Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Распределенные системы
2
Устойчивость гомогенного(однородного по пространству)
стационарного (постоянного во времени)
состояния
2
2( ) .C Cf C Dt r
Устойчивость гомогенного стационарного состояния для одного уравнения в одномерном реакторе
(трубке длины l)
Краевые условия –непроницаемость границ
Гомогенное стационарное состояние:
( ,0) ( , ) 0.C Ct t lt r
0( ) 0f C
Устойчивость – зададим малые отклонения
Зададим системе некоторое возмущение (r), т.е.выберем в качестве начальной функции в этой задачефункцию, близкую к С0:
C(0,r) = C0 + (r); ( )r 1 Малое отклонение
Пусть C(t, r) – решение задачи с такой начальной функцией.
При малых (r) функция C(t,r) может быть представлена в виде:
C(t, r) ≈ C0(r) + (t, r).
Вблизи С0(r) нелинейную функциюf(С) можно приблизить линейнойфункцией, использовав первый членразложения по С в ряду Тейлора:
0 0 0( ) ( ) ( )cf C f C f C C C
С – С0 = (t,r)
2
2( ) .C Cf C Dt r
Уравнение для отклонения
( )r 1
2 20 0
0 0 2 2
( , ) ( , )( ) ( ) ( , )cC Ct r t rf C f C t r D Dt t r r
2
2( ) .C Cf C Dt r
C(t, r) ≈ C0 + (t, r).
2
02
( , ) ( , ) ( ) ( , )ct r t r f C t rt r
Учитывая, что С0 – гомогенное стационарное состояние, остается уравнение для отклонений
Здесь D=1
с начальным условием (0, r) = (r) и краевымиусловиями:
( , ) ( , )tr
t lr
00
.
Решение линеаризованной задачи
2
02
( , ) ( , ) ( ) ( , )ct r t r f C t rt r
0( )cf C A сonst
2
2
( , ) ( , ) ( , )t r t r A t rt r
Решение ищем в виде0
( , ) ( ) coskk
k rt r a tl
2 2
2
( ) cos ( )cos ( )coskk k
a t k r k k r k ra t Aa tt l l l l
Для каждого k получим уравнение:
Уравнение для отклонений во времени
a tt
kl
A a tkk
( )( )
2 2
2
a tk
lA tk ( ) exp
2 2
2
ak(0) = 1
Нарастают гармоники (моды) для которых k
lA f C
2 2
2 0
( )
kf C l
D* ( )
02
2
Решение неустойчиво, если
Система усиливает вклады низших гармоник (мод)
kf C l
D* ( )
02
2K=0
K=1
K=2
K=3
0( , ) ( ) cosk
k
k rt r a tl
Номер наивысшей незатухающей гармоники тем больше, чем длиннее реактор и тем меньше, чем выше значение коэффициента диффузии.
Незатухающие гармоники, развиваясь, могут приводить систему к установлению пространственно неоднородных диссипативных структур или автоволновых режимов.
Два уравнения реакция-диффузия
2
2
),,(rxDryxP
tx
x
2
2
),,(ryDryxQ
ty
y
Могут установиться структуры, когда одно вещество –близкодействующий активатор,а другое – дальнедействующий ингибитор. 1952
Алан Тьюринг 1912-1954
Создатель «машины Тьюринга» -абстрактное вычислительное устройство (1936)
Разгадал немецкий код Enigma
Член команды, создавшей первый электронный компьютер в Манчестере вскоре после 2-й мировой войны
Тест Тьюринга
Два уравнения реакция-диффузия
2
2( , ) xx xP x y Dt r
2
2( , ) yy yQ x y Dt r
Линеаризованные уравнения
2
2
rDba
t
2
2
rDdc
t
yyxPb
xyxPa
),(,),(
yyxPd
xyxQc
),(,),(
Решение линейной системы ищем в виде:
ikrpt
ikrpt
eBerteAert
),(,),(
k – волновое число, «частота» по пространству
lnkn
Уравнения для амплитуд
A(p - a + D k2) - bB = 0
cA - (p - d + D k2)B = 0
Дисперсионное уравнение
(p - a + k2Dξ)(p - d + k2Dη) - bc = 0
Отсюда ищем p- знак действительной части которого определяет устойчивость
ikrpt
ikrpt
eBerteAert
),(,),(
pa d D D k a d k D D bc
1 2
2 2 2 4
2,
( ) [ ( )]
xt
P x y r Dx
rx ( , , )2
2
yt
Q x y r Dy
ry ( , , )2
2
