第 14章 动载荷交变应力的概念

实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，胡克定律仍然适用。

构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。

§14-1 概述静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时，构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。

在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。

§14-2 构件作等加速直线运动或 匀速转动时的应力计算

一、构件作等加速度直线运动时的应力计算

以矿井升降机以等加速度 a 起吊一吊笼为例。

吊笼重量为 Q ；钢索横截面面积为 A ，单位体积的重量为 。求吊索任意截面上的应力。

N st Nd

Ax

AxAx

ga

QQ

gaQ

N AxAx

ga Q

Q

gad

动荷系数

Q Ax Q Axa

g

Q Axa

g 1

Na

gst 1

引入记号 Ka

gd 1

则 N K Nd d st ， d d stK

二、构件作等速转动时的应力计算 薄壁圆环，平均直径为 D ，横截面面积为 A ，材料单位体积的重量为 γ ，以匀角速度 ω 转动。

qA

g

D A D

gd

2 2

2 2

N Nd d

Nq D

dd2

ddN

A

A D

g

2 2

4

D

g

2 2

4

vg

2

强度条件：

dv

g

2

[ ]

从上式可以看出，环内应力仅与 γ 和 v

有关，而与 A 无关。所以，要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积 A ，并不能改善圆环的强度。

§14-3 冲击应力计算

冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度 a 很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。

现考虑重为 Q 的重物从距弹簧顶端为 h 处自由下落，在计算时作如下假设 :

1. 冲击物视为刚体，不考虑其变形 ;

2. 被冲击物的质量远小于冲击物的

质量，可忽略不计 ;

3. 冲击后冲击物与被冲击物附着在

一起运动 ;

4. 不考虑冲击时热能的损失，即认

为只有系统动能与位能的转化。

d

h

重物 Q 从高度为 h 处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物 Q 的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值 Δd ，与之相应的冲击载荷即为 Pd 。

T V U d

根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能 T 和位能 V ，应全部转换为弹簧的变形能 Ud, 即

T 0 V Q h d ( ) U Pd d d1

2

Q h Pd d d( ) 1

2

P

Qd d

st

P Qdd

st

Q h Qdd

std( )

1

2

d st d sth2 2 2 0

d

st st stst

st

h h

2 4 8

21 1

22

d stst

d sth

K

1 1

2

其中 Kh

dst

1 12

动荷系数

因为 所以P

QK P K Q

K

d d

std d d

d d st

当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时

Kh

dst

1 12

由此可见 , 突加载荷的动荷系数是 2 ，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的 2

倍。

2

若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v ，则

hv

g

2

2

Kh

dst

1 12

1 1

2v

g st

若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落 , 则

v v gh20

2 2

Kv

gd

st

1 12

v0

1 120

2v gh

g st

当构件受水平方向冲击时

TQ

gv

1

22

V 0

U Pd d d1

2

1

2 22 2Q

gv

Q

std

1

2

d

stdQ

Q

std

22

P

Qd d

st

dst

stv

g

2

动荷系数 Kv

gd

st

2

例：容重为 γ ，杆长为ｌ，横截面面积为Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的轴力图，并求杆内最大动应力。

Ax

Nd

Axga

N A la

gd max

1

N

A l a

g1

解：

N x AxAx

ga Ax

a

gd ( )

1

ddN

Al

a

gmax

max

1

例：图示均质杆 AB ，长为ｌ，重量为Q ，以等角速度 ω 绕铅垂轴在水平面内旋转，求 AB 杆内的最大轴力，并指明其作用位置。

解： d

N xd

l gQ

Q

l gl x

x

l

( )

2

22 2

2

N N xQ

l gl

Ql

g

N AB A

xmax

max

( ) 0

22

2

2 2

作用在 杆的根部 截面

例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI ，抗弯截面系数为 W ，重物 Q 自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。

解： st

Qa

E I

4

3

3

Kh

E I h

Qa

dst

1 12

1 13

2 3

d d stKE I h

Qa

Qa

Wmax max

1 1

3

2 3

例：重量为 Q 的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端点 C ，刚架的 EI 已知，试求动荷系数。

解： st

Qa

E I

4

3

3

Kv

g

E I v

gQa

dst

2

2

3

3

4

例：重物 Q 自由落下冲击在 AB 梁的 B

点处，求 B 点的挠度。

解： st

Ql

E I

Ql

E bh

3 3

33

4

Kh E bh

Qld

st

1 12

1 12

4

3

v KE bh

Ql

Ql

EbhB d d st

1 1

2

44

3

3

3

例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在 1kN 的静载荷作用下缩短 0.625mm 。钢杆直径d=40mm, l =4m ，许用应力[σ]=120MPa, E=200GPa 。若有重为 15kN 的重物自由落下，求其许可高度 h 。

