Η ΜΑΓΕΙΑ ΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΙΣΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

ΕΝΝΟΙΑ ΣΟΤ ΜΗΔΕΝΟ

IΔΙΑΙΣΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΣΡΙΓΩΝΑ ΣΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΝΗΜΕΙΑ

Α’ Αξζάθεην Λύθεην Φπρηθνύ

ρνιηθό έηνο 2011-2012

Eξγάζηεθαλ νη καζεηέο: Γαξδηθηώηεο Γηάλλεο

Γεκεηξαθόπνπινο Αιέμαλδξνο

Ρνπαθά Μαξίιηα

ηδεξή Πελειόπε

θιηάκε Κσλζηαληίλα

Η ΙΣΟΡΙΑ ΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Εηζαγσγή

Αλαγθαηόηεηα ύπαξμεο αξηζκώλ:

Αλάγθε γηα ηε δηάθξηζε ησλ αγαζώλ (π.ρ. έλα κήιν,

ηέζζεξα δέληξα θιπ).

Αλάγθε γηα ηε κέηξεζε ρξόλνπ.

Η εμέιημε ησλ αξηζκώλ

Φπζηθνί αξηζκνί.

Αθέξαηνη αξηζκνί.

Ρεηνί θαη Άξξεηνη αξηζκνί ή Πξαγκαηηθνί Αξηζκνί.

Μηγαδηθνί Αξηζκνί.

Αλάπηπμε γξαθήο:

Αηγύπηηνη (3000-2500 π.Υ.)

Βαβπιώληνη (2300-1600 π.Υ.)

Μηλσηθή Κξήηε: (ηδενγξαθηθή γξαθή πνπ δελ έρεη απνθξππηνγξαθεζεί).

Αξραίνη Έιιελεο

Αιθαβεηηθό ύζηεκα Αξίζκεζεο: (δεκηνπξγήζεθε από ηνπο Έιιελεο ηεο Ισλίαο ην 5ν

αηώλα π.Υ.)

Σν θαξθί γηα ην 1, ην 60, 602, 603 θιπ.

Σε ζθήλα γηα ηηο δεθάδεο.

Σν Ρσκατθό ύζηεκα Αξίζκεζεο

Γηαζέηεη εηδηθά ζύκβνια γηα ηνπο αξηζκνύο 1, 5, 10, 50, 100,

500, 1000:

Η ΙΣΟΡΙΑ ΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αξηζκεηηθά ύκβνια – πζηήκαηα

1η έκδοζη Ρωμαϊκού

Σςζηήμαηορ

Δεκαδικό ζύζηημα

απίθμηζηρ

X V Ι

1000 500 100 50 10 5 1

Εξελιγμένο Ρωμαϊκό

ζύζηημα απίθμηζηρ Ι V X L C D M

Μηα πηζαλή εξκελεία ησλ ζύγρξνλσλ αξηζκεηηθώλ

ζπκβόισλ. Μήπσο είλαη ζέκα γσληώλ;

Η ΙΣΟΡΙΑ ΣΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αξηζκεηηθά ύκβνια – πζηήκαηα

-Οη γσλίεο έρνπλ ζεκεησζεί κε "o".

-Ο αξηζκόο 1 έρεη κία γσλία.

-Ο αξηζκόο 2 έρεη δύν γσλίεο.

-Ο αξηζκόο 3 έρεη ηξεηο γσλίεο, θαη νύησ θαζεμήο

Όηη δελ ππάξρεη, ε αλππαξμία, ην ηίπνηε ή όηη δελ έρεη θακία αμία

Έλα από ηα δεθαδηθά ςεθία ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο

Δίλαη ην κηθξόηεξν ζηνηρείν ηνπ ζπλόινπ Ν θπζηθώλ αθεξαίσλ θαη ην

κόλν γηα ην νπνίν δελ ππάξρεη πξνεγνύκελν ζηνηρείν ζην Ν

Δύν απόςεηο

Σν αλύπαξθην από ην νπνίν έπιαζε ν Θεόο ηνλ θόζκν

Δείθηεο ηεο θελήο ζέζεο ζην

ζύζηεκα γξαθήο ησλ

αξηζκώλ

Αξηζκόο αλάκεζα ζηνλ 1

θαη ηνλ -1

Δκθαλίζηεθε ηνλ 7° αηώλα κ.Υ. ζηελ Ιλδία (650 κ.Υ)

