1

Лабораторная работа № К-10

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ И ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ПОЛЯ

10.1. Цель работы.

1. Изучение свободных затухающих и вынужденных колебаний такой

механической системы, как маятник Поля.

2. Экспериментальное определение основных характеристик этих

колебаний:

- частоты свободных затухающих колебаний,

- коэффициента затухания,

- сдвига по фазе вынужденных колебаний относительно вынуждающей силы.

3. Построение графиков зависимости амплитуды вынужденных колебаний

от частоты (резонансных кривых).

10.2. Основные теоретические сведения.

Состояние равновесия физической системы называется устойчивым, если

при любом отклонении из равновесия возникает возвращающая сила, которая

стремится вернуть систему в равновесие. Если систему вывести из устойчивого

равновесия каким-либо внешним воздействием и затем предоставить самой

себе, в системе будут происходить колебания около устойчивого положения

равновесия. Такие колебания, происходящие в отсутствие периодического

внешнего воздействия на систему называют собственными или свободными.

Свободные колебания системы, в которой, кроме упругой силы, действуют

силы трения, с течением времени затухают. Коэффициент затухания 𝛽

характеризует интенсивность вязкого трения в системе и имеет такую же размерность, как и частота 𝜔.

Если силы трения столь

велики, что 𝛽 ≥ 𝜔0 – собственной

частоты (это частота свободных

незатухающих колебаний, т.е.

при отсутствии тормозящей

силы), то система не способна

совершать колебания и её

движение носит апериодический

характер. Выведенная из

положения равновесия

колебательная система просто

вернётся в него (𝛽1 … 𝛽3 на

рис. 10.1). При 𝛽 = 𝜔0 апериодические

колебания переходят в

колебательные – это состояние

критического затухания. Рисунок 10.1

2

Рисунок 10.2

Если сила трения невелика ( 𝛽 < 𝜔0) и пропорциональна скорости, то

амплитуда колебаний экспоненциально убывает во времени (~𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝑡)), т.е.

колебания такого вида не являются гармоническими, а зависимость координаты

𝑥 системы от времени 𝑡 имеет вид:

𝑥(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝛽𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝜔′𝑡 + 𝜑0) , (10.1)

где 𝐴0𝑒−𝛽𝑡 = 𝐴(𝑡) – амплитуда затуханий, т.е. амплитуда колебаний в момент

времени 𝑡, а 𝐴0 = 𝐴(0) β – коэффициент затухания;

𝑒=2,718 – основание натуральных логарифмов;

𝜑0 – начальная фаза колебания;

𝜔′ – частота свободных затухающих колебаний системы, связанная с её

собственной частотой соотношением

𝜔′ = √𝜔02 − 𝛽2 (10.2)

и период свободных затухающих колебаний:

𝑇 =2𝜋

√𝜔02 − 𝛽2

.

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются

периодическими. Поэтому о периоде затухающих колебаний можно говорить,

когда 𝛽 мало. Если затухания выражены слабо ( 𝛽 → 0 ), то 𝑇 = 2𝜋/𝜔0

При малом затухании, когда 𝛽 ≪ 𝜔0 связь между этими частотами (10.2)

принимает вид:

𝜔0 − 𝜔′

𝜔′=

𝛽2

2𝜔′2 .

На рис. 10.2 приведен

график свободных затухающих

колебаний, где пунктирной

линией показано изменение

амплитуды этих колебаний с

течением времени. Начальное

смещение 𝑥0 зависит не только от

величины 𝐴0, но и от начальной

фазы колебаний: 𝑥0 = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜑0 .

Время, за которое амплитуда

затухающих колебаний умень-шается в 𝑒 раз, называется

временем релаксации 𝜏. Оно связано с коэффициентом затухания 𝛽

соотношением 𝛽 = 1/ 𝜏. При этом отношение двух последовательных амплитуд

(т.е. у одного колебания или за один период) – так называемый декремент

затухания – остаётся постоянным. Decrementum (лат.) – «уменьшение, убыль».

(10.3)

(10.4)

3

Логарифм отношения амплитуды 𝐴1(𝑡) затухающих колебаний в момент

времени 𝑡 к амплитуде 𝐴2(𝑡 + 𝑇) колебаний через время, равное периоду 𝑇

называется логарифмическим декрементом затухания 𝜆 и он характеризует

скорость затухания колебаний:

𝜆 = ln𝐴1(𝑡)

𝐴2(𝑡 + 𝑇)= ln

𝐴0𝑒−𝛽𝑡

𝐴0𝑒−𝛽(𝑡+𝑇)= 𝛽𝑇 =

𝑇

𝜏 .

