Дискретна 1 - ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ

7/21/2019 Дискретна 1 - ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ

http://slidepdf.com/reader/full/-1-5695d0be1a28ab9b0293b3b1 1/38

Материјали за испитот по Дискретна

Математика 1 Дополнителни часови по Дискретна Математика 1

070 255-791/[email protected]



Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Контакт: 070 255-791/[email protected] Page 1

Исказно сметање

Деф. ИСКАЗ (се означува со p, q, r , …) е декларативна реченица (т.е. изјава) со одредено

конкретно значење, која има вистинитосна вредност која е точно (Т) или неточно (F) но не и двете

или нешто “помеѓу“.

Оператор или сврзник комбинира еден или повеќе изрази во поголем израз. –Унарните оператори дејствуваат на еден израз;

–Бинарни оператори дејствуваат на два изрази.

–n-арните оператори дејствуваат на n изрази

Унарниот оператор негација “¬” (НЕ ) го

трансформира одреден исказ во неговата

логичка негација.

Бинарниот оператор конјункција “∧” (И)комбинира два искази за формирање на

нивна логичка конјункција.

Бинарниот исклучително или оператор “⊕”

( XOR) комбинира два искази да формираат

нивна логичко “исклучително или“.

Импликацијата p → q значи дека p го повлекува q.

Значи ако p е точно, тогаш q е точно; но ако p е

неточно тогаш q може да биде или точно или неточно.

p ¬ p

Т ⊥ ⊥ Т

p q p∧ qТ Т Т

Т ⊥ ⊥ ⊥ Т ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

p q p∨ q

Т Т Т

Т ⊥ Т ⊥ Т Т ⊥ ⊥ ⊥

p q p⊕ q

Т Т ⊥

Т ⊥ Т ⊥ Т Т ⊥ ⊥ ⊥

p q p→ q

Т Т Т

Т ⊥ ⊥ ⊥ Т Т ⊥ ⊥ Т

Бинарниот оператор дисјункција “∨”(ИЛИ) комбинира два искази во нивна

логичка дисјункција.

За импликацијата p→ q

o Обратна q→ p

o Контрапозиција ¬q→ ¬ p

o Инверзна ¬p → ¬q





Исказни еквиваленции

Замена на едно тврдење со друго кое има иста вистинитосна вредност

Деф. 1. Секоја исказна буква и секоја логичка константа е исказна формула.

2. Ако α и β се исказни формули, тогаш и (¬α), (α ∧ β), (α ∨ β) , (α → β) и (α β) се исто

така исказни формули.

3. Исказни формули се оние и само оние изрази добиени со конечна примена на 1 и 2.

Исказните формули ги означуваме со p, q, r , s….

Секоја исказна формула определува функција на вистинитост која може да се претстави со

соодветна таблица на вистинитост.

Деф. За една исказна формула велиме дека е остварлива ако постојат вистинитосни

вредности на променливите за кои исказната формула е точна.

Деф. Тавтологија е исказна формула која е точна за било која вистинитосна вредност на

исказните променливи кои ја сочинуваат односно формула која секогаш е точна.

Деф. Контрадикција е исказна формула која е неточна за било која вистинитосна вредност

на исказните променливи кои ја сочинуваат односно формула која секогаш е неточна.

Останатите исказни формули велиме дека се непредвидливи или контингенции.

Својства на тавтологиите:

(Модус поненс). Ако α и (α → β) се тавтологии тогаш и β е тавтологија.

(Правило за замена). Ако α е тавтологија во која се појавуваат исказните променливи

p1 , p2 ,..., pn , и β е исказна формула добиена кога секоја исказна променлива p i во α се

замени со исказна формула αi, за i=1, 2, ...,n, тогаш и β е тавтологија.

Ако β 1 се добива од α1 кога едно или повеќе појавувања на исказната формула α во α 1 се

замени со исказната формула β , тогаш ((α β)→ (α1 β 1)) е тавтологија.

Два синтактички (т.е. текстуално) различни изрази можат да бидат семантички идентични (т.е.

имаат исто значење). Во тој случај велиме дека се логички еквивалентни .

p q p q

Т Т Т

Т ⊥ ⊥

⊥ Т

⊥

⊥ ⊥ Т

Еквиваленција p q

значи дека p е точно ако

и само ако (акко ) q е

точно.







Проверката на еквиваленции може да се прави:

- Со табели

- Со користење на логичките закони

Нека α е исказна формула во која се сретнуваат само логичките оператори ∧, ∨, и ¬.

Исказната формула добиена од α со замена на секое

∧ со

∨, секое

∨ со

∧, секое T со

⊥ и

секое ⊥ со Т се нарекува дуална на формулата α и се означува со α *.

Логичките закони кои претходно ги разгледавме, освен законот за двојна негација се во

парови во кои едната еквивалентност е дуална на другата.

Нека е дадена таблица на вистинитост со n исказни променливи. Тогаш може да се

дефинира исказна формула која ќе ја има дадената вистинитосна таблица со земање на

дисјункција од конјункции од променливите или нивните негации со една конјункција за

секоја комбинација на вредности на променливите за која формулата е точна. Добиената

исказна формула велиме дека е во дисјунктивна нормална форма, (ДНФ).

Едно множество (колекција) од логички сврзници се нарекува функционално комплетно илигенераторно ако за секоја исказна формула постои еквивалентентна исказна формула која ги

содржи само овие сврзници.

O ¬, ∧, ∨ е генераторно множество сврзници

o Шеферов оператор:

| се чита “ни“ (на англиски “NAND“ )

p | q е точно кога или p или q или и

двете се неточни, а неточно кога

и двете се точни.

Ни и нили се генераторни сврзници.

¬p≡ (p|p) и p∧q≡ ((p|q)|(p|q)).

p q p ↓ q

T ⊥ ⊥

T T ⊥

⊥ ⊥ ⊥

⊥ T T

p q p | q

T T ⊥

T ⊥ T

⊥ T T

⊥ ⊥ T

¬p

≡ (p↓p) и

(p∨q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q)).

o Пирсов оператор:

↓ се чита “нили“ (на англиски “NOR“ )

p ↓ q е точно кога и двете p и q се неточни,

а неточно во сите други случаи .





Предикати и квантификатори

Тврдење во кое се вклучени една или повеќе променливи и кое станува исказ со секоја

замена на конкретни вредности на променливите се нарекува исказна функција.

Исказна функција со n променливи x1, x2, …, xn ја бележиме со

Р(x1, x2, …, xn ) се нарекува исказна фукција Р над n-торката (x1, x2, …, xn ).

Уште се нарекува n-арен предикат .

Променливата во исказната функција може да зема вредности од дадено множество . Тоа

може да е специфицирано, но може и да се подразбира од контекстот. Обично се нарекува

универзум за кој се говори или домен на променливата.

Решение на исказата функција се сите вредности од доменот за кои важи дека кога тие ќе се

заменат на местото на променливата, исказната функција ќе стане точно тврдење.

Тврдењата кои опишуваат валиден влез се нарекуваат предуслови.

Условите кои излезот би требало да ги задоволува при работата на една програма се нарекуваатпостуслови.

Исказна функција може да стане исказ и со квантифицирање. Со зборовите: за секој,

некој, постои, никој, многу, малку и сл.

Квантификаторите обезбедуваат начин кој овозможува да квантификцираме (изброиме) колку

објекти од универзумот за кој говориме го задоволуваат даденото својство.

Два типа на квантификатори

o Универзален

o Егзистенциjален

Универзалната квантификација на некоја исказна функција P(x) е тврдењето дека P(x)важи за сите x во дадениот домен.

- Се бележи со ∀x P(x) .

- Еден елемент за кој P(x) не е точно се нарекува контрапример за ∀x P(x) .

Егзистенциjалната квантификација на некоја исказна функција P(x) е тврдењето дека P(x)

важи за барем еден x од дадениот домен.

- Се бележи со ∃x P(x)

Често се случува некое тврдење да покажува егзистенција на точно еден елемент од

доменот за кој важи предикатот Р(х)

- ∃!х Р(х) односно (∃1х Р(х))

Квантификаторите имаат најголем приоритет во однос на останатите логички оператори

- ∀х P(x) ∧Q(x) значи (∀х P(x)) ∧Q(x)

Ако за некоја променлива се користи квантификатор, ќе речеме дека таа променлива е

ограничена.





Ако за променлива во исказна функција не се користи квантификатор, таа променлива е

слободна.

