http://abcmath.e-monsite.com 1 األستاذ : عثماني نجيب

مادة الرياضيات أكاديمية الجهة الشرقية

نيابة وجدة

مجموعة األعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ أولية في الحسابيات في درس تمارين بحلول

: التماريناألهداف القدرات المنتظرة من

.التعرف على المجموعة •

التعرف على مضاعفات و قواسم عدد. •

التمييز بين األعداد الزوجية و األعداد الفردية. •

.9و 5و 4و 3و 2التعرف على مصاديق قابلية القسمة على •

التعرف على عدد أولي. •

استعمال تقنيات تفكيك عدد صحيح طبيعي إلى جداء عوامل أولية. •

ر و المضاعف المشترك األصغر.توظيف التفكيك في تحديد القاسم المشترك األكب •

توظيف خوارزمية إقليدس في تحديد القاسم المشترك األكبر. •

توظيف الزوجية و تفكيك عدد إلى جذاء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة حول األعداد الصحيحة الطبيعية. •

,11, - 5, 2ة: طبيعيبين األعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة من: 1تمرين11

4 ,17-12, 2 ,16 , ,5 2 .

2هو عدد صحيح طبيعي نكتب 2 الجواب :

−5ليس بعدد صحيح طبيعي نكتب -5

11 11

4 12 17− 2 16 2.5

;باستعمال الرموز: :2تمرين ; ; التالية:امأل الفراغات

و -9 …2

......3

8و .....2و .....

22و

......3

12و − 12... − 100و ...25و.....

5

و .....16

2.12... ...... 27و......

3

و −.....100و و .....0* 1;2;7 و ..... 4; 2;12 ..... و −...

−9 الجواب : 2

3 2

8

2

2

3− 12 12 − 25

100

5 16 2.12

0 27

3 1;2;7 4; 2;12−

bو a :3نتمري

aعددا زوجيا فان bعددا زوجيا وaبين أنه اذا كان (1 b+عدد زوجيا

aعددا فرديا فان bعددا فرديا وaبين أنه اذا كان (2 b+ زوجيعدد

عددا زوجيا فان aبين أنه اذا كان (32aعدد زوجي

عددا فرديا فان aبين أنه اذا كان (42aعدد فرديا

استنتج أنه اذا كان (52aن فا عدد فردياa عددا فردي

2aيعني : عددا زوجيa (1الجواب : k=

k

2bيعني : عدد زوجيbو k =

k

)اذن : )2 2 2 2a b k k k k k + = + = + kحيث = k k + =

aومنه b+عدد زوجي

2) a 2يعني : فردي عدد 1a k= +

k

2يعني : فردي عددا bو 1b k = +

k

) اذن: ) ( )2 1 2 1 2 2 2 1 2a b k k k k k k k + = + + + = + + = + + 1kحيث = k k + + aومنه = b+عدد زوجي

3) a2عني : ي عددا زوجيa k=

k

) اذن: ) ( )2 2 22 4 2 2 2a k k k k = = = = حيث22k k =

ومنه 2aعدد زوجي

4) a 2يعني : فردي عددا 1a k= +

k

سلسلة محلولة رقم 1

المستوى : الجذع مشترك علمي األستاذ : عثماني نجيب

http://abcmath.e-monsite.com 2 األستاذ : عثماني نجيب

) اذن: ) ( )22 2 22 1 2 2 2 1 1 4 4 1a k k k k k= + = + + = + +

( )2 22 2 1 2 1a k k k = + + = حيث +2 2k k k + =

ومنه 2a فردي عدد

5) 2a فردي عددا

a أن :نفترض

عدد زوجي اذن 2a زوجي ولكن حسب المعطيات عدد

2a اذن ما افترضناه خاطئ اذن : فردي عدداaفردي عدد

4األولى العدد رةالمضاعفات العشحدد : 4تمرين

kحيث 4kتكتب على الشكل 4مضاعفات العدد لديناالجواب : .

36 ,32 ,24 ,24 ,20 ,16 ,12, 8, 4 , 0 هي:المضاعفات العشرة األولى

59و 23المحصورة بين 9حدد مضاعفات العدد : 5تمرين

.عنصر منحيث تكتب على الشكل 9ت العدد مضاعفا لديناالجواب :

و و الحاالت الممكنة هي: 59و 23والمحصورة بين منبحيث هي األعداد التي تكتب على شكل 59و 23المحصورة بين 9مضاعفات

.6و 5و 4و 3هي: . أي القيم الممكنة للعدد و

.54و 45و 36و 27وبالتالي المضاعفات التي نبحث عنها هي:

:6تمرين 6حدد المضاعفات العشرة األولى العدد •

9حدد المضاعفات العشرة األولى العدد •

9و 6حدد أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين •

18و 12و 6و 0هي 6المضاعفات العشرة األولى للعدد الجواب :

54و 48و 42و 36و 30و 24و

45و 36و 27و 18و 9و 0هي 9المضاعفات العشرة األولى للعدد

81و 72و 63و 54و

9و 6هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين18

).و نرمز له بالرمز. 9و 6ويسمى المضاعف المشترك األصغر للعددين )6;8 18PPCM =

3نضع: :7تمرين 5 7 12x = 2و 5 3 5y = .

بين أن: yو xدون حساب

.yقاسم للعدد 75 .1

.xددقاسم للع 105 .2

2لدينا الجواب : 5 3 5y = :2أي أن 75y = قاسم للعدد 75و منه فانy.

