Математические методы в финансовых и экономических расчетахУральский федеральный университет

Кафедры: «Ценообразование в строительстве и промышленности»

2011

«Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 2. Простые проценты (продолжение)

План Наращение по простой процентной

ставке ; Расчеты с использованием простых

процентов; Погашение задолженности частями; Наращение и выплата процентов в

потребительском кредите; Дисконтирование и учет по простым

процентным ставкам; Прямые и обратные задачи для

простых процентных ставок; Определение срока ссуды и

величины процентной ставки.

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 3

Погашение задолженности частямиНеобходимым условием финансовой или кредитной операции является сбалансированность вложений и отдачи. Пример: Сcуда D выдана на срок T. В течение этого срока в счет погашения задолженности производятся платежи R1, R2, R3.….Rn через заданные промежутки времени t1, t2, t3......tn соответственно. В конце срока выплачивается непогашенный остаток Rn.

На рисунке представленасхема платежей.

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 4

Погашение задолженности частямиКонтуром финансовой операции называют графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами.

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур.

1 1 1

2 2 2

0n n

n

K D RK D RR DK

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 5

Актуарный метод Актуарный метод применяется в

случае, если срок финансовой операции (T>1) больше года.

Метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга.

Расчетные формулы:

Актуарный метод нарушает принцип начисления простых процентов, так как проценты начисляются не на первоначальную сумму, а на остаток задолженности, который может содержать ранее начисленные проценты.

1 0 1 1

2 1 2 2

(1 )(1 )

s

s

K D t i RK K t i R

3 2 3 3

1

(1 )(1 ) 0

s

n n n s n

K K t i RK K t i R

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 6

Правило торговцаРассмотрим случай T<1 .

Сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения;

Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.

Последний взнос должен сбалансировать долг и платежи.

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 7

Правило торговцаРассмотрим случай T>1.

Аналогично случаю T<1 выполняются расчеты для годового периода;

В конце года из суммы задолженности вычитаются наращенные суммы накопленных частичных платежей;

Остаток принимается за сумму долга на начало следующего года, и сбалансирует долг и платежи.Общая расчетная формула :

где D – остаток долга на конец срока или года. Для случая T<1 последний платеж должен покрыть S.

(1 ) (1 )s j j sj

D S K P n i R t i

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 8

Наращение и выплата процентов в потребительском кредитеИспользуется метод разового начисления процентов:

проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита;

погашение долга производится частями (обычно равными суммами) на протяжении всего срока кредита.Наращенная сумма долга равна:

Величина разового платежа:

где m – число платежей в году.

(1 )s sS P P n i P n i

1 sn iSR Pm n m n

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 9

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам Формулировка задачи, обратной наращению: Какую первоначальную сумму P надо дать в долг, чтобы получить в конце срока n сумму S, если проценты на долг начисляются по простой процентной ставке is? Два вида дисконтирования:

Математическое дисконтирование; Банковский учет.

Математическое дисконтирование – это формальное решение задачи, обратной наращению:

- формула математического дисконтирования по простой процентной ставке.

(1 )s

SPn i

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 10

График изменения современной стоимости Р в зависимости от времени

Коэффициент называетсядисконтным множителем, который показывает, какую долю составляет первоначальная сумма P в окончательной сумме S.

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

11si

s

DMn i

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 11

Банковский учет или учет векселей Вексель это денежный документ, представляющий собой письменное обязательство уплатить кому-нибудь определенную сумму денег S через определенное время n. Операция покупки банком или другим кредитным учреждением векселя у его владельца по цене более низкой, чем указано в векселе, называется банковским учетом векселя с дисконтом.При этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока, а размер дисконта равен:Сумма к получению равна:

- формула дисконтирования по простой учетной ставке.

sD S n d

(1 )s sP S S n d S n d

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 12

График изменения суммы к получению в зависимости от времени учета до даты погашения

Как видно, при величина дисконтногомножителя равна 0, т.е. при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой и даже отрицательной сумме к получению.

Банковский учет или учет векселей

1nd

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 13

Наращение по простой учетной ставке Если требуется проставить в векселе сумму на указанную в нем дату при известной сумме текущего долга, т. е. требуется определить S при заданном P по учетной ставке ds, то решается задача, обратная дисконтированию:

- формула наращения по простой учетной ставке.Множитель наращения в этом случае равен:

При , , т.е. наращенная сумма становится бесконечно большой.

11sd

s

МНn d

1 s

PSn d

1nd

sd

МН

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 14

График наращения по простой учетной ставке в зависимости от времени учета до даты погашения

Как видно, для того, чтобы S не было отрицатель-ным, необходимо выполнение условия :

Поэтому произвол в выборе n и ds недопустим.

Наращение по простой учетной ставке

1nd

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 15

Прямые и обратные задачи Таблица сравнения операций наращения и дисконтирования с использованием простой процентной ставки и простой учетной ставки.

Как показывают формулы, даже при is=ds два метода дисконтирования приводят к разным результатам.

Ставки

Прямая задача

Обратная задача

is S=P(1+nis )наращение

P=S/(1+nis )дисконтирование

ds P=S(1-nds ) дисконтиров

ание

S=P/(1-nds )наращение

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 16

Наращение и дисконтирование по простым ставкам

Зависимость дисконтных множителей от n (срока кредита или периода учета) при дисконтировании по простой процентной ставке и учетной ставке при Is=ds=20%.

Зависимость множителей наращения от n (срока

кредита или периода учета) при наращении по простой

процентной ставке и учетной ставке при Is=ds=20%.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ds

is

n

ДМ

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

ds

is

n

МН

Наращение и дисконтирование по простым ставкам

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 17

Определение срока ссуды Формулировка задачи : Какова должна быть продолжительность ссуды, чтобы долг, первоначальной суммы P, вырос до суммы S, при условии, что начисляются простые проценты по ставке is ?

Как видно, чтобы срок имел положительное значение, необходимо выполнение условия:

Для простой учетной ставки:

При этом должно выполняться условие:

1SP

/ 1

s s

S P S PnP i i

1PS

1 /

s s

S P P SnS d d

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 18

Определение процентных ставок производится при выявлении доходности финансовых операций. Формулировка задачи : Определить доходность ссудной операции для кредитора, если в контракте предусматривается погашение обязательств в сумме S через n лет , а первоначальная сумма долга равна P ?

Для простой учетной ставки:

Определение величины процентной и учетной ставки

sS Pin P

sS Pdn S

Авто: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 19

Спасибо за внимание