Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Тема 1. КИНЕМАТИКА

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ§1.1. Пространство и время –

фундаментальные физические понятия

Пространство и время –

фундаментальные физические понятия

Диапазон расстояний во Вселенной

Радиус ядра

Радиус вирусаРадиус атома

Размер крупинки солиРост человека

Останкинская башня

Земля - Луна Земля - Солнце

Ближайшая звездаРадиус нашей Галактики

Ближайшая Галактика

Москва -Киев

Границы Вселенной 1030

10-9

10-3

103

10-15

109

1015

1021

1027

м

Свойства пространства

Непрерывность

Непрерывность: в пространстве нет разрывов в любой его части по любому направлению.


Непрерывность Однородность

Однородность: вдоль любого из направлений свойства пространства неизменны.


Непрерывность Однородность Изотропность

Изотропность: свойства пространства одинаковы по всем направлениям.


Непрерывность Однородность Изотропность Трехмерность

Трёхмерность: положение любой точки в пространстве относительно выбранной точки отсчета определяется совокупностью трёх чисел - координат.

Диапазон временных интервалов во Вселенной

Свет пересекает ядро

Свет проходит размер атома

Колебание молекулы

Период радиоволны

Удар сердца 1 день

Жизнь человекаПервобытный человек

Возраст ЗемлиВозраст Вселенной

10-18

10-12

10-6

10-24

1 106

1012

1018

с

Свойства времени

Непрерывность Однородность Однонаправленность


МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§1.2. Система отсчета.

Радиус-вектор материальной точки.

Закон движения материальной точки

СИСТЕМА КООРДИНАТ

x

z

y

Масштаб 1 м

0

Тела отсчета

Систему координат можно «привязать» к разным точкам отсчета, принадлежащим одному телу:

x

z

y

Масштаб 1 м

0

Система отсчета (СО): система координат + часы

x

z

y

Масштаб 1 м

0

Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Радиус-вектор материальной точки (МТ)

x

z

y

xА

yА

zА

ArA

i

j

k0

AAAA zyxr ,,

1,0,0;0,1,0;0,0,1 kji

.1 kji

kzjyixr AAAA

222AAAA zyxr

Введём единичные векторы координатных осей (орты):

Радиус-вектор МТ связан с её координатами:

По правилу сложения векторов:

По определению, модули единичных векторов:

Дважды применив теорему Пифагора, получим величину радиус-вектора МТ по модулю:

Закон движения МТ. Траектория

x

z

y

траектория

r(t)

)(),(),()( tztytxtrr

– закон движения материальной точки

0



§ 1.3.Вектор перемещения.

Путь

x

z

y1

2

x1 x2

y2

y1

r1

r2

Δr

траектория

вектор перемещения 12 rrr

)( 11 trr

)( 22 trr

:

путь

Путь – расстояние, пройденное телом вдоль траектории.

Расстояние между точками траектории – модуль вектора перемещения

l

x

z

y

1

2

x1 x2

y2

y1

12 xxx 12 yyy

12 zzz

x

y

0

222 zyxlr

22 yx

Вначале рассмотрим случай, когда траектория лежит в плоскости экрана:

В трёхмерном случае необходимо учесть изменение координаты и по оси z :

Тогда модуль вектора перемещения (расстояние

между двумя соответствующими точками траектории) равен:



§ 1.4. Скорость МТ.

Ускорение

x

0

v

Δr

,t

rv

Скорость характеризует быстроту перемещения МТ по траектории, а также направление, в котором она движется в каждый момент времени.

При равномерным движении направление скорости и перемещения совпадают и лежат на траектории МТ:

В этом случае вектор скорости определяется как перемещение в единицу времени:

и вычисляется путём деления пути S на время его преодоления t .

y

x0

r0

r

v

Δr t

rv

~

,0t

t

rv

t

0lim

dt

rd

.r

dt

rdv

Однако в общем случае (криволинейное и неравномерное движение) не только величина, но и направление вектора перемещения будет разным в зависимости от выбираемого промежутка времени.

Следовательно, записанное выше выражение для скорости будет здесь весьма приближённым:

Однако, если время перемещения взять бесконечно малым:

то перемещение фактически уляжется на траекторию, а скорость будет касательной к ней.