Обратная логарифмическому декременту затухания величина 1/ 𝜆 = 𝜏/𝑇

– это число циклов колебаний, совершаемых за время релаксации.

Другая эквивалентная логарифмическому декременту безразмерная

величина, используемая для характеристики затухающих колебаний – это

добротность 𝑄, определяемая для малых затуханий 𝛽 ≪ 𝜔0 соотношением:

𝑄 =𝜔0

2𝛽= 𝜋

𝜏

𝑇0=

𝜋

𝜆 .

Добротность характеризует качество колебательной системы – чем она

больше, тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Это

отношение запасённой в колебательной системе энергии к энергии, теряемой

системой за один период колебаний. Чем больше добротность, тем медленнее

происходит затухание.

Все реальные колебания являются затухающими. Для создания

незатухающих гармонических колебаний в системе с трением необходимо

действовать на систему гармонической внешней (вынуждающей) силой:

𝐹𝑥 = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 , (10.7)

где 𝐴𝑥 – амплитуда и 𝜔 – частота вынуждающей силы.

Движение системы под действием вынуждающей силы (10.7) является

суперпозицией свободного затухающего колебания вида (10.1) и

установившегося (вынужденного) гармонического колебания:

𝑥уст.вын. = 𝐴(𝜔) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)) , (10.8)

где 𝐴(𝜔) – амплитуда, 𝜑(𝜔) – отставание по фазе установившегося

вынужденного колебания от вынуждающей силы в системе с массой 𝑚 :

𝐴(𝜔) =𝐴0

𝑚 √(𝜔02 − 𝜔2)2 + 4𝛽2𝜔2

,

𝑡𝑔 𝜑(𝜔) =2𝛽𝜔

𝜔02 − 𝜔2

.

На рис. 10.3 представлена зависимость амплитуды вынужденных

колебаний от частоты колебаний при разных значениях коэффициента

затухания – так называемые резонансные кривые.

(10.5)

(10.6)

(10.9)

(10.10)

4

Рисунок 10.4

Значение частоты резонанса 𝜔рез можно определить из выражения (10.9),

найдя минимум знаменателя. Таким образом (при 𝛽 ≪ 𝜔0)

𝜔рез = √𝜔02 − 2𝛽2 ≈ 𝜔0 (1 −

𝛽2

𝜔02

) .

При малом затухании (𝛽 ≪ 𝜔0) амплитуда в момент резонанса может

достигать весьма большой величины: 𝐴рез ≡ 𝐴(𝜔рез) ≈ 𝐹0/2𝑚𝛽𝜔0 ∝ 1/𝛽, а

𝜔рез ≈ 𝜔0. Т.е. резонанс возникает при совпадении частоты собственных

колебаний и частоты вынуждающей силы. Максимальная амплитуда колебаний

достигается не при точном совпадении собственной частоты колебаний с

частотой вынуждающей силы, а смещается влево по оси частот на величину,

зависящую от 𝛽. При 𝜔 → ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так

как система не успевает в силу своей инерционности реагировать на такое

быстрое возмущение.

По поводу резонансных кривых можно отметить следующее: резонанс не

наблюдается при закритическом затухании, когда 𝛽 > 𝜔0. При стремлении ω к

нулю все кривые начинаются из точки 𝑥0, которой соответствует значение

смещения под действием постоянной силы.

Для понимания причины

резонанса обратимся к

выражению (10.10) для сдвига

фазы колебаний относительно

вынуждающей силы, которое

графически отражено на рис. 10.4.

При малых частотах

вынуждающей силы (𝛽𝜔 ≪ 𝜔02)

колебание системы совпадает по

фазе (𝜑 ≪ 1) с вынуждающей

силой, а при больших частотах (𝜔 ≫ 𝜔0) колебания

совершаются в противофазе

(𝜑 ≈ 𝜋). Около резонанса (𝜔 ≈ 𝜔рез), если ещё и мало затухание (𝛽 ≪ 𝜔0),

Рисунок 10.3

(10.11)

5

сдвиг по фазе 𝜑 ≈ 𝜋/2. Т.е. в момент резонанса колебательная система

движется в направлении действия силы, что и создает благоприятные условия

для накопления системой энергии и соответствующего резкого усиления

колебаний (вспомните, как раскачивают подвесные качели!).

