of water?

لتنظيف 5تستخدم- 1 البودرة من للنظافة محلول من .10جم الماء من لترات - المستخدمة؟ المركبة الوحدة ماهي أ

لتنظيف - البوردة من نحتاج كم الماء؟ 6ب من لترات

2- A man walks a distance of 24 meters in 10 seconds. Calculate his speed in k/h.

مسافة- 2 رجل في 24يتحرك . / 10كم متر بالكيلو سرعته احسب ثوانيساعة.

3- The number of citizen people in Al-Khor is 20 000. Evaluate the population of

Al-Khor if the area is 50 km2 .

الخور- 3 مدينة في المواطنين عدد كان الخور 20000إذا ومساحة 50شخصا . 2كم

. الخور لمدينة السكانية الكثافة فاوجد

تمارين :

78


القياس- وحدة ماهي أ؟ المستخدمة

4- A piece of a cubic wood has length 10 cm and mass 20 gm.

Find the density of wood.

5- A car consume 6 galloon of petrol to travel 800 km.

a) What is the compound unit?

b) How much gallons of petrol would be needed for 1200 km?

c) How much kilometers would be traveled for 10 gallons of petrol ?

6- On average, a nursing home for 16 people uses 40 kg of potatoes every 5 days.

Complete the following statement. استخدام- 6 معدل كان للتمريض مركز لعدد 40في البطاطس من من 16كيلوجراما

. أيام خمسة خالل المرضىالتالية : الجمل أكمل

a) Each day 40 kg/5 = . . . . . kg of potatoes are used.

b) Each person would consume 8 kg/16 = . . . . . . . kg each day

c) The compound measure would be: . . . . . kg per person per day.

ضلعه- 4 طول مكعب شكل على الخشب من سم 10قطعة.20وكتلتها جم

. الخشب قطعة كثافة أوجد

لقطع- السيارة تحتاج البنزين من جالونا كم ؟ 1200ب كم

باستخدام - السيارة تقطعه كيلومترا كم Gمن 10ح جالونات؟ البترول

سيارة- 5 البنزين 6تستهلك من جالونكم .800لتفطع

79

المشروع

طوله خط على مبين هو كما مرسومة الدوائر أنصاف من 7عددمتر.

قطره نصف طول األول الدائرة . 17نصف القطر نصف سملنصف القطر نصف طول نصف هو طوله التالي الدائرة لنصف

. له السابق الدائرةالدوائر؟ أنصاف أجزاء لكل األقواس أطوال مجموع هو ما

Semi circles are drawn on a line of length 7 m as shown. The first semicircle has a radius of 17 cm. Radius of each consecutive semicircle is half the radius of the preceding semi circle. What is the sum of the arc lengths of all the semicircular portions?


80

Sequences, expressions and formulaeوالتعبيرات المتتاليات

الرياضية والصيغ

82


83 لمتتالياتا 1

90 الفيزيائية 2 الصيغ

95 الحدوديات ضرب 3

9.1

المتتاليات Sequences



قادرا على:إيجاد

مجموع المتتالية

الهندسية الالنهائية.

.المعايير:

Standards: 4.1

المصطلحات

Vocabulary

geometric sequence,

متتالية هندسية

infinite geometric series,

متتالية هندسية النهائية

Sumمجموع

common ratioأساس

المتتابعة

الوحدة التاسعة

واألعداد الجبر

(:1مثال )

The properties of infinte geometric sequences:

الالنهائية : الهندسية المتتابعة خواص : المتتاليات منها نوعين وعرفت المتتاليات سبق فيما درست

الهندسية Arithmetic sequencesالحسابية والمتتالياتGeometric sequences.

حسابية : متتالية تمثل التالية فالمتتالية4 , 7 , 10 , 13 , 16 , . . . , . . . , . . .

هو األول هو ) ( 4حدها الزيادة مقدار هو 3وأساسها العام وحدها Tn = a + ( n-1) d

هندسية : متتالية تمثل التالية والمتتالية4 , 8, 16 , 32 , 64 , . . . , . . . , . . .

هو األول هو 4حدها هو 2وأساسها العام وحدها un+1 = u1. r n

Find the first term and common ratio of the following geometric sequence then find the 6th term and the sum of the first 6th terms.الحد أوجد ثم التالية الهندسية للمتتالية واألساس األول الحRد أوجد

. األولى الستة الحدود ومجRموع السادس2 , 6, 18 , 54 , . . . , . . . , . . .

Solution:

So, a = 2 , r = 6 ÷ 2 = 3

* Then: u6 = 2 . 3 5 = 486

84



(:1تدريب )Find the sum of the first 5th terms of the following geometric sequence.

التالية . الهندسية للمتتالية األولى الخمسة الحدود مجموع أوجد64 , 32, 16 , 8 , . . . , . . . , . . .

تمارين :1- Find the sum of the first 6th terms of the following geometric sequence.

التالية- .1 الهندسية للمتتالية األولى الستة الحدود مجموع أوجد1 , 3, 9 , 27 , . . . , . . . , . . .

2- Gasem invests $1000 in a bank at rate 5% annually.

Find the balance after 4 years.

مبلغ- 2 جاسم مركبة 1000يستثمر بفائدة يعد% . 5دوالر المبلغ جملة أوجد سنويا4. سنوات

القانون[ ]استخدم

3- $5000 is invested for 4 years at 7% per a year compound interest,

compounded annually. What will it amount to at the end of this period?

مبلRغ- 3 لمدة 5000استثمر مركبة 4دوالر بفائدة . 7سنوات جملة% أوجد سنوياالمدة؟ نهاية في المبلغ

ثم: **

85



The sum of Infinite geometric sequence: الالنهائية الهندسية المتتالية مجموع

To evaluate the sum of geometric sequence, the common ratio ( r ) must be a

fraction less then 1.

The sum is given by the formula : where | r | < 1

أساس يكون وأن البد الالنهائية الهندسية المتتالية مجموع إليجادحقيقيا كسرا أي واحد من أقل المتتالية

التالي : بالقانون المجموع يعطى r | < 1حيث | و

Find the sum of the following infinite geometric sequence:

التالية : الالنهائية الهندسية المتتالية مجموع أوجد18 , 12 , 8 , . . . . . .

Solution:

(:1مثال )

4- The initial population of rabbits on a farm was 50. The population increased by 7%

each week. How many rabbits were present after 15 weeks.