3لدينا 5 7 12x = :105 أي أن 12x =

.xقاسم للعدد 105و منه فان

9قابال للقسمة على x2 53لكي يكون العدد : xحدد الرقم :8تمرين

0 الجواب : 9x : العددx2 53 9قابال للقسمة على

8xاذن : 9مضاعف للعدد x+10يعني 9مضاعف للعدد x+3+5+2اذن : =

عنصرا من nليكن :9تمرين

2نضع 7x n= 4و + 2y n= +.

عدد ومجي. yعدد فردي و xبين أن .1

)بين أن .2 )x y+ 3مضاعف للعدد.

2 لديناالجواب : 7x n= ) أي أن: + )2 3 1x n= + +

2عدد فردي ألن: xوبالتالي 1x k= 3k حيث:+ n= +

4ولدينا 2y n= )أي أن + )2 2 1y n= +

2yعدد زوجي ألن: yوبالتالي k=:2حيث 1k n= +

2ولدينا 7 4 2x y n n+ = + + 6أي أن: + 9x y n+ = +

)وبالتالي )3 2 3x y n+ = xاذن + y+ 3مضاعف للغدد.

: 10تمرين

.9و 5و 4و 3و 2على 3611790العدد أدرس قابلية قسمة (1

.9و 3على 200070و 145610و 3333426و 3752و 3140و 19350و 79541و 1001001و 120052005 األعداد:أدرس قابلية قسمة (2

.5و 2يقبل القسمة على 3611690فان 0هو 3611790بما أن رقم وحدات العدد (1الجواب :

.4ال يقبل القسمة على 3611790. وإذن العدد 4ال يقبل القسمة على 90العدد

.3يقبل القسمة على 3611790, إذن 3للعدد مضاعف 27( و27=3+6+1+1+7+9+0. )27هو 3611790مجموع أرقام العدد

.9يقبل القسمة على 3611790فان 9مضاعف للعدد 27 وبما أن

1001001بالمثل 3اذن يقبل القسم على 15نعم مجموع أرقامه هو ؟3على للقسمة قابل 120052005 العدد:هل

3 يقبل القسم على عدد الرقام األمجموع ألن ال؟ 3للقسمة على ةقابل 3752 و 3140 و 79541األعداد: هل

9nn

9nn3 94 9

5 96 9n

http://abcmath.e-monsite.com 3 األستاذ : عثماني نجيب

60الى جداء عوامل أولية ثم استنتج جميع قواسم العدد 60فكك العدد : 11تمرين 260 جواب :ال 2 5 3= : 60و30و15و12و10و6و5و4و3و2و1اذن القواسم هم

16و 9ثم حدد القاسم المشترك األكبر للعددين 16ثم حدد جميع قواسم العدد 9حدد جميع قواسم العدد : 12تمرين 1هو 16و 9األكبر للعددين اذن القاسم المشترك 16و8و4و2و1هم : 16قواسم العدد : 9و3و1هم : 9قواسم العدد الجواب : أوليين فيما بينهما 16و 9و منه فان

. 30األعداد األولية األصغر من حدد كل :31تمرين

.29, 23, 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2هي 30األعداد األولية األصغر من الجواب :

عدد أولي؟ 1004001هل العدد :14تمرين

.3مضاعف للعدد 6, و العدد 6هو 1004001لدينا: مجموع أرقام العدد

.3يقبل القسمة على 1004001إذن العدد

ليس عددا أوليا )ألنه يقبل أكثر من قاسمين(. 1004001و بالتالي العدد

0400110و 191و 2787و 239و 105و 87و 41و 21و 17و 2و 1و 0حدد األعداد األولية من بين األعداد التالية : :51تمرين

عدد أولي ألن له قاسمين فقط 2و 1ليس بعدد أولي ألن له قاسم وحيد هو 1و 0ليس بعدد أولي ألن كل األعداد تقسم 0 الجواب :

21ليس بعدد أولي ألن : 21عدد أولي ألن له قاسمين فقط و 17و 7 3= 87ن : ليس بعدد أولي أل 87عدد أولي ألن له قاسمين فقط و 41و 29 3=

105ليس بعدد أولي ألن : 105و 5 21=

2التي تحقق : pنستعمل تقنية : نبحث عن األعداد األولية ؟ أولي 239هل العدد 239p : 13و 11و 7و 5و 3و 2وهي

أولي 239اذن العدد 239وال يوجد أي واحد منهم قاسم للعدد

( 24موع أرقامه )مج 3ليس بعدد أولي ألنه يقبل القسمة على 2787

.3مضاعف للعدد 6, و العدد 6هو 1004001لدينا: مجموع أرقام العدد

ليس عددا أوليا )ألنه يقبل أكثر من قاسمين(. 1004001.و بالتالي العدد 3يقبل القسمة على 1004001إذن العدد

2حقق : التي تpنستعمل تقنية : نبحث عن األعداد األولية ؟ أولي 191هل العدد 191p : 13و 11و 7و 5و 3و 2وهي