解： stQl

EA 15 0 625 10 9 62 103 3. . m

Kh

dst

1 12

st

Q

A d

15 10

4

123

2MPa

d d stst

Kh

h

1 12

12 120

0 385

[ ]

. m = 385 mm

k

§14-4 交变应力及疲劳破坏

yd

t2

sin

M Pa

M y

I

Pa d

It

z z2sin

应力随时间作周期性变化，这种应力叫做交变应力

Pad

It

z2sin

t

t

试验结果表明 : 材料在交变应力作用下的破坏情况与静应力破坏有其本质的不同。材料在交变应力作用下破坏的主要特征是 : (1) 因交变应力产生破坏时，最大应力值一般低于静载荷作用下材料的抗拉 (压 ) 强度极限 σb ，有时甚至低于屈服极限 σs 。

(2) 材料的破坏为脆性断裂，一般没有显著的塑性变形，即使是塑性材料也是如此。在构件破坏的断口上，明显地存在着两个区域：光滑区和颗粒粗糙区。

(3) 材料发生破坏前，应力随时间变化经过多次重复，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数愈少。

粗糙区

光滑区

裂纹源

在交变应力作用下发生的破坏，称为疲劳破坏。 用手折断铁丝，弯折一次一般不断，但反复来回弯折多次后，铁丝就会发生裂断，这就是材料受交变应力作用而破坏的例子。

因疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的，极易造成严重事故。据统计，机械零件，尤其是高速运转的构件的破坏，大部分属于疲劳破坏。

§14-5 交变应力的循环特征 持久极限

循环特征平均应力 应力幅度2

minmaxm

max

min

r2

minmaxa

t

max

m

min

对称循环

非对称循环

t

1r maxam ,0,

1r

脉动循环

t

2,0 max

am

r

这一临界值称为材料的持久极限或疲劳极限。用 表示。

在 减小到某一临界值时，试件可经历无穷多次应力循环而不发生疲劳破坏，

反之，降低 ，便可使破坏前经历的循环次数增多。

实验表明，在同一循环特征下，交变应力的最大应力 越大，破坏前经历的循环次数越少；

maxmax

max

r

在纯弯曲变形下，测定对称循环的持久极限技术上较简单。

将材料加工成最小直径为 7～ 10mm ，表面磨光的试件，每组试验包括 6 ～ 10 根试件。

%601max b第一根试件：

1max2max 略小于第二根试件：

3max第三根试件：

1N

2N

3N

1N 2N N

r

2max

1max

max

§14-6 影响构件持久极限的因素

一、构件外形的影响 若构件上有螺纹、键槽、键肩等，其持久极限要比同样尺寸的光滑试件有所降低。其影响程度用有效应力集中系数表示：

久极限有应力集中的试件的持光滑试件的持久极限

k

dK)(

)(

1

1

K

r

d

D

d11.

MMDd

r b 900MPa

图 14-15(a)

b 600MPa

K

r

d

11 12. . D

d

MMDd

r

b 900MPa

图 14-15(b)

r

d

12 2. D

d

MMDd

r

b 900MPa

图 14-15(c)

K

r

d

TT

K

图 14-15(d)

D

d11.

r

d

TT

K

图 14-15(e)

11 12. . D

d

r

d

TT

K

图 14-15(f)

12 2. D

d

二、构件尺寸的影响 大试件的持久极限比小试件的持久极限要

CL14TU40

低

尺寸对持久极限的影响程度，用尺寸系数表示

下表给出了在弯、扭的对称应力循环时的尺寸系数。

光滑小试件的持久极限光滑大试件的持久极限

1

1)(

表 14-1 尺寸系数

直径 d(mm)

碳钢 合金钢

各种钢

>20～30 0.91 0.83 0.89

>30～40 0.88 0.77 0.81

>40～50 0.84 0.73 0.78

>50～60 0.81 0.70 0.76

>60～70 0.78 0.68 0.74

>70～80 0.75 0.66 0.73

>80～100 0.73 0.64 0.72

>100～120 0.70 0.62 0.70

>120～150 0.68 0.60 0.68

>150～500 0.60 0.54 0.60

三、构件表面状态的影响 实际构件表面的加工质量对持久极限也有影响，这是因为不同的加工精度在表面上造成的刀痕将呈现不同程度的应力集中。若构件表面经过淬火、氮化、渗碳等强化处理，其持久极限也就得到提高。 表面质量对持久极限的影响用表面状态系数 β表示：

极限表面磨光的试件的持久持久极限其他加工情况的构件的

d)(

)(

1

1

综合考虑上述三种影响因素，构件在对称循环下的持久极限

件的持久极限为表面磨光的光滑小试为表面状态系数为尺寸系数为有效应力集中系数

1

101

K

K

四、对称循环下构件的疲劳强度计算

101

K上一小节已求得

nKn1

01

1][

构件的许用应力

][ 1max 构件的强度条件