Тврдења во кои се вклучени квантификатори се логички еквивалентни акко имаат иста

вистинитосна вредност без разлика кои предикати се ставени во тврдењето и без разлика кој е

доменот на исказните функции

Де Морганови закони за квантификатори:

Негација Еквивалентен исказ Кога е негацијата

точна

Кога е негацијата

неточна

¬ (∃x P(x)) ∀x¬P(x) За секое x, P(x) е

неточно

Постои x за кое P(x) е

точно

¬(

∀xP(x))

∃x¬P(x) Постои x за кое P(x) е

неточно

P(x) е точно за секое x

o Кога доменот има n елементи, x1, x2, …, xn, тогаш ∀xP(x) е P(x1) ∧ P(x2) ∧ … ∧ P(xn), па

неговате негација е:

¬P(x1) ∨ ¬P(x2) ∨ … ∨ ¬ P(xn)

o Кога доменот има n елементи, x1, x2, …, xn, тогаш ∃x P(x) е P(x1) ∨ P(x2) ∨ … ∨ P(xn), па

неговате негација е:

¬P(x1) ∧ ¬P(x2) ∧ … ∧ ¬P(xn)

o Негација на импликација

¬∀x(P(x) → Q(x))≡ ∃x(¬ (¬P(x) ∨ Q(x))) ≡ ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))

Два квантификатори се вгнездени ако еден е во состав на другиот

x yPx,y yx P(x,y)

x yP(x,y) yx P(x,y)

y x P(x,y) ⇒x yP(x,y)

Изведување на логички заклучоци

•Теорема

–Тврдење кое е докажано дека е точно.

•Аксиоми, постулати, хипотези, претпоставки

–Претпоставки (честопати недокажани) кои ги дефинираат структурите за кои

размислуваме.





•Правила на изведување заклучоци

–Облици на логички точна дедукција од хипотези до заклучоци.

•Лема – Помала теорема која се користи како помошна скала во докажување на голема (важна)

теорема.

•Последица – Мала теорема која лесно се докажува дека следи од голема теорема.

•Верување (претпоставка) - Тврдење чија вистинитост сеуште не е докажана. (Но и покрај тоа

може нашироко да се верува дека е точно.)

•Теорија – Множество на сите теореми кои можат да се докажат од дадено множество аксиоми.

Деф. Аргумент во исказната логика е низа од искази. Сите, освен последниот исказ се

нарекуваат претпоставки.

- Финалниот исказ се нарекува заклучок или последица.

- Еден аргумент е валиден (важечки) ако од вистинитоста на претпоставките

следува дека заклучокот е точен.

- Аргументен облик во исказната логика е низа од формули во кои се сретнуваат

исказни променливи.

Деф.Еден аргументен облик е точен ако, кога се заменат исказните променливи во

претпоставките со конкретни искази, последицата е точна ако сите претпоставки се точни.

- Од дефиницијата на точен аргументен облик, добиваме дека аргументен облик pI, p2, . · · ,

pn ⇒q , со претпоставки pI, p2, . · · , pn и заклучок q е точен, кога

(pI ∧ p2∧ · · ∧ pn) → q е тавтологија.

•Правило на изведување заклучоци

Облик или начин на покажување дека, ако знаеме дека дадено множество од претходнитврдења од определен облик се сите точни, тогаш одредено последователно тврдење е

точно.

претходно тврдење 1

претходно тврдење 2 …

:. последица “:.” значи “според тоа”

o Секое логичко правило на изведување на заклучоци соответствува на импликација која е

тавтологија.((претх. 1) ∧ (претх. 2) ∧ …) → последица





Правило на Модус Поненс

(Закон за одвојување)

p

p→q

:.q

Правило на собирање

p

:. p∨q

Правило на конјункција p

q

:. p

∧q

Хипотетички силогизам

p→q

q→r

:. p→r

Формален доказ на заклучок C , при дадени претпоставки p1, p2 ,…, pn се состои од низа од

чекори, од кои секој применува некое правило на изведување на залучоци на претпоставките или

на претходно докажаните тврдења за да се добие ново точно тврдење (последицата).

• Доказот покажува дека ако претпоставките се точни, тогаш последицата е точна.

∀ x P( x ) Универзално конкретизирање

:.P(o) (замена на конкретн објект o)

∃x P(x) Егзистенцијално конкретизирање

:.P(c) (замена со некоја константа c)

*Универзален Модус поненс

∀x(P(x) →Q(x))

P(a), каде а е одреден елемент од доменот

:. Q(a)

Правило на Модус Толенс

¬q

p→q

:.¬ p

Правило на упростување

p∧q

:. p

Правило за резолуција

p∨q

¬p

∨r

:. q∨r

Дисјунктивен силогизам

p ∨ q

¬ p

:. q

P(g) Универзално обопштување

:.∀ x P( x ) (за g општ елемент од доменот)

P(o) Егзистенцијално обопштување

:.

∃ x P( x ) (замена на конкретниот објект o

*Универзален Модус толенс

∀x(P(x) →Q(x))

¬Q(a), каде а е одреден елемент од доменот

:. ¬P(a)





Методи на докажување

Деф. Доказ претставува валиден аргумент (точна постапка) кој ја одредува вистинитоста на

одредено тврдење. Може да биде формален, и неформален.

Теорема- Тврдење кое може да се покаже дека е точно. Типична теорема е од облик

p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn → q

Претпоставки (аксиоми) Заклучок

За докажување на импликациите p→q имаме:

• Директни докази: Претпоставуваме дека p е точно, и докажуваме q.

•Индиректни докази : Претпоставуваме дека ¬q е точно и докажуваме дека ¬ p е точно.

•Празни докази : Докажуваме дека ¬ p е точно.•Тривијални докази : Докажуваме дека q е точно.

•Докази по случаи: Покажуваме дека p1∨ p2∨…∨ pn→q со покажување дека

( p1 →q) ∧ ( p2 →q) ∧…∧ (pn→q)

o Честопати заклучокот во даден аргумент е во облик на условно тврдење. Тогаш условот од

заклучокот може да се додаде како претпоставка во теоремата.

o Значи ако теоремата е од облик

P⇒ (u→z)

Можеме да докажеме

P∧u⇒zОва следи од фактот што

P→ (u→z) ≡ (P∧u) →z

o Докази со контрадикција – 1

Да разгледаме теорема од облик P⇒C, каде P ги претставува претпоставките p1∧p2∧….∧pn.

Методот со контрадикција се базира на еквиваленцијата

P→C ≡ ¬ (P∧¬C).

o Докази со контрадикција -2

Да претпоставиме дека сакаме да докажеме дека едно тврдење p е точно. Ако покажеме

дека ¬p→f е точно и f е контрадикција (f ≡ ⊥) тогаш мора ¬p да е неточно, односно можеме

да заклучиме дека p е точно.

o Докази на еквивалентности

Доказот дека p q е со доказ на p→ q и q→ p

o Егзистенцијални докази

Доказ на тврдење од облик x P (x ) се нарекува егзистенцијален доказ.





Ако доказот покажува како се наоѓа или конструира специјален елемент a така што P(a) е

точно, тогаш тоа е конструктивен доказ. Инаку тој е неконструктивен.

o Докази за единственост

Постоење: Покажи дека постои елемент x со бараното својство.

Единственост: Покажи дека ако y ≠ x , тогаш y го нема бараното својство, или ако x, y го

имаат бараното својство, тогаш y = x .o Контрапримери

За дадено тврдење кое подразбира универзален квантификатор да се најде пример кога

не е точно.

Множества

Деф.Множество е нов тип на структура, кој претставува неподредена колекција (група)од ниеден или повеќе различни објекти.

Објектите во едно множество се наречени елементи, или членови на множеството.Велиме дека множеството ги содржи своите елементи.

- За означување на множествата ќе користиме променливи со големи латински букви ( A, B,

C , ..S, T , U, …)

- За означување на ементите мали ракописни латински букви (a, x , y …)

- Можеме да го означиме едно множество со запишување на сите негови елементи во

големи загради:

А={a, b, c} е множество од некои 3 објекти означени со a, b, c.

Ознака на градење на множества: Ги карактеризираме сите елементи во множеството со

кажување на својството кое мора да го имаат за да бидат членови на множеството.

За секое тврдење P( x ) над универзумот на кој се однесува , { x | P( x ) } е множеството на

сите x за кои важи P( x ).

Ознаки за поважни множества

o N={0, 1, 2, 3, …}- Множество на природни броеви,

o Z={…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …}- множеството на цели броеви,

o Z+={1, 2, 3, …} – множеството на позитивни цели броеви,

o Q={ x | x=p/q и p, q∈ Z со q≠0} – множеството на рационални броеви,

o Q +={x| x=p/q и p, q

∈ Z+ } – множеството на позитивни рационални броеви,

o R , множеството на реални броеви.

- Ако еден елемент a е член во множество S (или е елемент од S) jа користиме ознаката

a ∈ S.