أولي 191اذن العدد 191وال يوجد أي واحد منهم قاسم للعدد

الى جداء عوامل أولية 798و 220فكك األعداد : و :61تمرين

) حدد : )220;798PGCD و( )220;798PPCM

الجواب :2220 2 5 11= 798 2 3 7 19=

)اذن : ) 1220;798 2 2PGCD = )و = ) 2220;798 2 3 5 7 11 19 87780PPCM = =

ألعداد التالية:أدرس زوجية ا n:71تمرين

4516 4 51 1 + 2 4n+ 24 4 1n n+ + 4 9n+

26 12n n+ 22 7n +

33n n+

4516 الجواب: 2 2258= 4516اذن 2 k= : 2258حيثk =

عدد زوجي 4516 وبالتالي: 4 571 1 2 2 571 1 2 1k + = + = 2 حيث:اذن + 571k =

4 وبالتالي: 51 1 عدد فردي +

( )2 4 2 2 2n n k+ = + = :2 حيثk n= +

2 وبالتالي: 4n+ عدد زوجي

( )4 9 2 2 4 1 2 1n n k+ = + + = 2 حيث: + 4k n= +

4 وبالتالي: 9n+ عدد فردي

2 1k= +( )2 24 4 1 2 2 2 1n n n n+ + = + حيث: +22 2n n+ k =

وبالتالي:24 4 1n n+ عدد فردي +

2 k= ( )2 26 12 2 3 6n n n n+ = حيث: +23 6n n+ k =

تالي:وبال26 12n n+ عدد زوجي

2 k= ( )2 2 22 7 2 6 1 2 3 1 2 1n n n k+ = + + = + + = حيث: +2 3n + k =

وبالتالي:22 7n عدد فردي +

33n:العدد زوجية دراسة n+ حيثn

عدد زوجي n: 1الحالة 3n n n n= زوجيةهو أيضا عدد زوجي ألنه جداء أعداد

وبالتالي : 33n n+ ألنه مجموع عددين زوجيين عدد زوجي

عدد فردي n: 2الحالة 3n n n n= هو أيضا عدد فردي ألنه جداء أعداد فردية

وكذلك : 33nعدد فردي ألنه جداء عددين فرديين

: منه و 33n n+ ألنه مجموع عددين فرديين عدد زوجي

: بالتاليو33n n+كيفما كانت عدد زوجيn

http://abcmath.e-monsite.com 4 األستاذ : عثماني نجيب

الى جداء عوامل أولية 1344فكك العدد :81تمرين

61344الجواب : 2 3 7=

:91تمرين الى جداء عوامل أولية 1650و 5292و 798و 220فكك األعداد : (1

)حدد : (2 )220;798PPCM و( )220;798PGCD

( )1650;5292PPCM

(1الجواب : 1 1 2 11650 2 3 5 11= 2 3 25292 2 3 7=

و

( ) 2 3 2 21650;5292 2 3 5 7 11 13097700PPCM = =

1530aنضع : 20تمرين 612Bو = = )أحسب .1 )612;1530PPCM ( )612;1530PPCM

aبسط العدد .2

b

mعلى الشكل abأكتب العدد .3 n عنصران من وحيث

(1 الجواب :

2 2612 2 3 17=

1 2 11530 2 3 5 17=

( ) 1 21530;612 2 3 17 153PGCD = =

2)1 2

2 2

2 3 5 17 5

2 3 17 2

a

b

= =

3)

1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 5 2 3 17 2 3 5 2 3 17ab = =

2 3 5 2 3 17 306 10ab = = : ألن

a b a b = و2a a=

عددا صحيحا طبيعيا فردياليكن :21تمرين

ي الحاالت التالية : ف 8مضاعف للعدد تأكد من أن .1

و و و

كيفما كان العدد الصحيح الطبيعي الفردي 4مضاعف للعدد بين أن .2

كيفما كان العدد الصحيح الطبيعي الفردي 8مضاعف للعدد بين أن .3

16مضاعف للعدد استنتج أن : .4

8د مضاعف للعد عددين فرديين فان : و بين أنه اذا كان .5

(1 الجواب :

1n = 21 1 0− 8مضاعف للعدد =

3n =: 23 1 8− و 8مضاعف للعدد =

5n = : 25 1 24− 8مضاعف للعدد =

7n = 27 1 48− 8مضاعف للعدد =

2 )n 2يعني : فردي عدد 1n k= +

( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1n k k k− = + − = + + −

( )2 2 2 21 4 4 1 1 4 4 4 4n k k k k k k k− = + + − = + = + = 2k k k = +

الصحيح الطبيعي الفردي كيفما كان العدد 4مضاعف للعدد ومنه

) وجدنا(3 )2 1 4 1n k k− = +

) ولدينا )1k k )هو جذاء عددين متتابعين اذن هو عدد زوجي ومنه : + )1 2k k k+ =

2 ومنه 1 4n k− 8مضاعف للعدد أي : =

) وجدنا(4 ) ( )( )2

4 2 2 2 21 1 1 1n n n n− = − = − +

2 ووجدنا 1 4n k− =

2220 2 5 11= 798 2 3 7 19=

( ) 1220;798 2 2PGCD = =( ) 2220;798 2 3 5 7 11 19 87780PPCM = =

mn

n

2 1n −

1n =3n =5n =7n =2 1n −n

2 1n −n

4 1n −

nm2 2 6n m+ +

2 1n −n

2 1n −

http://abcmath.e-monsite.com 5 األستاذ : عثماني نجيب

) ولدينا )2 2 2 21 4 4 1 1 4 4 2 4 1 4n k k k k k k k+ = + + + = + + = + + =

) اذن: )( ) ( )( )4 2 21 1 1 4 4 16n n n k k k − = − + = =

4 ومنه 1n 16مضاعف للعدد −

2يعني : 8مضاعف للعدد وجدنا أن:( 5 1 8n k− 2أي : = 8 1n k= +

2 نبين:لطريقة وبنفس ا 1 8m k− 2أي : = 8 1m k = ) ومنه + )2 2 6 8 1 8 1 6 8 8 8 8 1 8n m k k k k k k k + + = + + + + = + + = + + =