عددها- 4 األرانب من بمعدل 50مجRموعة بعد% . 7تزيد األرانب عدد أوجد اسبوع كل15. أسبوعا

86



A ball takes 1 second to hit the ground when dropped. It then takes 90% of this time

to rebound to its new height and this continues until the ball comes to rest.

. زمن في وترتد باألرض لتصطدم واحدة ثانية كرة الزمن% 90تستغرق من. الجديد لإلتفاع Gللوصول السابق

. تماما الكرة تتوقف حتى هكذا وتستمر

(a) Show that the total time of the motion is given by:

: التالية – بالمعادلة يعطى للحركة الكلي الزمن أن بين أ 1 + 2 ( 0.9 ) + 2 ( 0.9 )2 + 2 ( 0.9 )3 + . . . . . . . . .

(b) Find Sn for the series in (a)

المجموع – أوجد . Snب السابقة للمتسلسلة

( c) How long does it take for the ball to be at rest?

. – تماما الكرة تسكن حتى الكلي الزمن أوجد Gح

(:1تدريب )

87



Write as a rational number. . اعتيادي كسر شكل على الدوري الكسر اكتب

Solution:

Which is a geometric series with infinitely many terms.

Consider أن :اعتبر

which is an infinite geometric series. منتهية غير هندسية متتالية

a) What are u1 and r ?

b) Show that

مثال (2:)

(:2تدريب )

88



: اإلضافية التمارين

1- Write as a rational number :

(a)

(b)

2- Find the sum Sn for the following series:

(a)

(b)

(c)

3- Find the sum of each of the following infinite geometric series:

(a)

(b) 1.21 + 1.1 + 1 + …

89



المشروع

الثلج : Snowflakesرقاقة

Draw an equilateral triangle with sides 9 cm long. Divide each side into three and

construct another equilateral triangle on the middle third of each side. Repeat the

process to form the third snowflake design and again for the fourth, drawing

equilateral triangles on the middle third of each side of the previous design.

Calculate the length of the perimeter for each of the designs.

• What happens to the length of the perimeter as the number of steps

increases?

• Evaluate the perimeter 4th step.

• Write a rule to evaluate the perimeter nth step.

[ Hint : Is it a geometric Or Arithmetic sequence or neither nor?

مثل بطول ثاارسم األضالع بالشكل - )سم 9متساوي (.1كما

جانب قس كل من أجزاء ثالثة إلى م األوسط الثلث على األضالع متساوي مثلث وبناءجانب بالشكل - )كل .2كما نتوء( أو ندبة يسمى المرسوم والجزء

العملية للشكل )كرر ضلع كل مع ند ( 2السابقة بالشكل– )أخرى باتلتشكيل (.3كما

طول ا .محيط الحسب السابقة األشكال من لكليحدث• المحيط لماذا خطوة؟ طول كل زيادة بعد

الرابع .• الشكل محيط أوجد •. السابقة السلسلة تكرار من ناتج شكل أي محيط الستنتاج قاعدة اكتب

ذلك؟ : - غير أم هندسية أو حسابية متتالية هي هل ناقش اإلجابة قبل مساعدة

الشكRل (1)

الشكل (2)

الشكRل (3)

90


يكون أنالطالب

على قادرا:أن

إعادةترتيب .معادلة

ترتيب إعادةقانون

.فيزيائي.


4.7

المصطلحات:

Vocabulary :

Rearrangeترتيب يعيد

Formulaeمعادلة /

قانونPhysical

فيزيائي/ طبيعي

Variableمتغير

9.2 الوحدة التاسعة


Formulae from Physical Context: الفيزيائية : الصيغ

ومنها الفيزياء علوم في الرياضية الصيغ من كثير نستخدم: يلي ما المثال سبيل على

الذي قاعدته مربعة الشكل Vمعادلة حجم الهرم V = 1⁄3تعطى بالقانون

b2h حيث b هو طول االرتفاع العمودي على القاعدة. hو ضلع القاعدة

ما هو حجم الهرم عندما يكون طول ضلع القاعدة 1) سم؟6 سم واالرتفاع 5المربعة

سم 4هرم رباعي آخر طول ضلع قاعدته المربعة هو 2) .3سم48وحجمه

ماهو ارتفاعه العمودي؟

وارتفاعه 3سم25حجم هرم قاعدته مربعة هو 3 ) سم .12العمودي

فما هو طول ضلع القاعدة ؟

من خاللG المناقشة السابقة نحتاج لكتابة المعادلة بأكثر من صيغة وهذا ما يسمى إعادة ترتيب المعادلة أو القانون

Rearrange Formulae

Generate and use formulae from physical contexts such as:

The formula for the volume V of a square-based pyramid isV = 1⁄3

b2h, where b is the base length and h is the perpendicular height.

1) A square-based pyramid has base length 5 cm and perpendicular height 6 cm. What is its volume?

2) A different square-based pyramid has base length 4 cm. Its volume is 48 cm3. What is its perpendicular height?

3) The volume of another square-based pyramid is 25 cm3. Its perpendicular height is 12 cm. What is its base length?

91



The diagram shows a square, ABCD, of side length (p + q).

Inside it a square, EFGH, of side length r.

Write a simplified expression for:

• the area of square EFGH (in terms of r);

• the area of triangle DEH (in terms of p and q);

• the area of square ABCD (in terms of p and q).

مربع يوضح ضلعه ) ABCDالرسم المربع( . p + qطول بداخله EFGHيوجدGضلعه طولr.

يلي : مما كل يمثل رياضيا تعبيرا أكتبالمربع • .rبداللة EFGHمساحةالمثلث • .qو pبداللة DEH مساحةالمربع • .qو pبداللة ABCD مساحة

Square ABCD is made up from four congruent triangles and square EFGH. The four

triangles are all congruent to triangle DEH. Use this information to write an

expression in terms of p, q and r for the area of square ABCD.

المثلث ABCDالمربع مع متطابقة مثلثات أربعة من والمربع DEHيتكونEFGH .المربع مساحة يمثل جبري تعبير لكتابة المعطيات هذه استخدمABCD بداللةp , q و r.

Use the two different expressions for the area of square ABCD to express r2 in

terms of p2 and q2.

المربع مساحة لتمثيل الجبريين التعبيرين p2 , q2و r2بداللة ABCDاستخدم

(:1تدريب )

92



Rearrange formulae:

(:1تدريب )

(:1مثال )

الصيغ ترتيب إعادةFormulae from science

Rearrange and use formulae from science, such as:

• The time for a pendulum swing is given by T2 = 4π2 l/g.