- Ако a не е елемент од S , ја користиме ознаката a ∉ S.

Редоследот на запишување на елементите не е битен ( множествата се неподредени

колекции) .





Сите елементи се различни (нееднакви) повеќекратното запишување не прави разлика.

U е универзално множество, множество на сите елементи (или “универзум“) од кое се

земаат елементите за било кое множество .

Венови дијаграми

Графичко претставување на множествата-Правоаголникот го претставува универзумот

-Круговите ги претставуваат множествата

Единственото множеството кое не содржи ниеден елемент се нарекува празно множество

или “null” множество и се означува со ∅.

= {} = { x | ⊥ }

Без оглед на доменот за кој се говори ја имаме аксиомата

x: x

∈

Празното множество може да биде елемент на друго множество ,

{ , 1, 2, 3, x } е множество.

За две множества велиме дека се еднакви ако и само ако тие содржат исти елементи.

Поточно не е важно како се дефинирани или означени.∀ A,B, A=B ⇔ ∀x (x∈A ↔ x∈B)

За множество A велиме дека е подмножество од множество B ако и само ако секој

елемент од A е исто така елемент и во B. Запишуваме A⊆B.

А

⊆B

⇔

∀ x ( x

∈ А → x

∈B)

За секое множество S

(i) S ⊆ S (∀S, S ⊆ S) и

(ii) ⊆ S (∀S, ⊆ S)

Според досега кажаното забележуваме дека

o A=B ↔ (A⊆B) ∧(B⊆A)

o ∀x(x∈A↔ x∈B) ⇔ (∀x (x∈A→ x∈B)) ∧(∀x (x∈B→ x∈A)).

Притоа негацијата

¬ ( А⊆B), значи дека ∃ x ( x ∈ А ∧ x ∉B)

Кога сакаме да нагласиме дека множество A е подмножество од множество B но притоа

A≠B, пишуваме A⊂B и велиме дека A е вистинско подмножество од B.

A⊂B ↔ ∀x ( x ∈A → x ∈B) ∧ ∃ x ( x ∈B ∧ x ∉A);





Објектите кои се елементи на некое множество можат и самите да бидат множества.

Внимание: 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}}

Нека S е множество. Ако S има точно n различни елементи каде n е ненегативен цел број

велиме дека S е конечно множество и n е кардиналноста на S. Кардиналноста на S се означува со

|S|. Ако множеството не е конечно велиме дека е бесконечно. Според тоа |S| мери колку различни елементи има во S.

Партитивно множество P(S) на множество S (или булеан на S) е множеството од сите

подмножества на S.

P(S) = {x | x⊆S}.

Пример: Нека S = {0, 1}. P(S)={, {0}, {1}, {0,1}}

Понекогаш P(S) се запишува со 2S.

Ако S е конечно, |P(S)| = 2|S|

Подредени n -торки

Слично како множества но овде се важни дупликатите и подредувањето прави

разлика.

За n∈N, подредена n- торка или низа со должина n се запишува со (a1, a2, …, an).

Првиот елемент е a1, и така натаму.

За дадени множества A, B, нивниот Декартов производ е множеството

A×B : ≡ {(a, b) | a∈ A ∧ b∈B }.

Притоа ако A и B се конечни,

| A×B|=| A||B|.

Декартовиот производ не е комутативен :

A,B: A× B=B× A. Може да се прошири до A1 × A2 × … × An...

A1 × A2 × … × An ={(x1 ,x2 ,…,xn)|xi∈ Ai , i∈{1,…n}}

Унија на две множества A и B, A∪B, е множество кое ги содржи елементите кои се во A,

или (“∨”) во B (или , и во двете множества).

A,B: A

∪B = { x | x

∈A

∨ x

∈B}

При унија на две множества секое од од множествата е подмножество од унијата,односно

A, B: (A ⊆A∪B ) ∧ (B ⊆ A∪B ) иA, B: (A ⊆B→A∪B=B )





Својства на унија на множества

o A U = A Закон за идентитет

o A U U = U Закон за доминација

o A U A = A Закон за идемпотентност

o A U B = B U A Закон за комутативност

o A U (B U C) = (A U B) U C Закон за асоцијативност

Пресек на две множества A и B, A∩B е множеството кое ги содржи елементите кои се

истовремено во A и (“ ∧”) во B.

A, B: A∩ B={ x | x∈ A ∧ x∈ B}.

Пресекот на две множества е подмножество од секое од множествата, односно:

A, B: (A

∩B

⊆ A)

∧ (A

∩B

⊆ B) и

A, B: (A ⊆ B →A∩B = A) )

Својства на операцијата пресек на множества

o A ∩ U = A Закон за идентитет

o A ∩ = Закон за доминација o A ∩ A = A Закон за идемпотентност

o A ∩ B = B ∩ A Закон за комутативност

o A ∩ (B∩ C) = (A ∩ B)∩ C Закон за асоцијативност

Својства на унија и пресек

За било кои три множества A, B и C, аналогно како кај исказите, важат дистрибутивните

закони

o А U (B∩C) = (A U B) ∩ (A U C)

o А∩ (B U C) = (A∩B) U (A∩C)

За две множества A и B велиме дека се дисјунктни акко нивниот пресек е празен, односно

немаат ништо заедничко.

(A∩B=

)

Пример: множеството на парни и множеството на непарни цели броеви се дисјунктни множества.

o Принцип на влучување и исклучување

Нека A и B се конечни множества. Бројот на елементите во A∪B:

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|





Имено, во збирот |A|+|B| два пати се броени заедничките елементи, односно

елементоите од пресекот.

Разлика на две множества A и B, A-B, (или A\B) е множеството на сите елементи кои се во

A но не се во B. Односно:

A-B ={x | x∈A ∧ x∉B} ={x | (x∈A→ x∈B) }

Својства на разлика

(A,B A-B = B-A) (не важи комутативен закон)

Комплемент на множество

Нека U е универзалното множество во однос на даден контекст. За секое множество

A⊆U, комплемент на A во однос на U , го нарекуваме множеството U-A, запишуваме со ̅, или со AC или А’.

Својства на комплемент на множествоo (A

c)

c = A Закон за двоен комплемент

o A ∪ Ac = U Закон за комплемент

o A ∩ Ac = ∅ Закон за комплемент

ДеМорганови закони за множества ∪ = ̅ ∩ ∩ = ̅ ∪

Симетрична разлика на две множества A и B, се означува со A⊕B, и се дефинира соA⊕B={x | x е во A или во B, но не и во двете}

={x|x∈A∪B∧x∉A∩B}

= (A∪B)-(A∩B)

= (A-B) ∪(B-A)

За симетрична разлика важи комутативниот закон

A⊕B= B ⊕ A

Врска меѓу разлика и

комплемент

A-B = A ∩ BC





A∪ ∅ = ∩ =

Закони за

идентитети

∪ = ∩ ∅ =∅

Закони за

доминација

∪ = ∩ =

Закони за

Идемпотентност

(Ac)

c=A Двоен комплемент

∪ =

∪

∩ = ∩

Закони за

комутативност

(

∪ )

c=A

c

∩B

c

( ∩ )c=Ac∪Bc

Де Морганови

закони ∪ ( ∪ ) = ( ∪ ) ∪

∩ ( ∩ ) =

( ∩ ) ∩

Закони за

асоцијативност

∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )

∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )

Дистрибутивни

закони

∪ ( ∩ ) = ∩ ( ∪ ) =

Закони за

абсорпција

A∪Ac=U

A∩Ac=∅

Закони за

комплемент

Докажување на идентитети

За да се докажат тврдења за множества од облик L = D, каде L е изразот од левата

страна, а D е изразот од десната страна како корисни се покажуваат следните техники :

1. Да се користат основните и веќе докажаните идентитети

2. Да се докаже L ⊆ D и D ⊆ L пооделно.

3. Да се користи ознаката за градење на множества и логички еквивалентности.

4. Да се користат табели на припадност.

Обопштени унии и пресеци

Бидејќи унија и пресек се комутативни и асоцијативни операции, можеме да ги

прошириме од дејствување на подредени парови од множества на подредени низи одмножества, ( A1,…, An), дури и неподредени множества од множества, X ={ А | P( А)} каде P(A)

e некоја исказна функција.

n- арен пресек :

A1∩ А ∩…∩ Аn≡ ((…(( A1∩ A2) ∩…)∩ An)

(групирањето и редоследот не се битни)

Претставување на множества со низи од битови

За преброиво универзално множество U со подредување x 1, x 2, …, секое конечноподмножество S⊆ U може да се претсави со низа од битови

B=b1b2…bn каде ∀ i : x i ∈S (i <n ∧ bi =1).