Колебание вида (10.8) называют установившимся, так как система

колеблется по этому закону лишь по прошествии достаточно большого

времени, а именно: 𝑡 ≫ 1/𝛽 от момента включения вынуждающей силы, когда

амплитуда свободного затухающего колебания уже пренебрежимо мала (𝑥0 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑡) ≪ 𝑥(𝜔)). При временах 𝑡 ≤ 1/𝛽 идет процесс установления

колебаний, в течение которого амплитуда постепенно (не обязательно

монотонно) приближается к значению 𝑥(𝜔).

10.3. Описание экспериментальной установки.

Исследование механических колебаний производится с помощью маятника

Поля. На рис. 10.5 и 10.6 представлена установка и схема её подключения.

Маятник Поля представляет собой тонкий металлический диск (2),

совершающий крутильные колебания вокруг горизонтальной оси под

действием спиральной пружины. Одним концом пружина жестко соединена с

диском маятника, другим – с коромыслом (3), которое шарнирно закреплено на

Рисунок 10.6

Рисунок 10.5

6

той же горизонтальной оси. От вала электродвигателя (4) с помощью

эксцентрика (5) и шатуна (9) на диск через коромысло может передаваться

периодическое воздействие. Период этих вынуждающих колебаний

определятся при помощи прибора Verner LabQuest (10) и оптической рамки-

датчика, установленной перед эксцентриком (при отсутствии прибора Verner

LabQuest период можно определять или по секундомеру, или тахометром).

Электродвигатель работает от постоянного тока и подключается к

клеммам 12 В стабилизированного источника питания (12). На корпусе

электродвигателя имеется два последовательно соединённых потенциометра (6)

для грубой (он с выключателем) и точной подстройки. Изменяя это

сопротивление, можно варьировать скорость вращения вала двигателя и,

следовательно, частоту вынуждающей силы, действующей через коромысло на

маятник. На корпусе электродвигателя имеется ещё одна пара клемм – для

подключения вольтметра (11).

Затухание колебаний маятника обусловлено трением в оси и тормозящим

взаимодействием с магнитным полем вихревых токов, возникающих в диске,

который двигается между полюсами электромагнита (8), подключённого к

клеммам постоянного тока другого источника питания (7). Коэффициент

затухания в системе можно регулировать изменением силы тока в цепи

электромагнита с помощью шагового переключателя на этом блоке питания.

Диск маятника снабжен указателем (2), а амплитуда колебаний диска

отсчитывается по лимбу (1), у которого оцифровка деления шкалы выполнена

не в системных единицах и соответствует 1/50 длины окружности.

В данной работе для демонстрации апериодического характера затухания

вида 𝛽 ≥ 𝜔0 к электромагнитному тормозу можно кратковременно подключить

источник питания постоянного тока 12 В с силой тока 3…4 А.

По необходимости в данной лабораторной работе могут использоваться

блоки питания и измерительные приборы других моделей.

Соединение шатуна и коромысла – регулируемое, что позволяет изменять

амплитуду вынуждающих колебаний. Перед выполнением работы необходимо

убедиться в надёжности этого соединения и в ходе работы его не переставлять.

10.4. Порядок выполнения работы.

1. Определение частоты свободных затухающих колебаний

При отключенных электромоторе и электромагните измерьте 𝑡𝑛 –

продолжительность 𝑛 ≥ 10 полных колебаний маятника. Выведите его

вручную из положения равновесия, после чего диск начинает совершать

колебательное движение с периодом, зависящим от величины момента инерции

диска и коэффициента затухания. Для надежности повторите измерения три

раза.

По формулам

𝑇′ = 𝑡𝑛/𝑛, 𝜔′ = 2𝜋/𝑇′ (10.12)

𝛿𝑇′ = 𝛥𝑇′/𝑇′ = 𝛥𝑡𝑛/𝑡𝑛, 𝛿𝜔′ = 𝛿𝑇′ (10.13)

7

рассчитайте период 𝑇′, частоту 𝜔′ свободных затухающих колебаний и их

относительные 𝛿𝑇′, 𝛿𝜔′ и абсолютные 𝛥𝑇′, 𝛥𝜔′ погрешности. Погрешность 𝛥𝑡𝑛

измерения продолжительности колебаний принять равной приборной

погрешности секундомера.