Μάγηα => εηθνζαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο κε έλα ζύκβνιν ζε ζρήκα θνρπιηνύ γηα ην κεδέλ, ζπκβνιίδνληαο θελή ζέζε

Βαβπιώληνη => πξώηε ρξήζε ηνπ κεδέλ σο δείθηε

Έιιελεο => δελ ρξεζηκνπνηνύζαλ ηνλ κεδέλ νύηε σο αξηζκό νύηε σο ζύκβνιν δείθηε γηα ηε ζέζε ησλ άιισλ

Πξώηε αλάγθε γηα ρξήζε ηνπ θαηαγξαθή αζηξνλνκηθώλ δεδνκέλσλ θαη αλάγθε πξνζδηνξηζκνύ ηεο θελήο ζέζεο

Σν ζύκβνιό ηνπ πξνήιζε από ην γξάκκα όκηθξνλ – αξρηθό ηεο ιέμεο ΟΤΓΔΝ

Σέιεηνο ιέγεηαη έλαο αθέξαηνο αξηζκόο όηαλ ην άζξνηζκα ησλ ζεηηθώλ

δηαηξεηώλ ηνπ, εθηόο ηνπ αξηζκνύ, είλαη ίζν ηνλ αξηζκό απηόλ.

Άξηηνη ηέιεηνη

Ο Δπθιείδεο αλαθάιπςε όηη νη ηέζζεξηο πξώηνη ηέιεηνη αξηζκνί παξάγνληαη

από ηνλ ηύπν 2n−1(2n − 1)

Πεξηηηνί ηέιεηνη

Σα κέρξη ζήκεξα γλσζηά απνηειέζκαηα καο ιέλε όηη θάζε πεξηηηόο ηέιεηνο

αξηζκόο N πξέπεη λα είλαη ηεο κνξθήο 12m + 1 ή 36m + 9 θαη λα ηθαλνπνηεί

θάπνηεο ζπγθεθξηκέλεο ηδηόηεηεο.

ηα καζεκαηηθά πξώηνο αξηζκόο (ή απιά πξώηνο) είλαη έλαο θπζηθόο

αξηζκόο κεγαιύηεξνο ηεο κνλάδαο κε ηελ ηδηόηεηα νη κόλνη θπζηθνί δηαηξέηεο

ηνπ λα είλαη ε κνλάδα θαη ν εαπηόο ηνπ.

Σν κεδέλ θαη ην έλα δελ είλαη πξώηνη αξηζκνί. Σν κεδέλ ζπρλά δελ ζεσξείηαη

νύηε θπζηθόο.

Απιόο αιιά θαη αξγόο ηξόπνο γηα εύξεζε πνιιώλ πξώησλ είλαη ην ιεγόκελν

κόσκινο του Ερατοσθένη

ην ζύλνιν ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ - πξαθηηθά έσο θάπνην κεγάιν αξηζκό Ν -

αξρίδνπκε θαη απνθιείνπκε πξώηα ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 2 κεηά ηα

πνιιαπιάζηα ηνπ επόκελνπ κε δηαγξακκέλνπ αξηζκνύ θ.ν.θ. έσο ην Ν.

Παξαηεξνύκε όηη όιν θαη ιηγόηεξνπο αξηζκνύο ζα βξίζθνπκε πξνο

δηαγξαθή. Οη αξηζκνί πνπ ζα απνκείλνπλ είλαη όινη πξώηνη.

Μέρξη ηνλ Οθηώβξην ηνπ 2011, ν κεγαιύηεξνο

γλσζηόο πξώηνο αξηζκόο είλαη ν:

243.112.609 − 1.