Write the formula to give I in terms of g and T.

التالية : العلمية القوانين صياغة أعدبالقانون تعطى البندول تحرك زمن القانون. T2 = 4π2 l/gمعادلة اكتب

.lبداللة Solution:

T2 = 4π2 l/g multiply both sides by ( g )

g T2 = 4π2 l divide both sides by (4π2 ) l = g T2 / 4π2

Rearrange and use formulae from science, such as:

a) h = 1⁄2 gt2. Rewrite this to give t in terms of g and h.

b) Ek = 1⁄2 mv2. What is v in terms of the other variables?

c) Fg = Gm1m2/r2 . Rewrite this to give G in terms of Fg , m1 , m2 and r.

What other rearrangements can you make that are equivalent?

93



1- There are five constant acceleration formulae commonly used in physics.

These are:

وهي- 1 الفيزياء علم في تستخدم العجلة ثابتة قوانين خمسة أمامككالتالي:

• v2 – u2 = 2as

• d = u + at

• s = ut + 1⁄2 at2

• s = vt – 1⁄2 at2

• s = 1⁄2 (u + v)t

a) What connections can you find between the equations?

المعادالت؟ ( بين تجده أن يمكنك الذي الرابط هو ما أ

b) Can you use any two of them to derive a third?

ثالثة؟ ( معادلة Gالشتقاق منهم معادلتين أي استخدام يمكن هل ب


94

2- The formula that connects the volume V of an air bubble

at the water surface, its initial volume U, and the

distance d it has risen is:

where V and U are in cm3 and d is in metres.

هوائية- 2 فقاعة حجم يربط الذي ابتدائي Vالقانون بحجم الماء في مغمورةU يرتفعها التي dوالمسافة

السم Uو Vحيث هو . dوالمسافة 3تقاس باألمتار

(a) At 50 metres below the water surface a bubble has a volume of 9.57 × 10–4 cm3.

What is the volume of the bubble at the water surface?

بعد الفقاعة 50على حجم كان الماء سطح تحت cm3 4–10 × 9.57م

الماء؟ سطح عند الفقاعة حجم هو فما

(b) The volume of a bubble at the water surface is 4 times its initial volume.

By how many metres has the bubble risen?

مترا- . فكم اإلبتدائي الحجم أضغاف أربع الماء سطح عند الفقاعة حجم بالفقاعة؟ ارتفعت

( c) At the water surface a bubble has a volume of 2.46 × 10–2 cm3.

What was the initial volume of this bubble when it was 20 m below the water

surface?

هو - الماء سطح عند الفقاعة حجم G2–10 × 2.46ح cm3 . الحجم فماهوعمق على كانت عندما للفقاعة . 20اإلبتدائي الماء سطح تحت مترا



10.310.3

dV U

10.310.3

dV U

95



على : قادرا

ضرب.الحدوديات

تبسيط.الحدوديات

تحليلالمقادير الجبرية

.

المعايير: Standards: 4.4+4.5+4.6

المصطلحات:

Vocabulary : Algebraic fractions

الكسور الجبرية

Factoriseيحلل

Simplify تبسيط

surds. الجذور

الصم

9.3 الوحدة التاسعة


ضرب الحدوديات

Multiply ( x + 2 ) ( x + 3 ) by using the diagram.

اضرب ) أمامك الذي الشكل ( x + 2 ( ) x + 3مستخدما

المتشابه الحدود بجمع نقوم الضرب عملية إجراء Like بعد

terms.

Multiply the following by using suitable diagram.

مناسبة . أشكال باستخدام التالية المقادير اضرب(a) 3x ) x + 5 (

)b( )x + 1 ( ) x + 7 (

)c( )x - 4 ( ) x + 6 (

)d( )x - 2 ( ) x - 9 (

)e(

)f(

x

x

+ 2

+3

x2 3 x

2 x 6

x2 + 3x

2x + 6

x2 + 5x + 6

تمارين :

Multiply Polynomials :

96



الجبرRي المقدار تحليل

التالية : الجبرية المقادير حلل

(a) x2 – 25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) x2 – 49 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) 4 x2 – 81 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) 16 x2 – y2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(e) x2 – 0.25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(f) x2 – a2 b2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(g) ( a + b )2 – 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(h) ( a - 3 )2 – 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(i) 1 – ( a + b )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(j) 81 – ( a - 10 )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(k) ( a + b )2 – ( a - b )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(l) ( a - 3 )2 – ( a - 2 )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Factorising algebraic expression :

Factorise expressions of the form a2x2 – b2y2 is ( a x – b y ) ( a x + b y )

Factorise the following quadratic expressions :

: تمارين

97



: اإلضافية التمارين1- Grains of rice are placed on each square of a chessboard. The board has 64

squares. One grain is placed on the first square, two on the second, four on the third,

eight on the fourth, and so on. Calculate the total number of grains of rice on the

chessboard.

من- 1 حبات وضع الشطرنج تم لوحة على ت ، األرز 64 من تألفوالتي وضع حيث . مربعا تمالمربع في واحدة أرز وأربعة الثانيالمربع في وحبتان ، األولحبة المربع في حبات ،

وثمانية الثالث . الرابعالمربع في حبات ، وهكذا ،لحبوب : المطلوب اإلجمالي العدد وضعها األرز حساب تم الشطرنج. لوحة على التي

If one kilogram of rice contains approximately 16 000 grains of rice.

Estimate the weight of all the rice on the chessboard.

أن علمت من رام جكيلوال وإذا من الواحد يقرب ما على تحتوي . ة حب 000 16األرز األرز منوزن : المطلوب وضعة تقدير تم الذي الشطرنج.لوحة على األرز

2- The sum of the infinite geometric series 1 – 1⁄2 + 1⁄4 – 1⁄8 + … is

نهائية- 2 الال المتتالية 1 – 1مجRموع 2⁄ + 1 4⁄ – 1 هو + … ⁄8

A. 5⁄8 B. 2⁄3 C. 3⁄5 D. 3⁄2

3- Orange cost QR 1.5 each and apples cost QR 3.75 per kilogram. A man buys apples

and orange at the supermarket. Write a formula to describe the total cost of his

purchase. Investigate how many orange and how many kilograms of apples he could

buy for QR 30

بسعر- 3 برتقاال رجل بسعر 1.5اشترى وتفاحا ، . 3.75رياال أكتب الواحد للكيلو رياال . والتفاح البرتقال من كيلوجراما كم لمشترواته الكلي السعر تحسب رياضية معادلة

بمبلغ يشتري أن .30يستطيع رياال

98



4- The volume of a solid cylinder of length h and radius r is V.