ФУНКЦИИ

Деф.1: Нека А и В се множества. Ако на секој елемент од А му доделиме точно еден

елемент од В, ќе речеме дека сме дефинирале функција од А во В. Пишуваме f (a)=b, ако b е

единствениот елемент од В кој му е доделен на а со функцијата f .

Деф.2: Функција е множество од подредени парови од AxB, каде за секое a од A, постои

единствено b од B така што f(a)=b.

- Ако f е функција од А во В, ќе речеме дека А е домен на f а В е кодомен на f.

- Ако f(a)=b тогаш велиме дека B е слика на а, а а е предслика на b.

- Ранг на f множеството од сите слики на елементите од А

Деф. Нека f 1 и f 2 се фукции од А во R. f 1 + f 2 и f 1 f 2 се исто така функции од А во R

дефинирани со:

o (f 1+ f 2)( x ) = f 1( x ) + f 2( x )o (f 1f 2)(x) = f 1(x)f 2(x)

Деф. Нека f : S→T е дадена функција и нека A ⊆S и B⊆T.

o Слика на A со функцијата f е подмножеството од Т кое се состои од сите слики на

елементите од А.

f (A)={ y |∃ x ∈A, y = f ( x)} – или накусо { f(x)|x∈A}.

o Праслика или инверзна слика на B со функцијата f е подмножество од S, кое се состои

од сите елементи од S чија слика е во множеството B.

f -1

(B) = {x∈S | f(x) ∈B}

Деф. За функција f, на која доменот и кодоменот и се подмножества од множеството на

реални броеви, ќе речеме дека е растечка функција ако за сите x и y од доменот на f такви што

x<y важи дека f(x) ≤f(y) , односно

x y( x<y→ f ( x) ≤ f ( y))

Деф. За функција f, на која доменот и кодоменот и се подмножества од множеството на

реални броеви, ќе речеме дека е опаѓачка функција ако за сите x и y од доменот на f такви што

x<y важи дека f(x) ≥f(y) , односно

x y( x<y→ f ( x)

≥ f ( y))

Деф.За функција f, на која доменот и кодоменот и се подмножества од множеството на

реални броеви, ќе речеме дека е строго растечка функција ако за сите x и y од доменот на f такви

што x<y важи дека f(x) <f(y) , односно

x y( x<y→ f ( x)< f ( y))







Деф. Цел дел од x, или подот на х

се дефинира како најголемиот

цел број помал од х. Се бележи со [x]

или со

⌊⌋.

Деф.Горен цел дел од x, или таван нa х

се дефинира како најмалиот цел број

поголем од х. Се бележи со ⌈⌉.

Карактеристична функција. Нека S е подможество од универзалното множество U.

Карактеристичната функција f s на S е функција од U во {0,1} така што f s( x )=1 ако x припаѓа на S и

f s( x )=0 ако x не припаѓа на S.

Деф. Нека S и T се множества. Ако на секој елемент од некое подмножество А од S му

доделиме точно еден елемент од T, ќе речеме дека сме дефинирале делумна функција од S во T.

- S е домен, T е кодомен

- f не е дефинирана за елементите кои не се во подмножеството А од S.

- Ако доменот е целото S, фукцијата е целосна

Ако доменот на некоја функција е множество од облик S1×S2×…×Sk, велиме дека е

тоа функција со повеќе променливи.

Функција f :(S×S) →S се нарекува бинарна операција на S.

Деф. За две множества A и B велиме дека имаат иста кардиналност или имаат ист

кардинален број или се еквивалентни множества акко постои биекција f :A→B. Пишуваме

|A|=|B|.

Деф. Ако A и B се дадени множества и постои инјекција f:A→B велиме дака кардиналниот

број на A e помал или рамен на кардиналниот број на B, односно |A|≤|B| .

Деф. Нека Nm={1, 2, . . . , m} е множеството на првите m позитивни природни броеви. Акопостои биекција од Nm во непразно множество S велиме дека S е конечно множество и бројот на

елементите е m, односно неговата кардиналност е m, и запишуваме |S|=m.

Кардиналност на конечно множество е број на елементи во тоа множество.

Деф. Нека B≠ ∅ е дадено множество и S⊂ B (S е вистинско подмножество од B). Ако

постои биекција f:B→S велиме дека B e бесконечно множество.





Пример: Множеството N на природни броеви е бесконечно множество. Имено

множеството од парни природни броеви 2N е вистинско подмножество од N.

Пресликувањето f :N→2N дефинирано со f (n)=2n е биекција од N во 2N.

Деф. За множетво S што е конечно или има иста кардиналност како множеството наприродни броеви, односно |S|=|N|, велиме дека е преброиво множество.

Ако S не е преброиво велиме дека S е непреброиво.

o Преброиви бесконечни множества:

- Елементите може да се излистаат,

- Со процес на броење почнувајќи од еден елемент може да се стигне до секој

елемент од множеството.

- Имаат иста кардиналност со N

•Пример: Z, Q , Z×Z...

o

Непреброиви множества:- Елементите не може да се излистаат

•Пример: R, R×R, …

Низи и редови, цели броеви и деливост

Низа: подредена листа на елементи .

Деф. Низа е функција од подмножество од Z во множество S

o Ознаки:

- an е член на низата

- {an} е за целата низа

- n е индекс на членот an

Аритметичка прогресија

Низа од облик

a, a+d, a+2d, …, a+nd, … каде што a е почетен член, а d е разлика.

Геометриска прогресија

Низа од облик

a, ar, ar 2 , ar

3 , …, ar

n , … каде што a е почетен член, а r е количник.

o Збир на членовите на геометриска програсија (геометриски ред)

Ако a и r се реални броеви и r≠0, тогаш





=

− − 1 , ≠ 1

( +1), =1

Доказ:

=

+(

− )

− =( − ) ( − 1) = ( − ) =

Ако r=1, тогаш јасно е дека сумата е

= = 1 = ∗ 1= ( +1)

o Стринг

- Конечна низа од облик a1, a2, a3, … an

- Ознака: a1a2a3…an

- Должина на стринг е бројот на членовите во тој стринг.- Празен стринг е стринг без членови (со должина 0). Ознака за празен стринг e λ.

Поважни низи од цели броеви

o Ознака за збир (сума) на членовите am, am+1, …, an од низата {an}:∑

- ∑ = + +⋯+ - ∑ ( +) = ∑ + ∑

o Двојни суми:Најпрво се почнува од внатршната сума, па потоа надворешната. ∑ ∑ =∑ ( ∑ )

o Ознака за збир на вредностите на функција над елементите од множеството X ={ x 1,

x 2, …}: ∑ () = (1) + (2) +⋯∈

Или ако X ={ x |P( x )}, може да се запише како:∑ () = (1) + (2) +⋯()

=

∑

= ∑ =∑ =∑

=∑ +( − )





Поважни формули за збирови

Теорија на броеви-Дел од математика кој ги изучува броевите и нивните својства.

Деф. Нека a,b∈Z и a≠0. Бројот a е делител со бројот b ако ∃c∈Z таков што b = ac.

- Ознака: a | b: a е делител на b

- а се нарекува делител на b, а b содржател на a

Теорема: Нека a, b, c се цели броеви. Тогаш

o a | b, a | c ⇒ a | (b + c).

o a | b ⇒ a | bc ∀c ∈ Z.

o a | b, b | c ⇒ a | c.

Теорама: (алгоритмот за делење) Нека a е цел број и d позитивен цел број. Тогаш постојатединствени q и r, каде што 0≤r<d, така што

a = dq + r.

Деф. Во равенството дадено во теоремата (алгоритмот за делење) d се нарекува делител,

q е количник a r остаток.

Ознаки: q=a div d , r=a mod d

Модуларна аритметика

Деф. Нека a, b се цели броеви и m е позитивен цел број. Бројот a е конгруентен со бројот b

по модул m ако m | (a - b).

Ознака: a ≡ b (mod m)

Теорема: a ≡ b (mod m) акко a mod m = b mod m.

Теорема: Нека m е позитивен цел број.

a ≡ b (mod m) акко k така што a = b + km.

Теорема: Нека m е позитивен цел број.

Ако a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), тогаш





a + c ≡ b + d (mod m)

ac ≡ bd (mod m).

Прости броеви

Деф. Позитивниот цел број p е прост ако единствените позитивни делители на p се 1 и p .

- Ако посотјат други делители, тогаш е сложен број

- Забелешка: Бројот 1 не е прост!

