Функции Функции и анализа на графичка информација 

 

Својства на функциите Деф.1.  Ако  променливата  y  зависи  од  променливата  x,  така  што  за  секоја  вредност  на  x  е определена точно една вредност на y, тогаш велиме дека y е функција од x. 

1. Нека е дадена функцијата y=1+  x . 

а) Да се определи за кои вредности на x, y=4. 

4=1+ x ‹3=  x ‹ x=9 

б) Да се определи за кои вредности на x, y=0. 

0=1+ x ‹‐1=  x  следува не постои реален број x, за кој е точно барањето. 

в) Да се определи за кои вредности на x, y¥4. 

  1+ x ¥4‹ x ¥3 ‹ x¥9 

г) Дали дадената функција има најмала и најголема вредност? Ако има такви вредности, најди ги. 

  Најмала вредност е 1, а најголема вредност нема. 

2. Ако имаме на располагање апарат кој може да ја измери бројноста на светската популација во секоја  секунда од  времето,  дали може да очекуваме  графикот на популацијата  во  зависност  од времето да биде континуирана крива? Објасни. 

  Не,  бидејќи  со  секое  раѓање  или  умирање  на  жител  на  планетата,  бројот  на  жители  се зголемува или намалува за 1, па популацијата може да прима само целобројни вредности.  

 

3.  Еден  пациент  добива  инјекција  од  одреден  антибиотик  на  секои  8  часа.  Помеѓу  инјекциите концентрацијата C на антибиотик во крвта се намалува,  како што антибиотикот се апсорбира од ткивата. Како би можел да изгледа графикот на C во однос на изминатото време? 

Решение: 

5 10 15 20

1

2

3

4

5

 

 

  

 

 

Дефиниција 1. 

Ако y=f(x) , тогаш множеството од сите можни влезови (вредности на x) се нарекува домен на f, а множеството од  излези (вредности на y) кои се добиваат кога x се менува во доменот се нарекува ранг на f. 

Пример: 

 y= x ;     x¥3;   Df=[3,∞);    Rf=[ 3 ,∞) 

 

Дефиниција 2. 

Ако  една  реална  функција  е  дефинирана  над  реална  променлива  и  ако  доменот  не  е  даден експлицитно,  тогаш  се  подразбира  дека  доменот  се  состои  од  сите  реални  броеви  за  кои    со формулата се добива реална вредност. Овој домен се нарекува природен домен на функцијата. 

 

1.Да се определи природниот домен на функциите: 

a) g(w)=6

12 −−

−ww

w;          b) f(x)= 291 x−−  

 

Решение: 

a)  w  062 =−−w

w =2/1 22411 +±

=2

51± 

w1=‐2; 

w2=3; 

Df=R\{‐2,3} 

 

b) Df’=? 9‐x ‹x 9‹|x|§3‹‐302≥ ≤2 ≤ x≤3‹ Df’=[‐3,3]  Df"=? 

091 2 ≥−− x ‹ 19 2 ≤− x fl  29 x− 1≤ ‹  ‹( 82 ≥x 22−≤x  или  22≥x ) 

Df"= ] ]∝+∪−∝− ,22(22,(  

Df = Df’I  Df"= ]3,22[]22,3( ∪−−  

 

2. Да се определи рангот на функциите: 

a)  y= 211x+

;           b)  y=22

2

2

+−++

xxxx

; 

Решение: 

a) = 1 2yxy +2x =

yy−1 

  0 2x ≥

01≥

−y

y 

‹( или  )  ‹(   или    ) ⎩⎨⎧

>≥−

001

yy

⎩⎨⎧

<≤−

001

yy

⎩⎨⎧

>≥

01y

y

⎩⎨⎧

<≤

01y

y‹ 

((0<y§1) или (ye«)) ‹(0<y§1) flRf=(0,1]; 

          б)   22 22 ++=+− xxyxyyx

   0)1(2)1()1( 2 =−++−− yxyxy

За да има оваа равенка решение по x ,потребно и доволно e: 

1. Кога   треба   т.е. 1≠y 0≥D

[ ]21

2

2

22

22

,07187

07187

0816812

0)1(2*4)1(

yyyyy

yy

yyyy

yy

∈⇔≤+−

⇔≥−+−

⇔≥−+−++

⇔≥−−+

 

⇒±

=±

=−±

=7

24914

281814

196324182/1y  

Rf =  ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−7

249,7

249 

2. Кога y=1, тогаш ‐2x=0‹x=0, но y=1 веќе припаѓа во рангот добиен во Случај 1. 

 

3. За секоја од фигурите одреди дали графикот дефинира функција од x 

 

4. Имате чаша со врело кафе,  додавате ладно млеко, и го оставате да стои 1 час. Скицирајте график на температурата на кафето во зависност од времето . 

T –температура на кафето 

t‐ време 

t

T

 

 

5. Дефинирајте ја функцијата по делови без користење на апсолутна вредност. 

a)  13)( ++= xxxf     б)  123)( +−−= xxxg  ‐ за дома 

⎩⎨⎧

<++−≥++

=0,13

0,13)(

xxxxxx

xf   ‹    ⎩⎨⎧

<+≥+

=0,120,14

)(xxxx

xf

       

 

6. Тргнувајќи од пладне авионот А лета 2400 милји од Њујорк до Сан Франциско со брзина од 400 милји на час. Авионот  В го започнува истото патување во 14:00 часот со брзина 800милји на час. Изрази  го  растојанието  меѓу  А  и  В  во  било  кој  момент  помеѓу  12:00  и  17:00ч  преку  бројот  на часови кои поминале од пладне. 