(a) Find a formula for the curved surface area, A, of the cylinder in terms of r and h.

(b) Use this formula to find a formula expressing V in terms of A and r.

هو - 4 قائمة دائرية اسطوانة قاعدتها hإرتفاعها Vحجم قطر . rونصفالجانبي سطحها مساحة لحRساب صيغة .hو rبداللة Aأكتبللحجم صيغة إليجRاد السابقة الصيغة .rو Aبدالله Vاستخدم

5- Find R in terms of R1 and R2 when 1/R = 1/R1 + 1/R2.

المقاومة - 5 أن علمت بالقاعدة : Rإذا و R1بداللة R أوجد R = 1/R1 + 1/R2/1تعطى

R2

6- Simplify (2x – 3)(x2 + x – 10).

صورة - 6 أبسط في (2x – 3()x2 + x – 10)ضع

7- Without using a calculator, find the exact value of 7.922 – 2.082.

للمقدار- : 7 الفعلية القيمة أوجد الحاسبة اآللة استخدام 2.082 – 7.922بدون

8- Explain why (a + b)2 ≠ a2 + b2.

لماذا- 8 2 ≠ a2 + b2(a + b)اشرح

9- Draw a diagram to represent the identity (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

أن - : 9 يوضح هندسيا شكال 2 = a2 + 2ab + b2(a + b)ارسم

10- Rationalise the expression 1/(√2 + √3).

للمقدار- : 10 صحيح عددا المقام (3√ + 2√/)1اجعل

الهندسية ال خواصالمثلثية للدوال

100


101 األساسيةلدوال المثلثية ا 1

105 رسم الدوال المثلثية األساسية 2

10.1

101

الدوال المثلثية األساسية

The Main Trigonometric Ratios



قادرا على :أن

يحسبالدوال المثلثية األساسية

Sin θcos θtan θ

باستخدام الحاسبة


6.10

المصطلحاتVocabulary

Trigonometryحساب المثلثات

circular functionsالدوال الدائرية

An introduction

الوحدة العاشرة

الهندسة 3 والقياس

:مقدمة

الفلك في البارزين العلماء من الوفاء أبو كانوالرياضيات.

أشهر من بأنه الغربيين العلماء من كثير اعترف كماالذين

. إسهامه إلى البوزجاني أهمية وترجع الهندسة في برعوايعترف حيث المثلثات، حساب علم تقدم كارادي " في

ال فو" المثلثات لعلم الوفاء أبو قدمها التي الخدمات بأنأكثر العلم هذا أصبح فبفضله فيها، يجادل أن يمكن

. التمام، وقاطع القاطع استعمل فقد ووضوحا بساطة . من أول أنه كما الجيب لحساب جديدة طريقة وأوجد . أما الكروية المثلثات في للجيوب العام القانون أثبتحيث عبقريا، عالما الوفاء أبو كان فقد الهندسة، في

كبيرة بخبرة المسائل من عددا عالج

هل تعلم أنه:

102

: الحاسبة باستخدام المثلثية النسب إيجادFinding Trigonometric Ratios Using Calculator

. الحاسبة: باستخدام معلومة لزاوية المثلثية النسب إيجاد أوال

:(1مثال )Example (1)

إلى الجواب مقربا يأتي مما كل قيمة أوجد الحاسبة منازل 4باستخدام:عشرية

Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places. 1) sin 49°

2) cos 27.53°

3) tan 26°35'57“

Solution الحل

الحاسبة 1( على واحدة خطوة مجرد هنا الحل 1 )This is just one step on the calculator.

sin 49° = 0.7547

بالحاسبة( 2 واحدة خطوة الحل أيضا وهنا2) This is also just one step on calculator

cos 27.53° = 0.8868

3: الثواني( و الدقائق و بالدرجات الزاوية إدخال إلى نحتاج هنا لكن3 )For this next one, you need to make sure that you know how to enter

an angle in DMS form (degrees - minutes - seconds).tan 26° 35' 57" = 0.5007

103

تدريبإلى 1 الجواب مقربا يأتي مما كل قيمة أوجد الحاسبة منازل 4باستخدام

:عشرية

Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places.

1) cos 18°

2) tan 51.9°

3) sin 26° 22' 15“

. الحاسبة: باستخدام المثلثية النسبة بمعلومة الزاوية إيجاد ثانياFinding Angles Given The Trigonometric Ratio

إلى فانظر األصلية الزاوية نعلم ال ولكن المثلثية النسبة قيمة نعلم نحن اآلنالتالي : المثال

We are now going to work the other way around. We may know the final trigonometric ratio, but we don't know the original angle.

:(2مثال )Example (2)

:θأوجد المعطاة المثلثية للنسبة Find θ, given that tan θ = 0.3462 and 0° ≤ θ < 90°.

:Solution الحل للدالة نحتاج العكسية الدالة استخدام قياس . tanإلى تكون أن يجب إجابتنا

زاوية.We need to use the inverse tangent function. The answer will be an angle

التعبير "لذلك المفتاحين" tan-1نستخدم استخدام خالل tanو SHIFTمن: على فنحصل

So we use the "tan-1" button, by using the two keys SHIFT tan and we have:

θ = tan-1 0.3462 = 19.096°.

104

تدريبكان 2 قيمة sin-1 0.935 = xإذا إلى xأوجد الجواب عشرية 3مقربا منازل

If sin-1 0.935 = x find the value of x to the nearest 3 decimal places

التمارين الداعمة

إلى( 1 الجواب مقربا يأتي مما كل قيمة أوجد الحاسبة منازل 4باستخدامعشرية:

1 )Using the calculator , find the answer of the following to 4 decimal places.

1) sin 18.34°

2) cos 5° 34' 72"

3) tan 73°

≥ 0حيث )θأوجد( 2 °θ < 90°: التالية( الحاالت في2) Find θ (0° ≤ θ < 90°) given that

1) sin θ = 0.6235

2) tan θ = 3.689

3) cos θ = 0.1437

4) sin θ = 0.1202

10.2

105

رسم الدوال المثلثية األساسية

Graphing Trigonometric Ratios



قادرا على :أن

يرسمالدوال المثلثية األساسي

ة

Sin θcos θtan θ


6.86.116.12

المصطلحات

VocabularyTrigonometry

حساب المثلثاتcircular functionsالدوال الدائرية


الهندسة 3 والقياس

الوحدة استخدام الدوال في دائرة رسم:المثلثية

Using The Unit Circle to draw trigonometric functions.