وبالتالي : 2 2 6n m+ 8مضاعف للعدد +

:22تمرين

)تأكد أن : (1 )( )2 3 3 1 2 1n n n n+ + = + + +

2استنتج زوجية العدد (2 3 3n n+ +

) ( 1الجواب : )( ) 2 21 2 1 2 2 1 3 3n n n n n n n+ + + = + + + + = + +

)وجدنا ( 2 )( )2 3 3 1 2 1n n n n+ + = + + +

) ولدينا )( )1 2n n+ هو جذاء عددين متتابعين اذن هو عدد زوجي +

)=2k: أي )( )1 2n n+ +

)ومنه )( )1 2 1n n+ + نه مجموع عدد زوجي وفرديهو عدد فردي أل+

2 وبالتالي 3 3n n+ فرديعدد +

n mأدرس زوجية األعداد التالية حيث : :23تمرين 2 2375 2و +648 16n+10 و 5n+ 18و 4 24n m+ 28 و + 12 3n nm+ 26و + 10 7n m+ 2و + 13 17n n+ +

)و )2 21 7n n+ 2 و + 5n n+ 2 و 8n n+ 2 وn n+ 3 وn n− 25وn n+ 24 و 4 1n n+ )و + ) ( )1 2n n n+ + + +

(1الجواب :2 2375 648+

هو مربع عدد زوجي اذن هو عدد زوجي 2648 فردياذن هو عدد رديف هو مربع عدد 2375

ونعلم أن مجموع عدد فردي وعدد زوجي هو عدد فردي اذن : 2 2375 عدد فردي +648

2) ( )2 16 2 8 2n n k+ = + = :8حيثk n= +

2وبالتالي: 4n+ عدد زوجي 3)( )10 5 2 5 2 1 2 1n n k+ = + + = 5: حيث + 2k n= +

2وبالتالي: 16n+ عدد فردي 4)( )18 4 24 2 9 2 12n m n m+ + = + +

18اذن : 4 24 2n m k+ + =

9حيث: 2 12k n m= + +

18وبالتالي: 4 24n m+ زوجيعدد +

2 k= ( )2 26 12 2 3 6 2n n n n k+ = + = :حيث23 6n n+ k =

وبالتالي: 26 12n n+ عدد زوجي

( )2 2 22 7 2 6 1 2 3 1 2 1n n n k+ = + + = + + = +حيث:

2 3n + k =

وبالتالي: 22 7n عدد فردي +

5)( )2 28 12 3 2 4 4 1 1 2 1n nm n nm k+ + = + + + = +

وبالتالي: 28 12 3n nm+ عدد فردي +

6)( )26 10 7 2 13 5 3 1 2 1n m n m k+ + = + + + = +

26وبالتالي: 10 7n m+ عدد فردي +7)( )26 10 7 2 13 5 3 1 2 1n m n m k+ + = + + + = +

26وبالتالي: 10 7n m+ عدد فردي +8)( ) ( )2 13 17 1 2 6 8 1n n n n n+ + = + + + +

( )1n n هو جداء عددين طبيعيين متتابعين اذن هو عدد زوجي +

2 1n −

n

http://abcmath.e-monsite.com 6 األستاذ : عثماني نجيب

( )2 13 17 2 2 1 2 1 2 1n n k k k k k + + = + + = + + = +

6حيث: 8k n = kو + k k = +

وبالتالي: 2 13 17n n+ عدد فردي +

9)( ) ( )2 2 2 2 2 21 7 2 1 7 8 2 1 2 4 1 2 1n n n n n n n n n k+ + = + + + = + + = + + = +

24kحيث: n n= )بالتالي: + )2 21 7n n+ عدد فردي +

10)( ) ( )2 25 4 1 4 2 4 2 2n n n n n n n n k n k n+ = + + = + + = + = +

)الن )1n n هو جداء عددين طبيعيين متتابعين اذن هو عدد زوجي +

وبالتالي: 2 5n n+ زوجيعدد

2:العددزوجية دراسة (11 8n n+ حيثn

عدد زوجي n: 1الحالة 2n n n= هو أيضا عدد زوجي ألنه جداء أعداد زوجية

8 2 4 2n n k= = :4حيثk n= :8بالتاليn زوجيعدد

وبالتالي : 2 8n n+ ألنه مجموع عددين زوجيين عدد زوجي

عدد فردي n: 2الحالة 2n n n= هو أيضا عدد فردي ألنه جداء أعداد فردية

8 2 4 2n n k= = :4حيثk n= :8بالتاليn زوجيعدد

: منه و 2 8n n+ ألنه مجموع عدد زوجي وفردي فرديعدد

12) ( )2 1n n n n+ = هو جداء عددين طبيعيين متتابعين اذن هو عدد زوجي +

13) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 21 1 1 1n n n n n n n n n− = − = − = − +

( ) ( )3 1 1n n n n n− = − +

عدادطبيعية متتالية اذن هو عدد زوجيهو جداء ثالثة أ14)( ) ( )2 2 2 2 2 25 4 4 1 2 2 2 2 2 2n n n n n n n n n k n k k+ = + + = + + = + = + =

( )1n n هو جداء عددين طبيعيين متتابعين اذن هو عدد زوجي +

( )2 13 17 2 2 1 2 1 2 1n n k k k k k + + = + + = + + = +

6حيث: 8k n = kو + k k = +

وبالتالي: 2 13 17n n+ عدد فردي +

51)( ) ( )2 22 24 4 1 2 2 2 1 1 2 1n n n n n+ + = + + = +

24وبالتالي: ونعلم أن مربععدد فردي هو عدد فردي 4 1n n+ عدد فردي +

6نضع: عنصرا من ليكن :24تمرين 1a n= +

212و 2b n= +

3و 12 2n ne + += 13 و − 2 5 2n nf += +

bوaأدرس زوجية األعداد : .1

aبين أن .2 b+ 3مضاعف للعدد

11مضاعف للعدد fوأن 3مضاعف للعدد eبين أن .3

الى جداء عوامل أولية fو eلعددين فكك ا .4

eVfو fe استنتج .5

dو cو bوaدراسة زوجية األعداد : الجواب :