k1 – волновое число, при котором система становится устойчивой к данному виду возмущений; k2 – система теряет устойчивость к данному виду возмущений; k3 – переход из области колебательной неустойчивости в область устойчивых колебаний; k4 – переход колебательной системы в бесколебательную; k5 – переход из области неустойчивого узла в область седловой неустойчивости
Различные типы зависимости
действительной части корней дисперсионного уравнения от волнового
числа k
Зависимость реальной части собственных чисел от волнового числа для системы двух уравнений с
диффузией. Неустойчивость Тьюринга
Пространственно-временные режимы
2
2
),,(rxDryxP
tx
x
2
2
),,(ryDryxQ
ty
y
2
22 )1(
rXDXBYXA
tx
x
Алан Тьюринг 1912-1954
Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis. Phil.Trans.R.Soc. London B, 1952
Илья Пригожин1917-2003 2
22
rYDYXBX
tY
y
Prigogine I, Lefever R. Simmetry breaking instabilities in dissipative systems,J.Chem. Phys. 48, 1665-1700, 1968
Химические реакции – базовые модели процессов в активных
средах• Брюсселятор• AX 2X+Y3X
• B+XY+C XR
Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. М., Мир 1979G.Nicolis, I.PrigogineSelf-Organization in non-equilibrium systems. From dissipative structures to Order through fluctuations. 1977
Система уравнений «брюсселятор
Если конечные продукты С и R удаляются из реакционного пространства, а субстрат Aнаходится в избытке, k1 =k3 = k4 = 0. Пусть также k2 = 0. Значения остальных констант положим равными единице.
XBYXAdtdx )1(2
.2YXBXdtdy
.,ABYAX
Классические модели. Брюсселятор.
Фазовый портрет системы брюсселятор при B>1+A (а) и B<1+A2 (б).
Диссипативные структуры в «распределенном брюсселяторе»
2
22 )1(
rXDXBYXA
tx
x
2
22
rYDYXBX
tY
y
X – активатор,
Y - ингибитор
B DD B
Axy
1
1 2
2,( )
Условие возникновения структур:
Пригожин, Лефевр, 1971
Вещество B равномерно распределено по объему, а концентрация вещества A
поддерживается постоянной на
границе,2
22
22
2
2
2
( 1) ,
,
, (0 )
x
y
A
X XA X Y B X Dt rY YBX X Y Dt rA AA D r lt r
A A l A( ) ( )0
Параметры системы: DА = 0.026, Dx = 1.052·10–3, Dy = 5.26·10–3, l = 1, (а) – B = 7; (б) – B = 12; (в) – B = 25
Пространственно-распределенный брюсселятор с заряженными компонентами.
А.И.Лобанов, Т.Ю.Плюснина, Т.К.Старожилова, Г.Ю.Ризниченко, А.Б.Рубин. Влияние электрического поля на пространственно-временные структуры в
системе «Реакция-диффузия». Биофизика 2000
2
1 1 11 1 1 1 1 2 1 22 ,с c cD B B c c z c f c c
r r r
2
2 2 22 2 2 2 1 2 1 22 ,с c cD B B c c z c g c c
r r r
2
1 22 c z cr
Схема синтеза двух ферментовЖакоба и Моно. Генетический триггер
.
,
2212
22
1121
11
PqPB
Adt
dP
PqPB
AdtdP
m
m
Фазовый портрет триггерной системы Жакоба и Моно
L1=L2=3; m=2
dxdt
Lx
x
dxdt
Lx
x
m
m
1 1
21
2 2
12
1
1
,
Структуры в распределенном триггере Жакоба и Моно Модель Д.С.Чернавского и др.
2
2
21
22
2
2
12
11
1
,1
ryDx
xL
tx
rxDx
xL
tx
ym
xm
x1, x2 x1, x2
Колебания в гликолизе
Активация
[Гл] Ф6Ф ФДФ (x) (y)
dxdt
kx
K xy
K ydydt
xK x
yK y
qy
K y
mx my
mx my my
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Фазовые портреты и кинетика
Модель гликолиза (8.10). Кинетика изменений концентраций фруктозо-6-фосфата (х) и фруктозодифосфата (у) (справа) и фазовый портрет системы (слева) при разных значениях параметров системы, а - бесколебательный процесс (узел на фазовой плоскости), α = 0.25; r = 1. б г – колебания с постоянной амплитудой и фазой (предельный цикл на фазовой плоскости), α = 8; r = 0.5.
,11
,1
ryrxy
dtdy
xydtdx
Структуры в гомогенате дрожжей
Распределенная система гликолиз.
A-F -последовательные моменты времени
,11
,1
2
2
2
2
ryD
ryrxy
ty
rxDxy
tx
y
x
Модель распространения волны Петровского-Колмогорова- Пискунова
)(2
2
CfrCD
tc
Функции правой части
Модель распространениядоминирующего вида
Андрей Николаевич Колмогоров
Андрей Николаевич Колмогоров занимает уникальное место в современной математике, и в мировой науке в целом. По широте и разнообразию своих научных занятий он напоминает классиков естествознания прошлых веков
Человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют сияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трех... направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть "ЧУДОМ"
выдающийся советский математик и деятель отечественного образования. С 1951 по 1973 гг. — ректор Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова
Ива́н Гео́ргиевич Петро́вский
1901-1973
Профиль распространяющейся волны в разные моменты времени в уравнении Петровского-
Колмогорова-Пискунова
Предельная скорость распространения фронта волны
)0(20 fD
2
2 ( )c CD f Ct r
Автоволновое решение
• Предельная форма кривой плотности дается решением уравнения:
• обращающимся в нуль при Z = + и в единицу при Z = – . • Такое решение V (Z) всегда существует и единственно, с
точностью до преобразования (А – произвольная постоянная), не меняющего форму кривой.
• Уравнение может быть получено, если искать решение уравнения распространения волны в форме:
• C(t,r) V (r – t)
,0)(02
2
VfdzdV
dzVdD
2
2 ( )c CD f Ct r
Амброзия - амброзиевый листоед
• Амброзия полынолистная (Ambrosia artemisiifolia) была завезена в Россию в сороковые годы 20 века во время Великой Отечественной Войны вместе с американскими продовольственными поставками зерна. «Чужой» для России вид быстро распространился по огромным территориям Европейской части СССР, в Закавказье, Казахстане, Приморском крае. Амброзия заглушает посевы культурных растений, не имеет в Европе и Азии естественных вредителей, не поедается большинством теплокровных животных, пыльца амброзии вызывает массовую аллергию у людей в летнее время.
Растение до 180-200 см в длинуРаспространяется только семенами(даже восковой спелости)
Распространение амброзиевого листоеда
• Полосатый жук – амброзиевый листоед (Zygogramma suturalis), является естественным вредителем амброзии в Америке.
Первый выпуск в 1978 г. в Ставропольском крае.
В 1983 г. – до 5 тыс. особей на 1 кв.м
Популяционная волна
Начиная с седьмого поколения была зарегистрирована уединенная популяционная волна, движущаяся с постоянной скоростью без изменения формы. В узкой полосе регистрировалась чрезвычайно высокая плотность насекомых – до 5 тыс. на 1 кв. м. В тылу волны амброзия оказывается полностью уничтоженной, движение напоминало распространение степного пожара. Скорость движения волны составляла 3 м/сут. Формирование волны происходило на всей территории ареала вредителя по мере достижения критической численности в местах колонизации.
Начиная с третьего поколения жука границы разрастающейся популяции можно было определить по зонам высокой плотности листоеда. Эти зоны представляли собой неправильной формы круги, причем положение зон высокой плотности в течение сезона оставалось фиксированным и изменялось лишь в следующем сезоне
Модель распространения амброзиевого листоеда
( ) ( )
,
n D n B p f ntp Ant
Ковалев О.В. и Вечерин В.В. Описание нового волнового процесса в популяциях на примере интродукции и расселения амброзиевого листоеда Zygogramma suturalis F. (Coleoptera, Chrysomelidae). Энтомол. обозрение 65(1): 21-38, 1986
n - численность жуковf(n) – изменение численности жуков за счет рождения и смертности.
B – коэффициент эффективности поиска пищи, p(r, t) – плотность амброзии.
A – количество корма, поедаемое одной особью в сутки
2
2
2
2
yx
x y
Направленное движение
Отличие от химических систем
Популяционная волна амброзиевого листоеда
Волна амброзиевого листоеда, кривая I, и волна пораженности амброзии (%), кривая II. 1 – расчет по модели, 2,3 –данные экспериментальных наблюдений
Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем, 1992