مفهوم الوحدة استرجاع Recall the unit دائرةcircle

106


الهندسة والقياس

Finding the value of sine and cosine using the unit circle

1مثال

107


الهندسة والقياس

Find the value of sin θ and cos θ if the final side for θ cuts the unit circle at the point p(3/5, 4/5)?

في وتنقص تزيد السلع لبعض أسعار نرى ما كثيرا اليومية حياتنا فيالعام األسعار أيام هذه وانخفاض ارتفاع تمثيل يمكن والتي

مثل الدورية مجال cos θو Sin θبالدوال فى نرى ما وكثيراالقلب دقات لذلك كمثال الدورية للدوال تطبيقات الطب

تشخيص في تفيد والتي األخرى العلمية التطبيقات من وغيرهاأفضل حياة اإلنسان يعيش أن في تساهم والتي األمراض وعالج

حقائق حياتية

تدريب 1:

108

: أن الحظ

الزوايا بعضالخاصة

cos

109

إلى صفر من النقاط باليد 2π وبتحديد النقاط رسم يمكنمنحنى ألنها

2مثال الدالتين منحنى ارسم السابقة والمالحظة الخاصة الزوايا sinمن

θ , cos θ الحل:

من كال تمثل التي األعداد بتمثيل :cos θو sin θنقوم يلي كما

للدالة المنحنى نرسم sin θثم

110

قارن ثم السابقة الصفحة في الجدول خالل من الدالتين رسم حاول : التالي الصحيح بالحل

Find the exact value for

3مثال

أيضا الحظأن:

دائرة 3تدريب مستخدما يأتي ما قيمة أوجدالوحدة

تدريب 2

a) b)

:Calculate using the unit circle

111

4مثال

الدالة منحنى من y=sin θارسم الفترة 2πإلى 2π - في :الحل

جدول :أوال بعمل المقابلة و θ ةلزوايا لقيمنقوم لكل sin θ النسبةمنها.ل الجدول ب ستخدمن :ثانيا الممثلة من القيم وهو الدالة - 2πمجال

2πإلى المذكورة :ثالثا الفترة في نرسمها

دور حان واآلنالرسم

112

الدالة منحنى من y=-sin θارسم الفترة ماذا 2πإلى 2π -في؟ تالحظ

4تدريب

5مثال الدالة منحنى من y = cos θارسم الفترة 2πإلى 2π -في

الحلدالة منحنى رسم في اتبعناها التي الخطوات نفس Sinنتبع

: يلي كما السابقةجدول بعمل نقوم المقابلة و θ ةلزوايا لقيمأوال لكل cos θ النسبة

منها.ن ل الجدول ب ستخدمثانيا الممثلة من القيم وهو الدالة - 2πمجال2πإلى

المذكورة الفترة في نرسمها ثالثا

أخرى دور مرة حانالرسم

113

Graph the function y = tan(x) in the interval -2π to 2π , what do you notice?

تدريب الدالة 5 منحنى من y=-cos θارسم الفترة ماذا 2πإلى 2π -في

؟ تالحظ 6مثال

الدالة منحنى من y = tan θ ارسم الفترة 2πإلى 2π - فيتالحظ ؟ماذا

الحل : أن تذكر يجب البداية Remember في

that:جدول بعمل المقابلة و θ ةلزوايا لقيمنقوم لكل tan θ النسبة

ينتج والذي منهامن لكل المتناظرة القيم قسمة من cos θو sin θمن

. السابقين الجدولينعلى القسمة عند معرفة غير تكون القيمة أن مالحظة ثم 0مع

الدالة نرسمالمذكورة الفترة .في المعرفة للقيم

114

الدالة منحنى من -y = - tan θ ارسم الفترة 2πإلى 2πفيتالحظ ؟ماذا

الدالة منحنى من -y=2sin x ارسم الفترة قارنها و2πإلى 2πفي y=sin xمع

الحلقيمة xلقيمة فإن حالة yالمعطاة في القيمة ضعف y = sin xهي

. البياني الرسم في الوحيد التغيير القيم بجدول مبين هو كماسيكون فإنه الدالة مدى في سيكون

البياني [ 2 , 2 ] - الشكل يتضمن والذي التالي الشكل في كما y = sin xللدالة

. بينهما المقارنة أجل من

الدالة منحنى من y=2cos θارسم الفترة مع 2πإلى 2π - في قارنها y=cos θ

تدريب 6

7مثال

تدريب 7

115

9مثال : أن أثبت الوحدة دائرة Sin 2 θ + cos2 θ = 1 باستخدام

. مثلث ألي العالقة أثبت ثمالحدائرة ل من نعلم

: أن الوحدة

: كاآلتي مثلث ألي العالقة إثبات ويمكن

116

مالحظة النسبتين إحدى على الحصول يمكن السابقة العالقة باستخدام

: يلي فيما مبين هو كما األخرى بداللة

10مثال كان للدالة sin Ѳ = ⅟4إذا الممكنة القيم جميع .cos Ѳفأوجد

:الحل: المعادلة طرفي بتربيع

: فيكون

للطرفين التربيعي الجذر بأخذ ثمعلى نحصل

المثال هذا حل ويمكنالمبين المثلث باستخدام

عليه البيانات بوضعإيجاد . cos Ѳوبالتالي

117

9تدريب

الممكنة القيم جميع أوجد السابقة المالحظة مستخدماأن cos xللدالة علمت إذا

Sin x = 1/2

11مثال

الدالة منحنى واحدة y = cos ⅔X ارسم لدورة

ويصبح الرسم

مبين هو كما . اليسار على

118

قيم( 2 للزاوية ° sinθ ° , cos θ ° , tan θأوجد النهائي الضلع كان إذاθ يقطع

النقطة في الوحدة :Pدائرة يأتي مما كل في2 ) find the value of sinθ , cos θ ° and tan θ if the final side for θ cuts the unit circle at the point p for each of the following:

التمارين الداعمة

من 1 ) التمارين في لها الممثل البياني بالرسم دالة كل إلى 1صل4: التالية

In Exercises 1–4, match each function with its graph.