6 1 2 3 1 2 1a n n k= + = + = 3kحيث : + n=

عدد فردي aوبالتالي :

2 k= ( )2 212 2 2 6 1b n n= + = حيث : +26 1n + k =

عدد زوجي bتالي : وبال

a(نبين أن 2 b+ 3مضاعف للعدد

( )2 2 26 1 12 2 6 12 3 3 2 4 1a b n n n n n n+ = + + + = + + = + نضع : +22 4 1k n n= + +

3aفنجد : b k+ = : ومنهa b+ 3مضاعف للعدد

n

http://abcmath.e-monsite.com 7 األستاذ : عثماني نجيب

: 3مضاعف للعدد e(نبين أن 3

( )3 1 3 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3 2 3n n n n n n ne k+ += − = − = − = = = 2حيث 2nk =

3مضاعف للعدد eومنه :

:11مضاعف للعدد fنبين أن

( )1 1 13 2 5 2 3 2 2 5 2 2 3 2 5 2 11 11n n n n n nf k+= + = + = + = = 2حيثnk =

11مضاعف للعدد fنه : وم

الى جداء عوامل أولية: fو e( تفكيك العددين 4

12وجدنا : 3 2 2 2 3 2 3n n ne += = =

12اذن : 3ne +=

2وجدنا : 11nf = عدد أولي 11وهو تفكيك الى جداء عوامل أولية ألن

e (استنتاج5 f و e f 12 3ne += 2و 11nf =

2neومنه: القاسم المشترك األكبر لعددين هو جداء العوامل األولية المشتركة مرفوعة الى أصغر أس f =

أس المضاعف المشترك األصغر لعددين هو جداء العوامل األولية المشتركة والغير المشتركة مرفوعة الى أكبر

1ومنه : 12 3 11 2 33n ne f + + = =

500000103و 667و 653و 49و 1حدد من بين األعداد التالية األعداد األولية معلال جوابك: :25تمرين

عدد غير أولي ألن لديه قاسم وحيد 1(1الجواب :

ومنه عدد غير أولي 7(عدد يقبل القسمة على 2

2التي تحقق : أولي ؟ نستعمل تقنية : نبحث عن األعداد األولية 653( هل العدد و3 653p : 13و 11و 7و 5و 3و 2وهي

223ألن : 23و 19و 17و 229و =529 841=

أولي 653اذن العدد و 653وال يوجد أي واحد منهم قاسم للعدد

.و بالتالي ليس عددا أوليا )ألنه يقبل أكثر من قاسمين(.3يقبل القسمة على 667( العدد 4

ومنه عدد غير أولي 3اذن يقبل القسمة على 3مجموع أرقامه مضاعف للعدد 500000103( العدد 5

23لكي يكون العدد : xحدد الرقم :26تمرين 4x x حدد جميع األعداد الممكنة(وعدد فردي 3قابال للقسمة على(

23العدد : الجواب : 4x x فقط 9أو 7أو 5أو 3أو 1هو فردي يعني أن الرقم

23و العدد 4x x 2يعني : 3قابل للقسمة على 3 4 3x x k+ + + + 3ألنه مضاعف للعدد =

9يعني 2 3x k+ 3xنالحظ أن : 9أو 7أو 5أو 3أو 1اذن : وبالتعويض باألرقام = 9xأو = ومنه األعداد المطلوبة =

23949و 23343هي :

752لكي يكون العدد : xحدد الرقم :27تمرين 3x x األعداد الممكنة()حدد جميع زوجيوعدد 3قابال للقسمة على

752العدد : الجواب : 3x x فقط 0أو 8أو 6أو 4أو 2هو يعني أن الرقم زوجي

752و العدد 3x x 7يعني : 3قابل للقسمة على 5 2 3 3x x k+ + + + + 3ألنه مضاعف للعدد =

17يعني 2 3x k+ 2xنالحظ أن : 0أو 8أو 6أو 4أو 2اذن : وبالتعويض باألرقام = 8xأو = هما الخالتان المقبولتان =

752838و 752232: ماه انالمطلوب العددانومنه

7 نعتبرالعدد :28تمرين 3 4a b حيثa وb 5رقمين صحيحين طبيعيين وأصغر من أو يساوي

7العدد : لكي يكون bو aالرقمين حدد 3 4a b حدد جميع األعداد الممكنة(في آن واحد 4 و 3على قابال للقسمة(

7العدد : الجواب : 3 4a b 7يعني 3للقسمة على قابل 3 4 3a b k+ + + + =

14يعني 3a b k+ + 7العدد : وبما أن ;= 3 4a b 4يعني 4للقسمة على قابلb 4من مضاعفات العدد

0وعلما أن : 5b فان القيم الممكنة للعددb ومنه : فقط 4أو 2أو 0هي

0b: اذا كان 1a: فان أ = 4a أو = 0ن أل = 5a

2b: اذا كان 2a: فان أ = 5aأو = 0ألن = 5a

4b: اذا كان 0a: فان أ = 3aأو = 0ألن = 5a

71304و 73344و 70344و 75324و 72324و 74304ومنه األعداد المطلوبة هي :