Таким образом, скорость в данной точке (или мгновенная скорость) определяется как предел отношения перемещения ко времени, стремящемуся к нулю, т.е. является производной радиус-вектора по времени:

Скорость:

x

z

y

0

vx

vyv

i

j

k

zyx vvvv ,,

kvjvivv zyx

222zyx vvvvv

dt

rdv

kzjyixr

kzjyixdt

dv

k

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ;; zvyvxv zyx ;;

Скорость и её проекции:

С другой стороны:

, где

t

va

t

0lim

dt

vd

.v

2

2

dt

rd

dt

vda

У с к о р е н и е

2

2

dt

rda

.r

Ускорение характеризует скорость изменения скорости и определяется производной скорости по времени:

Скорость же определена выше как производная радиус-вектора по времени: .

dt

rdv

Т.е. ускорение может быть определено как вторая производная радиус-вектора по времени:

Ускорение:

zyx aaaa ,,

kajaiaa zyx

zvayvaxva zzyyxx ;;

222zyx aaaaa

Ускорение и его проекции:

По аналогии с определением проекций скорости, проекции ускорения на оси координат равны производным по времени проекций скорости на соответствующие оси или вторым производным по времени соответствующих координат:

x

z

y

0

ax

aya

i

j

k

Запишем связь в виде векторного уравнения с использованием единичных векторов:

Модуль ускорения:



§ 1.5. Движение по окружности.

Угловая скорость.

Угловое ускорение

v

r

ΔrΔφ 1

2 S

.rS

0tприа

,Sr

.dSdrr

Рассмотрим движение материальной точки (МТ) по окружности.

Перемещение из точки 1 в точку 2 можно характеризовать как вектором перемещения Δr, так и углом поворота Δφ радиус-вектора МТ.

Пройденный при этом путь (длина окружности) определяется произведением радиуса на угол его поворота:

При очень малых перемещениях

drdr Таким образом:

v

r

ΔrΔφ

dφ

dr

dr = dφ×r

1

2

r

S

dφ

направление - по правилу правого винта

.drdr Таким образом:

Углу поворота придают направление в виде вектора, указывающего, в какую сторону поворачивается радиус-вектор:

Т.е. вектор малого перемещения МТ по окружности определяется

векторным произведением:

r

dr

dφ

ω

dφ

r+dr dt

d

Угловая скорость ω определяется подобно линейной скорости v (см. §1.4):

Аналогично определяется угловое ускорение:

2

2

dt

d

dt

d

tt

0

limdt

d

r

dr

dφ

ω

dφ

r+dr

Угловое ускорение:

2

2

dt

d

dt

d

ε

ε

Если угловая скорость уменьшается со временем, то угловое ускорение противоположно ей по направлению.

Если угловая скорость растёт со временем, то угловое ускорение совпадает с ней по направлению.

Линейная и угловая скорости

rv

ω

r

vdt

rdv

drdr

r

dt

drv

В векторном виде с учётом правила правого винта:



§ 1.6. Нормальное (центростремительное) ускорение

Скорость и ускорение :направление ускорения в общем случае не совпадает с направлением скорости.

g

g

g

v

v

v

Пример – движение тела в поле силы тяжести:

a = F / m (!)

Направление ускорения совпадает с направлением силы, действующей на тело:

R

0

v1

.21 vvv

Рассмотрим движение МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Δφ

1

2 v2

v2

v1Δφ

Δv

Δr Но несмотря на это существует ускорение, поскольку вектор скорости изменяется со временем.

.lim0 t

va

t

Вектор скорости при перемещении МТ поворачивается на тот же угол, что и её радиус-вектор.

Тогда из подобия получившихся треугольников можно записать:

,R

r

v

v

откуда приращение скорости: .

R

rvv

R

0

v1

;21 vvv

vRR

vaц 2

2

aц

Δφ

1

2 v2

v2

v1Δφ

Δv

Δr

;lim0 t

va

t

.limlim00 t

r

R

v

t

r

R

va

tt

.R

rvv

Определим модуль ускорения, подставив в его уравнение значение приращения скорости:

= v Т.е. в данном случае

ускорение равно: .2

R

va

При Δt → 0 угол Δφ → 0, и следовательно, вектор Δv, а значит – и вектор ускорения становятся перпендикулярными вектору скорости.

Таким образом, ускорение в данном случае направлено к центру окружности и по этой причине называется центростремительным.

Конец темы

Documents

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