Ο θαζέλαο από απηνύο βξίζθεηαη κέζα ζηνλ άιιν

Ιζνύηαη κε ην άζξνηζκα όισλ ησλ ζεηηθώλ δηαηξεηώλ ηνπ άιινπ, ρσξίο λα

ιακβάλεηαη ππ’ όςε ν ίδηνο ν αξηζκόο

Παξάδεηγκα

2841+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=220

2201+2+4+71+142=284

Αξρηθά ήηαλ γλσζηνί ζηνπο Ππζαγνξείνπο ζύλδεζε κε πνιιέο

κπζηηθηζηηθέο ηδηόηεηεο

Δθεύξεζε γεληθήο θόξκνπιαο γηα ππνινγηζκό θίισλ αξηζκώλ γύξσ

ζην 850 κ.Υ από ηνλ Thābit ibn Qurra

16νο αηώλαο κ.Υ : 9363584 θαη 9437056

1636 (Πηεξ ληε Φεξκά (Γάιινο αξηζκνζεσξίζηαο) : 17.296 θαη 18.416

1638 (Καξηέζηνο (Γάιινο καζεκαηηθόο θαη θηιόζνθνο: ηξίην δεύγνο

Μέρξη ην 1747 (Leonard Euler (Διβεηόο καζεκαηηθόο) : άιια 30

δεύγε κέρξη ην θαη αξγόηεξα ηα αύμεζε ζε πάλσ από 60.

1866 (Νηθνιό Παγθαλίλη) : 1184 θαη 1210.

o Αληίιεςε όηη ηα δεύγε θίισλ αξηζκώλ είραλ καγηθέο ηδηόηεηεο

o Πξνθαηάιεςε όηη δύν θπιαρηά πνπ έθεξαλ απηνύο ηνπο αξηζκνύο

επηζθξαγίδνπλ ηελ ηέιεηα θηιία κεηαμύ απηώλ πνπ ηα θνξνύζαλ

o εκαληηθόο ξόινο ζηα κάγηα, μόξθηα, αζηξνινγία θαη ηελ θαηαζθεπή ηνπ

σξνζθνπίνπ

Φπιαρηά

Μάγηα,

αζηξνινγία

Χξνζθόπην

•ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ

Οη αξηζκνί :

Εμ αξρήο αλαγλσξίζηεθαλ σο κεηαθπζηθέο νληόηεηεο πνπ θαζόξηδαλ ηελ κνίξα ησλ αλζξώπσλ

ηε ζπλέρεηα, ε αλαθάιπςε ηεο Γεσκεηξίαο ζεσξήζεθε έξγν θαη ζρέδην απηνύ ηνύηνπ ηνπ Θείνπ

Οη αξηζκνί καδί κε ηελ Γεσκεηξία θαη παξάιιεια κε ηελ Αζηξνινγία απνηππώζεθαλ πάλσ ζηε γε κε έξγα, κε αξκνληθέο γεσκεηξηθέο θαη ιεμαξηζκηηηθέο ζρέζεηο κεηαμύ ηνπο.

Η αξραία ειιεληθή

γιώζζα έρεη ηέιεηα

ζρέζε κε ηα

καζεκαηηθά θαη

ζρεηίδεηαη άκεζα κε ηα

κλεκεία ηεο

αξραηόηεηαο θαη ηελ

Σξηγσλνδαηζία ηνπ

Γεσγξαθηθνύ ρώξνπ

ηεο Διιάδαο.

•Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΙΕΡΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ

Tα κέξε ηεο γεο πνπ θαηνηθνύληαλ από αλζξώπνπο ζα έπξεπε λα βξίζθνληαη ζε αξκνληθή ζρέζε κε ηνπο ζενύο-Οπξάληα ζώκαηα.

Ο αξηζκόο 3 είλαη ν, θαη'

εμνρήλ, ηεξόο αξηζκόο όισλ

ησλ ζξεζθεηώλ, από ηα βάζε

ηεο πξντζηνξίαο κέρξη θαη

ζήκεξα.

"επηπρήο αξηζκόο".