119

الدالة 3 ) منحنى الفترة -y= cos θارسم إلى 2πفي2π الدالة 4 ) منحنى الفترة -y= tan θارسم إلى 2πفي2π

الدالة 7 ) منحنى الفترة -y= 2tan θارسم إلى 2πفي2π

الدالة 5 ) منحنى الفترة -y= 1.5sin θارسم إلى 2πفي 2π

الدالة 6 ) منحنى الفترة -y= -3cos θارسم إلى 2πفي 2π

الدالة 8 ) منحنى الفترة -y= tan (θ/2 )ارسم إلى 2πفي2π

الدالة 9 ) منحنى الفترة -y= -sin (θ/2 )ارسم إلى 2πفي2π

الدالة 10 ) منحنى الفترة -y= -cos (θ/2 )ارسم إلى 2πفي2π

الدالة 11 ) منحنى الفترة -y= sin (-θ)ارسم 2πفي 2πإلى

120

( 12: أوجد الوحدة دائرة مستخدماFind :, Using the unit circle relationa) Sin 45 ° b) Sin 135 ° c) What do you notice ? ؟ تالحظ ماذاd) What is the relation between sin θ and sin(180- θ) ?

بين العالقة هي sin(180- θ)و sin θما

13 ) Using the unit circle relation تستطيع هل الوحدة دائرة باستخدام

أن تثبت أنCan you prove that

sin θ = -sin θJustify your answer إجابتك .فسر 14 ) Using the unit circle relation What is the relation between

cos θ and cos (180- θ) ? Justify your answer.

بين العالقة هي -cos (180و cos θماθ)؟

15) In the figure shown:المقابل الشكل في

If sin s =0.46, Using the unit circle relation ,

: من كل قيمة find the valueأوجدof

a) cos sb) tan s

121

a. If θ represents the measure of the angle that the ladder makes with the ground in radians, what is a reasonable set of values for θ? Explain.

قيم هي ؟ θما ؟وضح الممكنةb. Express as a function of θ, the height h of the point at which the ladder will rest against a building.

بين θ و h؟ العالقة عن عبرc. Graph the function from part (b) using the set of values for θ from part (a ) as the domain of the function.

بين θ و h؟ العالقة ارسمd. What is the highest point that the ladder is allowed to reach?

؟ المطافئ سلم يصله أن يمكن ارتفاع أعلى هو ما

16 ) Look at opposite photoCity firefighters are told that they can use their 1 - hm (hectometer) long ladder provided the measure of the angle that the ladder makes with the ground is at least 15° and no more than 75°

يستخدموا يمكن انه المطافئ رجال أخبر المقابل الشكل منطوله والذي المطافئ ال 1سلم األرض على ميل هيكتوميتربزاوية

عن عن 15تقل تزيد وال درجة 75درجة

122

17: التالية( للدالة واحدة لدورة البياني الشكل ارسم17 ) Graph over one period using the preceding guidelines.

y = - 2 sin 3x

المشروع

Properties of functions and inequalities

الدوال خواصوالمتباينات

124


125 خواص الدوال والمتباينات 1

130 نقطة عند الدالة عليه مماس واقعة 2

135 الخطية المتباينات 3

Properties of functions and inequality

11.1

خواص الدوال والمتباينات



قادرا على :أن يستخدم

اآللة الحاسبة

الرسومية لرسم الدالة.

يصنفالدالة

صريحة أو ضمنية.

.المعايير:

Standards: 5.15.6

المصطلحات

VocabularyPlot يرسم Function. دالة Slope.

ميل المستقيم

implicit form.صورة ضمنية

explicit form.صورة صريحة

Continuous. متصلة

Discontinuous.غير متصلة

الوحدة عشر الحادية

2الجبر

الضمنية : والدالة الصريحة الدالةExplicit and implicit form:

الصريحة الصورة على المستقيم يعبر y = mx + cالخط . الضمنية الصورة على المستقيم الخط أما دالة + axعن

by + c = 0. دالة عن يعبر ال أو يعبر قدA straight line in the explicit form y = mx + c

represents a function, but a straight line in the implicit

form ax + by + d = 0 may, or may not, be a function.

Use a graphics calculator to plot the function

y= 2x+1 then find the slope and y-intercept.

رسومي : برنامج أي أو رسومية حاسبة آلة باستخدامالدالة ونقطة y= 2x +1ارسم المستقيم ميل أوجد ثم

محور مع . yالتقاطع

Solution:

The slop is m=2

Y-intercept is (0,1)

(:1مثال )

126


2الجبر

(:1تدريب )Write equations for the lines that form the sides of the rectangle shown.

. أمامك المرسوم للمستطيل المستقيمات معادلة اكتب

a) Which of these are implicit functions and which are explicit?؟- ضمنية دالة أو صريحة دالة منها أي أ

b) Are there any lines that cannot be written in explicit form? Why?ولماذا؟ صريحة؟ دالة عن اليعبر مستقيم خط أي يوجد هل

(:2تدريب )

Write an equivalent equations for the following functions as an explicit :

الدوال من لكل الصريحة الصورة على المكافئة المعادلة اكتبالتالية:

a) 2x – y + 3 = 0b) 4x – 2y - 7 = 0c) x = 1⁄2(y – 3)

127


2الجبر

(:2مثال )Use a graphics calculator or graph plotting software such as Autograph to graph a range of the following functions and classify them, and note their distinctive features

وحدد التالية الدوال ارسم آخر برنامج أي أو البيانية الحسبة اآللة باستخداممنها . لكل المميزة الصفات

Solution:

ومتزايدة متصلة الدالةمجالها وتمر Rعلى

(. 0، 0بالنقطة )

مجالها على متصلة Rالدالةإلى من aومتزايدة

إلى bومن من الفترة على ومتناقصة

a. إلىb

128


2الجبر

غير ) منفصلة الدالةمتصلة (

على x = 0عندما ومتناقصةمجالها

R- {0}

متصلة ) ( غير منفصلة الدالةعلى x = 0عندما ومتصلة

عندما R- {0}مجالها Rومتزايدةعندما 0 > R > 0ومتناقصة

على ومتزايدة متصلة الدالةمجالها

R ≥ 0 ( بالنقطة (0، 0وتمر

غير ) منفصلة الدالةعندما ( متصلة

x = 0 مجالها على ومتناقصةR- {0}

f ) 3

1x

y

129

: اإلضافية التمارين

الحادية الوحدةعشر2الجبر

1- Solve the following linear equations:التالية- :1 المعادالت حل مجموعة أوجد

a) y = 4x – 1

b) y = 2x – 4

c) y = 6 – x

d) 2x – y +4 = 0

2- Solve the system of the following simultaneous equations:التالية- :2 اآلنية المعادالت حل مجموعة أوجد

a) x + y = 3

x - y = 1

b) x + y = 4

2x - y = 2

c) x + y = 5

2x - 3y = 0

d) y = 5

y = 2x + 1

130




رسمالدالة

ورسم المماس عند لها

نقطة. وصف

من الدالةحيث

التن/ التزايداقص/

ثبات نقطةخالل من

ميل المماس.