Решение: 

A патува 2400:400=6 часа, B патува 2400:800=3 часа, па A ќе биде во Сан Франциско во 18ч, а B во 17 часот.  Ако t е помеѓу 0 и 2, јасно е дека растојанието меѓу двата авиона е патот кој го поминал првиот т.е 400t. Ако t е помеѓу 2 и 5 растојанието е асполутна вредност од разликата на патиштата што ги изминале двата авиони т.е |400t‐800(t‐2)|. Со средување се добива: 

[ ]( ]⎩

⎨⎧

∈−∈

=5,2,44002,0,440

)(tttt

tf   

     

7. Објаснете зошто f има една или повеќе “дупки” во својот график и најдете ги вредностите на x за кои се појавуваат тие “дупки”. Најдете ф‐ја g чиј график е идентичен со графикот на f, но е без ”дупки”. 

a) )1)(2()1)(2()(

2

−+−+

=xx

xxxf   б) x

xxxf +=)(  

      Решение: 

a) f(x) не е дефинирана за  x = -2 и x = 1      1)1)(2(

)1)(1)(2(+=

−++−+ x

xxxxx

, т.е.    1)( += xxg

  

б) f(x) не е дефинирана за  x = 0  

за  :  0≠xx

xx + xx

xxxxx

+=+

=⋅ 1   т.е.  xxg += 1)( . 

 

Нови функции од стари ( комбинирање на функции ) 

 

1. Да се скицира графикот на функцијата: 

а) 1

12+

−=x

y користејќи го графикот на x

y 1=  

б)  112 +−= xy  користејќи  xy =   

в) xy 3−=  користејќи  xy =   

 

a) x

y 1=  

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

 

 

11+

=x

y  

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

 

 

 

 

 

11+

−=x

y  

-20 -10 10 20

-0.4

-0.2

0.2

0.4

 

 

21

1+

+−=

xy  

-20 -10 10 20

1.8

2.0

2.2

2.4

 

 

б)  xy =   

-4 -2 2 4

1

2

3

4

 

 

 

 

 

xy 2=   

 

-4 -2 2 4

2

4

6

8

 

 

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

212 xy   

-4 -2 2 4

2

4

6

8

 

 

112 +−= xy   

-4 -2 2 4

2

4

6

8

10

 

 

 

 

в)  xy =  

-4 -2 2 4

0.5

1.0

1.5

2.0

 

 

xy 3=   

-4 -2 2 4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

 

 

 

xy 3−=

-4 -2 2 4

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

 

Деф:    ( композиција од  f и g) ))(())(( xgfxgf =o

Деф: Доменот на се состои од сите х во доменот на f, за кои f(x) е во доменот на g. gf o

 

1. Да се определи  доменот и правилото за  и   ако: gf o fg o 

a) xxf =)(  ,     65)( 2 +−= xxxg 

b) 29)( xxf −=  ,  [ ]xxg =)(    ( најмалиот цел број  x≥ ) 

 

Решение: 

a) 65))(( 2 +−= xxxgf o , Dg= R, Df=[0,∂)

0652 =+− xx  

x1=5+è!!!!!!!!!!!!!25−24

2=3

x2=5−è!!!!!!!!!!!!!25−24

2=2

D( )gf o =(‐ ∂,2]U[3, ∂) 

6565)())(())(( 2 +−=+−== xxxxxfgxfg o  

D( )fg o =[0,∂) 

б)  [ ]29))(( xxgf −=o ,  [ ]29))(( xxfg −=o   

Df=? 9-x2¥0‹x2§9‹|x|§3‹-3§x§3flDf=[-3,3], Dg=Rfl

D( )gf o =[-3,4), D( )fg o =[-3,3]. 

2.  Да се изрази функцијата F како композиција од три функции: 

a) F(x) = ( 1+ sin(x2))3  

b) F(x) =  31 x−

Решение: 

а) f1(x) = x2 f2(x)= sin(x) f3(x)= (1+x) 3 и F(x)=(f3 o f2 o f1) (x)  

б)  31 )( xxf =    ,  xxfxxf =−= )(,1)( 32   и    F(x)=(f3 o f2 o f1) (x) 

3. Да се одреди  парноста/ непарноста на функциите 

Деф:       Функцијата е парна ако f(‐x) = f(x), за секој x од доменот, 

a непарна ако  f(‐x)= ‐f(x), за секој x од доменот.  

а)              б) 

   

                    парна             непарна 

в)         г) 

 

непарна          ниту парна ниту непарна 

 

4. Да се испита парноста на функциите: a)  2

5

1)(

xxxxf

+−

=   b)  2)( =xf ; 

a) )(11)(1

)()()( 2

5

2

5

2

5xf

xxx

xxx

xxxxf −=

+−

−=++−

=−+

−−−=− непарна 

b) парна )(2)( xfxf ==− 

Прави  

 1. Да се определи правата која е паралелна со 3х+2у=5 и минува низ точката (3, ‐4) 

Решение: y=k1x+b1 и y=k2x+b2 се паралелни кога k1=k2

 

2y = 5-3x 25

23

+−= xy ; k= ;

I начин:          II начин:  T=(x1,y1)=(3,‐4)  

b+−=− 3*234         )( 11 xxkyy −=−  

21

=b           )3(234 −−=+ xy    

21

23

+−= xy        21

23

+−= xy  

                     

2. Една честичка која се движи по х‐оската со константна брзина, во точката х=1 е кога t=2, а во точката х=5 кога t=4. 

a) Најди ја брзината на честичката, ако х е во метри, а t е во секунди b) Најди р‐ка која го изразува х како ф‐ја од t 

   в)    Која е координатата на честичката кога t=0  

Решение:  

a) sm /22415=

−−

=υ          

б) Права низ две точки    )( 112

121 xx

xxyyyy −

−−

=−   

   )2(21 −=− tx32142421 −=+−=−=− txtxtx  

   в)   30 −=⇒= xt 

-1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

6

3. Еден автомобил од состојба на мирување, почнувајќи од време t=0 се забрзува со константно забрзување  од  2  m/s2  во  следните  10s.  Потоа  патува  со  константа  брзина  од  20  m/s  во следните 90s. Тогаш започнува да ја намалува брзината со 1 m/s2 во следните 20s на чиј истек застанува пред семафор. 

a) Скицирај го графикот на брзината во однос на времето b) Изрази ја брзината како ф‐ја од времето t Решение: 

a)  

 

 

   

20 40 60 80 100 120

-10

10

20

30

40

b)  ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−∈∈

=]120,100[,120

)100,10[,20)10,0[,2

)(tt

ttt

tv

 4. Еден студент треба да се одлучи помеѓу купување на еден од два автомобили: А за 4000$ или 

B за 5500$. А поминува 20 km со еден галон гориво, а B 30 km со еден галон гориво. Студентот оценил дека цената на горивото е 1,25$/галон. И двата автомобила се во одлична возна состојба. Колку km ќе мора да извози студентот пред да му се исплати купувањето на B?  