2. Определение коэффициента затухания

Соберите (или проверьте) соединение цепей питания электродвигателя и

электромагнитного тормоза, как показано на рис. 10.6.

Для определения 𝛽 удобнее экспериментально получить зависимость

амплитуды не от времени, а от числа прошедших колебаний.

Пусть 𝐴0 – начальное отклонение маятника, 𝐴𝑛 – амплитуда через n

периодов (n = 0, 1, 2, ...). Тогда, как видно из формулы (10.1)

𝐴𝑛 = 𝐴0𝑒−𝑛λ (10.14)

где 𝜆 = 𝛽𝑇 – логарифмический декремент затухания.

Отклоните маятник на угол 𝐴0 (рекомендуемое значение: отметка 18

делений на шкале лимба, не достигая контакта с пружинным упором) и без

толчка отпустите. Непрерывно глядя на маятник, запишите сначала в черновик

его отклонения через 1, 2, ..., 𝑛 периодов. Желательно, чтобы 𝑛 ≥ 10.

Перепишите результаты в табл. 10.1.

Включите источник питания (7) и проведите такие же измерения,

регулируя ток в цепи электромагнитного тормоза с помощью шагового

переключателя на этом источнике питания для 0,2 А, 0,3 А и 0,4 А.

Погрешность измерения амплитуды 𝛥𝐴𝑛 определяется по делениям на

шкале лимба.

Вычислите и запишите в табл. 10.1 значения 𝑙𝑛 𝐴𝑛.

В одних координатных осях постройте графики для всех зависимостей

𝑙𝑛 𝐴 от 𝑛.

По тангенсам угла наклона прямых

𝑙𝑛 𝐴𝑛 = 𝑙𝑛 𝐴0 −λ𝑛 (10.15)

определите 𝜆 и, используя результат предыдущего задания для периода Т,

рассчитайте для каждого случая свой коэффициент затухания 𝛽 = 𝜆/𝑇.

По разбросу точек на графиках оцените относительную погрешность

определения логарифмического декремента затухания 𝛿𝜆.

Относительную погрешность 𝛿𝛽 коэффициента затухания рассчитайте по

формуле:

𝛿𝛽 = √(𝛿𝜆)2 + (𝛿𝑇)2 (10.16)

Вычислите абсолютную погрешность 𝛥𝛽 = 𝛽 ⋅ 𝛿𝛽.

8

Используя формулу (10.4) и результаты данного и предыдущего заданий,

заполните до конца табл. 10.1.

Таблица 10.1

n I0 = 0 I1 = 0,2 A I2 = 0,3 A I3 = 0,4 A

𝐴𝑛 𝑙𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝑙𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝑙𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝑙𝑛 𝐴𝑛

1

2

…

10

𝜆

𝛽

𝜔0−𝜔′

𝜔′

𝛿𝜔′

На основании сравнения относительной погрешности определения частоты

𝛿𝜔′ и относительной разности частот (𝜔0 − 𝜔′)/𝜔′ сделайте вывод: можно ли

в условиях данного эксперимента частоту свободных затухающих колебаний

𝜔′ и резонансную частоту 𝜔рез (см. формулу 10.11) полагать равными

собственной частоте системы 𝜔0 или нет?

На данной установке можно также понаблюдать за апериодическими

колебаниями, для чего нужно кратковременно увеличить ток в цепи

электромагнита до 2…2,3 A.

3. Построение резонансных кривых

Включите двигатель. При помощи потенциометров (6) на его корпусе

установите напряжение на двигателе в интервале 7,5…8,4 В. При помощи

прибора Verner LabQuest (10) определите период 𝑇 колебаний коромысла

Внимание: при отсутствии прибора Verner LabQuest период можно определить

секундомером по 30-ти и более числу оборотов эксцентрика, или

вычислить по тарировочному графику в приложении № 10.1.

По лимбу отметьте амплитуду 𝐴0 установившихся вынужденных

колебаний. Не изменяя напряжение на двигателе включите электромагнитный

тормоз и отметьте амплитуду 𝐴𝑛 при двух-трёх значениях тока на выбор из

предыдущего задания. Запишите результаты в табл. 10.2.