Но не е ни сложен –тој е во посебна класа

Деф. Еден цел број n е сложен ако и само ако постои цел број a така што a | n и 1 < a < n

o Прости броеви помали од 100:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

Секој позитивен цел број поголем од 1 на единствен начин може да се запише како прост

или како производ на два или повеќе прости броеви, каде што простите делители се запишани во

неопаѓачи редоследo Ако n е сложен цел број, тогаш n има прост делител помал или еднаков од

квадратен корен од n

Доказ:(со контрадикција) Да претпоставиме дека е сложен број. Тогаш може да се

запише како производ од два броја различни од 1 и n

n=mk

Јасно и m и k се множители на n. Ако n нема помал множител од √ n, тогаш овие

два множеители мора да бидат поголеми од √ n, па

n > √ n √ n > n

што не е можно.

Теорема(Euclid): Постојат бесконечно многу прости броеви

Доказ: (со контрадикција) Да претпоставиме дека постојат конечен број на прости броеви.

Нека тоа се броевите: p1 , p2 …, pn. Да го разгледаме бројот q = p1 p2 … pn + 1.

Бидејќи постојат само конечен број на прости броеви и q не е еден од нив, pi мора да го

дели q за некое i.

Јасно е дека pi | p1p2 … pn.

Од a | b, a | c ⇒ a | (b + c).

Следува дека pi | (q - p1 p2 … pn ) = 1.

Теорема за прости броеви:Количникот од бројот на прости броеви помали од x и бројот

x /ln( x ) тежи кон 1 кога x тежи кон бесконечност .

Најголем заеднички делител на два цели броја a и b е најголемиот цел број d таков што d

| a и d | b

- Се означува со НЗД(a,b)

Два броја се взаемно прости ако тие немаат ниту еден заеднички делител

(освен 1) .

Поинаку кажано: a и b се взаемно прости ако НЗД(a,b) = 1





Множеството од цели броеви a1 , a2 , … an се (по парови) взаемно прости ако сите парови од

броеви се взаемно прости .

Формално: Целите броеви a1 , a2 , … an се взаемно прости ако

НЗД(ai , a j ) = 1 за 1 ≤ i < j ≤ n.

Дадени два броја a и b може да ги запишеме како: = …, = …

НЗД на овие броеви може да пресметаме со следнава формула:

НЗД(a,b)= (,)(,)…(,)

Најмал заеднички содржател на позитивните цели броеви a и b е најмалиот позитивен

цел број кој што е делив и со a и со b.

- Се означува со НЗС(a, b)

НЗС(a,b)= (

,

)

(

,

)

…(

,

)

Нека a и b се позитивни цели броеви. Тогаш a*b =НЗД(a,b) * НЗС (a, b)

Позитивниот цел број n може на едниствен начин да се запише како

n = ak bk + ak-1

bk-1+ … + a1b + a0 , k ∈ N, 0 ≤ ai < b

Основата b за n се означува со (ak ak-1… a1a0 )b.

•b = 2 Бинарно претставување

•b = 16 Хексадецимално претставување

o Некои поважни основи

- Основа b=10 (декадна): 10 цифри: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

- Основа b=2 (бинарна): 2 цифри : 0,1. (“Bits”=“binary digits.”)

- Основа b=8 (октална): 8 цифри : 0,1,2,3,4,5,6,7.

- Основа b=16 (хексадецимална): 16 цифри : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Евклидов алгоритам

Нека a = bq + r, каде што a, b, q, r се цели броеви. Тогаш НЗД(a, b) = НЗД(b, r).

Доказ: Прво ќе покажеме дека сите заеднички делители на а и b се и заеднички

делители на b и r од каде ќе следува и дека имаат ист најголем заеднички делител.

Нека d е делител и а и b, тогаш d е делител и на бројот a-bq=r.

Оттука d е делител и на r, (a претпоставивме дека е делител b) значи d е заеднички

делител на b и r. Оттука имаме дека сите заеднички делители на а и b се и заеднички

делители на b и r.

Обратно, нека d е делител и на b и на r. Тогаш е делител и на бројот bq+r=а. Па d е

делител и на а, од каде следи дека d е заеднички делител на а и b. Оттука, сите заеднички

делители на b и r се заеднички делители и на а и b.





o За конверзија на било кој цел број n во било која основа b>1:

За да се најде последната десна цифра, едноставно се пресметува n mod b.

Потоа се заменува n со количникот ⌊/ ⌋. Се повторуваа горните два чекора за да

се најдат другите цифри, додека n не стигне до (=0).

Индукција и рекурзија

Mатематичка индукција(прв принцип)

Teхника за докажување дека исказната функција P(n) е точна за секој природен број n, без

оглед на неговата големина.

Врз основа на правилата на заклучување од предикатната логика:

P(1)

∀ k≥1, (P

(k) →P

(k+1))∴ ∀n≥1 P(n)

Валидност на индукцијата

Доказ дека ∀n≥1 P(n) е валиден заклучок:

За произволно n≥1, ∀k≥1 (P(k)→P(k+1)), 2та препоставка тривијално повлекува

дека∀ k≥1 (k<n) → (P(k) →P(k+1)), т.е., дека (P(1) →P(2)) ∧ (P(2) →P(3)) ∧ … ∧ (P(n-1) →P(n)).

Со последователна примена на хипотетичкиот силогизам на соседните импликации во

оваа листа n−1 пати добиваме P(1) →P(n); што заедно со P(1) и модус поненс го дава P(n).

Според тоа

∀n

≥1 P(n).

Како изгледа индуктивен доказ

Да речеме дека сакаме да докажене дека ∀n P(n)…

- Го докажуваме основниот случај (или основниот чекор): Докажуваме P(1)

- Го докажуваме индуктивниот чекор : Докажуваме ∀k, k<n P(k) →P(k+1).

o На пример може да се користи директен доказ:

Нека k∈N, претпоставуваме P (k ). (индуктивмна претпоставка)

Сега, при оваа претпоставка, докажуваме P (к +1).

Тогаш индуктивното правило на заклучување ни дава ∀n P(n).

Индукцијата може да се користи за да се докаже дека ∀n≥c P(n) за даденаконстанта c∈Z, каде можеби c≠1. Во вакви околности, основниот чекор е да се докаже

дека важи P(c) наместо P(1), а индуктивниот чекор е да се докаже дека ∀k ≥c (P(k ) →P(k +1)).

Индукцијата може да се користи за да се докаже ∀n≥c P(an) за било која низа {an}.

Може да се редуцира на претходниот случај.





Строга индукција (Втор принцип на математичка индукција)

Се карактеризира со следното правило на изведување на заклучоци:

P(1)∀k ≥1: (∀1≤i ≤k P(i )) → P(k +1)

:.

∀n

≥1: P(n)

Разликата со првиот принцип на математичка индукција е во тоа што во индуктивниот

чекор се користи построга претпоставка , а тоа е дека P(i ) е точно за сите помали i<k +1 , не

само за i =k .

Рекурзивни дефиниции

Со индукција, докажуваме дека сите членови на едно бесконечно множество

имаат некое својство P со докaжување на точноста за поголемите членови преку точноста

на помалите членови.

Во рекурзивните дефиниции на сличен начин, дефинираме функција, исказна

функција или множество над бесконечен број елементи со дефинирање на функција или

вредност на исказна функција или припадност на множество на поголемите членови во

термини на помалите членови.

Деф. Рекурзија претставува општ назив кога дефинираме објекти преку самите

себе (или како дел од самите нив).

Индуктивен доказ на пример ја одредува вистинитоста на P(n+1) рекурзивно преку P(n).

Постојат исто така рекурзивни алгоритми, дефиниции, функции, низи и множества.

Наједноставен случај: Еден начин да се дефинира функција f :N→S (за било кое

множество S) или низа an= f (n) е со:

•Се дефинира f (0).

•За n>0, дефинираме f (n) преку f (0),…, f (n−1).

Да се даде рекурзивна дефиниција на функцијата факториел, F (n) = n! = 1*2*3*…*n.

•Основен чекор : F (0) = 1

•Рекурзивен дел: F (n) = n F (n-1).

•F(1)=1

•F(2)=2

•F(3)=6

Низата на Фибоначи

Низата на fn≥0 е познатата низа дефинирана со: f 0 =0, f 1 = 1, f n≥2 = f n−1 + f n−2

Едно бесконечно множество S може рекурзивно да се дефинира со задавање на:

•Мало конечно множество од основни елементи на S.

•Правило за конструирање на нови елементи од S од претходно определените

елементи.

•Следователно, S нема други елементи освен овие.





o Множеството на сите стрингови

За дадена азбука Σ, множеството на сите стрингови над Σ, Σ* , може рекурзивно да

се дефинира со: Основен чекор:λ ∈ Σ* (λ = “”, празниот стринг)

Рекурзивен чекор: w ∈ Σ* ∧ x ∈Σ → wx ∈ Σ*

Рекурзивните дефиниции можат да се користат и за опишување на алгоритми.