 Решение:  

A поминува  1 km за  $2025.1

,     B поминува  1 km за  $3025.1

 

        3025.15500

2025.14000 ∗+≥∗+ xx  

          1500020833.0 ≥∗ x

         720000208.0

1500≈≥x км 

 

Фамилии од функции 

 

1. Да се определи равенка за: 

а)  фамилијата прави кои се паралелни со правата  142 =+ yx  . 

б) фамилијата прави кои минуваат низ пресекот на правите  0792 и01135 =+−=+− yxyx . 

в) фамилијата прави кои се тангенти на кружницата со центар во (0,0) и радиус 3. 

 

Решение: 

а)    xyyx21

41142 −=⇒=+     равенката  на  фамилијата  прави  паралелни  со  оваа  права  е 

bxy +−=21

. 

б)  ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇒

⎩⎨⎧

=+−=+−

312

079201135

yx

yxyx

 бараната фамилија прави е  )2(31

+=− xmy  

в)  тангентата  во  точката  е  нормална  на  правата  која  минува  низ  точката    и 

центарот  (0,  0),  бидејќи  коефициентот  на  оваа  права  е 

),( 00 yx ),( 00 yx

0

0

xy

следува  дека  коефициентот  на 

-10 -5 5 10

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

тангентата  е 0

0

0

0

1yx

xy

k −=−= .  Оттука  равенката  на  тангентата  во  точката    е ),( 00 yx

0

020

20

00

00 )(

yxxyx

yxxyx

yy−+

−=⇒−−=− .  Бидејќи  точката  (   лежи  на  кружницата 

 т.ш. равенката на бараната фамилија прави е 

), 00 yx

920

20 =+ yx

20

0

9

9

x

xxy

−

−±= . 

2. За секој график да се најде соодветната равенка од следните 

а)  5 xy =    б)    в) 52xy = 81x

y −=   г)  12 −= xy        д)  4 2−= xy           ѓ)  5 2xy −=  

I) ‐ > д)                     II) ‐> ѓ) 

 

2 4 6 8 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5 

 

 

 

 

III) ‐>в)              IV) ‐>б) 

 -0.01 -0.005 0.005 0.01

-1.4 ×1027

-1.2 ×1027

-1×1027

-8×1026

-6×1026

-4×1026

-2×1026

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4 

 

 

 

 

 

 

 

V) ‐> г)              VI) ‐> а) 

 

-4 -2 2 4

1

2

3

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

 

 

 

 

 

 

3. Да се скицира графикот на: а)  3 1+= xy    б) x

xy 1+=   в)   xxy 22 +=

Решение: 

а)               б) xx

xy 111+=

+=  

   

-4 -2 2 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-2 -1 1 2

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

 

 

 

 

 

 

в)   1)1(1122 222 −+=−++=+= xxxxxy

 

-4 -2 2

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

 

 

 

4. Од Њутновиот закон за гравитација следи дека тежината W на даден објект (релативно во однос на Земјата) е обратно пропорционална на квадратот од растојанието x помеѓу објектот и центарот 

на земјата т.е.  2xcW =   . 

а) Ако сателит тежи 2000 фунти на површината на Земјата и радиусот на Земјата е 4000 милји да се определи  . c

б) Колку тежи сателитот кога е 1000 милји над земјата? 

в) Дали постои  одалеченост од центарот на Земјата на која сателитот тежи 0? 

Решение: 

а)  92 1032

400020002000,4000 ⋅=⇒=⇒== ccWx    

б)  12805000

1032,500010004000 2

9=

⋅==+= Wx  

в)  ⇒⋅

=⇒== 2

9103200?,x

Wx  не постои одалеченост  x . 

 

5. За секој график да се одреди една од равенките: 

а) 22

2

−−=

xxxy   б) 

61

2 −−−

=xx

xy   в) 1

24

4

+=

xxy       г)  2)2(

4+

=x

y  

 

 

I)                 II)

 

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

100

-3 -2 -1 1

20

40

60

80

    III)                                                                                IV) 

 

 

 

 

 

 

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6-0.5

-1

Решение: 

а)   22

2

−=

−xxxy   ,      )1)(2(22 +−=−− xxxx

           , во 2 и ‐1 има асимптоти => II 1,2 −== xx

б)   ,   062 =−− xx 3,2 21 =−= xx ,  има асимптоти во ‐2 и 3 => I 

в) Нема вертикална асимптота => IV 

г)  x= ‐2 е вертикална асимптота => III 

 

6. Најди равенка за графикот која има облик y=y0+Asin(Bx-C)

a)              б) 

                                    

                        

π 2π 3π 9π2

6π 7π 9π

1

2

3

6

                                                               в)   

      Решение:  а) Амплитудата А=1, периодот Т=2π ï|В|=2π/2π=1ïВ=1, вертикалното поместување  нема ïy0=0, хоризонталното поместување е за π/2 во левоïC/B= ‐π/2ïC= (‐π/2)*B= ‐π/2, ïy =sin(x+π/2).  б)  Амплитудата  А=6/2=3  ï  А=3,  периодот  Т=9πï|В|=2π/9π=2/9ïВ=2/9, вертикалното  поместување  е  3ïy0=3,    хоризонталното  поместување  нема ïC=0, ïy =3+3sin(2x/9).  в)  Амплитудата  А=4/2=2ïА=2,  периодот  Т=πïВ=2π/π=2ïВ=2,  вертикалното поместување е 1ïy0=1, хоризонталното поместување е за π/4 во десно C/B= π/4ïC= π/2,  ïy =1+2sin(2x-π/2)

π2

π 3π2

2π

-1

-0.5

0.5

1 4

5

π4

π2

3π4

π

-1

1

2

3

7.  Најди  ја  амплитудата,  периодот  и  фазното  поместување  и  скицирај  барем  два периода на графикот на y= -4sin(x/3+2π).    Решение: А=4, В=1/3 Т=2π/В=2π/(1/3)=6π C/B= -2π/(1/3)= - 6π y=Asin[B(x-C/B)] y= -4sin(1/3(x+6π))    