5.35.7

المصطلحات:

Vocabulary :

Tangent مماسStationary,

ثبات نقطةPiecewise function

مجزأة دالةGradient

ميل المماس

Slopeميل

المماس Rate of change

التغير معدلSymmetry

التماثل/التناظر

11.2 الحادية الوحدةعشر2الجبر

: عليه واقعة نقطة عند الدالة مماسThe tangent line at a point on the graph of a function.

. واحدة نقطة عن الدالة محنى يمس مستقيم هو المماس

Graph the quadratic function y = x2, then draw the tangents at the points shown below. Write your comments, the describe the behavior of the function at these points.

التربيعية الدالة لهذا y = x2ارسم مماسات ارسم ثم: التالية النقاط عند المنحنى

a) x = 1 and x = 2b) x = -1 and x = -2c) x = 0

سلوك وصف والمنحنى المماسات على تعليقك اكتب. النقاط هذه عند الدالة

Solution:The graph of the function y = x2 is shown below and the doted

points are at x = - 2 , x = - 1 , x = 0 , x = 1 and x = 2

(:1مثال )

131


2الجبر a) The tangent at x = 1 and x = 2 are shown:You can note that:“ The tangent construct an acute angles with x-axis which means the gradient is positive.That’s implies the function y = x2 is increasingat that points. ”

b) The tangent at x = -1 and x = -2 are shown:You can note that:“ The tangent construct an obtuse angles withx-axis which means the gradient is negative .That’s implies the function y = x2 is decreasing at that points. ”

c) The tangent at x = 0 :You can note that:“ The tangent constructs a zero angle withx-axis i.e. parallel to x-axes which means,the gradient is zero.That’s implies the function y = x2 is neither increasing nor decreasing at x=0. It is called ( Stationary point ):Where the function goes from decreasing to increasingat the point x=0 ( or vise versa ) ”

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

عند المماسات أن x = 1 , x = 2نالحظمحور مع حادة زاوية لذلك xتصنع

موجبا Gيكون المماس ميل أن نستنتج. Gالنقاط تلك عند متزايدة الدالة وتكون

عند المماسات أن x = - 1 , x = - 2نالحظمحور مع منفرجة زاوية لذلك xتصنع

سالبا يكون المماس ميل أن نستنتج. Gالنقاط تلك عند متناقصة الدالة Gوتكون

عند المماس أن زاوية x = 0نالحظ يصنعمحور xصفرمع

المماس ) ( ميل أن نستنتج لذلك يوازيه أيبنقطة النقطة عندها وتسمى صفرا يكون

متناقصة وال متزايدة ليست الدالة أن أي ثباتأو تزايد إلى تناقص من الدالة تتحول وإنما

العكس..

132


2الجبر

The graph shown below is for the piecewise function .

Describe the behavior of the function at x = -3 , x = -1 , x = 0 and x= 3

(:1تدريب )

الموضح الدالة الرسم رسم هوالمجزأة .

النقاط عند الدالة سلوك صف x = -3 , x = -1 , x = 0 and x s= 3


Graph the following piecewise function .

Describe the behavior of the function at x = -3 , x = -2 , x = 1 and x= 3

أمامك . التي المجزأة الدالة ارسم

النقاط عند الدالة سلوك صف x = -3 , x = -2 , x = 1 and x= 3

133


2الجبر

(:2مثال )

مع الدالة تقاطع نقط yو xمحوري

Intercept on the x- or y-axis

محور مع الدالة تقاطع نقط تقاطع( x = 0نضع ) yإليجاد نقط وإليجادمحور مع ( y = 0نضع ) xالدالة

To find y-intercept we substitute x= 0 In the equation. Also to find x-intercept we substitute y= 0 In the equation

Find y-intercept and x-intercept for the following equations :محوري مع التقاطع Gنقاط :yو xأوجد التالية المعادالت من لكل

a) y = 2 x – 8b) 3 x – 5y – 15 = 0

Solution :c) y = 2 x – 8 Put x = 0

y = 2 (0) – 8 = – 8Then y-intercept is y = – 8y = 2 x – 8 Put y = 00 = 2x – 82x = 8x = 4Then x-intercept is x = 4

b) 3 x – 5y – 15 = 0 put x = 0 3 (0) – 5y – 15 = 0 – 5y – 15 = 0

– 5y = 15 y = – 3

Then y-intercept is y = – 33 x – 5y – 15 = 0 put y = 0 3 x – 5(0) – 15 = 03 x – 15 = 03 x = 15 x = 5 Then x-intercept is x = 5

134


2الجبر

(:2تدريب )Find y-intercept and x-intercept for the following equations :

محوري مع التقاطع نقاط :yو xأوجد التالية المعادالت من لكلa) y = 3 x + 12

b) 2 x – 3y – 18 = 0


1- Find y-intercept and x-intercept for the following equations :

محوري- 1 مع التقاطع نقاط :yو xأوجد التالية المعادالت من لكلa) y = 4 x + 4

b) 3 x – 4y – 12 = 0

c) y = 5 - x

d) x – 2y = 8

e) y = x - 15

f) 4 x – 5y + 12 = 0

2- If the x-intercept is ( 3 , 0 ) and y-intercept is ( 0 , 2 ) of a line , find the linear

equation.

محور- 2 مع مستقيم تقاطع نقطة كانت ( 0 , 3 ) هي xإذامحور مع تقاطعه نقطة ، (2 , 0 ) هي yو.ف المستقيم معادلة أوجد




يرسممنطقة

الحل لمتباينةمعطاة .


5.8

المصطلحات:

Vocabulary :

linear inequality

متباينات خطية

Regions منطقة

11.3 الوحدة عشر الحادية

2الجبر

:تمهيدي مثال linear inequality الخطية المتباينات

The next graph represent the function y = 2x + 3. الدالة يمثل التالي y = 2x + 3الرسم

a( Where are the points that have y equal to 2x + 3?

المعادلة- تحقق التي النقاط تقع أين ؟ y = 2x + 3 أb( Where are the points that have y less than 2x

+ 3?

المتباينة- تحقق التي النقاط تقع أين ؟ y < 2x + 3 بc( Where are the points that have y greater than

2x + 3?