Деф.За еден алгоритам велиме дека е рекурзивен алгоритам ако тој го решава

проблемот со редукција на задачата на иста задача со помал влез.

Верификација на програми

Верификацијата на програми, односно докажувањето на точноста на програмот,

користи правила на изведување на заклучоци и техники на докажување кои досега ги

разгледавме какои и принципите на математичка индукција.

За еден програм велиме дека е точен ако го дава точниот излез за секоја можен

влез. Доказот на точноста на програмот се состои од два дела:

- Првиот дел покажува дека точен одговор се добива ако програмот заврши

(термиира). Овој дел од доказот обезбедува делумна точност.- Вториот дел од доказот е доказ дека програмот секогаш завршува (терминира).

Деф. Програмата или програмскиот сегмент S се вели дека е парцијално точен во

зависност од влезното тврдење p и излезното тврдење q ако секогаш кога p е точно за

влезните вредности на S и S се изврши, тогаш q е точно за излезните вредности на S. Ова го

бележиме со p{S}q.

•Да забележиме дека парцијалната точност на една програма нема никаква врска со тоа

дали програмата ќе се изврши, туку само со тоа што се очекува да се добие ако истата се

изврши.

Правило на инференција

Едно корисно правило е правилото на инференција, кое докажува дека програмата

е точна ако таа се подели на потпрограми и покажување дека секој потпрограм е точен.

Да претпоставиме дека програмскиот сегмент S е поделен на потпроблеми S1 и S2.

Пишуваме S = S1;S2. Да претпоставиме дека е докажана точност на S1 во однос на влезното

тврдење p и излезното тврдење q и точност на S2 во однос на влезното тврдење q и

излезното тврдење r . Тогаш, ако p е точно и се извршува програмскиот сегмент S = S1;S2,

тогаш r ќе биде точно по извршувањето на овој програмски сегмент.

Ова може да се запише како

p{ S1}q

q{ S2}r .:. p{ S1;S2}r

Наредба за услов

Наредба од облик

ako uslov togash

S





Каде што S е блок од наредби, се нарекува условна наредба. S се извршува кога uslov

ќе биде исполнето, а во спротивно воопшто не се доаѓа до тој дел од програмата.

За да се покаже дека програмата е точна во однос на влезното тврдење p и излезното

тврдење q, треба да докажеме две работи.

- “uslov” е точно: ќе се стигне до S, и S ќе се изврши. Со поминувањето на делот од uslov

ништо не се менува, па p ќе биде точно непосредно пред S. Но, дополнително знаемеи дека uslov е точно тврдење. Во овој случај програмата ќе биде точна, ако од точни (p∧ uslov) пред S, q е точно после S.

- uslov не е исполнето: S воопшто не се извршува, па, бидејќи после целиот сегмент се

очекува q да биде точно, ќе значи дека q би било директна последица од тоа што p е

точно и uslov не е исполнето, т.е важи ( p ∧ ¬uslov ) → q

Споено заедно имаме,

( p ∧ uslov ){ S}q

( p∧ ¬uslov ) → q .∴ p{ ako uslov togash S}q.

Во општ случај една условна наредба може да има и дел кој се извршува когаусловот не е исполнет :

ako uslov togash

S1

inaku

S2

За докажување на точноста повторно треба да се разгледаат два случаи

- uslov е точно: S1 ќе се изврши, а делот од пред inaku до крај на S2 ќе се прескокне, и

овде треба да биде точно q. Значи, S1 треба да биде точно во однос на влезното

тврдење p∧ uslov и излезното тврдење q.

- uslov не е исполнето: S1 нема да се изврши, но ќе се изврши S2, и после тој дел треба q

да биде точно. Значи S2 треба да биде точно во однос на влезното тврдење p∧ ¬uslov иизлезното тврдење q.

( p ∧ uslov ){ S1}q

( p ∧ ¬uslov ){ S2}q .∴ p{ ako uslov togash S1 inaku S2}q.

Инваријанта на лупа

Деф. Низа од чекори во алгоритам или програма која има форма

while g do

S

Се нарекува while лупа

Деф. Својството p е инваријанта на циклусот while g do Sако важи следново:

Ако p и g важат пред да се изврши S, тогаш важат и после извршувањето на

лупата.

Теорема: Да претпоставиме дека својството p e инваријатна на лупата while g do S

и дека p е точно пред првото влегување во лупата. Тогаш p е точно по секое

извршување на лупата и уште повеќе, кога лупата ќе заврши p е точно a g е неточно.





Доказ: Од хипотезата имаме дека p e инваријанта на лупата и дека на почеток тоа е

точно. Нека прв пат p не е точно после k-тото извршување на лупата. Тоа значи дека во k

– 1 то извршување било точно, a во k -тото не, што е контрадикција со тврдењето дека

е инваријанта на лупата. Значи мора p да е точно по секое извршување на лупата. Јасно

дека во циклусот повторно нема да се влезе тогаш кога условот g нема да важи. Значи кога

лупата ќе заврши p е точно a g е неточно.

Честопати се прави поистоветување на инваријанта на лупа и математичка индукција, пред

се заради тоа што овие две работи имаат голема сличност.

Разликата е во тоа што со математичката индукција е техника со која се докажува дека

некое својство важи за бесконечно множество од цели броеви, почнувајќи од некој број, па мора

да се провери дали важи за првиот број од тоа множество.

Инваријантата на лупа не мора да е точна за сите броеви, туку само ако знаеме дека е

точна пред да се направат одредени трансформации на броевите (кои се извршуваат во while

лупата) ќе важи дека и по направените трансформации повторно ќе биде точна.

Релации

Деф. Нека А и В се множества. Бинарна релација од А во В е било кое подможество од

АхВ.

Можеме да го гледаме како множество R од подредени парови

•Елементот а е во релација со елементот b акко (a, b)∈R

Вообичаено го изоставаме зборот бинарен, ако од контекстот се занае за каква релација

станува збор.

Ако R ⊂ X × Y е релација , R е функција акко

1. ∀а∈А,∃ b∈B, (a,b) ∈R и

2. Ако (a, b1), (a,b2) ∈R тогаш b1=b2

Ако f: X → Y е функција график на функција е множеството

{(a, f(a)|a∈X} ⊆X×Y

Релациите се обопштување на функциите и можат да се користат за претставување на

поширока класа на односи меѓу множества.

Од посебен итерес се релациите дефинирани од множество А во самото себе.

Деф. Релација над множество А е релација од А во А т.е. подмножество од AxA.

o Секое подмножество од АхА е релација, значи бројот на релации е еднаков на

бројот на подмножества од АхА, т.е.

|Р(АхА)|=2





o Бидејќи празното множество е подмножество од секое множество, според тоа∅⊆AxB. Оваа релација се нарекува празна релација.

Дијагонала на множество A, или релација за равенство,

ΔA={( x , x )| x ∈A}

Универзална релација на множество A,

A=AхA={( x , y )| x , y ∈A}

Неколку својства на релациите се користат за нивна класификација:

•Рефлексивност

•Ирефлексивност (Антирефлексивност)

•Симетричност

•Асиметричност

•Антисиметричност

•Транзитивност

Рефлексивност

Деф. Релацијата R на множеството A е рефлексивна ако∀а∈А, (a, a) ∈R

Ирефлексивност (Антирефлексивност)

Деф. Релација R на множеството A е ирефлексивна ако∀а∈А, (a, a) ∈R

Една релација може да биде нити рефлексивна нити ирефлексивна

o Број на рефлексивни релции Мора да ги има сите елементи од облик (а, а).

Останатите n(n-1) подредени парови можат, а и не мора да бидат во релацијата, а тоа се

вкупно 2n(n-1)

подмножества од подредени парови, т.е. толкав е бројот на рефлексивни

релации

Релација R на A е симетрична ако

∀а,

∀b,((a, b)

∈ R→ (b, a)

∈ R)

Релација R на A е асиметрична ако∀а, ∀b,((a, b) ∈ R→ (b, a) ∈ R)

Релација R на A е антисиметрична ако∀а, ∀ b, (((a, b) ∈R ∧ (b, a) ∈ R) → a=b)

(Друга дефиниција) ∀а, ∀b, (((a, b) ∈R ∧ a≠b) → (b, a) ∈ R)





Една релација може да биде ни симетрична ни асиметрична .

Една релација може да биде и симетрична и антисиметрична .

•Ако важи ова таа мора да биде подмножество од дијагоналата.

Транзитивност

Деф. Релација R на A е транзитивна ако

∀a, ∀b, ∀ c (((a,b) ∈R ∧ (b,c) ∈R) (a,c) ∈R)

Претставување на релации:

- Со помош на множества

- Со помош на описи за карактеристиките на елементите

- Матрици

- Графички

Претставување со матрици

Нека имаме дадена релација R над AxB, А={а1, а2, ..., аm} и B= {b1, b2, ..., bn} Дефинираме

матрица на припадност МR=[mij], каде

mij=1,(,) ∈ 0,(,) ∉

- Препознавање на својства од матрицата на припадност

Нека A и B с едадени конечни множества, |A|=m, |B|=n. Нека R, S ⊆А×B се

релации од A во B со соодветни mxn матрици на припадност, MR =[aij ] и MS=[bij ].

Дефинираме MR ≤ MS акко aij ≤bij , за секои i ∈{1,…, m} и j ∈{1,..., n}.

Нека R, S ⊆А×B се релации од A во B со соодветни mxn матрици на припадност, MR

=[aij ] и MS=[bij ].

Ако R ⊆S тогаш MR ≤ MS .

o Ако релацијата е рефлексивна тогаш сите дијагонални елементи и се 1 .

o Ако релацијата е симетрична тогаш МТ=М.

o Ако релацијата е антисиметрична, тогаш сите елементи кои не се на дијагоналата

на матриците М и МТ им се различни .

Претставување со граф

Деф. Ориентиран граф, диграф, се состои од множество на темиња V заедно со

множество на ребра E, кое е множество на подредени двојки од елементите од V.

Се бележи со G(V,E) .

- За реброто (а, b), темето а се нарекува иницијално теме, додека темето b се

нарекува терминално теме на реброто.

- Теме во форма (а,а) се претставува како лак од темето назад во него и се нарекува

лупа.

-





Секоја релација над множество А може да се претстави со ориентиран граф.

Бидејќи секоја релација е подмножество од АхА, над релации може да се прават истите

операции како кај множества .

Комбинирање на релации

o Ако R1 и R2 се рефлексивни, тогаш и R1∪R2 е рефлексивна

o Ако R1 и R2 се рефлексивни, тогаш и R1

∩R2 е рефлексивна

o Ако R1 и R2 се рефлексивни, тогаш и R1- R2 е анти рефлексивна и не е рефлексивнаo Ако R1 е рефлексивна и R2 е антирефлексивна , тогаш и R1- R2 е рефлексивна

o Ако R1 и R2 се симетрични, тогаш и R1∪R2 е симетрична

o Ако R1 и R2 се симетрични, тогаш и R1∩R2 е симетрична

o Ако R1 и R2 се антисиметрични, тогаш и R1∩R2 е антисиметрична

o Ако R1 и R2 се транзитивни, тогаш и R1∩R2 е транзитивна

Операции со Булови матрици

o Нека А= [aij] и B= [bij] се две Булови матрици од ред nxm. Присоединување на А и В е

Булова матрица на која (i, j)-тиот елемент е aij∨ bij.Се бележи со А ∨ В.

o Нека А= [aij] и B= [bij] се две Булови матрици. Среќавање на А и В е Булова матрица на која

(i, j)-тиот елемент е aij∧ bij.Се бележи со А ∧ В.o Нека А= [aiј] е Булова матрица од ред nxm и B= [biј] е Булова матрица од ред mxk. Булов

производ на А и В, А В е матрицата C = [сiј] од ред nxk таква што

ciј=(ai1∧b1ј) ∨ (ai2∧b2ј ) ∨…∨ (aim∧bmј)

o Булов степен на матрица

Ако А е nxn матрица е Булова матрица степен на матрица се дефинира со

А0=In

Ak+1

=Ak A





o Матрица за пресек и унија на релации

Ако R и S се релации над исто множество, тогаш

МR∪S= МR ∨ МS

МR∩S= МR ∧ МS

Состав на релации

Деф.Нека R е релација од А во В, а S релација од В во С. Композиција на R и Ѕ е релацијата

која се состои од подерединета парови (а, с), каде а∈А и с ∈ С и за нив постои b ∈ B такво што

(а, b) ∈ R и (b, c) ∈ S.

- Композицијата односно составот на релациите R и S ќе го бележиме со SoR.

Значи, ако R⊆A×B и S⊆B×C, тогаш SoR⊆A×C и притоа, за∀a∈A, ∀c∈C, (a,c) ∈ SoR акко ∃b∈B, т.ш. (a,b) ∈R и (b,c) ∈S.

Ако R е релација од А во В, а S од В во С, тогаш

МSoR= МR МS

Степен на релација Деф. Нека R е релација во А. Степен Rn, n=1, 2, 3 … се дефинира рекурзивно со R1 = R и Rn+1=

RnоR

По договор земаме R0=A.

Ако MR e матрица на релацијата R тогаш матрицата на релацијата Rn е MRn.

Степен на транзитивна релација

Теорема: Релацијата R на А е транзитивна ако и само ако R n⊆ R за сите n= 1, 2, 3,….

Доказ: Нека Rn R за сите n= 1, 2, 3,….Тогаш R2 R, па нека (a, b)∈R и (b, c) ∈R, тогаш по

дефиниција на состав (a, c) ∈R2 R, па релацијата е транзитивна.

Обратно, нека R е транзитивна релација. Јасно дека R1 R. Да претпоставиме дека

тврдењето важи за сите n = 1, 2, ...,k. За k+1 имаме дека Rn+1

= Rn

oR Сега нека (a, b) ∈ R

n+1. Имаме дека постои х такво што (а, х) ∈ R

n и (x, b) ∈ R. Од

индуктивната претпоставка имаме дека Rn R, па (а, х) ∈ R и (x, b) ∈R, од каде бидејќи

релацијата е транзитивна следува дека (а, b) ∈ R.

Последица: Нека R е релација на конечно множество A со матрица на припадност MR.

Тогаш релацијата R е транзитивна акко (MR ) n ≤ MR .

*Притоа n, означува Булов степен на матрица.

Нека ни е дадена релација R од А во В.

Инверзна релација на R, R-1 e релацијата

R

-1

={(b,a)|(a,b) ∈ R}Комплементарна релација на R, R’ e релацијата

R’ ={(а,b)|(a,b) ∉ R}

Деф.Нека А1, А2, ..., Аn се множества. n-арна релација над овие множества е било кое

подмножество од А1x А2x ...x Аn.

Множествата А1, А2, ..., Аn сенарекуваат домени на релацијата, додека n се нарекува степен.





Бази на податоци и релации

Базите се составени од записи, кои се n-торки, направени од полиња .

Релациите кои се користат за да се претстават базите на податоци се нарекуваат табели.

Секоја колона на табелата репрезентатира еден атрибут.

Еден од домените на n-арната релација се нарекува примарен клуч ако вредноста на овие

n-торки ја детерминираат самата n-торка, односно нема две n-торки кои би имале иста вредност

на тоа место.

Деф.нека R е n-арна релација и C е некој услов кој треба да го задоволуваат елементите во

R. Тогаш операторот за селекција ја пресликува n-арна релација во n-арна релација која се состои

од сите n-торки за кои е задоволен условот C.

Деф. нека R е n-арна релација. Проекцијата P i1,i2,…im каде i1<i2<…<im ja пресликува n-торката

(a1, a2, …, an) во m-торката (ai1, ai2, …, aim) .

Деф. нека R е релација од ред m, а S од ред n. Спојување на Jp(R,S), каде p≤ m и p≤ n, е

релација од ред m+n-p која се состои од m+n-p – торки (a1, a2, …, am-p, c1, c2, …, cp,b1, b2, …, bn-p), каде

m – торките (a1, a2, …, am-p, c1, c2, …, cp,) припаѓаат на R, а n – торките (c1, c2, …, cp ,b1, b2, …, bn-p)припаѓаат на S .

Затварачи

Ако R е релација на А и Р е некое својство, тогаш за релацијата S ќе речеме дека е затворач на

R во однос на P ако таа е најмалата релација која ја содржи R и го има својството P.

За дадена релација R на А, рефлексивен затворач можеме да конструираме со додавање

на сите парови (а, а) кои не се во R.

Ако со ја означеме дијагоналата ={(a, a)|a∈ A}, тогаш рефлексивниот затворач на R е

R

∪ .

За дадена релација R на А, симетричен затворач можеме да конструираме со додавање на

сите парови (а, b) кои не се во R, а за кои парот (b, a) е во R.

R-1

е инверзната релација на R, па симетричниот затворач на R може да се најде како R∪ R-1

Пат од а до b во ориентиран граф G е низа од ребра ( x 0 ,x 1), ( x 1 , x 2), …,( x n-1 ,x n) во G, каде n е

ненегативен цел број и x 0=a и x n=b. Овој пат се обележува со x 0 ,x 1 , x 2 , …,x n-1 ,x n и има должина n.

Ако почетното и крајното темиња се исти тоа го нарекуваме циклус.

Теорема: Нека R е релација на А. Постои пат со должина n, каде n е позитивен цел број од

а до b ако и само ако (a, b) ∈Rn.

Доказ. Со математичка индукција. За n=1 важи затоа што по дефиниција ако (a, b) ∈R тогаш

постои пат со должина 1 и обратно.

Нека важи својството за сите броеви до некое n.

За n+1, постои пат со должина n+1 од a до b акко постои елемент c во А таков што постои пат од а

до c во R и пат од c до b во Rn.





Но таков елемент има акко (а, b) ∈Rn+1

.

За дадена релација R на А, релација на сврзаност можеме да конструираме со

- додавање на сите парови (а, c) кои не се во R, а за кои паровите (a, b) и (b, c) се во R.

- R∪ R2

- На вака добиената релација повторно треба да ги додадеме сите парови (а, c) кои не

се во неа, а за кои паровите (a, b) и (b, c) се во неа.- R∪ R2 ∪ R3 .....

- Ова го правиме се додека се додаваат нови елементи

- R∪ R2 ∪ R3 ∪... ∪Rk

За дадена релација R на А, релација на сврзаност R* се состои од сите парови (a, b) така

што постои пат со должина барем 1 од а до b во R.

Бидејќи Rn се состои од сите парови (a, b) така што постои пат со должина n од а до b,

следи дека R* е унија од сите множества Rn.

∗ =

Теорема: Транзитивниот затвoрач на една релација е еднаков на релацијата за сврзаност

R*.

Лема: Нека А е множество со n елементи и нека R е релација над А. Ако во R постои пат од

а до b со должина барем еден, тогаш постои пат со должина не подолга од n. Уште повеќе,

ако а ≠ b, таквиот пат не е подолг од n – 1.

Деф. За една релација велиме дека е релација за еквивалентност или е еквиваленција

акко е рефлексивна, симетрична и транзитивна.

Деф. За два елементи a и b кои се во релација еквивалентност велиме дека се

еквивалентни.

*Се бележи со а~ b.

Нека е дадена релација RA×A. Најмалата еквиваленција SA×A, таква што RS се

нарекува еквивалентен затвoрач на R.

o Прво треба да се направи рефлексивна, па прво го правиме нејзиниот рефлексивен

затвoрач

o Потоа треба да се направи симетрична, па на нејзиниот рефлексивен затвoрач

правиме симетричен затвoрач

o На крај треба да се направи транзитивна, па на рефлексивниот и симетричниот

затвoрач правиме транзитивен затвoрач

Нека R е релација за еквивалентност над А. Подмножеството елементи од А кои се во

релација R односно се еквивалентни со а во А се нарекува класа на еквивалентност на а.

*Се бележи со [a]R или аR.

[a]R ={ x | x ∈A, (a, x ) ∈R}





Ако се знае за која релација станува збор се пишува со [a].

Множеството A/R = { [a]R | a∈A} се нарекува фактор множество во однос на

еквивалентноста R.

Теорема: Нека R е еквиваленција на А. Тогаш следниве тврдења се еквивалнтни

i. а R b

ii. [a] = [b]

iii. [a] ∩ [b] ≠ ∅

Последица: Две класи на еквивалентност се или еднакви или дисјунктни .

Ако R е еквиваленција , тогаш ⋃ [] = ∈

Партиција на множество А е колекција од дисјунктни непразни подмножества од А чија

унија е множеството А, т.е.

≠ ∅ за

∈

∩ = ∅ кога ≠ ⋃ = ∈

Теорема: Ако R е еквиваленција на А, тогаш нејзините класи на еквивалентност

дефинираат партиција на А.

Ако е дадена партиција на А, тогаш постои еквиваленција чии класи на еквивалентност се

дадената партиција на А.

Доказ: Првиот дел е јасен од претходна теорема

Ако е дадена партиција на А, {А i|Аi A}, тогаш еквиваленцијата која ја прави таа

партиција е aRb акко a и b се во исто подмножество, т.е. Ако постои i такво што a, b

∈ Ai .

Деф. Една релација R на множество А е подредување акко е рефлексивна,

антисиметрична и транзитивна. Ако R е релација за подредување вообичаено се означува со “≤“.

Ако “≤ “ е ралација за подредување на множество A, тогаш парот (А, ≤ ) се нарекува подредено

множество.

o Два елементи a и b од подредувањето (А, ≤) се нарекуваат споредливи ако или a ≤ b или

b ≤ a. Ако a и b се елементи од А такви што ниту a ≤ b ниту b ≤ a тогаш тие се нарекуваат

неспоредливи. Ако во подредувањето (А, ≤) секои два елементи се споредливи, тогаш тоа

подредување се нарекува линеарно или целосно подредување.

(∀ x ,y ∈A, x ≤y ∨y ≤ x )

•Понекогаш се нарекува верига

Нека A1 и A2 се добро подредени множества. Лексикографско подредување на A1 X A2 се

дефинира како:





Еден пар е помал од друг ако првиот елемент од првиот пар е помал од првиот елемент од

вториот пар или ако првите два елементи се исти, а вториот елемент од првиот пар е помал од

вториот елемент од вториот пар

(a1 , a2) е помало од (b1 , b2) ако или,

a1 < a2 или

a1 = a2 а b1 < b2

Хасов дијаграм

Максимални и минимални елементи

Нека (S,

≤) е подредено множество и AS.

За елементот а∈А велиме дека е максимален елемент во множеството А, ако во А непостои елемент кој е поголем од а, односно

а∈А е максимален елемент во А акко ∀ x ∈A, a ≤ x a = x.

За елементот b∈А велиме дека е минимален елемент во множеството А, ако во А не

постои елемент кој е помал од b, односно,

b∈А е минимален елемент во А акко ∀ x ∈A, x ≤ b x = b.




Најголем и најмал елемент

Нека (S, ≤) е подредено множество и AS. Еден елемент а∈А е најголем елемент во множеството А ако сите елемнти од А се помали

од а, односно,

а

∈А е најголем во А акко

∀ x

∈A, x

≤ a.

Еден елемент b∈А е најмал елемент во множеството А ако е помал од сите елемнти од А,односно,

а∈А е најмал во А акко ∀ x ∈A, а ≤ x .

Ако подредувањето (A, ≤) e линеарно подредување и секое непразно подмножество на S има

најмал елемент, тогаш имаме добро подредување.

Долна и горна граница

Нека (S, ≤) е подредено множество и AS.

За елемент g ∈ S велиме дека е горна граница за множеството А, ако сите елементи од А

се помали од g, oдносно,

g∈S е горна граница за А акко ∀ x ∈A, x ≤ g.За елемент d ∈ S велиме дека е долна граница за множеството А, ако d е помал од сите

елементи од А, oдносно,

d∈S е долна граница за А акко ∀ x ∈A, g ≤ x .

Супремум и инфимум

Нека (S, ≤) е подредено множество и AS.

- За елемент v ∈ S велиме дека е супремум за множеството А, ако е најмал елемент

во множеството горни граници на А. (Најмалата горна граница доколку постои)

- За елемент u

∈ S велиме дека е инфимум за множеството А, ако е најголем

елемент во множеството долни граници на А. (Најголема долна граница доколкупостои)

Деф. Целосното подредување R1 е компатибилно со подредувањето R акко a R1 b секогаш кога

важи a R b. Ваквото подредување се нарекува тополошко сортирање.

o Најмал елемент во конечно множество

Лема: Секое конечно подредено множество (S, ≤) има барем еден минимален елемент.

Доказ: Да го избереме a0 од S. Ако не е најмал, постои помал од него, нека тоа е a1. Ако и тој

не е најмал ќе постои помал од него a2. Но ова можеме да го правиме конечен број на пати, па

постои елемент an кој од кој нема помал.

o Принцип на индукција над добро подредено множество

Теорема: Нека S е добро подредено множество. Тогаш P(x) е точно за сите х∈S, ако

ИНДУКТИВЕН ЧЕКОР: за секој y ∈ S, ако P(x) е точно за сите х ∈ S за кои x<y, тогаш P(y) е точно

Доказ: Нека не е точно дека P(x) е точно за сите х ∈ S . Постои y ∈ S за кое P(y) не е точно.

A = {x ∈S I P(x) не е точно} не е празно.

Бидејќи S е добро подредено, A има најмал елемент a.

Точно е дека P(x) е точно за сите х ∈ S за кои x < a. Па ќе биде точно и P(a)

Documents

Дискретна 1 - ЦЕЛ МАТЕРИЈАЛ