−2 π π2

π 2 π 4π

-4

-2

2

4

         

                    

− 4 π − 2 π 2 π 6 π 9 π 12 π

-4

-2

2

4

    

 

 

Параметарски равенки  

Деф: Да претпоставиме дека  една  честичка  се  движи по  кривата C  во xy  рамнината  така што  x  и  y  координатите  како  ф‐ја  од  времето  се  x = f(t) и  y = g(t).  Тие  се  нарекуваат параметарски  равенки  на  движењето  на  честичката,  а    C  траекторија  на  честичката  или график на равенките. Променливата t се нарекува параметар на равенките.  1. a) Со  елиминирање  на  параметарот,  скицирај  ја  патеката  на  интервалот  0  ≤  t  ≤  5  на 

честичката чии равенки на движење се x = t-1, y = t+1. b) Најди го правецот на движење. c) Направи табела на x и y ‐ координатите на честичката во времињата t=0, 1, 2, 3, 4, 5. d) Обележи ги позициите на честичката во времињата од b) и означи ги со вредноста на t. 

Решение:  

a) 0≤t≤5,x=t‐1 

t=x+1 => y=t+1 = x+1+1 = x+2, y= x+2 

t=0 => x=‐1, t=5 => x=4 => графикот на кривата е отсечка меѓу точките (‐1,1) и (4,6) 

 

 

 

b) Правецот  во  кој  графикот  на  пар  параметарски  равенки  се  развива  како  што параметарот  се  зголемува  се  нарекува  правец  на  зголемување  на  параметарот  или ориентација на кривата зададена со равенките.        

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

                 

    

 

  c)  

   x y 0  ‐1  1 1  0  2 2  1  3 3  2  4 4  3  5 5  4  6 

 

 

 

д)                    

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

 

 

2. 

a) Со елиминирање на параметарот,  скицирај  ја патеката на интервалот 0  ≤  t  ≤ 1  на честичката чии равенки на движење се x=cos(pt), y= sin(pt). 

b) Најди го правецот на движење. c) Направи табела на x и y  ‐ координатите на честичката во времињата  t=0, 1/4, 1/2, 

3/4, 1. d) Обележи ги позициите на честичката во времињата од c) и означи ги со вредности 

на t. 

 

3.  Со  елиминација  на  параметарот  скицирај  ја  кривата  и  прикажи  го  правецот  на движење: 

а)   

323

1cossin32

cos3;sin2

],0[

22

22

+−=

=+=+

==

∈

xy

ttyxtytx

t π

 

              

     

 

нема дефинирана ориентација 

 

б)    

2222 21sin21sincos2cos

sin,2cos],2/,2/[

yttttx

tytxt

−=−=−==

==−∈ ππ,  

                                      

  

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

                         

 

в)  ]2,0[,sin5,cos2 π∈== ttytx  

елипса, ориентација‐ обратна од стрелките на часовникот 

г)      ,42, +== tytx тогаш  за  ,  се  добива  десна  гранка  од 

параболата, со почеток во (0,4) 

42,0 2 +=≥ xyt

4. За секој пар параметарски равенки одреди кој график одговара: 

а) )3sin(; tytx ==   б)  tytx sin3;cos2 ==   

в)    г) ttyttx sin;cos == 3

2

3 13;

13

tty

ttx

+=

+=  

д)   2

2

2

3

12;

1 tty

ttx

+=

+=   ѓ)  tytx 2sin;cos2 ==     

I ‐> ѓ) x и y се ограничени  II ‐> б) познати равенки на елипса    

 

 

 

III ‐> д)  y>=0 

   

 

 

 

IV ‐> а) x>=0   

 

 

 

 

 

V  ‐>  в)  за  секоја  фиксна  вредност  на  t  се  добива  кружница  со  радиус  t.  Со зголемување на t се зголемува радиусот на кружниците. 

-20 -10 10 20

-20

-10

10

20

 

VI ‐> г) не постојат точки во трет квадрант

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

 

5.   

a) Со елиминирање на параметарот, покажи дека равенките x = x0 +(x1-x0)t , y = y0+(y1-y0)t ја претставуваат правата која минува низ точките (x0,y0) и (x1,y1)

b) Покажи дека ако 0 ≤ t ≤ 1 тогаш равенките од а) ја претставуваат отсечката меѓу  (x0,y0) и (x1,y1) ориентирана во насока од  (x0,y0) до (x1,y1)

c) Користејќи  го  резултатот  од  б)  најди  параметарски  равенки  за  отсечката  од  (1,‐2)  до (2,4) со насока од (1,‐2) до (2,4) 

d) Најди параметарски равенки за отсечката од ц) но со обратна насока од (2,4) до   (1,‐2)   Решение:  

a)

01

0

010

010

)()(

xxxx

t

txxxxtxxxx

−−

=

−=−−+=

           

)(

)(

)(

001

010

01

0010

010

xxxxyy

yy

xxxx

yyyy

tyyyy

−−−

=−

−−

−=−

−+=

 

  

x0 x1

y0

y1

t=0

t= 12

t=1

b)    t = 0 t = t=1

x = x0 x = x0+(x1-x0) x = x0+x1-x0 = x1

y = y0 y = y0+(y1-y0) y = y0+y1-y0 = y1

      в)   (x0,y0) = (1,‐2),    x=1+1t=1+t ,  (x1,y1) = (2,4) ,  y = ‐2+(4‐(‐2))t  = ‐2+6t   г) x = x1 +(x0-x1)t , x = 2-1t    y = y1+(y0-y1)t , y = 4-6t 6. Најди параметарски равенки за квадратот на сликата претпоставувајќи дека квадратот се  формира обратно од стрелките на часовникот кога t се менува од 0 до 1, почнувајќи во         

 (21 , 

21) кога  t=0.