p

0 9x x

0 9x x

http://abcmath.e-monsite.com 8 األستاذ : عثماني نجيب

n :29رين تم

27بين أن : (1 21 35A n n= + 7مضاعف للعدد +

)بين أن : (2 ) ( )2

2 6 8 1B n n n n= − + + عدد زوجي +

)بين أن : (3 ) ( )( )22

2 6 8 1C n n n n= − + + 4يقبل القسمة على +

)(1الجواب : )2 27 21 35 7 3 5 7A n n n n k= + + = + + =

2حيث 3 5k n n= + 27ومنه + 21 35A n n= + 7مضاعف للعدد +

2) ( ) ( )2

2 6 8 1B n n n n= − + + +

( )1n n+ هو جداء عددين طبيعيين متتابعين اذن هو عدد زوجي

)و )2 6 2 3 2n n k− = − عدد زوجي =

)اذن : )2

2 6n− بع عدد زوجي هو عدد زوجيهو عدد زوجي ألن مر

)و )8 2 4 2n n k= عدد زوجي =

)وبالتالي ) ( )2

2 6 8 1B n n n n= − + + ألنه مجموع أعداد زوجية عدد زوجي +

)بين أن : (3 ) ( )( )22

2 6 8 1C n n n n= − + + 4يقبل القسمة على +

( ) 11 2n n k+ حيث =1k : ادن( )( ) ( ) ( )

2 2 2

1 11 2 4 4n n k k k+ = = =

8و 4 2 4n n k= = و( ) ( )( ) ( )22 2

2 6 2 3 4 3 4n n n k− = − = − =

)ومنه : ) ( )( )22

2 6 8 1 4 4 4 4 4 4C n n n n k k k k k k = − + + + = + + = + +

( ) ( )( ) ( )22

2 6 8 1 4 4C n n n n k k k a = − + + + = + + = حيثa

)وبالتالي ) ( )( )22

2 6 8 1C n n n n= − + + 4يقبل القسمة على +

n :30تمرين

2 العددين بين أن (1 3 4n n+ 2و + 3 4n n− زوجيان +

4: العدد أن (استنتج2 2 16n n− 4عدد يقبل القسمة على +

)(1الجواب : ) ( )2 23 4 2 4 1 2 2n n n n n n n n+ + = + + + = + + +

( )1n n+ يعيين متتابعين اذن هو عدد زوجيهو جداء عددين طب

)و العدد )2 2n+ عدد زوجي

2وبالتالي: 3 4n n+ زوجي ألنه مجموع عددين زوجيين عدد +

( ) ( )2 23 4 4 4 1 2 2 2n n n n n n n n− + = + − + = + − +

( )1n n+ هو عدد زوجي و و العدد( )2 2 2n جي عدد زو +

2وبالتالي: 3 4n n− زوجي ألنه فرق عددين زوجيين عدد +

2لدينا (2 3 4n n+ 2و + 3 4n n− عددان زوجيان +

يعني 2 3 4 2n n k+ + و =

2 3 4 2n n k− + =

kو kحيث

)اذن )( ) ( )( )2 23 4 3 4 2 2 4n n n n k k kk + + − + = =

)يعني )( ) ( )( )2 24 3 4 3 4n n n n kk+ + + − =

)يعني )2

2 24 9 4n n kk+ − يعني =4 2 28 16 9 4n n n kk + + − =

يعني4 2 16 4n n kk− + =

4وهذا يعني أن 2 16n n− 4عدد يقبل القسمة على +

n :31تمرين

)أنشر: (1 )2 21n n+ −

استنتج أن كل عدد فردي هو فرق مربعين متتاليين(2

http://abcmath.e-monsite.com 9 األستاذ : عثماني نجيب

على شكل فرق مربعين متتاليين 2019و 29و 29و 17 األعدادأكتب (3

)(1الجواب : )2 2 2 21 2 1 2 1n n n n n n+ − = + + − = +

2(العدد 2 1n+ ا يكن مهم عدد فرديهوn

)اذن: )2 22 1 1n n n+ = + متتاليينهما عددين +1nو nحيث −

17(تطبيق : 3 2 8 1= )اذن:+ )2 2 2 217 8 1 8 9 8= + − = −

29 2 14 1= )اذن:+ )2 2 2 229 14 1 14 15 14= + − = −

37 2 18 1= )اذن:+ )2 2 2 237 18 1 18 19 18= + − = −

2019 2 1009 1= )اذن:+ )2 2 2 22019 1009 1 1009 1010 1009= + − = −

33075a نضع :32تمرين 7875bو = =

7875الى جداء عوامل أولية و أحسب bو a(فكك1 33075 7875و 33075

للعددين استنتج تبسيطا (2a

b aو

(1الجواب :

3 2 233075 3 5 7=

2 37875 3 5 7=

( ) 2 27875 33075 7875;33075 3 5 7 1575PGCD = = =

( ) 3 3 27875 33075 7875;33075 3 5 7 165375PPCM = = =

2)3 2 2

2 3

3 5 7 3 7 21

3 5 7 5 5

a

b

= = =

3 2 23 5 7 3 5 7 3 105 3a = = =

ألن :

a b a b = و2a a=

540000a نضع :33تمرين =

الى جداء عوامل أولية a(فكك1

للحصول على مربع عدد صحيح طبيعي وحدده a(حدد أصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم يجب ضربه في العدد 2

(1 الجواب :

5 3 4540000 2 3 5=

أن يكون جميع العوامل األولية في تفكيكهيجب عدد صحيح طبيعيلمربع aالعدد لكي يكون

)مرفوعة الى أس زوجي: ) ( )2 25 3 4 6 4 4 3 2 22 3 5 2 3 5 2 3 5 18002 3 = = =

2في aادن يجب ضرب العدد 63 =

22حدد جميع قواسم العدد (1 :34تمرين

)األزواج استنتج جميع (2 );x y العالقة اد الصحيحة الطبيعية و التي تحقق األعدمن( )( )2 1 22x y+ + =( )1

)األزواج جميع (حدد3 );x y 30العالقة األعداد الصحيحة الطبيعية و التي تحقق منx xy y+ + = ( )2

1(1 الجواب : 122 2 11=

22و 22و 2و 1هي : 22اذن قواسم العدد

)العالقة تحقق صحيحان و عددان yو x(لدينا 2 )( )2 1 22x y+ + =

اذن: 2 22

1 1

x

y

+ =

+ =أو

2 11

1 2

x

y

+ =

+ =أو

2 2

1 11

x

y

+ =

+ =أو

2 1

1 22

x

y

+ =

+ = عدد صحيح طبيعي( x)اليمكن ألن

)األزواج ومنه : );x y هي العالقة التي تحقق :( )20;0;( )9;1;( )0;10

3)30x xy y+ + 1تكافئ = 31x xy y+ + + )تكافئ = ) ( )1 1 31x y y+ + + =

)تكافئ )( )1 1 31y x+ + =

)اذن : )1x )و + )1y ومنه : 31قاسمان للعدد +1 1

1 31

x

y

+ =

+ =أو

1 31

1 1

x

y

+ =

+ =

http://abcmath.e-monsite.com 10 األستاذ : عثماني نجيب

يعني

0

30

x

y

=

=أو

30

0

x

y

=

=

)األزواج ومنه : );x y العالقة التي تحقق( ): هي 2( )30;0; ( )0;30

)األزواج حدد(1 :35تمرين );x y 2العالقة األعداد الصحيحة الطبيعية و التي تحقق من 2 51x y− =( )1

)األزواج حدد (2 );a b النظمةاألعداد الصحيحة الطبيعية و التي تحقق من 2 2 7344

18

a b

a b

− =

= ( )S

2(1 الجواب : 2 51x y− ) يعني = )( ) 51x y x y+ − =

xاذن : y+ وx y− 51قاسمان للعدد

1لدينا 51لنحدد قواسم العدد 151 3 17= 51و 71و 3و 1هي :51اذن قواسم العدد

ومنه :1

51

x y

x y

− =

+ =أو

3

17

x y

x y

− =

+ =xألن : y x y− +

يعني 26

25

x

y

=

=أو

10

7

x

y

=

=

)األزواج ومنه : );x y العالقة التي تحقق( ): هي 1( )26;25; ( )10;7

2) 2 2 7344

18

a b

a b

− =

= صحيحين طبيعيين عددين bو aحيث

12a x= 12وb y= حيثx وy 1صحيحان و عددانx y =

: لدينا2 2 7344a b− )تكافئ = ) ( )

2 212 12 7344x y− =

2تكافئ 2144 144 7344x y− )تكافئ = )2 2144 7344x y− =

2تكافئ 2 7344

144x y− 2تكافئ = 2 51x y− =

)وحسب نتيجة السؤال السابق فان : )25 26y x =و )أو = )7 10y x =و =

312aومنه : = ,300b 120aأو = = ,84b =

)األزواج ومنه : );a b النظمةاألعداد الصحيحة الطبيعية و التي تحقق من ( )S هي :( )312;300; ( )120;84

2صحيحين طبيعيين بحيث : عددين yو xليكن :36تمرين 2 12 7 6 16844x y x− ++ + 2xمع =

)بين أن : (1 )2 2 12 1 4 3 16844 7x x y− ++ = −

2بين أن : (2 116844 7 y+− عدد فردي

2xأن :استنتج (3 y ثم حدد قيمة =

2لدينا (1 الجواب : 2 12 7 6 16844x y x− ++ + =

2يعني 2 12 6 16844 7x x y− ++ = )يعني − )2 2 12 2 3 16844 7xx y− ++ = −

2يعني 2 12 2 3 16844 7x x x y− ++ = −

2يعني 2 2 2 12 2 2 3 16844 7x x x y− − ++ = −

)يعني )2 2 12 1 4 3 16844 7x x y− ++ = −

2عدد فردي اذن : 7و عدد زوجي 16844لدينا: (2 17 y+ مهما تكنy : 2ومنه فان العدد 116844 7 y+− عدد فردي

): لدينا ج ااستنت(3 )2 2 12 1 4 3 16844 7x x y− ++ = 2و − 116844 7 y+− عدد فردي

)اذن : )22 1 4 3x x− + 22عدد فردي ومنه 1x− 2ومنه = 0x− 2xيعني = =

2و لدينا 2 12 7 6 16844x y x− ++ + 2ومنه = 2 2 1 22 7 6 16844y− ++ + =

2يعني : 17 16844 37y+ = 2يعني + 17 16807y+ 2يعني = 1 57 7y+ =

2 1 5y + 2yيعني : = =

http://abcmath.e-monsite.com 11 األستاذ : عثماني نجيب

n :37تمرين

)بين أن العدد (1 )( )3 2 3 23 3 2 1n n n n n n+ + + + + مربع كامل +

): أنشر(2 )2

2 3 1n n+ +

): (استنتج أن العدد3 )( )( )1 2 3 1n n n n+ + + مربع كامل +

2aاذا وفقط اذا كان يكتب على الشكل : مربع كامل a a ملحوظة : b= حيثb

)(1الجواب : )( ) ( ) ( )2

3 2 3 2 3 2 3 23 3 2 1 3 2 3 1n n n n n n n n n n n n+ + + + + + = + + + + + +

( )2

3 23 1n n n= + + +

)وبالتالي: )( )3 2 3 23 3 2 1n n n n n n+ + + + + بع كاملمر +

2)( )2

2 4 3 23 1 6 11 6 1n n n n n n+ + = + + + +

3)( )( )( ) ( )( )2 21 2 3 1 2 3 6 1n n n n n n n n n+ + + + = + + + + +

( )( )2 2 4 3 2 3 25 6 1 5 6 5 6 1n n n n n n n n n n= + + + + = + + + + + +

( )2

4 3 2 26 11 6 1 3 1n n n n n n= + + + + = + +

) مربع كامل )( )( )1 2 3 1n n n n+ + + + اذن

تمرين 38: يمكن توزيع تالميذ إحدى المؤسسات التعليمية إلى أقسام تتضمن كلها نفس العدد من التالميذ ويمكن أن يكون هذا

.تلميذا 1020و 1000تلميذا. حدد عدد تالميذ هذه المؤسسة إذا علمت أنه محصور بين 36تلميذا أو 28العدد إما

الجواب : العدد اإلجمالي للتالميذ هو مضاعف مشترك للعددين 36 و 28

28 36 نبحث عن المضاعف المشترك األصغر للعددين أوال أي :

2 236 6 6 2 3 2 3 2 3= = = 228 و 2 14 2 2 7 2 7= = =

2 228 36 2 3 7 252 = = ومنه :

1020و 1000 والمحصورة بين 252 يكفي أن نبحث عن مضاعفات العدد

252 2 504 = 252 3 756 = 252 4 1008 = 252 5 1260 =

1008ومنه عدد التالميذ المطلوب هو :

98m حيث توجد شجرة في كل 70m و 42m و تمرين 39: نريد غرس أشجار على محيط حديقةعلى شكل مثلث أبعاده هي :

رؤوس المثلث والمسافة بين شجرتين متتابعتين ثابتة رأس من

؟ يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين ماهي أكبر مسافة( 1

ماهو اذن عدد األشجار التي يمكن غرسها في هذه الحالة( 2

98و 70و 42نحدد أوال القاسم المشترك األكبر لألعداد : (1 الجواب :

70 2 35 2 5 7= = و

42 2 21 2 3 7= =

و

298 2 49 2 7= =

( )42 70 98 42;70;98 2 7 14PGCD = = =

14هو يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين أكبر مسافةاذن 2) ( ) ( ) ( )42 14 70 14 98 14 3 5 7 15 + + = + + =

يمكن غرسها في هذه الحالةشجرة 15اذن هناك

320m حيث يوجد 240m و تمرين 40: أرادت شركة أن ثبت أعمدة ضوئية على محيط ساحة عمومية مستطيلة الشكل أبعادها هي :

عمود ضوئي في كل ركن من رؤوس المستطيل والمسافة بين عمودين متتابعتين ثابت وعدد صحيح طبيعي

؟ متجاورتين عمودينبين يمكن أن تفصل ماهي أكبر مسافة( 1

؟في هذه الحالةاألعمدة الضوئية الالزمة للساحة ماهو اذن عدد ( 2

زمة تركها بين عمودين متتابعين ؟ أحسب في كل حالة األعمدة الآل والتي يمكن للجماعة 15m(ماهي المسافات التي تفوق 3

320و 240ألكبر لألعداد : نحدد أوال القاسم المشترك ا(1 الجواب :

http://abcmath.e-monsite.com 12 األستاذ : عثماني نجيب

6320 2 5= و

4240 2 3 5=

( )240 320 240;320 80PGCD = =

80هو متجاورتين عمودينيمكن أن تفصل بين أكبر مسافةاذن )محيط الساحة هو : (2 )240 320 2 1120m+ =

1120هو : في هذه الحالةضوئية الالزمة للساحة األعمدة الاذن عدد 80 14m m =

40 و 30و 20و 16 10و 8و 7و 5و 4و 2و 1 :هي 320و 240: القواسم المشتركة ل (3

80 أو 40 أو 30و أ 20وأ 16عمودين متتابعين هي : مترا والتي يمكن للحماعة تركها بين 15المسافات التي تفوق

1120عمودين متتابعين فان عدد األعمدة الآلزمة يكون : بين مترا 16اذا تم ترك • 16 70m m =

1120عمودين متتابعين فان عدد األعمدة الآلزمة يكون : مترا بين 20اذا تم ترك • 20 56m m =

1120ن فان عدد األعمدة الآلزمة يكون : عمودين متتابعيمترا بين 40اذا تم ترك • 40 28m m =

1120عمودين متتابعين فان عدد األعمدة الآلزمة يكون : مترا بين 80اذا تم ترك • 80 14m m =

n :41تمرين

بين أن العدد 1

n

n + )يمكن استعمال البرهنة بالخلف( ر جذريغي

العدد نفترض أن : الجواب :1

n

n + جذري

أنه يكتب على الشكل : يعني 1

n p

n q=

+1pحيث q qو و= وp

ومنه2

21

n p

n q=

+وبما أن

p

q2nوحيد فان : p= 21وn q+ = ( )2 2 1p q =

2ومنه 2 1q p− )أي أن : = )( ) 1q p q p− + =

يعني 1

1

q p

q p

− =

+ =0pومنه 0n اذن = وهذا خاطئ =

العدد خاطئ ومنهاذن افتراضنا 1

n

n + غير جذري

عددا حقيقيا aليكن :42تمرين

) :بين أن (1 )( )4 2 2 21 1 1a a a a a a+ + = + + − + ( )1

ليس أوليا 100010001: (استنتج أن العدد2

)الثبات هذه المتساوية نقوم بنشر (1الجواب : )( )2 21 1a a a a+ + − +

4وبعد التبسيط نجد : 2 1a a+ +

8:جااستنت (2 4100010001 100000000 10000 1 10 10 1= + + = + +

( ) ( )4 2

2 2100010001 10 10 1= + +

)وبتطبيق المتساوية نجد : 1(

( )( )4 2 4 2100010001 10 10 1 10 10 1= + + − +

100010001 10101 9901=

10101و 9901ليس أوليا الن لديه قاسمين على األقل هما : 100010001: العدداذن :