9

Таблица 10.2

n 𝑈, В 𝑇, с 𝜔, с-1

𝐴0(ω)

при 𝐼0 = 0 𝐴1(ω)

при 𝐼1 = 0,2 A

𝐴2 (ω) при 𝐼2 = 0,3 A

𝐴3 (ω) при 𝐼3 = 0,4 A

1 7,5

2 7,6

3 7,7

…

10 8,4

В таблице: 𝑈 – напряжение на двигателе, 𝑇 – период, 𝜔 – частота колебаний

коромысла, 𝐴(𝜔) – соответствующая им амплитуда колебаний диска.

Замечание. Когда собственная частота маятника оказывается близка к частоте

вынуждающей силы (именно очень близка, а не равна, т.е. при малом

затухании), возникает явление, называемое биениями. При этом

амплитуда колебаний периодически увеличивается и уменьшается, опять

нарастает и т.д., причём необязательно до прежнего значения. Эти

нерегулярные колебания амплитуды не прекращаются за время ≥ 1/𝛽 и

поэтому к процессу установления колебаний отношения не имеют. Это

явление связано с возможной нелинейностью колебаний самого маятника

вблизи резонанса, а также с неточной гармоничностью вынуждающей

силы.

За амплитуду установившегося вынужденного колебания рекомендуется

принять повторяющееся не менее трёх раз максимальное из наблюдаемых

значение амплитуды.

Описанные выше измерения амплитуды выполните ещё для 2…4 значений

периодов, близких к наблюдаемому резонансу.

По полученным данным в одних координатных осях постройте

резонансные кривые.

Оцените по графикам 𝜔рез и сравните её с 𝜔′ (см. формулу 10.11).

Оцените по графикам амплитуды в момент резонанса 𝐴рез, используя

полученные в задании № 2 коэффициенты затухания. Проверьте, наблюдается

ли в эксперименте обратная пропорциональность: 𝐴рез ∝ 1/𝛽 .

4. Визуальная оценка разности фаз

Наблюдая за относительным движением коромысла и диска маятника,

оцените сдвиг по фазе установившихся колебаний диска относительно

колебаний коромысла. Наблюдения проведите для трёх частот колебаний

коромысла: вблизи резонанса и при минимальной и максимальной (для данной

установки) частотах.

Приветствуется видеофиксация увиденного для последующей

аргументированной защиты лабораторной работы.

10

10.5. Контрольные вопросы.

1. Какой вид колебаний называется гармоническим? Запишите уравнение

гармонических колебаний и назовите величины, входящие в него.

2. Какие характеристики используются для описания затухающих

колебаний?

3. Что называется декрементом затухания? Логарифмическим декрементом

затухания?

4. В чём состоит условие критического затухания?

5. Каков физический смысл коэффициента затухания 𝛽 ?

6. Разъясните по рис. 10.1 природу графика для коэффициента затухания 𝛽𝑉.

7. Что характеризует добротность?

8. Почему реальные колебания являются затухающими? Запишите

дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

9. Во сколько раз уменьшится амплитуда затухающего колебания за время

𝛥𝑡 = 1/𝛽 ?

10. Может ли система совершать свободные колебания, если 𝛽 = 2𝜔0?

11. Собственная частота колебаний 𝜔0 = 1 с−1, коэффициент затухания

𝛽1 = 0,01 с−1 и 𝛽2 = 0,02 с−1. Можно ли экспериментально заметить

различие резонансных частот, если относительная погрешность измерения

частоты 1%?

12. Как изменится амплитуда в момент резонанса, если коэффициент

затухания уменьшить в два раза (считать, что 𝛽 ≪ 𝜔0)?

13. Коэффициент затухания 𝛽 = 0,01 с−1. Сколько примерно времени

необходимо для установления вынужденных колебаний?

14. Известны значения амплитуды колебаний через 10 периодов: 𝐴2 и 𝐴12.

Чему равен логарифмический декремент затухания?

15. Сила трения пропорциональна квадрату скорости. Можно ли утверждать,

что амплитуда свободных затухающих колебаний будет экспоненциально

убывать во времени?

11

Тарировочный график зависимости периода вращения эксцентрика

от напряжения на электродвигателе

Приложение 10.1