المتباينة- تحقق التي النقاط تقع أين Rح y > 2x + 3 ؟d( How can we show this on the graph?

؟- الرسم على ذلك تمثيل يمكRن كيف دe( What would be a quick way to find out which

side of the line we need?

؟- تحقيقها المراد المنطقة إليجاد سريعة طريقة هناك هل ه

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

Discuss the following question with your colleague:. التالية األسئلة زميلك مع ناقش

135

136


2الجبر

e) The quick way to find out which side of the line we need is to check any random point

like ( 0 , 0 ).

ولتكن ) عشوائية نقطة نختار أن هي المطلوبة المنطقة لتحديد طريقة ( 0و 0أسرع

If the point satisfy the inequality, so we must shade the region which contain the checked

point else we shade the other region.

النقطة هذه بها التي المنطقة بتظليل نقوم المتباينة تحقق النقطة هذه كانت إذا. األخرى المنطقة نظلل وإال

a) All the dotted points satisfy

y = 2 x + 3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

(0,3)(0.5, 4)

(-1, 1)

b) All the dotted points satisfy

y < 2 x + 3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

(2, 4)

(0,0)

(-2, -3)

c) All the dotted points satisfy

y > 2 x + 3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

(-3,1)

(-4,-2)

d) We can show that y ≤ 2 x + 3 by shading the region with lines .

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

(0,0)

Solution:

تدريب 1 :

Shade the region of each of the following inequality as shown below :

: التالية المبينة المتباينات من لكل الحل منطقة ظلل

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

c) y ≥ 2x

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

d) y < 2 and y > 0.5 x + 1

y =

2x

y = 2

y = 0.5x +1

Y = - 3x -3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

a) y ≥ - 3x +3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

b) y ≤ - 3x -3

y = - 3x +3

137


2الجبر

1- Solve the following Inequalities:التالية- :1 المتباينات حل مجموعة أوجد

a) y < 2x + 1

b) y > 0.5 x – 1

c) y ≤ - 3x

d) y ≥ - x + 4

e) y ≤ 5 and y ≤ 3x +4

f) y ≤ - 3 and y > 3

2- Underline the points that satisfy the inequality : x + y ≤ 7

المتباينة- : 2 تحقق التي النقاط تحت خطا x + y ≤ 7ضع( 0 , 0 ) , ( 4 , 2 ) , ( 8 , 0 ) , ( 5 , 4 )

( 0 , 7 ) , ( -1 , 9 ) , ( 10 , -4 ) , ( 3 , 2 )

3- Solve the following Inequalities: 3- التالية المتباينات حل y < - 0.5 x + 4 ,

y > 0.25 x + 1 ,

and y < 2x +1

Does the point ( 2 , 2 ) belong to the solution region?

النقطة ) تقع ؟ ( 2 , 2هل الحل منطقة في

تمارين :

138


2الجبر

(:2مثال )The shaded region is bounded by the curve y = x2 and the line y = 2.

Circle two inequalities which together fully describe the shaded region.

بالمنحنى محصورة المظللة المستقيم y = x2المنطقة .y = 2و . المظللة المنطقة تصفان اللتين المتباينتين Gحول دائرة ضع

y < x2 x < 0 y < 2 y > 0

y > x2 x > 0 y > 2 y > 0

Solution:

y < x2 x < 0 y < 2 y > 0

y > x2 x > 0 y > 2 y > 0

(:2تدريب )

Plot the graph of the two inequalities y < x2 – 4 and y < 1, then find the solution of both inequalities.

المتباينتين . y < 1و y < x2 – 4ارسم معا المتباينتين حل أوجد ثم

139


2الجبر

تمارين :

1- Plot the graph of y = 1/x2 for the domain set {x: x R and 1 ≤ x ≤ 4}.

Discuss whether the domain could be extended.الدالة- 1 المجال y = 1/x2 .ارسم { . x: x R and 1 ≤ x ≤ 4}على

. يتسع أن للمجال يمكن كان إذا ما ناقش

2- Plot the curve y = √ x on a suitably defined domain.

Discuss why the domain cannot be the set R.

Compare this curve with the curve of y = x2, drawn on the same axes

المنحنى- 2 عليه .y = √ xارسم المعرفة المناسب Gالمجال علىالحقيقية األعداد هو Gالمجال يكون أن اليمكن لماذا زمالئك مع .Rناقش

الدالة ومنحنى رسمته الذي المنحنى بين على y = x2قارن رسمه بعد . المحاور نفس

3- Invent a functions to show the relation between the cost ( C ) of electricity as

a function of the number of units of electricity used ( N ).

الكهرباء- 3 استهالك تكلفة بين العالقة توضح دالة وحدات ( C) كون وعددالكهرباء ) N.) 4- A rectangular enclosure has a wall on one side, and the other three sides areاستهالك

made of metal fencing. The side parallel to the wall has length d, measured in

metres. The enclosure has an area of 600 m2. Show that the total length, L metres,

of fencing is given by L = d + 1200/d. Plot this function.

Find from the graph the value of d that makes L as small as possible.

مساحته- 4 مستطيال ليصنع حائط أمام السلك من سور . 2سم 600أقيمالسلك طول أن بالقانون Lبين السلك dحيث . L = d + 1200/dيعطى Gطول

قيمة . الرسم من وبين الدالة ارسم للحائط تجعل dالموازي أصغر Lالتي. يمكن 140ما


2الجبر

المشروع

A cake company produces two types of celebration cake. The first type takes four hours to make per batch and two hours to cook. The second type takes two hours to make per batch and two hours to cook. The maximum cooking and making time available each week is 64 hours in total. The company makes QR 48 profit on the first type of cake and QR 35 on the second type. How many of each type of cake should the company make in order to make the maximum profit?

شركة Rك يكللتنتج من نوعين االحتفال يك ساعات ، اتك أربع يستغرق األول النوعوالتجهيز لل ل و إعداد الثاني طهي. لساعتين ساعتين يوالنوع والتجRهيز للستغرق إعداد

و لطهيلوساعتين األقصى ، ا الحد و لإلعداد المسموح أسبوع للوقت كل هو لطهيت ساعة 64 أن الشركة وتريد ، Rقطري 48ربح و من ريال األول قطري 35النوع ريال

. من الثاني من النوع نوع كل عدد ل ك يكالكم إنتاجها الشركة أقصى تستطيع تحRقيقربح؟

141


2الجبر

Documents

الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية