高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1

复习回顾　　椭圆的定义？焦点？焦距？

平面内到两个定点 F1， F2 的距离的和等于常数 ( 大于 F1F2 ) 的点的轨迹——椭圆．两个定点 F1， F2—— 椭圆的焦点．两焦点间的距离——椭圆的焦距．

　　汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．

椭圆？

椭圆？

　　将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆．

问题问题 11 　它们是不是数学概念上的椭圆？怎样来检验所得的曲线是不是椭圆？

问题问题 22 　某动物爱好者为了了解野生动物的习性，在野生动物经常出现的路段F1F2

用摄像机进行秘密监控，又由于受地形限制，摄像头只能安装在椭圆形轨道上，其中 F1、F2 为椭圆的焦点，如何给摄像机选择一个最佳视角，可以更清楚地观察这些野生动物的习性？

问题 3 　如何建立椭圆的方程？

y

xO

),( yxP

r

设圆上任意一点 P(x， y)

以圆心 O 为原点，建立直角坐标系

rOP

ryx 22

两边平方，得 222 ryx

1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标

坐标法 坐标法 5.化简方程

椭圆方程的建立：

步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标

步骤四：代入坐标步骤五：化简方程

步骤三：列等式

设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2 ，它们之间的距离为 2c ，椭圆上任意一点 P到 F1， F2 的距离的和为 2a(2a>2c) ．

P

F1 F2

以 F1， F2 所在直线为 x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则 F1， F2 的坐标分别为 (－c， 0)， (c， 0) ．

步骤一：建立直角坐标系

x

y

O

P

F1 F2

设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (x， y) ，

步骤三：列等式根据椭圆定义知： PF1＋ PF2＝ 2a ，

步骤四：代入坐标aycxycx 2)()( 2222 即： ．

步骤二：设动点坐标

步骤五：化简方程

两边再平方得： a4－ 2a2cx＋ c2x2＝ a2x2－ 2a2cx＋ a2c2＋a2y2 ，整理得： (a2－ c2)x2＋ a2y2＝ a2(a2－c2) ．

2222 )(2)( ycxaycx 移项得： ，

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx 两边平方得： ，

222 )( ycxacxa 整理得： ．

步骤五：化简方程因为 a2(a2－ c2) ≠0 ，所以两边同除以 a2(a2－ c2) 得： ，1

22

2

2

2

ca

y

a

x

又因为 a2－ c2＞ 0 ，所以可设 a2－ c2 ＝b2(b＞ 0) ，于是得：

．)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

1F

2F P

X

y

O

acyxcyx 22222 )()(

aPFPF 221 ),0(,),0( 21 cFcF

),( yx

122 ba

2x 2y

)0(12

2

2

2

bab

x

a

y

o

y

x

1F

2F

),( yxP

o

y

x

2F

1F

),( yxP

12

2

2

2

b

y

a

x12

2

2

2

b

x

a

y

如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？

(a>b>0)

(a>b>0)

椭圆的焦点位置可由方程中 x2

与 y2 的分母的大小来确定，焦点在分母 大的项所对应的坐标轴上．

跟踪训练

课本 P32练习 1

例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

)3,0()0,2(.4

)2,0(),0,3(),0,3(.3

26

),5,0(),5,0(.2

,3,4.1

21

QP

FF

P

xba

和经过点

且经过点焦点为

到两个焦点的距离和为椭圆上的一点焦点坐标分别为

轴上焦点在

xO

y

例 2 　 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为 3 m ，求这个椭圆的标准方程 .

F1 F2

P

解：以两个焦点 F1 ， F2 所在的直线为 x 轴，以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为

).0(12

2

2

2

bab

y

a

x

例 3　　　将 x2+y2=4 圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线？

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x)0(1

2

2

2

2

bab

x

a

y

1 ．方程建立的过程：建立直角坐标系 设坐标

列等式 代坐标 化简方程

回 顾

2 ．根据已知条件求椭圆的标准方程：

(1) 确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；(2) 求解 a， b 的值，写出椭圆的标准方程．

定 义

图

形

方 程

焦 点 F(±c ， 0) F(0 ， ±c)

a,b,c

的关系2 2 2b a c ，

{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}

1 2

y

oF F

P

x

y

xo

2

F

PF

1

3 ．两种标准方程的比较．

a b c a， ， 中 最大

2 2

2 21 0

y xa b

a b

2 2

2 21 0

x ya b

a b

1 ．推导焦点在 y轴上的椭圆的标准方程；2 ．课本 P32 练习第 2， 4 题． P32-33 习题第 1， 4 题．

课 后作 业