Серия 1kazan-math.info/data/2011-2012/56klass131/2.pdf · 2. 6 мальчиков и 6 девочек познакомились друг с другом. ... принцесса,

Городской математический кружок г. Казани. 5-6 класс. 2011-2012 г.

Серия 112 января

1. Падая по лестнице с 5-го этажа Асхат насчитал 100 ступенек. Сколько ступенек оннасчитал бы, падая со 2-го этажа?

2. Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части.

3. Ира умножает числа на 5, Аня прибавляет 4, Степан вычитает 3, а Даша делит на2. В каком порядке они должны выполнить свои операции, чтобы из 1 получить 11?

4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своихмонет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первыйпроиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго –33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?

5. Добираясь до школы на Артемоне, Мальвина заметила Буратино, идущего в про-тивоположную сторону. Через 10 секунд Артемон остановился, и Мальвина решиладогнать Буратино без Артемона. Через сколько минут она его догонит, если тотидет в два раза медленнее Мальвины и пять раз медленнее Артемона?

6. В коробке лежит 9 карточек, на которых написаны числа от 1 до 9 (по одному числуна карточке). Коля взял из коробки 4 карточки из девяти. После этого Таня взялаиз коробки 3 карточки, так что в коробке осталось ещё 2 карточки. Коля смотритна свои карточки и с уверенностью говорит Тане: я знаю, что сумма чисел на твоихкарточках нечётна. Чему равна сумма чисел на Колиных карточках?

7. Новая шахматная фигура Магараджа может бить клетки и как ферзь, и как конь.Какое наибольшее количество Магараджей можно расставить на доске 6 × 6 так,чтобы они не били друг друга?

8. Каждая грань куба выкрашена в черный или белый цвет. Докажите, что найдутсядве одинаково окрашенные грани с общим ребром.



1. Тараканчик хочет проползти из нижнего угла куба в противоположный верхнийугол. Укажите ему кратчайший путь.

2. 6 мальчиков и 6 девочек познакомились друг с другом. Оказалось, что у них увсех разные имена. Но все составлены из букв слова «КОВАЛЕВСКАЯ». Какие этомогут быть имена?

3. Разрежьте квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых)а) n = 4; б) n = 7; в) n = 10; г) n = 2007.

4. В футбольном чемпионате, который проходил по круговой системе, ровно 20% ко-манд не набрали ни одного очка (за выигрыш дается 3 очка, за ничью – 1 очко, запроигрыш – 0). Сколько команд участвовало в турнире?

5. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел A, B, C, для которых справедливоравенство 28A + 30B + 31C = 365.

6. Можно ли расставить числа в таблице 6 × 9 так, чтобы в каждом столбце быласумма по 10, а в каждой строке – по 20?

7. Сколько различных пятиклеточных фигур существует?


Серия 3. Дружная19 января

1. У пяти пятиклассников в сумме было 10 спичек. Первый заявил: «У меня – 1 спич-ка», второй: «У меня – 2 спички», . . . , пятый: «У меня – пять спичек». Сколькопятиклассников могло ошибиться? (Укажите все варианты)

2. У пятиклассников в сумме есть 25 спичек. Они хотят сложить из них натуральноечисло (используя все спички). Но так как из них не все знают большие числа, онихотят сделать это число как можно меньше. Какое число у них получиться?

3. У пятиклассников в сумме есть 25 спичек. Они хотят выложить натуральное числоближайшее к 2011. Как им это сделать?

4. Каждый пятиклассник принес на кружок по 5 конфет и раздал их всех другимпятиклассникам. Верно ли, что тогдаа) есть пятиклассник, который получил не менее 5 конфет;б) есть пятиклассник, который получил не более 5 конфет;в) есть пятиклассник, который получил ровно 5 конфет?

5. 4 пятиклассника делят торт в форме квадрата 4× 4. Они хотят разрезать его на 4равные по форме части так, чтобы разрезы проходили по сторонам клеток. Пока-жите 5 способов, как они могут это сделать. (Способы считаются различными, еслиполучаются фигурки разной формы.)

6. В 12.00 из столовой в далекий корпус вышел Арслан со скоростью 4 км/ч. В 13.00вслед за ним вышел Камиль со скоростью 6 км/ч, а в 14.00 вслед за ними вышелАсхат со скоростью 6 км/ч. Когда один из этих пятиклассников будет ровно по-середине между двумя другими? Найдите все возможные ответы и докажите, чтодругих нет.


Серия 4. Про пятиклассников23 января

1. К Алексею выстроилась очередь сдавать задачи. Но кружок еще не начался, и вкаждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Кружок все ещене начинался, и во все промежутки опять влезло по человеку. К моменту началакружка в очереди уже стояло 25 человек. Сколько человек стояли в очереди перво-начально?

2. Из столовой вышла колонна пятиклассников. У каждого корпуса оставалось поло-вина их количества и еще пол пятиклассника. Всего в лагере 5 корпусов. Сколькобыло пятиклассников?

3. На олимпиаду по математике пришел пятиклассник. Потом каждую минуту их чис-ло удваивалось. Через час все пришли и олимпиада началась. В какой момент при-шла ровно четверть пятиклассников?

4. 5 пятиклассников сидят за круглым столом. У первого есть 81 яблоко, у остальных– разное количество. Вначале первый дает каждому из остальных столько яблок,сколько у того уже есть. После этого остальные делают то же самое. Когда онизакончили, яблок у всех стало поровну. Сколько яблок было у каждого вначале?

5. 13 пятиклассников встали в круг. Докажите, что либо два мальчика, либо 2 девочкистоят рядом.

6. Разрежьте квадрат на а) 6, б) 8, в) 1000 квадратов (не обязательно равных).

7. Можно ли расставить числа в таблице 9 × 11 так, чтобы в каждом столбце быласумма четна, а в каждой строке нечетна?


Серия 5. Квадратная26 января

1. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, все вершины которого находятся в узлахсетки, а площадь равна а). 4, 9, 25, 2, 5, 8, 13 клеток; б) 10, 17, 34, 25 клеток (но впоследнем случае стороны квадрата не идут вдоль линии сетки!)

2. Разрежьте фигурку по линиям сетки на 4 равные по форме части семью способами.

3. Трем братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше,чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять частьбубликов: «Я, – сказал он, – оставлю половину бубликов, а другую разделю междувами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другуюразделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделиттак же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько леткаждому брату?

4. За столом сидят 7 пятиклассников, перед каждым – кружка, в некоторые налитомолоко (но, быть может, не поровну). Первый разлил всё своё молоко поровну вкружки всем остальным. Затем второй разлил своё молоко поровну всем остальным(включая первого), затем третий пятиклассник и т.д. до седьмого. Когда и седьмойпятиклассник разлил своё молоко, у всех оказалось столько же молока, сколькобыло вначале. Сколько молока в каждой кружке, если всего его 21 литр?



1. Как измениться цена товара, если сначала увеличить ее на 100%, а потом уменьшитьна 50%?

2. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было триодинаковых дома, которые взяли три старших брата, а меньшим за это выделилиденьги. Каждый из старших братьев заплатил по 800 долларов. Сколько стоит одиндом?

3. Какое наибольшее количество клеток доски 6 × 6 можно покрасить в черный цветтак, чтобы никакие две покрашенные клетки не граничили между собой по стороне?

4. На окраску кубика 2×2×2 требуется 1 грамм краски. Сколько краски потребуетсядля того, чтобы окрасить кубик 6× 6× 6?

5. Восстановите пример 1985**:102=****.

6. В магазине есть на равную сумму конфеты по 10 и 40 рублей за килограмм. Покакой цене надо продавать килограмм смеси этих конфет, чтобы сохранить такуюже выручку?

7. Поезд проехал переезд автотрассы шириной 5 метров за 5 секунд, а мимо перронадлиной 200 метров за 15 секунд, двигаясь вдвое медленнее. Какова длина состава?

8. На доске нарисована таблица 7×7, в клетках которой записаны натуральные числа.В одном из столбцов сумма чисел получилась четной. Могло ли произведение всехчисел быть нечётным?


Серия 76 февраля

1. В кубике размером 4 × 4 × 4 проделали три сквозные «шахты», параллельные егоребрам. Каждая «шахта» соединяет центральные квадраты 2 × 2 двух противопо-ложных граней кубика. Сколько весит остаток куба, если исходный куб весит 640 г?

2. На рисунке справа изображен план города. В городе четыре кольцевых автобусныхмаршрута. Автобус №1 ходит по маршруту В-Г-Д-Е-Ж-З-В, длина которого – 17 км.Автобус №2 ходит по маршруту А-Б-В-Е-Ж-З-А, длина которого – 12 км. Автобус№3 ходит по маршруту А-З-Ж-Е-Д-Г-В-Б-А, длина которого – 20 км. Автобус №4ходит по маршруту В-З-Ж-Е-В. Найдите длину этого маршрута.

3. В стране коротышек всего 2007 жителей, причем в каждом поселке коротышек оди-наковое количество домов, и в каждом доме живет поровну коротышек. Сколько встране поселков, если их больше, чем домов в поселке и больше, чем коротышек вкаждом доме?

4. Оля перемножила 5 восьмёрок и 11 пятёрок. Найдите количество цифр и суммуцифр получившегося произведения.

5. Некоторые клетки доски 8 × 8 покрашены в черный цвет. Известно, что в каждомтрех клеточном уголке есть незакрашенная клетка. Какое наибольшее число клетокмогло быть закрашено?

6. У фермера Джона имеется 6 бидонов емкостью 15, 16, 18, 19, 20 и 31 л. Один изних заполнен сметаной, а остальные – кефиром и молоком. Фермер утверждает, чтомолока у него вдвое больше, чем кефира. В каком из бидонов находится сметана?

7. В каждой клетке доски 3 × 3 стоит по фишке. Каждую фишку переложили насоседнюю по стороне клетку. Какое наибольшее количество пустых клеток моглополучиться после такого перекладывания?



1. Встретились трое – лжец, рыцарь и турист, который может и говорить правду, илгать. Каждый из них сказал следующее:Первый: «Я – турист»,Второй: «Первый и третий иногда говорят правду»Третий: «Второй – турист».Определить, кто есть кто.

2. Сколькими способами муравей может проползти по каркасу куба из одной вершиныв противоположную, если по пути он может побывать только в двух вершинах?

3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых нет соседних цифр одной чет-ности?

4. Дан квадрат 8×8 без двух противоположных угловых клеток. Можно ли разрезатьполученную фигуру на доминошки?

5. Расставьте несколько коней на шахматной доске так, чтобы каждый бил ровно трехдругих.

6. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и однудесятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что всеполучили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

7. На каждой карточке написана цифра и буква (с разных сторон). На столе лежат4 карточки, на которых видно: «2», «5», «а», «т». Какое наименьшее количествокарточек надо перевернуть, что бы проверить утверждение: «Если с одной сторонынаписано четная цифра, то с другой – гласная буква»?



1. Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас сыну в три раза меньшелет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

2. Сможете ли вы найти два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифрравна 8, а второе делится на 8?

3. Найдите все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

4. Можно ли разменять 25-рублевую купюру десятью купюрами достоинством 1, 3 и5 рублей?

5. Можно ли разменять 36-рублевую купюру десятью купюрами достоинством 1, 5 и9 рублей?

6. Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплатуцепочку из семи серебряных колец – по кольцу за день, с условием, что рассчиты-ваться ежедневно. Какое наименьшее число звеньев придется распилить путеше-ственнику?

7. У обезьяны есть а) один, б) два в) три кокоса. Она их бросает с этажей 15-ти этаж-ного дома. Не разбившиеся кокосы можно использовать снова. За какое наименьшеечисло бросков она может гарантированно определить этаж, начиная с которого ко-кос будет разбиваться при падении?



1. Мальчик по четвергам и пятницам всегда говорит правду, а по вторникам всегдалжет. Однажды его 7 дней подряд спрашивали, как его зовут. Шесть первых днейон давал такие ответы: Андрей, Борис, Андрей, Борис, Виктор, Борис. Какой ответон дал на седьмой день?

2. В турнире по мини-футболу за победу в матче дают 2 очка, за ничью – 1, за по-ражение – 0. Четыре команды сыграли друг с другом по разу. «Спартак» набрал 5очков, «Динамо» – 2, «Торпеда» – 1. Какое место заняла команда "Локомотив"?

3. За круглым столом сидят 2006 человек. Каждый из них – либо из клана рыцарей,всегда говорящих правду, либо из клана лжецов, которые всегда лгут. Каждый изсидящих заявил: «Оба моих соседа – из одного клана». Сколько рыцарей могло бытьза столом (перечислите все возможности)?

4. Новая шахматная фигура верблюд за один ход передвигается на три клетки в любуюсторону и на одну клетку вбок. Можно ли этой фигурой пройти из начальной клеткив соседнюю по стороне?

5. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4. 5, 6. За один ход разрешается прибавить по 1к любым двум. Можно ли за несколько ходов сделать все числа равными междусобой?

6. Дано неверное равенство 5× 6× 7 + 4× 8× 3 = 3× 10× 6 + 5× 4× 6. Расставьте внем скобки так, чтобы оно стало верным.

7. В коробке лежат 5 мандаринов. Известно, что любые три из них весят в суммебольше 300 г, но меньше 600 г. Докажите, что найдется мандарин, весящий от 100до 200 г.


Серия 111 марта

1. Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседанииприсутствовали все, и никто не воздержался при голосовании. Когда было объяв-лено, что некоторое решение было принято большинством с перевесом в 23 голоса,оппозиция закричала «Это обман!». Почему?

2. Расставьте, где это требуется, знаки арифметических действий и скобки, чтобы по-лучилось верное равенство 5 5 5 5=50.

3. Как разложить по семи кошелькам 127 монеток по одному рублю так, чтобы любуюсумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков и недоставая оттуда монетки?

4. В роте 100 человек. Каждую ночь дежурят трое. Можно ли так организовать де-журство, чтобы через некоторое время каждый единожды продежурил с каждым?

5. На каждой клетке доски 9 × 9 сидит жук. В некоторый момент времени все жукивзлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этомокажется хотя бы одна пустая клетка.

6. Двое по очереди берут спички из кучи. Первоначально там было а) 6000 б) 1000в) 3333 спичек. За один ход можно взять 1, 2, 4 или 5 спичек. Проигрывает тот, ктоне может сходить. Кто выигрывает при правильной игре?

7. В один день однокругового турнира оказалось, что 8 команд сыграли соответственно7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 матчей. Могло ли такое быть?



1. Имеются гири массой 1, 2, . . . , 21г. Можно ли их разбить на несколько групп так,чтобы в каждой группе самая тяжелая гиря уравновешивала все остальные.

2. На доске написано в строку 2001 целое число. Докажите, что одно из них можнобудет стереть, и сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это для 2000 чисел?

3. Четыре команды A, B, C и D провели друг с другом несколько тренировочныхматчей. Известно, что команда A участвовала в 6 матчах, команда B – в 5, C – в 7,D – в 10. Сколько всего состоялось матчей?

4. Три команды A, B, C провели друг с другом несколько тренировочных матчей.Известно, что команда A участвовала в 6 матчах, команда B – в 7, C – в 11. Сколькоматчей сыграли друг с другом команды A и C?

5. Узнику предложены на выбор три комнаты, в одной из которых находится прин-цесса, а в двух других сидели тигры.1) В этой комнате сидит тигр.2) В этой комнате находится принцесса.3) Тигр сидит во второй комнате.Не более одного из этих утверждений истинно. Где принцесса?

6. Узнику предложены на выбор три комнаты, в одной из которых находится прин-цесса, а в двух других сидели тигры. Табличка на двери, за которой находитсяпринцесса, говорит правду, а из двух других по крайней мере одна является оши-бочной.1) Тигр сидит во второй комнате2) Тигр сидит в этой комнате3) Тигр сидит в первой комнатеГде принцесса?

7. В каждой клетке шахматной доски 9×9 стоит конь. Можно ли одновременно сделатьход всеми конями таким образом, чтобы все клетки доски снова стали заняты?

8. Наташа играет в классики на поле 5×5 с вырезанными угловыми клетками. За одинход она может прыгнуть с любой клетки на любую, соседнюю по стороне клетку.Сможет ли Наташа пропрыгать все клетки поля, побывав на каждой клетке ровноодин раз?



1. В каждой комнате может находиться либо принцесса, либо тигр, в обеих комнатахможет оказаться по принцессе или там окажутся одни лишь тигры.1) В этой комнате находится принцесса, а другой комнате сидит тигр.2) В одной из этих комнат находится принцесса, а в другой - тигр.Известно, что на одной двери написана правда, на другой – нет. Где сидит принцес-са?

2. В каждой комнате может находиться либо принцесса, либо тигр, в обеих комнатахможет оказаться по принцессе или там окажутся одни лишь тигры.1) По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.2) Тигр сидит в другой комнате.Утверждения могут быть оба истинны или оба ложны. Где сидит принцесса?

3. В каждой комнате может находиться либо принцесса, либо тигр, в обеих комнатахможет оказаться по принцессе или там окажутся одни лишь тигры.1) либо в этой комнате сидит тигр, либо принцесса находится в другой комнате.2) Принцесса в другой комнате.Утверждения могут быть оба истинны или оба ложны. Где сидит принцесса?

4. Можно ли из 13 кирпичей 1 × 1 × 2 сложить куб 3 × 3 × 3 с дыркой 1 × 1 × 1 вцентре?

5. Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких заловтой же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит позамку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найти наибольшее числозалов, которое ему удастся посетить.

6. Покройте плоскость одинаковыми фигурами, изображенными на рисунке

7. Автомат по размену денег меняет монету в 20 р. На 3 монеты – 10, 5 и 5 р., а 50 р –на 3 монеты: 20, 20, 10 р. У Васи есть 11 монет. Может ли он с помощью автоматаза несколько обменов получить 20 монет?

8. Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы междуединицей и двойкой, между двойкой и тройкой, . . . , восьмеркой и девяткой былонечетное число цифр?



1. Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?

2. Можно ли замостить доску 10× 10 прямоугольниками 1× 4?

3. Если в комнате 1 находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, еслитигр, то ложно. Если в комнате 2 находится принцесса, то утверждение на табличкеложно, если тигр, то истинно.1) В обеих комнатах находятся принцессы.2) В обеих комнатах находятся принцессы.

4. Если в комнате 1 находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, еслитигр, то ложно. Если в комнате 2 находится принцесса, то утверждение на табличкеложно, если тигр, то истинно.1) По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.2) Принцесса – в другой комнате.

5. В шахматном турнире участвовало 8 игроков. Они набрали соответственно 7, 6, 4, 4,3, 2, 1.5 и 0.5 очков. Сколько очков игроки, занявшие первые четыре места, потеряливо встречах с остальными?

6. Два землекопа за два часа выкопают две ямы. Сколько ям выкопают три землекопаза три часа?

7. В шахматном турнире Женя и Саша сыграли одинаковое количество партий, «за-болели» и выбыли из турнира. Остальные участники турнира доиграли до конца.Всего было сыграно 28 партий. Играли ли Женя и Саша в турнире между собой?

Documents

Серия 1kazan-math.info/data/2011-2012/56klass131/2.pdf · 2. 6 мальчиков и 6 девочек познакомились друг с другом. ... принцесса,