Лекция № 10

Атом водорода

Алексей Викторович Гуденко

26/04/2013

«Каждый школьник знает, что атом Бора – это не атом бора, а атом водорода» П. Капица, май, 1961 г, МГУ

План лекции

1. Ядерная модель атома. Опыты Резерфорда.

2. Спектр излучения атома водорода.

3. Постулаты Бора. Планетарная модель.

4. Боровская модель атома водорода.

5. Квантовый осциллятор.

Модель атома Дж. Дж. Томсона – «пудинг с изюмом»

Опыты Резерфорда (1906-1911 г.г.)

Рассеяние α-частиц тонкой фольгой. α-частица - ядро атома 4He Энергия α-частиц K = 5,7 МэВ Формула Резерфорда: для кулоновского

взаимодействия α-частица отклоняется на угол:tg(θ/2) = qq0/2bKq,q0 – заряды налетающей частицы и ядра;b – прицельный параметр

Опыт Резерфорда (Х. Гейгер, У. Марсден)

Эрнест Резерфорд (1871-1937)

Эрне7 ст Ре7 зерфорд (1871 -1937) —

британский физик новозеландского происхождения.

Известен как «отец» ядерной физики, создал планетарную модель атома. Лауреат Нобелевской премии по химии 1908 года.

Размер ядра ~ 10-12 см. Большая часть атома – «пустота»

bv = rminv’ –сохранения момента импульса в центральном поле

K = K’ + qq0/rmin – закон сохранения энергии tg(θ/2) = qq0/2bK – формула Резерфорда

→ rmin = qq0/2K (1 + 1/sin½θ) Для α-частицы q = +2e

Для золота Z = 79 → q0 = +79e;AAu = 197 а.е.м. >> Aα K = 5,7 MэВ

Для лобового столкновения (θ = 1800) минимальное сближение rmin = 2Ze2/K = 2*79*(4,8 10-10)2/5,7*1,6*10-6

= 4*10-12 см << rб = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см

Время жизни классического атома водорода τ ~ 10-11 c

Скорость электрона v = e2/ћ = 2,2 108 м/с << c (pr ~ ћ)

K = mv2/2 = e2/2r → E = mv2/2 - e2/r = - e2/2r Ускоряющийся заряд излучает ~ a2:

dE/dt = - 2e2a2/3c3 → e2/2r2 dr/dt = - 2e2a2/3c3 →

τ = m2c3r03/4e4 =

(0,9 10-27)2(3 1010)3(0,53 10-8)3/4(4,8 10-10)4 = 1,3*10-

11 c

Спектр излучения атома водорода

Спектр излучения – линейчатый Бальмер (1885 г.) (видимая серия):

ω = R(1/22 – 1/n2), n = 3,4,5,…R = 2,07 1016 c-1 – постоянная Ридберга.(λ23 = 2πc/R(5/36) = 565 нм λ2∞ = 2πc/R/4 = 365 нм

Обобщенная формула Бальмера: ω = R(1/m2 – 1/n2), m < n – целые числа.

Спектр водорода

Постулаты Бора (1913 год)

1. Электрон в атоме движется только по орбитам, для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка: pr = mvr = nћ, n = 1,2,… - главное квантовое число.Это стационарные состояния.

2. Излучение или поглощение происходит при переходе электрона из одного стационарного (квантового) состояния в другое:ћωnm = En – Em

Первый постулат можно интерпретировать так:на электронной орбите укладывается целое число волн де Бройля: 2πr = nh/mv = nλдБ

Нильс Бор (1885 – 1962)

Нильс Бор (1885 – 1962) - датский физик-теоретик; один из создателей современной физики. Лауреат Нобелевской премии по физике (1922).

Бор известен как создатель первой квантовой теории атома и активный участник разработки основ квантовой механики. Он также внёс значительный вклад в развитие теории атомного ядра и ядерных реакций, процессов взаимодействия элементарных частиц со средой.

Опыт Франка и Герца (1913 г.)

Разница уровней энергии основного состояния и ближайшего возбуждённого:E2 – E1 = 4,9 эВ

Пары ртути излучают ультрафиолет с λ = 253,7 нм.

Проверим:λ(мкм) = 1,24/Е(эВ) = 0,253 мкм!

Боровская модель атома водорода

mv2/r = e2/r2 → p2/m = e2/r → n2ћ2/mr2 = e2/r →

rn = n2ћ2/me2 (= λk/2π (1/α) n2); λk = h/mc – комптоновская длина, α

= e2/ћc = 1/137 – постоянная тонкой структуры r1 = ћ2/me2

= 0,53 A – “боровский радиус” Энергия электрона на n-й стационарной орбите:

En = - e2/2rn = -me4/2ћ2 (1/n2) Энергия фотона:

ћω = me4/2ћ2 (1/m2 – 1/n2) Энергия связи электрона в основном состоянии (m = 1; n

= ∞):Eсв = me4/2ћ2 = 13,6 эВ («энергетический» ридберг)

Квантовый осциллятор U = βr2/2

Центрально-симметричное поле U = βr2/2 mv2/r = dU/dr = βr

(pr)2/mr3 = βr → (nћ)2 = βmr4 → r2 = nћ/(βm)1/2 Энергия:

En = mv2/2 + βr2/2 = βr2 = nћ(β/m) = nћω ΔE = ћω – энергия квантового осциллятора

квантуется.

Соотношение неопределённостей, размер атома водорода и энергия основного состояния

Для минимальной энергии импульс частицы равен его неопределённости: p = <p> + Δp <p> + ћ/ℓ → pmin ~ ћ/ℓ ~ Δp.

E = p2/2m – e2/r ~ ћ2/2mr2 – e2/r E → min: dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 →

r = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см = 0,529 A – боровский радиус

Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия основного состояния атома водорода