 Решение: 

 

0 ≤ t ≤  41     A1 (1/2,1/2), A2(‐7/2,1/2) , x=1/2‐4t, y=1/2 

41  ≤ t ≤  

21      B1 (‐1/2,3/2), B2(‐1/2,‐5/2) , x=‐1/2, y=3/2‐4t 

…    7.  Опиши  ја  фамилијата  криви  дадени  со  параметарски  равенки    x = a cos t + h   и             y = b sin t + k , (0 ≤ t ≤ 2 p   ).  а) h и k се фиксни, но a и b може да се менуваат.  б) a и b се фиксни, но h и k може да се менуваат.  в) a=1 и b=1, но h и k се менуваат т.ш. h=k+1.   

Решение: 

а)  елипси со фиксен центар и променливи оска на симетрија 

б)  елипси со променлив центар и фиксни оски на симетрија 

в) кругови со радиус 1 и центри на правата y = x-1. 

 

  

 

 

 

Лимеси ( гранични вредности ), интуитивен пристап  

 

Во задачите од 1‐4, да претпоставиме дека сите значајни обележја на функцијата можат да се видат од дадениот график. 

1. За функцијата од графикот да се определи :  

а)  = 2 )(xlim2

fx −→

lim2

fx +→

(lim2

fx→

)2(flim f

x ∝−→

lim fx ∝+→

lim0

fx −→

lim0

fx +→

(lim0

fx→

)0(flim f

x ∝−→

б)  = 0 )(x

в)  не постои )x

г)   = 2

д)    = 0 )(x

ѓ)   = 2 )(x

  

  

2. За функцијата од графикот да се определи :  

а)  = 3 )(x

б)  = 3 )(x

в)  =3 )x

г)   = 3

д)    = +)(x ∝  

ѓ)   = +)(xlim fx ∝+→

∝  

  

    

     

3. За функцијата од графикот да се определи :   

 а)  = 1 )(xlim0

fx −→

lim0

fx +→

б)  = -)(x ∝  

в)  непостои )x(lim0

fx→

)0(flim f

x ∝−→

г)   = -2

д)    = +)(x ∝  

ѓ)   = +)(xlim fx ∝+→

∝  

   

4. 

а)  = 3 )(lim0

xfx −→

б)  = 3 )(xlim0

fx +→

(lim0

fx→

)0(flim f

x ∝−→

в)  = 3 )x

г)   = 3

д)    не постои )(x

          ѓ)   = 0 )(lim xfx ∝+→

 5.За кои вредности на x0 постои   ?  

 

‐6 ‐3 3 

  

Решение: 

За сите x0 ≠ 3 и x0 ≠ ‐6 

 

 

 

 

 

 

6. Да се скицира (можниот) график за функцијата f која ги задоволува својствата (можни се различни графови). 

(i)  =1 ако x е позитивен цел број и  ≠1 ако x>0 и не е цел број )(xf )(xf

(ii)  =‐1 ако x е негативен цел број и  ≠‐1 ако x<0 и не е негативен цел број )(xf )(xf

(iii)  1)(lim =∝+→

xfx

  и   1)(lim =∝−→

xfx

 

Решение 

 

 

 

 Понатаму се намалува големината на овие триаголници за да се приближи функцијата до ‐1 

 

7.  Да претпоставиме дека една честичка се забрзува со константна сила. Двете криви v=n(t) и  v=e(t) ја претставуваат брзината во зависност од времето. Според класичната физика и според специјалната теорија на релативност соодветно параметарот c ја претставува брзината на светлината. Кои се разликите во двете теории (користејќи го јазикот на лимеси)? 

   

Решение: 

cte

tn

t

t

=

∝+=

∝+→

∝+→

)(lim

)(lim 

 

 

Пресметување на Лимеси  

1. Ако  0)(lim,4)(lim,2)(lim =−==→→→

xhxgxfaxaxax

, да се определат лимесите кои 

постојат, а ако не постојат да се објасни зошто.  

а)   131)4(301lim)(lim3)(lim)1)(3)((lim =+−−=+−=+−→→→→ axaxaxax

xgxhxgxh  

б)   16))(lim())((lim 22 ==→→

xgxgaxax

 

в)  28)(lim6))(6(lim)(6lim 3333 ==+=+=+→→→

xfxfxfaxaxax

 

 

г)   21

42

)(lim

2lim

)(2lim =

−==

→

→

→ xgxgax

axax

   

 

д) )(

)(8)(3limxh

xgxfax

−→

  

не постои лимесот бидејќи  0)(lim =→

xhax

, а  0))(8)(3(lim ≠−→

xgxfax

 

  

2. Да се определат лимесите  

а) 43

1369

1limlim

lim2lim

12lim

33

3

2

32

3=

+−

=+

−=

+−

→→

→→

→xx

xxx x

xx

xxx

 

б)  44

164lim

16)lim(

416lim

0

2

02

0=

−−

=−

−=

−−

→

→

→ x

x

xx

x

xx

 

      в) 

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 42*21lim1lim

11lim1

111lim1

11lim11lim

11lim

2

11

2

1

2

1

22

1

4

1

00

4

1

==++

++=−

++−−

+−=

−−−−

++

++++

+

→→

→→→→

→→

→

xx

xxx

xxxx

xxx

xx

x

xx

xxxx

x       

 

 

 

 г) 00

3

23

1 2335lim→→

→ +−+−+

ttttt

t 

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( )( ) 3

423lim

121311lim

2335lim

3,12

422

1242,032

32113121323235

12121

1,22

811,02

)2)(1(12111212223

113

23

1

2,12

2222323

2

2,12

2233

=++

=−+−+−−

=+−

+−+

−=±−

=+±−

==−+

−+−=−−−+−=+−−−+=+−+

−+−=−+−

−=+±−

==−+

−+−=−−+−=−−−=+−−=+−

→→→ tt

tttttt

ttttt

ttt

tttttttttttttttt

tttttt

ttt

ttttttttttttttt

ttt

 

д)  ∝−=−

∝+=−− −+ →→→

→

→ 4lim

4lim

4lim 22220

222 x

xx

xx

xxxx

bidej}i postoi, ne  

ѓ)  ∝+=−−→ 31lim

3 xx 

е) ( ) ( ) 6333limlimlim93

3)(3

939

9=+=+==

>−−+−

>−−−

>−x

xxxx

xxx

x 

   

3.Нека     ⎩⎨⎧

<−≥

=0,20,)(

2

tttttg

Да се определи:  а)  , б)  , в)   )(lim0

tgt −→

)(lim0

tgt +→

)(lim0

tgt→

Решение: 

  а)  2)2(lim)(lim00

−=−=−− →→

ttgtt

 

  б)   0lim)(lim 2

00==

−+ →→ttg

tt

в)   ‐ не постои )(lim0

tgt→

4. а) Објасни зошто не е точно следново пресметување. 

                                              

 

Решение: 

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++ →→ 2020

1lim11limx

xxx xx

   

  

5.  Да се определи x

xx

24lim0

−+→

 

Решение: 

)24(44

242424

++−+

=++++

⋅−+

xxx

xx

xx

 

    41

241lim24lim

00=

++=

−+→→ xx

xxx

  

 

 

Пресметување  лимеси: гранично однесување  

1. Да се определи :  a)  1lim||

lim ==∝+→∝+→ x

xxx

xx  

      б) 1lim

||lim −=

−=

∝−→∝−→ xx

xx

xx  

 

2. Да се определат лимесите :   

a) 

∝−→xlim ∝+=−=−=−

∝−→∝−→)5(lim)5(lim5 xxx

xx 

б) 

35

03075

)13(

)75(lim

1375lim

22

22

2

2

=−⋅−

=−

−=

−+

→∝→∝

xx

xx

xx

xx 

в) 515

31

25lim

)()3(

25

lim

||)3(

||25

lim3

25lim22

22

2

−=−

=−−

−=

−+

−

=+

−

=+−

∝−→∝−→∝−→∝−→

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx 

г)  ∝+=−=+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

−∝−→

∝−→

∝−→∝−→t

t

tt

tt

t

tt

t

t

ttlim2

01

lim20

11

25

lim1

25lim

22

22

2

3

 

д) 

( ) ( ) ( )( )

23

113

131

3lim131

3lim3

3lim

3

)3(lim3

33lim3lim

2

2

22

2

222

−=

+−

=+−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

+−

−=

=+−

−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−−−=−−

→∝→∝→∝

→∝→∝→∝

xxx

x

xxx

xxxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

 

 

3. Во секој дел најди примери на полиноми  и  кои го задоволуваат дадениот 

услов, и 

)(xp )(xg∝+→)(xp  и  ∝+→)(xg  кога  ∝+→x  

a)  →∝xlim 1

)()(=

xgxp

    б)  →∝xlim 0

)()(=

xgxp

 

в)  →∝xlim ∝+=

)()(

xgxp

   г)

→∝xlim [ ] 3)()( =− xgxp

 

  Решение: 

а) →∝x

lim 1)()(=

xgxp

       

)(xp =3 ‐5x+2   

)(xg = 3 +8   

→∝xlim =

+ 832+5x-3x

2

2

x →∝xlim

) x8+(3 x

) x2+

x5-(3

22

22x

= 133=

 

 

б) →∝x

lim 0)()(=

xgxp

 

)(xp =5 ‐x+2   

)(xg =  +  

→∝xlim =

+ 23

2 2+x-5xxx →∝x

lim 010

)11(

)215(

3

323

==+

+−

xx

xxxx

 

в)   →∝x

lim ∝+=)()(

xgxp

 

)(xp = 

23 xx +

)(xg =   25 2 +− xx

→∝xlim =∝

+=

+−

+=

+−+

→∝→∝ 51lim

)215(

)1(lim25

22

2

2

23 x

xxx

xxxxxx

xx 

 

г)   →∝x

lim [ ] 3)()( =− xgxp

5)( 2 ++= xxxp  

2)( 2 ++= xxxg  

 

4.  Ако m и n се позитивни цели броеви, најди: 

m

n

x xx

−+

∝−→ 132lim  

Решение: 

Ако  m<n   m

n

x xx

−+

∝−→ 132lim = 

⎩⎨⎧

→−∝−→−∝+

=−=−

=−

+−

∝−→

−

∝−→

−

∝−→ паренmnнепаренmn

xx

xx

xx

xmn

x

mn

x

mm

mnm

m

x ,,

3lim1

3lim)11(

)32(lim  

Ако  m>n   01

0

)11(

)32(lim

132lim =

−=

−

+=

−+ −

∝−→∝−→

mm

nmmm

xm

n

x

xx

xxx

xx

 

Ако m=n  31

3

)11(

)32(lim

132lim −=

−=

−

+=

−+

∝−→∝−→

nn

nn

xn

n

x

xx

xx

xx

 

 

Лимеси ( дефиниција)  

1. Да се определи најголемиот отворен интервал,центриран во  0=x ,т.ш за секое  x  во интервалот вредноста на  ( ) 32 += xxf се разликува за најмногу     единици од 

бројот    

0012.0( ) 30 =f

Решение: 

0006.00006.00006.0

0012.020012.00012.03320012.03

<

<<<<−

+<+<−

xx

xx

 

Отворениот интервал е (‐0.0006, 0.0006). 

2. Да се определи број δ  т.ш  ( ) ε<− Lxf  ако  δ<−< ax0  за 

( )( )

05.0

05.024242

22

05.0424

2,4

05.0,424

2

2

2

=

<−=−+=−−

+−

<−−−

==

==−−

→

δ

ε

xxx

xx

xx

aLxxLim

x

 

3. Да се докаже дека лимесот е точен со користење на Деф.2.4.1 за 31

3lim

2

0=

+→ x

xxx

. 

Доказ: Треба да докажеме дека за секој позитивен број  ε  може да најдеме  δ >0  т.ш 

( ) ε<− Lxf ако δ<− ax , т.е. ако  δ<< x0 . 

Нека е  0>ε произволен реален број. 

( ) ( )εδεεεε

ε

333

1131

31

31

3

|)(|2

=⇒<⇒<−+

⇒<−+

⇔<−+

⇔<−

xxx

xxx

xx

Lxf 

Од  произволноста  на  0>ε следува  дека  за  секој  0>ε постои  03 >= εδ ,  така што 

( ) ε<− Lxf ако δ<− ax . 

 4. Да се определи негативен број N  така што : 

5.575.575.112.05.02.0111.0)52(11

1.0)52(

11

1.052

10414

1.025214

:

1.0 ,25214lim, x ,)(

−=⇒−<=⇒−<⇒+>−⇒⋅+−<

<+−

<+

−−−

<−+−

==+−

=<<−−∞→

Nxxxx

x

xxx

xx

РешениеxxзаNакоLxf

xεε

 

5.Да се докаже дека лимесот е точен според Деф. 2.4.2:  25214lim =

+−

+∞→ xx

x. 

Доказ:  Треба да докажеме дека за секој позитивен број  ε  може да најдеме M>0  т.ш 

( ) ε<− Lxf ако x>M.  

Нека е  0>ε произволен реален број. 

Mxx

xx

xxxx

xx

=−⋅

=⋅−

>⇒−>⋅⋅⇒

⇒⋅+⋅⋅<⇒<+

⇒

⇒<+

−⇔<

+−−−

⇔<−+−

25

211

25115112

521152

11

5211

5210414

25214

εεεεε

εεε

εε

ε 

 

 

Од  произволноста  на  0>ε следува  дека  за  секој  0>ε постои   25

211

−⋅

=ε

M ,  така 

што  ( ) ε<− Lxf ако x>M. 

6.Да се докаже дека лимесот е точен според дефиниција:  =∝−→ 23 )3(1lim

xx. 

Доказ: Треба да докажеме дека за секој позитивен број М>0 може да најдеме δ >0 т.ш 

f(x)> М, ако  δ<− ax , т.е. ако  δ<−< 30 x . 

Нека М>0 e произволен реален број.  

MMx

MxM

x1131)3(

)3(1 2

2 =⇒<−⇔<−⇔>−

δ . 

Од  произволноста  на  следува  дека  за  секој  М>0  постои   0>MM1

=δ ,  така  што 

f(x)>М ако  δ<− ax . 

7.Да се докаже дека лимесот е точен според дефиниција:  ∝−=−−

→ 23 )3(1lim

xx. 

Доказ: Треба да докажеме дека за секој негативен број N<0 може да најдеме δ >0 т.ш 

f(x)<N ако  δ<− ax , т.е. ако  δ<−< 30 x . 

Нека е N<0 e произволен реален број.  

NNx

NxN

xN

x −=⇒

−<−⇔

−<−⇔−>

−⇔<

−− 1131)3(

)3(1

)3(1 2

22 δ . 

Од  произволноста  на  следува  дека  за  секој N<0  постои   0<NN−

=1δ ,  така што 

f(x)<N ако  δ<− ax . 

8.Да се докаже дека лимесот е точен според дефиниција  =∝−+→ 32lim

3 xx. 

Доказ:  Треба да докажеме дека за секој реален број M>0  постои  δ >0  т.ш  f(x)>M  ако 

δ<−< 30 x . 

Нека е M>0 e произволен реален број.  

MMx

MxM

x2231

23

32

=⇒<−⇔<−

⇔>−

δ . 

Од  произволноста  на  следува  дека  за  секој    постои   0>M 0>MM2

=δ ,  така што 

f(x)>M ако  δ<−< 30 x . 

9. Да се докаже дека лимесот е точен според дефиниција  ∝−=−−→ 23

2 xLimx

. 

Доказ:  Треба  да  докажеме дека  за  секој  реален  број N<0  постои  δ >0  т.ш  f(x)<N  ако 

δ−>−> 20 x , т.е. ако  δ<− x2  

Нека е N<0 e произволен реален број.  

NNx

NxN

xN

x −=⇒

−<−⇔

−<

−⇔−>

−−⇔<

−3321

32

)2(3

23 δ . 

Од произволноста на N<0, следува дека за секој N<0 постои  N−

=3δ , така што f(x)<N 

ако  δ−>−> 20 x , т.е. ако  δ<− x2 . 

 

Непрекинатост  

1. Нека f е функција претставена со графикот. Во кој од дадените интервали, ако има такви, f е непрекината? 

а)  [1,3];   б)  (1,3);     в)  [1,2];      г)  (1,2);      д)  [2,3];      ѓ)  (2,3). 

1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

                        0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

10

20

30

40

50

 

 

 

 

Непрекината е во интервалите: (1,2), (2,3)              Непрекината е во:  (1,3), (1,2), (2,3). 

 

2. Да се скицира графикот на функција која ги задоволува условите: 

а) функцијата е непрекината секаде освен во точката x=3, во која е непрекината од десно 

б) функцијата има двостран лимес во x=3, но не е непрекината во x=3 

в) функцијата не е непрекината во x=3, но ако нејзината вредност во x=3 се смени од f(3)=1 во f (3)=0 станува непрекината во x=3 

г) f е непрекината на интервал [0,3) и е дефинирана на [0,3]  но f не е непрекината на [0,3] 

а) 

 

       б)  

 

 

   1         2         3 

 

в)  

   

 

                     1        2         3 

 

г) 

                

 

                  1              2             3 

 

3. Да се определат вредностите на x, во кои f (x) не е непрекината. 

3)(

−=

xxxf  

|x|‐ 3 = 0 

|x|= 3 

Функцијата не е непрекината во x = ‐3 и x = 3 (т.е. функцијата е непрекината за сите реални броеви, освен за x =3 и x =‐3). 

4. Да се определат вредностите за константата к (ако е можно), кои ќе ја направат 

функцијата f (x) непрекината секаде: . ⎩⎨⎧

>⋅

≤−=

1,1,27

)(2 xxk

xxxf

Треба да се одреди к, т.ш.  5)1()(lim)(lim11

===+− →→

fxfxfxx

 

5)27(lim)(lim11

=−=−− →→

xxfxx

 

kkxxfxx

==++ →→

)(lim)(lim 2

11 

k = 5. 

5. Да се докаже (чекор по чекор) дека 17

1)(24 ++

=xx

xf  e непрекината насекаде. 

Чекор 1.  

Домен на f(x)=? 

17

017

017

24

24

24

−=+

=++

>++

xx

xx

xx

 

не е можно за ниту еден реален број x. 

Не постои x т.ш.   017 24 =++ xx   

За секоj реален број x,  , следува дека  017 24 >++ xx ),( ∝+∝−=fD . 

Чекор 2.  

Нека с е произволен реален број. Дали фунцијата е непрекината во с? 

)(lim xfcx→

=?,   )(17

1

17

1lim)(lim2424

cfccxx

xfcxcx

=++

=++

=→→

. 

Лимесот постои и е еднаков на вредноста на функцијата во точката с, следува дека фунцијата е непрекината во с. 

Чекор 3.  

Од произволноста на реалниот број с, следува дека фунцијата е непрекината во секоја точка од нејзиниот домен, т.е. за секој реален број. 

 

 

Лимеси и непрекинатост на тригонометриски функции 

 

1. Со замена да се решат следните лимеси: 

а)  .1sinsinlim)3sin(lim 27

272 −===−

→−→π

π

ππ

yxyx

  

б)  .22cos16lim 38

3

6

==→−→

yLimtyt π

 

2. Да се реши следниот лимес:  xx

x sinlim −

→

ππ

. 

xtt

tttt

ttt

txx

x−=====

→→−→

−

→ππ

ππ

,1limlimlimlim sin1

0)sin(0)sin(0sin  

3. Да се реши следниот лимес: 1

)sin(lim1 −→ x

xx

π. 

πππ

ππππππ−=⋅−=−=−=

+=

− →→→→1sinlimsinlim)sin(lim

1)sin(lim

0001 tt

tt

tt

xx

tttx 

4. Да се пресметаат следните лимеси: 

а) x

xx 5

3sinlim0→

 

.53

531.

53lim

33sinlim

53

33sinlim

33

53sinlim

53sinlim

00000=⋅=⋅=⋅=⋅=

→→→→→ xxxxx xx

xx

xx

xx

 

б)xx

x

14coslim0

−→

.04014lim

414coslim

14

414coslim

4414coslim14coslim

00000=⋅=⋅⋅

−=⋅

−=⋅

−=

−→→→→→ xxxxx x

xxx

xx

xx

 

в) tt

t

1coslim2

0

−→

 

.0011

limsinlimsinlimsinlim)cos1(lim1coslim02

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0=⋅−=⋅

−=⋅

−=

−=

−−=

−→→→→→→

tt

ttt

tt

tt

tt

tt

tttttt

 

г) y

ytgy 5

2lim0→

  

.5211

52

2cos1lim

22sinlim

52

2cos52sinlim

52lim

0000=⋅⋅===

→→→→ yyy

yyy

yytg

yyyy 

д) y

tgyyy

−→

sinlim0

 

.0111cos

1limsinlim1cos

sinlim1limsinlimsinlim000000

=⋅−=−=−=−=−

→→→→→→ yyy

yyy

ytgy

yy

ytgyy

yyyyyy

 

ѓ) x

xx cos1

sinlim2

0 −→ 

21

)cos1(limcos1

)cos1)(cos1(limcos1

cos1limcos1

sinlim00

2

0

2

0=

+=

−+−

=−−

=− →→→→

xx

xxxx

xx

xxxx. 

е) x

xx 3sin

3cos1lim0

−→

 

0103sin

3lim3

3cos1lim33

3sin3cos1lim

3sin3cos1lim

0000=⋅=⋅

−=⋅

−=

−→→→→ x

xx

xxx

xx

xx

xxxx. 

5. Со примена на “ Сендвич Теорема”  да се докаже  .01sinlim0

=→ x

xx

 

.1sin:1sin:)0(1sin:)0(11sin1 xx

xxxx

xxxxx

xxxx

≤⋅≤−⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≤⋅≤<≤⋅≤−>⇒≤≤− i

0lim0

=→

xx

и  0lim0

=−→

xx

, па од “ Сендвич Теоремата” следува дека и  .01sinlim0

=→ x

xx

 

6. а) Користејќи ја Теоремата за меѓувредност да се покаже дека равенката x=cosx има барем едно решение на интервалот [0,p/2]. 

б) Да се покаже графички дека постои точно едно решение на интервалот [0,p/2]. 

в) Да се определи приближното решение со точност од 3 децимали. 

а) f(x)=x‐cosx, f(x) е непрекината функција. f(0)=‐1<0, f(Pi/2)=Pi/2>0, k=0, па од Теоремата за меѓувредност следува дека равенката x‐cosx =0, која е еквивалентна со равенката x=cosx, има барем едно решение на интервалот [0,p/2]. 

б)  0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

 

Од графикот следува дека постои точно едно решение на интервалот [0,p/2]. 

в) f(x)= x‐cosx=0, интервал [0,π/2], точност: |x‐x0|≤0.001 

f(x)=x‐cosx, f(0)=‐1<0, f(Pi/2)=Pi/2>0 

‐Метода на десетично делење 

Користиме  итеративна  метода  за  приближно  решавање  на  равенки  Метода  на десетично делење, чија цел е да се најде интервал со должина не поголема 0.001 кој го содржи решението, тогаш било која точка на тој интервал ќе биде приближно решение на бараното решение, со грешка најмногу 0.001. 

Интервалот [0,π/2] го делиме на 10 подинтервали со должина Pi/20, а потоа за секој од подинтервалите проверуваме дали важи условот  f(a)f(b)<0.  Само на еден од десетте  подинтервали  ќе  биде  исполнет  претходниот  услов,  т.е.  само  на  еден подинтервал  се  наоѓа  точното  решение,  го  избираме  тој  подинтервал  и  истиот  го делиме на 10 нови подинтервали со должина Pi/200. 

Оваа постапка  ја повторуваме се додека не добиеме интервал со должина не поголема 0.001 кој го содржи решението. 

 

x  0  π/20  2π/20  3π/20  4π/20  5π/20  6π/20  7π/20  8π/20  9π/20  10π/20 

f(x)  ‐1  ‐0.83  ‐0.64  ‐0.42  ‐0.18  0.078  0.355  0.646  0.948  1.257  π/2 

flX0 є [4π/20,5π/20] 

 

x  4π/200  41π/200  42π/200  43π/200  44π/200  45π/200  46π/200  47π/200  48π/200 

f(x)  ‐0.18  ‐0.156  ‐0.13  ‐0.105  ‐0.079  ‐0.054  ‐0.028  ‐0.001  0.025 flX0 є [47π/200, 48π/200] 

... 

X0=0.739085..º0.739.