"Λόγν ηνλ Ννπ θαη ηε

Θέιεζε,απνθξπθηζηηθή

εθδνρή ηεο Γεκηνπξγίαο ηνπ

θόζκνπ

"Κέληξν, ηελ Αθηίλα θαη ηελ

Πεξηθέξεηα" ηνπ θύθινπ(πνπ

ήηαλ ηεξό ζρήκα, γηαηί

ζπκβόιηδε ηνλ Ήιην, ηελ

πεγή ηεο Γεκηνπξγίαο)

•ΙΟΚΕΛΗ ΣΡΙΓΩΝΑ

Αθξόπνιε ηεο Αζήλαο

λαό ηνπ Πνζεηδώλα

ζην νύλην

λαό ηεο

Αθαίαο

Αζελάο

ζηελ Αίγηλα

κύξλε

•ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΗ

ΑΡΙΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η απόζηαζε Ισιθνύ - Ειεπζίλαο είλαη 850 ζηάδηα,

ην άζξνηζκα ησλ γξακκάησλ- αξηζκώλ ηεο ιέμεσο

«Ειεπζίο» είλαη επίζεο 850.

Η Υαιθίδα απέρεη εμ' ίζνπ απ' ηελ Θήβα θαη ην

Ακθηάξεην, 162 ζηάδηα. Η απόζηαζε Θήβαο

Ακθηαξείνπ είλαη 262 ζηάδηα (162 x 1.62 = 2.62 αιιά

θαη 100 x θ2= 262) Η Υαιθίδα ηζαπέρεη επίζεο απ' ηελ

Αζήλα θαη ηα Μέγαξα 314 ζηάδηα.

Η απόζηαζε Αζήλαο - πάξηεο είλαη 800 ζηάδηα ίζε

κε ηελ απόζηαζε Αζήλαο - Δήινπ. Απόζηαζε ίζε κε

ην ύςνο ηεο κεγάιεο ππξακίδαο ηεο Αηγύπηνπ x 1001.

Η απόζηαζε Δειθώλ - Δήινπ είλαη 1460 ζηάδηα. Αλ

ε απόζηαζε δηαηξεζεί δηα 4 δίλεη 365.

•ΠΑΡΘΕΝΩΝΑ

Σν πιάηνο ηνπ Παξζελώλα αληηζηνηρεί

ζε γσλία ελόο δεπηεξνιέπηνπ ηεο κνίξαο ζηoλ Ιζεκεξηλό.

Οη θίνλεο ηνπ Παξζελώλα δελ είλαη θάζεηνη αιιά αλ πξνεθηαζνύλ λνεηά πξνο ηα επάλσ ζπλαληώληαη ζηα 1852 κέηξα.

Ο όγθνο ηεο λνεηήο ππξακίδαο πνπ ζρεκαηίδεηαη είλαη ν κηζόο ηεο κεγάιεο ππξακίδαο ηεο Αηγύπηνπ, 45.000.000 ειιεληθά θπβηθά πόδηα.

• Πεξηζηξεθόκελνο

λαόο ηνπ

Επηθνπξείνπ

Απόιισλνο Κάζε ρξόλν γιηζηξάεη

πάλσ ζηελ εηδηθή βάζε

ηνπ κε γσλία ηέηνηα πνπ

λα ζηξέθεηαη θαηά 50.2

δεπηεξόιεπηα ηεο κνίξαο

θάζε ρξόλν ζηνρεύνληαο

ζην ίδην αζηξηθό ζεκείν

ιόγσ ηεο θίλεζεο ηνπ

άμνλα ηεο γεο.

Ο άμνλαο πεξηζηξνθήο

ηεο γεο έρεη κηα θιίζε

23.5° Απηόο ν άμνλαο

θηλείηαη αξγά

δηαγξάθνληαο θύθιν

θάζε 25.920 ρξόληα.

Αλ πξνζζέζνπκε ηα ηεξά

ησλ Δειθώλ, ηεο Δήινπ,

ηεο Ειεπζίλαο θαη ησλ

Αζελώλ, θαη δηαηξέζνπκε

ην 1460 κε ην 4,

βξίζθνπκε ηηο εκέξεο ηνπ

ρξόλνπ, δει. 365.

Ίζε απόζηαζε από ην Μαληείν ησλ Δειθώλ έρνπλ:

Ίζε απόζηαζε από ην ηεξό λεζί ηεο Δήινπ έρνπλ:

Ίζε απόζηαζε από ην ηεξό ηεο Δσδώλεο έρνπλ: