第 14 章多尺度图象技术

章毓晋清华大学电子工程系 100084 北京

图象工程

章毓晋 (TH-EE-IE) 第 2页第 14 讲

第 14 章多尺度图象技术 14.1 多尺度表达 14.2 相邻尺度联系 14.3 高斯和拉普拉斯金字塔14.4 多尺度信号分解和重建 14.5 基于多尺度小波的处理 14.6 多尺度变换技术


14.1 多尺度表达一个共有 n + 1 层的完整的 2-D 图象金字塔，其中单元（有的代表象素，有的代表象素集合）的总数为给定一个每个方向上有 N 个象素的 k-D 图象，如果考虑用亚采样因子 2 来构建金字塔，则金字塔总的单元数为

22

2

34

41

41

411 NN n

kk

k

kkk NN

122...

21

211 2


14.1 多尺度表达尺度空间

空间分辨率（原维数）当前分辨率层次（新维数）尺度空间： g(x, s)

包含一系列有不同分辨率的图象的数据结构在 s → ∞ 的极限情况下，尺度空间会收敛到一个具有其平均灰度的常数图象


14.2 相邻尺度联系要对多尺度表达的图象进行处理，需要把握

多尺度表达之间的关系，特别是相邻尺度间的联系 14.2.1 组合联系14.2.2 分解联系


14.2.1 组合联系

k

ktukhtu )2(][)( uh

两个尺度之间的组合联系将给定尺度上的尺度函数和小波函数与相邻且高一个尺度上的尺度函数联系在一起

存在两个序列 {huh[k]} 和 {hvh[k]} 满足

k

ktukhtv )2(][)( vh

10)( UUtu 10)( UVtv


对任意的整数 j ， Uj 和 Vj 与 Uj+1 的联系由下两式确定：

取傅里叶变换

14.2.1 组合联系

k

jj ktukhtu )2(][)2( 1uh

k

jj ktukhtv )2(][)2( 1vh

)2/()()( uh wUzHwU

)2/()()( vh wUzHwV

k

kzkhzH ][21)( uhuh

k

kzkhzH ][21)( vhvh


14.2.1 组合联系 huh[0] = huh[1] = 1 ， hvh[0] = – hvh[1] = 1 ， huh[k] = hvh[k] = 0


14.2.1 组合联系

1uh

2jexp)(

ii

wHwU

2uhvh

2jexp

2jexp)(

ii

wHwHwV

尺度函数具有低通滤波器的特性（ U(0) = 1）所有的系数 {huh[k]} 加起来为 2 小波函数具有带通滤波器的特性（ V(0) = 0）所有的系数 {hvh[k]} 加起来为 0

)(2

1)(2

1)( 12,12,1,0 xuxuxu kkk


14.2.2 分解联系

k

ktvkhktukhtu )}(][)(][{)2( vlul

k

ktvkhktukhtu )}(]1[)(]1[{)12( vlul

分解联系给出在任意尺度上的尺度函数与在下一个低尺度上尺度函数和小波函数的联系存在两个序列 {hul[k]} 和 {hvl[k]} 满足

k

ktvikhktuikhitu )}(][)(][{)2( vlul


14.2.2 分解联系 hul[0] = hul[–1] = 1/2 ， hvl[0] = – hvl[–1] = 1/2 ， hul[k] = hvl[k] = 0


14.3 高斯和拉普拉斯金字塔

14.3.1 高斯金字塔14.3.2 拉普拉斯金字塔14.3.3 原始图象的重建


14.3.1 高斯金字塔高斯金字塔平滑和亚采样的过程可借助压缩平滑算子C(↓2) 的单个操作用下式来表示下标“ ↓”后数字为亚采样率； C 表示用于

压缩平滑的卷积模板，可看作压缩平滑算子最小的图象具有最好的平滑，对应图象的最

粗尺度

)( )2 (

)1( kk C GG


14.3.1 高斯金字塔高斯金字塔构建过程


14.3.2 拉普拉斯金字塔拉普拉斯金字塔包含一系列带通滤波的图象。在金字塔的每一层中仅包含与在每个频率少数几个采样匹配的尺度，所以拉普拉斯金字塔是一种有效的数据结构，与不确定性所给出的极限（等于波长和空间分辨率的乘积）相适应与傅里叶变换不同，拉普拉斯金字塔仅能产生比较粗的频率分解而没有方向分解


14.3.2 拉普拉斯金字塔拉普拉斯金字塔中的图象可用对高斯金字塔中相邻两层图象的相减而近似得到需先将图象在较粗的尺度（较高的层次）上扩展。这个操作可用扩展插值算子 E(↑2) 来进行扩展比减少尺寸的压缩困难，因为缺少的信息需要通过插值来得到所生成拉普拉斯金字塔的第 k 层图象可写成

)1( )2(

)( )( kkk E GGL


14.3.2 拉普拉斯金字塔拉普拉斯金字塔

构建过程


14.3.3 原始图象的重建借助高斯金字塔和拉普拉斯金字塔可以将原始图象很快地从两个金字塔的图象序列中通过反复扩展图象并将结果加起来而重建出来在一个具有 k + 1 层的拉普拉斯金字塔中，其第 k 层（从 0 开始算）既是拉普拉斯金字塔的最粗的一层也与高斯金字塔最粗的一层相同。而高斯金字塔的第 k 1 层可如下重建

)( 2

)1( )1( kkk E GLG


14.3.3 原始图象的重建高斯和拉普拉斯金字塔


14.4 多尺度信号分解和重建多尺度的操作要涉及到对多尺度信号的分解和重建 14.4.1 多取一采样14.4.2 多点插值 14.4.3 缩放空间中的信号表达


M 取一采样（ M-point decimation ）

f (x) 和一个单位脉冲序列的乘积

14.4.1 多取一采样

)()( xMfxg

Ik

kMxxfxu )()()(


令 g(x) = u(xM) ，则 g(x) 的 Z 变换为

g(x) 的离散傅里叶变换（ z = exp(jw) ）

对信号点的 M 取一采样的频谱输出包含 M个输入频谱的复制，各个复制的幅度减为 1/M ，而每个复制的带宽扩展了 M 倍


1

0

/11

0

/1 1)/π2jexp(1)(M

k

kM

MM

k

M WzFM

MkzFM

zG

}]/)π2j({exp[1)]j[exp(1

0

M

kMkwF

MwG


对 M = 2 的情况 )]()([

21)(

21)(

1

02 zFzFWzFzG

k

k

)]2/jexp([)]2/j[exp(21)]j[exp( wFwFwG



增加 M 个采样

14.4.2 多点插值

其他0如果)/(

)('kMxMxg

xf

k

kMxkgxf )()()('


插值器的频谱输出

对插值输出的 Z 变换为

14.4.2 多点插值

)()( MzYzX'

)]j[exp()jexp()()jexp()()()]j[exp(' MwGkMwkgxwkMxkgwFkx k

)]j[exp()jexp()()jexp()()()]j[exp(' MwGkMwkgxwkMxkgwFkx k


输出序列比输入序列多 M 倍的点，同时输出频谱以 M 因子沿 w- 轴收缩

插值时没有混叠的问题？

14.4.2 多点插值


卷积后多取一

插值后卷积在时域中进行 k

kxhkfxuxg )2()()2()(

})]([)('{)( 2 xfxhxg

2)}()({)( xfxhxg

14.4.2 多点插值


14.5 基于多尺度小波的处理1 、多尺度小波特点

多尺度小波的尺度变化使得对图象的小波分析可以聚焦到间断点、奇异点和边缘保真度因子（ fidelity factor ）

滤波器的带宽除以中心频率，是相对带宽的倒数小波变换可看作是一种常数 Q 的分析

{P.380}

)(/1

)(1 ws

wQ

s


14.5 基于多尺度小波的处理2 、基于小波的噪声消除 (1) 确定小波和分解级数（对应尺度 S ），对有噪声的图象进行小波变换，获得不同尺度的子图象(2) 在尺度 J-1 到 J-S 上对细节系数取阈值

硬阈值：将绝对值小于阈值的系数置为 0软阈值：先将绝对值小于阈值的系数置为 0

然后将非零系数缩放到零值附近(3) 根据在尺度 J-S 的近似系数和从尺度 J-1 到 J-S的取阈后的细节系数进行小波反变换重建


14.6 多尺度变换技术 14.6.1 三类多尺度技术

尺度 -空间时间 -频率时间 -尺度

14.6.2 多尺度技术比较显示对比分析


14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度 - 空间分析信号中的重要特征往往与一些极值点相关联 u(t) 的局部极值点对应其导数 u'(t) 的零交叉点因为微分会增强噪声，所以使用 u‘(t) 时需要

滤除噪声，如用高斯滤波器对 u(t) 极值点的检测：检测卷积结果的零交

叉点

)()( )]()([)()( tg'tu'tgtutgtu'


14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度 - 空间分析高斯函数的宽度是用标准方差来控制的，如果将其定义为尺度参数，则大的方差对应大的尺度，小的方差对应小的尺度。对每个尺度，都可确定一组平滑后的 u(t) 的极值点。这样， u(t) 的尺度 -空间就可定义为随尺度参数变化的一组极值点设 ga(t) 是一个标准方差为 a （ a > 0 ）的高斯函数 )2/exp(

21)( 22 at

atga


14.6.1 三类多尺度技术 1. 尺度 - 空间分析信号 u(t) 与高斯函数 ga(t) 的卷积在一个给定的观察尺度 a0 ， U(t, a0) 是 u(t)平滑的结果。 U(t, a) 的极值点就是 U'(t, a0) 的零交叉点信号 u(t) 的尺度 - 空间可定义为 U'(t, a0) 的零交叉点的集合（ R 为实数集合）

)()(),( tgtuatU a

)(')(),(' tgtuatU a

})} ,({0 , ,|),{( zc0000000 atU'babaab 并且R


14.6.1 三类多尺度技术 2. 时间 - 频率分析和 Gabor 变换傅里叶变换短时傅里叶变换Gabor 变换：窗函数 g(t) 为高斯函数（实函数）考虑核 hf(t) = g(t)exp[–j2ft]

dttfjtutuFfU ]π2exp[)()}({)(

dttfjtubtgfbU ]2exp[)()(),(

dttubthfbU f )()(),(


14.6.1 三类多尺度技术 3. 时间 - 尺度分析和小波变换•考虑连续小波变换•对实函数 u(t) 来说，如果它的傅里叶变换 U( f ) 满足下列容许性条件•那么就称 u(t) 为“基小波”（ basic wavelet ）•根据 U( f ) 的有限性，可知 U(0) = 0

•小波是具有振荡性和迅速衰减的波


14.6.2 多尺度技术比较 1. 显示

U(b, a) ：一个取值为实数或复数的 2-D 函数(1) 尺度 - 空间：信号和高斯微分的卷积，实 / 复数(2) Gabor 变换：信号和用高斯调制的复指数函数间的内积，复数(3) 小波变换：母小波 / 信号的不同，实 / 复数U(b, a) 取实数值：(1) 曲面： (b, a) 给出平面坐标， U(b, a) 给出 Z 轴高度(2) 灰度图象： (b, a) 对应象素坐标， U(b, a) 代表象素灰度


14.6.2 多尺度技术比较 2. 对比

要分析的信号

左边部分和右边部分均为单频率的正弦波。中间部分为一段频率线性增加的正弦波（ chirp ），可用 cos[(mt + n)t] 表示，其中 m随时间线性增加。另在中间部分的中段还加了一个脉冲



尺度 - 空间变换 U(b, a) 局部极值曲线

对应高频率的小尺度细节部分随着尺度的增加而消失，这是由于它们与有较大方差的高斯函数卷积的结果。另外，尺度 -空间变换检测出原信号中的三个奇异点



时间 - 频率变换 |U(b, a)| 局部极值曲线

由于 Gabor 变换可以调整到信号的局部频率，所以在奇异点有比较明显的响应另外， Gabor 变换在平面中部随频率变化的斜线上也有较强的响应



时间 - 尺度变换 |U(b, a)| 局部极值曲线

由于小波变换中核的尺寸是随频率变化的（低频时的频率分辨率高），所以在每个奇异点， |U(b, a)| 的局部极值呈现一个随尺度减小指向奇异点的漏斗状（频率沿纵轴向上增加）


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